初等数论练习题及答案

初等数论练习题一

一、填空题

1、τ(2420)=27；ϕ(2420)=_880_

2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.

3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.

4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。.

6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7

8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p

- 1≡1(mod p )的解数为二、计算题

1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，

同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)，

同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)，

同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)，

故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)，

其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，

由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？

11074217

271071107713231071107311072107

710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（

）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

解：易知1271≡50（mod 111）。

由502≡58（mod 111），503≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111）

从而5056≡16（mod 111）。

故（127156+34）28≡（16+34）28≡5028≡70（mod 111）

三、证明题

1、已知p 是质数，（a ，p ）=1，证明：

（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)；

（2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。

证明：由欧拉定理知a p-1≡1 (mod p)及(p-1)a ≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。

2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a

≡1(mod 2n+2)。…………… （1） 证明 设a = 2m +1，当n = 1时，有

a 2 = (2m +1)2 = 4m (m +1)+1≡1 (mod 23)，即原式成立。

设原式对于n = k 成立，则有k a

2≡1 (mod 2k +2) ⇒k a 2= 1+q 2k +2， 其中q ∈Z ，所以12+k a = (1+q 2k +2)2 = 1+q '2k +3≡1 (mod 2k +3)，

其中q '是某个整数。这说明式(1)当n = k +1也成立。

由归纳法知原式对所有正整数n 成立。

3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k

p 1C -≡ （-1 ）k (mod p )。

证明：设A=!

)()2(1C 1k k p p p k

p ---=- ）（ 得： k!·A =（p-1）(p-2)…（p-k ）≡（-1）(-2)…（-k ）(mod p )

又（k!，p ）=1，故A=k p 1

C -≡ （-1 ）k (mod p ) 4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。

说明：因为84=4×3×7，所以，只需证明：

p 6≡1(mod 4) p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7) 同时成立即可。

证明：因为84=4×3×7及p 是不等于3和7的奇质数，所以

（p ，4）=1，（p ，3）=1，（p ，7）=1。

由欧拉定理知：p ϕ(4)≡p 2≡1(mod 4)，从而 p 6≡1(mod 4)。

同理可证：p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7)。故有p 6≡1(mod 84)。

注：设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 168)。（见赵继源p86）

初等数论练习题二

一、填空题

1、τ(1000)=_16_；（除数函数：因数的个数）σ(1000)=_2340_.（和函数：所有因数的和）

2、2010!的规范分解式中，质数11的次数是199__.

3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n

22+1，这种数中最小的合数Fn 中的n=5。

4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是x ≡29(mod 31)___

5、分母不大于m 的既约真分数的个数为ϕ(2)+ϕ(3)+…+ϕ(m )。

6、设7∣(80n -1)，则最小的正整数n=_6__.

7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__559__.

8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10146=_1__. 9、若p 是质数，n ∣p -1，则同余方程x n ≡ 1 (mod p ) 的解数为n .

二、计算题

1、试求200420032002被19除所得的余数。

解：由2002≡7 (mod 19)20022≡11(mod 19)20023≡1 (mod 19)

又由20032004≡22004≡（22）1002≡1 (mod 3)可得：

200420032002≡20023n+1≡(20023)n ×2002≡7(mod 19)

2、解同余方程3x 14+4x 10+ 6x -18 ≡0 (mod 5)。

解：由Fermat 定理，x 5≡x (mod 5)，因此，原同余方程等价于2x 2+x - 3≡0 (mod 5)

将x ≡ 0，±1，±2 (mod 5)分别代入上式进行验证，可知这个同余方程解是x ≡ 1 (mod 5)。

3、已知a=5，m=21，求使a x ≡ 1 (mod m)成立的最小自然数x 。

解：因为（5，21）=1，所以有欧拉定理知5ϕ(21)≡1(mod 21)。

又由于ϕ(21)=12，所以x |12，而12的所有正因数为1，2，3，4，6，12。

于是x 应为其中使5x ≡ 1 (mod12)成立的最小数，经计算知：x=6。