高考数列与不等式压轴题(难题)

高考数列与不等式压轴题
1.
已知数列{}n a 为等差数列，且满足211n n n a a na +=-+，*n N ∈。

1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 求证：
12321
1111
...ln 2n n n n a a a a ++++++++<. 3) 当
01λ<<时，设1
()2n n b a λ=-，(1)n n c a λ=-，数列1n n b c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n
T ，求证：
91
43
n n T n ->
+。

2.
（2013•蓟县一模）已知数列{}n a 中，11a =，*12311
23()2
n n n a a a na a n N +++++⋅⋅⋅+=
∈ 1) 求数列{}n a 的通项n a ； 2) 求数列2
{}n n
a 的前n 项和n T ；
3) 若存在*
n N ∈，使得(1)n
a n λ≥+成立，求实数λ的取值范围．
3.
（2010•无锡模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S
，数列是公比为2的等比数列．
1) 证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =；
2) 设*5(1)()n n
n b n a n N =--∈，若1n n b b +<对*n N ∈恒成立，求1a 的取值范围．
4.
已知数列{}n a 中，2
2(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项．
1) 求数列{}n a 的通项公式；
2) 设数列{}n b 是首项为1，公比为2
3
-
的等比数列，n T 是{}n b 的前n 项和，问是否存在常数a ，使1012n a T ⋅<恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．
5.
已知数列{}n a 满足11a =，2*123()1
n n n n a a m
a n N a +++=∈+。

1) 若恒有1n n a a +≥，求m 的取值范围．
2) 在31m -≤<时，证明：
121111
11112
n
n a a a ++⋅⋅⋅+≥-+++
3) 设正项数列{}n a 的通项n a 满足条件：*()
10()n
n n a na n N +-=∈，求证：1
02
n a ≤≤。

6.
（2012•资阳二模）已知数列{}n a 的前
n
项和为
n
S ，
11a =，且12n n
na S +=，数列{}n b 满足
212+1
1n n n b a a -=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T （其中*
n N ∈）．
1) 求n a 和n T ；
2) 若对任意的*
n N ∈，不等式8(1)n n
T n λ<+--恒成立，求实数λ的取值范围。

7.
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
1a =，(1)n n S na n n =--，*n N ∈，令1
1
n n n b a a +=
⋅，且数列
{}n b 的前项和为n T ．
1) 求证：数列{}n a 为等差数列，并写出n a 关于n 的表达式； 2) 若不等式8
5
n
n T λ+<
（λ为常数）对任意正整数n 均成立，求λ的取值范围； 3) 是否存在正整数,m n （1m n <<），使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不
存在，请说明理由．
8.
已知函数
()2ln m
f x x x x
=-
-在定义域是单调函数，'()f x 是函数()f x 的导函数． 1) 求实数m 的取值范围；
2) 当m 取得最小值时，数列{}n a 满足：1
3a m =+，11
'(
)11
n n n a f na a +==-++，*n N ∈。

试证：①
2n a n >+；
② 121111
(1114)
n m a a a m ++++<++++ 9.
若数列{}n a 满足2
2
1n n
a a d
+-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 为等方差数列．已知等方差数列{}n a 满足
0n a >，151,3a a ==。

1) 求数列{}n a 的通项公式． 2) 求数列2
1
{()}2
n n a ⋅的前n 项和。

3) 记2n
n b na =，则当实数k 大于4时，不等式n kb 大于(4)4n k -+能否对于一切的*
n N ∈恒成立？请
说明理由
10. （2011•河池模拟）已知正项数列{}n a 满足：1
1a =，且2211(1)n n n n n a na a a +++=-，*
n N ∈
(I) 求数列{}n a 的通项公式；
(II) 设数列1
{}n a 的前n 项积为n T ，求证：当0x >时，对任意的正整数n 都有n n x
x T e
>。

11. （2012•江苏三模）已知数列{}n a 满足1
2a =，且对任意*n N ∈，恒有12(1)n n na n a +=+。

1) 求数列{}n a 的通项公式； 2) 设区间1
[,]33(1)
n n a a n n ++中的整数个数为n b ，求数列{}n b 的通项公式．
12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
1a =，(1)n n S na n n =--，*n N ∈，令1
1n n n b a a +=
⋅，且数列
{}n b 的前项和为n T 。

1) 求证：数列{}n a 为等差数列，并写出n a 关于n 的表达式； 2) 若不等式8
5
n
n T λ+<
（λ为常数）对任意正整数n 均成立，求λ的取值范围； 3) 是否存在正整数,m n （1m n <<），使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不
存在，请说明理由。

13. 已知数列{}n a 满足1
21,(3a a λλλ==<≠且-2)，且*216()n n n a a a n N ++=+∈。

1) 证明：数列1{2}n n a a ++与数列1{3}n n a a +-都是等比数列； 2) 若*1
()n n a a n N +>∈恒成立，求λ的取值范围．
14. 已知数列{}n a 中，
11a =，0n a >，1n a +是函数321111
()(1)3222
n n f x x a x a x =
+--⋅的极小值点．（2013•烟台二模）
1) 证明数列{}n a 为等比数列，并求出通项公式n a ； 2) 设2
n
n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：16
9
n S <。

15. 已知数列{}n a 满足1
0a =，22a =，且对任意*,m n N ∈都有22121122()m n m n a a a m n --+-+=+-
1) 求35,a a 2) 设2121n n n b a a +-=-（*n N ∈），求{}n b 的通项公式；
3) 设1
1
n
n c a +=
，n S 为数列{}n c 的前n 项和，若存在n 使n S M >，求M 的取值范围．
16. 已知函数
32()(,,)f x ax bx cx a b c R =++∈
1) 若函数
()f x 过点(1,2)-且在点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式；
2) 当1a =时，若2(1)1,1(1)3f f -≤-≤-≤≤，试求(2)f 的取值范围；
3) [1,1]x ∀∈-，都有|'()|1f x ≤，试求实数a 的最大值，并求a 取得最大值时，函数()f x 的解析式。