格林函数法求解场的问题
数学物理方程-第五章格林函数法
第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1) 或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R =，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,) ,F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F . 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂， 形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得 ()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ (1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6) (1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7) 自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8) (1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGu udV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9) 在球面B ∂上，021()414P P r n rr r ππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂， 因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得 14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11) 其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有0(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0ux y z n ε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰， 即(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12) (1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r =0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1) 易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P P r =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数 考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,)(2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7) 在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰udV f dV ΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理. 注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7) 右端第一项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解. 设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10) 将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u G u Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11) 其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14) 因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P PP δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩ 即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G G n zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,)(3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有 01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7) 上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8) 在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r =(3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11) 直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12) 记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 222222000422200002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ=(,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6） 利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题 考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,)G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11） 其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x at ax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x at ax t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx at x at at xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）u udV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰. （2）2u u udV u ds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),u x y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？ Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？ 3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),u x y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ== （2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0, u = (0,) 1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)G u ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰， 其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z u x y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰. 8* 证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足 020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题 0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=， 其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题 0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω. 证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω 内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足 (,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y x u x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2R B Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R r u u x y u R r R r-+≤≤+-其中r = （2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
格林函数方法
给定，
（1）V内有电荷分布
求V内
相应格林函数问题
在S上）
常数（
（2）
只要知道
和
，即可马上得到
（1） 的求解本身也不是一件很容易的事情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。电象法是求解格林函数的有效方法之一。
3．格林函数方法求解讨论
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的边值问题。由
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知，
—— 第一边值问题
① 给定V边界
求V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重要的工具。
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
（1）无界空间中的格林函数
的距离
到
球坐标中
（偶函数）
显然满足点电荷泊松方程。
（2）上半空间的格林函数
（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为
观察点为
（
相当于题中的 a ）
设假想点电荷在
，它的坐标为
（它在
连线上，题中b对应这里的
）
∵
三、用格林函数求解一般的边值问题
一、点电荷密度的
函数表示
处于
点上的单位点电荷的密度
[一般
]
2．常用公式
点电荷的泊松方程：设电势为
单位点电荷产生的电势
空间区域V上的边界条件
或
常数
格林函数的对称性
（偶函数）
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
（
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
10
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
11
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
数学物理方法--格林函数法
0, 0
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
G(r , r ') 4 (r r ')
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
u (r ) 和 设
T
在
上有连续一阶导数。由高斯定理 uv dS (uv)dV
T
v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
7
5. 边值问题的格林函数
第一边值问题(狄里希利问题)
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u
f
u (r , r ') G(r , r ') 0
第一边值问 题格林函数
1 u (r0 ) 4
1 G (r , r0 )r (r )dV 4 T
1
1
12.1
泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
1. 源问题 例 静电场 a.无界空间
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
q 4
r'
r r ' r
r
处静电场
1 (r ) u0 (r , r ') G(r , r ') r r '
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
feko 数值格林函数
feko 数值格林函数一、概述Feko是一款电磁场仿真软件，可以用于求解各种电磁场问题。
其中，数值格林函数（Numerical Green's Function）是Feko中的一个重要功能，它可以用于求解复杂结构下的电磁场分布。
本文将介绍Feko中数值格林函数的基本原理和使用方法，并提供一个全面详细的函数进行演示。
二、数值格林函数原理1. 格林函数概念在物理学中，格林函数是描述线性微分方程解法的一种数学工具。
它表示在某个位置上施加一个单位源时，在另一个位置上所观测到的响应。
在电磁学中，格林函数可以用来求解复杂结构下的电磁场分布。
2. 数值格林函数数值格林函数是一种通过数值方法计算得到的格林函数。
在Feko中，数值格林函数可以通过有限元方法或边界元方法进行计算。
3. 数值格林函数求解步骤（1）建立模型：首先需要建立待求解问题的模型，并对其进行网格划分。
（2）设置边界条件：根据实际情况设置边界条件，包括边界类型和边界条件参数等。
（3）计算数值格林函数：使用有限元方法或边界元方法计算数值格林函数。
（4）求解电磁场分布：将数值格林函数与源项相乘，即可得到电磁场分布。
三、Feko中数值格林函数的使用方法1. 建立模型在Feko中，可以通过几何建模工具或导入CAD文件等方式建立待求解问题的模型。
建模完成后，需要对其进行网格划分。
Feko提供了多种网格划分方法，用户可以根据实际情况选择合适的方法进行划分。
2. 设置边界条件在设置边界条件时，需要考虑到待求解问题的实际情况。
一般来说，边界条件包括边界类型和边界条件参数两部分。
（1）边界类型Feko中支持多种不同类型的边界条件，包括PEC、PMC、MUR等。
用户可以根据实际情况选择合适的边界类型。
（2）边界条件参数每种边界类型都有相应的参数需要设置。
例如，在设置PEC边界时，需要设置其电导率为无穷大；在设置PMC边界时，需要设置其阻抗为无穷大等。
3. 计算数值格林函数在Feko中，可以使用有限元方法或边界元方法计算数值格林函数。
多体量子力学中的格林函数方法
多体量子力学中的格林函数方法多体量子力学是研究多粒子体系中粒子之间相互作用的力学理论。
在这个理论框架下，我们需要处理多个粒子的波函数，同时考虑它们之间的相互作用。
为了解决这个问题，物理学家们提出了多种方法，其中一种重要的方法就是格林函数方法。
格林函数方法最早由德国物理学家赫尔曼·哈库斯（Hermann Hankel）于1859年提出，后来由多位物理学家进一步发展和推广。
格林函数可以用来描述量子态的演化和性质，是求解多体问题的有力工具。
在多体量子力学中，格林函数是描述粒子行为的函数。
它可以用来计算不同时间和位置下粒子的性质，比如粒子的动量、位置和电荷等。
格林函数的形式由一般的波函数演化方程决定。
它可以被分为两个部分：单粒子格林函数和相互作用格林函数。
单粒子格林函数描述了一个单粒子在外势场下的行为。
它可以被定义为粒子在某个时刻从一个位置传播到另一个位置的概率幅。
通过计算单粒子格林函数，可以得到粒子的一些重要性质，比如能谱和态密度等。
相互作用格林函数描述了多个粒子之间的相互作用。
在多体问题中，粒子之间的相互作用是一个非常重要的因素。
通过计算相互作用格林函数，可以探究粒子之间的相互作用强度和方式。
相互作用格林函数的求解可以通过一系列的近似方法，比如平均场理论、扰动方法和重整化群等。
格林函数方法在各个领域都有广泛的应用。
在凝聚态物理中，格林函数方法可以用来研究电子系统和其他凝聚态物理体系的性质。
通过计算格林函数，可以得到电子的输运性质、激发态和自能等重要信息。
格林函数方法在量子化学、固体物理、统计物理和粒子物理等领域也都有着重要的应用。
虽然求解格林函数的问题是一个复杂的任务，但是近年来，在计算机科学和数值方法的发展下，越来越多的精确和高效的方法被提出。
比如，基于数值求解的格林函数方法、基于图像处理的格林函数方法、基于机器学习的格林函数方法等。
这些方法为求解多体问题提供了新的思路和工具。
总结起来，格林函数方法是解决多体量子力学问题的一种重要方法。
第三章格林函数法
r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
数学物理方法--格林函数法
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
朱露培fk法格林函数
朱露培fk法格林函数介绍朱露培fk法格林函数是一种用于计算电磁场分布的数值方法。
它是由朱露培教授提出的，用于求解电磁场的非齐次波动方程。
该方法在电磁场计算领域有着广泛的应用，尤其在微波与光学器件设计中发挥着重要的作用。
原理朱露培fk法格林函数是基于格林函数理论的一种数值求解方法。
它利用了齐次波动方程的格林函数解，通过将非齐次波动方程转化为齐次波动方程，进而求解得到电磁场的分布。
具体而言，朱露培fk法格林函数的求解过程包括以下几个步骤：步骤一：确定问题的边界条件首先，需要确定问题的边界条件，包括电磁场在边界上的数学表达式或物理性质。
这些边界条件将在后续计算中起到重要的作用。
步骤二：构建格林函数接下来，需要构建齐次波动方程的格林函数。
格林函数是齐次波动方程的特解，它描述了在给定边界条件下的电磁场分布。
通过求解格林函数，可以得到电磁场的解析表达式。
步骤三：转化为齐次波动方程将待求解的非齐次波动方程转化为齐次波动方程。
这可以通过引入新的变量或函数来实现。
转化后的齐次波动方程与格林函数的形式相同，可以直接利用格林函数求解。
步骤四：应用格林函数利用格林函数求解齐次波动方程，得到电磁场的解析表达式。
根据边界条件，可以确定解析表达式中的参数，并进一步求解得到电磁场的分布。
应用朱露培fk法格林函数在电磁场计算中有着广泛的应用。
它可以用于解决各种电磁场分布问题，包括微波器件的设计、光学器件的模拟以及电磁波传播等。
具体而言，朱露培fk法格林函数可以用于以下几个方面的应用：微波器件设计在微波器件设计中，朱露培fk法格林函数可以用于计算器件的电磁场分布。
通过求解电磁场方程，可以得到器件中电磁场的分布情况，从而指导器件的设计与优化。
光学器件模拟在光学器件模拟中，朱露培fk法格林函数可以用于计算光学器件的电磁场分布。
通过求解电磁场方程，可以得到光学器件中电磁场的分布情况，从而指导器件的设计与优化。
电磁波传播朱露培fk法格林函数还可以用于模拟电磁波在不同介质中的传播情况。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数格林函数是常微分方程领域一个重要的概念，它在求解一些特殊的边值问题时起到了关键的作用。
本文将详细介绍常微分方程格林函数的概念、性质和应用。
1.概念：格林函数是常微分方程的一个解，在给定一些边界条件下，格林函数可以通过线性叠加得到问题的解。
对于一个n阶线性齐次常微分方程：$$L(y)=f(x)$$其中L是一个线性微分算子，f(x)是给定的函数，问题的边界条件可以表示为y(a)=y(b)=0。
2.小欧拉公式：对于一个线性微分算子L，小欧拉公式给出了一个特殊解的形式。
设y(x)是L(y)=f(x)的特殊解，如果f(x)是连续的，那么y(x)可以表示为：$$y(x) = \int_a^b G(x, t) f(t) dt$$其中G(x,t)是L的格林函数，满足下面两个条件：$$L_x(G(x, t)) = \delta(x - t)$$$$G(a,t)=G(b,t)=0$$其中δ(x-t)是狄拉克函数。
3.格林函数的性质：-线性性质：设L是一个线性微分算子，对于任意的常数c和函数f(x)，有：$$L(cG)=cL(G)$$$$L(G_1+G_2)=L(G_1)+L(G_2)$$即格林函数的线性组合也是L的格林函数。
-对称性质：由于小欧拉公式中x和t的对称性，格林函数也具有对称性：$$G(x,t)=G(t,x)$$-积分性质：对于一个n阶线性微分算子L和它的格林函数G(x,t)，有：$$\int_a^b L_x(G(x, t)) dt = 1$$$$\int_a^b L_t(G(x, t)) dt = 0$$4.格林函数的求解：求解一个线性微分方程的格林函数需要根据具体的微分算子L来进行。
一般情况下，可以通过变换法或者分离变量法得到格林函数。
对于一些特殊的微分算子，如一维波动方程的算子和一维热传导方程的算子，格林函数的求解可以通过傅里叶变换来得到。
5.格林函数的应用：格林函数在常微分方程领域有广泛的应用。
格林函数法求解微分方程例题
格林函数法求解微分方程例题格林函数法是解决微分方程初值问题和边值问题的一种有效方法，它主要是利用格林函数解决非齐次微分方程的问题。
格林函数法求解微分方程需要掌握一些基本的知识，包括线性微分方程的基本概念、格林函数的定义以及求解过程中的一些常用方法。
下面我们来看一个求解微分方程的例题，以帮助大家更好地理解这种求解方法。
1、例题求解微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=f(x),\ \ \ \ y(0)=0,\ \ y'(0)=1$$ 其中，$f(x)$为已知的函数。
2、求解过程（1）求齐次方程的通解：$$\frac{d^2y_h}{dx^2}+3\frac{dy_h}{dx}+2y_h=0$$上式的特征方程为$r^2+3r+2=0$，解得$r=-1,-2$，因此齐次方程的通解为：$$y_h(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}$$其中，$c_1$和$c_2$为待定系数。
（2）求非齐次方程的通解：设格林函数为$G(x,\xi)$，则非齐次方程的通解可以表示为：$$y(x)=\int_0^{\infty}G(x,\xi)f(\xi)d\xi+c_1e^{ -x}+c_2e^{-2x}$$其中，$c_1$和$c_2$为待定系数。
（3）确定格林函数：格林函数$G(x,\xi)$定义为下面两个方程的解之差：$$\frac{d^2G(x,\xi)}{dx^2}+3\frac{dG(x,\xi)}{dx }+2G(x,\xi)=0$$ $$G(x,\xi)\bigg|_{x=\xi}=0,\ \ \\frac{dG(x,\xi)}{dx}\bigg|_{x=\xi}=1$$上式的通解为$G(x,\xi)=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}$，利用边界条件得到$c_1+c_2=0$，$-c_1-2c_2=1$，解得$c_1=-1$，$c_2=1$，因此：$$G(x,\xi)=e^{-x}+e^{-2\xi}$$（4）代入公式求解：将$G(x,\xi)$代入非齐次方程的通解中，得到：$$y(x)=\int_0^{\infty}(e^{-x}+e^{-2\xi})f(\xi)d\xi-e^{-x}+e^{-2x}$$这是非齐次方程的通解，具体的求解过程可以根据具体的函数$f(x)$进行计算。
3-格林函数法
26
计算电磁学基础
7、矢量格林公式
• 对区域V中任意两个矢量场P和Q，对P×(D×Q)应用 高斯定理，可得矢量第一格林定理
Q P Q P dV P Q dS
V V
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
( x ) Q ( x )
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
( x ) Q ( x x)
Q ( x x) 0,
( x ≠x ’ 点 )
V
Q ( x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
1 4 1 4 1 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z' ) 2 1 ( x x' ) 2 ( y y' )2 ( z z' )2
18
计算电磁学基础
5、 泊松方程格林函数
一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程
2 2
1
2
R0 1 2 2 4 2 r | x ( ) x | R R R0 2 R0 RR cos R R
1
2
根据镜象法得
G ( x x ) 1 40 ( R 2 R2 2 RR cos ) 1 2 1 ] 1 RR 2 2 (( ) R0 2 RR cos ) 2 R0
场点P的坐标为R。
z R' R0 θ' o
x
r' R θ
r
x
α
y
x
23
分离变量法,杜哈梅尔定理法,格林函数法求解导热问题的思路
分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法，它将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。
通过运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。
杜哈梅尔定理法主要用于求解不均匀受热引起的热应力问题，通过将其转化为等温弹性力学问题，进而求解。
格林函数法是数学物理方程中一种常用的方法，用于求解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程。
格林函数是物理学中的一个重要函数，它满足特定的方程，并满足某种边界条件。
当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理，可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法。
而点源产生的场就叫做格林函数。
三维层状场地的精确动力刚度矩阵及格林函数
三维层状场地的精确动力刚度矩阵及格林函数三维层状场地的精确动力刚度矩阵及格林函数引言：在土木工程领域中，结构的动力响应是一个重要的研究方向。
而精确动力刚度矩阵及格林函数是分析结构动力响应的重要工具。
本文将介绍三维层状场地的精确动力刚度矩阵及格林函数的相关知识。
一、动力刚度矩阵的定义及作用动力刚度矩阵描述了结构在受到外力作用下产生的位移响应与作用力之间的关系。
对于三维层状场地，动力刚度矩阵是一个6×6的矩阵，即包含了三个自由度的位移和三个自由度的力。
精确动力刚度矩阵考虑了场地的非均匀性和各向异性，能够更准确地描述结构的动力响应。
二、三维层状场地的动力刚度矩阵的计算方法三维层状场地的动力刚度矩阵可以通过频域有限元方法来计算。
首先，根据场地的几何形状和材料特性建立有限元模型；然后，通过求解有限元模型的特征值问题，得到场地的固有频率和振型；最后，根据固有频率和振型，计算动力刚度矩阵。
需要注意的是，由于场地的非均匀性和各向异性，计算过程中需要考虑不同方向上的刚度。
三、动力刚度矩阵的应用动力刚度矩阵在结构地震响应分析中起着重要的作用。
通过与地震输入的加速度时程相乘，可以得到结构的地震响应。
同时，动力刚度矩阵还可以用于计算结构的动力特性，如固有频率、振型等。
这些参数在结构设计和抗震设防中具有重要的参考价值。
四、格林函数的定义及作用格林函数是描述结构动力响应的函数，它表示在单位脉冲力作用下的结构响应。
对于三维层状场地，格林函数是一个6×6的矩阵，即包含了三个自由度的位移和三个自由度的力。
格林函数可以通过动力刚度矩阵的逆矩阵来计算。
五、三维层状场地的格林函数的计算方法三维层状场地的格林函数可以通过频域有限元方法来计算。
首先，根据场地的几何形状和材料特性建立有限元模型；然后，通过求解有限元模型的动力方程，得到单位脉冲力作用下的结构响应；最后，根据结构响应和单位脉冲力，计算格林函数。
六、格林函数的应用格林函数在结构地震响应分析中起着重要的作用。
格林函数法
格林函数法
格林函数（Green's Function）是描述物理系统状态之间相互转换和
其它类型的转换的一种函数，用来解决系统的边界值问题。
它可以通过物
理系统的差分方程来解释，也可以用来表征物理系统的任意状态之间的相
互作用。
格林函数可以概括地表示为：当系统处于某一特定状态时，其他
状态的影响，及它们之间的相互作用，以及系统当前状态的演变。
格林函数法可以分为两种：一种是无限空间的，这种方法是通过求解
无限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题；另一种是有限空间的，
这种方法是通过求解有限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题。
格
林函数法可以用来研究物理系统中多种形式的边界值问题，包括边界条件、初始条件、响应函数、激励函数、反应函数等。
此外，它还可以用来估计
未知量、估计系统参数、构造信号处理过程和对边界条件进行约束等。
格林函数方法
格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。
格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。
格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。
主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。
这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。
具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。
格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。
如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。
在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。
最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。
此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。
综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。
该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,ua u f r t t∂-∇=∂ 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20u f r ρε∇=-=-表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r rρφπεΩ=-⎰这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r nρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩ 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ代表自由电荷密度。
格林函数法求解微分方程例题
格林函数法求解微分方程例题微分方程是自然科学和工程技术领域中的一种基本数学工具，它描述的是变化规律。
而格林函数法则是解决各种微分方程的一种重要方法。
本文将介绍格林函数法的基本原理，并通过一个实例详细讲解如何应用格林函数法求解微分方程。
一、格林函数法的基本原理格林函数法是求解非齐次线性微分方程的一种基本方法。
其基本思想是将非齐次线性微分方程转化为齐次线性微分方程，再通过格林函数将非齐次项加进去。
具体而言，设微分方程为：$$ L[y(x)]=f(x) $$其中L是微分算子，y(x)是未知函数，f(x)是已知函数。
如果我们能够找到一个函数G(x,t)，使得它满足下面两个条件：$$ L[G(x,t)]=delta(x-t) $$$$ G(a,t)=G(b,t)=0 $$其中$delta(x-t)$是狄拉克函数，a和b是区间的端点。
那么，原微分方程的通解可以表示为：$$ y(x)=int_{a}^{b} f(t)G(x,t)dt $$这个式子被称为格林函数公式，它将非齐次项f(x)加入到了齐次解的线性组合中，从而得到了原微分方程的通解。
二、例题分析下面我们通过一个实例来详细讲解如何应用格林函数法求解微分方程。
考虑如下的非齐次线性微分方程：$$ y''+y=f(x) $$其中$f(x)=x$，边界条件为$y(0)=y(pi)=0$。
首先，我们需要找到上面所述的格林函数G(x,t)。
根据定义，我们需要满足下面两个条件：$$ G''(x,t)+G(x,t)=delta(x-t) $$$$ G(0,t)=G(pi,t)=0 $$我们考虑将格林函数表示为两段式：$$ G(x,t)= begin{cases} A(x)B(t), & 0leq x<t C(x)D(t), & t<xleq pi end{cases} $$将上式代入第一个条件中，我们可以得到：$$ A''(x)B(t)+A(x)B''(t)+C''(x)D(t)+C(x)D''(t)=delta(x-t) $$ 由于$delta(x-t)$的性质，我们可以得到：$$ A(t)B(t^-)+C(t)D(t^+)=1 $$$$ A'(t)B(t^-)+C'(t)D(t^+)=0 $$$$ A(0)B(t)=C(pi)D(t)=0 $$将边界条件代入上面的式子中，我们可以得到：$$ C(pi)=D(t)=0 $$$$ A(0)B(t^-)=0 $$又由于B(t^-)和C(t^+)在t处连续，所以我们有：$$ B(t^-)=B(t^+),C(t^+)=C(t^-) $$又由于C(x)和D(t)在区间$[t,pi]$内满足同样的方程，所以我们有：$$ C(x)=A(pi-x),D(t)=B(pi-t) $$将上面的条件代入第一个式子中，我们可以得到：$$ A''(x)B(t)+A(x)B''(t)+A(pi-x)B(pi-t)=delta(x-t) $$ 我们考虑将A(x)和B(t)分别表示为正弦函数的线性组合：$$ A(x)=sum_{n=1}^{infty}a_nsin nx $$$$ B(t)=sum_{n=1}^{infty}b_nsin nt $$将上面的式子代入第一个式子中，我们可以得到：$$ sum_{n=1}^{infty}[-a_nn^2+b_nb''_n+b_nsum_{m=1}^{infty}a _msin m(pi-t)]sin nx=delta(x-t) $$根据正交性质，我们可以得到：$$ -a_nn^2+b_nb''_n+b_nsum_{m=1}^{infty}a_msinm(pi-t)=frac{1}{pi}int_{0}^{pi}delta(x-t)sin nxdx=frac{1}{pi}sin nt $$整理上面的式子，我们可以得到：$$ b_n=frac{sin npi}{pi(n^2-1)} $$$$ a_n=frac{2}{pi}int_{0}^{pi}[delta(x-t)-sum_{n=1}^{infty} b_nsin nt]sin nx dx $$将上面的系数代入格林函数中，我们可以得到：$$ G(x,t)=sum_{n=1}^{infty}frac{sin nxsin nt}{pi(n^2-1)}$$现在我们可以将上面的格林函数代入格林函数公式中，得到原微分方程的通解：$$ y(x)=int_{0}^{pi}xsum_{n=1}^{infty}frac{sin nxsin nt}{pi(n^2-1)}dt $$这个积分可以通过分部积分得到，最终的通解为：$$ y(x)=frac{4}{pi}sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1) ^2}sin(2n-1)x $$三、总结本文介绍了格林函数法的基本原理，并通过一个实例详细讲解了如何应用格林函数法求解微分方程。
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格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,ua u f r t t∂-∇=∂ 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20u f r ρε∇=-=-表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r rρφπεΩ=-⎰这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r nρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩ 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ代表自由电荷密度。
格林函数(),G r r '：位于'r 的单位正电荷在r 处所激发的满足齐次边界条件的电势。
三维 Green ’s Functions 定解问题为：① ()()()()2301,,0S G r r r r G r r G r n δεαβ⎧''∇=--⎪⎪⎨'∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩这里()3r r δ'-表述了单位正电荷的体密度。
注意：对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域，这个定解问题无解。
这是因为，虽然方程说明V 内有单位正电荷存在，而边界条件(),0SG r r n'∂=∂ 说明点源产生的场在边界S 上电场的法向分量(),n G r r E n'∂=-∂处处为零，说明边界条件与方程不相容。
另外，可以对方程作积分()()21,VG r r dv r r dv δε''∇=--⎰⎰这时要包含r '点，用高斯定理得1SG ds n ε∂=-∂⎰这就矛盾了！！！ 注： 高斯定理 VSAdv n Ads ∇⋅=⋅⎰⎰这时引入广义格林函数② ()()()2301,,0S G r r r r C G r r nδε⎧''∇=--+⎪⎪⎨'∂⎪=⎪∂⎩其中C 为常数，还要增加一个条件，以保证解的唯一性。
求解上面方程组①或②，可得在给定区域V 的泊松方程的各类边值问题的格林函数。
3 镜像法求G . F.用Green ’s Functions 去求解数理方程的定解问题，首先要求出相同边界、同类边值问题的Green ’s Function.3.1 镜像法的基本概念很多物理问题没有一个普遍奏效的解法，人们会发展许多方法，但往往每一种方法只能解决一部分问题。
人们熟知的一种办法是所谓“猜解”，即“尝试解”，这要有所谓的“唯一性定理”做保证。
唯一性定理：某些物理问题（如静电场边值问题）存在唯一解。
可以通过并不唯一的方法找到这个唯一解，这样就意味着解决物理方法上的多样性和灵活性。
静电镜像法是一种特殊的猜解方法，其基本思想：利用点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷。
可用于镜像法解决的问题包括：在点或线电荷与导体（或介质）共同存在的系统中，空间任一点的场是由点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷共同产生的，而感应（或极化）电荷事先并不知道。
通过分析边界条件可以找到一个（或多个）像电荷来等效地代替导体面（或介质面）上的感应（或极化）电荷，从而把点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷在待求区域产生场的求解问题转化为真实点电荷和虚像电荷在待求区域所产生场的简单叠加。
镜像法求边值问题的一般步骤为（以静电场为例）：1） 列出定解问题：电势在待求区域所满足的微分方程和边界条件； 2） 根据边界条件分析镜像电荷的个数和位置； 3） 写出电势分布的形式表达式（尝试解）；4） 把边界条件带入形式表达式以确定像电荷的量值和位置； 5） 把已求出的像电荷带入形式解以得到真实的电势分布； 6） 根据题意要求可由电势求场强、电荷分布及受力等问题。
静电镜像法分为：反射镜像法：平面镜法 球面镜法半透镜法：平面镜法球面镜法3．2 无界空间定解问题()()()2301,,0r G r r r r G r r δε→∞⎧''∇=--⎪⎨⎪'=⎩ 对应物理问题：单位正电荷1q =置于r '，求空间任一点(),,r x y z =处的电势(),?G r r '=库仑定律给出的解――无界区域的Green ’s Function ：()01,4G r r r r πε'='-=又叫基本解。
3．3 上半空间定解问题()()()()23001,, 0;,0, ,0z r G r r r r z G r r G r r δε=→∞⎧''∇=-->⎪⎨⎪''==⎩这里实际上可以给出满足第一类边界条件的 G . F. of the first kind. 物理问题：在0z = 处，有一无限大接地金属板，在r '处有一单位正电荷q ，求金属板上方任一点r 处的电势分布(),?G r r '=q '=1q =σrr 'r +r -1rr '(),G r r ''镜像法的基本思想用在这里：当电荷q 置于导体板的上方时，由于静电感应，板上出现异号电荷，空间电场是由电荷q 及感应电荷共同激发的，即01G G G =+。
而且满足静电平衡条件时，电力线垂直于导体面。
格林等效层定理：带电导体面上的电荷分布在导体外产生的电势，可以用导体面内的一定的等效电荷分布来代替。
我们通过电场分布分析，引进像电荷――假想电荷――来代替感应电荷作用。
在这里，我们在电荷q 相对于0z =平面的镜像位置引进1q '=-，那么q '和q 激发电场与q 和真实感应电荷激发的电场相同。
这里q '要满足q '和q 共同在导体面上产生的电势为零。
这样引进的像电荷和原电荷一起产生的场，就是要求的由原电荷和感应电荷产生的场，这样我们只需要求出像电荷的位置和大小。
像电荷的正确引进要符合：① 像电荷用在求解区域之外引入，因为感生电荷在上半空间的场1G 处处满足Laplace ’s Eq. 210G ∇=, 即在上半平面内是无源的。
② 像电荷的电量q '和位置要满足边界条件：()0,0r G r r ='= 和(),0r G r r →∞'=。
Then, 1q =和1q '=-激发的电势是待求的格林函数。
()00011,4414G r r r r πεπεπε+-'=-⎡⎤=金属板上的面电荷密度00?z G z σε=∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ 应能证明：金属板上总电荷 1dS σ=-⎰这说明金属板上总感应电荷等于像电荷。
这是因为接地的导体平面相当于一面镜子，而1q '=-则是1q =的像，1q '=-称像电荷。
3．4 球外空间这里还是考虑第一类G.F.函数的求解问题。
定解问题()()()()023001,, ;,0, ,0r r r G r r r r r r G r r G r r δε=→∞⎧''∇=-->⎪⎨⎪''==⎩对应物理问题：接地金属球外r '处，有一单位正电荷1q =，求球外空间任一点r 处的电势(),?G r r '=首先引进像电荷q '，要不违反泊松方程，也就是让q '产生的电势1G 满足 Laplace ’s Eq., 210G ∇=, q '必须在求解区域之外一球内，考虑到对称性，q '还必须在r '上，放在r ''处。
为了保证球面电势为零，即()0,0r r G r r ='= 成立，q '为负电荷。
q '＝？，r ''＝？ 应由边界条件定。
考虑球面上一点0P ，由边界条件得：()001,04r r r r q q G r r r r r r πε==⎛⎫''=+=⎪ ⎪'''--⎝⎭ 也就是00 q q r r r r '=-'''--要求1q =orr 'r ''0rαpq '0P0000 const r r r q r q r r r r '-'''⇒-===='''-注意，这里考虑了若有两个相似三角形'0OQ P OP Q ∆∆，必有'const PQ PQ=。
由此确定了像电荷的位置和电量200r r r r q qr ''=''=-'这样，q 和q '激发的电势就是 Green ’s Function()01,4q q G r r r r r r πε⎛⎫''=+ ⎪ ⎪'''--⎝⎭用球坐标表示：场点： (),,r r θϕ=，q 电荷所在位置：(),,r r θϕ''''=，像电荷q '所在位置：()20,,,,r r r r θϕθϕ⎛⎫''''''''''== ⎪'⎝⎭，（这里,θθϕϕ''''''==） 2r r r'-=+（余弦定理）2r r r ''-=+= （余弦定理） where()()()()cos sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos r r rr xx yy zz rr rr αθϕθϕθϕθϕθθθθϕϕθθαθθϕϕθθ'''''⋅==++''''''=++''''=-+'''⇒=-+（()cosϕϕ'-――加法公式）在考虑1q =，0r q q r'=-'， 我们得 ()01,4G r r πε⎛⎫⎪ ⎪'= ⎝场强： (),E G r r '=-∇ 球面上电荷分布： 00r r r φσε=∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ 球面上总电荷：1ds σ=-⎰由于球面上感应电荷在球外的场与像电荷－q '的场等效，所以电荷q 受感应电荷的力为 ()2014qq i F r r πε'=-'''-4 Green ’s Function ’s 对称性 ()(),,G r r G r r ''=重要物理意义：p '点的点源，在一定边界条件下，在p 产生的场等于：在p 置同样强度点源，在相同边界条件下在p '产生的场。