弹丸一般运动微分方程组与运动稳定性分析
外弹道学第五章
相对于ox 2 y 2 z 2 系的相对导数。
dv dt F x2 d 2 dt
1
则有
m mv cos mv
1
d dt
F y2
F z2
上式即为速度坐标系内的弹丸质心运动动力学方程。此 式描述的是空间弹道，其中第一式是描述速度大小的变 化，第二式描述速度方向茬铅垂面内的变化；第三式描 述速度方向偏离射击面的情况。
弹体坐标系由弹轴坐标系绕弹轴转过自转角r而得； 摆动坐标系由弹轴坐标系绕弹轴转过α角而得。
§2 作用在弹丸上的力和力矩
作用在弹丸上的力和力矩有：重力、空气动力及 其力矩。为了便于求解弹丸运动将所有的力向速度坐 标系分解，所有的力矩向弹轴坐标系分解。 一、作用于弹丸上的力 (1)重力：重力mg沿地面坐标系oy轴负向。它在速度坐 标系中的投影得
§1 坐标系及坐标变换
ox轴单位长度在 ox 2 , oy 2 , oz 2 轴上的投影为：
cos 1 cos 2 , sin 2 , cos 2 sin 1
oy轴单位长度在 ox 2 , oy 2 , oz 2 轴上的投影为：
cos 1 sin 2 , cos 2 , sin 2 sin 1
§2 作用在弹丸上的力和力矩
(3)升力：
R y x2 R y y 2 Ry z2 0 mb v 2 y 2 1
常微分方程与运动稳定性第三篇
退化结点： /2, 3 /2 或 0，
临界结点：任意方向
p7 p8
p9 p10
p11 16
定义3： 轨线L与θ=θ0相交于P ,若P点向径与方向场
夹角为: 0 < αp < ,则为正侧相交； < αp < 2 ,
则为负侧相交。
/2 < αp < 3/2 ,则为正向相交；-/2 < αp < /2,
结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向：
即： 0 ‾ 或 ‾ 2 。因此有三类正常区域：
I
A II
A III
A
O
O
O
B
B
B
18
结论： 轨线L与OA (或OB) 相交只能是同侧同向：
即： 0 ‾ 或 ‾ 2 。因此有三类正常区域：
3. q>0,p>0,p2-4q=0, 两根为相等负实根―临界结点或 退化结点。
4. q>0,p<0,p2-4q>0, 两根为相异正实根―不稳定结点; 5. q>0,p<0,p2-4q=0, 两根为相等正实根―临界结点或
退化结点; 6. q>0,p<0,p2-4q0, 两根为共轭复根，实部为负―稳
定焦点; 7. q>0,p<0,p2-4q<0, 两根为共轭复根，实部为正―不
弹箭的飞行运动方程组与稳定理论
飞航力学 4.§1 弹6.体1 质基心本运假动设方程
二、基本假设
则复杂的刚体在空中的运动简化成两个独立的 方程组来研究：
一组表示弹丸质心的运动(δ=0)，而且是一个 平面运动。由于δ的实际存在，使迎面阻力Rx增大 ，由增大的弹道系数c来修正；
另一组表示弹丸围绕其质心的运动(弹丸的飞行 稳定性理论）。
空气阻力。据此可以写出弹丸质心运动的矢量方程:
mdv dt
Rx
mg
dv dt
ax
g
飞航力学
4.1 弹体质心运动方程 三、主要变量
dv dt ax g
以时间t为自变量的弹丸质心运动方程组，常 用的有与地球相固联的所谓直角坐标系和随质心 运动的速度坐标系(自然坐标系)。
飞航力学
4.1 弹体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
四、地面直角坐标系的质心运动方程
空气阻力加速度 ax c( Hy)G(v)v 速度分量 vx vco , s vy vsi n
则
ddvxtcH(y)G(v)vx
ddvytcH(y)G(v)vy g
飞航力学
4由.1于弹有：体质心运动方程 四、地面直角坐标系的质心运动方程
由于坐标x，y对于时间t的导数分别为：
飞航力学
飞航力学
教学计划
弹箭的飞行运动方程组与稳定理论（10学时）
弹丸飞行稳定性
２.２ 旋转理论
• ２.２.２ 旋转弹绕质心运动的基本方程及其积 分
• 弹丸飞行中只在外力矩Ｍｚ的作用下绕质心运动的基本方程可以直接 利用拉格朗日方程写出来。
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２.２ 旋转理论
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２.３ 膛线缠度公式及其应用
• 研究旋转弹绕质心运动的规律，一个重要的目的是从保证弹丸飞行稳 定性出发，对身管膛线缠度的设计提出要求。
• ２.３.２ 追随稳定性的要求
• 弹丸质心速度矢量ｖ由于受重力的作用，在飞行中是不断下降的，追 随稳定性要求弹轴ξ应能追随速度矢量ｖ的下降而下降。本节对追随 运动的研究采用定性的分析方法引入必要的力学公式予以说明。
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２.３ 膛线缠度公式及其应用
• １.动力平衡轴及动力平衡角 • 为了方便，以后都以右旋弹为研究对象，亦即弹丸的动量矩矢量Ｋ≈
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２.３ 膛线缠度公式及其应用
• 下面做简要分析。在实际弹丸飞行中，在全弹道上绕弹轴的转动时， ｒ０不是保持常数，而是逐渐衰减，同时弹丸速度ｖ在大部分弹道上 也是衰减的，只是在降弧段的末段出现弹道极小值后又有所增加。但 是转速衰减较慢，速度衰减较快，因此一般只要保证炮口满足陀螺稳 定性，就能保证在全弹道上都满足陀螺稳定性。只有远程榴弹才有可 能在落点附近出现ａ２＜β的情况，在具体设计中应注意校核。
常微分方程的稳定性分析
常微分方程的稳定性分析
稳定性分析是常微分方程理论中的一个重要内容，它研究的是在一定条件下，常微分方程解的性质及其随时间变化的行为。稳定性分析不仅在数学中具有深远意义，而且在物理、工程等应用领域也具有重要的价值。
1. 引言
常微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学方程。它在各个学科中都有广泛的应用，如物理学中的运动学、生物学中的生态系统模型、经济学中的经济增长模型等。稳定性分析是对常微分方程解的行为进行评估和预测的方法，具有重要的理论和应用意义。
2. 稳定性的定义
在稳定性分析中，我们关注的是方程解在微小扰动下的行为。一个常微分方程解是稳定的，如果它对于任意微小的初始扰动都能保持接近原解。换句话说，一个稳定的解在扰动下不会发生剧烈的变化。相反，如果方程解对于微小扰动非常敏感，那么这个解就是不稳定的。
3. 稳定性的分类
根据方程解的性质，我们可以将稳定性进一步分为以下几种：
3.1 渐近稳定性
如果一个方程解在长时间的演化过程中会趋向于某个特定的值，我们就称这个解是渐近稳定的。换句话说，当时间趋向于无穷大时，解会趋于一个固定的稳定点或者稳定状态。
3.2 李亚普诺夫稳定性
李亚普诺夫稳定性是一种更加严格的稳定性概念。一个解是李亚普诺夫稳定的，当且仅当对于任意微小的初始扰动，解都能保持在一条逐渐靠近稳定状态的曲线上。
3.3 指数稳定性
指数稳定性是对解的衰减速度的描述。一个解是指数稳定的，如果其衰减速度超过了任何指数函数。
4. 稳定性分析的方法
稳定性分析的方法有很多，其中一些常用的方法包括线性稳定性分析、李亚普诺夫函数的构造以及隐函数定理的应用等。
微分方程稳定性
目录
摘要 (3)
ABSTRACT (4)
前言 (5)
微分方程稳定性分析原理 (6)
捕鱼业的持续收获模型 (10)
种群的相互竞争模型 (14)
参考文献 (18)
摘要
微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。
【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模
ABSTRACT
Differential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences.
3讲--弹丸质心运动方程组
•（3）弹头飞行速度较高时，弧形部高度hr和口径d的比值越高，
空气阻力Rx越小。
§1.5.3 弹尾部形状和长度
•（1）若弹头为亚音速，弹尾做成流线型； •（2）射程较远时，弹头尾部为截锥体，α=6 °~9 °
§ 2.1 弹道诸元的计算公式
§2.1.1 基本假设
由于膛线的作用，弹丸在飞出枪炮口后绕弹轴高度旋转。在理想 情况下，弹轴与弹道切线重合，这时弹丸在飞行中的空气阻力Rx是通
§ 2.2 真空弹道特性
真空弹道是假设空气阻力为零的弹道，这种情况是弹丸质心运动
最简单的情况，也就是在前述假设成立的前提下 ax 0 的情况。
真空弹道上任意一点的弹道诸元可用下列公式表示：
1、弹道高
gx2 y xtg0 2 2v0 cos2 0
2、速 度
v v0 2 2 gy
将上面切向及法向加速度方程连同确定x和y的两个方程一起写出，即得
到以t为自变量的自然坐标系的弹丸质心运动方程组：
dv cH ( y ) F (v) g sin dt
①
d g cos dt v
dy v sin dt
②
(2-2)
③
dx v cos dt
3、飞行时间
t x v0 cos 0
4、切线倾角的正切
gx tg tg0 2 v0 cos 2 0
38毫米催泪子母弹增程设计及弹道仿真_彭维仕
ψ = χz（ 1 + λz + μz ） de / dt = u1 p dl = vdt Spdt = φmdv Sp（ l + l） = ωfψ － θφmv2 / 2
ψ
百度文库
2
（ 3）
方程组（ 3 ） 中： z 表示已燃相对厚度； ψ 表示已燃相对体 λ = － （ α1 + β + α1 β ） / 1 积； u1 表示燃速系数； χ = 1 + α1 + β， + α1 + β ， z = e / e1 ； e1 、 b、 μ = α1 β / 1 + α1 + β ， α1 = e1 / b ， β = e1 / c ， c 分别表示火药弧厚、 宽度、 长度的一半； ω 表示火药药量； ρ 表示火药密度； α 表示火药余容。f 表示火药力； p 表示压强； φ 表示母弹虚拟质量系数 ； l 表示母弹行程； v 表示母弹速度；
2
增程原理
根据外弹道学理论， 射程 X （ m ） 是弹道系数 C、 射角 θ （ rad） 和初速 v g （ m / s） 的函数， 即 X = f（ C， vg ） （ 1） θ，
2 3 i 为弹形系数， d （ m ） 为弹丸 直 径， m 式中： C = id × 10 / m， ［1 ］ （ kg） 为弹丸质量 。 在射角、 ， 弹道系数不变的情况下 初速
航天飞行动力学作业报告-有翼导弹飞行方案和稳定性分析
航天飞行动力学作业报告
——有翼导弹飞行方案和稳定性分析
一、问题描述：
1.在给定的条件下，计算纵向理想弹道，并给出采用瞬时平衡假设
0z
z z z m m δααδ+=
时所有纵向参数随时间的变化曲线。 2.不考虑气动力下洗影响，以第一问得出的弹道为基础，选取并计算作为特性点的5个以上点处的纵向短周期扰动运动的动力系数，并分析其在特性点处的自由扰动的稳定性，以及计算在各个特性点处弹体传递函数
(),(),()y n W s W s W s αδδϑδ 。
二、模型建立：
根据给出的飞行条件进行初步分析，可给出如下假设和简化： 1、 近似认为导弹绕弹体轴的转动是无惯性的。
2、 近似认为导弹控制系统理想工作，既无误差，也无时间延迟。
3、 近似认为各种干扰因素对导弹无任何影响。
4、
由于侧向运动参数与x 与y 方向舵偏角都是小量，因此可近似认为相关参数可以忽略。 5、
近似认为导弹在某个铅锤面内飞行，即其飞行弹道与铅锤面内的弹道差别不大。 6、
近似认为俯仰操纵机构的偏转仅取决于纵向运动参数；偏航、滚转操纵机构的偏转仅取决于侧向运动参数。 根据以上假设，我们可以简化得到以下方程组： 质心移动的动力学方程：
mm
dddd
dddd =PPPPPPPPαα−XX −mmmmPPmm mm θθ mmdd ddθθdddd =PPPPmm mm αα+YY −mmmmPPPPPPθθ
质心移动的运动学方程：
dddd
dddd =Vcos θ dddd
dddd =Vsin θ 质量方程：
ddmm
dddd
=mm 纵向平衡关系式：
弹丸一般运动微分方程组与运动稳定性分析
３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• ３.２.２ 弹丸绕质心运动方程组
• 弹丸绕质心运动由自转和摆动两种运动组成，运动方程在Ｏ′－ｘ１ｙ １ｚ１参考系下立。
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.１ 弹丸飞行动态稳定性的条件
• 微分方程（３－３５）为研究弹丸动态稳定性提供了理论依据。假定 微分方程的系数为常量（实际不是常量），根据常微分方程求解理论 ，方程（３－３５）的全解为
• 速度矢量ｖ与理想弹道间的夹角可用复偏角来表示。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ψ＝ψ２＋ｉψ１（３－１） • 根据上述定义，式中ψ２为偏角在垂直面内的分量，相当于弹道倾角θ
的增量Δθ；ψ１则为侧向分量（负方向）。矢量ｖ的空间方位由相对 于理想弹道的复偏角完全确定。 • ４.弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１与弹体坐标系Ｏ′－ξηζ • 弹轴坐标系原点为弹丸质心Ｏ′，Ｏ′ｘ１轴与弹轴ξ重合，指向弹顶为 正；为了确定Ｏ′ｙ１轴与Ｏ′ｚ１轴在理想弹道坐标系中的方位，采用 φ１、φ２两个角度。首先将坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ绕Ｏ′ｚＩ轴转动φ ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ″位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ１位置， 然后再绕Ｏ′ｙ１轴转动φ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ１位置，Ｏ ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ１位置。
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外弹道学第七章解读
12
二、动力平衡角的表达式
动力矩定理：
u dK M zP dt
u K 1 M z P A p
如果平均弹轴向下转动的角速度ω1，与V下降的角速度 不相等，则认为弹轴不满足追随运动，因为弹轴与速度之 间的夹角过大。
追随运动必须满足条件：1 侧向动力平衡角:
Cr A
s vdt
0
t
sv
g sin i 2 ) [( k 2 bz ) i 21 ( k y by )] 1 s z 1 2 v v
s ( k zz by bx
1 d g cos [ ( ) g cos (i 21 k zz )] 2 v dt v
齐次方程：
d K xz 0 ds
xz xz xz
k s k s k s 解为： e [ k xwv e ds c] e [
k xwv kxz s e c] kxz
由积分起始条件，s=0， 0
第七章 弹丸的旋转与摆动运动规律
1
§7-1 一般概念
质点弹道学：重力、空气阻力，计算质点的运动轨迹。 两种现象：弹丸翻转、弹道偏移 旋转理论 摆动理论 线性理论 非线性理论
2
一、攻角及影响因素 扰动：实际条件下各种因素与理想条件下各种因素的偏差。 影响攻角的因素： 1、弹丸本身的力学性质 所谓一个系统的某种运动是否稳定，指该系统受扰动作用 后的运动，当扰动不大时与未受扰动作用的运动（或理想运 动）之间的偏差是否也足够小。 稳定、渐近稳定 2、扰动因素的大小和变化规律 弹丸飞行稳定性条件只是减小弹丸散布的必要条件 瞬时扰动：起始扰动、阵风 长时间扰动：弹丸的质量偏心、动不平衡、外形不对称。
微分方程稳定性理论简介
第五节 微分方程稳定性理论简介
这里简单介绍下面将要用到的有关内容：
一、 一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程
()dx
f x dt
= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程
()0f x = （2）
的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）
如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足
0lim ()t x t x →∞
= （3）
则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。
将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：
0'()()dx
f x x x dt
=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：
若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点
0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是
0'()0()f x t x t ce x =+ （5）
其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性
方程的一般形式可用两个一阶方程表示为
112212
()
(,)()(,)
dx t f x x dt
dx t g x x dt
常微分方程与运动稳定性-第一篇_图文_图文
其后，许多著名数学家也都遵循这一历 史传统，把数学研究结合于当时许多重大的 实际力学问题，在这些问题中通常离不开常 微分方程的求解法。海王星的发现是通过对 常微分方程的近似计算得到的；十九世纪在 天体力学上的主要成就应功于拉格朗日对线 性常微分方程的工作。
——— 积分因子法
(2.16 )
(2.17)
cc
例. 求解微分方程 解： 计算积分因子
乘以原式两端得 积分得通解：
其中C为任意常数。
通常把通解(2.17)中的不定积分写成变上限的定积分，即
或 初值问题
的解为
(2.18)
线性微分方程的一些性质：
(2.14)
(2.15 )
1. (2.15)的解恒等于零或恒不等于零。 2. 线性方程的解是整体存在的，即(2.14)或(2.15) 的任一解都在 I 上存在。 3. (2.15)任意解的线性组合仍为其解，(2.14)和 (2.15)的任意解之和仍为(2.14)的解，(2.14)的任意 两解之差是(2.15)的解。 4. (2.14)任一解加上(2.15)的通解为(2.14)的通解。
由性质 1 可知 单位矩阵的性质 由幂零矩阵的性质
弹丸动稳定性的物理解释
力 矩 的 方 向使 攻 角平 面 绕 速度 矢 量 向逆 时钟方 向旋 转 时 为 正 ( 从 后 向前 看 )
火 箭弹 与 炮 弹 又 的 表 达 式 完全 相 同 又 适 用于 火 箭 弹
因而 ( 2
.
4)
式和
3 马 格 努 斯 力 矩对 稳 定性 的 影 响
了一
.
由 (2
.
4
)
、
(2
,
.
5)
2)
式和 ( 2
.
3)
式
,
并忽 略 阻
力 和 重 力项 ( 因 阻 力和 重 力项 较 小 )
。 哈其
得 快 圆运 动 的 稳 定 条件 为
-
一
丫 七 训
.
,
/ 万一 一
,
1
/
1
又
一
-
气 苏尸 一
了 、+
:
F
。
l
一
/
渝 八二
了 切二
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刁
.
狡洲
一
`
一 一万一 /万 、
`
.
一凡
一
` 厂访
一
Z ld
> ”
.
有 时 会 使 慢 圆 运动 不 稳定
,
。
但有 时 也 会 使 慢 圆运 动 发散
南京理工大学第三章 弹丸发射安全性及膛内运动正确性分析(2)
第章
第三章
弹丸射
弹丸发射安全性
及膛内运动正确性分析
(一) 弹底上的受力与变形分析将弹底看成一块周边受到夹持的圆板。
（二）平底弹底的弯曲强度分析
平底弹底的应力分析是将其简化为一周边夹持的圆板。利用均布载荷的圆板弯曲公式计算。
还应对得到的弹底应力进行修正。
将弹尾部看成端部受力偶作用的空圆筒，并分析其角变形。
将弹体壁简化为弹性基础梁，按弹性理论分析。
得到弹底圆板内任一点的径向压力与切向压力：
()⎪⎪⎧⎥⎤⎢⎡−⎟⎟⎞⎜⎜⎛−+=K r r r p t z d z r 213432222μσ()()⎪⎪⎩
⎨⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−+=⎥⎦⎢⎣⎠⎝K r r r p t z d d z d t d d 2313432222μμσ
根据弹底变形的性质，分析四个危险点的位置。第一点：
2,0d t z r ==第二点：
第三点：
2,0d t z r −==,d t z r r ==第四点：2d 2
,d d t z r r −==用第四强度理论校核：2221
σσσσσσσ−+−+−=
强度条件为：()()()2z t t r r z i 2
.0σσ≤i 平底弹弹底强度简化公式：
弹底应力的修正
上述分析忽略了径向载荷p的作用，只考虑了轴向载荷的作用，修正时，将径向载荷p产生的径向应力与切向应力迭z p 加上去。
弹底圆板的径向载荷为圆板周边上承受径向均布压力p，是一个均匀受载问题。圆板上任意一点的应力为：
p
p t r −=−=σσ, 修正公式计算的各点相当应力值较小，对改进弹底设计有利。在满足发射强度要求的条件下，弹底厚度取最小值。
常微分方程与运动稳定性_第一篇1
牛顿最早采用数学方法研究二体问题中的 常微分运动方程，从而在理论上证实了地球 绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时 关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。另 外，莱布尼兹也经常与牛顿在通信中互相提 出求解微分方程的挑战。
其后，许多著名数学家也都遵循这一历 史传统，把数学研究结合于当时许多重大的 实际力学问题，在这些问题中通常离不开常 微分方程的求解法。海王星的发现是通过对 常微分方程的近似计算得到的；十九世纪在 天体力学上的主要成就应功于拉格朗日对线 性常微分方程的工作。 自本世纪二十年代以来，常微分方程的 应用范围更是不断扩大并深入到机械，电讯 ，化工，生物，航空航天，经济和其它社会 学科的各个领域，各种成功的实例是不胜枚 举的。
2
(1.2)
x 1 5 x ,
4
解:
y 1
5
x ,
4
y 1
..
y C
x
1
5
x
4
对于微分方程(1.5)： 2 0 ,
3 sin at , 7 cos at
分别都是在区间(-∞, +∞)上的一个解.
C 1 sin at C 2 cos at
因为曲线 与方向场吻合，所以 ( x ) f ( x , ( x )), ( x J ) 这就证明了曲线 是方程 (1 . 7 )的一条积分曲线。
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• ３.２.２ 弹丸绕质心运动方程组
• 弹丸绕质心运动由自转和摆动两种运动组成，运动方程在Ｏ′－ｘ１ｙ １ｚ１参考系下立。
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• ３.３.１ 弹丸飞行动态稳定性的条件
• 微分方程（３－３５）为研究弹丸动态稳定性提供了理论依据。假定 微分方程的系数为常量（实际不是常量），根据常微分方程求解理论 ，方程（３－３５）的全解为
ｚ２先绕Ｏ′ｚ２转动δ２（正方向），将Ｏ′ｘ２和Ｏ′ｙ２分别转到Ｏ′ｘ′ ２和Ｏ′ｙ１，然后再绕Ｏ′ｙ１转动δ１（负方向），使Ｏ′ｘ′２和Ｏ′ｚ２ 轴分别转到Ｏ′ｘ１和Ｏ′ｚ１位置。于是用δ１和δ２两个角度即可确定 弹轴在速度坐标系内的方位。弹轴坐标系与速度坐标系的关系如图３ －３所示。弹轴坐标系与速度坐标系间的转换关系见表３－４。
• ΔΣ＝Ｃ１ｅｋ１ｓ＋Ｃ２ｅｋ２ｓ＋Δｐ（３－３６） • 式中，右端第三项为非齐次方程（３－３５）的特解，而前两项为其
齐次方程的一般解。其中指数ｋ１、ｋ２为齐次方程的特征值 • ｋ２＋（２Ｂ１－ｉ２α１）ｋ－(ｋｚ＋ｉ４α１Ｂ２)＝０（３－３７） • 的两个根
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
• 以地面固联坐标系来列出弹丸质心运动的方程 • ｍ*ｄｖ/ｄｔ＝Ｆ（３－１９） • 式中，ｄｖ／ｄｔ是相对地面坐标系的加速度；Ｆ是作用于弹丸上的
外力之和。由于速度坐标系的转动角速度为
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.２ 弹丸一般运动微分方程组
• 要列出弹丸的一般运动微分方程组，尚需以下述假设为前提： • ①弹丸外形及质量分布均为轴对称刚体，因而弹轴为一惯性主轴，且
质心位于弹轴线上； • ②弹丸只受３.１节所述全部外力及外力矩的作用； • ③攻角δ较小（即线性关系成立）。
• ３.２.１ 质心运动方程
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 在上述推导弹轴坐标系与速度坐标系的关系时，隐含假定δ１、δ２、 ψ２为一阶小量。
• ３.１.２ 作用于弹丸上的全部力及力矩
• 作用在弹丸上的力和力矩有：重力、空气动力及其力矩。为了便于列 出运动方程，将所有的力向速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２分解，将所 有的力矩向弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１分解。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 可见ｘ１Ｏ′ｙ１组成的平面始终是包含弹轴ξ的垂直平面。表３－２给 出了弹轴坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。
• ５.弹轴坐标系与速度坐标系的关系 • 为了确定弹轴在速度坐标系内的位置，可将速度坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２
• 速度矢量ｖ与理想弹道间的夹角可用复偏角来表示。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ψ＝ψ２＋ｉψ１（３－１） • 根据上述定义，式中ψ２为偏角在垂直面内的分量，相当于弹道倾角θ
的增量Δθ；ψ１则为侧向分量（负方向）。矢量ｖ的空间方位由相对 于理想弹道的复偏角完全确定。 • ４.弹轴坐标系Ｏ′－ｘ１ｙ１ｚ１与弹体坐标系Ｏ′－ξηζ • 弹轴坐标系原点为弹丸质心Ｏ′，Ｏ′ｘ１轴与弹轴ξ重合，指向弹顶为 正；为了确定Ｏ′ｙ１轴与Ｏ′ｚ１轴在理想弹道坐标系中的方位，采用 φ１、φ２两个角度。首先将坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ绕Ｏ′ｚＩ轴转动φ ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ″位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ１位置， 然后再绕Ｏ′ｙ１轴转动φ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ１位置，Ｏ ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ１位置。
• １.地面固联坐标系Ｏ－ｘｙｚ • 即以地球为惯性参考系的直角坐标系，已在第１章中应用，Biblioteka Baidu要用于
确定弹丸质心坐标，也能作为确定弹轴和速度方向的基准。即取水平 面向炮口的方向为ｘ轴方向，取铅垂向上的方向为ｙ轴方向，ｚ轴方 向由右手法则确定，坐标原点Ｏ取在炮口。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ２.理想弹道坐标系Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ • 该坐标系用英文字母Ｉ下标，以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘＩ轴为理想
弹道切线方向，向前为正；Ｏ′ｙＩ轴在垂直平面内与Ｏ′ｘＩ垂直，向 上为正；Ｏ′ｚＩ按右手法则确定（如图３－１所示）。Ｏ′ｘＩ轴与水 平面的夹角为理想弹道的弹道倾角θ。显然理想弹道坐标系既非固定 坐标系，也非平动坐标系，不仅其坐标原点是运动的，而且Ｏ′ｘＩ与 Ｏ′ｙＩ的方向也随着θ的变化在改变，但Ｏ′ｚＩ轴始终保持与射击面 垂直。 • ３.弹道坐标系Ｏ′－ｘ２ｙ２ｚ２ • 由于研究弹丸质心运动及计算空气动力常以弹道坐标系为参考，故该 坐标系又称为速度坐标系或自然坐标系。
第３章 弹丸一般运动微分方程组与运 动稳定性分析
• ３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的力和力 矩
• ３.２ 弹丸一般运动微分方程组 • ３.３ 弹丸动态稳定性的分析
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• ３.１.１ 坐标系
• 描述弹丸运动规律的坐标系多种多样，因研究的重点不同，可以选用 更为适宜的坐标系。此处仅介绍几种常用的坐标系。
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３.１ 坐标系，作用于弹丸上的全部的 力和力矩
• 该坐标系以弹丸质心Ｏ′为原点，Ｏ′ｘ２与速度矢量ｖ重合且其正向与 ｖ相同。为了确定Ｏ′ｙ２轴与Ｏ′ｚ２轴在理想弹道坐标系中的方位， 采用ψ１、ψ２两个角度。首先将Ｏ′－ｘＩｙＩｚＩ坐标系绕Ｏ′ｚＩ轴转 动ψ２（正方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ′位置，Ｏ′ｙＩ转到Ｏ′ｙ２位置 ，然后再绕Ｏ′ｙ２轴转动ψ１（负方向），使Ｏ′ｘＩ转到Ｏ′ｘ２位置， Ｏ′ｚＩ转到Ｏ′ｚ２位置。可见ｘ２Ｏ′ｙ２组成的平面始终是包含速度 矢量ｖ的垂直平面。整个坐标系如图３－１所示。表３－１给出了速 度坐标系与理想弹道坐标系间的转换关系，即方向余弦关系。