高考数学不等式的解法

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高考数学不等式的解法讲解

高考一轮温习曾经末尾，查字典数学网为大家带来不等式的解法，希望大家喜欢下文!

不等式的解法：

(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对停止讨论：(2)相对值不等式：假定，那么 ; ;

留意：

(1)解有关相对值的效果，思索去相对值，去相对值的方法有：

⑴对相对值内的局部按大于、等于、小于零停止讨论去相对值;

(2).经过两边平方去相对值;需求留意的是不等号两边为非负值。

(3).含有多个相对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。

(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;

(5)不等式组的解法：区分求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共局部。

(6)解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应留意调查能否需求停止分类讨论.假设遇到下述状况那么普通需求讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，那么需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解进程中，需求运用指数函数、对数函数的单调性时，那么需对它们的底数停止讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需求思索相应的二次函数的启齿方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要剖析△)，比拟两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。

不等式的解法就引见到这里了，更多精彩内容请继续关注查字典数学网!

高考数学不等式解题方法技巧

1 x 时，1+ log x 3 v 2log x

2 ；当 x 时，1+ log x

3 = 2log x 2）

3 3

3.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小

”这17字方

针。

x 2 3

【例】（1）下列命题中正确的是

A 、y x

的最小值是 2 B 、y

的最小值是 2 C 、

X Vx 2 2

y 2 3x 4（x 0）的最大值是 2 4'、3 D 、y 2 3x 4 （x 0）的最小值是 2 4-3 （答：C ）；

x x

（2）若x 2y 1，则2x 4y 的最小值是 ______________ （答: 2^2 ）；

（3）正数x, y 满足x

1 2y 1，则 1

x -的最小值为（答： y

3 2 .2 )； a 2

b 2 a b

4.吊用不等式有：（1）；2

v ab 1 1 （恨据曰标不寺式左右的运算结构选用）；

a b

(2) a 、b 、c R , a 2 .2 2

b c

ab bc ca （当且仅当a b c 时，取等号）；

(3) 若 a b 0,m

0，则- b m （糖水的浓度问题）。

a a m

【例】

如果正数a 、b 满足ab a b 3

,则ab 的取值范围是（答：9,

)

不等式应试技巧总结

1不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减

：若a b,c d ，贝U a c b d （若a b,c d ，则

a c

b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除;

高考数学23题不等式多种题型及解法

高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学23题不等式多种题型及解法

高考数学中的不等式题型占据了相当重要的比重，其中第23题更是被认为是难度较高的题目之一。不同的不等式类型呈现多种解法，本文将以该题为例，分别探讨不同类型不等式的解法。

1. 绝对值不等式

第23题题干如下：

若$x+y+z=1$，那么$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$最大值为多少？

解法：显然这是一个求最值的问题，用$M\leq

\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$来解决本题。

2. 平均数不等式

第23题变形如下：

设$a,b,c$是正数，且满足$abc=(1-a)(1-b)(1-c)$，求最大值：

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$

解法：根据平均数不等式，得到：

$$9(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$$

即：

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$ 3. 夹逼定理

第23题变形如下：

对所有的正整数$n$，证明如下不等式成立：

$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-

1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$

解法：通过夹逼定理，得到：

$$2n\sqrt{n}<2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}<2n\sqrt{n+1}$$ 即：

常见不等式的解法--高考数学【解析版】

专题04 常见不等式的解法

所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．

【重点知识回眸】

（一）常见不等式的代数解法

1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠

可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点

2、高次不等式

（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）

①求出()0f x =的根12,,

x x ② 在数轴上依次标出根

③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根

④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分

()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分

（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式

3、分式不等式

（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()

f x

g x 的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠

（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转

化为()()()00

f x

g x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解

高考数学中的不等式及解题方法

高考数学中的不等式及解题方法在高中数学的学习中，不等式是一个非常重要的概念。因为不

等式的出现，能够将数轴上的点集表示，从而转化成解集。在高

考中，不等式作为基础的数学内容，经常出现在各种题目中。因此，学生需要在学习过程中认真理解、掌握不等式的概念和解题

方法。

一、等式的概念和性质

首先，不等式与等式的概念是相互关联的。等式是一种简单的

数学关系，即两个数相等，可以用“=”号表示。而不等式则是当两

个数不相等时使用，通常用“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示。

在解不等式的过程中，需要特别注意不等式的性质。首先，两

个不等数相加或相减，其结果的符号取决于绝对值大的数的符号。当绝对值相等时，结果的符号与原来的符号相同。其次，如果两

个不等数相乘，则乘积的符号和不等数的符号相同。当其中一个

数为0时，乘积为0。最后，如果有一个不等数为正，另一个为负，则它们的商为负。如果两个不等数都为0或是都为正或是都为负数，则结果的符号为正数。

二、等式的解法

在高考中，不等式通常需要使用不等式解答法进行解题。这种

解法的关键是将不等式转化为等式的形式，然后求解等式得出不

等式的解集。

例如，对于一个形如“ax+b>0”的不等式，我们可以通过移项并

除以系数得到“x>-b/a”。因为当“x=-b/a”时，不等式右侧会等于0，不满足不等式关系，所以解集为“x>-b/a”。在解决一般不等式时，

通常需要注意移项和化简的方法。

三、常见的不等式

在高考中，出现较多的不等式有两类：一类是含有单一变量的

一元不等式，如“x^2-3x+2>0”等。另一类是含有多元变量的二元

高考数学中的不等式问题解析

高考数学中的不等式问题解析不等式作为高中数学的一项重要内容，是高考数学中常常会涉及的题型。解决不等式题目需要我们对不等式的基本性质加以理解，以及掌握一些基本的求解方法。

1. 不等式的基本性质

在解决不等式问题时，我们需要掌握一些重要的基本性质。首先，不等式的两边可以同时加上或减去一个相同的数，不等式的方向不会改变。其次，不等式的两边都可以同乘或同除以一个正数，不等式的方向也不会改变。但是，如果同乘或同除的数是一个负数，则不等式的方向会发生改变。

另外，多个不等式同时存在时，可以使用“与”、“或”关系进行连接。例如，当我们需要求解同时满足两个不等式的解时，需使用“与”关系将它们连接。若需要求解满足其中任意一个不等式的解，则使用“或”关系将它们连接。

2. 常见的不等式类型

不等式有很多种类型，这里将介绍一些常见的不等式类型及其解法。

2.1 一次不等式

一次不等式即形如ax+b>0（或<0）的不等式。将变量x解出来后，判断所得出的解关于不等式的符号即可。

例如，问题：求解x+3>7的解。解答中，将3从左边移到右边得到x>4，因此x的取值范围为x>4。

2.2 二次不等式

二次不等式即形如ax²+bx+c>0（或<0）的不等式。解决二次不等式需要使用一些特殊方法。

2.2.1 中间项系数为正数的二次不等式

当二次不等式的中间项系数为正数时，可以将不等式转化为完全平方的形式进行求解。

例如，问题：求解x²+6x+8>0的解。解答中，将x²+6x+8看作(x+3)²-1的形式，得到(x+3)²-1>0。由于(x+3)²大于等于0，因此当(x+3)²>1时，不等式成立。即x<-4或x>-2，x的取值范围为x<-4

高考数学不等式的解法

2006年名师课堂辅导讲座—高中部分
张彦洁高级教师
[学习内容]
一、有理不等式的解法
有理不等式主要指一元一次不等式、一
元二次不等式、高次不等式和分式不等
式 1、一元一次不等式
：ax

b(a

0)

x x

b
a b
(a (a

0) 0)
a
2、一元二次不等式：ax2+bc+c>0（或
<0）(a>0)的解的情况
3、简单的高次不等式将不等式一边化为若干个一次因式积，一边为0的情形，再用数轴标根法写出不等式的解集。
4、分式不等式：通过移项、通分变为（或≤0）的形式
f x gx
来自百度文库

0
f g
x x

0（或≤0）

f
xgx 0或
gx 0

0
; http://www.etkxpx.com 哈利魔法科学；
为君失时，贼弟佞臣将作乱矣。后八日大雨雪，阴见间隙而胜阳，篡杀之祸将成也。公不寤，后二年而杀。昭帝始元元年七月，大水雨，自七月至十月。成帝建始三年秋，大雨三十馀日。四年九月，大雨十馀日。《左氏传》愍公二年，晋献公使太子申生帅师，公衣之偏衣，佩之金玦。狐突叹曰 “时，事之征也。衣，身之章也。佩，衷之旗也。故敬其事，则命以始。服其身，则衣之纯。用其衷，则佩之度。今命以时卒，閟其事也。衣以尨服，远其躬也。佩以金玦，弃其衷也。服以远之，时以閟之，尨凉冬杀，金寒玦离，胡可恃也”梁馀子养曰“帅师者，受命於庙，受脤於社，有常服矣。弗获而尨，命可知也。死而不孝，不如逃之”罕夷曰“尨奇无常，金玦不复，君有心矣”后四年，申生以谗自杀。近服妖也。《左氏传》曰，郑子臧好聚鹬冠，郑文公恶之，使盗杀之，刘向以为近服妖者也。一曰，非独为子臧之身，亦文公之戒也。初，文公不礼晋文，又犯天子命而伐滑，不尊尊敬上。其后晋文伐郑，几亡国。昭帝时，昌邑王贺遣中大夫之长安，多治仄注冠，以赐大臣，又以冠奴。刘向以为近服妖也。时王贺狂悖，闻天子不豫，弋猎驰骋如故，与驺奴、宰人游居娱戏，骄嫚不敬。冠者尊服，奴者贱人，贺无故好作非常之冠，暴尊象也。以冠奴者，当自至尊坠至贱也。其后帝崩，无子，汉大臣征贺为嗣。即位，狂乱无道，缚戮谏者夏侯胜等。於是大臣白皇太后，废贺为庶人。贺为王时，又见大白狗冠方山冠而无尾，此服妖，亦犬祸也。贺以问郎中令龚遂，遂曰“此天戒，言在仄者尽冠狗也。去之则存，不去则亡矣”贺既废数年，宣帝封之为列侯，复有罪，死不得置后，又犬祸无尾之效也。京房《易传》曰“行不顺，厥咎人奴冠，天下乱，辟无適巠，妾子拜”又曰“君不正，臣欲篡，厥妖狗冠出朝门”成帝鸿嘉、永始之间，好为微行出游，选从期门郎有材力者，及私奴客，多至十馀，少五六人，皆白衣袒帻，带持刀剑。或乘小车，御者在茵上，或皆骑，出入市里郊野，远至旁县。时，大臣车骑将军王音及刘同等数以切谏。谷永曰“《易》称得臣无家，言王者臣天下，无私家也。今陛下弃万乘之至贵，乐家人之贱事。厌高美之尊称，好匹夫之卑字。崇聚票轻无谊之人，以为私客。置私田於民间，畜私奴车马於北宫。数去南面之尊，离深宫之固，挺身独与小人晨夜相随，乌集醉饱吏民之家，乱服共坐，混肴亡别，闵勉遁乐，昼夜在路。典门户奉宿卫之臣执干戈守空宫，公卿百寮不知陛下所在，积数年矣。昔虢公为无道，有神降曰赐尔土田，言将以庶人受土田也。诸侯梦得土田，为失国祥，而况王者畜私田财物，为庶人之事乎”《左氏传》曰，周景王时大夫宾起见雄鸡自断其尾。刘向以为近鸡祸也。是时王有爱子子晁，王与宾起阴谋欲立之。田於北山，将因兵众杀適子之党，未及而崩。三子争国，王室大乱。其后，宾起诛死，子晁奔楚而败。京房《易传》曰“有始无终，厥妖雄鸡自啮断其尾”宣帝黄龙元年，未央殿辂軨中雌鸡化为雄，毛衣变化而不鸣，不将，无距。元帝初元中，丞相府史家雌鸡伏子，渐化为雄，冠距鸣将。永光中，有献雄鸡生角者。京房《易传》曰“鸡知时，知时者当死”房以为己知时，恐当之。刘向以为房失鸡占。鸡者，小畜，主司时，起居人，小臣执事为政之象也。言小臣将秉君威，以害正事，犹石显也。竟宁元年，石显伏辜，此其效也。一曰，石显何足以当此。昔武王伐殷，至於牧野，誓师曰“古人有言曰牝鸡无晨。牝鸡之晨，惟家之索。今殷王纣惟妇言用”繇是论之，黄龙、初元、永光鸡变，乃国家之占，妃、后象也。孝元王皇后以甘露二年生男，立为太子。妃，王禁女也。黄龙元年，宣帝崩，太子立，是为元帝。王妃将为皇后，故是岁未央殿中雌鸡为雄，明其占在正宫也。不鸣不将无距，贵始萌而尊未成也。至元帝初元元年，将立王皇后，先以为婕妤。三月癸卯制书曰“其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯，位特进”丙午，立王婕妤为皇后。明年正月，立皇后子为太子。故应是，丞相府史家雌鸡为雄，其占即丞相少史之女也。伏子者，明已有子也。冠距鸣将者，尊已成也。永光二年，阳平顷侯禁薨，子凤嗣侯，为侍中卫尉。元帝崩，皇太子立，是为成帝。尊皇后为皇太后，以后弟凤为大司马、大将军，领尚书事，上委政，无所与。王氏之权自凤起，故於凤始受爵位时，雄鸡有角，明视作威颛君害上危国者，从此人始也。其后群弟世权，以至於莽，遂篡天下。即位五年，王太后乃崩，此其效也。京房《易传》曰“贤者居明夷之世，知时而伤，或众在位，厥妖鸡生角。鸡生角，时主独”又曰“妇人颛政，国不静。牝鸡雄鸣，主不荣。故房以为己亦在占中矣。成公七年“正月，鼷鼠食郊牛角。改卜牛，又食其角”刘向以为，近青祥，亦牛祸也，不敬而傋霿之所致也。昔周公制礼乐，成周道，故成王命鲁郊祀天地，以尊周公。至成公时，三家始颛政，鲁将从此衰。天愍周公之德，痛其将有败亡之祸，故於郊祭而见戒云。鼠，小虫，性盗窃。鼷，又其小者也。牛，大畜，祭天尊物也。角，兵象，在上，君威也。小小鼷鼠，食至尊之牛角，象季氏乃陪臣盗窃之人，将执国命以伤君威而害周公之祀也。改卜牛，鼷鼠又食其角，天重语之也。成公怠慢昏乱，遂君臣更执於晋。至於襄公，晋为湨梁之会，天下大夫皆夺君政。其后三家逐昭公，卒死於外，几绝周公之祀。董仲舒以为，鼷鼠食郊牛，皆养牲不谨也。京房《易传》曰“祭天不慎，厥妖鼷鼠啮郊牛角”定公十五年“正月，鼷鼠食郊牛，牛死”。刘向以为，定公知季氏逐昭公，罪恶如彼，亲用孔子为夹谷之会，齐人俫归郓、讙、龟阴之田，圣德如此，反用季桓子，淫於女乐，而退孔子，无道甚矣。《诗》曰“人而亡仪，不死何为”是岁五月，定公薨，牛死之应也。京房《易传》曰“子不子，鼠食其郊牛”哀公元年“正月，鼷鼠食郊牛”。刘向以为，天意汲汲於用圣人，逐三家，故复见戒也。哀公年少，不亲见昭公之事，故见败亡之异。已而哀不寤，身奔於粤，此其效也。昭帝元凤元年九月，燕有黄鼠衔其尾舞王宫端门中，王往视之，鼠舞如故。王使吏以酒脯祠，鼠舞不休，一日一夜死。近黄祥，时燕剌王旦谋反将死之象也。其月，发觉伏辜。京房《易传》曰“诛不原情，厥妖鼠舞门”成帝建始四年九月，长安城南有鼠衔黄蒿、柏叶，上民冢柏及榆树上为巢，桐柏尤多。巢中无子，皆有干鼠矢数十。时议臣以为恐有水灾。鼠，盗窃小虫，夜出昼匿。今昼去穴而登木，象贱人将居显贵之位也。桐柏，卫思后园所在也。其后，赵皇后自微贱登至尊，与卫后同类。赵后终无子而为害。明年，有鸢焚巢，杀子之异也。天象仍见，甚可畏也。一曰，皆王莽窃位之象云。京房《易传》曰“臣私禄罔辟，厥妖鼠巢”文公十三年，“大室屋坏”。近金沴木，木动也。先是，冬，釐公薨，十六月乃作主。后六月，又吉禘於太庙而致釐公，《春秋》讥之。经曰“大事於太庙，跻釐公”《左氏》说曰：太庙，周公之庙，飨有礼义者也。祀，国之大事也。恶其乱国之大事於太庙，胡言大事也。跻，登也，登釐公於愍公上，逆祀也。釐虽愍之庶兄，尝为愍臣，臣子一例，不得在愍上，又未三年而吉禘，前后乱贤父圣祖之大礼，内为貌不恭而狂，外为言不从而僭。故是岁自十二月不雨，至於秋七月。后年，若是者三，而太室屋坏矣。前堂曰太庙，中央曰太室。屋，其上重层尊高者也，象鲁自是陵夷，将堕周公之祀也。《谷梁》、《公羊经》曰，世室，鲁公伯禽之庙也。周公称太庙，鲁公称世室。大事者，祫祭也。跻釐公者，先祢后祖也。景帝三年十二月，吴二城门自倾，大船自覆。刘向以为，近金沴木，木动也。先是，吴大王濞以太子死於汉，称疾不朝，阴与楚王戊谋为逆乱。城犹国也，其一门名曰楚门，一门曰鱼门。吴地以船为家，以鱼为食。天戒若曰，与楚所谋，倾国覆家。吴王不寤，正月，与楚俱起兵，身死国亡。京房《易传》曰“上下咸誖，厥妖城门坏”宣帝时，大司马霍禹所居第门自坏。时，禹内不顺，外不敬，见戒不改，卒受灭亡之诛。哀帝时，大司马董贤第门自坏。时，贤以私爱居大位，赏赐无度，骄嫚不敬，大失臣道，见戒不改。后贤夫妻自杀，家徙合浦。传曰“言之不从，是谓不艾，厥咎僭，厥罚恒阳，厥极忧。时则有诗妖，时则有介虫之孽，时则有犬祸。时则有口舌之痾，时则有白眚白祥。惟木沴金”“言之不从”，从，顺也。“是谓不乂”，乂，治也。孔子曰“君子居其室，出其言不善，则千里之外违之，况其迩者乎”《诗》云“如蜩如螗，如沸如羹”言上号令不顺民心，虚哗愦乱，则不能治海内，失在过差，故其咎僭，僭，差也。刑罚妄加，群阴不附，则阳气胜，故其罚常阳也。旱伤百谷，则有寇难，上下俱忧，故其极忧也。君炕阳而暴虐，臣畏刑而柑口，则怨谤之气发於歌谣，故有诗妖。介虫孽者，谓小虫有甲飞扬之类，阳气所生也，於《春秋》为螽，今谓之蝗，皆其类也。於《易》，“兑”为口，犬以吠守，而不可信，言气毁故有犬祸。一曰，旱岁犬多狂死及为怪，亦是也。及人，则多病口喉咳者，故有口舌痾。金色白，故有白眚白祥。凡言伤者，病金气。金气病，则木沴之。其极忧者，顺之，其福曰康宁。刘歆言传曰时有毛虫之孽，说以为於天文西方参为虎星，故为毛虫。史记周单襄公与晋锜、郤犨、郤至、齐国佐语，告鲁成公曰“晋将有乱，三郤其当之乎。夫郤氏，晋之宠人也，三卿而五大夫，可以戒惧矣。高位实疾颠，厚味实腊毒。今郤伯之语犯，叔迂，季伐。犯则陵人，迂则诬人，伐则掩人。有是宠也，而益之以三怨，其谁能忍之。虽齐国之亦将与焉。立於淫乱之国，而好尽言以招人过，怨之本也。唯善人能受尽言，齐其有乎”十七年，晋杀三郤。十八年，齐杀国佐。凡此属，皆言不从之咎云。晋穆侯以条之役生太子，名之曰仇。其弟以千畮之战生，名之曰成师。师服曰“异哉，君之名子也。夫名以制谊，谊以出礼，礼以体政，政以正民，是以政成而民听。易则生乱。嘉耦曰妃，怨耦曰仇，古之命也。今君名太子曰仇，弟曰成师，始兆乱矣，兄其替乎”及仇嗣立，是为文侯。文侯卒，子昭侯立，封成师於曲沃，号桓叔。后晋人杀昭侯而纳桓叔，不克。复立昭侯子孝侯，桓权子严伯杀之。晋人立其弟鄂侯。鄂侯生哀侯，严伯子武公复杀哀侯及其弟，灭之，而代有晋国。宣公六年，郑公子曼满与王子伯廖语，欲为卿。伯廖告人曰“无德而贪，其在《周易》丰之离，弗过之矣”间一岁，郑人杀之。襄公二十九年，齐高子容与宋司徒见晋知伯，汝齐相礼。宾出，汝齐语知伯曰“二子皆将不免。子容专，司徒侈，皆亡家之主也。专则速及，侈将以其力敝，专则人实敝之，将及矣”九月，高子出奔燕。襄公三十一年正月，鲁穆叔会晋归，告孟孝伯曰“赵孟将死矣。其语偷，不似民主。且年未盈五十，而谆谆焉如八九十者，弗能久矣。若赵孟死，为政者其韩子乎。吾子盍与季孙言之。可以树善，君子也”孝伯曰“民生几何，谁能毋偷。朝不及夕，将焉用树”穆叔告人曰“孟孙将死矣。吾语诸赵孟之偷也，而又甚焉”九月，孟孝伯卒。昭公元年，周使刘定公劳晋赵孟，因曰“子弁冕以临诸侯，盍亦远绩禹功，而大庇民乎”对曰“老夫罪戾是惧，焉能恤远。吾侪偷食，朝不谋夕，何其长也”齐子归，以语王曰“谚所谓老将和而耄及之者，其赵孟之谓乎。为晋王卿以主诸侯，而侪於隶人，朝不谋夕，弃神人矣。神怒民畔，何以能久。赵孟不复年矣”是岁，秦景公弟后子奔晋，赵孟问“秦君如何”对曰“无道”赵孟曰“亡乎”对曰“何为。一世无道，国未艾也。国於天地，有与立焉。不数世淫，弗能敝也”赵孟曰“夭乎” 对曰“有焉”赵孟曰“其几何”对曰“鍼闻国无道而年谷和孰，天赞之也，鲜不五稔”赵孟视荫，曰“朝夕不相及，谁能待五”后子出而告人曰“赵孟将死矣。主民玩岁而惕日，其与几何”冬，赵孟卒。昭五年，秦景公卒。昭公元年，楚公子围会盟，设服离卫。鲁叔孙穆子曰“楚公子美矣君哉” 伯州犁曰“此行也，辞也假之寡君”郑行人子羽曰“假不反矣”伯州犁曰“子姑忧予子晢之欲背诞也”子羽曰“假而不反，子其无忧乎”齐国子曰“吾代二子闵矣”陈公子招曰“不忧何成。二子乐矣”卫齐子曰“苟或知之，虽忧不害”退会，子羽告人曰“齐、卫、陈大夫其不免乎。国子代人忧，子招乐忧，齐子虽忧费害。夫弗及而忧，与可忧而乐，与忧而弗害，皆取忧之道也。《太誓》曰：民之所欲，天必从之。三大夫兆忧矣，能无至乎。言以知物，其是之谓矣”昭公十五年，晋籍谈如周葬穆后。既除丧而燕，王曰“诸侯皆有以填抚王室，晋独无有，何也”籍谈对曰“诸侯之封也，皆受明器於王室，故能荐彝器。晋居深山，戎翟之与邻，拜戎不暇，其何以献器”王曰“叔氏其忘诸乎。叔父唐叔，成王之母弟，其反亡分乎。昔而高祖司晋之典籍，以为大正，故曰籍氏。女，司典之后也，何故忘之”籍谈不能对。宾出，王曰“籍父其无后乎。数典而忘其祖”籍谈归，以语叔向。叔向曰“王其不终乎。吾闻所乐必卒焉。今王乐忧，若卒以忧，不可谓终。王一岁而有三年之丧二焉，於是乎以丧宾燕，又求彝器，乐忧甚矣。三年之丧，虽贵遂服，礼也。王虽弗遂，燕乐已早。礼，王之大经也。一动而失二礼，无大经矣。

高考数学中的方程不等式解法总结

高考数学中的方程不等式解法总结高考数学往往是让许多中学生感到头疼的难题，其难点之一便

是方程和不等式。方程和不等式是数学中最基本的概念，也是数

学中最常用的两种方法之一。因为它们在数学中的应用非常广泛，所以高考数学中方程和不等式的考查也非常重要。本文将对高考

数学中的方程不等式解法进行总结。

一、方程解法

1. 分离变量法

分离变量法是一种较为基础的方程求解方法，该方法只适用于

对于有一些特殊形式的方程.

例题：求解方程 $y'= \frac{2x}{y}$

解析：将方程变形为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$ ，两边同

时乘以 $dx$ ，得到 $ydy = \frac{1}{2}xdx$，进行积分，得到

$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{4}x^2 + C$ 。再带入初始条件即可求出

常数 $C$ .

2. 思维转换法

这种方法适用于使用较为复杂的方程，通过将难解的方程变为可以求解的形式.

例题：求解方程 $\sin x = x^2-2x$

解析：利用思维转换法，左右两边同时加上 $1-x$，化简为$\sin x + 1 - x = x^2-x+1$，然后再将左右两边取平方，得到 $(\sin x+1-x)^2 = (x^2-x+1)^2 $。经过化简，我们可以得到一个较为容易求解的二次方程。

3. 因式分解法

针对某些特定形式的方程，我们可以使用因式分解的方法解决.

例题：求解方程 $x^2+(a+b)x+ab=0$，其中 $a,b \in \rm{R.}$

解析：将该二次方程进行因式分解，得到 $(x+a)(x+b)=0$，解

高考不等式题型及解题方法

不等式作为数学中的一种重要的数学概念，它在高考数学中也占有重要的地位。在高考中，关于不等式的考点主要有以下几个方面：

1. 不等式的基本性质：包括不等式的传递性、反对称性、加减乘除不等式两端的数等等。

2. 不等式的解法：包括一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法等等。

3. 不等式的应用：包括利用不等式求最值、证明不等式等等。

在高考中，关于不等式的考点是非常多的，而其中涉及到的不等式类型也是非常多的，下面我们就来了解一下高考中常见的不等式类型及其解法。

一、一元一次不等式

一元一次不等式是指一个未知数的一次不等式，它的一般形式为

ax+b>0或ax+b<0。解一元一次不等式时，首先需要将未知数的系数

和常数项分别移项，然后根据不等式符号判断解的范围。

例如：解不等式2x-3>1。

解：将不等式中的常数项移项得：2x>4，再将未知数的系数2移项得：x>2。

所以，不等式2x-3>1的解集为{x|x>2}。

二、一元二次不等式

一元二次不等式是指一个未知数的二次不等式，它的一般形式为

ax+bx+c>0或ax+bx+c<0。解一元二次不等式时，可以利用函数图像、配方法、求根公式等方法进行求解。

例如：解不等式x+2x-3>0。

解：首先求出x+2x-3=0的两个根：x1=-3,x2=1。

然后将不等式方程对应的二次函数的图像画出来，根据函数图像的上下关系，可以判断出不等式的解集为(-∞,-3)U(1,+∞)。

三、绝对值不等式

绝对值不等式是指一个未知数与定值或其他未知数之间的关系，它的一般形式为|ax+b|c。解绝对值不等式时，一般需要进

数学高考不等式知识点归纳

数学是高考中不可或缺的一门科目，而数学的不等式是其中一个

重要的知识点。在高考中，会涉及到各种类型的不等式问题，考生需

要对不等式的性质和解法有深刻的理解。下面我将对数学高考中常见

的不等式知识点进行归纳整理。

一、基本不等式

基本不等式是解决不等式问题的基础，它是数学推理的起点。基

本不等式有两个方面的含义：其一是一个数平方一定大于等于零，即

对任意实数x，x²≥0，即x²≥0；其二是有理数的平方的大小关系，即对任意实数x和y，如果x>y，则x²>y²。

二、一元一次不等式

一元一次不等式是高考中最简单、最常见的不等式类型。对于一

元一次不等式，考生需要掌握解法的基本思路，如通过移项、乘除法

等基本运算，确定不等式的解集。

三、一元二次不等式

一元二次不等式是高考中较为复杂的不等式类型。对于一元二次

不等式，考生需要将其转化为二次函数的解析表达式，然后通过解二

次方程来求解。在解决一元二次不等式问题时，应注意借助二次函数

的图像进行推理，从而获得正确的解集。

四、有理不等式

有理不等式是由有理数构成的不等式。对于有理不等式，考生需

要掌握解法的一般步骤，如将不等式分母消去、确定分界点、绘制数

轴图、判断各个区间的正负性等。

五、绝对值不等式

绝对值不等式是高考中常见的不等式类型，而且解法相对简单。

对于绝对值不等式，考生需要掌握将其转化为两个简单的不等式，并

分别求解的方法。

六、复合不等式

复合不等式由多个不等式组合而成，对于复合不等式，考生需要

掌握解法的一般步骤，如将多个不等式合并、确定解集的交集或并集等。在解复合不等式问题时，需要特别注意各个不等式的对应关系。

高考数学中的解不等式题技巧

高考数学中的解不等式题技巧高中数学中的解不等式是一个常见、重要而又复杂的话题，这也是每年高考必考的内容之一。为了在高考中拿到更高的数学成绩，解不等式题的优秀技巧和方法就是必不可少的。本文将为大家详细介绍高考数学中的解不等式题技巧。

一、确定不等式类型

解不等式首先要确定不等式的类型，例如一次不等式、二次不等式以及一次不等式与二次不等式混合形式。不同类型的不等式可能需要不同的解题方法和工具，所以正确地区分不同类型的不等式是解题的第一要素。

二、移项变号

不等式中的每项都可以加上或减去相同的数，也可以乘以或除以相同的数，但是要注意判断是不是乘以负数。在移项变号的过程中，必须保证不等式的方向不变，因为在不等式两侧同时加上一个正数，不等式转化成一个更大的不等式，而在不等式两侧同时加上一个负数，不等式转化成一个更小的不等式。

三、化简

如果一个不等式的系数较复杂或有分数，可以通过合并同类项、约分、通分等等化简的方式，使其变得更简单明了，从而更方便

地应用解不等式的技巧。

四、双边平方

在处理二次不等式时，我们可以使用“双边平方”的方式将其化

简成一次不等式，并继续应用一次不等式的解题方法。不过，需

要注意的是，双边平方的过程会使原不等式一些根号项的变化，

并且有时会引入不合法解。因此，在解二次不等式时，需要先判

断根号里面的内容的正负，再进行双边平方，确定解的范围，并

得出正确的解。

五、裂项

在解不等式时，有时我们发现一个不等式的系数和项数都很复杂，难以应用一般的解题方法，这时候可以尝试使用“裂项”的方

法，将不等式分解成几个部分，然后分别处理每个部分，最后得到整个不等式的解。裂项方法的使用需要观察不等式的因式分解式，找到化简的方法，并找出合理的间隔点以及分段条件。

高考数学不等式解题方法技巧

不等式应试技巧总结

1不等式的性质：

（1 ）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 a -c >b -d ）,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘

，但不能相除；异向不等式可以相除

，但不能相乘：若

a b

a b 0,c d 0 ,则 ac bd （右 a b 0,0 ：： c ： d ,贝U

）；

C d

（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a b ∙ O ,则a n ■ b n 或：a ■ n

b ；（4）若ab 0 , a b , 1 1 1 1 则；若 ab ：： 0 , a b ,则 a b a b

【例】（1）对于实数a,b,c 中，给出下列命题：①若a b,则ac 2 bc 2 ；②若ac 2 bc 2

,则a b ；

2 2

1 1 b a ③ 若 a ：： b ：： 0,则 a ab b ； ④ 若 a ：：： b ：：： 0,则

；

⑤ 若 a ：：：

b ：：： 0,则

a b

1 1

⑥若a cb vθ,则a > b ;⑦若c >a >b >0,则 ------- >——；⑧若a >b,—> —,贝U a>O,b cθ。其中正确的

c-a c-b a b

命题是 ______ （答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知一1兰x + y 兰1 , 1兰x-yW3 ,贝U 3x — y 的取值范围是 __ （答：1兰3x — y 兰7 ）；

（ I >

（3）已知a>bnc ,且a+b+c=O,则—的取值范围是 ________________ （答： —2_丄Ib a I ' 2 丿

高考数学不等式解题方法技巧

不等式应试技巧总结

1、不等式的性质：

1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>,则a c b d +>+若,a b c d ><,则a c b d ->-,但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除；异向不等式可以相

除,但不能相乘：若0,0a b c d >>>>,则ac bd >若0,0a b c d >><<,则a b c

>； 3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>,则n n a b >或

>4若0ab >,a b >,则11a b <；若0ab <,a b >,则11a b

>; 例1对于实数c b a ,,中,给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；

②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b

a b a 11,0<<<则若；⑤b

a a

b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b

c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b >>若,则0,0a b ><;其中正确的命题是______答：②③⑥⑦⑧；

高考数学中的不等式求解方法

高考数学中的不等式求解方法数学中的不等式是我们学习的一个重要知识点，它不仅在我们

的学习中经常出现，在日常生活中也有着广泛的应用。高考数学

中的不等式求解方法更是需要我们深入研究的一个方向。在这篇

文章中，我将向大家介绍几种高考数学中常用的不等式求解方法，希望能帮助大家在数学高考中取得好成绩。

一、一次不等式的求解方法

一次不等式是我们学习中最基础的不等式，通式为ax+b>0。它的求解方法十分简单，只需要把这个不等式看成一个一元一次方

程即可。将b移到等式的另一边，然后用x将a除掉即可得到

x>b/a。这个结果就是不等式的根。如果不等式的系数a小于零，

则根的符号需要取反。

二、二次不等式的求解方法

二次不等式的求解方法则要复杂一些。它的方程应该长这样：ax²+bx+c>0。这个不等式可以通过方程的根来求解。如果我们把

这个不等式看成一个一元二次方程，那么它的解就是x1和x2的值。让我们来看一个例子。

假设我们有一个二次不等式5x²-5x+1>0。我们需要求的是这个不等式的根。

根据二次函数的求根公式，我们可以得出：

Δ=b²-4ac=25-20=5

x1=(-b+√Δ)/2a=（5+√5）/10

x2=(-b-√Δ)/2a=（5-√5）/10

因为不等式中的系数是正数，我们只需要关注其中一个根x1。

所以，我们得到了这个不等式的根，x>x1。这就是这个不等式的解。

三、分式不等式的求解方法

分式不等式是高考数学中比较复杂的一个不等式形式，它的形式可以写成f(x)/g(x)>0。其中，f(x)和g(x)都是多项式函数。它的求解方法采用分段法进行。具体的步骤如下：

高考数学知识高中数学讲解不等式及其解法

y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
有两个相异实根x1,x2(x1 <x2)
有两个相等实根x1=x2=- 没有
b
实根
2a
{x|x<x1或x>x2}
x x≠- b
R
2a
ax2+bx+c<0(a>0)的解 {x|x1<x<x2}
⌀
⌀
≥(x2+3x-2)max,∵y=x2+3x-2=
x
3 2
2
-
17 4
(-3≤x≤0),∴当x=0或x=-3时,y=x2+
3x-2(-3≤x≤0)取得最大值-2,即-m≥-2,∴m≤2;当x>0时,f(x)≤|x|-1恒成立
可化为-x2+2(x-m)-1≤x-1恒成立,即-2m≤(x2-x)min,∵y=x2-x=
注意可逆同向
可逆 c的符号可逆同向
同向同正可乘性可乘方性可开方性
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
a>b>0,n∈N*⇒an>bn a>b>0⇒ n a> n b(n∈N,n≥2)

八种方法解决高中数学不等式问题

下面用八种方法解决高中数学常见的不等式问题：例题：224x y ，求34x y 的最大值.

【解法一】柯西不等式

先备知识：柯西不等式（二维下的）

解：3,4,,a b c x d y ，由柯西不等式得：

222223434x y x y 所以：3410x y ，当且仅当34x y ，即68,55

x y 时，取得最大值10.

【总结】柯西不等式常用，建议理解记忆。

【解法二】线性规划

解：令34x y t ，则344

t y x （将t 看作是直线的截距，转化为求直线截距的范围） ,x y 满足直线方程344

t y x ，也满足方程224x y ，因此：

显然，由图像得： 2.5104

t t .

【总结】数形结合典型做法，但是线性规划新高考不考。建议从数形结合角度理解。

【解法三】判别式法

解：令34x y t ，则344

t y x ，代入方程：224x y ，得： 2

23444t x x ，整理，得：

22534016816

t x tx ………………（*）一元二次方程（*）有解，则：

2232544081616t t

210010t t . 【总结】常用方法之一，解决“条件极值”问题的常用手段。

【解法四】三角换元

4x y 22144x y ，不妨令：cos ,sin 22x y x x . 则：

34346cos 8sin 10cos sin 10sin 1055x y x x x x x

，（3tan 4 ）. 【总结】三角换元、参数法建议学有余力的同学适当了解。

【解法五】对偶式

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