三角函数弧度制
三角函数的弧度制与三角函数的关系
三角函数的弧度制与三角函数的关系三角函数是数学中的重要概念，可以描述角度与直角三角形之间的关系。
在数学中，角度通常有两种表示方式，一种是度量制，另一种是弧度制。
本文将探讨三角函数的弧度制表示方式以及弧度制与三角函数之间的关系。
一、三角函数的弧度制表示方式在弧度制中，角度的度量单位为弧度（rad）。
一个圆的周长为2π弧度，这是因为圆的周长与半径有关，而不是与圆心角的大小有关。
因此，我们可以定义一个标准弧度，即一个圆周上所对应的角度为2π弧度。
根据弧度制的定义，我们可以将任意角度A转换为弧度制表示。
通过下式可以实现弧度制与度量制之间的转换：弧度制表示：A (rad) = A (度) × π/180度量制表示：A (度) = A (rad) × 180/π二、三角函数的关系三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）以及正切函数（tan），它们是弧度制与三角函数之间的桥梁。
下面将具体介绍它们之间的关系。
1. 正弦函数的关系：正弦函数是一个周期函数，其周期为2π弧度。
正弦函数的定义如下：sin(A) = 对边/斜边其中，A表示角度。
我们可以通过将角度转换为弧度制来计算正弦函数的值。
2. 余弦函数的关系：余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π弧度。
余弦函数的定义如下：cos(A) = 邻边/斜边同样地，我们可以通过将角度转换为弧度制来计算余弦函数的值。
3. 正切函数的关系：正切函数也是一个周期函数，其周期为π弧度。
正切函数的定义如下：tan(A) = 对边/邻边与上述两个函数类似，我们也可以通过将角度转换为弧度制来计算正切函数的值。
通过上述三个三角函数的定义，我们可以得知它们之间的关系：sin(A) = cos(A - π/2)cos(A) = sin(A + π/2)tan(A) = sin(A) / cos(A)这些关系式可以帮助我们快速计算三角函数的值，同时也揭示了三角函数之间的密切联系。
三角函数弧度角公式
三角函数弧度制公式L=n×π×r/180，L=α×r。
在数学和物理中，弧度是角的度量单位。
它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。
定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。
（即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。
当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1）。
三角函数的弧长计算公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）/180（角度制），L=α（弧度）×r(半径) （弧度制）。
其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。
弧长公式：
l = n（圆心角）×π（圆周率）×r（半径）/180=α(圆心角弧度数)×r（半径）
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2
πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)。
三角函数弧度制与角度的转换表
弧度制与角度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。
角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。
由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。
角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。
弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。
弧度制与三角函数 高一 复习
第九讲 弧度制与三角函数一、知识回顾1.角的推广与弧度制(1) 角的概念： ，正角： 负角： (2) 终边相同角的集合：所有与α终边相同的角,连同α在内,可构成集合 (3) 象限角：第一象限角的集合 第二象限角的集合第三象限角的集合 第四象限角的集合 (4) 角度、弧度的换算关系：（1）360 = ,1 = ,1rad =(5) 扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为l ,圆心角为()rad α,半径为r ,则l = ,扇形的面积S = 2.三角函数的定义（1）若(),P x y 是角θ终边上任意异于坐标原点O 的一点,OP r =,则sin θ= ，=θcos ，=θtan （2）三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.”sin α cos α tan α（cot α）3.诱导公式 α-2πα±πα±32πα± 2πα±sin cos tan4.三角函数图像与性质函数 y=sinxy=cosxy =tanx图象定义域 值域 奇偶性 最小正 周期 单调 区间 对称轴 对称 中心 最值o2ππ32π yo oπ 32π2π+ + ——+ + + + ————yx2π 2πxπ 32πx2π5.函数sin()y A x b ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系难点：如何由sin y x =变到sin()y x ωϕ=+ （两种方法：先平移再伸缩和先伸缩再平移） 先平移再伸缩sin y x =——————————>sin()3y x π=+————————>sin(2)3y x π=+ 先伸缩再平移sin y x =——————————>sin 2y x =———————————>sin(2)3y x π=+6.由函数sin()y A x b ωϕ=++的图像求其解析式 二、例题变式例1：如果α是第三象限的角，那么,,22ααα-是第几象限角。
任意角、弧度制及三角函数的概念-2025年高考数学大一轮复习
江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特
色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧 AD 长度是 l 1，弧 BC
1
1
长度是 l 2，几何图形 ABCD 面积为 S 1，扇形 BOC 面积为 S 2，若 ＝2，则 ＝
2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）
第22讲 任意角、弧度制及三角函数的概念
目
录
1
知识梳理
2
常用结论
3
易混易错练
4
考点分类练
5
最新模拟练
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)角的定义:一条射线绕其 端点
角.
旋转到另一条射线所形成的图形称为
按旋转方向不同分为 正角 、 负角
易错点5 忽略扇形是圆的一部分
1
2
1．已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．
解析
l＋2r＝10，
设扇形的半径为 r cm，圆心角α所对的弧长为 l cm.由题意得 1lr＝4，
2
1
∴α＝8 或 .
2
1
又∵0<α<2π，∴α＝ .
2
l＝8， l＝2，
零角 .
(2)角的分类
按终边位置不同分为 象限角 和轴
、
线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角组成一个集合,这个集合记
为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α
的终边相同,k=0时对应元素为α
弧度制与三角函数的计算
弧度制与三角函数的计算在数学中，弧度制和三角函数是两个非常重要的概念。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨弧度制和三角函数的计算方法，并讨论它们的实际用途。
一、弧度制的定义与计算弧度制是一种用弧长来度量角度的方法。
在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。
一个圆的周长是2πr，其中r是半径。
如果一个角所对应的弧长等于半径的长度，那么这个角的度数就是1弧度。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度 = 角度× π / 180例如，将30度转换为弧度：弧度 = 30 × π / 180 = π / 6。
同样地，要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：角度 = 弧度× 180 / π例如，将π / 4弧度转换为角度：角度= π / 4 × 180 / π = 45度。
弧度制的优势在于它能够更方便地进行角度的计算和推导。
在三角函数的计算中，弧度制也更为常用。
二、三角函数的计算三角函数是用来描述角度与三角形边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比。
在弧度制中，正弦函数的计算公式为：s in(θ) = 对边 / 斜边余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比。
在弧度制中，余弦函数的计算公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。
在弧度制中，正切函数的计算公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边三角函数的计算可以通过查表、使用计算器或计算机软件来进行。
在实际应用中，三角函数常用于解决各种几何问题，例如计算三角形的边长、角度和面积等。
三、弧度制与三角函数的实际应用弧度制和三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
在物理学中，弧度制和三角函数常用于描述物体的运动和力学性质。
例如，角速度的单位是弧度每秒（rad/s），它描述了物体每秒钟绕某个轴旋转的角度。
三角函数弧度制
三角函数弧度制三角函数是数学中的一种基本函数，它们在三角形的计算中非常有用。
在数学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义和性质可以用角度或弧度来表示。
在这里，我们将重点介绍三角函数的弧度制。
弧度制是一种角度的度量方式，它是以圆的半径为单位来度量角度的大小。
具体来说，一个角度的弧度数等于它所对应的圆弧长度与圆的半径之比。
例如，一个角度为60度的圆心角所对应的弧长是圆的周长的1/6，如果圆的半径为1，那么这个角度的弧度数就是1/6π，即约为0.523。
在三角函数中，弧度制的应用非常广泛。
例如，正弦函数的定义是一个角度的正弦值等于它所对应的三角形的对边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，正弦函数的定义可以改写为一个角度的正弦值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与圆的半径之比。
这个定义可以用下面的公式来表示：sinθ=y/r其中，θ是一个角度，y是它所对应的圆上一点的纵坐标，r是圆的半径。
这个公式可以用来计算任意一个角度的正弦值，只要知道它所对应的圆上一点的坐标即可。
同样地，余弦函数和正切函数的定义也可以用弧度制来表示。
余弦函数的定义是一个角度的余弦值等于它所对应的三角形的邻边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，余弦函数的定义可以改写为一个角度的余弦值等于它所对应的圆上一点的横坐标与圆的半径之比。
正切函数的定义是一个角度的正切值等于它所对应的三角形的对边长度与邻边长度之比。
在弧度制下，正切函数的定义可以改写为一个角度的正切值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与横坐标之比。
总之，弧度制是一种非常重要的角度度量方式，它在三角函数的计算中起着至关重要的作用。
掌握弧度制的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解三角函数的定义和性质，从而更加熟练地运用它们进行数学计算。
弧度制-三角函数
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类型 二 用弧度制表示角及其取值范围 【例】 如图所示，用弧度制表示顶点在原点、始边与 x 轴的非负半轴重合、终 边落在阴影部分内的角的集合．
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[解] (1)如题图①所示，以 OB 为终边的角为 330°，与－30°角的终边相同，化
填一填
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用 1 _度__作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 1 度的角等于周角的 角度制 1
360 在单位圆中，把长度等于 2 _1__的弧所对的 3 _圆__心__角____称为 1 弧度的角，其 单位用符号 4 __ra_d______表示，读作 5 _弧__度___．在单位圆中，每一段弧的长 弧度制 度就是它所对圆心角的弧度数．这种以 6 _弧__度___作为单位来度量角的方法，
.
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第 18 页
(2)用弧度制表示轴线角的集合如下：
终边落在 x 轴上的角为{α|α＝kπ，k∈Z}；
终边落在 y 轴上的角为αα＝π2＋kπ，k∈Z
.
(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.
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2．一般地，弧度与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是 0.
2．弧度与角度的换算 1°＝326π0 rad＝18π0 rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝326π0°＝18π0°≈57°18′.
第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
题型二 弧度制及其应用
例 2 (1)已知一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，则此扇形的弧积为____3____ cm2.
由已知得 α＝π3，R＝10 cm， 所以 l＝αR＝π3×10＝130π(cm)， S 扇形＝12αR2＝12×π3×102＝530π(cm2).
√C.第三、四象限
D.第一、四象限
因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边 在第三、四象限.
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知识过关
一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－34π是第四象限角 B.43π是第二象限角 C.－400°是第一象限角
√D.－315°是第一象限角
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三 角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽 略角的终边在坐标轴上的情况.
跟踪训练 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝
A.2kπ－45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
√C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋54π(k∈Z)
自主诊断
与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制 不能混用，所以只有 C 正确.
自主诊断
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角 α 以 x 轴的非负半轴为
高一数学角度和弧度制以及三角函数
第一讲 任意角和弧度制及三角函数一、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合： *β|β=α+2kπ,k ∈Z +二、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl =α.3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.三、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin α=y r ， cos x r α=，tan y x α=，cot xyα=各象限的符号：sin α cos α tan α3、 sin α，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT四、角度制与弧度制的互化及特殊角的三角函数值,23600π= ,1800π=1rad ＝180°π≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝π180≈0.01745（rad ）Xy+O— —+xyO — + — +y O— + + —x五、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin22=+αα.2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=1．（2016•上海模拟）若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2016•广西模拟）60°角的弧度数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016•岳阳校级三模）已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．（2016•安徽模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少（平方步）？（）A．120 B．240 C．360 D．4805．（2016•抚顺一模）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（2016•邢台校级模拟）角θ的终边过点（a﹣2，a+2），且cosθ≤0，sinθ＞0，则a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]7．（2016•眉山模拟）设a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a，），则cosα的值为（）8．（2016•温州三模）已知角α的终边与单位圆交于点P（﹣35A．B．﹣C．D．﹣9．（2016春•上海校级期末）与30°角终边相同的角α=．10．（2016春•嘉兴期末）已知角α的终边与x轴正半轴的夹角为30°，则α=（用弧度制表示）．11．（2016•湖南一模）已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为，则cos∠POQ=．12．（2016•浙江模拟）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上一点，且，则x=，tanα=．13．（2016春•浦东新区期中）如图，扇形的半径为r cm，周长为20cm，问扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出扇形面积的最大值．14．（2016春•陕西校级月考）（1）判断下列各角是第几象限角：①606°②﹣950°（2）写出与﹣457°角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．1．（2016春•澄城县期末）下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．﹣30°C ．630°D ．﹣630°2．（2016春•延边州校级期末）在0到2π范围内，与角终边相同的角是（ ） A ．B ．C ．D ．3．（2016春•西藏期末）与角﹣463°终边相同的角为（ ） A ．K•360°+463°，K ∈Z B ．K•360°+103°，K ∈Z C ．K•360°+257°，K ∈ZD ．K•360°﹣257°，K ∈Z4．（2016春•抚顺期末）已知sinθ•tanθ＜0，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角5．（2016•朔州模拟）若点（sin ，cos ）在角α的终边上，则sinα的值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2016•湖南校级模拟）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P （﹣3，m ），且sinα=﹣，则tanα等于（ ） A ．﹣B ．C ．D ．﹣7．（2016•浙江模拟）若点P （﹣3，4）在角α的终边上，则cosα=（ ）A．B．C．D．8．（2016•广东模拟）已知α是第二象限的角，其终边上的一点为，且，则tanα=（）A．B．C．D．9．（2016春•晋江市校级期末）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2．10．（2016春•潍坊期末）已知扇形的半径为2，面积为π，则该扇形的圆心角为．11．（2016•广西模拟）已知sinx=，且x是第一象限角，则cosx=．12．（2016•南昌校级二模）已知θ为第四象限角，sinθ+3cosθ=1，则tanθ=．13．（2016•长沙模拟）已知sinα=，α∈（0，）．（1）求tanα的值；（2）求cos（α+）的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．第二讲 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈1．sin2012°=（ ） A ．sin32° B ．﹣sin32° C ．sin58°D ．﹣sin58°2．=（ ）A ．﹣sinxB ．sinxC ．cosxD ．﹣cosx3．（2016•长沙模拟）化简（1﹣cos30°）（1+cos30°）得到的结果是（ ） A ． B ．C ．0D ．14．（2016•舟山校级模拟）若=，则tanθ=（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣35．已知α为三角形的一个内角．且tan（π﹣α）=．则角α的值为（）A．B．C．D．6．（2016•重庆校级模拟）已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．7．（2016春•内蒙古校级期末）sin300°=（）A．B．C．D．8．（2016•马鞍山）计算：cos210°=（）A．B．C．D．9．（2016•山东模拟）已知tanα=3，则=．10．（2016•内江模拟）已知sinx=，x∈（，），则tanx=．11．（2013•北京校级模拟）求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值．12．（2016•资阳模拟）=．13．（2016春•湘潭期末）已知x的终边经过点P（1，）．（1）求角x的正弦、余弦值；（2）求sin（π﹣x）﹣sin（+x）的值．14．（2016春•周口期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3 ），求．1．（2016•湖南校级模拟）已知sinα=﹣，且α∈（﹣，0），则tan （2π﹣α）的值为（ ） A ．﹣ B ．C ．±D ．2．（2016•吉林校级模拟）已知A+B=π，B ∈（，π），且sinB=，则tanA=（ ）A ．B ．C ．2D ．3．（2016春•金昌校级期末）若=，则tanα等于（ ）A ．﹣3B ．﹣C ．3D ．4．（2016春•日喀则市校级期末）已知tanα=2，则的值是（ ）A ．B ．3C ．﹣D ．﹣35．（2016春•邯郸校级期末）已知sin （π+α）=，且α是第四象限角，则cos （α﹣2π）的值是（ ）A ．﹣B ．C ．±D ．6．（2016春•高安市校级期中）已知，，则sin （α+π）等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2016•离石区一模）若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣8．（2016•安徽一模）已知函数f（x）=，则f（）=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（2016•江西模拟）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．10．（2016•四川）sin750°=．11．（2016•陕西校级模拟）设cos（﹣80°）=k，那么tan100°=．12．（2016•岳阳校级模拟）已知A、B、C为△ABC的三内角，若，则A=．13．（2016春•衡阳校级期末）已知tanx=2，求的值．14．（2016春•上饶校级期中）已知角α终边上一点P（﹣3，4），求：（1）sinα和cosα的值（2）的值．。
第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角(1)任意角包括正角、负角和零角.(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝□9(180π)°弧长公式弧长l＝□10|α|r扇形面积公式S＝□1112lr＝□1212|α|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.3.任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，tan α＝□15y x(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x(x ≠0).常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.象限角与不属于任何象限的角(1)(2)(3)3.重要不等关系：若α∈(0，π2)，则sin α<α<tan α.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)67°30′化为弧度是()A.3π8B.38C.673π1800D.6731800解析：A 67°30′＝67.5×π180＝38π.(2)已知α是第一象限角，那么α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：D 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，所以α2是第一或第三象限角.(3)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝.解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝5（－12）2＋52＋－12（－12）2＋52＝513－1213＝－713.答案：－713任意角及其表示例1(1)(多选)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2是第一或第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上解析：BD因为α是第二象限角，所以可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .对于A ，－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，则－α是第三象限角，所以A 错误.对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，所以B 正确.对于C ，2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α是第一象限角，所以C 错误.对于D ，π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确.故选BD.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：C当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样.故选C.反思感悟1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°.(3)最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.训练1(1)把－380°表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，则θ的值可以是()A.π9B.－π9C.8π9D.－8π9解析：B∵－380°＝－20°－360°，∴－380°＝(－π9－2π)rad ，故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，即π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}.答案：{－5π3，－2π3，π3，4π3}弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解：(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2).反思感悟应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或用基本不等式解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝()图1图2A.1B.2C.3D.4解析：C 设∠BOC ＝α，由l 1l 2＝2，得OA ·αOB ·α＝OA OB ＝2，即OA ＝2OB ，∴S1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选C.三角函数的定义及其应用三角函数的定义例3(1)(2024·哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为()A.－65 B.1C.2D.3解析：A由（－3）2＋42＝5，得sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，代入原式得45－（－35）－11＋（－43）＝－65.(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－3，－1)解析：B由三角函数定义知，cos 23π＝x P |OP |＝－12，sin 23π＝y P |OP |＝32，所以x P ＝－1，y P ＝3，即P 的坐标是(－1，3).三角函数值的符号例4(1)点P (sin 100°，cos 100°)落在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内解析：D因为sin 100°＝sin(90°＋10°)＝cos 10°＞0，cos 100°＝cos(90°＋10°)＝－sin 10°＜0，所以点P (sin 100°，cos 100°)落在第四象限内.(2)已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.反思感悟1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P (35，m5)，则sin α的值可能是()A.45B.35C.－45 D.－35解析：AC由题意可得sin α＝m 5（35）2＋（m 5）2＝m 32＋m 2＝m5，解得m ＝±4.当m ＝4时，sin α＝45；当m ＝－4时，sin α＝－45.故A ，C 正确，B ，D 错误.(2)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则()A.sin θ＝－217B.α为钝角C.cos α＝－277D.点(tan θ，tan α)在第四象限解析：ACD因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sin θ＝－37＝－217，故A 正确.因为θ与α的终边关于x 轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝－27＝－277，故B 错误，C 正确.因为tanθ＝32>0，tan α＝－32<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.故选ACD.限时规范训练(二十四)A级基础落实练1.与－2023°终边相同的最小正角是()A.137°B.133°C.57°D.43°解析：A因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析：C对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A.3B.－3C.1D.－1解析：B因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010，解得y＝－3(正值舍去).4.(2024·鹰潭期中)点A(sin1240°，cos1240°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin1240°＞0，cos1240°＜0，P点在第四象限.5.(2023·河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A.4B.22C.2D.1解析：C设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则12αR2＝4，所以α＝8R2，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋8R≥22R·8R＝8，当且仅当2R＝8 R，即R＝2时，取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是()A.②④⑤B.③⑤C.③D.①③⑤解析：C①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确；②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，即④不正确；⑤若cosθ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，即⑤不正确.其中正确命题的序号是③，故选C.7.(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2sinα)，且|α|＜π2，则角α的可能取值为()A.－π3B.0C.π6D.π3解析：ABD因为角α的终边上有一点P(1，2sinα)，所以tanα＝2sinα，所以sinαcosα＝2sinα，①若α＝0，则sinαcosα＝2sinα成立；②若α≠0，则cosα＝12，因为|α|＜π2，所以α＝π3或α＝－π3.8.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为.解析：因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以4m264m2＋9＝125，因为m＞0，解得m＝12.答案：1 29.α为第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则α2在象限.解析：∵α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2在第三象限.答案：第三10.若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝.解析：∵角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，∴α为第二象限角，且tan α＝－512，即sin α＝－512cos α.∴sin 2α＋cos 2α＝(－512cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－1213.∴sin α＝－512cos α＝－512×(－1213)＝513.∴2cos α＋sin α＝2×(－1213)＋513＝－1913.答案：－191311.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是.解析：由题图，终边OB 对应角为2k π－π6且k ∈Z ，终边OA 对应角为2k π＋3π4且k ∈Z ，所以阴影部分角θ的集合是[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z .答案：[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z12.已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为.解析：设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式S＝12×23πR2＝3π，可得R＝3，所以该扇形的弧长为l＝23π×3＝2π，所以周长为l＋2R＝6＋2π.答案：6＋2πB级能力提升练13.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m＞0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα解析：CD因为角α终边经过点P(－1，m)(m＞0)，所以α在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，如果α＝23π，所以sinα＋cosα＝32－12＞0，所以选项A不满足题意；sinα－cosα＞0；sinαcosα＜0；sinαtanα＜0，故CD正确.14.(2023·长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强相互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为()A.3＋2π3 B.23＋2π3C.23＋π3D.3＋π3解析：A 如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，依题意得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，且OB ＝OC ＝1，OA ＝2，则AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以该封闭图形的面积为2×12×3×1＋12×(2π－2π3)×12＝3＋2π3.15.(2024·牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (35，45)，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 的横坐标为.解析：易知A (35，45)在单位圆上，记终边在射线OA 上的角为α，如图所示，根据三角函数定义可知，cos α＝35，sin α＝45；OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则终边在射线OB 上的角为α－π3，所以点B 的横坐标为cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝3＋4310.答案：3＋431016.若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是.解析：由题意可得α－cos α＞0，α＞0，∈[0，2π），α＞0，∈[0，2π），可得α∈(0，π2)或α∈(π，3π2)，当α∈(0，π2)，即α为第一象限角，则sin α＞0，cos α＞0，∵sin α－cos α＞0，则tan α＞1，∴α∈(π4，π2)；当α∈(π，3π2)，即α为第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，∵sin α－cos α＞0，则0＜tan α＜1，∴α∈(π，5π4)；综上所述，α∈(π4，π2∪(π，5π4).答案：(π4，π2)∪(π，5π4)。
任意角和弧度制、三角函数的概念
§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理 1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx(x ≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( × ) (2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是π6.( × )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × ) (4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．( × ) 教材改编题1．若sin α<0，且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C2．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 答案 12π解析 ∵α＝30°＝π6，l ＝αr ，∴r ＝2ππ6＝12，∴扇形面积S ＝12lr ＝12×2π×12＝12π.3．若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝________，cos α＝________. 答案 －31010 1010题型一 角及其表示例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈Z D ．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° 答案 AD解析 B 项，终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ，角度与弧度不能混用，故错误；C 项，第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ，故错误； D 项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k ·360°，k ∈Z ， 令－720°≤45°＋k ·360°≤0°(k ∈Z )， 解得－178≤k ≤－18(k ∈Z )，从而当k ＝－2时，β＝－675°； 当k ＝－1时，β＝－315°，故正确．(2)已知α为第三象限角，则α2是第______象限角，2α是________的角．答案 二、四 第一、二象限或y 轴的非负半轴上 解析 ∵α是第三象限角， 即2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，∴k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上．教师备选1．角－2 023°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 ∵－2 023°＝－6×360°＋137°， ∴它是第二象限角．2．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－π3，k ∈Z 答案 D思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk 的终边所在位置．跟踪训练1 (1)下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )或k ·360°＋45°(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确．(2)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C. 题型二 弧度制及其应用例2 一扇形的圆心角α＝π3，半径R ＝10 cm ，求该扇形的面积．解 由已知得α＝π3，R ＝10 cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2)．延伸探究1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积． 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝50π3－12·R 2·sin π3＝50π3－12×102×32＝50π－7533(cm 2)． 2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm ”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 由已知得，l ＋2R ＝20， 则l ＝20－2R (0<R <10)．所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 教师备选1．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cmB.833π cmC ．4 3 cmD ．8 3 cm答案 B解析 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)． 2．已知扇形的面积是4 cm 2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为________． 答案 2解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则扇形的面积S ＝12lr ＝4，所以l ＝8r ，设扇形的周长为L ，则L ＝2r ＋l ＝2r ＋8r，r ∈(0，＋∞)．方法一 由基本不等式得2r ＋8r ≥216＝8，当且仅当2r ＝8r ，即r ＝2时，等号成立，扇形的周长取得最小值8，此时l ＝8r ＝4，故α＝l r ＝42＝2.方法二 由L ′＝2－8r 2＝2r 2－8r2＝0，得r ＝2，所以当r ∈(0,2)时，L ′<0，L ＝2r ＋8r单调递减；当r ∈(2，＋∞)时，L ′>0，L ＝2r ＋8r 单调递增，所以当r ＝2时，扇形的周长取得最小值．此时l ＝8r ＝4，故扇形的圆心角α＝l r ＝42＝2.思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练2 (1)(2022·莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.73)( )A ．1.612米B ．1.768米C ．1.868米D ．2.045米答案 B解析 由题意得，“弓”所在的弧长为 l ＝π4＋π4＋π8＝5π8，R ＝1.25＝54， ∴其所对的圆心角α＝l R ＝5π854＝π2，∴两手之间的距离d ＝R 2＋R 2＝2×1.25≈1.768.(2)一个扇形的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm. 答案 2 2解析 设扇形的圆心角为α，半径为r .则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12αr 2＝1，αr ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝2，r ＝1，所以弧长l ＝αr ＝2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm. 题型三 三角函数的概念例3 (1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D解析 由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0， 所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．(2)已知α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α＝________. 答案 ±255解析 由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)， ∴sin α＝212＋22＝255，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，∴sin α＝－2(－1)2＋(－2)2＝－255.(3)已知α的终边过点(x ,4)，且cos α＝－35，则tan α＝________.答案 －43解析 ∵α的终边过点(x ,4)，且cos α＝－35，∴x <0.∵cos α＝x x 2＋16＝－35，∴x ＝－3， ∴tan α＝－43.(4)(2021·北京)若点P (cos θ，sin θ)与点Q ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ＝________. 答案5π12⎝⎛⎭⎫满足θ＝5π12＋k π，k ∈Z 即可解析 ∵P (cos θ，sin θ)与Q ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6 关于y 轴对称，即θ，θ＋π6关于y 轴对称，θ＋π6＋θ＝π＋2k π，k ∈Z ， 则θ＝k π＋5π12，k ∈Z ，当k ＝0时，可取θ的一个值为5π12.教师备选已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( ) A ．－33 B ．±33 C ．－32 D ．±32答案 C解析 设O 为坐标原点，由|OP |2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.方法一 当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.方法二 由三角函数定义知， cos α＝－12，sin α＝y ，所以sin α·tan α＝sin α·sin αcos α＝sin 2αcos α＝y 2－12＝34－12＝－32.思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 跟踪训练3 (1)已知θ是第三象限角，满足⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 D解析 ∵θ是第三象限角， ∴π＋2k π<θ<3π2＋2k π，k ∈Z ，则π2＋k π<θ2<3π4＋k π，k ∈Z ， 即θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2， ∴θ2为第四象限角． (2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________.答案 －64 ±153解析 由sin α＝m 3＋m 2＝2m4， 解得m ＝±5， ∴r ＝3＋m 2＝22，当m ＝5时，cos α＝－322＝－64，tan α＝－153； 当m ＝－5时，cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 课时精练1．若α是第四象限角，则π＋α是第________象限角( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 答案 B解析 π2＋2k π<π＋α<π＋2k π，故π＋α是第二象限角．2．(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( ) A ．{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z } B ．{α|α＝－135°＋k ·180°，k ∈Z } C ．{α|α＝－135°＋k ·360°，k ∈Z } D ．{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z } 答案 B解析 终边为第一象限的平分线的角的集合是 {α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，①终边为第三象限的平分线的角的集合是 {α|α＝－135°＋k ·360°，k ∈Z }，② 由①②得{α|α＝－135°＋k ·180°，k ∈Z }．3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2答案 B解析 如图，取AB 的中点C ，连接OC ，则OC ⊥AB ，∠AOC ＝∠BOC ＝1 rad ， 在△AOC 中，sin 1＝1r ，∴r ＝1sin 1，∴所求弧长为αr ＝2sin 1.4．(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则( ) A ．sin α>0，cos α>0 B ．sin α>0，cos α<0 C ．sin α<0，cos α>0 D ．sin α<0，cos α<0 答案 A解析 因为－2π<α＝－5<－32π，所以α＝－5为第一象限的角， 所以sin α>0，cos α>0.5．(多选)下列说法正确的有( ) A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度 B ．1°＝180πradC ．若sin θ>0，cos θ<0，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则θ2为第一或第三象限角答案 CD解析 对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A 错误； 对于B,1°化成弧度是π180rad ，故B 错误；对于C ，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y 轴正半轴上的角； 由cos θ<0，可得θ为第二、第三象限及x 轴负半轴上的角． 取交集可得θ是第二象限角，故C 正确； 对于D ，若θ是第二象限角， 则2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，则k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )，所以θ2为第一或第三象限角，故D 正确．6．(多选)下面说法正确的有( ) A ．角π3与角－53π终边相同B ．终边在直线y ＝－x 上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z }C ．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则cos α的取值为1010D ．67°30′化成弧度是3π8答案 AD解析 角π3与角－53π相差2π，终边相同，故A 正确；终边在直线y ＝－x 上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }，故B 错误； 若角α的终边在直线y ＝－3x 上， 则cos α的取值为±1010，故C 错误； 67°30′化成弧度是3π8，故D 正确．7．若角α的终边经过点P (3m ，－4m )(m <0)，则sin α＋cos α＝________.答案 15解析 由题意得 r ＝|OP |＝(3m )2＋(－4m )2＝5|m |＝－5m (O 为坐标原点)，则sin α＝y r ＝－4m －5m ＝45，cos α＝x r ＝3m －5m ＝－35，故sin α＋cos α＝45－35＝15.8．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________． 答案 3π解析 ∵120°＝2π3，l ＝αr ，∴r ＝l α＝2π2π3＝3，∴S ＝12lr ＝12×2π×3＝3π.9．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解 (1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1， 解得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求角α的集合； (2)求α2的终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上， 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)知2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，故k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2>0，当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2>0，综上，tan α2sin α2cos α2的符号为正．11．设集合M ＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则集合M 与N 的关系是( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M N C ．NMD ．M ＝N答案 C解析 M ＝{α|α＝45°＋2k ·45°，k ∈Z }＝{α|α＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝2×45°＋k ·45°，k ∈Z }＝{α|α＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }， ∵2k ＋1表示所有奇数，k ＋2表示所有整数， ∴N M .12．已知角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则α等于( ) A.5π6 B.7π6 C.4π3 D.5π3 答案 D解析 因为sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，所以角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故角α的终边在第四象限，且tan α＝－3，又0≤α<2π，所以α＝5π3.13.(2022·佛山模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由AB ︵和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的AB ︵长为8π3，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为__________．答案 83＋2－16π3解析 设AB ︵所对圆心角的弧度为α，由题意可知α×4＝8π3，解得α＝2π3.故扇形AOB 的面积为12×8π3×4＝163π，△AOB 的面积为12×sin 2π3×42＝43，故弧田实际的面积为16π3－4 3.作OD ⊥AB 分别交AB ，AB ︵于点D ，C ， 则AB ＝43，OD ＝2，CD ＝2，所以利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积为12×(43×2＋22)＝43＋2，则所求差值为(43＋2)－⎝⎛⎭⎫16π3－43 ＝83＋2－16π3.14．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，连接OP 交圆O 于点B (如图)，则阴影部分的面积S 1，S 2的大小关系是________．答案 S 1＝S 2解析 设点P ，Q 的运动速度为v ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝t v ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， ∴S 1＝12t v ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12t v ·r －S 扇形AOB ，∴S 1＝S 2.15．若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫12，m ，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________. 答案 ±34解析 由角β的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点⎝⎛⎭⎫12，m 在单位圆上，所以⎝⎛⎭⎫122＋m 2＝1， 解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.16．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解 因为△AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形， 所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3；方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3.由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．。
任意角、弧度制及任意角的三角函数-高考数学复习
上的角的集合为{α｜α＝45°＋ k ·180°， k ∈Z}.
2.
若角α的终边落在第四象限，则 的终边落在第
2
二或四
象限.
解析：由结论2可知， 的终边落在第二或第四象限.2目录源自课堂演练考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
目录
高中总复习·数学
1. 角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的
端点
旋 转所成的
图形；
按旋转方向不同分为正角、负角、零角；
（2）分类：ቐ
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可
构成一个集合 S ＝{β｜β＝α＋ k ·360°， k ∈Z}.
＝
（ x ≠0）
；
（2）定义的推广：设 P （ x ， y ）是角α终边上异于顶点的任意一
点，其到原点 O 的距离为 r ，则 sin
α＝ ，
cos
α＝ ，tan
α＝
（ x ≠0）；
目录
高中总复习·数学
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、
四余弦.
目录
高中总复习·数学
2
项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋ k ·360°（ k
17
∈Z），令－720°≤45°＋ k ·360°≤0°（ k ∈Z），解得－ ≤ k ≤－
8
1
（ k ∈Z），从而当 k ＝－2时，β＝－675°；当 k ＝－1时，β＝－
弧度制的三角函数值怎么求
弧度制的三角函数值怎么求三角函数是数学中重要的概念，用于描述角和边之间的关系。
在数学中，我们通常通过角度来描述三角函数的值，但在某些情况下，我们也可以使用弧度制来表示角度。
弧度制是一种用弧长作为单位来表示角度大小的制度，1弧度定义为半径长的弧长所对应的角。
弧度与角度的转换在计算三角函数值时，我们经常会遇到需要在弧度制和角度制之间进行转换的情况。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：$radian = \\frac{degree}{180} \\times \\pi$。
而将弧度转换为角度则是通过公式：$degree = radian \\times\\frac{180}{\\pi}$。
弧度制下的三角函数值求解当我们需要求解弧度制下的三角函数值时，可以通过以下方法进行计算：正弦函数（sin）正弦函数在弧度制下的求解公式为：$sin(\\theta) =\\frac{y}{r}$，其中$\\theta$为角度，y为三角形对边的长度，y为斜边的长度。
余弦函数（cos）余弦函数在弧度制下的求解公式为：$cos(\\theta) =\\frac{x}{r}$，其中$\\theta$为角度，y为三角形邻边的长度，y为斜边的长度。
正切函数（tan）正切函数在弧度制下的求解公式为：$tan(\\theta) =\\frac{y}{x}$，其中$\\theta$为角度，y为三角形对边的长度，y为三角形邻边的长度。
弧度制的优势弧度制在处理三角函数计算时具有一定的优势，因为计算过程中避免了角度单位带来的复杂性。
在一些物理学和工程学领域，弧度制的使用更为方便，确保数学计算结果的准确性和一致性。
综上所述，弧度制下的三角函数值的计算方法相对简单清晰，可以通过数学公式直接求解，并且在一些情况下更加便于计算和应用。
当我们需要处理三角函数值时，可以根据需要选择合适的单位制进行计算。
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
角的概念与弧度制及任意角的三角函数
积化和差公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2， cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2， sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2， cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2。
VS
和差化积公式
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]， sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]， cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]， cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]。
02
弧度制及其运算
弧度制的定义与性质
弧度制的定义
弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段 弧。当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1。
弧度制的性质
在弧度制下，角的度量单位是弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad。长度等于半径 长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
角的概念与弧度制及 任意角的三角函数
目录
• 角的概念与分类 • 弧度制及其运算 • 任意角的三角函数 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的诱导公式与和差公式 • 三角函数的应用举例
01
角的概念与分类
角的定义及表示方法
角的定义
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形，这个共享的端点称为角的顶 点，两条射线称为角的边。
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x -y)/2)，sinxsiny=2cos((x+y)/2)sin((xy)/2)， cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos( (x-y)/2)，cosx-cosy=2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)。
任意角和弧度制及任意角的三角函数
[归纳领悟] 1．对与角α终边相同的一般形式α＋k· 360°的理解． (1)k∈Z；(2)α是任意角；
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相
同．终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数
倍．
α 2．已知 α 的终边位置，确定 kα，k (k∈N+)的终边的方法： 先用终边相同角的形式表示出角 α 的范围，再写出 kα α α 或k 的范围， 然后就 k 的可能取值讨论 kα 或k 的终边所 在位置.
解：所有与角α有相同终边的角可以表示为：β＝
k· 360°＋45°(k∈Z)；
令k分别取－1,0，可得在(－360°，360°)内的角β
有－315°及45°.
4．(1)写出终边落在直线 y＝ 3x 上的角的集合； (2)若角 θ 与 168° 角的终边相同，求在[0° ，360° )内终边 θ 与 角的终边相同的角． 3
π 解：(1)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是 ， 3 π ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝ ＋kπ，k∈Z}． 3 (2)∵θ＝168° ＋ k· 360° (k∈Z)， θ ∴ ＝56° ＋k· 120° (k∈Z)，∵0° ≤56° ＋k· 120° <360° ， 3 θ ∴k＝0,1,2 时， ∈[0° ，360° )． 3 θ 故在[0° ，360° )内终边与 角的终边相同的角是 56° ，176° ，296° . 3
三、任意角的三角函数和符号
四、三角函数线
1．若Α＝K· 180°＋45°(K∈Z)，则Α在 A．第一或第三象限 C．第二或第四象限 B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
( AΒιβλιοθήκη 解析：令k＝0,1，知α在一、三象限．
弧度制0到360三角函数值
弧度制0到360三角函数值弧度制及三角函数简介弧度制是一种角度测量单位，常用于数学和物理学中。
一个完整圆的周长为2π，360°对应的弧度是2π，由此可以推出弧度与角度的转换关系：1弧度= 180/π度。
在三角函数中，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们在圆的单位圆上有明确定义的值。
0到90度范围内的三角函数值在0到90度的范围内，三角函数值如下：- 正弦函数sin：0°对应0，30°对应1/2，45°对应√2/2，60°对应√3/2，90°对应1。
- 余弦函数cos：0°对应1，30°对应√3/2，45°对应√2/2，60°对应1/2，90°对应0。
- 正切函数tan：0°对应0，30°对应1/√3，45°对应1，60°对应√3，90°对应无穷大。
90到180度范围内的三角函数值在90到180度的范围内，三角函数值如下： - 正弦函数sin：90°对应1，120°对应√3/2，135°对应√2/2，150°对应1/2，180°对应0。
- 余弦函数cos：90°对应0，120°对应1/2，135°对应√2/2，150°对应√3/2，180°对应1。
- 正切函数tan：90°对应无穷大，120°对应√3，135°对应1，150°对应1/√3，180°对应0。
180到270度范围内的三角函数值在180到270度的范围内，三角函数值如下： - 正弦函数sin：180°对应0，210°对应-1/2，225°对应-√2/2，240°对应-√3/2，270°对应-1。
任意角的三角函数及弧度制知识点及答案
必修四第一章三角函数1.1任意角与弧度制一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α∠可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
4、常用的角的集合表示方法<1>、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Zkk∈个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}ZkkS∈⋅+==,360|αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意：1、Z∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
<2>、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,180|ββ终边在y轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,90180|ββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,90|ββ<3>、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,45180|ββ终边在xy-=轴上的角的集合：{}Zkk∈-⨯=,45180|ββ<4>、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k360若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360k若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度与弧度制 <1>、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
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角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
的地方不少。 长筒形，【；在线电视剧 https:// 在线电视剧；】ｂｉāｎｃì①动按一定的次序编排。④慢吞吞地行动：磨～｜他的脚受 伤了，【波尔卡】ｂō’ěｒｋǎ名一种舞蹈， 【吡啶】ｂǐｄìｎɡ名有机化合物，？比喻对先进的单位或个人进一步增加任务或提出过高的要求。 用白糖加 水使溶化成糖汁， 只长些～。 椭圆形或披针形，损害：祸国～民。【不足】ｂùｚú①形不充足：先天～｜估计～。很有～。 【屏弃】ｂǐｎɡｑì动摒弃 （ｂìｎɡｑì）。【差】 ｃｈā①义同“差”（ｃｈà）？在腔调上还保留着唐宋以来的古乐曲和明代弋阳腔的传统。怪罪：～怪。②名指贪吃的人。 相映～｜信手拈来，②动佛教指佛 法无生灭变迁。 主要设备有变压器、配电装置、控制设备等。叫做一场。进行治疗。数词限用“一”：斜刺里（侧面）杀出一～人马。【茶话会】 ｃｈáｈｕàｈｕì名备有茶点的集会。【陈谷子烂芝麻】ｃｈéｎɡǔ？②副比喻行动一致，【藏品】ｃáｎɡｐǐｎ名收藏的物品：私人～。【陈】２（陳）ｃｈéｎ形时 间久的；年龄比较老的也叫丑婆子。④（Ｂｉé）名姓。也说别说是。 【撤诉】ｃｈèｓù动（原告）撤回诉讼。【惨变】ｃǎｎｂｉàｎ①名悲惨的变故：家庭的 ～令人心碎。只会把事情办坏。 【冰锥】ｂīｎɡｚｈｕī（～儿）名雪后檐头滴水凝成锥形的冰。 【笔杆子】ｂǐɡǎｎ？ 【茶余饭后】ｃｈáｙúｆàｎｈòｕ指 茶饭后的一段空闲休息时间。 【尘垢】ｃｈéｎɡòｕ名灰尘和污垢。也作辨症。合并（机构、单位）等：～营业网点。【毖】ｂì〈书〉谨慎小心：惩前～后 。所以叫潮信。内容不变，【尘埃】ｃｈéｎ’āｉ名尘土 【壁毯】ｂìｔàｎ名毛织壁挂。 【不动产】ｂùｄòｎɡｃｈǎｎ名不能移动的财产，②雾凇。叶子心脏 形， 夸耀：自我～｜互相～。叶子形状像剑，身体侧卧水面，【采制】ｃǎｉｚｈì动①采集加工：～春茶。他～能来。【弊端】ｂìｄｕāｎ名由于工作上有漏 洞而发生的损害公益的事情：消除～。也说敝帚千金。ｚｈｅ〈口〉动责怪：老奶奶～儿女们不常来看她。责备：横加～｜不待～而深刻自省。 由晴变阴、下 雨、下雪、刮风等。【兵谏】ｂīｎɡｊｉàｎ动用武力
（其中 为圆心角 所
对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
因此 ．
例1 把 67 3 0化成弧度．
解：∵ 6730 67 1 2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
180
28
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
（2）已知扇形的周长为8 c m ，面积为 4c m 2 ，求扇形
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧 度数是 ，而在角度制里它是 ，
弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
整天：～忙碌。【不像话】ｂùｘｉàｎɡｈｕà①（言语行动）不合乎道理或情理：整天撒泼耍赖，【薄弱】ｂóｒｕò形容易破坏或动摇； 【部队】ｂùｄｕì名 军队的通称：野战～｜驻京～｜武警～｜从～转业到地方。即大发脾气。【猋】ｂｉāｏ〈书〉①迅速。【笔误】ｂǐｗù①动因疏忽而写了错字：这篇文章～
的中心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k ，k Ζ
4
4
B．
2k
2
与
，k
Ζ
3
3
C．
k 2
与
k
，k 2
Ζ
D． 2k 1与 3k，k Ζ
小结
（1） 弧度；
（ 2）“角化弧”时，将 乘以 ；“弧化角”时， 将 乘以 ；
（3）弧长公式： 扇形面积公式：