可行域内整点的最优解

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线性规划中的最优整数解

线性规划中的最优解，就是在线性约束条件下使目标函数取得最大值或最小值的可行

解，而求最优整数解，是同学们的棘手问题，下面以例题的形式讲讲如何求最优解。

例. 某人承揽了一项业务：需做文字标牌6个，绘画标牌5个。现有两种规格的原料，

甲种规格每张32m ，可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张22m ，可做文字标

牌2个、绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使总的用料面积最小？最小用料

面积是多少？

分析：将已知数据列成如下所示的表格：

解法一：设甲种规格的原料用x 张，乙种规格的原料用y 张，总的用料面积为z 2m ,则

z=3x+2y

x+2y ≥6

2x+y ≥5

x ≥0

y ≥0

其可行域如图所示：

解方程组

x+2y=6

2x+y=5

得M 的坐标为47

(,)33

当直线z=3x+2y过点M

(,)

时z最小，此时

4726

333

z=⨯+⨯=

由题意可知，点M

(,)

不是最优解，因为此问题最优解(x,y)中x，y应都是非负

整数，所以目标函数z的最小值一定是大于26

的整数，且x，y都是非负整数。取z=9,得

3x+2y=9，其非负整数解是（1，3）和（3，0），但点（3，0）不在可行域内，舍去，所以

点（1，3）是最优解，

min 9

解法二：由解法一可知，点M

(,)

不是最优解，这时可求出可行域内左下侧靠近

边界的整点，依次为A（0，5），B（1，3），C（2，2），D（3，2），E（4，1），F（5，1），G（6，0），将这些点的坐标分别代入目标函数z=3x+2y，求出z的各对应值，经检验可知，在整点B（1，3）处z取得最小值9。

高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法

线性规划中求整点最优解的两种常用方法

简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.

1、平移求解法

步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】

例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格

今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.

解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0

027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.

作出可行域，由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.

此时，5

211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5

211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x

可行域上的最优解

线性规划（一）

一、教学内容: 线性规划（一）

二、教学目的要求；

1.了解简单的线性规划问题.

2.了解线性规划的意义.

3.会用图解法解决简单的线性规划问题

三、教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题.

四、教学难点：准确求得线性规划问题的最优解

五、教学方法：讲练结合

六、教具准备：投影片

七、教学过程

巩固练习：

分别找出下列不等式组表示平面区域内的整点：

（1）242y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩ （2）3232639

x y x x y y x <⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪<+⎩

讲授新课

首先，请同学们来看这样一个问题.

例1、设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 求z 的最大值和最小值.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.

那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

练习

（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y

（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y

满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x

线性规划中最优整解的一种简捷求法

求线性规划中最优整数解的问题，是学生最感头疼的事。下面仅举一例谈谈求此类问题的求解策略，以供参考。

题目：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表所示：

今需要A、B、C三种规格的成品为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少。

分析：这是一道求线性规划中最优整数解的问题，设两种钢板分别要x、y张，

则约束条件为：

目标函数：z =x+y，

对应的可行域如图所示。那么，怎样寻找其最优整数点昵？分解步骤如下：

步骤1作出一组平行直线x+y = t 中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线。步骤2求出直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A,

步骤3 写出过交点的目标函数的方程x+y =57/5 。

步骤4 判断A点不是最优解。因都不是整数，所以可行域内的点

不是最优解。

步骤5 找出接近且适合题意的整数，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线为

x+y = 12。

步骤6 确定适合题意的整点，得B（3，9），C（4，8），即为所求的最优解。

即需要第一种钢板3块，第二种钢板9块，所需最少钢板数量3+9=12块；

或需要第一种钢板3块，第二种钢板9块，所需最少钢板数量3+9=12块。

以下为作图求解过程：

评注：线性规划问题的关键是在图上完成的，所以做图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以“验明正身”.

线性规划中最优整点解的三种求法

格平移法来找整点 , 这种方法对作图要求较高 ,在实际操作中不好把握. 本文拟就这道例题 ,再介绍三种较实用的求整点解的方法.
例题将两种大小不同的钢板截成 A, B , C三种规格 ,两种钢板每张截得 A, B , C三种规格的小钢板的块数分别为 2, 1, 1; 1, 2, 3, 今需 A, B , C 三种规格的成品分别为 15, 18, 27 块 ,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品 ,且使所用钢板张数最少 ?
x = x0 + n t, 代入约束条件中则可求出参数 y = y0 - m t, t范围 , 从而求出最优整解 , 如果这个方程无解 ,就解下一个方程 c ±1 = m x + ny, 依次下去 ,总可以找出满足条件的整数解. 这种方法称为不定方程法 , 在可行域的范围比较大时常常显得简捷方便.
它代入约束条件 ( Ⅰ) 中消去 x, y, 解得 2 ≤ t ≤ 3. 5,又 t ∈ Z,故 t = 2或 t = 3,从而得整点为 ( 3, 9) 或 ( 4, 8) .
评析方法 1中 ,当直线 x + y = 11. 4过
点 A 18, 39 时 , z = x + y虽然可取得最小值 , 55
第 1期高中数学教与学
线性规划中最优整点解的三种求法
孙汉中温琦
(湖北省黄石实验高级中学 , 435000) (湖北省黄石第二十中学 , 435000)

破解线性规划中的整点问题

河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@

线性规划中的整点问题是高中数学线性规划中的重要一类问题，是高中数学的一个难点，本文将整数线性规划问题解法作以简单介绍供同学们学习时参考.

例某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？

分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之.

解析：设月采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，月总利润为z 元，则

1000300030000100050011000

,x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩

，即330222

,x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩，目标函数为

z =800600x y +

作出可行域如图所示，

作直线l ：86x y +=0，

平移直线z =800600x y +知过M 3638(

,)55时，max z =10320，但x =365，y =385不是整数，所以可行域内点M 3638(

,)55不是整点最优解. 求整点最优解解法一网格平移法

首先在可行域内打网格，其次描出M 3638(,)55

附近的所有整点，接着平移直线l ：86x y +=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y 轴上截距最大，即max z =10000元.

解法二特值检验法

线性规划中整点最优解的探究

发表时间：2013-07-12T10:51:48.483Z 来源：《教育研究·教研版》2013年8月下供稿作者：陶晶[导读] 重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。〔摘要〕在以往教材中，线性代数是大学期间的课程，高中的课程中只是少量接触，而在新教材高二年级的数学中新加了简单的线性规划的内容。线性规划在数学中越来越受到重视，在高中数学中线性规划在对于解决最优惠最佳方法的应用题中体现出它独特的应用方

法，帮助学生在领悟题型是对类型题的加深理解。对学生在数学方面解决疑难问题也会起到开发性思维的拓展，有助于帮助学生开拓思路解答问题。线性规划最优解教学中的一个难点。〔关键词〕线性规划最优解可行域 1 平移找解法

平移找解法在作出可行域后，描绘出整点，然后选择目标函数L=ax+y 平移该函数 L，直线L 最先经过或者最后经过的那个整点(x,y)便是整点最优解。

例1 某服装厂生产裙子和裤子两种产品，现有两种布料，第一种有72m2，第二种有 56m2，假设生产裙子和裤子都需要用两种布料，生产一条裙子和一条裤子所需布料如下表所示，每生产一条裙子可获利6 元，生产一条裤子可获利10 元，服装厂现有布料条件下，裙子和裤子各生产多少，获得利润最多。解：设生产裙子x 条，生产裤子y 条，获取利润z 元，那么 0.18x+0.09y≤72 0.08x+0.28y≤56 嗓,x≥0， y≥0 解得z=6x+10y 如图所示，在不等式组图所表示的可行域作直线l: 6x+10y=0，即 3x+5y=0，把直线l 向右上方平移只l1 的位置时，直线经过可行域点M，且与原点距最大，此时z=6x+10y 取最大值。解方程组 0.18x+0.09y=72 0.08x+0.28y=56 嗓，解得M 点坐标（350，100）答：应生产裙子350 条，裤子300 条，此时的利润是最大值。

可行域最优解参赛课件

表示的平面区域
B
O
1 x=1
A
5
x
3x+5y-25=0
第二节
可行域上的最优解
y
(5)可行域：满足约束条件的所有解的集合
(1)线性约束条件
A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1, 4.4)
5
C
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
(4)可行解：满足约束条件的解 M（x、y）
O
1 5
x
最优解： A（1.5、2.5） Z最大为17
x=1
最优解： B（-2、-1） Z最小为 -11
问题2： x、y 满足线性约束条件（1）求：z=3x+5y 的最大、小值。
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。
教材的重难点

解决线性规划问题最常用和最重要的一种方法是图解法，因此线性规划的图解法是本节课的教学重点；另一重点是把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答。教学难点有二：一是寻找线性规划问题中的最优解；突破难点的关键是应用数形结合的方法弄清目标函数所表示的几何意义。二是建模,建模是解决线性规划问题的极为重要的技术与环节，一个正确数模的建立要求建模者熟悉规划问题的生产和管理内容，明确错综复杂的约束条件和目标要求，因此解决这个难点的关键是根据问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理地表述出来。

如何寻找_线性规划问题_的整点最优解

点, 用解法一的方法, 打出网格描出可行域内的整
点, 由题意, 取得目标函数最大值的整点应分布在
可行域的右上侧, 为此在可行域内右上侧靠近边
界的整点依次取B (0, 12) , C (1, 10) , D (2, 9) ,
E (3, 8) , F (4, 6) , G (5, 5) , H (6, 3) , L (7, 1) , K (8, 0) , 将这些点的坐标分别代入 z = 200x + 150y , 求出 z 的各对应值, 经验证可知, 在整点B (0, 12) 和 E (3, 8) 处, z 取得最大值, 如图 3 (以下略) Ζ
目标函数: z = 160x + 252y
作出可行域如图 4:
作出一组平行的直线 160x + 252y = t, 当 t= 0 时, 即 160x + 252y = 0, 也就是直线 l0: 40x +
63y = 0. 将直线 l0 向上平移至 l1 的位置时, 直线 l1 经
过可行域上的点A , 且与原点的距离最小, 此时, z = 160x + 252y 取最小值Ζ
- 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
图1
作出一组平行的直线 200x + 150y = t. 当 t= 0 时, 即 200x + 150y = 0 也就是直线

《管理运筹学》第四版课后习题答案

⎨

= 0.6

《管理运筹学》第四版课后习题解析（上

）

第2章线性规划的图解法

1．解：

（1）可行域为OABC 。

（2）等值线为图中虚线部分。

（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x =

12 ， x = 15

图2-1

；最优目标函数值 69

。

2．解：

（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解 ⎧x 1 = 0.2

，函数值为3.6。 ⎩x 2

图2-2

（2）无可行解。（3）无界解。（4）无可行解。

⎨ （5）无穷多解。

⎧

x = （6）有唯一解

⎪

，函数值为 92 。 8 3

x = ⎪⎩ 2

3．解：

（1）标准形式

max f = 3x 1 + 2x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3

9x 1 + 2x 2 + s 1 = 30 3x 1 + 2x 2 + s 2 = 13 2x 1 + 2x 2 + s 3 = 9

x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0

（2）标准形式

min f = 4x 1 + 6x 2 + 0s 1 + 0s 2

3x 1 - x 2 - s 1 = 6 x 1 + 2x 2 + s 2 = 10 7x 1 - 6x 2 = 4

x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0

（3）标准形式

min f = x 1

' - 2x 2' + 2x 2'' + 0s 1 + 0s 2

-3x 1 + 5x 2

' - 5x 2'' + s 1 = 70 2x 1

' - 5x 2' + 5x 2'' = 50 3x 1

' + 2x 2' - 2x 2'' - s 2 = 30 x 1', x 2' , x 2'' , s 1, s 2 ≥

可行域最优解怎么求

可行域最优解的求解方法

在数学、优化和工程问题中，寻找可行域内的最优解是一项常见而重要的任务。可行域指的是问题约束条件下的所有可行解集合，而最优解则是在这个可行域内使得目标函数取得最优值的解。本文将介绍一些常见的方法和技巧，帮助我们求解可行域内的最优解。

线性规划

线性规划是最经典的优化问题之一，其可行域由线性约束定义，目标函数也是

线性的。对于线性规划问题，常用的方法是单纯形法和内点法等。其中，单纯形法是一种基于顶点迭代的方法，通过不断移动到更优的顶点来逼近最优解。而内点法则是通过在内部寻找最优解的方法，避免了走向可行域边界的问题。

非线性规划

对于非线性规划问题，寻找可行域内最优解的方法通常更加复杂。常见的方法

包括梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。这些方法往往需要目标函数可导或者二阶可导，通过迭代优化来找到最优解。此外，局部搜索和全局搜索也是非线性规划中的重要方法，帮助我们避免局部最优解陷阱，寻找更优的全局解。

进化算法

进化算法是一类基于生物进化原理的优化方法，如遗传算法、粒子群算法等。

这些算法通过不断进化种群来找到最优解，在复杂问题中往往能够获得更好的结果。进化算法不依赖目标函数的可导性，适用于各种类型的可行域内最优解求解问题。

混合算法

对于复杂的优化问题，通常采用混合算法的方式，将上述方法进行融合以提高

求解效率和精度。比如可以将遗传算法与梯度下降相结合，利用全局搜索和局部优化的优势来求解可行域内的最优解。这种方法往往能够更快地收敛到最优解，并且具有较高的鲁棒性。

结论

在实际问题中，寻找可行域内的最优解是一项具有挑战性的任务，需要结合问

整点最优解问题的三个解法

１ｍ，５可住游客３，名每名游客每天住宿费为５元；０装修大
【ｔ０，／０Ｘ＞Ｙ＞
房间每间需１０元，修小房间每间需６０。如果他００装０元
只能筹款８０元用于装修，００且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？分析：这类问题涉及物资的优化运用，在物资一定的条件下，要求获利最大。
约束条件化简：
［ｘ＋ｙ０６５ ≤６
【ｘ３ ≤ ０５＋ｙ４
ｘ０，０ ≥ ｙ≥
５６：ｙ＜￣
３
‘
可行域如右图示：根据目标函数作一组平行直线：ｘ３＝，４＋ｙｔ这些直线中经过Ｂ，０）（＿的直线与原点的距离最大６亍．
ｘ≥ ０， ≥ ０ｙ
（并非所有网格都打出）直接找出附近的整点来减小搜，
索范围，从而求出整点最优解。
下面求解例２以介绍此法。分析：设他应隔出大房间ｘ，间小房间Ｙ，间能获得收
益为ｚ。元
６ｘ＋
目标函数：＝０ｘ１０ｚ２０＋５ｙ
１设出所求的未知数，出约束条件，立目标函、列建数；２作出可行域；、３确定平移直线，、寻找非整最优解；

“五招”破解线性规划整数最优解问题

ｊｊ所以（，）２４为５＿ ’ ／ ’ ＿ ’ ＿４５￣５４５４ｒ
，，
，，
在理论最优解的基础上，渐调整目标逐
函数值．出对应的直线，作通过解方程组求交点的方法，断该直线落在可行域内的部分判
４ｘ＋３一２０＝０，一３～２：０ｙ
＼一
Ｄ
／／
＂
／＼Ｎ７＋ｙ０，ｘ５＝、
接近直线ｚ的整点逐个代人目标函数，过通验算，出整数最优解．求
方法２网格线法
将整个坐标系画在几何方格纸上，在或
可行域内打上斜线，方便地观察出可行域很
内的整点，再将目标函数从直线ｆ。的整点平
图１
的交点
移，先到达的整点就是整数最优解．时对最此应的点是可行域内最接近１整点．上的如
Ａ
（，是理论最优解对应目标函数的理了４）
wk.baidu.com
问题的整数最优解．
是否有整点，而求出整数最优解．进
引例中，７＋５当Ｙ＝３，据方程组４时根

线性规划中的整点最优解

在组织社会化生产、经营管理活动中，我

们经常会碰到最优决策的实际问题。而解决这

类问题的现代管理科学以线性规划为其重要

的理论基础，其本质都是寻求整个问题的某项

整体指标的最优解。但在实际问题中，最优解

(x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为

整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整

点最优解 .

1．平移找解法

作出可行域后，先打网格，描出整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解.

例 1 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量

比不小于配套，怎样截最合理？

分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再通过平移直线，使它经过整点的方法来求整点最优解．

解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根。根据题意，得，

目标函数为，作出可行域如图示阴影部分内的整点，要打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．

作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．

答：略．

例 2 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送

180t支援物资的任务。该公司有8辆载重为6t的A型

卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每

辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；

每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为

简单的线性规划整点最优解

消耗量
产品
甲产品（1 杯）
资源
奶粉（g）
9
咖啡(g)
4
糖(g)
3
利润（元） 0.7
乙产品(1 杯)
资源限额（g）
4
3600
5
2000
10
3000
1.2
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
9x 4 y 3600
34xx
5y 2000 10y 3000
y_ _900
x 0 y 0
y
——线性规划的简单应用
o
x
{ 复习引入
x-y≥0
1.已知二元一次不等式组 x+y-1≤0
y≥-1
y
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的线性约束条件； x+y=1
z=2x+y 叫做线性目标函数；
1
x-y=0
满足线性约束条件的解(x,y)都叫做可行解；
（2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱90÷0.2=450 张,可获利润120×450=54000元,但木工板没有用完
1.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，
已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木

线性规划之最优整数解问题

河北省景县梁集高中张国营

线性规划是高中数学新教材的新增内容，对学生及教师来说都不是太熟悉。教材对这一部分叙述的也不是很详细，所以学生学起来很费劲，教师教起来也不容易。这一内容在近几年高考中考察的知识点比较容易，一般以选择或填空题的形式出现。根据我多年的教学经验，我认为在学习本部分内容时，应注意以下几点：

1.判定最优解：求线性目标函数z=ax+by(a ≠0、b ≠0)在线性约束条件下的最优解问题，可转化为求直线y= - b z

x b a

+在y 轴上的截距的最大值和最小值问题。即根据直线在y 轴上的截距b z 和z 的关系来判断何时z

取得最大（小）值。我把这种方法叫做截距判断法。具体情况如下：当b>0时，若

b z

取最大值，z 也取得最大值，若b z

取最小值，z 也取得最小值；当b<0时，结果相反。2.求出最优解：根据动直线t x a b y +-

=与可行域有公共点且t 取最大（小）值时所经过的可行域内点的坐标来计算出最优解。3.求出最优整数解：这是最复杂的一步，也是最关键的一步。此处是学生学习这一部分的难点。这一步求解的方法很多，下面举例来说明常用的一些方法。

例：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格的小钢板，第一种钢板可截成A 、B 、C 三种规格的小钢板分别为2块、1块、1块；第二种钢板可截成 A 、B 、C 三种规格的小钢板分别为1块、2块、3块 . 现需要A 、

B 、

C 三种规格的小钢板分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使用钢板