平面向量的几何意义

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平面向量的内积与外积的几何意义

平面向量的内积与外积的几何意义平面向量是二维几何中常见的概念，它们不仅可以进行加减乘除等基本运算，还有很多与几何意义相关的应用。其中，内积和外积是平面向量较为重要的运算，它们在几何上具有独特的意义。本文将详细探讨平面向量的内积和外积，并解释它们在几何中的作用。

一、内积

内积是平面向量运算中的一种重要形式，也称为点积或数量积。给定两个向量a和b，它们的内积表示为a·b。内积具体的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。例如，对于二维向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的内积为：

a·b = a1 * b1 + a2 * b2

内积具有以下几何意义：

1. 投影：内积可以用来计算向量在另一个向量上的投影长度。设向量a表示一条线段，而向量b表示一条方向，那么a·b的结果就是一个长度，表示a在b上的投影长度。

2. 角度：内积还可以用来计算两个向量之间的夹角。设两个非零向量a和b，它们的夹角θ满足以下关系：

cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)

这个公式可以用来判断两个向量是否垂直或平行。

3. 正交：内积为0的向量称为正交向量，它们之间的夹角是90度。正交向量在几何中具有重要的应用，例如，平面直角坐标系中的x轴

和y轴就是正交的。

二、外积

外积是平面向量运算中的另一种形式，也称为叉积或向量积。给定

两个向量a和b，它们的外积表示为a×b。外积具体的计算方法是使用

行列式的形式来计算，结果是一个向量。例如，对于二维向量a=(a1,

a2)和b=(b1, b2)，它们的外积为：

平面向量的叉乘与几何意义

平面向量的叉乘与几何意义平面向量的叉乘是向量运算中的一种重要操作，它在几何学中具有重要的几何意义。本文将探讨平面向量的叉乘的几何意义，并介绍它在几何学中的应用。

一、平面向量的叉乘的定义及计算方法

设给定的平面向量为A = (a1, a2)和B = (b1, b2)，则A与B的叉乘定义为：

A ×

B = a1 * b2 - a2 * b1

计算过程如下：

1. 分别取A向量和B向量的坐标值，分别记为a1, a2和b1, b2。

2. 将a1乘以b2得到一个新的向量分量，将a2乘以b1得到另一个新的向量分量。

3. 将这两个新的向量分量相减即可得到A与B的叉乘。

二、平面向量的叉乘的几何意义

平面向量的叉乘结果是一个新的向量，该向量具有以下几何意义：

1. 垂直性质：叉乘结果向量垂直于原始向量A和B所在的平面。即向量A × B与A、B共面垂直。

例如：设A = (2, 0)和B = (0, 3)，则A × B = (0, 0, 6)。可以看出，该结果向量(0, 0, 6)与A、B所在的平面垂直。

2. 方向性质：平面向量的叉乘结果向量的方向由右手法则确定。即将右手的拇指指向A向量的方向，食指指向B向量的方向，剩余三个手指的方向即为A × B的方向。

例如：设A = (2, 0)和B = (0, 3)，则A × B = (0, 0, 6)。右手的拇指指向正X轴的方向，食指指向正Y轴的方向，那么A × B的方向为正Z轴的方向。

3. 长度性质：平面向量的叉乘结果向量的长度等于原始向量A和B 所围成的平行四边形的面积的两倍。

平面向量几何意义应用

二、探索平行四边形法则和三角形法则下常见向量式及其几何意义例 2：若两个非零向量 a, b 满足 a b a b 2 a ，则向量 a b 与 a b 的夹角是（ C ）
（A） 6
规律：
（B） 3
2 （C） 3
5 （D） 6
b a-b a+b a
a b wk.baidu.com b ab b a b b
2 2 2
4
b
a-b a+b a
三、探索平面向量与圆的关系及应用
1 例 3：设向量 a、 b、 c 满足| a |=| b |=1, a b = ， a c, b c = 600 ， 2
则 c 的最大值等于（ A） (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1
练习 3.（2010 浙江理 16）已知平面向量 α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且 α 与 β－α 的夹角为 120° ，则|α|的取值范围是________．
学习目标
• 1. 熟练向量的数量积、夹角、模长的求法 • 2.理解常见向量式与平行四边形、三角形、圆的等价关系。（重点） • 3.能利用常见向量式构形解决求最值、不等式、判断三角形形状等问题。（重点、难点） • 4.学会用数形结合的思想解决平面向量问题。
加法三角形法则加法平行四边形法则
减法三角形法则

平面向量概念

其中正确命题是_①___④__⑤__⑥___(填命题的序号)．
2．(2014 浙江)记 max{x，y}＝xy，，xx<≥yy，，min{x， y}＝yx，，xx≥<yy，，设 a，b 为平面向量，则( D )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
以移到同一条直线上．
3.向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|；当 λ>0 时，λa 与 a 的方向__相___同_____；当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0. (2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩短．
【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，
可知 min|a＋b|，|a－b|与 min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，max{|a＋b|，|a－ b|}与|a|，|b|所构成的三角形中，max{|a＋b|，|a－b|}所对的角大于或等于 90°，故 max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2 ＋|b|2，故选 D.

平面向量系列之几何意义法

平面向量系列

几何意义法解题

一、平面向量的几何意义

✓ 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解

题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。

✓ 首指向尾

首尾相连，b a ⇒+ ✓ 指向被减向量

共起点，b a ⇒-

✓ b

a b t a b t a ⊥⇒-=+||||

✓ 即矩形

形对角线相等的平行四边，b a b a ⇒-=+||||

✓

即菱形

四边形对角线互相垂直的平行，b a b a ⇒=-+0))((

二、例题精析

例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知b a ,是非零向量，则下列条件中b a ,夹角等于0

120的是（） A 、||||b a b a -=+ B 、 |||||a |b a b -== C 、|||||a |b a b +== D 、 ||2||||a b a b a =-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为0

90；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为0

60；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为0

60的补角，即为0

120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为0

90。故选C 。

(整理版)第七讲平面向量的概念与几何意义

第七讲平面向量的概念与几何意义

一、知识回忆

知识点1：向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量

知识点2：向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a ，b ； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；

知识点3：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 知识点4： ①长度为0的向量叫零向量，记作0 ，0 的方向是任意的.

②长度为1个长度的向量，叫向量.

知识点5：平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.

知识点6：相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

〔1〕向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；〔2〕零向量与零向量相等；

〔3〕两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．

. 知识点7：共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，任一组平行向量都可移到同一直线上

〔与有向线段的起点无．．．．．．．．．关〕．．

.说明：〔1〕平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；〔2〕共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

二、典型例题

例 1、

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，那么ａ与c 也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

ａ与ｂ不共线，那么ａ与ｂ都是非零向量

例 2、判断：〔1〕平行向量是否一定方向相同？

〔2〕不相等的向量是否一定不平行？

〔3〕与零向量相等的向量必定是什么向量？

〔4〕与任意向量都平行的向量是什么向量？

〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？

平面向量的减法及几何意义

练习 (1)AB CB; (2)AB BC DA DC; (3)MN MP PQ.
解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC;
(2)AB+BC+DA-DC=AB+BC+DA+CD=
AB+BC+CD+DA= 0.
(3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ) =MN-MQ =MN+QM =QM+MN =QN.
练习
• 1化简： (ABCD) (AC BD)
原式 AB CD AC BD AB DC CA BD ( AB BD) (DC CA) AD DA 0
例2：如下图,已知向量a, b, c, d,求作向量
a b, c d .
b
a
c d
BC
Ab
a
c dD
O
则BA OA OB a b
D
C
b
c
O
A
B
a
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习：如图在正方形ABCD中，已知AB a, BC b,OD c,求表示a b c的向量。
D
C
O
A
B
例4:如图, ABCD中, AB = a, AD = b,

平面向量的向量积的几何意义

平面向量的向量积的几何意义平面向量的向量积的几何意义主要体现在向量积的大小、方向和几

何性质等方面。向量积又称叉乘，是矢量积，是一种两个矢量叉乘获

得第三个矢量的乘积运算。在空间解析几何中，向量积得到的是一个

垂直于原两个向量组成的平面的第三个向量。向量积在几何上有许多

应用，比如计算平行四边形的面积、计算三角形的面积等。

一、向量积的大小

首先来看向量积的大小。两个向量a和b的向量积a×b的大小等于

a乘以b的模长和夹角θ的正弦值的乘积。即|a×b| = |a| |b|sinθ。这就是

向量积大小的计算公式。这个公式的含义是，向量积的大小与原来两

个向量的模长和夹角有关。如果a和b平行，则sinθ=0，向量积的大小为0，说明两个平行向量的向量积是一个零向量。

二、向量积的方向

其次是向量积的方向。向量积a×b的方向垂直于a和b所在的平面，并且满足右手定则。右手定则是这样的，右手握住a，让四指指向b，

竖起的大拇指所指的方向就是a×b的方向。这就是向量积的方向规律。根据右手定则可以轻松求得向量积的方向。

三、向量积的几何意义

最后是向量积的几何意义。向量积在几何中有着广泛的应用。比如，求解平行四边形的面积。设平行四边形的两条边为a和b，则平行四边

形的面积为|a×b|。又比如，求解三角形的面积。设三角形的两条边为a

和b，则三角形的面积为1/2 |a×b|。这两个应用都利用到了向量积的大小和方向的性质。

综上所述，平面向量的向量积具有重要的几何意义，可以帮助我们求解各种几何问题。通过计算向量积的大小和方向，可以方便地求解平行四边形、三角形等图形的面积，提高几何问题的解题效率。向量积是空间解析几何中一个重要的概念，有着广泛的应用价值。通过深入理解向量积的几何意义，可以更好地应用向量积解决实际问题，提高数学解题能力。

平面向量数量积的定义及几何意义

如图，我们把 bcos(acos)叫做向量
b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影，
记做：OB1bcos
平面向量数量积的定义及几何意义
【典型例题】
1.在 R t A B C 中， C90,A C ＝ 4 ，则 A B A C_______. 2.已知向量 a,b满足： |a|1,|b|2,a与 b的夹角是 60，
则 |ab|______.
【思路分析】 1.利用ABACCB且CBAC求解. 2.先求|ab|2，然后开方.
平面向量数量积的定义及几何意义
【典型例题】
【解题过程】
1.因为AB ACCB且CB AC，
故AB
AC

AC(AC
CB)

2
AC

42
16
2.
：| a
b|2

2
a

2a
线性规划知识求目标函数的最大值.
平面向量数量积的定义及几何意义
【变形训练】
【解题过程】
1（. 1） (a b )(a b ) 1 | a |2 | b |2 1 , | a |2 1，
2
2
| b | | a |2 1 2 ， 22
1
故 cos a,b a b ＝.
平面向量数量积的定义及几何意义

(完整版)平面向量重要基础知识点

平面向量重要知识点

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，向量是可以平移的，（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是

AB AB ±u u u r u u u r )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒平行向量无传递性！（因为有0r )

2.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任

一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

3、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ：当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反

4、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：

（2）平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积是0

注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）b 在a 上的投影为||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0。（4）a •b 的几何意

义：数量积•等于的模||a r 与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥⇔•=r r r r ；

②当a ，b 同向时，a •b ＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =•==r r r r r ；当a 与b 反向时，

平面向量知识点归纳

平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r

共线的单位向量是||

AB AB ±u u u r u u u r

)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向

量和任何向量平行。提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0r

)；

④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r

、

共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如

下列命题：（1）若a b =r r

，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若

AB DC =u u u r u u u r ，

则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r

。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r

平面向量的数量积的几何意义

平面向量的数量积的几何意义平面向量的数量积是向量代数中的一种运算，也被称为内积、点积

或标量积。它是两个向量之间的一种乘法运算，具有一定的几何意义。在本文中，我们将探讨平面向量的数量积的几何意义。

数学上，平面向量可以由其坐标表示为一个有序实数对或有序复数对。假设有两个平面向量a和a，它们的数量积记为a·a。数量积的定

义如下：

a·a = |a| |a| cos(a)

其中，|a|和|a|分别表示向量a和a的模，a表示向量a和a之间的夹角。

平面向量的数量积具有以下几何意义：

1. 向量的投影：数量积可以用于计算一个向量在另一个向量的投影

长度。对于向量a和a，a·a/|a|表示向量a在向量a上的投影长度。

2. 判断垂直关系：通过数量积的值可以判断两个向量是否垂直。如

果a·a=0，则向量a和a垂直。这是因为余弦函数值为0意味着夹角为90度，即两个向量垂直。

3. 判断夹角大小：根据数量积的值可以推导出夹角的大小关系。由

于a·a=|a| |a| cos(a)，当a为锐角时，余弦值为正，a·a>0；当a为钝

角时，余弦值为负，a·a<0。因此，数量积正负可以用来判断夹角的

锐钝程度。

4. 面积计算：数量积的绝对值等于平行四边形的面积。设平行四边

形的两条邻边为a和a，夹角为a，则面积为|a| |a| sin(a)。由于

a·a=|a| |a| cos(a)，可以推导得到a·a=|a| |a| sin(a)。因此，可以利

用数量积来计算平行四边形的面积。

5. 判断共线：两个向量共线的充要条件是它们的数量积比值为常数。如果a·a/|a| |a|=k，其中k为常数，则向量a和a共线。

平面向量的叉乘与几何意义

平面向量的叉乘与几何意义平面向量是在平面上具有大小和方向的量，而叉乘是一种运算，它可以将两个向量变成一个新的向量。在数学中，平面向量的叉乘被广泛地应用于几何学和物理学中，它不仅可以扩展向量的运算规则，还可以提供一些有用的几何意义。

一、叉乘的定义

叉乘的定义是两个向量的乘积得到一个新的向量，该向量的大小等于原两个向量的大小乘积与它们之间夹角的正弦值，并且垂直于这两个向量所在的平面。设有向量a和b，则叉乘的表示为a×b。

二、叉乘的计算方法

为了方便计算叉乘，我们可以使用行列式的形式来表示和计算。设a=(a1,a2)和b=(b1,b2)是平面上的两个向量，那么它们的叉乘可以用以下行列式的形式来表示：

a ×

b = | i j |

| a1 a2 |

| b1 b2 |

其中，i和j分别代表了标准正交基向量。根据行列式的计算规则，计算得出的叉乘结果为(a1*b2 - a2*b1)。

三、叉乘的几何意义

1. 叉乘的大小代表了两个向量所构成平行四边形的面积。给定向量

a和b，其叉乘结果a×b的大小为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a和b之间

的夹角。因此，叉乘的结果可以帮助我们计算平行四边形的面积。

2. 叉乘的方向垂直于构成平行四边形的两个向量所在的平面。这意

味着叉乘结果的方向与两个向量所在平面的法向量相同。由于平行四

边形能够确定一个平面，所以叉乘的结果也可以用来表示该平面的法

向量。

3. 叉乘还可以判断两个向量之间的夹角的方向。通过判断叉乘结果

的符号，我们可以得知两个向量之间是逆时针夹角还是顺时针夹角，

平面向量的定义和表示方法

平面向量是数学中一种重要的概念，它用于表示空间中的位移、力、速度等量。本文将介绍平面向量的定义和表示方法，帮助读者更好地

理解和应用平面向量。

一、平面向量的定义

平面向量是具有大小和方向的量，它与平面上的一个点或直角坐标

系中的一个有序对相对应。一般来说，平面向量用一个带箭头的字母

表示，如→AB。其中，A和B分别表示平面上的两个点，箭头表示向

量的方向。

二、平面向量的表示方法

1. 坐标表示法

平面向量可以用坐标表示法来表示。在直角坐标系中，平面上的任

意一个点可以表示为一个有序对(x, y)，而平面向量可以表示为一个有

序对的差值。假设平面上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则平面向量

→AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。

2. 分解表示法

平面向量还可以用分解表示法来表示。根据平行四边形法则，平面

向量→AB可以表示为两个非零向量的和。这两个向量可以分别与坐标

轴平行，并且它们的和等于→AB。这种表示方法常用于求解平面向量

的合成、分解、模长和方向角等问题。

3. 数量表示法

除了坐标表示法和分解表示法，平面向量还可以用数量表示法来表示。平面向量有一个重要的性质，即平面上的两个向量可以相互移动

并保持大小和方向不变。因此，我们可以将平面向量→AB平移使其起

点与原点重合，这样平面向量→AB就可以表示为一个有向线段的长度。这个长度就是平面向量的模长，用符号|→AB|表示。

三、平面向量的运算

平面向量具有加法和数乘两种运算：

1. 平面向量的加法

设有两个平面向量→A和→B，它们的加法定义为：→A + →B =

平面向量数量积的几何意义

摘要：本文着重利用几何意义理解平面向量的数量积（内积），在教材上原有的第一几何意义“投影”的基础上，创新引入数量积的第二几何意义“极化”。将泛函分析中的“极化恒等式”降至二维，从而研究天津高考数学中平面向量数量积的相关问题，具有相当的普适性。巧妙利用“数形结合”的方式，深刻理解向量的本质——“代数与几何的桥梁”。

关键词：投影；极化；几何意义；数形结合。

向量，既是高中数学的重点，也是线性代数的根基。对于这类数学核心的知识体系，天津高考自然格外重视。纵观历年天津卷高考，向量题目频出不厌，难度普遍较高。

平面向量的难点可以大致分为以下两类：第一类，平面向量基本定理相关问题；第二类，平面向量数量积相关问题。本文针对第二类

问题进行分析。

平面向量的数量积涉及题型比较广泛，主流问题有“求值”和“求最值（求取值范围）”两种。本质来说，无论其中哪一种题型，难点之所在都归于“向量夹角”的影响。

由向量数量积的定义可知，两个向量的数量积与这两个向量的夹角有着密不可分的联系。平面向量的数量积是二维平面的内积运算，它不同于一般的线性运算。线性运算可以形象地理解为一维直线上的累加作用，与此不同的，向量的数量积则是一种空间上的累积作用，所以向量夹角的变化会影响这种累积的效果，从而影响数量积的数值。

由于夹角问题的存在，使得数量积的运算复杂许多。对于“求值”问题就会产生运算繁琐的问题，而对于“求最值”问题就会受到夹角变化的影响，不容易寻找取得最值的条件。

笔者注意到：“两个向量的数量积是一个数量”，这是代数层面的理解。我们将其转化到几何层面，那么平面向量数量积的运算在几何意义上可以理解为一种“降维”的过程。其实，教材中就有现成的模型——投影。

平面向量知识点归纳

平面向量是高中数学中的一个基本概念，同时也是高中数学中比较难理解和掌握的知识点之一。下面我们将结合实例，对平面向量的定义、加减和数量积等知识点进行简明归纳。

一、平面向量的定义

平面向量又称二维向量，是具有大小和方向的有向线段，通常用字母加箭头表示（如：$\vec{a}$）。在直角坐标系中，平面向量可以表示成一个有序实数对$(a,b)$。

例如：已知点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，连接这两个点所得的有向线段$\vec{AB}$就是一个平面向量，它的坐标表示为

$\vec{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$。

二、平面向量的加减

平面向量的加减法是指将两个向量相加（或相减）所得的向量，即$\vec{a}+\vec{b}$（或$\vec{a}-\vec{b}$），其坐标分别相加（或相减）。

例如：已知向量$\vec{a}=(1,2)$和向量$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)$；$\vec{a}-\vec{b}=(1-3,2-4)=(-2,-2)$。

另外，平面向量加减法还满足以下性质：

（1）交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$；$\vec{a}-\vec{b}=-\vec{b}+\vec{a}$

（2）结合律：

$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

（3）零向量：对于任意向量$\vec{a}$，有

$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，$\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}$。其中，$\vec{0}=(0,0)$。