椭圆曲线实例
密码学椭圆曲线的嵌入例题
密码学椭圆曲线的嵌入例题密码学中，椭圆曲线是一种常用的加密算法，它基于椭圆曲线上的离散对数问题，具有高度安全性和效率。
下面是一个关于椭圆曲线的嵌入例题，从多个角度进行全面的回答。
例题，假设我们有一个椭圆曲线E，其方程为y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是曲线的参数。
现给定曲线E的参数为a = 2，b = 3，求曲线E的所有点。
回答：从代数的角度来看，我们可以通过将参数a和b代入椭圆曲线方程来求解曲线E的所有点。
将a = 2，b = 3代入方程y^2 = x^3 + ax + b，得到y^2 = x^3 + 2x + 3。
然后我们可以使用数值计算的方法，例如穷举法或者使用计算机程序，来找到满足该方程的所有整数点或有理数点。
通过计算，我们可以找到曲线E的所有点。
从几何的角度来看，椭圆曲线是一个平面上的曲线，其点的集合形成了一个封闭的曲线。
曲线E的所有点包括无穷远处的一个特殊点O，以及其他有限个点。
这些点具有特定的几何性质，例如曲线上的两个点可以通过曲线的斜率来连接，得到曲线上的另一个点。
通过使用这些几何性质，我们可以逐步确定曲线E的所有点。
从密码学的角度来看，椭圆曲线的嵌入是指将曲线E定义在一个有限域上，以便在密码学中应用。
常用的有限域是有限素数域GF(p)，其中p是一个素数。
在密码学中，曲线E的参数a和b以及有限域的素数p被选取为保密的参数，以确保曲线的安全性。
通过在有限域上定义椭圆曲线，我们可以进行各种密码学操作，例如点的加法、倍乘等，从而实现加密和签名等功能。
从计算机科学的角度来看，椭圆曲线的嵌入是指将曲线E的参数和点的坐标表示为计算机可以处理的格式。
通常，我们使用有限域上的二进制表示来表示椭圆曲线的参数和点的坐标。
例如，可以使用二进制位串来表示参数a和b，以及点的坐标x和y。
在计算机中，我们可以使用特定的算法和数据结构来实现椭圆曲线的各种操作，例如点的加法、倍乘等。
这样，我们可以在计算机系统中高效地进行椭圆曲线的计算和应用。
第十一讲-椭圆曲线
1984年，Hendrik Lenstra提出了依靠椭圆曲 线性质分解整数的精妙算法。这一发现激 发了学者进一步研究椭圆曲线在密码和计 算数论的其它应用。
椭圆曲线密码在1985年分别由Neal Koblitz 和Victor Miller提出。椭圆曲线密码方案为 公钥机制，提供如同RSA一样的功能。但是 ，它的安全性依赖不同的困难问题，也就是 椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)。
2.3 加法法则(续) 弦和切线法则(续)
2.3 加法法则(续)
No Image
2.3 加法法则(续)
2.3 加法法则(续) 代数公式
2.3 加法法则(续)
3 有限域上的椭圆曲线
3.1 模素数p的椭圆曲线，p≠2，3情形 3.1.1 加法法则
3.1.2 例子
3.1.2 例子(续)
3.2 有限域GF(2n)上的椭圆曲线
我们知道解决分解整数问题需要亚指数时间
复杂度的算法，而目前已知计算ECDLP的
最好方法都需要全指数时间复杂度。这意味
着在椭圆曲线系统中我们只需要使用相对于 RSA 短多的密钥就可以达到与其相同的 安全强度。例如，一般认为160比特的椭圆 曲线密钥提供的安全强度与1024比特RSA密
钥相当。使用短的密钥的好处在于加解密速 度快、节省能源、节省带宽、存储空间。
5.1 椭圆曲线分解算法
5.1 椭圆曲线分解算法(续)
5.1 椭圆曲线分解算法(续)
5.1 椭圆曲线分解算法(续)
5.1 椭圆曲线分解算法(续)
5.1 椭圆曲线分解算法(续)
5.2 退化曲线
5.2 退化曲线(续)
4.1 明文表示(续)
4.2 椭圆曲线ElGamal密码系统
椭圆曲线——精选推荐
椭圆曲线⼀、概述椭圆曲线加密算法依赖于椭圆曲线理论，后者理论涵盖的知识⽐较深⼴，⽽且涉及数论中⽐较深奥的问题。
经过数学家⼏百年的研究积累，已经有很多重要的成果，⼀些很棘⼿的数学难题依赖椭圆曲线理论得以解决（⽐如费马⼤定理）。
本⽂涉及的椭圆曲线知识只是抽取与密码学相关的很⼩的⼀个⾓落，涉及到很浅的理论的知识，同时也是⼀点⽐较肤浅的总结和认识，重点是利⽤椭圆曲线结合数学技巧阐述加密算法的过程和原理。
本⽂特意构造有⽐较多的实例⽅便理解其过程和原理。
⼆、椭圆曲线椭圆曲线⽅程来源于椭圆积分，后者来最初来源于计算椭圆周长的问题，有⼀段时间的历史了，在欧拉时期就开始研究。
椭圆周长没有精确的初等函数的公式表⽰，只有近似的公式表⽰，精确的椭圆周长可以⽤不定积分表⽰。
现在⼀般将形如如下形式的积分定义为椭圆积分：其中R是其两个参数的有理函数，P是⼀个⽆重根的3或4阶多项式，⽽c是⼀个常数。
椭圆曲线⽅程与P(t)表现形式⽐较相像。
数学上的椭圆曲线⼀般由如下形式给出：椭圆曲线都是关于X轴对称的曲线。
典型的椭圆曲线如：，其图像为：更多的椭圆曲线图像：限定Δ不为零有特殊的意义。
如果判别式Δ(E)等于零，由三次⽅程判别式判定理可知，⽅程x3+ax2+bx+c=0存在⼆重根或者三重根，曲线表现为"⾃相交"或者有“尖点”。
两个典型的例⼦是:在密码学中⽤到的椭圆曲线⽅程⼀般限定为：也即是这⾥的⼆次项系数为0。
三、椭圆曲线算术椭圆曲线上可以定义⼀些很有意思的特殊运算规则。
⼀般来说会定义两种运算：加法和数乘运算。
加法运算是点与点之间的运算；数乘运算基于加法运算，重复的加法运算就是数乘。
1、实数域的加法运算1.1、加法运算的⼏何解释已知椭圆曲线上两个不同的点P和Q，则这两个点之和R=P+Q可以通过如下操作得到：过P、Q两点做直线L，与椭圆曲线相交于第三点，该点关于X轴的对称点即是所求的R点。
椭圆曲线的这种加法运算有⽐较明确的⼏何含义。
椭圆曲线算法的基本原理及实现
椭圆曲线算法的基本原理及实现1、基本概念1）椭圆曲线⽅程的⼀般形式：y^2 = x^3 + a*x + b，其中要求满⾜不等式 4*a^3 + 27*b^2 ≠ 0例如：y^2 = x^3 + x + 1 mod 232）椭圆曲线上的点的加法公式（适⽤于 P ≠ Q 的情况）：设 P = (x1, y1)，Q = (x2, y2)，P + Q = R = (x3, y3)，t = (y2-y1)/(x2-x1)，x3 = t^2 -x1 - x2，y3 = t*(x1 - x3) - y13）椭圆曲线上的点的加法公式（当上⾯的 P = Q 时）：P + P = R = (x3, y3)，t = (3*x1^2+a)/(2*y1)，x3 = t^2 - x1 - x1，y3 = t*(x1 - x3) - y12、准备步骤1）随机⽣成⼀个数 d 做私钥2）选椭圆曲线上的⼀个点 P，计算 Q = d*P 做公钥设 A 要加密 M 送给 B，B 的私钥为 d，公钥为 Q = d*P 3、加密过程1）A 随机⽣成⼀个数 k2）计算 k*P 和 k*Q3）取 k*Q 的横坐标与 M 异或得到密⽂ C4）A 发送 k*P 和密⽂ C 给 B4、解密过程1）B ⽤⾃⼰的私钥 d 计算 d*(k*P)2）B ⽤ d*(k*P) 的横坐标与密⽂ C 异或得到 M5、加密及解密的实现1import java.util.ArrayList;2import java.util.HashMap;34public class Main {5// 选⽤的椭圆曲线为 y^2 = x^3 + x + 1 mod 236private static int a = 1, b = 1;7private static HashMap<Integer, Integer> myPoints = new HashMap<>(); 8private static final int MAX = 255;910public static void main(String[] args) {11// 明⽂和密⽂数组的初始化12char[] myInfo = "1700802067GJQ".toCharArray();13int[] i_mingwen = new int[myInfo.length];14int[] miwen = new int[i_mingwen.length];15char[] c_mingwen = new char[miwen.length];16for (int i = 0; i < myInfo.length; i++) {17 i_mingwen[i] = (int)myInfo[i];18 }1920// 初始化椭圆曲线上的整数点21 initPoints();2223// 显⽰椭圆曲线上的整数点24// showPoints();2526// 获取椭圆曲线上点的横坐标集合27 Object[] objArr = myPoints.keySet().toArray();28 ArrayList<Integer> myList = new ArrayList<>();29for (Object o: objArr) {30 myList.add((Integer) o);31 }3233// 随机取椭圆曲线上⼀个点34int Px = myList.get((int)(Math.random()*myList.size()));35int Py = myPoints.get(Px);36 MyPoint p = new MyPoint(Px, Py);3738// 随机取⼀个 8bit 的数作为私钥39int d = (int)(Math.random()*MAX) + 1;40// 计算Q41 MyPoint Q = new MyPoint(p);42 myECC(Q, 1, d);4344// 随机取⼀个 8bit 的数k45int k = (int)(Math.random()*MAX) + 1;4647// 计算 k*P 和 k*Q48 MyPoint kP = new MyPoint(p);49 myECC(kP, 1, k);50 MyPoint kQ = new MyPoint(Q);51 myECC(kQ, 1, k);5253// 加密54int kQx = kQ.getX();55for (int i = 0; i < i_mingwen.length; i++) {56 miwen[i] = i_mingwen[i] ^ kQx;57 }5859// 计算d*(k*P)60 MyPoint dkP = new MyPoint(kP);61 myECC(dkP, 1, d);6263// 解密64int dkPx = dkP.getX();65for (int i = 0; i < miwen.length; i++) {66 c_mingwen[i] = (char) (miwen[i] ^ dkPx);67 }6869// 输出对密⽂解密后的明⽂70 System.out.println(c_mingwen);71 }7273public static void initPoints() {74double y;75for (int i = 0; i < 23; i++) {76 y = Math.sqrt((Math.pow(i, 3) + i + 1)%23);77if (y == (int)y) myPoints.put(i, (int)y);78 }79 }8081public static void myECC(MyPoint p, int i, int d){82if (i < d) {83int t = (3*(int)Math.pow(p.getX(), 2)+a)/(2*p.getY());84int x = (int)(Math.pow(t, 2)) - 2*p.getX();85int y = t*(p.getX() - x) - p.getY();86 p.setX(x);87 p.setY(y);88 myECC(p, i+1, d);89 }90 }9192public static void showPoints() {93 myPoints.forEach((k, v) -> {94 System.out.println("key: " + k + ", " + "value: " + v);95 });96 }97 }9899class MyPoint {100private int x;101private int y;102 MyPoint() {}103 MyPoint(int x, int y) {104this.x = x;105this.y = y;106 }107 MyPoint(MyPoint P) {108this.x = P.getX();109this.y = P.getY();110 }111public void setX(int x) {112this.x = x;113 }114public void setY(int y) {115this.y = y;116 }117public int getX() {118return this.x;119 }120public int getY() {121return this.y;122 }123 }6、注解：1）A ⽤ k*P 与 B ⽤ d*(k*P) = k*(d*P) = k*Q2）经过两次异或得到原⽂（明⽂）参考⽂档：https:///view/ff42b6610b1c59eef8c7b477.html遇到的疑问（已解决）：1）Objct[] 数组不能直接转换为 ArrayList。
椭圆曲线的基本概念
椭圆曲线的基本概念椭圆曲线设F是⼀个域，a,b∈F，则⽅程y2=x3+ax+b称为域F上的椭圆曲线。
上述⽅程称为维尔斯特拉斯⽅程，其判别式为y2+axy+by=x3+cx2+dx+e⽐如，实数域上的椭圆曲线如下：椭圆曲线上的加法：设F是⼀个域，a,b∈F，令E={(x,y)|y2=x3+ax+b}∪{∞}，其中{∞}为⽆穷远点，则可以定义椭圆曲线上的加法为：1)设P1,P2∈E，令R为P1,P2两点连线与椭圆曲线的交点关于X轴的对称点，则P1+P2=R2)如果P1,P2两点关于X轴对称，那么规定他们连线与椭圆曲线相交于⽆穷远点，记为O3)任何⼀个点通过上⾯的运算规则与O相加的和都是它本⾝椭圆曲线上的加法的性质：∀P,Q,R∈E，如果P,Q,R在⼀条直线上，那么P+Q+R=O定理：若规定O+O=O，则(E,+)构成⼀个阿贝尔群（交换群），其中∞为单位元，记为O，P=(x,y)的逆元为Q=(x,-y)实例：设y2=x3+x+6是F11上的椭圆曲线，求(3,6)+(5,2)k=6−23−5=9y-6=k(x-3)y=9x+1将上式代⼊y2=x3+x+6中得：(9x+1)2=x3+x+6=x3+7x2+5x+5(x-3)(x-5)(x-7)=0∴ x=7y=9x+1=9∴(3,6)+(5,2)=(7,-9)=(7,2)椭圆曲线密码以下三类公钥系统被认为是安全有效的:1. 基于⼤整数分解问题的RSA型公钥密码；2. 基于有限域上离散对数问题的ElGamal型公钥密码；3. 基于椭圆曲线离散对数问题的椭圆曲线公钥密码。
椭圆曲线公钥密码优势：对于椭圆曲线离散对数问题，⽬前不存在亚指数时间算法，从⽽为达到相同安全性所需的密钥尺⼨更⼩:– RSA 密码体制：模长1024 ⽐特；– 椭圆曲线密码体制：模长160 ⽐特。
椭圆曲线密码体制适⽤于计算、存储、带宽受限，但⼜要求⾼速实现的应⽤领域，例如智能卡、⽆线通讯等。
El'Gamal密码⽅案的椭圆曲线形式：Gen：设E为F q上的椭圆曲线，⼀般记为E(F q)，设P = (x p,y p)∈E(F q)，且P的次数⾜够⼤，任取1 < s < ord(P)，令Q = sP = (x q,y q)，则E(F q)，P，Q为公钥，s为私钥Enc：消息m满⾜0 ≤ m < F q，任取1 < r < F q，计算(x1,y1) = rP，(x2,y2) = rQ，c = m·x2，则密⽂为(x1,y1,c)Dec：计算(x',y') = s(x1,y1)，再计算m'=c·x′−1正确性验证：(x',y') = s(x1,y1) = srP = rsP = rQ = (x2,y2)，所以x' = x2，m' = c·x′−1 = c·x−12 = m·x2·x−12 = mProcessing math: 100%。
椭圆曲线y^2x^3135x278的整数点
２９
是 （３）的 正 整 数 解 ）的 最 小 数 ，则 （３）式 的 一 切 正 整 数 解 可 由 下 式 确 定
ｕ ＋ｖ 槡Ｄ ＝ （ｕ１ ＋ｖ１ 槡Ｄ ）ｋ，ｋ＝１，２，…．
引理２［８］ 若 Ｄ 是一个非平方的正整数，则方程
Ｘ２ －ＤＹ４ ＝１，Ｘ ，Ｙ ∈ Ｎ＋
（恰有２组解的充要条件是 Ｄ ∈ ｛１ ７８５，２８ ５６０｝或者２ｕ１ 和ｖ１ 都是平方数，
椭圆曲线ｙ２＝ｘ３＋１３５ｘ－２７８的整数点
崔保军
（甘肃民族师范学院 数学系，甘肃 合作 ７４７０００）
摘 要：运用同余、递归序列等初等方法讨论了椭圆 曲 线 ｙ２＝ｘ３＋１３５ｘ－２７８ 上 整 数 点 的 问 题，证 明 该 曲 线 仅 有 整 数 点 （ｘ，ｙ）＝ （２，０），（１４，±６６），（２８４ ５９４，±１５１ ８２３ ３６４）． 关 键 词 ：椭 圆 曲 线 ；同 余 ；整 数 点 ；递 推 序 列 中 图 分 类 号 ：Ｏ１５６ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０００－２１６２（２０１９）０２－００２８－０５
ａ２ ＝７ｖｎ ＋ｕｎ －１
（６）
或
ａ２ ＝７ｖｎ －ｕｎ －１．
（７）
易验证下列关系式成立
ｕｎ＋ｍ ＝ｕｎｕｍ ＋３ｖｎｖｍ ，
ｖｎ＋ｍ ＝ｕｍｖｎ ＋ｖｍｕｎ ，
ｕ２ｎ ＝ｕｎ２ ＋３ｖｎ２ ＝２ｕｎ２ －１＝６ｖｎ２ ＋１，
ｖ２ｎ ＝２ｕｎｖｎ ，
ｕｎ＋２ｒｔ ≡ （－１）ｔｕｎ（ｍｏｄｕｒ），
其中 （ｕ１，ｖ１）是（３）式的最小解．
引理３［１０］ 当 Ｄ ＝１２时，方程ｙ２ ＝Ｄｘ４ ＋１无正整数解．
引理４［１１］ 方程３ｘ４ －ｙ２ ＝２仅有正整数解 （ｘ，ｙ）＝ （１，１）．
椭圆组合曲线和图形
椭圆组合曲线和图形1椭圆曲线性质线形两焦点椭圆是规范标准的闭合曲线图形，曲线上的曲率呈现有规律的变化。
不同椭圆的曲线弧段，通过相切连接形成独特的组合曲线和图形。
把与椭圆曲线和图形类似，不含有收缩和扩张弧段的协调、匀称的椭圆组合曲线和图形，称为规范标准的曲线和图形。
其主要特征：（1）两条椭圆曲线相切连接形成的组合曲线是光滑曲线，见图3。
图3 椭圆组合曲线示意图NT是以D、A为焦点的椭圆弧、TG是以C、B为焦点的椭圆弧，两个椭圆内切于T点，形成NTG组合曲线；椭圆曲线是连续可导的，切点的导数相等。
因此NTG组合曲线是光滑曲线。
（2）两条对称相等的椭圆弧，对称内切于另一个椭圆形成的三段弧组合曲线，是对称、规范标准的光滑曲线，见图4。
图4 椭圆组合曲线示意图TG、PN弧段是以B、V和C、U为焦点，对称相等的两个椭圆弧，对称内切于以D、A为焦点的椭圆，切点为T、P，形成的GTPN 组合曲线是对称、协调、规范标准的光滑曲线。
（与右边的以D、A、为焦点椭圆的TP弧相比，图形的形状不同，但曲线的图形特征是相同的，即都是对称、规范标准光的滑曲线图形。
）三段弧曲线的中间弧段称为主弧段，两头称为端弧段。
两头弧段与中间弧段相切连接且对称相等，是组合曲线图形的基本单位。
三段弧曲线之间通过两端重合连接形成的闭合曲线图形是规范标准的光滑曲线；相切连接形成的是光滑曲线则不是规范标准的光滑曲线。
2椭圆组合曲线图形（3）两个椭圆对称内切连接形成的组合曲线，是具有一条对称轴规范标准的闭合光滑曲线。
图形是由两个椭圆的两条对称椭圆弧组成，且符合卵圆图形特征，故称为两段弧卵圆，见图5。
图5 椭圆组合曲线示意图由B、C和D、A为焦点的两个椭圆，对称内切于P、T两点，形成的组合曲线是对称、协调、规范光滑曲线图形。
当切点为椭圆的对称轴时，卵形曲线由两个不同椭圆的各自半条对称曲线组成，形成特定的两段弧卵圆。
（4）两条不同的三段弧曲线，两端弧段重合连接，形成具有一条对称轴的规范、标准闭合曲线图形是由四个椭圆的四条弧组成的卵形曲线，且符合卵圆图形特征，故称为四段弧卵圆，见图6。
椭圆曲线常用的三次结论专题练习
椭圆曲线常用的三次结论专题练习椭圆曲线是密码学中常用的数学工具，它具有许多有趣的性质和结论。
本文将介绍椭圆曲线常用的三次结论，并提供相关的练题。
1. 结论一：三次点倍乘法三次点倍乘法是椭圆曲线中的基本操作，用于计算两个点之间的乘积。
其算法如下：输入：椭圆曲线上的点P和一个整数k。
输出：点Q，满足Q = kP。
算法步骤：1. 初始化点Q为O（标识元素）。
2. 将点P复制为R。
3. 将整数k转换为二进制形式，从高位到低位依次遍历。
4. 若遍历位为1，则执行点加法：Q = Q + R。
5. 执行点加法：R = R + R。
6. 若遍历位为0，则继续遍历下一位。
7. 若仍有未遍历的位，则返回步骤4。
8. 返回点Q。
2. 结论二：三次点的加法椭圆曲线上的点加法是指将两个点相加得到另一个点的操作。
其算法如下：输入：椭圆曲线上的两个点P和Q。
输出：点R，满足R = P + Q。
算法步骤：1. 若P = O，则返回Q；若Q = O，则返回P。
2. 计算斜率s：- 若P = Q，则计算斜率s = (3 * P.x^2 + a) / (2 * P.y)。
- 若P ≠ Q，则计算斜率s = (Q.y - P.y) / (Q.x - P.x)。
3. 计算点R的x坐标：R.x = s^2 - P.x - Q.x。
4. 计算点R的y坐标：R.y = s * (P.x - R.x) - P.y。
5. 返回点R。
3. 结论三：三次点的减法椭圆曲线上的点减法是指将两个点相减得到另一个点的操作。
其算法如下：输入：椭圆曲线上的两个点P和Q。
输出：点R，满足R = P - Q。
算法步骤：1. 若Q = O，则返回P。
2. 计算点Q的相反数：Q.negate()。
3. 执行点加法操作：R = P + (-Q)。
练题：1. 给定椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 和点P(x1, y1)，计算2P，3P，4P的坐标。
2. 给定椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 和点P(x1, y1)，计算P + Q 的坐标，其中Q为另一个任意点。
椭圆曲线加密算法及实例分析
The Application of Cryptographic Techniques in Secure Transmission of Streaming Media Chen Daomin1 Zhou Jinquan2 1PLA University ofForeign Languages, Henan 471003 2Kunming Military Academy, Yunnan 650207 Abstract:In this paper, after analyzing the encrypting features of streaming media, we deeply research on how to encrypt the streaming media data by using block cipher and stream cipher respectively. Keywords:Streaming Media;Encryption;Block Cipher;Stream Cipher
④依据 Ｂｏｂ 的公钥计算点（ｘ ， ｙ ）＝ｋＧ（ｋ 个 Ｇ 相加）；
１
１
⑤计算点（ｘ ， ｙ ）＝ｋＱ，如果 ｘ ＝０，则回到第③步；
２
２
２
⑥计算 Ｃ＝ｍ＊ｘ ； ２
⑦传送加密数据（ｘ ， ｙ ，Ｃ）给Ｂｏｂ。
１
１
（２）Ｂｏｂ的解密过程
（阶）。经过计算得 ｎ＝２２３。 经过上面算法的验证，得知 ｎ＝２２３ 是一个素数，所以点 ｖ 可
１
１
（４）点 Ｑ的倍数定义如下：在Ｑ点作椭圆曲线的一条切线，设
切线与椭圆曲线交于点 Ｓ，定义 ２Ｑ＝Ｑ＋Ｑ＝－Ｓ，类似的可定义 ３Ｑ＝
（１）在椭圆曲线 Ｅ 上恰有一个点，称之为无穷远点。即（０： Ｑ ＋ Ｑ ＋ Ｑ ＋，…，等。
ellipsecurve的用法
ellipsecurve的用法在我们的日常生活中，数学无处不在，它像一把神奇的钥匙，打开了一个又一个未知的世界。
今天，我们将一起探索数学中的一个神秘而美妙的图形——椭圆曲线。
一、椭圆曲线的定义与特性椭圆曲线是数学中的一种几何形状，它由两束互相垂直的曲线在某个特定平面上形成的。
这个平面上的每一个点都有一个对应的“加密密钥”，使得椭圆曲线在信息安全领域有着广泛的应用。
让我们一起了解它的基本性质和特性。
1.创建椭圆曲线：我们可以使用Python的库，如PyCryptodome，来创建椭圆曲线。
在代码中，我们需要指定曲线的参数，如大小、基点等。
2.添加元素：在椭圆曲线上添加元素，通常是通过加密算法实现的。
例如，我们可以使用椭圆曲线上的加法运算来生成新的密钥。
3.密钥生成：椭圆曲线上的密钥生成是一个复杂的过程，涉及到一系列的数学运算。
通过这些运算，我们可以得到一个安全且独特的密钥，用于加密和解密信息。
4.应用领域：椭圆曲线在密码学中有着广泛的应用，如RSA算法、ECC（椭圆曲线加密）等。
这些算法的安全性得益于椭圆曲线的特殊性质。
三、实例演示让我们通过一个简单的实例来展示ellipsecurve的用法。
假设我们使用PyCryptodome库创建一个p256曲线，并生成一对密钥用于加密和解密信息。
```pythonfromCrypto.Util.numberimportgetPrime,gcdfromCrypto.Math.EllipticCurveimportPoint,EllipseCurve#获取p256曲线的参数p=getPrime(256)n=p*pm=3a=0x0039946911f3334523684e64980a177c7d7d6b5d7d7d7db=0x00e7172d0ab8f541a87f8f8f8f8f8f8f8f8fcurve=EllipseCurve.from_numbers(p,n,m,a,b)#生成密钥对public_key=curve.point(3,0)#公钥是一个点，这里我们使用(3,0)作为示例private_key=public_key.affine_x()#获取对应的私钥#使用私钥进行加密ciphertext=public_key.mul(private_key)#对明文进行加密操作print("Ciphertext:",ciphertext)#使用公钥进行解密plaintext=private_key*(ciphertext-public_key)#解密操作print("Plaintext:",plaintext)```四、总结与展望通过以上示例，我们了解了ellipsecurve的基本用法和其在密码学中的应用。
椭圆曲线y2=x3+1285x-2578的整数点
２０２０年１２月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀南宁师范大学学报(自然科学版)D e c．２０２０第３７卷第４期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fN a n n i n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)V o l．３７N o．４D O I:１０．１６６０１/j．c n k i．i s s n２０９６Ｇ７３３０．２０２０．０４．００５文章编号:２０９６Ｇ７３３０(２０２０)０４Ｇ００２４Ｇ０３椭圆曲线y２＝x３＋１２８５x－２５７８的整数点崔保军(甘肃民族师范学院数学系,甘肃合作７４７０００)摘㊀要:运用同余法㊁P e l l方程法等初等方法讨论了椭圆曲线y２＝x３＋１２８５x－２５７８上的整数点的问题,证明了该曲线仅有整数点(x,y)＝(２,０),(３８,ʃ３１８),(５２４６３１３１４,ʃ１２０１６５９１９３７９１６)．关键词:椭圆曲线;同余;整数点中图分类号:O１５６㊀㊀㊀文献标志码:A１㊀引言对椭圆曲线y２＝(x２－a)(x＋a x＋b)(１)上的整数点的问题的研究已有不少的文献．１９８７年,Z a g i e r[１]提出了椭圆曲线(１)在a＝２,b＝３１时的整数点问题,文[２]和文[３]用不同方法得到了该曲线的整数点,文[４]解决了该曲线方程的一类推广形式的整数点问题,文[５]给出了椭圆曲线(１)在a＝２,b＝１３９时的所有整数点．本文运用同余法㊁P e l l方程法等初等方法讨论了椭圆曲线(１)在a＝２,b＝１２８９时的情形,得出了以下的结论．定理１㊀椭圆曲线y２＝x３＋１２８５x－２５７８(２)仅有整数点(x,y)＝(２,０),(３８,ʃ３１８),(５２４６３１３１４,ʃ１２０１６５９１９３７９１６)．２㊀若干引理引理１[６]㊀若D是一个非平方的正整数,则方程x２－D y２＝１(３)有无穷多组正整数解x,y．设x２１－D y２１＝１,x１＞０,y１＞０是所有满足x＞０,y＞０的解中使x＋y D最小的那组整数解(称(x１,y１)为(３)的基本解),则(３)的全部整数解由x＋y D＝ʃ(x１＋y１D)k表出,其中k是任意整数．引理２[６]㊀设u１＋v１D是方程u２－D v２＝N(N＞０)的某结合类k的基本解,x１＋y１D是方程x２－D y２＝１的基本解,则有０ɤv１ɤy１N２(x１＋１)．引理３㊀方程x２－５１８８y４＝１６１无整数解．证明㊀因为P e l l方程x２－５１８８y２＝１的基本解是x１＋y１５１８８＝２５９３＋３６５１８８,因此由引理２知若u１＋v１D是方程x２－５１８８y２＝１６１的某结合类的基本解,则有０ɤv１ɤ３６１６１２(２５９３＋１)＜７．但当v＝０,１,２,３,４,５,６时,x２－５１８８y２＝１６１无解,故x２－５１８８y４＝１６１无整数解．引理４[７]㊀设d是一个非平方的正整数,使得P e l l方程X２－d Y２＝１的基本解的形式为εd＝T＋u２d．它的一切正整数解由εk d＝T k＋U k d(kȡ１)给出,假设对于某些bɪ{１,２,３,５,６,１０}和某些整数收稿日期:２０２０Ｇ０７Ｇ２１作者简介:崔保军(１９８０ ),男,甘肃天水人,副教授,硕士,主要从事代数数论的研究．第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀崔保军:椭圆曲线y２＝x３＋１２８５x－２５７８的整数点 ２５㊀ x有U k＝b x２,那么kɤ２,但以下情况除外:(１)T＝１６９,此情况下U４是一个平方数．(２)３整除u并且对某些y有４T２－１＝３y２,此情况下U３＝３(u y)２．(３)(b,d)＝(５,２４),此情况下U４＝５ˑ１４２．３㊀定理１的证明证明㊀从(２)可得y２＝(x－２)(x２＋２x＋１２８９)．(４)易见x２＋２x＋１２８９＝(x＋１)２＋１２８８＞０,故由(４)可得xȡ２．当x＝２时,椭圆曲线(２)有整数点(x, y)＝(２,０)．因此,以下只需考虑x＞２且yʂ０时的情况．令d＝g c d(x－２,x２＋２x＋１２８９)．易知d|１２９７．故有d＝１或１２９７．以下分两种情况进行讨论:①当d＝１时,从(４)可知x－２＝e２,x２＋２x＋１２８９＝f２,y＝ʃe f,g c d(e,f)＝１．(５)从(５)的第二个等式可知x＝８,３８,１５８,３２０,代入第一式得x＝３８,y＝ʃ３１８．②当d＝１２９７时,从(４)可知x－２＝１２９７e２,x２＋２x＋１２８９＝１２９７f２,y＝ʃ１２９７e f,g c d(e,f)＝１．(６)从(６)可得(３e２＋１)２＋１２８８e４＝f２．(７)若２⫮e,则从(７)可知２|f．此时e２ʉ１(m o d８),e４ʉ１(m o d１６),但是(７)的右边f２ʉ０,４(m o d１６),左边(３e２＋１)２＋１２８８e４ʉ８(m o d１６),矛盾．由此可知２|e．令e＝２r．(８)将(８)代入(７)可得(１２r２＋１)２＋１２８８ １６r４＝f２．(９)设l＝g c d(f＋１２r２＋１,f－１２r２－１)．因为从(９)可知１２r２＋１和f均为奇数,所以２|l．如果l２＞１,则l２必有素因数p．由于l|２f且l|２(１２r２＋１),故p|f,p|１２r２＋１,因此p２|f２,p２|(１２r２＋１)２,于是从(９)可知p２|１２８８ １６r４,故有p|r,但这与p|１２r２＋１矛盾．由此可知l＝２．由于１２８８ １６＝２７７ ２３,故从(９)可得f＋１２r２＋１＝２７ ７ ２３s m４,f－１２r２－１＝s n４,r＝m n,g c d(m,n)＝１,(１０)其中,sɪ{２,１４,４６,６４,３２２,４４８,１４７２,１０３０４}．(１１)以下按(１１)给出的８种情况进行讨论．当s＝２时,从(１０)可知f＝５１５２m４＋n４,１２r２＋１＝５１５２m４－n４．(１２)从(１２)的第二个等式可知２⫮n,但此时可得１ʉ１２r２＋１ʉ５１５２m４－n４ʉ－１(m o d４),矛盾．当s＝１４时,从(１０)可知f＝７３６m４＋７n４,１２r２＋１＝７３６m４－７n４．(１３)从(１３)的第二个等式可知２⫮n,也有２⫮m(否则若２|m,则２|r,取模１６,有１ʉ－７n４ʉ－７(m o d１６),矛盾),此时对(１３)的第二个等式两边取模１６有,１３ʉ１２r２＋１ʉ－７n４ʉ－７(m o d１６),矛盾．当s＝４６时,从(１０)可知f＝２２４m４＋２３n４,１２r２＋１＝２２４m４－２３n４．(１４)从(１４)的第二个等式可知５⫮n．否则若５|n,则５|r,以及由g c d(m,n)＝１知５⫮m,此时m４ʉ１(m o d ５)．于是由(１４)的第二个等式得１ʉ２２４m４ʉ４(m o d５),矛盾．同理可知５⫮m．此时由１２r２＋１ʉ３或４(m o d５),２２４m４－２３n４ʉ１(m o d５),知(１４)的第二个等式不成立．当s＝６４时,从(１０)可知f＝１６１m４＋３２n４,１２r２＋１＝１６１m４－３２n４．(１５)２６㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀南宁师范大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷从(１５)的第二个等式可知(１６１m２－６n２)２－５１８８n４＝１６１．由引理３知该方程无解．当s＝３２２时,从(１０)可知f＝３２m４＋１６１n４,１２r２＋１＝３２m４－１６１n４．(１６)从(１６)的第二个等式可知２⫮n,但此时可得１ʉ１２r２＋１ʉ３２m４－１６１n４ʉ－１(m o d４),矛盾．当s＝４４８时,从(１０)可知f＝２３m４＋２２４n４,１２r２＋１＝２３m４－２２４n４．(１７)从(１７)的第二个等式可知２⫮m,但此时可得１ʉ１２r２＋１ʉ２３m４－２２４n４ʉ３(m o d４),矛盾．当s＝１４７２时,从(１０)可知b＝７m４＋７３６n４,１２r２＋１＝７m４－７３６n４．(１８)从(１８)的第二个等式可知２⫮m,但此时可得１ʉ１２r２＋１ʉ７m４－７３６n４ʉ３(m o d４),矛盾．当s＝１０３０４时,从(１０)可知f＝m４＋５１５２n４,１２r２＋１＝m４－５１５２n４．(１９)从(１９)的第二个等式可得(m２－６n２)２－５１８８n４＝１．(２０)从(２０)可知X２－５１８８Y４＝１(２１)有解(X,Y)＝(|m２－６n２|,n)．(２２)因为方程u２－５１８８v２＝１(２３)的最小解为εd＝U＋V５１８８＝２５９３＋６２５１８８,它的一切正整数解由εk d＝U k＋V k５１８８(kȡ１)给出．若(２１)有一解(X,Y),则方程(２３)必有一解(u,v)＝(X,Y２)．根据引理４知,若(２１)有正整数解,则必有kɤ２．当k＝２时,易验证V２是非平方数．当k＝１时,由于２５９３＋３６５１８８＝(５３２－６ ６２)＋６２５１８８,故从(２２)可得方程(２１)仅有１组解(X,Y)＝(２５９３,６),此时m＝５３,n＝６．当m＝５３,n＝６时,从(８), (１０),(１９)可得e＝６３６,f＝１４５６７４７３,r＝３１８．所以从(６)可得椭圆曲线(２)的另外一组适合x＞２的整数点(x,y)＝(５２４６３１３１４,ʃ１２０１６５９１９３７９１６)．定理证完．参考文献:[１]㊀Z i g i e rD．L a r g e i n t e r g r a l p o i n t o n e l l i p t i c c u r v e s[J]．L o n d o nM a t hC o m p,１９８７,４８(１７７):４２５Ｇ５３６．[２]㊀Z h uH L,C h e n JH．I n t e r g r a l p o i n t o n y２＝x３＋２７x－６２[J]．M a t hS t u d y,２００９,４２(２):４２５Ｇ５３６．[３]㊀吴华明．椭圆曲线y２＝x３＋２７x－６２的整数点[J]．数学学报(中文版),２０１０,５３(１):２０５Ｇ２０８．[４]㊀管训贵．椭圆曲线y２＝x３＋(p－４)x－２p的整数点[J]．数学进展,２０１４,４３(４):５２１Ｇ５２６．[５]㊀崔保军．椭圆曲线y２＝x３＋１３５x－２７８的整数点[J]．安徽大学学报(自然科学版),２０１９,４３(２):２８Ｇ３２．[６]㊀柯召,孙琦．谈谈不定方程[M]．哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,２０１１:１５Ｇ２５．[７]㊀G a r y W a l s h．T h eD o p h a n t i n e e q u a t i o n X２－d b２Y４＝１[J]．A c t aA r i h m e t i c a,１９９８,８７(２):１７９Ｇ１８８．I n t e g r a l P o i n t s o n t h eE l l i p t i cC u r v e y２＝x３＋１２８５x－２５７８C U I B a oＧj u n(D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s,G a n s uN o r m a lU n i v e r s i t y f o rN a t i o n a l i t i e s,H e z u o７４７０００,C h i n a)A b s t r a c t:B y e l e m e n t a r y m e t h o d ss u c ha s t h ec o n g r u e n c e m e t h o da n dt h eP e l l e q u a t i o n m e t h o d,i t i s p r o v e d t h a t t h e e l l i p t i c c u r v e y２＝x３＋１２８５x－２５７８h a s o n l y i n t e g r a l p o i n t s(x,y)＝(２,０),(３８,ʃ３１８), (５２４６３１３１４,ʃ１２０１６５９１９３７９１６)．K e y w o r d s:e l l i p t i c c u r v e;c o n g r u e n c e;i n t e g r a l p o i n t[责任编辑:班秀和]。
高考数学中的椭圆曲线
高考数学中的椭圆曲线在高考数学中，椭圆曲线是常见的一种几何形式，也是数学中经典而重要的一项研究内容。
我们在平面直角坐标系上画出一条椭圆曲线，即可利用其各种性质，解决不同的数学问题。
椭圆曲线的定义椭圆曲线是一个平面上的曲线，其方程形式为y²=x³+ax+b，其中a、b都是实数。
图像是一条对称的曲线，既可以延伸到无限远处，也可以被截断，形成一个封闭的椭圆。
椭圆曲线不仅在数学中有广泛的应用，也在密码学、通信等领域发挥着重要的作用。
椭圆曲线的运用椭圆曲线在数学中的应用非常广泛，例如在代数数论、几何学、数值计算、密码学、通信系统等各个领域中都有应用。
其中，在密码学中应用尤为广泛。
在密码学中，椭圆曲线被应用于密钥交换、数字签名、认证协议等方面。
由于椭圆曲线加密算法具有计算量小、安全性高、效率优越等优点，因此在现代密码学中得到了广泛地应用。
而且，椭圆曲线还有其他不同的应用场景，例如，它被用于图像处理、机器学习和编码理论等领域中。
椭圆曲线的性质椭圆曲线的研究主要涉及到其多个性质，包括极点、切线、切点、曲线斜率等。
下面，我们简单介绍几个椭圆曲线的性质。
1. 椭圆曲线具有对称性，可以沿着x轴、y轴和曲线直径进行对称。
2. 经过曲线中的任意一点，可以找到一条斜率是唯一的切线线。
3. 这条切线与曲线的交点叫做切点，而这个切点与曲线上其他的点，斜率也是相同的。
4. 在椭圆曲线上还存在着一种特殊的点，叫做极点。
每一条椭圆曲线都有两个极点，这两个极点是这条椭圆曲线的对称中心。
椭圆曲线的应用举例椭圆曲线的应用非常广泛，例如在密码学中，就有椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法，椭圆曲线数字签名算法等。
下面，我们以椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法为例，来介绍一下椭圆曲线的应用。
椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法，简称ECDH，是一种密钥交换协议，主要用于无线网络和移动通信系统等领域。
椭圆曲线_精品文档
椭圆曲线概述在数学中，椭圆曲线是一个二元三次方程，定义了一个平面上的曲线。
由于其在密码学和计算机科学中的广泛应用，椭圆曲线被广泛研究和使用。
本文将介绍椭圆曲线的基本概念、性质和应用领域。
基本定义椭圆曲线是一个平面上的曲线，由以下二元三次方程定义：E: y^2 = x^3 + ax + b其中a和b是给定的常数。
特殊情况下，当椭圆曲线通过原点(0, 0)时，方程还可以写成：E: y^2 = x^3 + ax这类椭圆曲线被称为齐次椭圆曲线。
对于非齐次椭圆曲线，存在一个特殊的点无限远点O∞，在加法操作中用作曲线上两点之间的无穷远点。
性质椭圆曲线具有许多独特的性质，使其成为密码学中重要的工具。
以下是一些常见的性质：1. 封闭性：椭圆曲线上的点在加法操作下仍然属于曲线。
2. 交点性质：两点在椭圆曲线上相交的弧线上的第三个点也在曲线上。
3. 结合律：椭圆曲线上的点加法满足结合律。
4. 逆元素：每个点在椭圆曲线上都存在一个逆元素，使得点加上其逆元素等于无穷远点。
这些性质使得椭圆曲线在密码学中广泛使用，特别是在公钥密码学中的密钥交换和数字签名算法。
应用领域椭圆曲线在密码学中有重要的应用，特别是在公钥密码学领域。
下面是几个主要的应用领域：1. 椭圆曲线密码算法：椭圆曲线密码算法是一类基于椭圆曲线离散对数问题的密码算法。
其中最著名的算法包括椭圆曲线Diffie-Hellman(ECDH)密钥交换算法和椭圆曲线数字签名算法(ECDSA)。
2. 椭圆曲线密码芯片：椭圆曲线密码芯片是一种专用硬件，用于执行椭圆曲线运算，可以提高密码运算的性能和安全性。
3. 椭圆曲线密码库：椭圆曲线密码库是一种软件库，包含了常用的椭圆曲线密码算法的实现。
开发人员可以使用这些库来实现安全的密码学功能。
4. 椭圆曲线数字证书：椭圆曲线数字证书是一种用于证明身份和进行加密通信的数字证书。
由于其较短的密钥长度和较高的安全性，椭圆曲线数字证书在一些特定的应用场景中得到了广泛应用。
椭圆曲线y2=(x-6)(x2+6x+m)的整数点
p1 ≡
i=2,…,
s),且对某个j
1(mod4),
pi ≡3(mod4)(
,2≤j ≤s,pj =-1时,方程x4 -Dy2 =1(
D>
p1
0 且不是平方数)无正整数解。
3 定理的证明
2
设(
x,
1)的任意整数点,因为 y = (
x
y)是式(
础
科
学
学
第 36 卷
报
2
2
x +6x +m ),而 x +6x +m >0,则有 x ≥
3,
4(
mod
8),显然矛盾。因此 a 为偶数。
将 x =7pa2 +6 及 m =7p -72 代入 x2 +6x +
2
m =7pb 中可得
4
2
2
(
a +1=b
7pa +18
2)
因为 7p -72=2
2)可 化 为
q +9,通 过 配 方 式(
2
4
2
2
2
(
a +1) +2
b+9a +1)(
b
9
qa =b ,分解因式得 (
6(
mod8),因此 x +6x +m ≡ x +6x +
≡2,
2
3≡2,
3(
mod8),而 7
b ≡0,
4,
7(mod8),显然矛
盾。故在情形I
I下椭圆曲线 (
1)无整数点。
2
2
1,
5-7椭圆曲线基础
(2) 椭圆曲线上的群运算
P+Q+R=0
P+Q+Q=0
(2) 椭圆曲线上的群运算
P+Q+0=0
P+P+0=0
椭圆曲线上的群运算
已知点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，计算P+Q
PQ 的斜率 λ
λ
3x12
y2 y1 x2 x1
2a2 x1 a4 2 y1 a1x1
若 z 是 mod p 的二次剩余，当 p mod 4=3时，z 的平方根是±z(p+1)/4 mod p
有限域上的椭圆曲线
E11(1,6)：y2=x3+x+6 (mod 11)
x
z=x3+x+6 mod 11
z是否为二次剩余 z的模平方根y
0
6
N
-
1
8
N
-
2
5
Y
4,7
3
3
Y
5,6
4
8
N
-
5
4
有限域上的椭圆曲线
如何确定椭圆曲线上的点 常选取Fp 或 F2m上的椭圆曲线
有限域上椭圆曲线的计算
无穷远点O : 有一个无穷远点(0:1:0)是椭圆曲线上的点
将该方程映射到平面坐标系，令 x=X/Z, y=Y/Z
y2 +a1xy +a3 y = x3 +a2x2 +a4x+a6
E/K : if a1, a2, a3, a4, a6∈ K,，称 E 定义在K上 E(K) :
E(K ) {(x, y)| x, y K : y2 a1xy a3 y x3 a2x2 a4x a6 } {O}
学习解决椭圆曲线问题探索椭圆曲线的性质和计算
学习解决椭圆曲线问题探索椭圆曲线的性质和计算在数学领域中，椭圆曲线是一种重要的研究对象，它具有丰富的性质和广泛的应用。
学习椭圆曲线问题，不仅可以深入了解其基本概念和性质，还可以利用椭圆曲线进行数学计算和密码学应用。
本文将探索椭圆曲线的性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用椭圆曲线。
一、椭圆曲线的定义和基本性质椭圆曲线是在平面上由方程定义的曲线，它是一组满足特定关系的点的集合。
一般来说，椭圆曲线的方程可以写成如下形式：y^2 = x^3 + ax + b，其中a和b是已知的实数参数。
椭圆曲线上的点不仅包括实数点，还包括无穷远点。
在椭圆曲线上，可以进行点的加法和乘法运算，并且满足封闭性、结合律、交换律等性质。
二、椭圆曲线的计算方法1. 点的加法在椭圆曲线上，点的加法运算是通过将两个不同的点相加得到第三个点的操作。
具体而言，在椭圆曲线上选择两个不同的点P和Q，通过一系列的运算得到它们的和点R。
点的加法运算利用椭圆曲线的斜率和交点的特性进行计算，最终得到新的点R。
点P、Q和R之间的关系可以表达为 P + Q = R。
2. 点的乘法通过点的乘法运算，可以将一个点重复相加得到多个点的运算结果。
具体而言，在椭圆曲线上选择一个点P，通过多次进行点的加法运算，可以得到k倍的点kP。
点的乘法运算可以用于求解离散对数问题和椭圆曲线上的离散算法。
三、椭圆曲线的性质和应用1. 奇点和阶在椭圆曲线上，存在一个特殊的点O，称为无穷远点或奇点。
无穷远点可以看作是椭圆曲线的平行线方向上的交点。
每个点在椭圆曲线上的加法运算都会有一个对应的逆元素，即P + (-P) = O。
椭圆曲线的阶定义为椭圆曲线上的点的数量，包括实数点和无穷远点。
2. 椭圆曲线密码学椭圆曲线的离散对数问题是一个重要的数学难题，基于它的计算困难性，椭圆曲线密码学广泛应用于信息安全领域。
椭圆曲线密码学通过利用椭圆曲线上点的加法和乘法运算，构建了一系列强安全的加密算法和数字签名算法，用于保护敏感数据的安全传输和验证身份。
椭圆曲线y^2=x(x-1523)(x-1531)的整数点
０ 引言及主要结论
椭圆曲线是亏格为１的代数曲线。 一 条 光 滑 的 椭 圆 曲 线 可 以 放 在 射 影 平 面 里 看， 它 的 标 准 方 程 是 狔２ ＝狓（狓－１）（狓－狋），这里狋是任意参数。椭圆曲线 的 形 状，并 不 是 椭 圆 的。只 是 因 为 椭 圆 曲 线 的 描 述 方 程，类似于计算一个椭圆周长的方程。椭圆曲线是代数几何中最重要的一类研究对象。
· １１ ·
２０１９年３月 河北北方学院学报 （自然科学版） 第３期
证明 参见文献 ［７］。 引理２ 奇数的平方模８余１；奇数的平方模４余１；偶数的平方 模４ 余０； 奇 数的四 次方 模１６ 余 １； 偶 数 的 四 次 方 模 １６ 余 ０。
（泰州学院数理学院，江苏 泰州 ２２５３００）
摘要：目的 针对数论和算术代数几何学的有趣问题———椭圆曲线整数点的确定，研究椭圆 曲 线 Ｇ：狔２ ＝
狓（狓－１５２３）（狓－１５３１）的整 数 点。方 法 运 用 二 次 和 四 次 丢 番 图 方 程 的 性 质。结 果 椭 圆 曲 线 Ｇ 仅 有 整 数 点
确定椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学的有趣问题。有关这方面的理论研究成果在现代科技
中有着广泛的应用。很多学者在这个问题上也有了一定的研究结果 。 ［１６］
本文主要研究了椭圆曲线的一种特定情况，并用初等方法证明了以下结果：
定理 椭圆曲线 狔２ ＝狓（狓－１５２３）（狓－１５３１）
仅有整数点 （狓，狔）＝ （０，０），（１５２３，０犪犾犘狅犻狀狋狊狅狀犈犾犾犻狆狋犻犮犆狌狉狏犲狔２ ＝狓（狓－１５２３）（狓－１５３１）
椭圆曲线
λ = ( 7 - 2 ) ( 2 - 5 ) -1 m o d 1 1 = 2
x 3 = 4 − 5 − 2 m od 11 = 8 y 3 = 2 × (5 − 8 − 2 ) m o d 1 1 = 3
∴ 3 α = ( 8 ,3 )
类似的计算得
4 α = (1 0 , 2 ), 5 α = (3, 6 ), 6 α = ( 7 , 9 ), 7 α = ( 7 , 2 ), 8 α = (3, 5 ), 9 α = (1 0 , 9 ),1 0 α = (8 , 8 ),1 1α = (5 , 9 ) 1 2 α = ( 2 , 4 ),1 3α = O
对 y
2
= x3 + ax + b求 微 分 得 dy 2y = 3x dx
2
+ a
把 x = x1 , y = y 1 代 入 得 L的 斜 率 为 3 x 12 + a λ = 2 y1
后面求R的坐标方法同1） （E，+）构成一个交换群
二、有限域上的椭圆曲线
1、定义 p>3是素数,z p上的同余方程 y 2 = x 3 + ax + b mod p的所有解 ( x, y ) ∈ z p × z p , 加上一个无穷远点O组成z p 上的椭圆曲线 y 2 = x 3 + ax + b.其中a, b ∈ z p是满足 4a 2 + 27b3 = 0 mod p的常量。
所以过P，Q的直线方程为
y − y1 = λPQ ( x − x1 )
简化为
y = λx + v
把上式代入椭圆曲线方程并化简得
x3 − λ 2 x 2 + (a − 2λ v) x + b − v 2 = 0
椭圆曲线实例
例题：
椭圆曲线T=(m=4,f(x)=x4+x+1,g=0010,a=g4,b=g0) 点P=(g6,g8)，点Q=(g3,g13)，求点R=P+Q以及R=2P
1.
λ=(g8+ g13 )/(g6+ g3)=g
X=g^2+g+g6+ g3 +g4=1
Y=g(g6+1)+ g8 =g13
所以 R=P+Q=(1,g13)
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
GF(p)上的两点运算(用代数方法表示)：
逆元：P = (x P, y P)的逆元： -P = (x P, - y P) 加法：若 P = (x P , y P)，Q = (x Q , y Q).
若 P 和 Q 是不同的点且 Q 不是 -P, P + Q = R 按如下方法 计算：
所以P+Q=（17,20），仍为E23(1,1)中的点。
2. 3 32 1 5 1 6 mod 23
2 10 20 4 x3 62 3 3 30 7 mod 23 y3 6(3 7) 10 34 12 mod 23
所以2P=(7,12)。
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
(1100) + (0101) = (0001) + (1001) + (0001)
(1001) = (1001)
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
满足方程y2 + xy = x3 + g4x2 + 1. 其中 a = g4 ,b = g0 =1.的15个点 是：
(0, 1) (1, g6) (g3, g8) (g5, g3)
解析几何中的椭圆曲线方程
解析几何中的椭圆曲线方程解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何对象的性质和关系。
椭圆曲线方程是解析几何中的一个重要概念，与密码学、数论等领域密切相关。
本文将通过数学原理和实例分析，深入探讨椭圆曲线方程的基本概念、性质和应用。
一、基本概念椭圆曲线方程是平面内一条特殊的曲线，它的形状像一个扁圆的椭圆，通常被用来解决密码学问题。
在数学上，椭圆曲线方程可以用一般形式表示为：y^2 = x^3 + ax + b其中，a和b为常数，且4a^3 + 27b^2 ≠ 0。
这个条件是为了保证椭圆曲线的形状是一个完整的曲线，而不是一条抛物线或双曲线等。
椭圆曲线方程的图像通常呈现一个钟形曲线，其中心点称为“原点”。
二、性质椭圆曲线方程在解析几何中有很多重要的性质。
其中，最重要的性质是它的离散对数难题，即基于椭圆曲线的密码学算法通常很难被攻破。
这是因为在椭圆曲线上的加法可以实现离散对数问题，这种特性让椭圆曲线方程在密码学中扮演了重要的角色。
椭圆曲线方程还有一个重要的性质是其对称性，即当有一条直线通过椭圆曲线的两个不同点时，这条直线必定与椭圆曲线交于第三个点。
这个点称作这两个点关于椭圆曲线的对称点。
这个性质在密码学中也有很大的应用，比如用来实现数字签名和身份验证。
三、应用椭圆曲线方程在密码学中被广泛应用，它被认为是一种更安全、更高效的加密算法。
在公钥密码学中，基于椭圆曲线的算法可以用来实现数字签名、密钥交换和身份验证等功能。
椭圆曲线算法的优点在于，它可以实现相同的安全级别下，使用更短的密钥长度。
这使得基于椭圆曲线的算法，对于移动设备和嵌入式系统等资源受限的环境，具备更好的适用性。
除了密码学，椭圆曲线方程还有其他应用。
例如，它在图像处理和计算机图形学中也被广泛应用。
在这些领域，椭圆曲线方程可以用来建模和描述复杂的曲线和曲面。
四、结论总的来说，椭圆曲线方程是解析几何中的一个重要概念，它有很多重要性质和应用。
在密码学中，基于椭圆曲线的算法被广泛应用，具有更高的安全性和更高的效率。
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2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
实例:(多项式基于有限域GF(2^m)上的椭圆曲线) :
考虑多项式 f(x) = x4 + x + 1定义的域GF(2^4). 元素g = (0010)是生成元.用多项式表示 为 g=x , g的幂分别为:
g0 = (0001) g1 = (0010) g2 = (0100) g3 = (1000) g4 = (0011) g5 = (0110) g6 = (1100) g7 = (1011) g8 = (0101) g9 = (1010) g10 = (0111) g11 = (1110) g12 = (1111) g13 = (1101) g14 = (1001) g15 = (0001) g2 = x2 = (0100) ， g4 = x4 = x4 mod(x4 + x + 1) = x + 1=(0011) ，其余可类似求得。
离散对数为k = 9.
(0, 1) (1, g13) (g3, g13) (g5, g11)
(g6, g8) (g9, g10) (g10, g) (g12, 0)
(g6, g14) (g9, g13) (g10, g8) (g12, g12)
上表表明了互逆点，除(0,1)的互逆点使其本身外，如p= (1, g6) ,它的互逆点: -p= (1,1+g6)=(1,(0001)+(1101))=(1,(1101)) = (1, g13)
yR = λ (xP + xR) + xR + yP
求2P ：若 P = (x P , y P) 若 y P 不为 0，
2P = R 按如下方法计算： λ = (xP 2 + yP )/ xP xR = λ 2+ λ + a yR = xP2 + (λ + 1) xR
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
λ = (y P – y Q) / (x P – x Q) mod p x R = λ2 – x P – x Q mod p y R = -y P + λ(x P – x R) mod p
求2P ：若 P = (x P , y P) 若 y P 不为 0，
2P = R 按如下方法计算： λ = (3xP2 + a) / (2yP ) mod p x R = λ2 - 2xP mod p y R = -y P + λ(x P – x R) mod p
(16,8) (17,10) (18,10) (19,1) (20,4) (21,6)
(16,15) (17,13) (18,13) (19,22) (20,19) (21,17)
椭圆曲E23线上共有24个点(包括无穷远点O)。 除了(0,0)外，每一个x都对应两个点，它们是互 逆的，如p=(1,5)和-p=(1,-5)=(1.-5 mod 23)=(1,18), 实际上(0,0)的逆是它本身。
例题：
椭圆曲线T=(m=4,f(x)=x4+x+1,g=0010,a=g4,b=g0) 点P=(g6,g8)，点Q=(g3,g13)，求点R=P+Q以及R=2P
1.
λ=(g8+ g13 )/(g6+ g3)=g
X=g^2+g+g6+ g3 +g4=1
Y=g(g6+1)+1+ g8 =g13
所以 R=P+Q=(1,g13)
(1100) + (0101) = (0001) + (1001) + (0001)
(1001) = (1001满足方程y2 + xy = x3 + g4x2 + 1. 其中 a = g4 ,b = g0 =1.的15个点 是：
(0, 1) (1, g6) (g3, g8) (g5, g3)
椭圆曲线密码体制的依据就是利用定义在椭圆曲线点群上的离散对数 问题的难解性。
➢例如: 对于椭圆曲线F23：y2 = x3 + 9x + 17,
求点Q = (4,5) 基于点 P = (16,5)的离散对数k 解： 计算k P, 直到Q为止
P = (16,5) 2P = (20,20) 3P = (14,14) 4P = (19,20) 5P = (13,10) 6P = (7,3) 7P = (8,7) 8P = (12,17) 9P = (4,5)
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
例题：仍以E23(1,1)为例，设P=(3,10)，Q=(9,7)，求P+Q，2P
1. 7 10 3 1 11mod 23
93 6 2 x3 112 3 9 109 17 mod 23 y3 11(3 17) 10 164 20 mod 23
2.
λ =[(g6 )^2 +g8]/g6=g3
X=(g3 )^2 +g3+g4=g10
Y=g12+(g3+1)g10=g8
所以 R=2P=(g10 ,g8)
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
<4>椭圆曲线的离散对数问题 :
➢ 给定椭圆曲线上的点 P 和点 Q , 寻找数 k 使得 k P = Q， 其中k 称为Q基于P的离散对数。（当给定P和Q时计算K相对困难）
考虑椭圆曲线：
y2 + xy = x3 + g4x2 + 1. 其中 a = g4 ,b = g0 =1.
点 (g5, g3) 满足椭圆曲线方程 :
y2 + x y = x3 + g4x2 + 1
(g3)2 + g5g3 = (g5)3 + g4g10 + 1
g6 + g8 = g15 + g14
+1
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
实例： 椭圆曲线E23(1,0) 的点的构造
即y2 = x3 + x在有限域F23上的点的构造(其中a=1,b=0)
满足条件的23个点是:
(0,0) (1,5) (9,5) (11,10) (13,5) (15,3)
(0,0) (1,18) (9,18) (11,13) (13,18) (15,20)
所以P+Q=（17,20），仍为E23(1,1)中的点。
2. 3 32 1 5 1 6 mod 23
2 10 20 4 x3 62 3 3 30 7 mod 23 y3 6(3 7) 10 34 12 mod 23
所以2P=(7,12)。
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
GF(2^m)上两点运算(用代数方法表示):
逆元：P = (x P, y P)的逆元 ：-P = (x P, x P + y P)
加法：若 P = (x P , y P)，Q = (x Q , y Q)。
若 P 和 Q 是不同的点且 Q 不是 -P, P + Q = R 按如下方
法计算：
λ = (yP +yQ) / (xP + xQ) xR = λ 2 + λ + xP + xQ + a
2. 基于椭圆曲线上的离散对数问题—ECC
GF(p)上的两点运算(用代数方法表示)：
逆元：P = (x P, y P)的逆元： -P = (x P, - y P) 加法：若 P = (x P , y P)，Q = (x Q , y Q).
若 P 和 Q 是不同的点且 Q 不是 -P, P + Q = R 按如下方法 计算：