第四章频率域图像增强
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第4讲频率域图像增强
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
• 对高频成分的通过使图像锐化——高通滤波 • 高通和低通的关系
– Hhp(u,v) = 1 - Hlp(u,v) – 即低通阻塞的频率是能够通过高通的
• 理想高通滤波器的定义
– 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足 （是一个分段函数）
其中：D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
– 低通滤波器 – 高通滤波器 – 同态滤波器
低通滤波器的基本思想
•
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式
– H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数
– G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来 得到的结果
– 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。
二阶GLPF 无振铃
• 高斯LPF r=30
ILPF r=30
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
2
频率域锐化滤波器
• 对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊——低 通滤波
• 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth 低通滤波器（BLPF）的变换函数：
第四章频率域图像增强
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2
滤波器设计-频率域图像增强
第4章 频率域图像增强
第6页
5.2 频率域平滑滤波器
平滑滤波器
图像中的边缘和噪声都对应图像傅立叶变换中的高频部分 ，所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部分频率的分 量 根据频域增强技术的原理，需要选择一个合适的H(u, v)以 得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v) 以下讨论对F(u, v)的实部和虚部影响完全相同的滤波转移 函数。具有这种特性的滤波器称为零相移滤波器
1 D (u , v ) / D0
1
2n
H (u,v ) 1 D (u,v ) D0 0
第4章 频率域图像增强
第17页
5.2 频率域平滑滤波器
2、巴特沃斯低通滤波器
图像由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通滤波进行 平滑以改进图像质量
第4章 频率域图像增强
第18页
5.2 频率域平滑滤波器
图像增强复习直方图规格化和规定化
点运算对单幅图像做处理，不改变像素的空间位置； 代数运算多幅图像做处理，不改变像素的空间位置；
几何运算对单幅图像做处理，改变像素的空间位置； 几何运算包含两个独立的算法：空间变换算法和灰度 级插值算法。
高频增强输出图的傅立叶变换： Ge(u, v) = k G(u, v) + c F(u, v) 反变换回去： ge(x, y) = k g(x, y) + c f (x, y)
第4章 频率域图像增强 第27页
5.3 频率域锐化滤波器
例5.5高通滤波增强
(a)比较模糊的图像 (b)阶为1的巴特沃斯高通滤波 (c)高通滤波增强的结果
第30页
第4章 频率域图像增强
第31页
第4章 频率域图像增强
数字图像处理第04章图像增强ppt课件
归一化的直方图（histogram）定义为灰度级出 现的相对频率。即
Pr(k)nk /N
（4.13）
式中，N表示像素的总数；nk表示灰度级为k的
像素的数目。
Slide 25
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1．线性变换
灰度g与灰度f之间的关系为
gaba[f a] ba
（1）变换使得图像灰度范围增 大，即对比度增大，图像会变得 清晰；
（2）变换使得图像灰度范围缩 图4.4 线性变换 小，即对比度减小。
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为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
图4.7 三段线性变换实例
（a）原始图像
（b）增强效果
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为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
3．非线性灰度变换
当用某些非线性函数如对数、指数函数等作为 映射函数时，可实现灰度的非线性变换。
J = imadjust(I,[0.3 0.7],[]); %使用imadjust函数进行灰度的线性变换
figure,imshow(J); figure,imhist(J)
%显示变换后图像的直方图
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为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
【例4.1】采用线性变换进行图像增强。
第四章频率域图像增强
频率域图像增强
频率域滤波 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器
4.1 背景知识
• 图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
• 图像变换的定义
✓ 将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基 函数的线性组合来合成任意函数
空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
M x 0
1 M
M 1 x 0
f
x cos(2ux)
/
M
j
sin(2ux) /
M
1 M
M 1 x 0
f
x
cos
2ux
/
M
j
sin
2ux
/
M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 F u F u e j u
✓ 幅度或频率谱为 F(u) R2(u)I2(u) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为 (u)arctaIn(u)
R(u)
✓ 功率谱为 P (u )F (u )2R 2(u )I2(u )
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F ( u , v ) 1 MN
M1N1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
频率域滤波 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器
4.1 背景知识
• 图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
• 图像变换的定义
✓ 将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基 函数的线性组合来合成任意函数
空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
M x 0
1 M
M 1 x 0
f
x cos(2ux)
/
M
j
sin(2ux) /
M
1 M
M 1 x 0
f
x
cos
2ux
/
M
j
sin
2ux
/
M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 F u F u e j u
✓ 幅度或频率谱为 F(u) R2(u)I2(u) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为 (u)arctaIn(u)
R(u)
✓ 功率谱为 P (u )F (u )2R 2(u )I2(u )
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F ( u , v ) 1 MN
M1N1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
数字图像处理_第四章_频域图像增强
2
u 0.1.2. M 1 v 0.1.2. N 1 f ( x, y ) F (u , v)e j 2 (ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
可以证明：
x y f ( x , y )( 1) F (u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
4.2.3 频率域滤波 频率域滤波基本步骤： 1、(1) x y 原图像 2、F (u, v) 3、 H (u, v) F (u, v) 4、反DEF 5、实部 x y 6、用 (1) (5) 结果。 1 被滤波图像 G(u, v)
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
4.3 平滑的频率域滤波器
4.3.1 理想低通滤波器
c ~ e均有“振铃”特征 为什么会有“振铃”现象呢？ 其根本原因是空域滤波器有负 值，具体具体解释右图（b）
右图用5个脉冲图像来说明“振 铃”的产生，可看作5个冲激， 只是简单地复制 h( x, y ) → “振铃”。
F (u ) F (u ) e j (u ) F (u ) R (u ) I (u )
2 2
1 2
(u ) arct g
2(u ) R(u )
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
1 M x 1 v N y u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4第四章图像增强
例4.2.1 (续8)
解：◆存在值为5/7的灰度级别值，且由s2≈5/7和 s2=T(r2)可知，新图像中灰度级别为s5’=5/7 的像素 对应于原图像中灰度级为k=2的像素，其像素个数为 m5=n2=850 。
◆存在值为6/7的灰度级别值，且由s3≈6/7和 s3=T(r3) ，以及s4≈6/7和s4=T(r4)可知，新图像中灰 度级别s6’为=6/7的像素，对应于原图像中灰度级为 k=3和k=4的像素，其像素个数为 m6=n3+n4=656+329=985。
基本的实现方法包括两种： ◆ 一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰度 值，而给其它部分指定一个较低的灰度值或0值。 ◆ 另一种是给所关心的灰度范围指定一个较高的灰 度值，而其它部分的灰度值保持不变
4.1.4 窗切片
g
g
g
255
255
255
0
a b 255 f 0
a b 255 f 0
a b 255 f
《数字图像处理》
第四章 图像增强
图像增强就是通过对图像的某些特征，如边 缘、轮廓、对比度等，进行强调或尖锐化，使之 更适合于人眼的观察或机器的处理的一种技术。
图像增强技术的分类：一是空间域增强方法; 二是频率域增强方法。
4.1 灰度变换
灰度变换是一种逐像素点对图像进行变换的增强 方法，所以也称为图像的点运算。
灰度变换是空间域图像增强方法。 设用f表示输入图像在（x,y）处的像素值，用g 表示变换后的输出图像g(x,y)的像素值，T[•]表示对 f(x,y)的点运算操作，则灰度变换可一般地定义为:
g= T[f]
（4.1）
4.1.1 灰度反转
设图像的灰度级为L，则图像的灰度反转可用公
图像处理课件04频率域图像增强
u 0,1,, M 1 v 0,1,, N 1
反变换: f ( x, y ) F (u , v) e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
x 0,1, , M 1 y 0,1, , N 1
一般F(u,v)是复函数,即:
1
2
5
20
３、高斯低通滤波器（GLPF）
H (u, v) e
D 2 u ,v / 2 2
令 D0
H (u, v) e
2 D 2 u ,v / 2 D0
当D(u, v) D0
H (u, v) 0.607
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图象比 BLPF处理的图象更模糊一些
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。
H hp (u, v) 1 H lp (u, v)
与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有３种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器
空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系
卷积定理：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
冲激函数
M 1 N 1 x 0 y 0
s( x, y) A ( x x , y y ) As( x , y )
频率域的基本性质：
低频对应着图像的慢变化分量。
较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。
变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
第四章图像增强
均衡化的ps(s)和pv(v)相同，即都为均匀分布的密度函数。
由s代替v 得 z=G-1(s)
这就是所求得的变换表达式。根据上述思想，可总 结出直方图规定化增强处理的步骤如下： ①对原始图像作直方图均衡化处理；
②按照希望得到的图像的灰度概率密度函数pz(z)，求得
变换函数G(z)； ③用步骤①得到的灰度级s作逆变换z= G-1(s)。
g(x,
y)
[(d
c)
/(b
a)][
f
(x,
y)
a]
c
a f (x, y) b
[(M g d) /(M f b)][ f (x, y) b] d b f (x, y) M f
通过细心调整折线拐点的位置及控制分段直线的 斜率，可对任一灰度区间进行拉伸或压缩。
3．非线性灰度变换
当用某些非线性函数如对数函数、指数函数等，作为 映射函数时，可实现图像灰度的非线性变换。
①对数变换
对数变换的一般表达式为
n c
(7 2)
这里a,b,c是为了调整曲线 g(i,j) 的位置和形状而引入的参数。 当希望对图像的低灰度区较 大的拉伸而对高灰度区压缩 时，可采用这种变换，它能 使图像灰度分布与人的视觉 特性相匹配。
f (i,j)
局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技 术。假设图像是由许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间 存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此， 可用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值， 实现图像的平滑。
设有一幅N×N的图像f(x,y)，若平滑图像为 g(x,y),则有
g(x, y) 1 f (i, j) M i, js
首先对原始图像进行直方图均衡化，即求变换函数：
由s代替v 得 z=G-1(s)
这就是所求得的变换表达式。根据上述思想，可总 结出直方图规定化增强处理的步骤如下： ①对原始图像作直方图均衡化处理；
②按照希望得到的图像的灰度概率密度函数pz(z)，求得
变换函数G(z)； ③用步骤①得到的灰度级s作逆变换z= G-1(s)。
g(x,
y)
[(d
c)
/(b
a)][
f
(x,
y)
a]
c
a f (x, y) b
[(M g d) /(M f b)][ f (x, y) b] d b f (x, y) M f
通过细心调整折线拐点的位置及控制分段直线的 斜率，可对任一灰度区间进行拉伸或压缩。
3．非线性灰度变换
当用某些非线性函数如对数函数、指数函数等，作为 映射函数时，可实现图像灰度的非线性变换。
①对数变换
对数变换的一般表达式为
n c
(7 2)
这里a,b,c是为了调整曲线 g(i,j) 的位置和形状而引入的参数。 当希望对图像的低灰度区较 大的拉伸而对高灰度区压缩 时，可采用这种变换，它能 使图像灰度分布与人的视觉 特性相匹配。
f (i,j)
局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技 术。假设图像是由许多灰度恒定的小块组成，相邻像素间 存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此， 可用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值， 实现图像的平滑。
设有一幅N×N的图像f(x,y)，若平滑图像为 g(x,y),则有
g(x, y) 1 f (i, j) M i, js
首先对原始图像进行直方图均衡化，即求变换函数：
第4章频域图像增强
4.1背景知识
法国数学家傅里叶 在1822提出傅里叶 级数理论。任何周 期函数都表示为频 率不同的正(余)弦 和的形式，每个正 (余)弦乘以不同的 系数，称为傅里叶 级数。
4.1背景知识
•
非周期函数可以用正(余)弦和乘以系数的积分表 示，称为傅里叶变换。
傅里叶级数或变换表示的函数可以完全通过逆过 程重建，不丢失任何信息⇒频域中的处理转化到 原始域不会丢失任何信息 1950’s后计算机技术的发展和1965年CooleyTukey提出FFT，在信号处理领域产生了巨大变革。
4.4 单变量的离散傅里叶变换 p140
例4.4： 离散函数f的值 f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3 求其傅里叶变换
4.5.5 二维傅里叶变换
离散形式DFT
147页
M 1N 1 N 11 1M j 2 ( ux / M vy / N ) uu ,v f( ,,yy )e 正变换 F F(( ,) v ) f (x x )e j 2 ( ux / M vy / N ) MN y x x 00 y 00
for u 0,1,2,...,M 1, v 0,1,2,..., N 1
M 1 N 1M 1 N 1
式4.5-15
1 j 2 ( ux / M j vy N )/ M vy / N ) 式4.5-16 2 / ( ux f ( x , y ) F ( u , v ) e x , y ) F ( u , v ) e 反变换 MN u 0 v 0 u 0 v 0 for x 0,1,2,...,M 1, y 0,1,2,..., N 1
4.6二维傅里叶变换的性质
频率域图像增强处理PPT
∑ ∑ f (m, n)h( x m, y n)
1. 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 2. 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n) 3. 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和 4. 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和 h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。 傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：
冲激（脉冲）函数及筛选属性：
冲激函数的傅立叶变换：
1 F (u , v) = MN
筛选属性：
∑∑ δ ( x, y)e j 2π (ux / M +vy / N ) =
x =0 y =0
M
N
1 MN
∑∑ f ( x, y) Aδ ( x x , y y ) = Af ( x , y )
x=0 y =0 M N 0 0 0 0
信息与物理工程学院 中南大学
2. Butterworth低通滤波器(BLPF)
通常在H(u, v)=0.5时的D(u, v)=D0规定为截止频率(见第一个公式)。当阶数为1 时没有“振铃”现象，为2时较轻微，大于2时较严重。
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
f ( x, y ) h( x, y ) F (u , v) H (u , v); f ( x, y )h( x, y ) F (u , v) H (u , v)
变化着的频率是最基本的感觉之一，我们四周无时不被变化着 色彩的光、变化着音调的声音等在周期变化的现象包围着。
信息与物理工程学院 中南大学
数字图像处理 第四章图像增强
Pr（rk） 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06
0.03
0.02
计算每个sk对应的像素数目 计算均衡化后的直方图
Tr
Sk并
sk
nsk Ps（sk）
0.19
1/7
0.44
3/7
S0=1/7 S1=3/7 S2=5/7
790 0.19 1023 0.25 850 0.21
0.65
✓ 校正后的原始图像 f (i, j) C g(i, j) gc(i, j)
9
灰度级校正注意问题：
对降质图像进行逐点灰度级校正所获得的图像， 其中某些像素的灰度级值有可能要超出记录器 件或显示器输入灰度级的动态范围，在输出时 还要采用其他方法来修正才能保证不失真地输 出。
降质图像在数字化时，各像素灰度级都被量化 在离散集合中的离散值上，但经校正后的图像 各像素灰度极值并不一定都在这些离散值上， 因此必须对校正后的图像进行量化。
），使得结果图像s的直方图Ps(s)为一个常数
Pr(r)
Ps(s)
直方图均衡化 T(r)
r
s
26
直方图均衡化理论基础
-1 由概率论可知，若Pr(r)和变换函数s=T(r)已知，r=T (s)是单 调增长函数，则变换后的概率密度函数Ps(s)可由Pr(r)得到：
分 布 函 数 Fs(s)sp（ s s） ds=rp（ r r） dr
✓ 计算均衡后的直方图
s k 计
T（ rk）
k
=
i 0
P（r
r
）
i
k i 0
ni n
s k并
round（ sk计 * (L L 1
1)）
j
第4章-图像增强(频率域)
傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
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图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
f
x e j ( 2ux ) / M
频率域图像增强
频率域滤波 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器
4.1 背景知识
• 图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
• 图像变换的定义
✓ 将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基 函数的线性组合来合成任意函数
M x 0
1 M
M 1 x 0
f
x cos(2ux)
/
M
j
sin(2ux) /
M
1 M
M 1 x 0
f
x
cos
2ux
/
M
j
sin
2ux
/
M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 F u F u e j u
✓ 幅度或频率谱为 F(u) R2(u)I2(u) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 单位正交基函数（相同基函数内积为1，不同基函数的内积 为0）
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的；
2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图 像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上， 有利于图像处理
傅里叶变换
二维傅里叶变换的极坐标表示 F (u ,v)F (u ,v)ej(u ,v)
✓ 幅度或频率谱为 F (u ,v)R 2(u ,v)I2(u ,v) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为(u,v)arctaI(nu,v)
R(u,v)
✓ 功率谱为 P ( u ,v ) F ( u ,v )2 R 2 ( u ,v ) I 2 ( u ,v )
空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
F(u,v)的原点变换 f(x ,y) (1 )xyF (u M ,vN ) 22
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
x0 y0
u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
✓ 给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
M1N1
f ( x , y )
j 2 ux / M vy / N
F u,v e
u0 v0
x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
F(u) f (x)e j dx 2ux
其中，j 1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f ( x) F(u)e du j 2ux
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
✓ 二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定
义为
F(u, v)
f (x, y)e j 2 uxvydxdy
✓ 相角或相位谱为 (u)arctaIn(u)
R(u)
✓ 功率谱为 P (u )F (u )里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F ( u , v ) 1 MN
M1N1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
✓ 给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)
f ( x, y)
F(u, v)e j 2 uxvydudv
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
✓ 单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅
里叶变换F(u)定义为
F(u)
1
M1
j2ux
f(x)e M
因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码 和形状分析等方面
4.2 傅里叶变换(一种正交变换)
➢从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周 期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换 到频率域 ➢为什么要在频率域研究图像?
✓ 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间