16三角函数的恒等变换(高2019届理科数学总复习特级教师优秀讲义)

高2019届理科数学总复习讲义
第十六讲 三角函数的恒等变换
一、知识提要
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
tan(α－β)＝
tan α－tan β1＋tan αtan β tan α+tan β＝tan(α+β)(1-tan αtan_β)； tan(α＋β)＝
tan α＋tan β1－tan αtan β tan α-tan β＝tan(α-β)(1+tan αtan_β)；
2.二倍角公式
sin2α＝2sin αcos_α；
cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
tan2α＝
2tan α1－tan 2α
.
3.常用关系式：
（1）2+=2+1)cos (sin sin θθθ，2-=2-1)cos (sin sin θθθ，
θθ22=2+1cos cos ，θθ22=2-1sin cos 。

（2）)cos (cos θθ2+121=2，)cos (sin θθ2-121=2 （3）)sin(cos sin 4+2=+πθθθ，)sin(cos sin 4
-2=-πθθθ
设0>a ，0>b 则sin cos )a b θθθϕ±=±
4.三角函数的化简要求：尽量减少角的种数（化同角），尽量减少三角函数的种数（化同名），尽可能减少项数、不含根号、不含分母、降低次数，尽可能求出其值。

5.三角函数的求值问题，都是通过恰当的变换，在求值的三角函数式与特殊角的三角函数或已知其值的三角函数式之间建立起联系，从而求出其值，特别要注意符号的确定。

(1).给角求值：转化为特殊角的三角函数值，其余抵消或相约。

(2).给值求值：转化为已知其值的三角函数式的关系式，注意角的变换。

已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它三角函数值常用辅助直角三角形法求解。

(3).给值求角：由角的某一三角函数值及角的范围确定角。

二、典型例题
例1、设)2,35(ππα∈，化简2
)3cos(1απ++等于（ ） A. 2sin
α B. 2sin α- C. 2cos α± D. 2
cos α- 例2、化简cos 21tan 1sin 21tan αααα+⋅+-得___________。

例3、cos85°＋sin25°cos30°cos25°
等于( ) A.－
32 B.22 C.12 D.1 例4、(1tan 6)(1tan39)+︒+︒的值为
例5、求值：︒-︒+︒65sin 255sin 220cos 2
例6、︒
⋅︒⋅︒︒+︒+︒120tan 40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 的值是（ ） A.1 B.-1 C.3 D.3-
例7、
若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝
⎭则cos sin αα+的值为（ ）
Ａ．2- Ｂ．12- Ｃ．12
Ｄ．2
例8、已知 54)cos(-=-βα，5
4)cos(=+βα，︒<-<︒18090βα，︒<+<︒360270βα，那么β2cos 的值为（ ）
A.-1
B.53
C.5
4 D.1 例9、已知5
4cos ),0,2(=-∈x x π，则x 2tan 等于（ ） A.247 B.247- C.724 D.7
24- 例10、设2
1cos sin 0=+<<ααπα，，则αcos2的值为（ ） A 、47 B 、47- C 、47± D 、4
1-
例11、已知,cos 4sin 3αα=且0sin <α，那么tan 2α
的值为（ ）
A 、21
B 、2
C 、2
1- D 、－2 例12、设︒13+︒13=cos sin a ，2-︒1422=2cos b ，2
6=c ，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）
.A b c a >> .B a b c >> .C b a c >> .D a c b >>
例13、已知tan θ和tan()4π
θ-是方程20x px q ++=的两根，则p q 、间的关系是（
）
A.10p q -+=
B.10p q ++=
C.10p q +-=
D.10p q --=
例14、已知：434παπ<<-，55)4sin(=-απ，求αsin 的值。

例15、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，π2.
(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1
tan α的值.
例16、已知135
)sin(,21
2tan ),,0(,=+=∈βαα
πβα，求cos β.
例17、已知0,1413
)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π
,
(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.
例18、已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋x 2. (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间； (2)已知角α满足α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2(2)4(2)12
f f παα+-=，求f (α)的值.
例19、已知函数f(x)=11cos()cos(),()sin 23324
x x g x x ππ+-=- （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h （x ）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合。

例20、已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。