初中数学-一元二次方程及其解法
初中数学一元二次方程的解法
初中数学一元二次方程的解法
一元二次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程。初中数学一元二次方程的解法有开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法等等。
(一)因式分解法
(1)将方程右边化为0;
(2)将方程左边分解为两个一次式的积;
(3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
(二)配方法
(1)把原方程化为一般形式;
(2)方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(4)把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;
(5)进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根;如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
(三)求根公式法
(1)把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值(注意符号);
(2)求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况。
当Δ>0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根;
当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根;
当Δ<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
2.一元二次方程及其解法
右化零 左分解
两因式 各求解
用因式分解法解下列方程
(1)3x( x 2) 5( x 2)
（2）(x+3)(x－1)=5
2 2
4、 用因式分解法求解一元二次方程 重点： 用因式分解法解一元二次方程 难点： 正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示 两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1．方程右边化为 零 ． 2．将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积． 3．至少 有一个 因式为零，得到两个一 元一次方程． 4．两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解．
课前练习
1、解方程: （1） (x+1)(x+2)=6 （2）(５x-４)2 -(4-５x)=０
2、已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
求a2+b2 的值。
第二章 一元二次方程
1、认识一元二次方程
只含有 一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的 整式方程 ， 叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０) 称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项， a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
2、m取何值，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解．
一元二次方程 解法
一元二次方程解法
一元二次方程解法
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a≠0。解一元二次方程的方法有多种，常用的有因式分解法、配方法、求根公式法等。
1. 因式分解法：
当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过因式分解的方式求解。具体步骤如下：
（1）将方程化简为(ax + b)(cx + d) = 0的形式；
（2）令ax + b = 0和cx + d = 0，解得x的值。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3。
2. 配方法：
当一元二次方程无法直接进行因式分解时，可以通过配方法将其转化为可以进行因式分解的形式。具体步骤如下：
（1）对于方程ax^2 + bx + c = 0，如果a ≠ 1，则将方程两边同除以a，得到x^2 + (b/a)x + c/a = 0；
（2）将方程左边的三项变形为(x + m)^2 + n的形式，其中m和n为待定系数；
（3）展开(x + m)^2 + n并与原方程进行比较，确定m和n的值；
（4）将方程化简为(x + m)^2 + n = 0的形式；
（5）令x + m = 0，解得x的值。
例如，对于方程2x^2 - 5x + 3 = 0，可以通过配方法将其转化为(x - 1)(2x - 3) = 0，解得x = 1/2或x = 3/2。
3. 求根公式法：
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c为方程中的系数。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法
一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。解一元二次方程的方法有多种，下面将介绍两种常用的解法：因式分解法和配方法。
一、因式分解法
因式分解法是指将一元二次方程分解成两个一次因式的乘积，再令每个一次因式等于零，解得方程的两个根。
例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0：
首先，找到两个数的乘积等于常数项c，且和等于中间项b的相反数。在本例中，c为6，b为-5，可以将6拆解为-2和-3，-2与-3的和为-5，符合要求。
然后，将方程分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
接下来，令每个一次因式等于零，即(x - 2) = 0和(x - 3) = 0。
最后，解得x = 2和x = 3，这两个值分别为方程的两个根。
二、配方法
配方法是指通过将一元二次方程移项，并用一个常数将方程的两边补全为一个完全平方的形式，从而将一元二次方程转化为一个平方差的形式，进而求解方程。
例如，解方程x^2 + 4x - 5 = 0：
首先，将方程移项，得到x^2 + 4x = 5。
然后，通过添加一个与方程中一次项的系数一半相等的常数的平方，使得方程的左边成为一个完全平方。在本例中，一次项的系数为4，可以添加(4/2)^2 = 4的平方，得到x^2 + 4x + 4 = 5 + 4，即(x + 2)^2 = 9。
接下来，令要解的方程的平方项等于右边的常数，即(x + 2)^2 = 9。
最后，开方，解得x + 2 = ±3，即x = 1和x = -5，这两个值分别为
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法
一·基本概念理解 1 一元二次方程的定义：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2
ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）、直接开平方法:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如
b a x =+2
)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式2
22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2
22)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 （3）、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程
)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式：
)
04(2422≥--±-=ac b a ac b b x
公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c （4）、因式分解法
一元二次方程初中数学
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法
解一元二次方程的方法主要 有公式法和因式分解法
一元二次方程的解法
公式法
公式法是通过一元二次方程的根的公式来求解。根的公式为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $a, b, c$ 是一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的 系数，$\sqrt{b^2-4ac}$ 是判别式。根据判别式的值，一元二次方程的解的情况可 以分为三种
一元二次方程的解法
因式分解法适用于某些特殊形式的一元二次方程，例如 $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ 可以因式分解为 $(xa)(x-b) = 0$
这种方法简单易懂，易于掌握
一元二次方程的解法
配方法
配方法是通过将一元二次方程化为完全平 方的形式来求解。首先将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 转化为 $a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^24ac}{4a}$，然后通过开方求解。配方法 适用于某些特殊形式的一元二次方程，例 如 $x^2 - 2x = 0$ 可以化为 $(x-1)^2 = 1$。这种方法可以简化计算过程，提高 解题效率
当 $\Delta = b^2 4ac > 0$ 时：ห้องสมุดไป่ตู้程有 两个不相等的实数根
一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的概念及解法和讲义
知识点一：一元二次方程的概念
⑴定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。
⑵一般表达式：ax2 bx c二0(a = 0)
⑶四个特点：
(1)只含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是 2 ；
(3)是整式方程•要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式
方程，若是，再对它进行整理•如果能整理为ax2 bx 0(a = 0)的形式，
则这个方程就为一元二次方程.
(4)将方程化为一般形式：ax2 bx，c = 0时，应满足(aM 0)
例1:下列方程① x2+1=0;® 2y(3y-5)=6y 2+4;③ ax2+bx+c=0 ;④丄「5x「3 = 0,
x
其中是一元二次方程的有______________ 。
变式：方程：① 2x2- 1 = 1 ② 2x2-5xy，y2 = 0 ③ 7x2 T=0 ④—=0 中一元3x 2
二次程的是______________ 。
例2:—元二次方程(1 3x)(^3^2x2 1化为一般形式为： _________________________ ，二次项系数为：______ ，一次项系数为：_____ ，常数项为：______ 。
变式1 : 一元二次方程3 ( x — 2 ) 2= 5x —1的一般形式是___ ，二次项系数是_________________________________ ，一次项系数
是_______ ，常数项是__________ 。
变式2:有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为—1, 一次项的系数为3，常数项为一6，请你写出它的一般形式 ____________________ 。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法
一元二次方程是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述很多实际问题。
在解一元二次方程时，我们需要运用一些特定的方法和技巧。本文将介绍一些常见的解一元二次方程的方法，并探讨它们的应用。
首先，我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。其中，a、b、c是已知的实数，且a不等于0。解一元二次方程的关键在于求出方程的根，即
方程的解。下面将介绍几种常见的解法。
一、因式分解法
当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解。例如，
对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。根据因式分
解的性质，我们知道当两个因子中的任意一个为0时，方程成立。因此，我们得到两个根x = 2和x = 3。
二、配方法
当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法求解。配方法的基
本思想是通过添加一个适当的常数，将方程转化为一个可以因式分解的形式。例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加一个常数使其变为(x + 3)^2 - 1 = 0。
然后，我们可以将其分解为(x + 3 + 1)(x + 3 - 1) = 0，得到两个根x = -4和x = -2。三、求根公式
求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。根据求根公式，一元二次方程
ax^2 + bx + c = 0的根可以通过以下公式计算：
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以代入a = 1，b = -4，c = 4，然后使用求根公式计算得到两个根x = 2和x = 2。需要注意的是，当方程的判别式b^2 - 4ac小于0时，方程没有实数根，只有复数根。
一元二次方程的基本概念和解法
一元二次方程的基本概念和解法一元二次方程是代数学中的重要概念，由一次项、二次项和常数项构成，其一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。本文将介绍一元二次方程的基本概念及其解法。
一、基本概念
一元二次方程是一种含有未知数的方程，其最高次项为二次项。方程中的未知数通常用x表示，而系数a、b、c则为已知的实数。
二、求解一元二次方程的步骤
要求解一元二次方程，首先需要将方程化为标准形式，即将方程中的项按幂次降序排列，然后按照下列步骤进行求解：
1. 将一元二次方程化为标准形式：ax² + bx + c = 0；
2. 计算判别式Δ = b² - 4ac；
3. 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，可以通过求根公式 x = (-
b ± √Δ) / (2a)来求解；
4. 若Δ = 0，方程有且仅有一个实数解，解为 x = -b / (2a)；
5. 若Δ < 0，方程无实数解。
三、示例演示
以一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 为例，演示求解过程：
1. 将方程化为标准形式：x² - 5x + 6 = 0；
2. 计算判别式Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1；
3. 由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，应用求根公式计算：
x₁ = (-(-5) + √1) / (2(1)) = (5 + 1) / 2 = 3；
x₂ = (-(-5) - √1) / (2(1)) = (5 - 1) / 2 = 2；
因此，方程的解为 x₁ = 3，x₂ = 2。
初三数学一元二次方程解题技巧分析详解
初三数学一元二次方程解题技巧分析详解
一元二次方程是初中数学中较为重要的知识点之一，掌握解题技巧
对于学生来说至关重要。本文将对初三数学一元二次方程解题技巧进
行详细分析，并给出实例进行解释，帮助学生更好地理解和掌握。
一、一元二次方程的基本形式及代数解法
一元二次方程的基本形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知
实数且a≠0。解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求解
判别式。下面将分别对这三种方法进行详解。
1. 因式分解法
因式分解法是一种快速解一元二次方程的方法。对于形如
(x+m)(x+n)=0的方程，可以直接得到x=-m或x=-n为方程的解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x-2)(x-3)=0，从而得到x=2或x=3为方程的解。
2. 配方法
配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。对于形如ax^2 + bx +
c = 0的方程，可通过适当的配方使其化为一个完全平方。
具体步骤如下：
（1）将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和为b；
（2）根据分解出的两个数进行配方，将二次项和一次项分别进行平方。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以将6分解为2和3的乘积，得到x^2 + 2x + 3x + 6 = 0。然后，根据配方，将前两项进行平方，得到(x + 2)^2 + 3x = 0。继续进行化简，得到(x + 2)^2 = -3x。由于方程左边是完全平方，所以方程有解。
3. 求解判别式
求解判别式是解一元二次方程的一种常用方法。判别式Δ=b^2 - 4ac 可以判断一元二次函式的解的情况。
初中数学《一元二次方程》全章讲义
初中数学《一元二次方程》全章讲义
一元二次方程的解法包括四种：因式分解法、配方法、公式法和图像法。
1、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使每个一次因式等于0，从而求出方程的解。
2、配方法：通过加减平方完成方程的配方，将一元二次方程化为一个完全平方式的形式，从而求出方程的解。
3、公式法：利用求根公式求出一元二次方程的解，其中求根公式为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。
4、图像法：通过绘制一元二次方程的图像，找出方程在x轴上的根，从而求出方程的解。
例1、用因式分解法解方程x²-3x-10=0.
解：将方程化为(x-5)(x+2)=0，得到x=5或x=-2.
例2、用配方法解方程2x²+5x-3=0.
解：将方程改写为2(x+5/4)²-121/16=0，得到x=-3/2或
x=1/2.
例3、用公式法解方程3x²+4x-1=0.
解：根据求根公式，得到x=(-4±√52)/6，化简后得到x=-1/3或x=1/2.
例4、用图像法解方程x²-2x-3=0.
解：绘制出方程的图像，找到x轴上的两个根，得到x=-1和x=3.
一元二次方程的常用解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法。
选择合适的解法可以按以下方法进行：当方程一边为完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法；当方程的一边为一次因式的乘积，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解；当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法；当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。
初中数学教材：一元二次方程
初中数学教材：一元二次方程
一元二次方程是初中数学中较为重要的内容之一，是高一、高二数学学习中的基础。它的解法有多种，需要灵活使用，本文将为您详细介绍一元二次方程的定义、解法以及应用，并为您提供相应的练习题，以帮助您更好地掌握这一知识点。
一、一元二次方程的定义
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（其中a\neq0）的方程，其中x为未知数，a,b,c为已知系数，满足a,b,c为实数。
例如，2x^2+3x+1=0就是一个一元二次方程。
二、解一元二次方程的方法
1.公式法
一元二次方程的通解公式为：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
2.配方法
将方程变形ax^2+bx+c=0为a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0 再移项化简即可。
3.因式分解法
将方程的左边进行因式分解，化简得到方程的解。
三、一元二次方程的应用
1.跳跃问题
若一只青蛙从a点跳到b点，每次跳跃的距离为x，跳
n次到达b点，那么a,b,x之间必定符合一元二次方程。
2.速度问题
若汽车从甲地到乙地，距离为L，速度为v_1；从乙地到甲地，速度为v_2，则汽车往返甲乙两地的平均速度V为：V=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}
将式子变形，可得到速度问题对应的一元二次方程。
练习题：
1、解方程x^2-5x+6=0。
2、解方程2x^2-8x+6=0。
3、已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的解为x_1=2,x_2=-3，求方程的解析式。
4、一个水池里有15L的水，抽出1.5L后加入2L的水，这时水池里的水量为原来的\frac{11}{10}，求原来的水量。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视.
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：
1、直接开平方法；
2、配方法；
3、公式法；
4、因式分解法.
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解.
（1）(3x+1)2=7 3x+1=2次根下7, 3x=2次根下7-1, x=2次根下7-1/3
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
初中数学 一元二次方程的解法有哪些
初中数学一元二次方程的解法有哪些
一元二次方程是代数学中的重要概念，解决一元二次方程的问题是数学学习的基本内容之一。下面将介绍一些常见的解一元二次方程的方法。
1. 因式分解法：
当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以将方程转化为两个一次方程，然后求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后得到x = 2和x = 3，所以方程的解是x = 2和x = 3。
2. 完全平方公式：
当一元二次方程是一个完全平方二项式的平方时，我们可以使用完全平方公式来求解。
完全平方公式是：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以看出它是一个完全平方二项式的平方，即(x + 3)^2 = 0。然后我们可以得到x + 3 = 0，解得x = -3，所以方程的解是x = -3。
3. 求根公式：
一元二次方程有一个通用的求根公式，即求根公式：
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过求根公式，我们可以求得一元二次方程的实数根。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以得到a = 1，b = -5，c = 6，代入求根公式得到x = 2和x = 3，所以方程的解是x = 2和x = 3。
4. 完全平方差公式：
当一元二次方程可以写成完全平方差的形式时，我们可以使用完全平方差公式来求解。
完全平方差公式是：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
初三一元二次方程的解法
初三一元二次方程的解法
一元二次方程是一个非常重要的数学概念，它是初中数学中的一个重要内容，也是数学学习的基础之一。掌握一元二次方程的解法，对于理解更高层次的数学概念和解决更复杂的数学问题都有着非常重要的意义。
一、直接开平方法
直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它的理论依据是等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
例：解方程x^2 - 4x + 4 = 0
解：将方程左边配方得：(x - 2)^2 = 0
∴x1=x2=2
二、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法。
例：解方程2x^2 - 8x + 8 = 0
解：原方程可化为：(2x-4)^2 = 0 ∴x1=x2=2
三、公式法
公式法是解一元二次方程的一种简便方法，它的理论依据是用求根公式解方程。例：解方程2x^2 - 8x + 8 = 0
解：∵a=2，b=-8，c=8
∴b^2-4ac=(-8)^2-4×2×8=0∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/2a=2±√(4-4×8)/4=±
√(4-4×8)/4=(2±2√2)/2=±√2∴x1=√2，x2=-√2
四、配方法
配方法是一种通过配方来解一元二次方程的方法。这种方法需要先对原方程进行配方，然后再进行求解。
例：解方程x^2 + 6x + 9 = 0
解：将原方程配方得：(x+3)^2 = 0∴x1=x2=-3
五、分解因式法与公式法的综合运用
在解一元二次方程时，我们常常需要综合运用分解因式法和公式法。通过将方程进行因式分解，我们可以找到方程的根，然后再利用公式法进行求解。
初中数学一元二次方程组的练习题
初中数学一元二次方程组的练习题
一、填空题
1. 解方程组：
{x + 2y = 7
{2x - y = 1
解：将第一个方程乘以2，得到2x + 4y = 14。然后将第二个方程与之相加，消去x的系数，得到5y = 15。因此，y = 3。将y的值代入第一个方程，得到x + 2(3) = 7，解得x = 1。所以，该方程组的解为x = 1，y = 3。
2. 解方程组：
{3x + y = 10
{2x - y = 4
解：将第二个方程先乘以3，得到6x - 3y = 12。然后将第一个方程与之相加，消去y的系数，得到9x = 22。然而，9不能整除22，所以该方程组无解。
3. 解方程组：
{2x + y = 8
{4x + 2y = 16
解：将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 16。很明显，第二个方程与之相等，即两个方程等价。因此，该方程组有无穷多解。
二、选择题
1. 解方程组：
{x + 2y = 5
{2x + 4y = 10
解：
A) 有唯一解
B) 无解
C) 无穷多个解
D) 以上答案都不正确
答案：A) 有唯一解
2. 解方程组：
{2x - y = 3
{4x - 2y = 6
解：
A) 有唯一解
B) 无解
C) 无穷多个解
D) 以上答案都不正确
答案：B) 无解
3. 解方程组：
{3x + y = 7
{6x + 2y = 14
解：
A) 有唯一解
B) 无解
C) 无穷多个解
D) 以上答案都不正确
答案：C) 无穷多个解
三、解答题
1. 解方程组：
{2x - 3y = 5
{4x - 6y = 10
解：将第一个方程乘以2，得到4x - 6y = 10，与第二个方程相等。因此，该方程组有无穷多解。
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因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
例：已知关于x的方程：
m2 12m 37 x2 3mx 1 0
求证：不论m取任何实数，此方程都是一元二次方程.
分析：很显然，结论成立与否，取决于二次项系数的取值是否为零.
m2 12m 37 m2 12m 36 36 37 m 62 1
当我们学会配方法以后，我们又会发现每次用配方法对形如一元二次 方程的一般式求解时，总是要重复那些相同的步骤，如下所示：
例1：解方程 9x2 1 0.
解：9x2 1
x2 1 9
x 1 9
x1
1 3
，x2
1. 3
例2：解方程 3 x 22 12.
解： x 22 4
x 2 2 x 2 2 x1 4，x2 0.
对于缺少一次项的一元二次方程用直接开平方法来解比较简便.
解方程： x2 8x 9 0.
解: x2 8x 9 0.
x2 8x 9.
1.移项:把常数项移到方程的左边.
x2 8x 42 9 42.
2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平 方.
x 42 25. 3.变形:方程左分解因式,右边合并同类.
配方法和公式法是解一元二次方 程重要方法,要作为一种基本技能 来掌握.而某些方程可以用直接开 平方法、分解因式法简便快捷地 求解.
ax2 bx c 0,
x2 b x c 0, aa
x2 b x c , aa
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
,
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
,
当b2 4ac 0时：
x b b2 4ac
13 3
,
y2
1 3
13 . 3
1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边写成完全平方式,右边常数合并; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:写出一元二次方程的两个解;
配方法作为一种重要的数学思想，除了用来求解一元 二次方程以外，常常还用来解决一些与代数式的值有 关的问题.
2a
2a
x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac .
2a
至此，当b2 4ac 0时，方程的解x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac 2a
完全取决于方程的三个系数a，b，c，也就是说，一旦一元二次方程的三个
学会直接开平方法以后，如果我们遇到象 x2 2x 2 0 这样的 一元二次方程，发现它不符合直接开方的那三种基本型，怎么办？
x2 2x 2 0
x2 2x 2
x2 2x 1 2 1
x 1 3
x 1 3
x 12 3
上面这种通过变形成完全平方式再去直接开平方的方法，我们 称之为配方法.
x 2 0,或1 x 0.
x1 2，x2 1.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因 式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边＝0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解.
(1)2x(4x 13) 7
解：原方程可化为 8x2 26x 7 0
(2x 7)(4x 1) 0 2x 7 0或4x 1 0
x1
7 2
，x2
1 4
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
(2) (1 2 y)2 3(1 2 y) 2 0
x 2 2 ，x2 8x 16 x 4
2
.
你还认识“老朋友”
吗
形如 ax2 bx c 0 a 0 的方程，
叫做一元二次方程.
必
须
牢
记
二
二次项，
一次项，
常数项
次
项
a二次项系数 b 一次项系
系
数
数
不
为
0
例1：关于x的方程：
k 3k 1 x2 k 1 x 5 0， 1 k为何值时，方程是一元二次方程？ 2 k为何值时，方程是一元一次方程？
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了 “二次”转化为“一次”的过程.
例：VABC的三边a，b，c的长度均满足方程x2 6x 8 0， 求VABC的周长.
解：x2 6x 8 0，
x 2 x 4 0，
x1 2，x2 4， 因为a，b，c都满足方程，所以有以下几种可能：
1 a b c 2，此时VABC的周长 a b c 6； 2 a b c 4，此时VABC的周长 a b c 12； 3 a b 2，c 4，此时不能满足三角形的三边关系，舍去； 4 a 2，b c 4，此时VABC的周长 a b c 10.
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2
a 1 02 0 a2 1 0
a2 1 0 a2 1 a 1
分析：将已知x 0代入原方程的左、右两边后，可以求出a的值， 但是必须满足隐含条件“一元二次方程”，即保证二次项系数 不能为零，这是我们学生容易忽略的地方.
系数给定，代入x1和x2的表达式，那么方程的解也就随之确定.
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
由配方所得结果： x
b 2a
2
b2
4ac 4a2
，若b2
4ac
0，则
x
b 2a
2
0，
所以此时方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0
首先，我们要明确一元二次方程的解法来源于平方根的定义.
如果x2 a，那么x叫做a的平方根，记作 x a. 当然，这里的a要满足a 0.
所以，当我们把 x2 a 看作是一个最基本的一元二次方程时， 则方程的解为： x a ，这里必须满足 a 0.
1、x2 a， 根据平方根的定义，形如 2、ax2 c 0，的一元二次方程，
3、a x b2 c.
可利用直接开平方法求解.
1、x2 a x a
2、ax2 c 0 ax2 c x2 c
a x c
a
3、a x b2 c x b2 c
a xb c
a xb c
a
注意：在用直接开平 方法对方程1、2、3 求解时，字母系数要 满足什么条件？
例：3y2 2y 4 0. 用配方法解一元二次方程的步骤:
解：y2 2 y 4 0 33
y2 2 y 4 33
y2
2 3
y
1 3
2
4 3
1 3
2
y
1 3
2
13 9
y 1 13 33
y1
1 3
初中数学
一元二次方程 及其解法
1、平方根的意义：如果 x2 a，那么x a. 例如 x2 5，则 x 5.
2、完全平方式：式子 a2 2ab b2叫做完全平方式，
并且 a2 2ab b2 a b2 .
例如 x2 4x 4
解：1当k 3k 1 0时，即k 3且k 1时，
原方程是一元二次方程.
2当
k
3k
k 1
1
0
0时，即k
3时，
原方程是一元一次方程.
例2：若关于x的一元二次方程：
m2 2x 1 mx2 2 x2 2 0
的常数项为零，求m的值.
2. b2 4ac 0 .
(1)2 y2 4 y 1 0
(2)2x(x 2) 1
解 a 2，b 4，c 1
b2 4ac (4)2 4 2 (1) 24 0
y 4 24 ， 22
y1 wenku.baidu.com
2 2
6 ，y2
当b2 4ac 0 时,它的根是 :
x b b2 4ac b2 4ac 0 . 2a
上面这个结论称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2 bx c 0 a 0.
2 2
6
解:原方程可化为 2x2 2 2x 1 0
a 2，b 2 2，c 1， b2 4ac (2 2)2 4 21 0
x 2 2 0 2
22
2
2 x1 x2 2
点评：用公式法解一元二次方程，常会忽视 b2 4ac 0 解题的关键是熟记 ax 2 bx c 0(a 0) 的求根公式 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a 注意应用时首先要将原方程化成一般形式，以便于确定a、b、c的值。
问：下面解方程的过程是否正确？
3(x 2)2 2(x 2) 解：两边除以（x 2),得：
3（x 2） 2
x2 2 3
x 22. 3
友情提示：方程的两边
有相同的含有未知数的因式 的时候，不能两边都除以这 个因式，因为这样会把方程 的一个根丢失了.
解：(1 2y 1)(1 2 y 2) 0
1 2y 1 0或1 2y 2 0
把1 2y看作整体， 用十字相乘法分解
y1
0，y2
1 2
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方 程的方法称为分解因式法.
分析：先化成一般式，确定常数项.
解：去括号，得 2m2 x m2 mx2 2x2 4 0，
整理，得 m 2 x2 2m2x m2 4 0，
根据题意，得
m 2 0， m2 4 0.
解之，得 m 2.
例3：关于x的一元二次方程a 1 x2 x a2 1 0的 一个根为0，则a的值为 C .
x 4 5. x 4 5.
4.开方:方程左分解因式,右边合并同类. 5.求解:解一元一次方程.
x1 1, x2 9.
你能从这道题的解 法归纳出一般的解题 步骤吗?
6.定解:写出原方程的解.
我们通过配成完全平方式的方法,得 到了一元二次方程的根,这种解一元 二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square).
解方程：1 5x2 4x； 2 x 2 x x 2.
解：1 5x2 4x 0，
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0.
x1
0，x2
4 5
.
解：2 x 2 x x 2 0，
x 21 x 0.