正弦定理、余弦定理复习学案

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高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案

教学目标：

1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．

3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.

教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．

③能解决与三角形有关的实际问题．

教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．

②将实际问题转化为解斜三角形．

教学过程

一、基础回顾

1、正余弦定理

正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC

＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bccosA ，

b 2＝a 2＋

c 2－2accosB ；

c 2＝a 2＋b 2－2abcosC

2、变形式

①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)

②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB

③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab

. 3、三角形中的常见结论

(1) A ＋B ＋C ＝π.

(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.

(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4) △ABC 的面积公式

① S ＝12

a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R

正弦定理、余弦定理学案-2024届高三数学一轮复习

§4.8 正弦定理、余弦定理

考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

知识梳理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理内容

sin A

＝________＝________＝2R a 2＝________；

b 2＝________；

c 2＝________ 变形

(1)a ＝2R sin A ，b ＝________，c ＝________；

(2)sin A ＝a

，sin B ＝________，sin C ＝________； (3)a ∶b ∶c ＝______

cos A ＝________；

cos B ＝________；

cos C ＝________

2.三角形解的判断

A 为锐角

A 为钝角或直角

图形

关系式 a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b 解的个数

一解

两解

一解

3.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1

ah a (h a 表示边a 上的高)；

(2)S ＝____________＝____________＝____________； (3)S ＝__________(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论

在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .

正弦定理、余弦定理专题复习

教师版在下⾯

考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

(1)S＝1

2a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝

2ab sin C＝________＝________；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

[常⽤结论]

1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．

2．内⾓和公式的变形

(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.

⼆、基础⾃测：

1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π

6，B＝π4，

a＝1，则b＝()

A．2B．1 C． 3 D．2

2.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .

3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有()

A．⽆解B．两解

C．⼀解D．解的个数不确定

4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，

3，则b＝()

A. 2

B. 3

C. 2

D. 3

5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．

6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．三、典例讲解：

考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题

例1：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，

正余弦定理复习课(第1课时)

．
2．若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，
向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于．
3．在△ABC中，已知acos A＝bcos B，则△ABC的形状为________．
1、已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则sinC= 2、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 a2 b2 3bc
（1）△ABC中，a=30，b=25，A=1500 ，有一解。 √
（1）△ABC中，a
3,b 2, B 450
，有一解。 × 有两解
源自文库
判定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边。
例3、设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 b cos C c cos B a sin A, 则ABC的形状为（） A、直角三角形 C、钝角三角形
熟悉边化角，角化边两种方法
B、锐角三角形 D、不确定
变式3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状为(
A．直角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．不确定
)
1、正弦定理： 2、余弦定理： a2=b2＋c2－2bc·cosA 3、正余弦定理的基本应用： (1)已知两角和任一边（解唯一）

解三角形正弦定理和余弦定理复习学案教师版

第 1 页

解三角形正弦定理和余弦定理复习学案

一、正、余弦定理解三角形的基本问题

例1 在△ABC 中，

(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；

(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．

点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．

解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2

sin 45°

，

得sin A ＝3

，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋2

2，

当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－2

(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．

设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，

则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π

3回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能

必修2正弦定理和余弦定理典型例题复习

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析

类型一：正弦定理的应用：

例1．已知在A B C ∆中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形.

思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .

解析：sin sin a c A

，

∴sin 10sin 45sin sin 30

c A a C

⨯=

∴ 180()105B A C =-+= ，又

sin sin b c B

，

∴sin 10sin 10520sin 7520sin sin 30

c B b C

⨯=

===⨯

总结升华：

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.

举一反三：

【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；

根据正弦定理，0

sin 42.9sin 81.8

80.1()sin sin 32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，00

sin 42.9sin 66.2

74.1().sin sin 32.0

==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知0

75B =，060C =，5c =，求a 、A .

【答案】00000

180()180(7560)45A B C =-+=-+=，

复习课+正弦定理和余弦定理+施建昌

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
2、A+B+C=π
3、大角对大边，大边对大角
余弦定理
A
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC C
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
因此有 a b c
2 2

2 2

2a 2b 2 ， c 2 a 2 b2 2ab ，
a 2 b 2 c 2 2ab 2 即有 cos C ，因此 C 450 或 C 1350 . 2ab 2ab 2
（2010 学军中学第二次月考）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b cos C 3a cos B c cos B. （1）求 cosB 的值；（2）若 BA BC 2 ，且 b 2 2 ，求 a和c 的值.
三、已知二边一夹角求边例 3、已知 ABC 中， a 4, B 30 , c 2 3 ，求 b
0
解析：已知 ABC 中， a 4, B 30 , c 2 3 ，则由余弦定理得

正弦定理和余弦定理复习总结教案

3、正弦定理和余弦定理复习总结

1．正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

＝2R ，(R 为△ABC 外接圆半径)

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形形式(边角转化)

a ＝2R sin A ，

b ＝2R sinB ，

c ＝2R sin C ；

sin A ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sin C ＝c

2R ；

a ∶

b ∶

c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C

cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ；

cosB ＝c 2＋a 2－b 2

2ca ；

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

2．三角形中常用的面积公式

(1)S ＝1

2ah (h 表示边a 上的高)；

(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sinB ＝1

2ab sin C ；

(3)S ＝1

2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．

考点一利用正、余弦定理解三角形

1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则A=___________

解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－3

又因为0<A <π，所以A ＝5π

2．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π

，则∠B ＝________．

事物都是变化发展的原理

事物都是变化发展的原理是指一切事物都处于不断变化和发展的过程中，这是宇宙的基本法则之一。这一原理涵盖了各个方面，无论是自然界中的物质和生命，还是人类社会和文化，都受到这一原理的普遍支配。

首先，从自然界的角度来看，事物变化发展的原理可以从物质变化、能量变化和生命变化等多个层面进行解释。在物质变化方面，一切物质都是由原子和分子组成的，它们不断地进行碰撞、分解和重组，从而形成了各种新的物质。例如，水的变化形式有液态、固态和气态。在能量变化方面，能量在不同形式之间不断转化，如热能、机械能、电能等。而在生命的变化方面，生物体通过生长、发育、繁殖和死亡等过程不断变化和更新，从单细胞生物到多细胞生物，再到不同种类的生物，都是生命变化的结果。

其次，从人类社会和文化的角度来看，事物变化发展的原理同样适用。人类社会不断发展变化的根本驱动力是人类自身的需求和创造力。人类通过不断改善自己的生活条件、满足自身的物质和精神需求，驱使社会发展和进步。社会制度、经济形态、科技水平等方面的变化也是社会发展的表现。同时，人类的文化也在不断变化发展中，包括语言、艺术、宗教、伦理道德等方面。文化的传承和创新使得人类文明不断进步。

事物变化发展的原理存在的原因是多方面的。首先，宇宙万物的变化发展是由于事物内部的矛盾和冲突。事物内部存在着各种矛盾，如存在与本质的矛盾、数量

与质量的矛盾、同一性与斗争性的矛盾等。这些矛盾的存在促使事物内部的运动和变化，推动事物向着新的状态和形态发展。其次，事物变化发展的原理是由于外部环境的影响。事物处于一个开放的环境中，受到各种外界因素的影响和作用。外界环境的变化和压力会迫使事物去适应和变革，以便在竞争中生存和发展。最后，事物变化发展的原理还与事物自身内部的发展规律和机制有关。不同事物具有不同的内在规律和机制，如物质的运动规律、生命的生长规律、社会的发展规律等。这些规律和机制是事物自身的内在要求和动力，也是事物变化发展的基础。

正弦定理和余弦定理：复习教案

铭智教育一对一个性化教案学

生姓名教师

姓名

授课

日期

授课

时段

课

题

正弦定理和余弦定理

重难点

1.正弦定理和余弦定理

2.正弦定理和余弦定理的灵活应用

教

学步骤及教学内1．正弦定理：

sin A＝

sin B＝

sin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c ＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝

2R，sin B＝

2R，sin C ＝

2R等形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余弦定理可以变形：cos A＝

b2＋c2－a2

2bc，cos B＝

a2＋c2－b2

2ac，cos C＝

a2＋b2－c2

2ab.

3．S△ABC＝

2ab sin C＝

2bc sin A＝

2ac sin B＝

abc

4R＝

2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.

4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

教育要对民族的未来负责

容

图形

关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数

一解

两解

一解

[难点正本疑点清源]

1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .

2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

人教A版高中数学必修5《一章解三角形复习参考题》优质课教案_21

“正弦定理、余弦定理”复习课教学设计

1 学情分析

系统学习了正余弦定理的相关知识，学生在高一通过必修5的学习，已了解正弦定理和余弦定理的内容，有一定的解三角形基础，但怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，以及计算能力，还需通过复习指导有待进一步提高，达到通过综合性复习让学生将知识点串联起来的目的.

2 考点解读

解三角形是数学高考中重点考察内容之一，而正弦定理和余弦定理是解决有关三角形问题的两个重要定理. 高考对这一内容的考查既可能出现在选填题（全国II卷：2011年第15题，2013年第4、6题，2016年第9题），也可能出现在解答题（2012、2014、2015、2016年第17题）. 选填题通常以考查边角互化为主的小综合形式出现，比较基础；解答题主要考查恒等变换、正弦定理、余弦定理的应用，在教材中可以看到这些高考题的雏形，难度虽然不大，但要求学生具有一定的运算能力和灵活应用正弦定理和余弦定理解题的能力.

3 教学目标

（1）知识与技能：理解正弦定理和余弦定理内容及其证法，掌握利用正弦定理、余弦定理实现三角形边角互化的方法与途径；

（2）过程与方法：让学生能根据条件灵活运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的有关问题，渗透数形结合思想，发展学生的推理能力.

（3）情感态度与价值观：通过经历上述过程，让学生体会正弦定理和余弦定理在解决问题的作用，体验数形思想，体味定理之美，让学生在和谐的课堂氛围中感受数学的抽象性和简洁美.

4 教学重难点

教学重点：能综合运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题.

正弦定理、余弦定理复习课

利用正、余弦定理解三角形复习课

【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .

(1)证明：A ＝2B ； (2)若△ABC 的面积S ＝a 2

，求角A 的大小．

练习1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C

＝

b sin A . (1)求B ；

(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．

判断三角形的形状

【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．

练习2．在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C

1＋cos 2B

，试判断△ABC 的形状．

正、余弦定理的实际应用

【例3】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上．已知AB ＝5 km.

(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

(2)求景点C 与景点D 之间的距离．(结果精确到0.1 km) (参考数据：3≈1.73，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)

高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇

教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。高中《正弦和余弦定理》数学教案1

教学目标

进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.

教学重难点

教学重点：熟练运用定理.

教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.

教学过程

一、复习准备：

1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2.讨论各公式所求解的三角形类型.

二、讲授新课：

1.教学三角形的解的讨论：

①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化

②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)

②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.

2.教学正弦定理与余弦定理的活用：

①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.

②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.

分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断

③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边

3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.

三、巩固练习：

4.07正弦定理余弦定理(复习设计)

NO4.07正弦定理余弦定理（复习设计）

[知识梳理]

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则

2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .

3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )

(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )

(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × )

(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )

[考点自测]

1．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π

3，则C 为( )

A.π6

B.π4

C.π2

D.2π3

答案 C

解析由正弦定理得3sin B ＝33

sin

3，

∴sin B ＝1

，

∵a ＞b,0＜B ＜π3，∴B ＝π

∴C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝π

2．(2015·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为3

《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计

正弦定理和余弦定理复习课教学设计

一、教学目标

本次复习课的教学目标主要包括：

1.复习正弦定理和余弦定理的概念与公式；

2.掌握应用正弦定理和余弦定理解决相关问题的方法；

3.加深学生对三角函数的理解和应用能力。

二、教学准备

教学准备包括：

1.教学课件：包括正弦定理和余弦定理的公式推导和相关例题；

2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器。

三、教学内容与步骤

本次复习课采用讲授和练习相结合的教学方法，具体内容与步骤如下：1. 复习正弦定理

•教师介绍正弦定理的概念和公式，并通过数学推导进行解释；

•教师通过几个简单的几何图形，引导学生理解正弦定理的几何意义；•教师给出一些常见的例题，并让学生根据正弦定理计算未知边长或角度。

2. 复习余弦定理

•教师介绍余弦定理的概念和公式，并通过数学推导进行解释；

•教师通过几个简单的几何图形，引导学生理解余弦定理的几何意义；•教师给出一些常见的例题，并让学生根据余弦定理计算未知边长或角度。

3. 应用正弦定理和余弦定理解决相关问题

•教师给出一些综合性的例题，要求学生运用正弦定理和余弦定理解决；

•教师引导学生分析题目，确定解题思路，并进行详细解析；

•学生在黑板上演示解题过程，并对整个过程进行讨论和总结。

四、教学总结与评价

本次复习课通过对正弦定理和余弦定理的复习，加深了学生对这两个重要定理的理解和应用能力。在分析和解决问题的过程中，学生逐渐形成了逻辑思维和数学推导的能力，提高了解决实际问题的能力。

通过本次复习课，看到了学生们对正弦定理和余弦定理有了更深入的理解，并且在解决问题时愈发独立和自信。然而，仍然存在一些学生对推导过程理解不够深入的情况，需要进一步巩固。