初中数学-一元二次方程及其解法

3、a x b2 c.
可利用直接开平方法求解.
1、x2 a x a
2、ax2 c 0 ax2 c x2 c
a x c
a
3、a x b2 c x b2 c
a xb c
a xb c
a
注意：在用直接开平 方法对方程1、2、3 求解时，字母系数要 满足什么条件？
首先，我们要明确一元二次方程的解法来源于平方根的定义.
如果x2 a，那么x叫做a的平方根，记作 x a. 当然，这里的a要满足a 0.
所以，当我们把 x2 a 看作是一个最基本的一元二次方程时， 则方程的解为： x a ，这里必须满足 a 0.
1、x2 a， 根据平方根的定义，形如 2、ax2 c 0，的一元二次方程，
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌 握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
解方程：1 5x2 4x； 2 x 2 x x 2.
解：1 5x2 4x 0，
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0.

x1

0，x2

4 5
.
解：2 x 2 x x 2 0，
x 21 x 0.
x 2 0,或1 x 0.
x1 2，x2 1.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因 式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边＝0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解.
2a 注意应用时首先要将原方程化成一般形式，以便于确定a、b、c的值。
问：下面解方程的过程是否正确？
3(x 2)2 2(x 2) 解：两边除以（x 2),得：
3（x 2） 2
x2 2 3
x 22. 3
友情提示：方程的两边
有相同的含有未知数的因式 的时候，不能两边都除以这 个因式，因为这样会把方程 的一个根丢失了.
分析：先化成一般式，确定常数项.
解：去括号，得 2m2 x m2 mx2 2x2 4 0，
整理，得 m 2 x2 2m2x m2 4 0，
根据题意，得
m 2 0， m2 4 0.
解之，得 m 2.
例3：关于x的一元二次方程a 1 x2 x a2 1 0的 一个根为0，则a的值为 C .
当b2 4ac 0 时,它的根是 :
x b b2 4ac b2 4ac 0 . 2a
上面这个结论称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2 bx c 0 a 0.
x 2 2 ，x2 8x 16 x 4
2
.
你还认识“老朋友”
吗
形如 ax2 bx c 0 a 0 的方程，
叫做一元二次方程.
必
须
牢
记
二
二次项，
一次项，
常数项
次
项
a二次项系数 b 一次项系
系
数
数
不
为
0
例1：关于x的方程：
k 3k 1 x2 k 1 x 5 0， 1 k为何值时，方程是一元二次方程？ 2 k为何值时，方程是一元一次方程？
系数给定，代入x1和x2的表达式，那么方程的解也就随之确定.
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
由配方所得结果： x

b 2a
2

b2
4ac 4a2
，若b2

4ac

0，则
x

b 2a
2

0，
所以此时方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0
解：(1 2y 1)(1 2 y 2) 0
1 2y 1 0或1 2y 2 0
把1 2y看作整体， 用十字相乘法分解
y1

0，y2

1 2
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方 程的方法称为分解因式法.
例1：解方程 9x2 1 0.
解：9x2 1
x2 1 9
x 1 9
x1

1 3
，x2

1. 3
例2：解方程 3 x 22 12.
解： x 22 4
x 2 2 x 2 2 x1 4，x2 0.
对于缺少一次项的一元二次方程用直接开平方法来解比较简便.
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了 “二次”转化为“一次”的过程.
例：VABC的三边a，b，c的长度均满足方程x2 6x 8 0， 求VABC的周长.
解：x2 6x 8 0，
x 2 x 4 0，
x1 2，x2 4， 因为a，b，c都满足方程，所以有以下几种可能：
2. b2 4ac 0 .
(1)2 y2 4 y 1 0
(2)2x(x 2) 1
解 a 2，b 4，c 1
b2 4ac (4)2 4 2 (1) 24 0
y 4 24 ， 22
y1
2 2
6 ，y2

学会直接开平方法以后，如果我们遇到象 x2 2x 2 0 这样的 一元二次方程，发现它不符合直接开方的那三种基本型，怎么办？
x2 2x 2 0
x2 2x 2
x2 2x 1 2 1
x 1 3
x 1 3
x 12 3
上面这种通过变形成完全平方式再去直接开平方的方法，我们 称之为配方法.
2a
2a
x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
x1 b
b2 2a

4ac
,
x2

b

b2 4ac .
2a
至此，当b2 4ac 0时，方程的解x1 b
b2 2a

4ac
,
x2

b
ห้องสมุดไป่ตู้
b2 4ac 2a
完全取决于方程的三个系数a，b，c，也就是说，一旦一元二次方程的三个
1 a b c 2，此时VABC的周长 a b c 6； 2 a b c 4，此时VABC的周长 a b c 12； 3 a b 2，c 4，此时不能满足三角形的三边关系，舍去； 4 a 2，b c 4，此时VABC的周长 a b c 10.
x 4 5. x 4 5.
4.开方:方程左分解因式,右边合并同类. 5.求解:解一元一次方程.
x1 1, x2 9.
你能从这道题的解 法归纳出一般的解题 步骤吗?
6.定解:写出原方程的解.
我们通过配成完全平方式的方法,得 到了一元二次方程的根,这种解一元 二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square).
配方法和公式法是解一元二次方 程重要方法,要作为一种基本技能 来掌握.而某些方程可以用直接开 平方法、分解因式法简便快捷地 求解.
初中数学
一元二次方程 及其解法
1、平方根的意义：如果 x2 a，那么x a. 例如 x2 5，则 x 5.
2、完全平方式：式子 a2 2ab b2叫做完全平方式，
并且 a2 2ab b2 a b2 .
例如 x2 4x 4
例：已知关于x的方程：
m2 12m 37 x2 3mx 1 0
求证：不论m取任何实数，此方程都是一元二次方程.
分析：很显然，结论成立与否，取决于二次项系数的取值是否为零.
m2 12m 37 m2 12m 36 36 37 m 62 1
当我们学会配方法以后，我们又会发现每次用配方法对形如一元二次 方程的一般式求解时，总是要重复那些相同的步骤，如下所示：
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2
a 1 02 0 a2 1 0
a2 1 0 a2 1 a 1
分析：将已知x 0代入原方程的左、右两边后，可以求出a的值， 但是必须满足隐含条件“一元二次方程”，即保证二次项系数 不能为零，这是我们学生容易忽略的地方.
(1)2x(4x 13) 7
解：原方程可化为 8x2 26x 7 0
(2x 7)(4x 1) 0 2x 7 0或4x 1 0
x1


7 2
，x2

1 4
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
(2) (1 2 y)2 3(1 2 y) 2 0
解：1当k 3k 1 0时，即k 3且k 1时，