随机事件的概率知识点总结

随机事件的概率

一、事件

1．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．

2．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．

3．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．

二、概率和频率

1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．

2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现

的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A

n

为事件A出现的频率．

3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．

三、事件的关系与运算

四、概率的几个基本性质

1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

2．必然事件的概率P(E)＝1.

3．不可能事件的概率P(F)＝0.

4．概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

5．对立事件的概率：

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

1.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是( )

A．P(M)＝1

3

P(N)＝

1

2

B．P(M)＝1

2

P(N)＝

1

2

C．P(M)＝1

3

P(N)＝

3

4

D．P(M)＝1

2

P(N)＝

3

4

解析：选D 由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)．

故P(M)＝1

2

，P(N)＝

3

4

.

2．(2012·)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )

A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有二个红球

解析：选D A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D

中的两个互斥而不对立．

3．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为m

n

，当n很大时，P(A)与

m

n

的关系是( )

A．P(A)≈m

n

B．P(A)＜

m

n

C．P(A)＞m

n

D．P(A)＝

m

n

解析：选A 事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．

4． 2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛．中国选手获胜的概率为.战平的概率为，那么中国选手不输的概率为________．

解析：中国选手不输的概率为＋＝.

答案：

5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．

解析：(文)取出的两个数用数对表示，则数对(a，b)共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)．其中a＜b的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，

故所求概率P＝

3

15

＝

1

5

.

(理)从{1,2,3,4,5}中任取一数a，从{1,2,3}中任取一数b，共有5×3＝15种取法，满

足a＜b的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3种，故所求概率P＝

3

15

＝

1

5

.

答案：1 5

1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

2．从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A的对立事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

典型例题

[例1] (2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．

[自主解答] (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20

100

＝

1

4

，用频率估计概率，所

以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为1

4

.

(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75

个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为75

145＝

15

29

，用频率估计概率，

所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为15 29

.

1．概率是一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法．

2．概率公式P＝m

n

(n次试验中，事件A出现m次)．

1．(2012·泰安月考)在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10 000元，某人摸中一等奖的概率是，这是指( )

A．这个人抽1 000次，必有1次中一等奖

B．这人个每抽一次，就得奖金10 000×＝10元

C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是

D．以上说法都不正确

解析：选C 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是，而不能说这个人抽1 000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10 000×＝10元，因此选C.

[例2] (2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：