正弦定理、余弦定理复习学案

正弦定理、余弦定理

命题人申占宝

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即

A a s i n =

B b sin =C

c

sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示） 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )

( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a

已知边a,b 和∠A

有两个解

仅有一个解无解

CH=bsinA

⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)

( b a 锐角一解无解b a

三、讲解范例：

例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100

0===∆ 解：0

30,45,10===C A c ∴0

105)(180=+-=C A B

由C c

A a sin sin =得 21030

sin 45sin 10sin sin 0

0=⨯==C A c a 由C c B b sin sin =

得25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 0

0+=+⨯==⨯==C B c b

例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===

∆

解：∵21

3

60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b

00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，

∴222=+=

c b a

例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===

∆

解：2

3

245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A

c C C c A a

0012060,sin 或=∴<

1360sin 75sin 6sin sin ,75600

+=====∴C B c b B C 时，当，

1360

sin 15sin 6sin sin ,151200

-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b

1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的

两倍

即 A bc c b a cos 22

2

2

-+=⇔bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

B ac a c b cos 22

2

2

-+=⇔ca

b a

c B 2cos 2

22-+=

C ab b a c cos 22

2

2

-+=⇔ab

c b a C 2cos 2

22-+=

2．余弦定理可以解决的问题

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

正弦定理、余弦定理、解斜三角形

一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）

1．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

2．在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则S △ABC =

（ ）

A ．

81 B ．41 C ．2

1

D ．1 3．若c

C b B a A cos cos sin =

=则△ABC 为

（ ）

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．有一个内角为30°的直角三角形

D ．有一个内角为30°的等腰三角形 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的 （ ） A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 5．设A 是△ABC 中的最小角，且1

1

cos +-=a a A ，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．a ≥3

B ．a ＞－1

C ．－1＜a ≤3

D ．a ＞0

6．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件

的△ABC （ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 7．已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）

A ．4

1-

B ．

4

1 C ．3

2-

D ．

3

2 8．锐角△ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则 （ ）

A ．Q>R>P

B ．P>Q>R

C ．R>Q>P

D ．Q>P>R

9．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是（ ）

A ．（0，

4

π

） B ．（

4π，2

π

） C ．（

2π，π4

3

） D ．（

4π，π4

3

） 10．关于x 的方程02

cos cos cos 2

2

=-⋅⋅-C

B A x x 有一个根为1，则△AB

C 一定是（ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

11．在△ABC 中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形最小的内角是（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．以上都错

12．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）

13．在△ABC 中，a +c=2b ，A －C=60°，则sinB= .