概率论自测试题

课程号：
《概率论与数理统计》自测试卷
考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟
专业 班号 学号 姓名 得分
注意：所有答案请写在答题纸上，写清题号，否则无效。

一、填空题（本题20分，每题5分，共4题）
1、已知P(A)=0.4，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则P(AUB)= __0.9 ；
2、某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为
15
16
，则此前锋在一次射门中进球的概率为 12；
3、设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布， 已知E(X)+ D(X) =5，则参数λ等于 _2.5 ；
4、假设来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96） (3.04, 6.96) .
【解答】
1、 已知P(A)=0.4，，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则由有限可加性有P(AUB)=0.4+0.5=0.9
2、
某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为
1516，则1516
=1-4
(1)p -，从而此射手在一次射击中命中的概率为p=
1
2。

3、
由Poisson 分布数学期望和方差的性质有E(X)+ D(X) =5 即λλλ+==25，从而，λ=2.5.
4、来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的
双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96
）在方差已知的条件下是⎛⎫± ⎝X ，代入数据得置信区间(5-1.96, 5+1.96) =(3.04, 6.96) 。

二、选择题（本题20分，每题5分，共4题）
1、一酒鬼带着n 把钥匙回家,只有一把是门钥匙。

他随手摸1把，总共摸了n 次，(提示：酒鬼的特征是失忆即无记忆性，每次可能重复摸到任何一把钥匙)。

设随机变量X 为摸到门钥匙的总次数，则X 服从的分布为____C______
A 、泊松分布；
B 、正态分布；
C 、二项分布；
D 、指数分布； 【解答】 1
(,)X
B n n
二项分布。

2、设随机变量X 服从二项分布(,)X B n p ，
且随机变量X 的期望和方差分别为E(X)=2.4， D(X)=1.44，则参数分别是 C
A 、==4,0.6n p
B 、==8,0.3n p
C 、==6,0.4n p
D 、==24,0.1n p
【解答】由EX ==2.4np ，=-=(1) 1.44DX np p 解得==6,0.4n p 。

3、设某拳击手在2006年内的体重X 为服从正态分布的随机变量：2(90,0.5)X
N （单位：公斤）
，则体重X 小于89公斤的概率{89}P X <为（已知标准正态分布函数值Φ=(2)0.9772） __C___ A 、0.9772 B 、0
C 、0.0228
D 、1
【解答】由对立事件概率及正态分布函数的性质，
{89}P X <8990(2)1(2)10.97720.02280.5-⎛⎫
=Φ=Φ-=-Φ=-= ⎪⎝⎭。

4、将一枚硬币反复抛掷 n 次，设随机变量 X ,Y 分别表示正面和反面向上的次数，则 X ,Y 之相关系数为__C_
A 、1
B 、0
C 、－1
D 、1/2
【解答】X ,Y “负线性相关”，即Y=n-X, 故X ,Y 之相关系数为 -1.
三、（本题满分10分）
德国大众汽车公司的“甲壳虫”汽车方向盘分别由天津一汽（甲厂）、重庆力帆（乙厂）两个厂家生产，产量之比为3：1，且次品率分别为1%、2%. 某质监员随机地取一件方向盘，发现是次品，求该方向盘为天津一汽（甲厂）生产的概率是多少？
【解答】分别假设事件A: 产品由天津一汽（甲厂）生产;事件B: 产品由重庆力帆（乙厂）生产; 事件C: 随机地取一件方向盘，发现是次品， 由Bayes 公式，()P A C =
()()()()()()P A P C A P A P C A P B P C B +=⨯⨯+⨯0.750.01
0.750.010.250.02
=
+0.750.750.5=
==753
0.61255
即该方向盘为天津一汽（甲厂）生产的概率是0.6. 【解毕】 四、（本题满分10分）
设五道口商场的“MetersBonwe ”牌茄克的月需求量R 是一个随机变量，均匀分布在10000至 15000 之间．求R 的概率密度及R 落在12000 ~ 13500之间的概率． 【解答】
由题意,R 的概率密度为(记变量相应取值为r) 因此{1200013500}P R <≤= 1350012000115003
d .5000500010
r ===⎰
【解毕】
五、（本题满分10分）
二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：26,,(,)0,.
x y x f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他
求边缘概率密度().X f x
【解答】
求边缘概率密度： 当01
x ≤
≤，+∞
-∞
=
⎰
()(,)d X f x f x y y 226d 6().x
x
y x x ==-⎰， 其他情况()0f x =；
【解毕】 六、（本题满分10分）
太平洋保险公司约定，若一年内客户口投保的意外事件 A 发生(如车辆遭遇盗抢)， 则赔偿客户1万元；设一年内事件A 发生的概率为0.05 ,为使公司收益的期望达到1千元，保险公司应要求客户缴纳多少 保险金？ 【解答】
设保险公司要求客户缴纳保险金额度为 x 元，离散型随机变量 X 为公司收益， X 的所有可能取值为:
X=x ,若一年内事件 A 未发生，概率 q=1-p=0.95；
X=x-a=x-10000 ,若一年内事件 A 发生，概率 p=0.05；
⎩⎨
⎧≤≤-=.,
0,
10),(6)(2其他因而得x x x x f X 1(1500010000),1000015000,()0,.
r f r -<<⎧=⎨⎩
其他
故随机变量 X 的分布律为
公司收益的期望为
EX=x(1-p)+(x-a)p=x-ap=x-10000*0.05=x-500
为使公司收益的期望达到1千元，即x-500=1000,即x=1500. 保险公司应要求客户缴纳1500元保险金. 七、（本题满分15分） 总体X 的概率密度为：
(1)()0
x f x θ
θ⎧+=⎨
⎩ 10x >>其它，求未知参数θ的极大似然估计量。

【解答】
求θ的极大似然估计量：“三步走”策略―― 1、构造极大似然函数：
(,)i L x θ=1
(,)n i i f x θ=∏=1
(1)n
i i x θ
θ=+∏=1
(1)
n
n
i i x θθ=+∏
2、对极大似然函数取对数：
ln (,)i L x θ =1
ln[(1)
]n
n
i
i x
θθ=+∏=1
ln(1)ln n
i i n x θθ=++∑
3、建立对数似然方程并求解：
令ln (,)
i d L x d θθ=1
ln 1n
i i n x θ=++∑=0，求解得 θ的极大似然估计量ˆθ
=1
1ln n
i
i n
x
=--∑。

【解毕】
八、（本题满分5分） 已知随机变量()X
t n ,求证2
(1,)X F n 。

【证明】由统计量的构造式定义形式，总体()X t n ，则存在相互独立的随机变量(0,1)U
N 与V ~χ2()
n
相互独立，使得X =
，于是由F-统计量的构造式定义
2
222
/1(1,)//U U X F n V n V n
===【证毕】。