分类与整合思想
解决数学问题的方法有哪些
解决数学问题的方法有哪些数学问题蕴含着很多日常的生活中，所以，家长应该根据日常生活遇到的问题，对孩子经常性的训练，比如间距问题，楼层问题，开关灯问题，等等，都是可以通过实践来学习的。
下面小编给大家整理了关于解决数学问题的方法，希望对你有帮助!1解决数学问题的方法一个看似复杂的数学问题实际上有好多个简单问题组合而成，要解决它们的关键是能够有丰厚的基础知识储备，有灵活多变的数学思想方法。
首先，要审清题干，明确你已知什么，包括题干中给出了什么具体信息，隐含信息。
这样你才知道你有什么，这是你要得到什么的基础前提。
带着这样的思路去分析问题，就是一种数学上由已知推未知的思路。
数学其实本质上就是在做这样的事情，不管是推理还是计算。
其次，要将题目进行推理转化，类似于数学上的分析法。
如我要吃饭，那我得先做饭或者买饭，做饭的话需要什么材料需要什么步骤，买饭的话需要多少钱买什么东西。
然后一直这样追问下去，直到将问题的源头和最终要解决的问题联系起来，那么就完成解决问题的思维过程，也就是转化完毕。
将思维的过程从前到后整理成逻辑性的步骤。
可以说第二步就是逆向思维的过程，这就是正向推导的逻辑推理。
步骤要运用到最基本的推理，这些是你完成步骤最基本的保证。
2思想代入法，这列方法往往是给定了一些条件，比如a大于等于0，小于等于1。
b大于等于1，小于等于2.这些给定了一些特殊的条件，然后让你求一个ab组合在一起的一些式子，可能会很复杂。
但是如果是选择题，你可以取a=0.5，b=1.5试一试。
还有就是可以把选项里的答案带到题目中的式子来计算。
倒推法!!比如下一题坐标法，如果做的一些图形题完全找不到思路，第一可以用比例法，第二可以用坐标法，不用管什么三角函数，直接找到两点坐标，直接带入高中函数求角度(cos公式)求垂直，求长度，相切相离公式。
直接直捣黄龙，不用一点点找角度做什么麻烦的事区间法，这类方法也成为排除法，靠着大概计算出的数据或者猜一些数据。
分类与整合,高中数学解题中重要思想论文
分类与整合,高中数学解题中的重要思想分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中学数学重要的思想方法之一。
分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合思想在高考中占有十分重要的地位，是一个热点问题。
其原因是：分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考察数学能力”的要求。
那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与整合有何标准和方法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问题.下面结合具体题型来回答这些问题。
一、由数学概念引起的分类例1：设且，比较与| |的大小.解: .①当时，，所以| .②当时，所以| .由①、②可知| .评：本题是由对数函数的概念内涵引发的分类，称为概念分类型，由概念内涵分类的还有很多，如：绝对值；直线的斜率；指数函数等.二、由定理、公式引起的分类例2：设等比数列的公比为，前项和（ =0，1，2，3…）（1）求的取值范围；（2）设，记的前项和为，试比较与的大小。
分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等比数列的公比.解：（1）因为是等比数列，，可得，，当时，；当时，，即（ =1，2，3，…），上式等价于①（ =1，2，3，…）或②（ 1，2，3，…），解①式得；解②式，由于可为奇数、可为偶数，故 .综上，的取值范围是（-1，0）（0，+∞）.（2）由，得，，于是 .又因为，且或，所以，当或时，，即；当且时，，即；当或时，，即评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前项和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对与要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比是否为零，进行分类。
三、由变量或参数的取值范围引起的分类例3：已知在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数的取值范围. 解：设，，由题意知, , ,恒成立,故只须在［-2,2］上的最小值为非负即可.⑴当- <-2,即时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得，这与矛盾,故舍去.⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因为<-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数图像的对称轴为 ,由于为参数不确定,所以要分在区间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角－－的两个面内移动，若和平面所成的角分别为，试讨论的范围. 解：（1）当时， .（2）与不垂直时，在平面内作，为垂足，连接 .∵平面∴ .∴是与平面所成的角，即 .在平面内作，垂足为，连结 .同理， .在中，，在和中，即。
高中数学七大基本思想方法讲解
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（2）从具体出发，选取适当的分类标准
（5） 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五： 特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（4） 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法
常用的数学思想和方法
不怕难题不得分，就怕每题扣点分！常用的数学思想和方法一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想；5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)；⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法．六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化．七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类．【特别提醒】1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明．6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题．7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的．8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固．⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。
高中数学x思想方法-分类讨论与整合
分类讨论与整合思想方法例题解析高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。
下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等. 例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意. 综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log nn b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为. 分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2 B ．2π C ．π2或2π D ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同.变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论 例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解: 由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和 为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a 为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ， 则m 的值为 A ．3B ．253或3C ．5D ．3155或156. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案. 点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种．变式练习答案及专题总结:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭ 故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a 时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1． 综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ． （2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m .⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m a c -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．【命题预测】分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。
分类与整合思想例析
分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。
(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。
分类与整合思想
分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论．汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合．1．若一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝02．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16D ．323．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实 数m 组成的集合是( ) A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，124．已知函数f (x )＝x |x －a |－a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值 范围是________．二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5．已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833B ．4 3 C.239D ．43或8336．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12 C ．0D ．0或－127．已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为______．8．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三 角形，则这样的点P 的个数为________．9．已知实数a ，x ，a >0且a ≠1，则“a x >1”的充要条件为( ) A ．0<a <1，x <0 B ．a >1，x >0 C ．(a －1)x >0D ．x ≠010．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时 成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)一、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.1．据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…， b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1,2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A ．若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB ．若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C ．A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D ．A ＜B ，B ＜A 可同时成立2．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a3．已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1,12] D.⎣⎡⎦⎤－32，12 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.5．若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实 数m 的取值范围是________．6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三 棱锥P －ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．2407．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是 ________________．8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．9．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20， 则点P 的横坐标的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足 －1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝ln x ．若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2都成立，则实数 a 的取值范围为________．1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A ．a 1a 8>a 4a 5B ．a 1a 8<a 4a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－23．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数6．设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－32，32 C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是()A ．(0,2e)B ．(0，e)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，1e 8．已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3,3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )A ．[－2，－1]B ．[－2，2]C ．[－2，－1)∪(1，2]D ．(－2，－1)∪(1，2)9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.10．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．11．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________， 最大值是________．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________．。
高考数学第3讲 分类与整合思想——巧分善合
33a，
33a，＋∞.
大二轮复习 数学（文）
几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解． (3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性的问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
大二轮复习 数学（文）
2．(2019·东营模拟)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲 线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线 C 的离心 率等于________．
大二轮复习 数学（文）
解析：不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中，t≠0.若该曲 线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
解析：选 A.①当 2－a≥2，即 a≤0 时，22－a－2－1＝1，解得 a＝－1， 则 f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②当 2－a<2 即 a>0 时，－log2[3－(2－a)]＝1， 解得 a＝－12，舍去． 所以 f(a)＝－2.故选 A.
大二轮复习 数学（文）
(2)(2019·阜阳二模)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18， 则{an}的前 9 项和 S9＝________．
解析：由题意得 q2＝aa13＋＋aa46＋＋aa79＝9，q＝±3， ①当 q＝3 时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6， S9＝2＋6＋18＝26 ②当 q＝－3 时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18 ＝14， 所以 S9＝14 或 26. 答案：14 或 26
大二轮复习 数学（文）
分类与整合的思想——数学思想方法系列讲座(4)
，
顺应核心 素养发展
从文 化基础
，
、
自
主 发 展 、 社 会 参 与 三 方 面 造 就 全 “ 面 发 展 的
人” 。
二 是采 取鼓 励 、 表 扬 和 赞美 为 主 的 交 互
方 式 努 力 培 养 人 的 积 极 心 态 、 进 取精 神 以 及 ，
博雅 情怀 。 三 是 发挥 教 师的 榜样 力 量 ， 增 强 教
其 次 “ 颂歌教 学 法 ” 在实 践上 具有 突 出 的 ，
操作 性 特征 。 它 迎 合 当 下 人才 培 养 ห้องสมุดไป่ตู้ 价值 追
求 ， 遵 循有 效 实施 的 基本 原 则 ， 同 时 也 需要 处 理好教育 过 程 中 的几 对 关 系 。
明
确
三点价值追求
：
是 一
立
足学生
的
独 立
担当 能力
时 眼 中 只 有 个 体 ， 而 无全 牛 （ 目 无 全牛 ） 。 这 个 故 事 告
诉我 们 ：
当我们掌握事物
的规 律后
，
办起事 来就 会得心
应 手 ， 运 用 自 如 。 “ 目 无 全牛 ” 对 数 学 学 习 的 启 示 是 当 我 们 对 一 个
，
问 题 的 整 体无法 下 手 时 ， 可 以 通 过 研究 问 题 的组 成结
师 的 教学 能 力 真 正 实现高 品 质 的 公 民教 育 。 ，
坚 持 四 个 基 本 原 则 ： 一 是 专 注 性 ， 即 要 求
主体 对课堂 的热 情 参 与 和 高 度专 注 ， 让教师 和
学生 沉浸其中 。
二 是 诱导 性 即 要 求 发 挥教 师 ，
常见的数学思想方法
常见的数学思想方法：分类与整合解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。
有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。
高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。
特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。
此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。
随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。
：函数与方程著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。
一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。
函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
2.分类讨论与整合思想
【例 3】2008 广东卷， 已知 a R ， （ 理） 若关于 x 的方程 x 2 x a 有实根，则 a 的取值范围是
1 a 0 4
． 1 【分析及解】本题有两个绝对值符号 a 和 a ，为去掉绝对值符号，就要把 4 全体实数分为 5 种情形讨论.
1 1 (1) 当 a 0 时, 方程为 x 2 x 2a 0 ,此时 x 2a 0 ,方程无解; 2 4 1 1 (2) 当 a 0 时,方程为 x 2 x 0 ,有实根 x ; 4 2 1 1 1 (3) 当 0 a 时, 方程为 x 2 x 0 ,有实根 x 4 4 2 1 1 1 (4) 当 a 时, 方程为 x 2 x 0 ,有实根 x ; 4 4 2 1 1 (5) 当 a 时, 方程为 x 2 x 2a 0 , 此时 2 8a 0 ,方程无解. 4 4 1 综合以上, a 的取值范围是 0， . 4
1 （2）当 1 时,对称轴的方程为 x . 1 ①当 1时, 二次函数 h x 的图象开口向上，若 h x g x f x 1
1 ;
1 在 1,1 上是增函数，应满足 1 ,解得 1； 1 ②当 1 时, 二次函数 h x 的图象开口向上，若 h x g x f x 1
2.分类讨论与整合思想
在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的 方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就 必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区 域内进行解题，这就是分类讨论的思想方法．分类思想是以概念的划分，集合 的分类为基础的思想方法，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般 化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”， 但分类解决问题问题之后， 还必须把它们总合在一起，这种“合－分－合”的解决问题的过程，就是分类与 整合的思想方法．
2014年高考三轮复习数学思想方法专题三 分类与整合思想教师版
答案D解析当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.
当0<a<1时，y＝ax－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.
4．(2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若
2．(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于()
A．－B．－C.D.
答案B解析设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.当t>0时，cosθ＝；当t<0时，cosθ＝－.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
答案B解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1.
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．
∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.∵－1<a<0，∴a＝－.
反思归纳(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．
思想方法第三讲分类与整合思想
第三讲 分类与整合思想Z 知识整合hi shi zheng he一、分类与整合思想的含义分类与整合思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．二、分类与整合的常见类型有关分类与整合的数学问题需要运用分类与整合思想来解决，引起分类与整合的原因大致可归纳为如下几种：1．由数学概念引起的分类与整合：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类与整合：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类与整合：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类与整合：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类与整合：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．命题方向1 由概念、法则、公式引起的分类与整合例1 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝－32. [解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.『规律总结』“四步”解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题第一步：确定分类对象：一般把需要用到概念、法则、公式解决问题的对象作为分类目标．第二步：确定分类标准：运用概念、法则、公式对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”：对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理． G 跟踪训练en zong xun lian1．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在区间[0，＋∞)上是增函数，则a ＝14.[解析] 若a >1，则a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．综上可知，a ＝14.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为1或－2[解析] f (1)＝e 0＝1，，即f (1)＝1， 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )．所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1<a <0，所以a ＝－22.故a ＝1或－22. 命题方向2 由图形位置或形状引起的分类与整合例2 (1)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( D )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC ，如图1所示．此时，7≤z <8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图2所示，z max ＝8. 综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为12或32.[解析] 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ， 若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝3t 2t ＝32.所以圆锥曲线T 的离心率为12或32.『规律总结』图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．G 跟踪训练en zong xun lian(2017·郑州三模)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为72或2. [解析] 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43， 所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20.所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.命题方向3 由变量或参数引起的分类与整合(文)例3 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间．[思路探究] 看到求f (x )＝x 3－ax －b 的单调区间，想到对参数a 进行分类整合，分为a ≤0和a >0两种情况．[解析] 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立． 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如表：所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞.『规律总结』几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类． (理)例3 已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．(1)若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． [解析] (1)因为函数g (x )过点(1,1)， 所以1＝a1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2xx ＋1.所以f ′(x )＝1x ＋1＋2(x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2. 所以f ′(0)＝3.所以所求的切线的斜率为3. 又f (0)＝0，所以切点为(0,0)． 故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x >－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2.①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0. ②当a <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >－1，得－1<x <－1－a ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a . 综上可知，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)内单调递增；当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )内单调递减，在(－1－a ，＋∞)内单调递增．『规律总结』1．几种常见的由参数变化引起的分类讨论 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题． (4)二元一次方程表示曲线类型的判定等． 2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏．(3)讨论结果归类合并，最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．G 跟踪训练en zong xun lian当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是(－∞，32]. [解析] 由约束条件作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，解得C (1，32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)． 由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4， 要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件， 若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可．即2a ＋1≤4，得0<a ≤32.综上a ≤32.所以实数a 的取值范围是(－∞，32]．。
《名师伴你行》2022高考数学(理)二轮复习检测：专项突破训练3分类与整合思想 Word版含答案
专项突破训练(三) 分类与整合思想(时间：45分钟 分数：80分) 一、选择题(每小题5分，共30分)1. (2021·江西上饶一模)函数f (x )＝2|log 2 x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x 的图象为( )答案：D解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当0＜x ＜1时，f (x )＝1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x ；当x ≥1时，f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝1x ，故选D.2．(2021·山东聊城模拟)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2 答案：D解析：将y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，当a ＞0时，准线y ＝14a ，由已知得3＋14a ＝6，∴1a ＝12，∴a ＝112.当a ＜0时，准线y ＝－14a ，由已知得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136或a＝112(舍)．∴抛物线方程为y ＝x 212或y ＝－136x 2，故选D.3．(2021·四川绵阳二诊)某人依据自己爱好，期望从{W ，X ，Y ，Z }中选2个不同字母，从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z 和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有( )A ．198个B ．180个C ．216个D ．234个 答案：A解析：不选2时，有A 33A 24＝72个；选2，不选Z 时，有C 12C 23A 22A 23＝72个； 选2，选Z 时，2在数字的中间，有A 23C 12C 13＝36个，当2在数字的第三位时，A 23A 13＝18个．依据分类加法计数原理知，共有72＋72＋36＋18＝198个，故选A.4．(2021·山西高校附中月考)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2 m ＝1的离心率是( )A.32B. 5C.32或52D.32或 5答案：D解析：∵m 是2,8的等比中项，∴m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4，若m ＝4，∴椭圆x 2＋y 2m ＝1的方程为x 2＋y 2m ＝1，∴其离心率e ＝1－14＝32，若m ＝－4，则双曲线方程为x 2－y24＝1，离心率e ＝1＋4＝5，故选D.5．(2021·福建厦门质检)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝f (x ＋2)，当0＜x ＜2时，f (x )＝1－log 2(x ＋1)，则当0<x <4时，不等式(x －2)f (x )＞0的解集是( )A ．(0,1)∪ (2,3)B ．(0,1)∪(3,4)C ．(1,2)∪(3,4)D ．(1,2)∪(2,3)答案：D解析：当0＜x ＜2时，x －2＜0，不等式可化为⎩⎨⎧x －2<0，f (x )＜0.即⎩⎨⎧x －2＜0，1－log 2(x ＋1)＜0，解得1＜x ＜2，当2＜x ＜4时，x －2＞0，不等式可化为⎩⎨⎧x －2＞0，f (x )＞0，由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，又f (x －2)＝f (x ＋2)，则f (x )＝f (x －2＋2)＝f (x －2－2)＝－f (4－x )，由于0＜4－x ＜2，不等式可化为⎩⎨⎧x －2＜0，－1＋log 2(5－x )＞0，解得2＜x ＜3，所以原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)，故选D.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，则|OA |2＋|OB |2(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．4B ．8C ．10D ．12答案：C解析：设直线l 的斜率为k (k 存在时)，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 方程为y ＝kx －k ，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，于是|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋4x 1＋x 22＋4x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k 2＋4k 22＋8k 2＋16k 2－2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋12－6>10，当斜率不存在时，此时直线l 垂直x 轴，得A (1,2)，B (1，－2)，所以|OA |2＋|OB |2＝12＋22＋12＋22＝10.综合可知，|OA |2＋|OB |2的最小值为10.二、填空题(每小题5分，共20分)7．若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1＋52解析：设三边为a ，qa ，q 2a ，其中q ＞0，则由三角形三边不等关系得①当q ≥1时，a ＋qa ＞q 2a ，即q 2－q －1＜0， 解得1－52＜q ＜1＋52，此时1≤q ＜1＋52.②当q ＜1时，a 为最大边，qa ＋q 2a ＞a ，即q 2＋q －1＞0，解得q ＞5－12或q ＜－1＋52.又q ＞0，此时q ＞5－12.综合①②，得q ∈ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－12，1＋52.8．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是________． 答案：32或34解析：由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， ∴12＝(3)2＋BC 2－2×3×BC ×32. 整理，得BC 2－3BC ＋2＝0.∴BC ＝1或2. 当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.综上，△ABC 的面积为32或34.9．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．答案：72或2解析：若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.10．(2021·江西南昌一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x －1，x ≤0，lg x ，x ＞0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为________．答案：(－1,0)∪(0，＋∞) 解析：当a >0时，若x >1，f (x )>0，∴f (f (x ))＝f (lg x )＝lg(lg x )＝0⇒lg x ＝1，∴x ＝10成立．若x ≤1，f (x )<0，f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a x －1＝a a x －1－1＝0无解． ∴a >0时f (f (x ))＝0有且只有一个实数解． 当a <0时， 若x >1, f (x )>0，f (f (x ))＝f (lg x )＝lg(lg x )＝0，∴x ＝10成立．若0<x ≤1，f (x )<0，f (f (x ))＝f (lg x )＝alg x －1＝0无解．若x ≤0，f (x )＝a x －1>0，∴f (f (x ))＝lg a x －1＝0⇒ax －1＝1.∴a ＝x －1.∵x －1≤－1，∴a ≤－1时有解． ∴－1<a <0时无解．综上实数a 的取值范围a >0或－1<a <0. 三、解答题(每题10分，共30分)11．(2021·东北三校一模)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，点A (2，2)在椭圆上，且AF 2与x 轴垂直．(1)求椭圆的方程；(2)过A 作直线与椭圆交于另外一点Β，求△AOB 面积的最大值． 解：(1)由已知得c ＝2，b 2a ＝2， 所以a ＝22，b 2＝4， 故椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)当AB 斜率不存在时，S ΔAOB ＝12×22×2＝2 2. 当AB 斜率存在时，设其方程为y －2＝k ()x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(2－2k )，x 2＋2y 2＝8，得 ()2k 2＋1x 2＋4()2－2k kx ＋2()2－2k 2－8＝0.则Δ＝16()2－2k 2k 2－8()2k 2＋1[]()2－2k 2－4 ＝8()2k ＋22>0，所以k ≠－22，||AB ＝1＋k 2·22·||2k ＋22k 2＋1.O 到直线AB 的距离：d ＝||2－2k 1＋k2， 所以S △ABC ＝12||AB d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－42k 2＋1.由于k ≠±22，所以2k 2＋1≠2， 所以2k 2＋1∈ [ 1， )2∪()2，＋∞， 所以2－42k 2＋1∈ [ －2， )0 ∪()0，2，此时S △AOB ∈(0,2 2 ]．综上，△AOB 面积的最大值为2 2.12.(2021·东北三省四市联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)2·e 2x －2＋x2－2f (0)x ，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a .(1) 求函数f (x )的解析式； (2) 求函数g (x )的单调区间；(3)假如s ，t ，r 满足|s －r |≤|t －r |，那么称s 比t 更靠近r . 当a ≥2且x ≥1时，试比较ex 和e x －1＋a 哪个更靠近ln x ，并说明理由.解：(1)∵f ′(x )＝f ′(1)e 2x －2＋2x －2f (0)， ∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)2·e －2，∴f ′(1)＝2e 2， ∴f (x )＝e 2x ＋x 2－2x .(2)∵f (x )＝e 2x －2x ＋x 2，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x ＋14x 2－x －14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x －a (x －1)，∴g ′(x )＝e x －a .①当a ≤0时，g ′(x )＞0，函数f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞0时，由g ′(x )＞e x －a ＝0得x ＝ln a ， ∴x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x ) 单调递减； x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．综上，当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a ＞0时，函数g (x )的单调递增区间为(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a )．(3)设p (x )＝ex －ln x ，q (x )＝e x －1＋a －ln x ，∵p ′(x )＝－e x 2－1x ＜0，∴p (x )在x ∈[1，＋∞)上为减函数，又p (e)＝0， ∴当1≤x ≤e 时，p (x )≥0，当x ＞e 时，p (x )<0. ∵q ′(x )＝ex －1－1x ，q ″(x )＝e x －1＋1x 2＞0，∴q ′(x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数，又q ′(1)＝0， ∴x ∈[1，＋∞)时，q ′(x )≥0， ∴q (x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数， ∴q (x )≥q (1)＝a ＋2＞0.①当1≤x ≤e 时，|p (x )|－|q (x )|＝p (x )－q (x )＝e x －e x －1－a ， 设m (x )＝e x －e x －1－a ，则m ′(x )＝－ex 2－e x －1＜0， ∴m (x )在x ∈[1，＋∞)上为减函数， ∴m (x )≤m (1)＝e －1－a ，∵a ≥2，∴m (x )＜0，∴|p (x )|＜|q (x )|，∴ex 比e x －1＋a 更靠近ln x . ②当x ＞e 时，设n (x )＝2ln x －e x －1－a ， 则n ′(x )＝2x －e x －1，n ″(x )＝－2x 2－e x －1＜0，∴n ′(x )在x ＞e 时为减函数，∴n ′(x )＜n ′(e)＝2e －e e －1＜0， ∴n (x )在x ＞e 时为减函数，∴n (x )＜n (e)＝2－a －e e －1＜0， ∴|p (x )|＜|q (x )|，∴ex 比e x －1＋a 更靠近ln x . 综上，在a ≥2且x ≥1时，ex 比e x －1＋a 更靠近ln x .13．(2021·山东师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫54，0和过F 的动直线l ，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求QA →·QB→. 解：(1)2a ＝(－1－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋(－1＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＝22， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)①若直线斜率不存在，则l ：x ＝1，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22，∴QA →·QB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－54，22·⎝⎛⎭⎪⎫1－54，－22＝116－12＝－716.②当直线斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －1)消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， Δ＝(－4k 2)2－4×(2k 2＋1)×2(k 2－1) ＝8(k 2＋1)>0.令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1∴QA →·QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1·⎝⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516＝(k 2＋1)2(k 2－1)2k 2＋1－⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋544k 22k 2＋1＋k 2＋2516＝－2＋2516＝－716.综上述可知，QA →·QB →＝－716.。
在“分类”与“整合”中发展学生数学核心素养
在“分类”与“整合”中发展学生数学核心素养”刘东升1,2 ,申昱东1(1.浙江师范大学附属中学，浙江金华 321004；2.沈虎跃名师工作室，浙江宁波 315200)作者介绍：刘东升，中学高级教师,浙江师范大学教育 硕士专业学位研究生实践导师，数学奥林匹克一级教练员，金华市名师培养人选，金华市直教坛新秀，金华市优秀 班主任.现任浙江师范大学附属中学副校长.主要从事高中数学教育与研究，主持或参与多项省市课题获奖，20余篇论文发表或获奖，参与编写《选课走班在行动》《新高考 百问百答》等著作.摘 要：《普通高中数学课程标准(2017年版)》加强了对数学思想的考查，目的是为了考查学生的关键能力和学科素养，因此在平时的教学中，应加强对数学思想方法的渗透.分类讨论思想方法体现了思维的灵活性、严谨性和批判性，如何 辩证地认识和应用分类讨论思想方法,既是考试考查的热点和教学的重点，也是学生灵活掌握应用的难点.关键词：思想方法;分类讨论;数学核心素养中图分类号：0122. 1 文献标识码:A文章编号：1003-6407( 2021) 03-0001-05分类讨论的思想方法不仅能充分体现数学思 维的严谨性、问题转化的灵活性、书写表达的条理 性，还可以考查学生对知识掌握的完整性和系统 性，需要学生有较强的数学抽象能力和逻辑推理能力,是发展数学核心素养的主要载体.因此,任何一 次高考或学考都会着重考查对这一思想方法的应用•本文就如何辩证认识和灵活应用分类讨论的思 想方法谈一点浅见，以供读者参考与借鉴.1分类讨论的基本认识分类讨论思想是以概念的划分、集合分类为基础的思想方法，主要是为解决含参问题中因参数的 不确定性而带来的解题困扰•分类讨论具有明显的 逻辑特征，同时也是为满足求解需要而进行的，因 此我们在讨论时，特别要注意以下3个方面：1. 1确定标准，完整分类根据问题解决的需要，先确定分类讨论的对象,要求讨论的标准统一，即分类情况不重复、不遗 漏，再分层次逐级展开讨论,最后整合分类得到问 题的解.例1 解关于x 的不等式ax 2-( a +1) x +1<0 (其中a e R ).分析 二次项系数a 可以是任意实数，这是分类 讨论的显性特征，参数a 的不同取值决定了不等式的 不同求解对策，因此需对二次项系数按a = 0,a >0,a <0 这样的分类标准进行讨论，不能疏漏a = 0这一特殊情 形.按这样的标准进行求解时,还会遇到“当a >0时, 二次不等式所对应的两个根的大小不确定”的情况, 因此还要根据两个根的大小关系进行第二层级的讨论.以上这样的讨论，既体现了思维的层次性,又考虑 到思维的自然性，便于理解和实际操作.解 ax 2-(a +1)x +1<0o (ax -1) (x -1) <0. (1)第一层级的分类讨论：当a = 0时，式(1) O -(x -1) <0o x > 1 ；当 a <0 时，式(1) O (x )(x -1) >0o x < 或 x >1 ；当 a >0 时，式(1) O(x -1) <0.( 2)收文日期：2020-11-13；修订日期：2020-12-23作者简介:刘东升(1976—)，男，浙江金华人，中学高级教师.研究方向：数学教育.第二层级的分类讨论：当a >1时，式(2)O *1 <00(0,1)+T 3a — 116(l ，a ) -Jax <1 ；当 a = 1 时，式(2) O x e©；当 0<a <1 时，式 (2) O1<x <—.a综上所述：当a <0时，原不等式的解集为，丄)U (1, +8 )；当a = 0时，原不等式的解集为(1，+8 )；当0< a <1时，原不等式的解集为J )；当 a =1时，原不等式的解集为©；当a > 1时，原不等式的解集为(I ，1 )•1. 2明确原因，清晰分类1. 2. 1明晰概念，完整讨论由于某些概念、定理、性质、法则的定义域推导就是分类给出的(分类讨论的隐性特征),因此设 计这类概念性问题时，一定要注意概念是否理解到 位、公式是否记完整.如在子集关系中，不能遗漏对 空集的讨论;在分段函数中，不同区间的函数值要分别计算.例 2 若集合 A = {x I x 2 +ax + 1=0,其中 x e R }, 集合B = {1,2},且A C B ,求实数a 的取值范围.解 由A C B ，知集合A 可能为©，{ 1}，{ 2}，{ 1，2}.当 A = © 时，△ = a 2-4<0，解得-2<a <2；当 A ={ 1}时，{f 2 a ：：，解得 a = -2；当 A = { 2 }时,1 +a +1 = 0，(A = a 2-4 = 0， 十山、. ,.b+2a +1=0，a 无解；当 A = { 1，2 丨时,12 +a + 1 = 0， a(22+2a +1=0，a 无解.综上所述，实数a 的取值范围为［-2,2 ).1. 2. 2掌握程序，按需讨论在求解指对不等式时，需要用指对函数的单调 性进行化简，这时候就需要先明确函数的单调性, 按单调性加以讨论；又在高次不等式的“穿针引线 法”求解不等式时，需要先知道函数各零点的大小，因此要对零点的大小关系加以讨论.2例 3 1)若 a >0,a M1,且 log a 3 <1,则实数 a的取值范围是2)解关于x 的不等式：2 x 一a M0.x -5x +62分析1)原不等式Olog a 亍<log a a.当0<a <122时，由 log a y<log a a ,得 0< a <y;当 a >1 时，由lo g a 3 < lo g a a ，得 a >L 综上所述,a e(。
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第三讲分类与整合思想1．在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．3．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．1．(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．2．(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.3．(2012·四川)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a <0，故选D.4．(2013·天津)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 ∵⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，∴f (a )<f (0)， ∴a (1＋a |a |)<0，解得－1<a <0，可排除C. ∵f ⎝⎛⎭⎫－12＋a <f ⎝⎛⎭⎫－12，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎝⎛⎭⎫1＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－12⎝⎛⎭⎫1＋a 2， ∴a ⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－54a . ∵－1<a <0，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a >－54， ∴－⎝⎛⎭⎫－12＋a 2>－54，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a 2<54， ∴1－52<a <0.排除B ，D.应选A.5．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________．答案 34解析 当a >0时，12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋⎝⎛⎭⎫b 4a ＋a b ≥54；当a <0时，12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－14＋1＝34. 综上所述，12|a |＋|a |b 的最小值是34.题型一 由数学概念、运算引起的分类讨论例1 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22审题破题 由于f (x )为分段函数，故求f (a )时要分－1<a <0，a ≥0两种情形讨论． 答案 B解析 f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，∴a ＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，∴πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只取0，此时a 2＝12.∵－1<a <0，∴a ＝－22.反思归纳 (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等．变式训练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对 答案 D解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列； 当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列． (2)若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时， 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4. 题型二 由图形或图象引起的分类讨论例2 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且||PF 1＞||PF 2.求||PF 1||PF 2的值．审题破题 直角三角形关键是确定直角顶点，由|PF 1|>|PF 2|知，只需分∠PF 2F 1和∠F 1PF 2分别为直角两种情况即可． 解 若∠PF 2F 1＝90°， 则||PF 12＝|PF 2|2＋||F 1F 22，又∵||PF 1＋||PF 2＝6，||F 1F 2＝25，解得||PF 1＝143，||PF 2＝43，∴||PF 1||PF 2＝72.若∠F 1PF 2＝90°， 则||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22， ∴||PF 12＋(6－||PF 1)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，∴||PF 1＝4，||PF 2＝2，∴||PF 1||PF 2＝2.综上知，||PF 1||PF 2＝72或2.反思归纳 (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．变式训练2 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．解 ①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43，它在[0,1]上是减函数．所以y max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0时，即m ≠43时，y 是二次函数．ⅰ若4－3m >0，即m <43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴x ＝14－3m>0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．f (0)＝m ，f (1)＝2－2m . 当m ≥2－2m ，又m <43，即23≤m <43时，y max ＝m .当m <2－2m ，又m <43，即m <23时，y max ＝2－2m .ⅱ若4－3m <0，即m >43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m <0，所以函数y 在[0,1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m . 由①、②可知，这个函数的最大值为 y max ＝⎩⎨⎧2－2m ，m <23，m ，m ≥23.题型三 由参数引起的分类讨论例3 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1.讨论函数f (x )的单调性．审题破题 根据函数f (x )的导函数求解函数f (x )的单调区间，需要对参数a 进行分类讨论，从而通过函数f (x )的导函数是否大于零判断函数f (x )的单调性． 解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．反思归纳 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏． 变式训练3 是否存在非零实数a ，使函数f (x )＝ax 2＋(a －2)x ＋1在[－2,3]上的最大值为34？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解 若f (－2)＝34，则a ＝－178，此时，抛物线的开口向下，对称轴方程为x ＝－3334∈[－2,3]，显然f (－2)不可能是最大值，因此a ≠－178.若f ⎝⎛⎭⎫－a －22a ＝34，即a ⎝⎛⎭⎫－a －22a 2＋(a －2)⎝⎛⎭⎫－a －22a ＋1＝34，则a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝1或a ＝4.当a ＝1时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x ＝12∈[－2,3]，此时f ⎝⎛⎭⎫12是最小值而不是最大值，因此a ≠1；当a ＝4时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x ＝－14∈[－2,3]，此时f ⎝⎛⎭⎫－14是最小值而不是最大值，因此a ≠4.若f (3)＝34，则a ＝2348，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x ＝7346∈[－2,3]，此时，在[－2,3]内f (－2)是最大值，因此a ≠2348.综上可知满足条件的a 不存在．典例 (13分)(2012·北京)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．规范解答解 (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.[4分](2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.[6分]令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－a 2)和(－a6，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6.[8分] 当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2. 当－a 2<－1，且－a6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a2，－1上单调递减，h (x )在区间 (－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 当－a6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a6，－1上单调递增， 又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1.[12分] 综上所述：f (x )＋g (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞；减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. 当0<a ≤2时，f (x )＋g (x )在(－∞，－1]上的最大值为a －14a 2；当a >2时，f (x )＋g (x )在(－∞，－1]上的最大值为1.[13分]评分细则 (1)求出f ′(x )，g ′(x )给1分；(2)没有列表，语言叙述的参照给分；(3)讨论时漏掉端点扣1分．阅卷老师提醒 (1)本题利用分类与整合思想，在求解时要注意讨论的对象，同时要理顺 讨论的目的；(2)分类讨论要保证不重不漏，讨论中要灵活处理临界值．1．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]答案 D解析 因为函数f (x )的定义域为一切实数， 所以mx 2＋mx ＋1≥0对一切实数恒成立，当m ＝0时，原不等式即1≥0对一切实数恒成立，当m ≠0时，则需⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上，实数m 的取值范围是[0,4]．2．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3 C.233或2D.233或62答案 C解析 设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx .由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当b a ＝3时，e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝2. 当a b ＝3时，e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝233. 3．若方程lg kx ＝2lg(x ＋1)仅有一个实根，那么实数k 的取值范围是________．答案 {4}∪(－∞，0)解析 当k >0时，由lg kx ＝2lg(x ＋1)，得lg kx －2lg(x ＋1)＝0，即kx ＝(x ＋1)2在(0，＋∞)上仅有一个解，即x 2－(k －2)x ＋1＝0在(0，＋∞)上仅有一个解．令f (x )＝x 2－(k －2)x ＋1，则f (0)>0，由Δ＝0，得k ＝0或4.当k ＝0时，方程无意义，舍去，所以k ＝4.当k <0时，函数定义域是(－1,0)，函数y ＝kx 的图象是一条递减且过(－1，－k )与(0,0)的线段，函数y ＝(x ＋1)2在(－1,0)上递增且过(－1,0)与(0,1)两点，此时两曲线段恒有一个交点，故k <0符合题意．综上所述，实数k 的取值范围是{4}∪(－∞，0)．4．直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝________.答案 1或－3解析 若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25，满足两直线垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝kk －1，k 2＝1－k 2k ＋3，由k 1·k 2＝－1得k ＝－3，综上k ＝1或k ＝－3.5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.答案 2×3n －1解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.6．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为________________． 答案 a >0且b ≤0解析 ①当a >0时，需x －b 恒为非负数， 即a >0，b ≤0.②当a <0时，需x －b 恒为非正数． 又∵x ∈[0，＋∞)，∴不成立．综上所述，a 、b 的取值范围为a >0且b ≤0.专题限时规范训练一、选择题1．若A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x |x >0}，且A ∩B ＝∅，则实数p 的取值范围是( )A ．p >－4B ．－4<p <0C ．p ≥0D ．R答案 A解析 当A ＝∅时，Δ＝(p ＋2)2－4<0，∴－4<p <0. 当A ≠∅时，方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0有两负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－(p ＋2)<0，∴p ≥0. 综上所述，p >－4.2．设函数f (x )＝.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >a ，即2log 2a >0，所以a >1；若a <0，则(－a )>log 2(－a )，即2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.所以实数a 的取值范围是a >1或－1<a <0， 即a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p 时，与点P 在抛物线上矛盾．所以符合要求的P 点一共有4个． 4．(2012·湖北)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间[0,4]上的零点个数． 当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈[0,4]，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y ＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为6.5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)答案 C解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的范围是{a |－2<a ≤2}，故选C. 6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 答案 D解析 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．7．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为 ( )A.53B.52C.52或153D.53或54答案 D解析 当双曲线焦点在x 轴上时，b a ＝34， ∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝916， ∴e 2＝2516，∴e ＝54； 当双曲线焦点在y 轴上时，b a ＝43， ∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53. 8． 函数f (x )的图象如图所示，f (x )为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为 ( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－∞，－3)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(3，＋∞)答案 A解析 由x [f (x )－f (－x )]<0得，2xf (x )<0.当x <0时，则f (x )>0，由图象知－3<x <0；当x >0时，则f (x )<0，由图象知0<x <3.二、填空题9．(2012·山东)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案 14解析 讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意； 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意． 10．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．答案 4,5,32解析 根据题意可知，当a n 为奇数时，a n ＋1为偶数，∴由a 6＝1为奇数可以判定a 5为偶数，∴a 5＝2a 6＝2.又当a n ＋1为偶数时，若a n ＋1是被3除余1的数，则a n 为奇数或偶数，否则a n 仍为偶数．a 4可能为奇数也可能为偶数，∴a 4＝4，依次有a 3＝1，a 2＝2，a 1＝4，即m ＝4.或者a 3＝8，a 2＝16，a 1＝32或a 1＝5.11．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是____________．答案 (0,4)解析 根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图(1)，此时a 可以取最大值，可知AD ＝3，SD ＝a 2－1， 则有a 2－1<2＋3，即a 2<8＋43＝(6＋2)2，即有a <6＋2，又2a >2，∴1<a <6＋2；②构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图(2)，此时a >0且a <4，即0<a <4.综上分析可知a ∈(0,4)．12．已知a >0，命题p ：函数y ＝a x (a ≠1)在R 上单调递减，命题q ：不等式|x －2a |＋x >1的解集为R ，若p 和q 有且只有一个是真命题，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 若p 真，则0<a <1；若p 假，则a >1.若q 真，因为函数y ＝|x －2a |＋x 在R 上的最小值为2a ，由2a >1，得a >12；若q 假，则0<a ≤12. ①若p 真q 假，则0<a ≤12；②若p 假q 真，则a >1. 故a 的取值范围是0<a ≤12或a >1. 三、解答题13．已知函数f (x )＝－a ln x ＋2a 2x＋x (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)由已知得f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝－a x －2a 2x 2＋1(x >0)． 根据题意，得f ′(1)＝－2，∴－a －2a 2＋1＝－2，即2a 2＋a －3＝0.解得a ＝1或a ＝－32. (2)∵f ′(x )＝－a x －2a 2x 2＋1＝x 2－ax －2a 2x 2＝(x ＋a )(x －2a )x 2(x >0)． ①当a >0时，由f ′(x )>0，及x >0得x >2a ；由f ′(x )<0，及x >0得0<x <2a .②当a <0时，由f ′(x )>0，及x >0得x >－a ；由f ′(x )<0，及x >0得0<x <－a .∴当a >0时，函数f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，在(0,2a )上单调递减；当a <0时，函数f (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增．14．已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b ＝－2a ⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1.因此，由f (x )的值域为[－5,1]可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5， 或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.。