第四章频率域图像增强
合集下载
频率域图像增强
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为Baidu Nhomakorabea大值的某个百分比的点。
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
左图为字符断裂
右图为卫星和航空图像
高通滤波
频率域的锐化
图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊 是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除 模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过， 使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为Baidu Nhomakorabea大值的某个百分比的点。
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
左图为字符断裂
右图为卫星和航空图像
高通滤波
频率域的锐化
图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊 是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除 模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过， 使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
频率域图像增强
图像f(x,y)可以表示为照度和反射两部分的乘积：
上面的式子不能直接用来对照度和反射的频率部分分别进行 操作，原因是两个函数乘积的傅里叶变换是不可分的，也就 是说：
同态滤波器
所以我们假定
这样我们就可以进行傅里叶变换
所以也可以得出 之后就可以加入滤波器进行一系列图像增强
最终图像
同态滤波器
图像中照射分量i（x，y）通常由慢的空间变化来表征，而 反射分量旺旺引发突变。 所以也就说明了图像取对数后的傅里叶变换的低频部分与照 射相联系，高频部分与反射相联系。
H（u，v） =-4π2[（u-P/2)2=(v-Q/2)2] =-4π2D2(u,v)
所以我们就可以得到拉普拉斯图像由下式 ▽
▽2f(x,y)=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
相比较其他滤波器不同的是，一般我们经过逆傅里叶变化就可以得到图像了而我 们需要如下实现
g（x，y）=f（x，y）+c ▽2f(x,y)
附录
如下就把二维的分成一维的变换
F（x，y）的二维DFT可通过计算f（x，y）的每一行的一维 变换，然后沿着计算结果的每一列计算一维变换得到。
感谢观映
2
滤波公式
频率域滤波基础
g（x，y）=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
ζ -1 是IDFT，F（u，v）是输入图像f（x，y）的DFT， H（u，v）是滤波函数，g（x，y）是滤波后的输出图像。
上面的式子不能直接用来对照度和反射的频率部分分别进行 操作，原因是两个函数乘积的傅里叶变换是不可分的，也就 是说：
同态滤波器
所以我们假定
这样我们就可以进行傅里叶变换
所以也可以得出 之后就可以加入滤波器进行一系列图像增强
最终图像
同态滤波器
图像中照射分量i（x，y）通常由慢的空间变化来表征，而 反射分量旺旺引发突变。 所以也就说明了图像取对数后的傅里叶变换的低频部分与照 射相联系，高频部分与反射相联系。
H（u，v） =-4π2[（u-P/2)2=(v-Q/2)2] =-4π2D2(u,v)
所以我们就可以得到拉普拉斯图像由下式 ▽
▽2f(x,y)=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
相比较其他滤波器不同的是，一般我们经过逆傅里叶变化就可以得到图像了而我 们需要如下实现
g（x，y）=f（x，y）+c ▽2f(x,y)
附录
如下就把二维的分成一维的变换
F（x，y）的二维DFT可通过计算f（x，y）的每一行的一维 变换，然后沿着计算结果的每一列计算一维变换得到。
感谢观映
2
滤波公式
频率域滤波基础
g（x，y）=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
ζ -1 是IDFT，F（u，v）是输入图像f（x，y）的DFT， H（u，v）是滤波函数，g（x，y）是滤波后的输出图像。
数字图像处理-第04章-图像增强教案资料
直方图变换有两类
直方图均衡化; 直方图规定化。
Slide 28
直方图均衡化
通过对原图像进行某种变换，使得图像的直方 图变为均匀分布的直方图 。
灰度级连续的灰度图像：
当变换函数是原图像直方图累积分布函数时，能达 到直方图均衡化的目的。
对于离散的图像，用频率来代替概率 。
Slide 29
Slide 8
点运算：
指原始图像的像素灰度值通过运算后产生新图 像的对应的灰度值。
➢ 像素值通过运算改变之后，可以改善图像的显示效果。
➢ 这是一种像素的逐点运算。
➢ 是旧图像与新图像之间的映射关系。
典型的点运算：
对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
Slide 9
灰度修正的方法
一般有三种方法： （1）灰度级校正解决成像不均匀问题。 （2）对比度增强解决图像曝光不足问题。 （3）直方图修正以突出所需要的图像特
【例4.3】对图像进行直方图均衡化。
假定有一幅总像素为n = 64×64的图像，灰度 级数为8，各灰度级分布列于表4.1中。
（1）按式（4.14）求变换函数Sk’ （2）计算Sk’’ （3） Sk的确定 （4）计算对应每个sk的nsk （5）计算ps(sk)
Slide 30
表4.1 一幅图像的灰度级分布
标定系统失真系数的方法
可得比例因子： ei,jgci,jC1
直方图均衡化; 直方图规定化。
Slide 28
直方图均衡化
通过对原图像进行某种变换，使得图像的直方 图变为均匀分布的直方图 。
灰度级连续的灰度图像：
当变换函数是原图像直方图累积分布函数时，能达 到直方图均衡化的目的。
对于离散的图像，用频率来代替概率 。
Slide 29
Slide 8
点运算：
指原始图像的像素灰度值通过运算后产生新图 像的对应的灰度值。
➢ 像素值通过运算改变之后，可以改善图像的显示效果。
➢ 这是一种像素的逐点运算。
➢ 是旧图像与新图像之间的映射关系。
典型的点运算：
对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
Slide 9
灰度修正的方法
一般有三种方法： （1）灰度级校正解决成像不均匀问题。 （2）对比度增强解决图像曝光不足问题。 （3）直方图修正以突出所需要的图像特
【例4.3】对图像进行直方图均衡化。
假定有一幅总像素为n = 64×64的图像，灰度 级数为8，各灰度级分布列于表4.1中。
（1）按式（4.14）求变换函数Sk’ （2）计算Sk’’ （3） Sk的确定 （4）计算对应每个sk的nsk （5）计算ps(sk)
Slide 30
表4.1 一幅图像的灰度级分布
标定系统失真系数的方法
可得比例因子： ei,jgci,jC1
第四章图像增强
8
原图
变换函数曲线
9
灰度反转后
10
original image
Brightness(明暗变化)
(addition/subtraction)
contrast
= histogram stretching
其它线性变换例
11
2.分段线性变换
线性拉伸是将原始输入图像中的灰度值不加区别地 扩展。 而在实际应用中,为了突出图像中感兴趣的研究对象， 常常要求局部扩展拉伸某一范围的灰度值，或对不同 范围的灰度值进行不同的拉伸处理，即分段线性拉伸。 分段线性拉伸是仅将某一范围的灰度值进行拉伸，而 其余范围的灰度值实际上被压缩了。
清除背景的灰度窗口变换的原理
保留背景的灰度窗口变换的原理
20
21
4.2 直方图增强处理
直方图概念
反映一幅图像中灰度级与出现这种灰度的概率之间的关系的 图形。
该灰度级 出现的概 率
灰度级r
一幅图像的灰度直方图
22
灰度级的分布可以近似看成图像的灰度分布特性
图(a)图像的大多数像素灰度值取在较暗的区域，较暗； (a)图像的大多数像素灰度值取在较暗的区域，较暗； 图像的大多数像素灰度值取在较暗的区域 图像的像素灰度值集中在亮区，偏亮。 (b)图像的像素灰度值集中在亮区，偏亮。
一般要求gmin < fmin，gmax> fmax。
数字图像处理之频率域图像增强
数字图像处理之频率域图 像增强
• 引言 • 频率域图像增强技术 • 频率域滤波器 • 频率域图像增强的实现方法 • 频率域图像增强的效果评估 • 总结与展望
01
引言
图像增强概述
图像增强是数字图像处理中的重 要技术之一，旨在改善图像的视
觉效果或提高图像的可用性。
通过增强图像的某些特征或改善 某些方面的质量，可以使图像更
05
频率域图像增强的效果评估
主观评价方法
观察者评分法
01
邀请一组观察者对增强后的图像进行评分，根据他们的主观感
受给出评价。
对比观察法
02
将增强后的图像与原始图像进行对比，观察者评估增强效果是
否改善了图像质量。
直方Hale Waihona Puke Baidu对比
03
比较原始图像和增强后图像的直方图，观察亮度、对比度和色
彩分布的变化。
客观评价方法
THANKS
感谢观看
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
深度学习与频率域图像增强
结合深度学习技术，可以自动学习和优化频率域增强算法中的参 数，提高增强效果。
多尺度分析和频率域增强
研究多尺度分析方法在频率域增强中的应用，以更好地处理不同尺 度的图像特征。
实时频率域增强
优化算法和实现细节，以提高频率域增强的实时性能，满足实际应 用的需求。
• 引言 • 频率域图像增强技术 • 频率域滤波器 • 频率域图像增强的实现方法 • 频率域图像增强的效果评估 • 总结与展望
01
引言
图像增强概述
图像增强是数字图像处理中的重 要技术之一，旨在改善图像的视
觉效果或提高图像的可用性。
通过增强图像的某些特征或改善 某些方面的质量，可以使图像更
05
频率域图像增强的效果评估
主观评价方法
观察者评分法
01
邀请一组观察者对增强后的图像进行评分，根据他们的主观感
受给出评价。
对比观察法
02
将增强后的图像与原始图像进行对比，观察者评估增强效果是
否改善了图像质量。
直方Hale Waihona Puke Baidu对比
03
比较原始图像和增强后图像的直方图，观察亮度、对比度和色
彩分布的变化。
客观评价方法
THANKS
感谢观看
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
深度学习与频率域图像增强
结合深度学习技术，可以自动学习和优化频率域增强算法中的参 数，提高增强效果。
多尺度分析和频率域增强
研究多尺度分析方法在频率域增强中的应用，以更好地处理不同尺 度的图像特征。
实时频率域增强
优化算法和实现细节，以提高频率域增强的实时性能，满足实际应 用的需求。
第四章图像增强
直方图均衡化方法的基本思想是对在图像中像素 个数多的灰度级进行展宽，而对像素个数少的灰 度级进行缩减。从而达到清晰图像的目的。
61
通过修改直方图的方法增强图像是一种实用 而有效的处理技术。
62
二、直方图均衡化
首先假定连续灰度级的情况，推导直 方图均衡化变换公式，令r代表灰度级， P(r)为概率密度函数。 r值已归一化， 最大灰度值为1。
直方图均衡化方法实现 —— 计算原图的灰度分布概率
例
p [ 3 ,2 ,4 ,4 ,1 ,1 ,4 ,1 ,2 ,3 ]
P=p/25
p ( r k ) [ 3 / 2 5 , 2 / 2 5 , 4 / 2 5 , 4 / 2 5 , 1 / 2 5 , 1 / 2 5 , 4 / 2 5 , 1 / 2 5 , 2 / 2 5 , 3 / 2 5 ]
f(x,y)a af(x,y)b f(x,y)b
19
线性灰度变换
g(x,y) d
c
0
a
b
f(x,y)
20
二、分段线性灰度变换
扩展感兴趣的灰度范围线性，相对抑制不感兴 趣的灰度区域。
设f(x,y)灰度范围为[0,M]，g(x,y)灰度范围为[0,N], 将[0,a]和[b,M]加以压缩，灰度区间[a,b]进行扩展。
17
设原图、处理后的结果图的灰度值分别为 [f(i,j)]和[g(i,j)] ;
61
通过修改直方图的方法增强图像是一种实用 而有效的处理技术。
62
二、直方图均衡化
首先假定连续灰度级的情况，推导直 方图均衡化变换公式，令r代表灰度级， P(r)为概率密度函数。 r值已归一化， 最大灰度值为1。
直方图均衡化方法实现 —— 计算原图的灰度分布概率
例
p [ 3 ,2 ,4 ,4 ,1 ,1 ,4 ,1 ,2 ,3 ]
P=p/25
p ( r k ) [ 3 / 2 5 , 2 / 2 5 , 4 / 2 5 , 4 / 2 5 , 1 / 2 5 , 1 / 2 5 , 4 / 2 5 , 1 / 2 5 , 2 / 2 5 , 3 / 2 5 ]
f(x,y)a af(x,y)b f(x,y)b
19
线性灰度变换
g(x,y) d
c
0
a
b
f(x,y)
20
二、分段线性灰度变换
扩展感兴趣的灰度范围线性，相对抑制不感兴 趣的灰度区域。
设f(x,y)灰度范围为[0,M]，g(x,y)灰度范围为[0,N], 将[0,a]和[b,M]加以压缩，灰度区间[a,b]进行扩展。
17
设原图、处理后的结果图的灰度值分别为 [f(i,j)]和[g(i,j)] ;
第四章 图像增强
图像平滑
任何一幅原始图像，在其获取和传输等过程中，会受 到各种噪声的干扰，使图像恶化，质量下降，图像模糊， 特征淹没，对图像分析不利。 为了抑制噪声改善图像质量所进行的处理称图像平滑 或去噪。它可以在空间域和频率域中进行。本节介绍空间 域的几种平滑法。 局部平滑法 局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技 术。假设图像是由许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间 存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此， 可用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值， 实现图像的平滑。
添加Class_ImageEqualize图像增强类
在类中添加函数计算直方图数组
由图像数组计算得到直方图数组
添加画图函数
添加事件
为panel添加画图事件
为按键添加点击事件，并和画图事件关联
直方图均衡化
当一幅图像的像素占据了所有灰度级并且呈均匀分布时， 则该图像具有比较高的对比度和多变的灰度色调。 直方图均衡化是将原图像通过某种变换，得到一幅灰度直 方图为均匀分布的新图像的方法。
直方图增强的缺陷 直方图均衡化的缺陷：不能用于交互方式的图像 增强应用，因为直方图均衡化只能产生唯一一个 结果。 • 希望通过一个指定的函数（如高斯函数）或 用交互图形产生一个特定的直方图。根据这 个直方图确定一个灰度级变换T(r),使由T产 生的新图象的直方图符合指定的直方图。就 是直方图的规定化（略）
四章 图像增强
FFT
绿色通道滤波器 蓝色通道滤波器
彩 色 显 示
低通滤波 带通滤波
高通滤波
0
f1
f2
f3
f
图像的几何校正
• 1. 几何校正分两步： 图像空间几何坐标的变换：按照一幅标准图像g(u,v)去校正另 一幅几何失真图像f(x,y)，f(x,y)中每个象素点都在g(u,v)中找 到对应象素点。通常采用三角形线性法和二元多项式法实现 坐标变换。 2. 重新确定在校正空间中各像素点的灰度值。 • 校正空间上坐标点(u,v)落在原来图像空间上的网格点（x,y),则 g(u,v)=f(x,y); • (u,v) 不落在原图像网格点（x,y)则 找出最接近（x,y)的数字化网格点（i,j), 并令g(u,v)=f(i,j); 内插法求得灰度值。
2
1 2 2
罗伯特梯度法：
G[ f ( x, y)] f (i, j ) f (i 1, j 1) f (i 1, j ) f (i, j 1)
2
1 2 2
f(i,j)
f(i,j+1)
f(i+1,j+1)
f(i+1,j)
梯度锐化方法
1.
2. 3. 4. 5.
点运算
图像 增强
空间域增强
局部运算
第4章 图像增强(第1讲)
数字图像处理
第4章 图像增强
•
图像增强是指按特定的需要突出一幅图像中
的某些信息，同时，削弱或去除某些不需要的
信息的处理方法。其主要目的是使处理后的图
像对某种特定的应用来说，比原始图像更适用。
因此，这类处理是为了某种应用目的而去改善
图像质量的。处理的结果使图像更适合于人的
视觉特性或机器的识别系统。
•
g ( x, y) (d c) /(b a) f ( x, y) c
4 3
此关系式可用图4-5表示。
d
g ( x, y)
c
0
a
f ( x, y )
b
图4-5 灰度范围线性变换关系
如果图像中大部分像素的灰度级分布在区域a, b 之间，小部分灰度级超出了此区域，为了改善增强 效果，可以用如下所示的变换关系：
1
4 7
c 其中a 、b 、 三个参数用来调整曲线的位置和形状，它的 效果与对数变换相反，使图像的高灰度范围得到扩展。 灰度非线性变换的一个例子是动态范围压缩。该方法 的目标与增强对比度相反，有时原图的动态范围太大，超 出某些显示设备的允许动态范围，这时如直接使用原图则 一部分细节可能丢失。解决的办法是对原图进行灰度压缩。 一种常用的压缩方法是借助图4-19所示的对数形式变换， 动态范围压缩的效果如图4-20所示。
a)
第4章 图像增强
•
图像增强是指按特定的需要突出一幅图像中
的某些信息，同时，削弱或去除某些不需要的
信息的处理方法。其主要目的是使处理后的图
像对某种特定的应用来说，比原始图像更适用。
因此，这类处理是为了某种应用目的而去改善
图像质量的。处理的结果使图像更适合于人的
视觉特性或机器的识别系统。
•
g ( x, y) (d c) /(b a) f ( x, y) c
4 3
此关系式可用图4-5表示。
d
g ( x, y)
c
0
a
f ( x, y )
b
图4-5 灰度范围线性变换关系
如果图像中大部分像素的灰度级分布在区域a, b 之间，小部分灰度级超出了此区域，为了改善增强 效果，可以用如下所示的变换关系：
1
4 7
c 其中a 、b 、 三个参数用来调整曲线的位置和形状，它的 效果与对数变换相反，使图像的高灰度范围得到扩展。 灰度非线性变换的一个例子是动态范围压缩。该方法 的目标与增强对比度相反，有时原图的动态范围太大，超 出某些显示设备的允许动态范围，这时如直接使用原图则 一部分细节可能丢失。解决的办法是对原图进行灰度压缩。 一种常用的压缩方法是借助图4-19所示的对数形式变换， 动态范围压缩的效果如图4-20所示。
a)
数字图像处理 第四章图像增强
），使得结果图像s的直方图Ps(s)为一个常数
Pr(r)
Ps(s)
直方图均衡化 T(r)
r
s
26
直方图均衡化理论基础
-1 由概率论可知，若Pr(r)和变换函数s=T(r)已知，r=T (s)是单 调增长函数，则变换后的概率密度函数Ps(s)可由Pr(r)得到：
分 布 函 数 Fs(s)sp（ s s） ds=rp（ r r） dr
[b，Mf ]被压缩
16
二、非线性灰度变换
对数变换 g (i， j) = a+ ln [f(i, j) + 1 ] b ln c
低灰度拉伸，高灰度压缩 指数变换
g (i， j) = b c[f(i,j)-a] 1 使图像高灰度拉伸
对数变换
指数变 换
17
附：PS相关命令
通过命令“图像曲线”调整灰度
大家好
1
第四章 图像增强
2
主要内容
图像增强的作用及目的 像素级运算 空间域平滑与锐化 频率域增强 彩色增强 代数运算
3
图像增强
图像增强是改善图像质量最常用的技术。 图像增强目的
✓ 改善图像的视觉效果，提高图像的可辨识度 ✓ 转换成更容易分析处理的形式
评判标准 ：人的主观感觉 从作用域出发分两类
5/7
0.81
6/7
S3=6/7
Pr(r)
Ps(s)
直方图均衡化 T(r)
r
s
26
直方图均衡化理论基础
-1 由概率论可知，若Pr(r)和变换函数s=T(r)已知，r=T (s)是单 调增长函数，则变换后的概率密度函数Ps(s)可由Pr(r)得到：
分 布 函 数 Fs(s)sp（ s s） ds=rp（ r r） dr
[b，Mf ]被压缩
16
二、非线性灰度变换
对数变换 g (i， j) = a+ ln [f(i, j) + 1 ] b ln c
低灰度拉伸，高灰度压缩 指数变换
g (i， j) = b c[f(i,j)-a] 1 使图像高灰度拉伸
对数变换
指数变 换
17
附：PS相关命令
通过命令“图像曲线”调整灰度
大家好
1
第四章 图像增强
2
主要内容
图像增强的作用及目的 像素级运算 空间域平滑与锐化 频率域增强 彩色增强 代数运算
3
图像增强
图像增强是改善图像质量最常用的技术。 图像增强目的
✓ 改善图像的视觉效果，提高图像的可辨识度 ✓ 转换成更容易分析处理的形式
评判标准 ：人的主观感觉 从作用域出发分两类
5/7
0.81
6/7
S3=6/7
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
✓ 给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)
f ( x, y)
F(u, v)e j 2 uxvydudv
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
✓ 单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅
里叶变换F(u)定义为
F(u)
1
M1
j2ux
f(x)e M
✓ 单位正交基函数（相同基函数内积为1，不同基函数的内积 为0）
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的；
2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图 像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上， 有利于图像处理
傅里叶变换
二维傅里叶变换的极坐标表示 F (u ,v)F (u ,v)ej(u ,v)
✓ 幅度或频率谱为 F (u ,v)R 2(u ,v)I2(u ,v) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为(u,v)arctaI(nu,v)
R(u,v)
✓ 功率谱为 P ( u ,v ) F ( u ,v )2 R 2 ( u ,v ) I 2 ( u ,v )
因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码 和形状分析等方面
4.2 傅里叶变换(一种正交变换)
➢从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周 期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换 到频率域 ➢为什么要在频率域研究图像?
✓ 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间
空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
x0 y0
u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
✓ 给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
M1N1
f ( x , y )
j 2 ux / M vy / N
F u,v e
u0 v0
x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
✓ 相角或相位谱为 (u)arctaIn(u)
R(u)
✓ 功率谱为 P (u )F (u )2R 2(u )I2(u )
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F ( u , v ) 1 MN
M1N1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
F(u,v)的原点变换 f(x ,y) (1 )xyF (u M ,vN ) 22
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
频率域图像增强
频率域滤波 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器
4.1 背景知识
• 图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
• 图像变换的定义
✓ 将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基 函数的线性组合来合成任意函数
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
M x 0
1 M
M 1 x 0
f
x cos(2ux)
/
M
j
sin(2ux) /
M
1 M
M 1 x 0
f
x
cos
2ux
/
M
j
sin
2ux
/
M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 F u F u e j u
✓ 幅度或频率谱为 F(u) R2(u)I2(u) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
F(u) f (x)e j dx 2ux
其中，j 1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f ( x) F(u)e du j 2ux
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
✓ 二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定
义为
F(u, v)
f (x, y)e j 2 uxvydxdy
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
wenku.baidu.com
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
f
x e j ( 2ux ) / M