《流体力学》课件 4.3 普朗特边界层方程
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第四章 边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出,用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理
二、普朗特边界层方程的解
边界层内的速度分布
ψ 1 uy x 2
u0ν (ηf f ) x
ux
ψ y
u0
f
对于给定的位置（x，y）→η，f，f’ → ux，uy
二、普朗特边界层方程的解
边界层厚度 当 f ux u0 0.99 时，壁面的法向距离 y 即
为边界层厚度，此时
η y u0 5.0 νx
δ 0
0
ρu0uxdy(1) dx
dx
4 x
δ
x
0
ρux (ux
u0 )dy
dx
（2）
一、边界层积分动量方程的推导
作用在控制体 x 方向 y
上的力（取 x 坐标方向
2
为正号）
① 1-4截面（壁面剪应力） δ
u0 3 δ dδ
τs (dx)(1) τsdx
0
② 1-2截面（压力）：
y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界 层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层 过 湍流边界层
在板前缘附近，边界层 内流速较低，为层流边界 层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡 区
u0
流体力学第十章边界层理论
线性和边界条件的复杂性，直到目前还不能用
解析法来分析。普朗特通过对粘性力作用的分
δ
析，认为可以把整个流场分为两部分：一部分
是直接临近物体表面的边界层区和经过边界层
后靠近物体的尾迹区，在这部分流场中，粘性
作用显著，属于粘性流，可按纳维—斯托克斯 图10.2 边界附近流体的速度分布
方程式求解。由于边界层和尾迹区的尺寸很小，和物体的几何尺寸相比
层流底层（对光滑板尤其明显）。边界层由
层流向紊流的转变，取决于雷诺数Re 的大小。
x W
层流底层
对绕流流场， Re与主流流速 W 、流体运动粘 度 和自板端向后流过的距离 x 有关，即
图10.7 流体绕过流线型锐端平板
Re Wx Wx
（10.1）
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第十章 边界层理论
第一节 边界层特性
在绕流流场中，边界层的流动同样也有由层流转入紊流的现象。如 图10.7所示为处在均速主流流场中的流线型锐端平板。刚接触板端时，流 速 W 是均匀的。进入平板后，由于粘性作用，在壁面处便出现一层极薄的 边界层。
第9页
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第十章 边界层理论
第一节 边界层特性
因为边界层厚度 极小，扰动在其中不易发展，所以此时边界层中的流
三、边界层厚度 在管内紊流和绕流情况下，流场中的速度变化主要发生在壁面附近。 流速改变剧烈的区域，即为边界层。自壁面至流速不再改变处的距离称 为边界层厚度，用 表示。边界层厚度以外叫主流区。严格说来，自壁 面至流速完全不变的区域，距离很大，故一般将速度达到主流速度0.99 ～0.995倍的地方作为边界层厚度的上限。照此规定，边界层厚度极小， 与物体尺寸相比可看成微量。但是这样的规定却不利于对边界层进行解 析计算，为此下面列出了三种较严格的规定边界层厚度的方法。
边界层理论
1•边界层理论概述 (1)
1.1边界层理论的形成与发展 (1)
1.1.1边界层理论的提出 (1)
1.1 边界层理论存在的问题 (2)
1.2边界层理论的发展 (2)
2边界层理论的引入 (3)
3边界层基础理论 (4)
3.1边界层理论的概念 (4)
3.2边界层的主要特征 (6)
3.3边界层分离 (7)
3.4层流边界层和紊流边界层 (9)
3.5边界层厚度 (10)
3.5.1排挤厚度 (11)
3.5.2动量损失厚度 (11)
3.5.2能量损失厚度 (12)
4边界层理论的应用 (14)
4.1边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用 (14)
4.2边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用 (14)
4.3基于边界层理论的叶轮的仿真 (15)
参考文献 (17)
1.边界层理论概述
1.1边界层理论的形成与发展
1.1.1边界层理论的提出
经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。虽然很早人们就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘性直接对阻力的贡献是不大的。但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“ D'Alembert之谜”。在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff ，Helmholtz，Rayleigh等人的尝试
也都失败了。
经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻
普朗特边界层微分方程的详细推导资料讲解
普朗特边界层微分方程的推导
学校：内蒙古工业大学 专业：力 学 姓名：宗宇显
首先，我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维--斯托克斯方程在一定情况下的简化。
Ⅰ 二维定常纳维--斯托克斯方程
连续性方程
22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.1） 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识
2.1概念：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。
2.2普朗特理论的基本思想：在大Re 数（一般在5×510～3×610）绕流中存在两个流动区域，即层流和紊流。
2.3边界层：流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。 2.4边界层厚度：以u =0.99U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。 故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小，所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：
连续性方程 22221v ()u u p u u u v x y x x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.2） v 0u x y
∂∂+=∂∂v 0u x y
∂∂+=∂∂
2222v v 1v v v ()p u v x y y x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3.1边界层的厚度δ（x ）量纲分析
边界层流动
Re FJ L2U02 LU0 F U0L
3
4.1、边界层近似及其特征
们熟悉的大多数外流均属Re>>1的流动。一般物体的特征长度在l = 0.01－10 m范围，当物体在空气或水中以速度U = 0.1－100 m/s运动时，相应的雷诺数 约在100－109之间。普通汽车和船舶以正常速度行驶时，空气和水的雷诺数 均在106以上。飞机绕流的雷诺数则更高。
管内流层流转紊流的临界雷诺数： ~ 2300
因此大Re数流动是普遍存在的现象。在高Re数下，流体运动的惯性力远远大 于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而且确实较成功地解决了与粘性 关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题。
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流 体的流动区域（粘流区）。
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流 理论处理。
（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是 粘流区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋 运动。
8
4.1、边界层近似及其特征
界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x
方向的长度为L，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
边界层流动(详细很好)
据此可将管内的流动分为两个区域：一是边界层汇合以前的区 域，称之为进口段流动；另一是边界层汇合以后的流动，称为 充分发展的流动。将入口至边界层汇合处的距离L称为进口段长 度。
d
若来流速度较小，边界层在管中心汇合时流动为层流，则管 内流动继续保持层流，即维持充分发展的层流流动；若来流速度 较大，则在进口段内首先形成层流边界层，然后逐渐过渡到湍流 边界层，再在管中心汇合后形成充分发展的湍流， 如下图所示。
二、普兰德边界层方程的简化
(1) y 0(壁面)，ux 0
方程的边界条件：
(2) y 0( 壁面)，uy 0
(3) y ，ux u0
因为方程的边界条件中不出现压力项，所以可以采用以动压力梯度 来表示的运动方程：
ux pd ux 2 ux 2 ux ux uy 2 2 x y x x y
第四章 边界层流动
问题的引入：
在低雷诺数的爬流流动中，由于粘性力远大于惯性力，因 此惯性力项可以从运动方程中略去，从而得到斯托克斯方程。 相反，对于高雷诺数的势流流动，由于惯性力远大于粘性力， 可以将粘性力忽略，从而得到欧拉方程。
但欧拉方程只适用于离开壁面一定距离的流动主体，并不适用 于固体壁面附近。 为什么在势流流动中，在壁面附近不能忽略粘性力的影响？ 如何正确处理壁面附近大雷诺数的流体流动问题呢？ 这个问题可以由1904年普朗特（Prandtl）提出的边界层理论 来解决。边界层理论阐明了大雷诺数下，粘性力对流体流动 的影响。流体在壁面附近的流动也称边界层流动。
边界层理论
在y方向，在y=0处，因流体黏性作用，壁面流体速度为零，此静止流体 对邻近流体层施加黏性阻力，致使其速度减慢，动量损失。逐层传递，直至 某层流体流速与主体流速接近，到达边界层外围（y=δ）
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内部也会发生变化。在边界层形成 初期，边界层厚度较小，其内部流动为层流，该区域称为层流边界层。当其 厚度达到其临界厚度δc或临界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过渡区转变 为湍流，此后的边界层称为湍流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄的一层 流体内，仍然维持层流，称为层流内层。
在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。
边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
第二节 平板层流边界层
普朗特边界层方程
普朗特边界层方程是在N-S方程基础上简化得来。边界 层内可忽略质量力，于是得到N-S方程和连续方程：
不可压缩粘性流体 平行平板间定常层 流流动
普 朗 特 边 界 层 方
边界层外边界
II尾部流区域 I边界层
边界层外边界
y u0
边界层
u0
外边界
u0
u=0.99u0
δ(x)
u(x,y) x
边界层厚度：紧靠壁面的一层流体黏附在壁面上，速度为零，
沿y方向速度逐渐增加，至某处，流速接近于来流速度u0，该处 与壁面的垂直距离为δ，则δ称为边界层厚度。
将流体速度从u=0到u=0.99u0对应的流体层厚度
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内部也会发生变化。在边界层形成 初期，边界层厚度较小，其内部流动为层流，该区域称为层流边界层。当其 厚度达到其临界厚度δc或临界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过渡区转变 为湍流，此后的边界层称为湍流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄的一层 流体内，仍然维持层流，称为层流内层。
在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。
边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
第二节 平板层流边界层
普朗特边界层方程
普朗特边界层方程是在N-S方程基础上简化得来。边界 层内可忽略质量力，于是得到N-S方程和连续方程：
不可压缩粘性流体 平行平板间定常层 流流动
普 朗 特 边 界 层 方
边界层外边界
II尾部流区域 I边界层
边界层外边界
y u0
边界层
u0
外边界
u0
u=0.99u0
δ(x)
u(x,y) x
边界层厚度：紧靠壁面的一层流体黏附在壁面上，速度为零，
沿y方向速度逐渐增加，至某处，流速接近于来流速度u0，该处 与壁面的垂直距离为δ，则δ称为边界层厚度。
将流体速度从u=0到u=0.99u0对应的流体层厚度
边界层理论-
历史和发展
背景
提出
发展
1755年由欧拉（1707-1783）建立的理想流体的运动方程奠定了流体力学的基础，后经拉格朗日（17361813）、拉普拉斯（1749~1827）等在数学解析方法上进一步的发展和完善，形成了流体力学的一个重要分支— —理论流体力学。它是运用严密的数学工具研究无粘性的理想流体流动问题，但由于忽略了流体实际存在的粘性 作用，所以根据理论流体力学纯数学分析得到的理论计算与实际结果不尽相符，甚至差别很大。例如与欧拉同一 时期的达朗贝尔（1717-1783）用理论确定物体在理想流休中运动的阻力等于零这个出乎意料的结果，被称为达 朗贝尔疑题。由此可见，在研究阻力问题时。理想流体理论已无能为力。
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体 壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重 力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不 变，从而得到层流边界层方程组为：
19世纪中，随着航海、水利工程等的迅速发展，流体力学的另一个重要分支，研究不可压缩粘性流体流动的 水力学得到很大的发展。它是建立在大量实验测量的基础上。当时如哈根、泊肃叶、雷诺等用实验研究水和其他 粘性流体在管道和槽渠中流动时的阻力和压强损失问题、得到的有关粘性流体的实验研究成果，有助于解决某些 工程实际问题。但由于水力学在理论指导上的不足，由实验成果得出的经验公式和半经验理论公式有一定的局限 性。于是在19世纪中叶产生了粘性流体运动的理论，1827年，纳维尔在欧拉运动微分方程中加上粘性项，第一个 得到粘性流体运动微分方程。1846年，斯托克斯严格地导出了这个方程，称为纳维尔-斯托克斯方程，简称N-S方 程。虽然N-S方程对粘性流体流动问题的研究分析有所帮助，但对这个方程数学上的求解是十分复杂和困难的。 1851年，斯托克斯对N-S方程作了某些简化，略去方程中的惯性项，也就是在非常缓慢的流体流动条件下，计算 出球体在流动的粘性流体中所受到的阻力。
流体力学第六章 边界层理论 (附面层理论)-56页PPT精选文档
积 分 一
积 分 二
积 分 三
右边= p ukdy k
x 0
0
uk1
u y
2
dy
uk2dy Uk1
udy
k 1 x 0
k 1 x 0
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
u y
流体力学第六章
1921年起，层流边界层的近似算法大量出现，这些算 法大多数以流体力学中的一般积分原理为基础：如卡门-波 尔豪森积分、列宾森的能量积分等.
流体力学第六章
流体力学第六章
第一节 普朗特边界层微分方程式 6.1.1普朗特理论
流体力学第六章
一、普朗特关于对边界层的定义：
“邻近固体界面的一薄层流体，因受摩擦影响，速 度梯度很大，即使流速很小，这一层中的切应力也不能 忽略，这一层叫做边界层。”
0 x 0 y x0
0 y 2
积 分 一
积 分 二
积 分 三
K
2
x
u K2dy
0
U
K
2
( K 1
u d y U )U K 1
4边界层理论
dp ∆xl dx
∂p =0 ∂y
Fp == −
4.边界层理论
4.3 边界层内积分方程
边界层积分方程的建立
动量衡算
2 Wx = ∫ ρvx v x dy = ∫ ρvx dy 0 0 l l
d l 2 Wx +∆x = ∫ ρ v dy + ρ vx dy ∆x 0 dx ∫0 d l Wl = M l v0 = v0 ρ vx dy ∆x dx ∫0 T = −τ 0 ∆x Fp == − dp ∆xl dx
l 2 x
d l dp ρ v0 − vx v x dy = τ 0 + l dx ∫0 dx
(
)
4.边界层理论
4.3 边界层内积分方程
边界层积分方程的建立 d l = τ + dp l ρ v0 − v x v x dy ∫0 0 dx dx
(
)
∫ ⇒∫ + ∫δ
η=y
v0 νx
f ′(η ) η =0 = 0 f (η ) η =0 = 0 f ′(η ) η →∞ = 1 vx = f ′(η ) v0 y =δ
f ′(η ) = 0.99
v x = v0 f ′(η )
1 v0ν [ηf ′(η ) − f (η )] 2 x
∂p =0 ∂y
Fp == −
4.边界层理论
4.3 边界层内积分方程
边界层积分方程的建立
动量衡算
2 Wx = ∫ ρvx v x dy = ∫ ρvx dy 0 0 l l
d l 2 Wx +∆x = ∫ ρ v dy + ρ vx dy ∆x 0 dx ∫0 d l Wl = M l v0 = v0 ρ vx dy ∆x dx ∫0 T = −τ 0 ∆x Fp == − dp ∆xl dx
l 2 x
d l dp ρ v0 − vx v x dy = τ 0 + l dx ∫0 dx
(
)
4.边界层理论
4.3 边界层内积分方程
边界层积分方程的建立 d l = τ + dp l ρ v0 − v x v x dy ∫0 0 dx dx
(
)
∫ ⇒∫ + ∫δ
η=y
v0 νx
f ′(η ) η =0 = 0 f (η ) η =0 = 0 f ′(η ) η →∞ = 1 vx = f ′(η ) v0 y =δ
f ′(η ) = 0.99
v x = v0 f ′(η )
1 v0ν [ηf ′(η ) − f (η )] 2 x
高等工程流体力学-边界层的基本概念
下次课内容： §7-5~7-6 作业：p125 7-3，7-5
25
2ewee00eee11xxxvvduvudyudyxuudxu????????????????????????????????ew22f122ee22dudchdxudxu???????2fwe2cu??1212h???第三节二维边界层动量积分方程第七章不可压缩流体的二维边界层714d14对于零压梯度边界层式714d可简化为或直接写成e0dudx?w2f2e2dcdxu????wf20eee12xxvvcddydxuuu???????????????????第三节二维边界层动量积分方程第七章不可压缩流体的二维边界层715a715b15二紊流边界层动量积分方程将紊流边界层外缘速度乘以连续方程式712c在减去类似于层流那样改写的式713b可得????????eeeexxyxxxxyvuvvuvxyduvuvvvdxyy????????????????????????????????第三节二维边界层动量积分方程第七章不可压缩流体的二维边界层16推导过程与层流边界层动量方程的推导相似得但要注意的是该式隐含的速度等参数均为紊流的平均值紊流的速度分布规律与层流截然不同在下一节中将作较详细介绍
11
第三节 二维边界层动量积分方程
将式（7-14a）减去式（7-14b）并对y积分
0
vx Ue vx dy
x
0
25
2ewee00eee11xxxvvduvudyudyxuudxu????????????????????????????????ew22f122ee22dudchdxudxu???????2fwe2cu??1212h???第三节二维边界层动量积分方程第七章不可压缩流体的二维边界层714d14对于零压梯度边界层式714d可简化为或直接写成e0dudx?w2f2e2dcdxu????wf20eee12xxvvcddydxuuu???????????????????第三节二维边界层动量积分方程第七章不可压缩流体的二维边界层715a715b15二紊流边界层动量积分方程将紊流边界层外缘速度乘以连续方程式712c在减去类似于层流那样改写的式713b可得????????eeeexxyxxxxyvuvvuvxyduvuvvvdxyy????????????????????????????????第三节二维边界层动量积分方程第七章不可压缩流体的二维边界层16推导过程与层流边界层动量方程的推导相似得但要注意的是该式隐含的速度等参数均为紊流的平均值紊流的速度分布规律与层流截然不同在下一节中将作较详细介绍
11
第三节 二维边界层动量积分方程
将式（7-14a）减去式（7-14b）并对y积分
0
vx Ue vx dy
x
0
流体力学 边界层与绕流阻力PPT学习教案
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
第5页/共39页
第 一 节 边 界 层概念
边界层
umax
U
xe
充分发展的流动
进口段长度
层流时 xe=0.02875d Re；
(a)层流
紊流时 xe=(2540)d
这里，雷诺数 Re=Ud/。
U
边界层
xe
g
1 18
d2
m
g
18
223
1 106
0.2
90 106
2
1.1103 0.2
9.8
0.105 m/s
校核 Re
假设成立 由于气流速度大于悬浮速度，所以煤 粉颗粒 随烟气 流动。
Ud 0.10590106
Re
223106
0.0424 1
第35页/共39页
例题二
一竖井式的磨煤机，空气流速
第37页/共39页
第八章：作业
8-8
8-10
第38页/共39页
在煤粉炉膛中，若上升气流的速度
，烟气的
，试计算在这种流速下，烟气中
的煤粉颗粒是否会沉降。烟气密度
，煤粉密度
。
223106 m2/s
d 90106 m 0.2 kg/m3
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**U 2 uU ud y
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St
1
u 0 t 0
1
u0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
Eu
1
p0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
1
St
0
t 0
1
u0
0
0
x 0
1
0
y 0
Eu
p 0 y 0
1 Re
2 0
y 02
横向动量方程 中各项比流向 动量方程各项
L
x 0～L ， x x 0～1， 故 x 的 数 量 级 为 1， 记 为 O1；
L
y 0 ～ ， y y 0 ～ ， 故 y 的 数 量 级 记 为 O ；
L
物理量相乘、相除时物理量的量阶估计为：
O m O n O mn
O O
m n
O
mn
O 0 O1
偏导数的数量级估计为：
d
y
0
（4）能量损失厚度 ***
***
u
1
u
2
d
y
0 U U
***U 3 u U 2 u2 d y
0
u U 2 u2 d y
0
U
3
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 3
d
y
* , 1 u d y
0 U
动能通量损失：U 3 * u3 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动能通量为 — U 3 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动能通量为
—
u 3
d
y
0
4. 边界层的特点 （1）边界层厚度较物体的特征长度为小量；
～ t txU
～
x
x
U
x
～
L
L
U
xL ～ 1
L
U L Re
（2）边界层内粘性力和惯性力为同阶。
二、平板二维普朗特边界层方程
1. 无量纲控制方程
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取 为估阶的标准。
普朗特边界层方程
一、边界层的概念
1. 边界层 2. 势流区 3. 边界层厚度
（1）名义厚度
x y u 99% U
（2）位移厚度 *
,
,
*U U d y u d y
0
0
* , 1 u d y 0 U
（3）动量损失厚度
**
**
,
u
1
u
d
y
0 U U
,
2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u ＝0
x y
u t
u
u x
u y
1
p x
2u x 2
2u y 2
t
u
x
y
1
p y
2
x 2
2
y 2
t Tt 0
x Lx0 y Ly0 u Vu0
St
L VT
，Eu
P
V
2
V 0 p V 2 p0
Re
VL
u
0
x0
0
y 0
＝0
St
u 0 t 0
u0
0
w
w
U x
y
u t
u
u x
u y
U t
U
U x
2u y 2
p 0 y 0
0
U t
U
U x
1
p
x
小一阶
1
1
u x
0 0
0
y 0
0
1
St
1
u
0
1
u0
t 0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
1
Eu p 0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
Eu
p 0 y 0
0
u
x u t
＝0
y
u u
x
u y
1
p x
2u y 2
u ux, y,0
p
t0 t0 t 0
pxx,,yy,,00，uu
x
～
1
O 1
O 1
y
～
1
O
O
1
二阶偏导数运算的数量级估计为：
2 x2
x
x
～
1
O 1
O11＝ O 1
2 y 2
y
y
～
1
O
O
1
＝
O
1Hale Waihona Puke Baidu
2
2 y x
y
x
～
O
1
O11＝
O
1
u ～ 1， u ～ 1 ， 2u ～ 1 ， u ～ 1， 2u ～ 1
y y2 2 x
x2
y
u x
～1
y
d
y
y
u
d
y～
0 y
0 x
～ ， 2 ～ ， ～ 1， 2 ～ 1
x
x2
y
y2
3. 普朗特边界层方程
1
1
u 0 x 0
0
y 0
＝0
?
?
1
1
?
1
1 2
St
u 0 t 0
1
u0
u
0
0
x 0
u 0 y 0
Eu
p0 x 0
1 Re
2u 0 x 0 2
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St
1
u 0 t 0
1
u0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
Eu
1
p0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
1
St
0
t 0
1
u0
0
0
x 0
1
0
y 0
Eu
p 0 y 0
1 Re
2 0
y 02
横向动量方程 中各项比流向 动量方程各项
L
x 0～L ， x x 0～1， 故 x 的 数 量 级 为 1， 记 为 O1；
L
y 0 ～ ， y y 0 ～ ， 故 y 的 数 量 级 记 为 O ；
L
物理量相乘、相除时物理量的量阶估计为：
O m O n O mn
O O
m n
O
mn
O 0 O1
偏导数的数量级估计为：
d
y
0
（4）能量损失厚度 ***
***
u
1
u
2
d
y
0 U U
***U 3 u U 2 u2 d y
0
u U 2 u2 d y
0
U
3
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 3
d
y
* , 1 u d y
0 U
动能通量损失：U 3 * u3 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动能通量为 — U 3 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动能通量为
—
u 3
d
y
0
4. 边界层的特点 （1）边界层厚度较物体的特征长度为小量；
～ t txU
～
x
x
U
x
～
L
L
U
xL ～ 1
L
U L Re
（2）边界层内粘性力和惯性力为同阶。
二、平板二维普朗特边界层方程
1. 无量纲控制方程
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取 为估阶的标准。
普朗特边界层方程
一、边界层的概念
1. 边界层 2. 势流区 3. 边界层厚度
（1）名义厚度
x y u 99% U
（2）位移厚度 *
,
,
*U U d y u d y
0
0
* , 1 u d y 0 U
（3）动量损失厚度
**
**
,
u
1
u
d
y
0 U U
,
2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u ＝0
x y
u t
u
u x
u y
1
p x
2u x 2
2u y 2
t
u
x
y
1
p y
2
x 2
2
y 2
t Tt 0
x Lx0 y Ly0 u Vu0
St
L VT
，Eu
P
V
2
V 0 p V 2 p0
Re
VL
u
0
x0
0
y 0
＝0
St
u 0 t 0
u0
0
w
w
U x
y
u t
u
u x
u y
U t
U
U x
2u y 2
p 0 y 0
0
U t
U
U x
1
p
x
小一阶
1
1
u x
0 0
0
y 0
0
1
St
1
u
0
1
u0
t 0
1
u
0
0
x 0
1
u 0
y 0
1
Eu p 0 x 0
1 Re
1 2
2u 0
y 02
Eu
p 0 y 0
0
u
x u t
＝0
y
u u
x
u y
1
p x
2u y 2
u ux, y,0
p
t0 t0 t 0
pxx,,yy,,00，uu
x
～
1
O 1
O 1
y
～
1
O
O
1
二阶偏导数运算的数量级估计为：
2 x2
x
x
～
1
O 1
O11＝ O 1
2 y 2
y
y
～
1
O
O
1
＝
O
1Hale Waihona Puke Baidu
2
2 y x
y
x
～
O
1
O11＝
O
1
u ～ 1， u ～ 1 ， 2u ～ 1 ， u ～ 1， 2u ～ 1
y y2 2 x
x2
y
u x
～1
y
d
y
y
u
d
y～
0 y
0 x
～ ， 2 ～ ， ～ 1， 2 ～ 1
x
x2
y
y2
3. 普朗特边界层方程
1
1
u 0 x 0
0
y 0
＝0
?
?
1
1
?
1
1 2
St
u 0 t 0
1
u0
u
0
0
x 0
u 0 y 0
Eu
p0 x 0
1 Re
2u 0 x 0 2