【原创】《分类与整合思想》

3.典例剖析
例1．已知集合A={x| |x|<4 , x∈R}, B={x| |x-3|<t , t∈R},
若 A B ，求 t 的取值范围．

3.典例剖析
例1．已知集合A={x| |x|<4 , x∈R}, B={x| |x-3|<t , t∈R},
若 A B ，求 t 的取值范围．
空集是一种特殊的集合，研究集合之间的包含

第一步：确定讨论 的对象及其范围

分

类

第二步：确定分类

与

讨论的分类标准

整
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合

的

第三步：分类逐步、

步

分级进行讨论

骤

第四步：归纳小结、

整合得出结论

例3.已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1． x
（1）当a = -1时，求曲线 y = f (x)在点(2,f (2)) 处的切线方程；
（2）当 a 1 时，讨论f (x)的单调性． 2

例3.已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1． x
（1）当a = -1时，求曲线 y = f (x)在点(2,f (2)) 处的切线方程；
（2）当 a 1 时，讨论f (x)的单调性． 2
第2小题求导后转化为解一个含参数的不等式 问题，因此必须对参数a进行分类讨论求解。 本题是由参数的变化引起的分类讨论
关系时，应考虑子集B＝ 以及B≠ 的情况．
本题讨论的关键就是由“空集”的概念引发 的．

例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn， 若S4=1，且S8=17,求{an} 的通项公式．

例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn， 若S4=1，且S8=17,求{an} 的通项公式．
本题是由公式的限制引起的分类讨论
实质上，分类与整合是“化整为零，各个 击破，再积零为整”的数学解题策略。在求解 一些头绪繁多的问题时有独特的功效。

2.引起分类讨论的主要原因
1.由数学概念引起的分类讨论 2.由数学运算要求引起的分类讨论 3.由性质、定理、公式的限制引起的分类
讨论 4.由图形的不确定性引起的分类讨论 5.由参数的变化引起的分类讨论 6.由实际意义引起的分类讨论
本题是由极值点与给定区间的位置关系引起 的分类讨论

处理分类与整合问题的原则： 分类准确， 标准统一， 不重复不遗漏。
建议： 1.先找关键点，以关键点为分界依次讨论 2.对于多级分类，应逐级讨论
作业：《学海舵手》P45

谢谢大家!


求不等式x f (x 1) 10 的解集．
2 .当x∈[-2,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0 恒成立，求实数a的取值范围．

3 ．已知 f (x) (4x2 4ax a2 ) x, (a 0)．
（1）当a = - 4时，求f (x)的单调递增区间； （2）若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a值

注意：二次含参不等式怎么分类讨论？
在解二次含参不等式的讨论问题中，通常先 讨论二次项系数a，分为a>0,a=0,a<0。再讨 论判别式，最后再比较两根的大小，有时还 需判断根与函数定义域的位置关系。讨论时 不能忽略临界位置（即取等号）的情况。分 清主次，不重复不遗漏。最后整合答案。

4.练习题
x 2 (x 2) 1. 已知函数f (x) 2 (x 2) ，
分类与整合思想

1．思想方法概述
在解题时，我们常常遇到这样一种情况： 解到某一步之后，不能再继续统一研究。因为 这时被研究的问题包含了多种情况。这时我们 可以将所研究的对象按照一定的标准，分为几 类分别研究，再把每一类的结果综合起来，得 到整个问题的解答。这种解决问题的方法就是 分类与整合的思想方法．