图论模型的构建

为此，我们必须寻找解决问题的更好途径。
【方形柱体堆砌问题分析】
对符合要求的方形柱体来讲，交换任意两个正 方体的上下位置，得到的方形柱体仍是符合要求的， 即它的4个侧面都有4种颜色。它的每一对对面由4 个正方体各一个对面组成，因此问题的要素是4个正 方体各3个对面的颜色的构成，于是从每个对面的着 色考虑。用字母b,g,r,y分别表示蓝、绿、红、黄4种 颜色，并作为图的4个 顶点，4个正方体的各三个对 面依各对面的颜色连以边，并分别标以e1、e2、e3、 e4，比如第一个正方体有一对面着蓝、黄两色，则 从顶点b到y引一条边标以e1,另两对面为红对红、红 对绿，故联结r,e和r,g,均标以 e1。同样地根据第二、 三、四正方体的各对面着色分别连以边并分别标以 e2 、e3、e4。则得图G，如图1—3所示。
si<si+p
(0≤i≤n-p)
si+q<si
(0≤i≤n-q)
【奇怪的数列分析】
下面，我们把每个si抽象成一个点，则根据上述两个不 等式可以建立一个有向图，图中共有n+1个顶点，分别 为s0，s1，……，sn。若si>sj(0≤i，j≤n)，则从si往sj 引出一条有向边。例如对于n=6，p=5，q=3的情况， 我们可以建立图4
begin
if i+p<=n then begin
g[i+p，i]=1；
d[i]=d[i]+1；
end；
if i+q<=n then begin
g[i，i+q]=1；
d[i+q]=d[i+q]+1；
end；
end；
【奇怪的数列分析】
显然，按照上面的定义，如果建立的图可以拓扑排序，其 顶点的拓扑序列可以对应满足条件的整数数列；反之，不 存在这样的整数数列。 算法框架为：
对图进行拓扑排序； if 图有回路 then 无解退出
else 生成拓扑序列 order[0]…order[n]； 如果得到了一个拓扑序列，该如何转换成s数组呢？因为拓 扑序列中顶点对应的s值是递减的，其中s0=0。如果 order[i]=0，则依次设定sorder[0]=i，sorder[1]=i-1，……， sorder[i-1]=1，sorder[i]=0，sorder[i+1]=-1，……， sorder[n]=i-n。例如，对于图4所示的有向图，可以得到表 1：
2、若能，找出一种堆砌方法。
【方形柱体堆砌问题分析】
一个正方体有6个面，所以4个正方体可以堆砌 出为数十分可观的不同状态。就是确定了4个正方 体依Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ次序从上到下排列，只考虑两 两接触面不同，也有6^4=1296种排列，这里还没 有考虑4个侧面的不同组合。若考虑到后者，又会 衍生出许多各异的形式，先令第Ⅰ个正方体保持不 动，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ正方体个有4个侧面，故有4^3=64 种状态。因此即使在从上到下按序排列情况下，仍 然有1296×64=82944种状态。若用穷举法求这类 问题，将是不胜其烦的。
【例3】 机器人布阵
有一个N*M(N,M<=50)的棋盘，棋盘的每一 格是三种类型之一：空地、草地、墙。机器人只 能放在空地上。在同一行或同一列的两个机器人， 若它们之间没有墙，则它们可以互相攻击。问给 定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使它们 不能互相攻击。
空地 Empty 草地 Grass
墙 Wall
要素（2）、（3）可抽象为开始时设人和其他三样东 西在河的左岸，这种情况用集合{mwsv}表示。在过河过 程中左岸出现的情况有以下16种： {wmsv} {mws} {mwv} {msv} {wsv} {mw} {ms} {mv} {ws} {wv} {sv} {m} {s} {v} {w} {φ}
显然这一模型不是属于一些特殊的图，给我们设计算法 带来很大的麻烦。
【模型二】
我们将每一行，每一列被墙隔开，且包含空地的连续区域称 作“块”。显然，在一个块之中，最多只能放一个机器人。我 们把水平方向的这些块编上号；同样，把竖直方向的块也编上 号。
1
2
3
4
5
水平方向的块编号
1 2
3 4
竖直方向的块编号
【例4】奇怪的数列
编程输入3个整数n，p，q，寻找一个由整数组成的数列 （a1，a2，……，an），要求：其中任意连续p项之和为正 数，任意连续q项之和为负数。0<n<100，0<p，q<n，若不 存在这样的整数数列，则输出NO；否则输出满足条件的一 个数列即可。
【输入格式】
输入文件名为num.in，仅一行分别表示n，p，q，之间用 一个空格隔开。
问题的求解目标就归结为：在图G中找一条连接顶点mwsv与 φ，并且包含边数最少的路径。把图的边长设为1，那么渡河 问题归结为求顶点mwsv到顶点φ的最短路径问题。
【例2】方形柱体堆砌
有4个正立方体，它们的6个侧面各着以绿、蓝、红、黄4 种颜色之一，如图1-2所示。现在要把这4个正方体堆成一方 形柱体，堆成的方形柱体每个侧面4种颜色都有。 求解任务：1、这4个正方体能否堆成符合要求的方形柱体？
fillchar(s，sizeof(s)，0)； for i：=0 to n do if order[i]<>0 then for j ： = i downto 0 do s[order[ j]]←s[order[ j]]+1
径上每条边的权相加得到，求解目标往往是求图中或是
两点之间所有路径的权的最优值。
• 权的运算也会产生一些变形，例如权的运算由 简单的相加、求最值扩展到相乘，或是更复杂的函数 计算等等。
以上这些差异形成了图论模 型的多样化，使图论模型可以广 泛地适应各类问题，但这些丰富 的选择同时也增加了图论建模的 难度。。
问题的要素有三点：（1）人及他所带的3样东西；（2） 人不在时狼就会吃掉羊，羊就要吃白菜，即人在渡河 时，一岸上不能同时留下狼和羊或羊和白菜；（3）人 每次至多带一样东西渡河，并要保证岸上的安全。
问题的求解目标：求河上往返次数最少的渡河方案。
对于要素（1），用字母m代表人，w代表狼，s代表 羊，v代表白菜。
【输出格式】
输出文件名为num.out，只有一行，有解即输出这个数列， 每个数之间用一个空格隔开。否则输出NO。
【奇怪的数列分析】
从形式上看，这道题与图论风马牛不相干，题中既未出 现图论中常见的“车站”，“城市”等顶点，也未出现 “公路”，“铁路”等边，更未出现“长度”，“传输时 间”等权。仅以数学角度考虑，按常规思想来分析如何表 示“连续几项之和”这一要点，直接将第i个整数ai开始的 k 个 整 数 之 和 描 述 成 多 项 式 ai+ai+1+…+ai+k-1 的 话 ， 问 题 就很难再往下思考和解决了。所以，我们不防换个角度， 暂且撇去每一项数究竟为何值的具体细节，而将注意力集 中至连续性这一特点上。设si表示数列前i个整数之和，即 si=a1+a2+…+ai。其中s0=0 (0≤i≤n)。显然根据题意， 有：
二．图论建模方法
1. 要素的选取
在建立模型之前，我们首先要对研究对象进行 全面的调查，将原型理想化、简单化；然后对原 型进行初步的分析，分清其中的各个要素及求解 目标，理出它们之间的联系；下一步就是用恰当 的模型来描述这些要素及联系。 【例1】渡河问题
一个人带了一只狼、一只羊和一筐白菜想要过 河。河上有一只小船，每次除了人以外，只能带 一样东西。另外，如果人不在时狼就会吃掉羊， 羊就要吃白菜。问怎样安排渡河，才能做到既把 所有东西都带过河，而且在河上往返次数最少？
“串联求最值，并联求和”，即一条路径上最大或是最
小的权决定了整条路径的权，而求解目标则是求图中或
是两点之间所有路径的权的加和。
•
还有的图不仅包含边权（边集E到实数集R的映
射），还包含点权（点集V到实数集R的映射）；或是
包含好几类不同性质的权。
•
有的权表示长度或是时间等等，它们的运算特征是
“串联求和，并联求最值”，即一条路径的权由这条路
S1
S2
S0 S6
图4
S3
S4 S5
【奇怪的数列分析】
构造这样的有向图很简单，过程如下：
fillchar(g，sizeof(g)，0)； {有向图的邻接矩阵初始化}
fillchar(d，sizeof(d)，0)； {各顶点的入度序列初始化}
for i：=0 to n do
{根据两组不等式构造有向图}
e4
b
e3
e1 e2
e4 e3
y
e2
e3
r
e1
从图中，能找 到两个 e2 Hamiltion回 路，每个回路
e1
的4条边分别 是
g e4 e1,e2,e3,e4。
(见下页 )
e4
b
e3
e1 e2
e4 e3
r
e1
e2 e1
y
e2
g
e4
e3
2. 选择合适的理论体系
图由点、边、权三部分组成，根据这三部分的性 质的不同，就有着不同的图论模型，有着不同的理论 和算法，也就构成了不同的理论体系。图论建模依据 的是图论的基本理论和基本算法。
【奇怪的数列分析】
i
0
1
2
3
4
5
6
order[i]
2
Байду номын сангаас
5
0
3
6
1
4
sorder[i]
2
1
0
-1
-2
-3
-4
所以，得到s0=0，s1=-3，s2=2，s3=-1，s4=-4，s5=1，s6=-2。再 根据s的定义，由： ai=(a0+a1+…+ai-1+ai) - (a0+a1+…＋ai-1)=sisi-1 ， 求 出 ： a1=s1-s0=-3 ， a2=s2-s1=5 ， a3=s3-s2=-3 ， a4=s4s3=-3，a5=s5-s4=5，a6=s6-s5=-3。显然这个整数数列的任意连续5 个整数之和为正，任意连续3个整数之和为负。由拓扑序列构造整数数 列的算法如下：