信号时频分析-讲义-WVD
线性调频信号的时频分析研究
线性调频信号的时频分析研究随着通信技术的发展，线性调频信号（Linear Frequency Modulation，LFM）在通信系统中得到了广泛的应用。
线性调频信号是一种在一段时间内频率线性变化的信号，其具有宽带、抗多径衰落、抗高噪声等特点，因此适用于高分辨率雷达、超声定位、地震勘探等领域。
为了更好地理解和设计线性调频信号的应用系统，对其进行时频分析研究是非常重要的。
时频分析是一种将信号在时间和频率域上进行联合分析的方法，可以提供关于信号特性的更详细的信息。
对于线性调频信号而言，时频分析可以帮助我们获得信号的调频特性和调制参数。
下面将介绍几种常见的时频分析方法，以及它们在线性调频信号研究中的应用。
STFT是一种将信号在时间和频率上进行分析的方法，它通过将信号分成多个小时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换，得到该窗口内信号的频谱信息。
STFT可以提供线性调频信号的瞬时频率信息，帮助我们理解信号的调频特性。
2. Wigner-Ville分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）WVD是一种采用时频联合分析的方法，它通过计算信号的瞬时相位和瞬时幅度，得到信号在时频上的分布。
WVD可以提供线性调频信号的瞬时频率和瞬时频谱信息，有助于我们研究信号的调频参数和调频性质。
3. 希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）此外，还有一些其他的时频分析方法，如连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）、自适应滤波器（Adaptive Filter），它们在线性调频信号研究中也有一定的应用。
通过将这些方法相互结合，可以更好地理解线性调频信号的时频特性和调制参数。
在线性调频信号的时频分析研究中，我们可以分析信号的频谱特性、瞬时频率变化、调制参数等。
通过这些分析，我们可以了解信号是否具有带宽限制特性、频率变化规律，以及在特定调制参数下，信号的传输性能如何。
第八章时频分析(2009)
时间均值 频率均值
频率中心： ( )
1 2E
2 | X ( ) | d 0
中国石油大学（北京）电子信息工程系
时间宽度：
2 t 1 E
( t t0 ) | x( t ) | dt
2 2
1 E
2 t 2 | x( t ) |2 dt t0
1 2
STFTx ( t , )e j d
1 2
j ( ) x ( ) g ( t ) e dd
x ( ) g ( t ) ( )d x ( ) g ( t )
t
x( t )
1 2g ( 0 )
中国石油大学（北京）电子信息工程系
8.1.1傅里叶变换的局限性
频率表示的数学方法是由傅里叶发明的。 他十九世纪初提出傅里叶变换，一直是信号 分析与处理中应用最广的变换。傅里叶变换 将信号分解成单个谐波频率分量，并建立了 每个分量的相对强度。
x(t )
X ( j) x(t )e
1 2
中国石油大学（北京）电子信息工程系
STFTx (t , ) e j0 g ( t )e j d G( 0 )e j ( 0 )t
7.2.2
短时傅立叶反变换
STFT( t , ) x( )g ( t )e j d
取反变换
STFTx (t , ) ( 0 ) g ( t )e j d g ( 0 t )e j 0
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数g ( ) 的宽度 而决定。
例2
若 x( ) e
现代信号课件第9章时-频分析方法
高斯包络线性调制信号
1 /4
x (t) g (t t0)ejt2 0 t
e t t02/2 jt2 0 t
线性时频变换为
TxF (t,)x ()g ,(,t,)x()g(,t,)d 21 x ˆ()g ,ˆ(,t,) 21 x ˆ()g ˆ(,t,)d
(b)高斯调制函数的频谱图
例．线性Chirp信号的例子，对STFT和功率谱进行比较
t 1/2
周期离散Gabor展开
Wigner-Ville 分布
连续Wigner－Ville分布的定义和性质
WVD的一些实例及问题 高斯包络线性调制信号
两个在不同时间和以不同频率出现的 高斯调n类
Cohen类的另一种形式 例：Cohen类将STFT包含为一个特例
第9章 时－频分析方法
短时傅立叶变换 Gabor展开
Wigner－Ville分布 Wavelet变换
时－频分析的几个基本概念
信号的瞬时频率定义为
(t)'(t)
调制信号（Chirp信号） 线性和二次调制函数及瞬时频率如下
x(t)aj e t2 0 t , (t)2t0 x(t)aj e t3 t2 0 t , (t)3t22t0
信号时频分析-讲义-WVD
Wigner-Ville 分布Wigner-Ville 分布可以看作是一大类分布的原型，它们和短时傅立叶变换谱有着本质的不同。
它首先由Wigner 提出，用于量子力学领域问题的研究，后由Ville 引入到信号分析。
因为在计算中，信号需要用到两次，因此Wigner-Ville 分布被称为一种二次型分布。
基本定义及计算Wigner-Ville 分布可由信号x (t )本身或它的频谱)(ωX 定义为如下两种等价方式ττ+τ-=ωτω-+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i t x t x ,t WVD *x , (2.1.1) τθ+ωθ-ω=ωθ+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i t *x X X ,t WVD . (2.1.2) 其中*表示复数共轭。
要证明上面两式是等价的，只需将信号写成它的频谱形式，然后将其代入到(2.1.1)式，即可得到(2.1.2)式。
式(2.1.1)中，)2/()2/(*ττ+-t x t x 称为信号的瞬时相关函数，因此Wigner-Ville 分布实质上是对信号的瞬时相关函数的傅立叶变换，它的结果能够反映信号的时频特征。
例2.1.1 对于信号 )π400sin()(t t x = )10(≤≤t (2.1.3)其采样频率为1000 Hz 。
图2.1.1是其Wigner-Ville 分布，频率轴划分区间数为512。
图中清楚显示，该信号在整个时间段上，只含有一个频率为200Hz 的分量。
需要说明的是，图中显示的是Wigner-Ville 分布的绝对值，后面所有图中，如果没有特别注明，都默认显示的是绝对值。
图2.1.1 信号(2.1.3)的Wi gn er-Vi ll e 分布t /s f /H z W i g n e r -V il l e 分布5004003002001000 00.2 0.40.6 0.8 1 0.20.4 0.6 0.8例2.1.2)π50π100sin()(2t t t x += )20(≤≤t , (2.1.4)这是一个线性调频信号。
多分量线性调频信号时-频分析的交叉项抑制
Technology Analysis技术分析DCW91数字通信世界2020.051 移动通信网络发展现状近年来人们提出了一些对线性调频信号的处理方法，文献[3][4][5]采用Wigner-Ville （WVD ）时-频分布实现对单个固定目标的测量与单分量线性调频信号的检测。
因为时频分析的双线性时频特性（BTFD ），所以该方法对多分量线性调频信号的检测会产生严重的交叉项。
在时-频域，交叉项对信号项的检测会产生严重干扰。
为了抑制交叉项的影响，文献[6][7]提出将Radon-Wigner 变换方法应用于多分量线性调频信号检测与多目标识别。
该方法采用变尺度的两集搜索方法优化了WVD 平面的搜索问题。
针对多分量线性调频信号检测，这种方法有效抑制了强信号对弱信号的影响，减小了计算量并提高了多目标的分辨性能。
但是这种方法对交叉项的抑制效果不是很好。
除此以外，文献[10]针对多分量线性调频信号的WVD 时-频分布存在严重交叉项问题。
2 魏格纳-威利（WVD）时-频分布的性质（1）WVD 时-频分布结果总是实数。
因为：（1）（2）对WVD 时-频分布进行时间t 和频率f 的积分可以得到信号的总能量Ez ：（2）（3）WVD 时-频分布满足边缘特性：沿着特定的时间对频率进行积分就可以得到瞬时功率，沿着特定的频率对时间进行积分就可以得到能量谱密度。
所以，时间与频率的联合函数满足：（3）频分布具有对称性，即因为：对是信号（5）WVD 时-频分布满足以下时移，频移特性：若，则（6）WVD 时-频分布满足边缘特性，所以，时-频分布函数的平均值是时间和频率函数。
其特性满足：若则：（4）（7）通过WVD 时-频分布可以计算信号的平均时间、中心频率、持续时间和带宽。
同时可以利用它们来确定其满足不确定性原理。
3 魏格纳-威利（WVD）时-频分布二次交叉项由于WVD 分布的时-频函数是双线性函数，所以当存在多分量线性调频信号时，WVD 时-频分布会存在严重的交叉干扰项。
基于子带分解WVD的雷达信号时频分析方法
第6期
王露：基于子带分解 WVD 的雷达信号时频分析方法
·443·
之间的相互影响[8-10]，这对于消除 WVD 的交叉项 提供了新的思路。 针对多分量雷达信号 WVD 分析存在交叉项、 以及对噪声敏感的问题，本文基于谐波小波分析和 多分量信号子带分解理论，建立了一种新的多分量 信 号 子 带 分 解 WVD （ Sub-band Decomposition Wigner-Ville Distribution： SDWVD） 时频分析方法。 利用谐波小波变换对信号进行子带分解预处理，求 取每个独立分量的 WVD，最后进行线性求和获得 原始信号时频分布。仿真结果表明，对于在频域无 交叉的多分量信号，SDWVD 能够有效抑制交叉项 和噪声的干扰，提高时频分辨效果并准确提取出了 目标的特征信息，检测效果优于传统 WVD 分析方 法。
·442·
现代导航
2016 年
基于子带分解 WVD 的雷达信号时频分析方法
王露
（中国电子科技集团公司第二十研究所，西安 710068）
摘
要：研究利用谐波小波子带分解消除 Wigner-Ville 分布交叉项的雷达信号时频联合分析
方法。通过对多分量信号进行子带分解预处理来消除信号之间以及信号与噪声之间的相互影响， 并求取个独立分量的 WVD，最后进行线性求和获得原始信号时频分布。仿真分析结果表明，对 于在频域无交叉点的多分量信号，该方法能够有效抑制交叉项和噪声的干扰，提高了时频分辨效 果并能准确提取出目标的特征信息，检测效果优于传统 WVD 分析方法，将有助于提高雷达信号 检测、特征提取的能力。 关键词：多分量信号；交叉项；谐波小波变换；子带分解 中图分类号：TN911 文献标识码：A 文章编号：1674-7976-(2016)06-442-06
时频信号分析 PPT课件
由此可以得到Hilbert反变换的公式
x(t) 1 x$(t) 1 x$( ) d
πt
π t
设 x$(t) 为信号x(t)的Hilbert变换，定义
z(t) x(t) jx$(t)
为信号x(t)的解析信号。 对实信号x(t)引入解析信号z(t)的理由： （1） x(t) ——实，X(j Ω) ——共轭对称，即
这样，我们无法从局部频率处 ( 0或1 2 ) 的 X (j) 来得到某一局部时刻 (t t0或t1 t t2 ) 的 x(t)，反过来也是如此的。这就是说，通过傅里叶变 换建立起来时域——频率关系无“定位”功能。换 句话说，时间信号x(t)某个局部的改变将传遍（影响） 整个频率轴，相反也一样，X (j) 某个局部的变换也 将传遍整个时间轴。
但是受实际上不确定原理的制约，时间分辨率和频率 分辨率不能同时达到最好（即分辨间隔最小）。因此 在实际信号分析中，应根据信号的特点及信号处理任 务的需求选取不同的时间分辨率和频率分辨率。
时域突变信号——高的时域分辨率，降低频率分辨率 要求
时域慢变信号——降低时间分辨率，高的频率分辨率 一个“好”的方法，除了能够选择不同的时间分辨率 和频率分辨率外，还应能适应信号特点自动调节时域 的分辨率和频域的分辨率。
2、傅里叶变换对于非平稳信号的局限性
平稳信号 工程上 频率不随时间变化的信号（时
不变信号）
非平稳信号 工程上 频率随时间变化的信号（时
变信号） 定义上有别与平稳随机信号——均值（一阶矩）和 相关（二阶矩）函数不随时间变化。 非平稳信号——频率随时间变换不合适 X ( j)
与时间无关
EX: 线性频率调制信号
X ( j） x(t)e jtdt
时频分析基本理论
时频分析基本理论本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！时频分析基本理论一、时频分析的基本概念分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法是Fourier分析，Fourier变换是传统信号分析中最重要的数学工具。
Fourier变换建立了信号时域与频域之间变换的关系，而Fourier反变换则建立了一种能使信号从频域变到时域的路径，而且频域时域变换是一一对应的。
我们可以从频域和时域来分析一个信号。
基于Fourier变换解释了信号在频域的特征，Fourier 变换是一种全局变换。
在整体上，将信号分解为不同的频率分量，即对信号的表征完全在频域，这种表征同信号的时域形式是相对独立的，即两者不能同时联合描述信号。
为了分析和处理非平稳信号，我们使用时间和频率的的联合函数来表示信号，这种方法称为信号的时频表示或者联合时频分析，其基本思想是设计时间和频率的联台函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度和强度。
假设存在这样一个分布Wx（t，），就可以计算在某一特定时间的频率的密度，求在某一确定的频率和时间范围内的能量百分比，计算该分布的整体和局部的各阶矩等等。
在信号处理中，信号一般可以分为两类：确定性信号和随机信号。
而随机信号又分为平稳和非平稳信号。
平稳信号常用的处理方法是频域分析法，这种方法通常采用建立信号x（t）与其频谱X（f）之间的一一映射关系，调整傅立叶变换与傅立叶反变换之间存在的整体和全局的变化，即频谱只能是从整体信号的时域表示得到的，其时域表示只能从整体信号的频谱获得的，信号的平稳或非平稳主要是根据信号的统计量特征来衡量的。
因此，传统的傅立叶变换无法反映非平稳信号统计量的时间变化特征。
二、短时傅里叶变换短时傅立叶变换（窗口傅立叶变换）是用一个很窄的窗函数取出信号，对其求傅立叶变换，假定信号在这个时窗内是平稳的，得到该时窗内的频率，并过滤掉了窗函数以外的信号频谱，确定频率在特定的时间内是存在的，然后沿着信号移动窗函数，得到信号频率随时间的变化关系，这样就得到了时频分布。
基于WVD的隔离开关操作传导EMI时频分析
关键词: 隔离开关; 瞬态脉冲; WV 分布; 时频域; 分析
中图分类号: T M 867
文献标识码: A
文章编 号: 1003 6520( 2006) 04 0047 04
Time frequency Domain Analysis of Conducted EMI Caused by Disconnect Switch Operation Based on WVD
#
∀ W x ( t, ) = x ( t + / 2) x * ( t -#
#
∀ 或 WX ( , t) =
X ( + ∀/ 2) X * (
-#
/ 2) e- j ! d , - ∀/ 2) e- j∀t d∀,
并有 W x ( t, ) = W X ( , t ) 。WV D 象傅立叶变换一
样对整个时间轴积 分。为在计算机上实 现 WVD, 需对时间 t 和频率 离散化, 且对 x ( t) 做加窗处理。
效果也不同, 选择一合适的小波函数非常重要, 且小
波变换所得的坐标是尺度而非频率, 需根据小波函 数的类型转化[ 11] 。故本文采用 WV D 来分析。 1. 1 时频域分析的原理
1932 年 Wigner 首先提出 WVD 概念, 并 把它
应用于量子力学领域。1948 年 Ville 首先把它应用 于信号分析中[ 12] 。令信号 x ( t) 的自 WV D 定义为
变电站中安装的电子设备如在线监测和控制设
备日趋增多, 其安全性正受到一次设备发出的 EM I 信号的骚扰。本文将 研究 DS 操作引 起的传 导干
* 国家电力公司重大项目
! 48 ! Apr. 2006
H ig h Volt age Engineering
wvd变换的物理意义
WVD变换（Wavelet Transform）是一种用于信号处理和分析的数学工具，它可以将信号从时间域或空间域转换到小波域。
小波变换具有多尺度、多方向的特点，能够有效地提取信号在不同尺度上的细节信息。
从物理意义的角度来看，WVD变换具有以下几个方面的意义：
1. 信号分解：WVD变换可以将信号分解为不同尺度和方向上的细节成分，这些成分可以代表信号在不同尺度上的变化特征。
通过对这些成分的分析，可以更好地理解信号的结构和变化规律，为后续的信号处理提供更加全面的信息。
2. 信号去噪：在信号处理过程中，常常会受到噪声的干扰。
WVD变换可以将信号从时间域或空间域转换到小波域，通过对小波系数进行分析，可以有效地去除噪声，提高信号的信噪比。
3. 特征提取：WVD变换可以将信号的特征从时间域或空间域转换到小波域中，通过对小波系数的分析，可以提取出信号的特征向量，用于分类、识别、聚类等任务。
4. 压缩编码：在信号传输和存储过程中，为了节省空间和带宽，需要对信号进行压缩编码。
WVD变换可以将信号从时间域或空间域转换到小波域，通过对小波系数的压缩编码，可以实现高效的数据压缩和传输。
总之，WVD变换在信号处理中具有重要的应用价值，它可以将信号从时间域或空间域转换到小波域，通过对小波系数的分析和应用，可以实现信号的分解、去噪、特征提取、压缩编码等任务，为后续的信号处理和分析提供更加全面和高效的方法。
信号时频分析-讲义-WVD
Wigner-Ville 分布Wigner-Ville 分布可以看作是一大类分布的原型，它们和短时傅立叶变换谱有着本质的不同。
它首先由Wigner 提出，用于量子力学领域问题的研究，后由Ville 引入到信号分析。
因为在计算中，信号需要用到两次，因此Wigner-Ville 分布被称为一种二次型分布。
基本定义及计算Wigner-Ville 分布可由信号x (t )本身或它的频谱)(ωX 定义为如下两种等价方式ττ+τ-=ωτω-+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i t x t x ,t WVD *x , (2.1.1)τθ+ωθ-ω=ωθ+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i t *x X X ,t WVD . (2.1.2) 其中*表示复数共轭。
要证明上面两式是等价的，只需将信号写成它的频谱形式，然后将其代入到(2.1.1)式，即可得到(2.1.2)式。
式(2.1.1)中，)2/()2/(*ττ+-t x t x 称为信号的瞬时相关函数，因此Wigner-Ville 分布实质上是对信号的瞬时相关函数的傅立叶变换，它的结果能够反映信号的时频特征。
例2.1.1 对于信号)π400sin()(t t x = )10(≤≤t (2.1.3)其采样频率为1000 Hz 。
图2.1.1是其Wigner-Ville 分布，频率轴划分区间数为512。
图中清楚显示，该信号在整个时间段上，只含有一个频率为200Hz 的分量。
需要说明的是，图中显示的是Wigner-Ville 分布的绝对值，后面所有图中，如果没有特别注明，都默认显示的是绝对值。
图2.1.1 信号(2.1.3)的Wi gn er-Vi ll e 分布W i g n e r -V il l e 分布5000.2 0.4 0.6 10.20.40.60.8例2.1.2)π50π100sin()(2t t t x += )20(≤≤t , (2.1.4)这是一个线性调频信号。
地运动信号的时频分析
地运动信号的时频分析蔡宗义;吴祖堂;王占江【期刊名称】《解放军理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2007(008)005【摘要】对实测地运动信号,分别应用短时傅里叶变换(STFT)、Wigner-Ville分布(WVD)、小波变换(WT)和Hilbert-Huang变换(HHT)进行了分析,讨论了地运动信号的时频分布.结果表明,地运动信号有多个中心频率,信号能量在0～30 Hz以内,优势频率在12～15 Hz.4种时频分析方法都能反映地运动信号的时频特征,STFT和WVD只能粗略反映信号能量的分布情况,可以给出能量峰值对应的具体时间和频率,但其分辨率单一.WT和HHT可以给出信号能量比较详细的分布情况,WT具有多分辨率特点,但给出的能量分布在一定的带宽内,不能给出某一频率的能量分布.HHT 具有自适应性,给出的是某些特征分量的能量分布,也不能给出某一频率的能量分布.【总页数】5页(P546-550)【作者】蔡宗义;吴祖堂;王占江【作者单位】西北核技术研究所,陕西,西安,710024;西北核技术研究所,陕西,西安,710024;西北核技术研究所,陕西,西安,710024【正文语种】中文【中图分类】TD235.1;TN911.72【相关文献】1.一种新的估计多项式相位信号瞬时频率的参数化时频分析方法 [J], 方杨;彭志科;孟光;杨扬2.基于两种时频分析的裂缝性地层阵列声波测井信号时频特征 [J], 向旻;帕尔哈提;张峰玮3.基于时频重排的地震信号Wigner-Ville分布时频分析 [J], 吴小羊;刘天佑4.基于改进时频分析方法的雷达信号瞬时频率估计 [J], 白航;赵拥军;胡德秀;刘成城5.基于时频点聚类的雷达回波信号时频特性分析 [J], 巩学彬;余烈因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《时频信号分析》课件
图像处理中的傅里叶变 换应用
傅里叶变换可以将图像转换为 频谱图，从而在控制图像分辨 率和修改图像时起到重要的作 用。
小波分析及其应用
小波分析的定义
小波分析是对信号进行时频变换，利用不同的尺度和位置分析信号的频率。
小波变换的应用
小波变换可以用于信号压缩、信号去噪、图像处理等方面。
《时频信号分析》PPT课 件
时频信号分析是一门重要的工程学科，本课程将介绍其基础知识，相关的分 析方法和应用于工程领域的实际案例。
信号与系统基础知识
信号定义
信号是一种表达信息的物理量，可以是声音、光、电等。我们需要对信号进行分析、处理、 传输和处理。
系统定义
系统是这样的一些元素的集合，这些元素在某些条件下进行相互作用。系统可以是物理系统、 电子系统、生物系统等。
时频分析的定义
定义
时频分析是分析信号在时间和频率上变化的一种方法。
目的
时频分析的目的是找到信号在某个特定的时间点和频率上具有的主要特性。
方法
时频分析的方法包括时频分布、Wigner-Ville分布和小波变换等。
常见的时频分析方法
1
连续小波变换（CWT）
2
将信号分解成不同尺度的小波函数，
并分析每个小波函数的频谱行为。
总结和展望
时频信号分析是一门独立但又紧密联系的学科，具有广泛的应用前景。在 未来，时频分析将不断发展完善，为我们的生活带来更多的便利和创新。
信号与系统的关系
信号是系统的输入或输出，系统会对输入信号进行处理，输出相应的信号。
时域和频域的概念
时域
时域是对信号随时间变化的描 述，通俗地说，它告诉我们信 号的"长相"。
基于VMD-WVD的故障行波全波形时-频分析方法
第50卷第7期电力系统保护与控制Vol.50 No.7 2022年4月1日 Power System Protection and Control Apr. 1, 2022 DOI: 10.19783/ki.pspc.211020基于VMD-WVD的故障行波全波形时-频分析方法曾 哲，邓 丰，张 振，曾祥君，黄懿菲，冯思旭，冯 杰(长沙理工大学电气与信息工程学院，湖南 长沙 410114)摘要：受高阻接地故障、过零点故障和高频噪声等因素的影响，行波波头检测困难，导致行波保护和故障定位方法可靠性不高。
由于故障行波具有全时频特性，检测一定时间窗内时频域行波波形将包含全景故障信息，从而实现故障特征可观测。
融合故障行波时频域信息，提出了基于全波形信息的故障行波表现形式。
在此基础上，提出了一种基于变分模态分解(VMD)和Wigner-Ville分布(WVD)的行波时频分析方法。
对故障行波进行VMD分解，得到多个单一成分的固有模态分量。
利用Wigner-Ville分布分解各固有模态分量，将分解结果线性叠加即可得到行波时频域波形，即行波全波形。
利用该方法对模拟和实测行波信号进行分析，结果表明：该方法具有良好的噪声抑制作用，同时具有较高的时频分辨率和聚集性，实现了行波全波形的真实、准确提取。
应用于1:1真型配电网实验平台中，可实现准确故障定位，且不受高阻接地故障、过零点故障、噪声干扰和采样率等因素的影响，有望大大提高行波保护和故障定位方法的可靠性。
关键词：行波全波形；变分模态分解；Wigner-Ville分布；时频联合分析Time-frequency analysis of a traveling wave based on VMD and WVDZENG Zhe, DENG Feng, ZHANG Zhen, ZENG Xiangjun, HUANG Yifei, FENG Sixu, FENG Jie(College of Electrical and Information Engineering, Changsha University of Science & Technology,Changsha 410114, China)Abstract: It is a challenge to accurately extract a traveling wavefront because of the high resistance grounding fault, zero-crossing fault and high frequency noise, resulting in low reliability of traveling wave-based protection and the fault location method. Since the traveling wave has full time-frequency characteristics, the real-time detection of traveling wave in the time-frequency domain will contain panoramic fault information, which can realize the observability of the fault characteristics. Fusing the traveling wave in the time-frequency domain, a new traveling wave representation in 3D subspace, called full waveform, is proposed. A novel time-frequency analysis method based on variational mode decomposition (VMD) and Wigner-Ville distribution (WVD) is presented. The traveling wave signals are decomposed by VMD, and the mode components are extracted. Wigner-Ville distributions of mode components are computed and the Wigner-Ville of each component signal is added linearly to reconstruct the Wigner-Ville of the original signal. The proposed method is applied to analyze the simulated and practical measured traveling wave signals. The results show that the proposed method can guarantee good noise suppression of the VMD, and the high time-frequency resolution and energy aggregation of the Wigner-Ville distribution. The proposed method produces a true and accurate extraction of the full waveform. Applied to a 1:1 real model experimental platform, it can realize accurate fault location in a way that is not affected by high resistance grounding fault, zero-crossing fault, noise interference and sampling rate. It is expected to greatly improve the reliability of the traveling-wave-based protection and fault location method.This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 52077008).Key words: traveling wave full-waveform; variational mode decomposition (VMD); Wigner-Ville distribution (WVD);time-frequency analysis0 引言故障行波具有全时频特性[1]，一定时间窗内的基金项目：国家自然科学基金项目资助(52077008)；2021年大学生创新创业训练项目(S2021105360028) 时频域行波将携带网络拓扑结构、故障点位置、故障点参数等在内的全景故障信息，对故障行波进行真实、可靠的时频分析，可获取各行波特征频带的时间、频率、幅值和相角等在内的全景故障特征[2-6]，实现检测点故障特征可观测，有望大大提高行波保护和故障定位方法的可靠性。
维格纳-威利分布(WVD)平滑方法的研究
- 1 -维格纳-威利分布(WVD)平滑方法的研究陈耀1 ，王莉2, 3 ，冯志彪11同济大学电子与信息工程学院（200092）2上海理工大学电气工程学院（200093）3上海医疗器械高等专科学校 （200093） chenyao@摘 要：维格纳-威利分布(WVD)是非平稳信号分析的有力工具，但交叉项的存在一定程度上阻碍了它的应用。
本文主要论述了抑制WVD 中交叉项的平滑方法，比较了他们各自的特性，并指出了需进一步研究的问题。
关键词：交叉项，平滑，核函数，维格纳-威利分布，时频分布1．引言时频分布是非平稳信号分析的有力工具，常用的时频表示方法有短时傅里叶变换(STFT)、戈勃(Gabor)展开、小波变换、维格纳-威利分布(WVD)等[1]。
其中维格纳-威利分布(WVD)是非线性时频表示中非常重要的一种，具有很好的时间和频率分辨率，但由于是二次时频表示，交叉项（Cross-terms ）的存在一定程度上阻碍了它的应用，因此许多研究者对抑制交叉项提出了各自的方法。
2．WVDWVD(Wigner-Ville Distribution)，有时也称为WD(Wigner Distribution )，1932年由匈牙利出生的美国物理学家Wigner 提出，最初用于量子力学，1948年法国科学家Ville 把它引入信号处理领域。
在许多方面取得了成功的应用，如地震勘探信号处理、生物信号的表示、机械故障的分析[2]以及时变信号的滤波等。
信号s(t)的维格纳分布定义为ττ−τ+=τ−∫d e )2t (*s )2t (s )w ,t (W jw （1）WVD 具有很好的时间、频率分辨率，图1给出了一个线性调频信号的WVD ，可以清晰的看到信号的时频特性。
- 2 -(a) 原始信号 (b) WVD图1 线性调频信号由于是WVD 属于二次时频表示，对有些信号不可避免会产生交叉项，交叉项的存在对它的应用造成了不小的障碍，图2给出了两个线性调频信号的叠加WVD ，可以明显看到两个信号之间的交叉项。
信号时频分析-讲义
- -从Fourier 分析到小波分析1 Fourier 分析所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息.当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析,这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。
信号是无处不在的.如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。
对一个给定的信号或过程，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它,如)(t x 的函数表达式，通过Fourier 变换所得到的)(t x 的频谱，即)(ˆωx,再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。
在这些众多的描述方法中,有两个最基本的物理量，即时间和频率。
Fourier 变换和反Fourier 变换作为桥梁建立了信号)(t x 与其频谱)(ˆωx之间的一对一映射关系,从时域到频域的映射关系为Fourier 变换:⎰∞∞--=dt e t x x t j ωω)()( （1—1） 反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier 变换：⎰∞∞-=ωωπωd e x t x t j )(21)( (1—2) Fourier 变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径,一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。
Fourier 变换和反Fourier 变换属于整体或全局变换,即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的时域表示。
也就是说频谱)(ˆωx 的任一频点值都是由时间过程)(t x 在整个时域（—∞,∞）上的贡献所决定；反之，过程)(t x 在某一时刻的状态也是由其频谱)(ˆωx在整个频域(-∞，∞)上的贡献所决定。
也就是说，)(t x 在任何时刻的- -微小变化都会牵动整个频谱,而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程)(t x 。
信号时频分析PPT课件
[例10-3-1] 试用短时傅里叶变换分析线性调频信号的频谱图
fs = 10000; t = 0:1/fs:2; x = vco(sawtooth(2*pi*t,.75),[0.1 0.4]*fs,fs); specgram(x,512,fs,kaiser(256,5),220)
分析窗长度的选择
连续STFT变换的特殊情形
w(t) 1 STFT (t,) xˆ()
短时傅里叶变换退化成一般傅里叶变换
w(t) (t) STFT (t,) x(t)e jt
短时傅里叶变换退化成时域信号 x(t)
连续STFT逆变换
STFT(t,) 加窗 v(t)
✓计算加窗短时傅里叶变换的傅里叶逆变换
~
m
xn (m) x(n m)w(m) w(0)x(n), w(1)x(n 1),..., w(Nw 1)x(n Nw 1)
✓STFT频域采样的要求 ▪ xn (m) 是一个序列长度等于Nw的短时序列 ▪ 据DFT理论，频域最小采样长度是Nw
▪ 离散STFT等效对短时序列周期延拓
▪ 逆离散STFT变换
▪增加采样长度对时变信号DFT分析的结果
x(t)
0.2
cos(2 50t), 0 t 0.09S cos(2 150t), 0.09S t 0.18S
tp 0 ~ 0.09S
tp 0 ~ 0.18S
时变信号的分析方法
✓需采用时频联合分析方法
✓短时傅里叶变换STFT ✓戈勃（Gabor）变换 ✓小波变换（Wavelet Transform，WT） ✓WVD（Wigner—Ville Distribution）分布 ✓Cohen类时频分布
▪重建完整信号 x(n), n ~ 分析窗滑动间隔R需满足： R N w
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Wigner-Ville 分布Wigner-Ville 分布可以看作是一大类分布的原型，它们和短时傅立叶变换谱有着本质的不同。
它首先由Wigner 提出，用于量子力学领域问题的研究，后由Ville 引入到信号分析。
因为在计算中，信号需要用到两次，因此Wigner-Ville 分布被称为一种二次型分布。
基本定义及计算Wigner-Ville 分布可由信号x (t )本身或它的频谱)(ωX 定义为如下两种等价方式ττ+τ-=ωτω-+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i t x t x ,t WVD *x , (2.1.1)τθ+ωθ-ω=ωθ+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i t *x X X ,t WVD . (2.1.2) 其中*表示复数共轭。
要证明上面两式是等价的，只需将信号写成它的频谱形式，然后将其代入到(2.1.1)式，即可得到(2.1.2)式。
式(2.1.1)中，)2/()2/(*ττ+-t x t x 称为信号的瞬时相关函数，因此Wigner-Ville 分布实质上是对信号的瞬时相关函数的傅立叶变换，它的结果能够反映信号的时频特征。
例2.1.1 对于信号)π400sin()(t t x = )10(≤≤t (2.1.3)其采样频率为1000 Hz 。
图2.1.1是其Wigner-Ville 分布，频率轴划分区间数为512。
图中清楚显示，该信号在整个时间段上，只含有一个频率为200Hz 的分量。
需要说明的是，图中显示的是Wigner-Ville 分布的绝对值，后面所有图中，如果没有特别注明，都默认显示的是绝对值。
图2.1.1 信号(2.1.3)的Wi gn er-Vi ll e 分布W i g n e r -V il l e 分布5000.2 0.4 0.6 10.20.40.60.8例2.1.2)π50π100sin()(2t t t x += )20(≤≤t , (2.1.4)这是一个线性调频信号。
采样频率为500Hz ，图2.1.2是其时域波形和频谱，图2.1.3是其Wigner-Ville 分布，频率轴划分区间数为512。
频谱图显示该信号的频率范围在50Hz 至150Hz 之间，但却不能反映频率随时间的变化关系，而Wigner-Ville 分布图则清楚表明该信号的频率是随时间呈线性增加，是个线性调频信号。
图2.1.2 信号(2.1.4)的时域波形和频谱图2.1.3 信号(2.1.4)的Wi gn er-Vi ll e 分布W i g n e r -V il l e 分布25020.20.40.60.8幅值幅值2-0.50.512500.010.020.030.040.050.060.070.080.09基本性质Wigner-Ville 分布是一种最基本，也是应用最多的时频分布。
熟悉Wigner-Ville 分布的数学性质对于全面了解该分布是十分必要的。
下面给出了Wigner-Ville 分布的一些主要性质。
(1) 实值特性Wigner-Ville 分布),(ωt WV D x 总是实值的，即便信号是复数。
根据式(2.1.1)，),(ωt WVD x 的共轭复数定义为ττ-τ+-=ττ+τ-=ωτω--∞∞τω+∞∞-⎰⎰d )e 21()21(π21d )e 21()21(π21)(i i t x t x t x t x ,t WVD ***x)(d )e 21()21(π21i ω=ττ-τ+=τω-∞∞-⎰,t WVD t x t x x *, (2.2.1) 因此，),(ωt WVD x 是实值函数。
(2) 时频边缘特性Wigner-Ville 分布),(ωt WVD x 具备如下时频边缘特性。
2)(d ),(t x t WVD x =⎰ωω , (2.2.2) 2)(d ),(ωωX t t WVD x =⎰ , (2.2.3)很显然，)d ()e 21()21( d d )e 21()21(π21d )(i i ⎰⎰⎰⎰τδτ-τ+=ωττ-τ+=ωωτω-τω-t t x t x t x t x ,t WVD **x)(2t x = , (2.2.4)类似可证明边缘特性(2.2.3)。
在信号分析中，信号x (t )的瞬时功率定义为信号模值的平方 |x (t )|2，类似地，信号在某一频率的能量强度叫做能量谱密度，它是信号傅立叶变换谱的平方|X (ω)|2。
因此，Wigner-Ville 分布的边缘特性表明，该分布关于时间t 和频率ω的积分分别给出了信号x (t )在t 时刻的瞬时功率和在频率ω的能量谱密度。
(3) 能量守恒 Wigner-Ville 分布是一种能量守恒的变换，这可由该变换的时频边缘特性很容易地给出证明。
⎰⎰⎰=ωωωωd )(),(2X dtd t WVD x , (2.2.5)(4) 时移和频移不变性 如果()()0i 0et t x t x t-→ω，则),(),(00ωωω--→t t WVD t WVD x x , (2.2.6)将()0i 0et t x t-ω代入Wigner-Ville 分布的定义中，可知新信号的Wigner-Ville 分布),(ωt WV D n e w可表示为d )e 21()21(π21 d )e 21()e 21(e π21)()ω(ωi 00i 0)2(i 0)2(i 000⎰⎰ττ--τ+-=ττ--τ+-=ω-τ-τω-τ-ω-τ+ωt t x t t x t t x t t x ,t WVD **/t /t new),(00ωω--=t t WVD x , (2.2.7)该性质表明，当信号在时间轴上移位一时间段时，它的整个Wigner-Ville 分布也将相应地移位相同的时间量。
类似地，如果信号的频谱平移一固定的量，则其分布也将平移相同的量。
(5) 时频伸缩相似性: 如果)(||)(ct x c t x →，则)/,(),(c ct WVD t WVD x x ωω→ , (2.2.8)这一性质显然应该成立，否则，如果把信号sin(4πt ) (0<t <1)看作是经由尺度参数c =2对信号sin(2πt ) (0<t <2) 进行压缩得到的信号，那么伸缩相似性的不成立将导致以下后果：在二维时频面上，如果信号sin(2πt )的时频分布被正确地显示在1Hz 处，那么信号sin(4πt )的时频分布将不会正确地出现在2Hz 处。
类似地可推出，如果该时频伸缩相似性不成立，那么后续的有限支撑性质也不能满足。
(6) 卷积性质 如果信号y (t )是信号x (t )和h (t )的卷积，则y (t )的Wigner-Ville 分布是x (t )和h (t )的Wigner-Ville 分布的时域卷积，即如果⎰-=τττd )()()(x t h t y , 则⎰-=τωτωτωd ),(),(),(x h y WVD t WVD t WVD , (2.2.9)(7) 乘积性质 如果信号y (t )是信号x (t )和h (t )的乘积，则y (t )的Wigner-Ville 分布是x (t )和h (t )的Wigner-Ville 分布的频域卷积，即如果)()()(t x t h t y =, 则⎰-=τττωωd ),(),(),(t WVD t WVD t WVD x h y , (2.2.10)(8) 有限支撑性质如果信号x (t )是时域有限支撑的，则它的Wigner-Ville 分布也具有同样的时域有限支撑，即如果0)(=t x ，T t >||，则0),(=ωt WVD x ，T t >||。
类似地，如果信号x (t )是频域有限支撑的，则它的Wigner-Ville 分布也具有同样的频域有限支撑。
(9) 对线性调频信号分析的良好集中性Wigner-Ville 分布可以精确地反映线性调频信号的频率信息，如tt et x )2i(0)(β+ω=，则))((),(0t t WVD x βωωδω+-= . (2.2.11)交叉干扰项及其抑制虽然Wigner-Ville 分布具有很多优良的数学性质，遗憾的是，它却不满足可加性。
考虑信号)()()(21t x t x t x += , (2.3.1)将它代入式(2.1.1)可知，信号x (t )的Wigner-Ville 分布可写为),(),(),(),(),(122121ωωωωωt WVD t WVD t WVD t WVD t WVD x x x x x x x +++= , (2.3.2)其中ττ+τ-=ωτω-+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i 2121t x t x ,t WVD *x x , (2.3.3) ττ+τ-=ωτω-+∞∞-⎰d )e 21()21(π21)(i 1212t x t x ,t WVD *x x , (2.3.4) 这两项称为互Wigner-Ville 分布，它们是复值的，并且可看出),(),(*1221ωωt WVD t WVD x x x x = , (2.3.5) 因此，),(),(1221ωωt WVD t WVD x x x x +是实值的。
这样，式(2.3.2)可简写为[]),(Re 2),(),(),(2121ωωωωt WVD t WVD t WVD t WVD x x x x x ++=. (2.3.6)由此可以看出，两个信号和的Wigner-Ville 分布并不是简单的两个信号各自的Wigner-Ville 分布之和，附加项[]),(Re 221ωt WVD x x 通常称为交叉项。
通过Wigner-Ville 分布的定义也可以直观地解释交叉项是怎么出现的。
正如前面所述，信号某时刻的Wigner-Ville 分布是位于该点过去的信号等长度地乘以位于该点未来的信号，然后作傅立叶变换。
因此，只要该点的右边部分和左边部分存在重叠，则即使信号在该点的值为零，该点的Wigner-Ville 分布也是非零的。
如图2.3.1所示，显然位于t 1和t 2之间的点的Wigner-Ville 分布不会为零，这些非零点就是交叉项在时域的体现。
这是在时域的示意，在频域同样如此。
为了更好地说明交叉项，下面给出三个典型信号的Wigner-Ville 分布。
例2.3.1 该信号的时域波形如图2.3.1所示，其中x 1(t )和x 2(t )都是频率为20Hz 的正弦信号，t 1=2秒，t 2=5秒。
图2.3.2给出了该信号的Wigner-Ville 分布，可清楚看到中间部分出现了交叉项。
图2.3.2 例2.3.1信号的W i gner -Vil l e 分布 (频率轴划分区间数为512)例 2.3.2 分析信号)π80sin()π20sin()(t t t x +=(50≤≤t )。