例谈地球表面两点之间的最短航线问题
地球表面两点间最短距离
先东南再东北
相关练习：
从甲地（70°N，80°E）到乙地（70°N， 150°E），若不考虑地形因素，最近的走法是
C
冬至日，（12月22日）凌晨4点（地方时）一架飞机从 甲地（60°N、100°W）起飞，沿最近航线匀速飞行， 8小时后抵达乙地（60°N、80°E）。据此回答各题。
一、两地之间的最短航线问题
球面上最短距离的判断
球面最短距离,是经过两点的大圆的劣弧长度。 凡是地球的大圆，其圆心必定是地心且均分地球。 赤道、经线圈、晨昏圈都是大圆。
最短距离的判断主要分三种情况： 1、两点都在赤道上 2、两点在相对经线上 3、两点既不在赤道上，也不在相对经线上
1、看所求的两点是否同位于赤道，若同位 于赤道上，赤道即为大圆，所以沿赤道向 东或向西走劣弧即可。
60
60
A到C的最短航线所沿方向是_先__向__东__北__再__向__东南 A到D的最短航线所沿方向是_先__向__西__北__再__向__西南
形式二：极地俯视图
判：
1到2地最短航线所沿 方向 先西北再西南
1到3地最短航线所沿 方向 先东北再东南
1到4地最短航线所沿 方向 先北再南
形式三：侧俯视图（能看到其中一极）
A 1、飞机出发时的行航向
A、朝北 B、朝南 2、飞机途中航向
C、朝西南 D、朝东北
D
A、一直不变
B、先朝东北后朝东南
C、先朝西北后朝西南 D、先朝北后朝南
3、这架飞机若以同样速度，沿北纬60°航行，抵达
乙地大致需要
D
A、16小时 B、12小时 C、20小时 D、24小时
谢谢收看！
制作人：株洲市一中唐文利
地球表面两点最短路线
一、球面上最短线路的确定生：球面上有两点A、B，现从A到B走最短线路，怎么走？师：走过AB的球面大圆所在圆弧。
当然走从A到B的劣弧段了。
生：什么是大圆？为什么要走大圆？师：首先我们来假想一个球，然后用刀剖开这个球，剖面应该是一个圆形。
专业述语为“横截面”。
再想一想，怎样剖才能让这个横截面最大呢？生：应该是从球的中心截过去。
师：对，过球心的横截面是最大的。
这个横截面的外圆就是大圆。
生：哦，那大圆长就是球的周长。
师：可以这样说。
不过，一般说圆的周长，不说球的周长。
地球的大圆在哪？生：赤道，经线。
师：赤道是大圆，经线呢只是大圆的一半，应该是两条相对的经线构成的经线圈才能叫大圆。
地球的大圆有多少个？生：这么说来，应该是无数个！师：对。
只要是过球心的平面与球面相交的交线都是大圆。
从A到B的最短线路就是过AB的大圆弧线的一部分。
生：如果AB都在赤道上或经线圈上，那当然就容易找了，因为它们都在同一个大圆上。
如果不在赤道上而在同一条其他纬线上呢？师：其实无论两点在何处，都要先找到过两点的大圆。
我们以下面这幅图为例加以说明：图中A和B在同一纬线上，F和B不在同一经线和纬线上，都ADBF都在同一个大圆上。
所以从图中可以看出，从A到B的最短线路是ADB，而不是ACB。
在右边图中还可以明显看出，ADB的方向发生了明显变化，先往西北到D，过D后往西南到B。
当然，过D点那一瞬为往西。
如果走ACB，则一直往西，但不是最短线路了。
生：为什么大圆就是最短线路呢？师：看看下面这个图。
图中是过a和b的两个圆。
可以明显看出，在ab两点中走大圆的圆弧近些。
圆越大，弧的曲度就越小，线路就越接近直线（因为球面上不可能有直线）。
生：就这个找大圆比较难，很抽象。
有没有更简单的办法呢？师：其实考试中命题者不会在这个地方加深问题的复杂性。
一般掌握这几点足够了：1、两点都在赤道上，晨昏线上或经线圈上，这些明显的大圆弧线可以直接作参考。
2、在同一条纬线而不在赤道上的话，北半球两点的最短线路要从北边绕过，南半球两点的线路要从南边绕过。
最短航线试题
最短航线问题是一个在地理学和交通规划中常见的问题，它涉及到确定两点之间最短的飞行或旅行路线。
这个问题通常需要考虑地球的形状、障碍物（如山脉、海洋等）、天气条件等多种因素。
下面是一个最短航线问题的例子：
1. 假设我们要从点A（经度10°W，纬度20°N）飞往点B （经度60°E，纬度50°S）。
请计算最短的航线距离。
2. 考虑地球的球面性质，以及地球上两点之间的最短距离是通过大圆弧来衡量的，即两点之间的最短距离是沿着地球表面的大圆线段来计算的。
3. 考虑到地球的经纬度坐标，我们可以使用经纬度的差值来计算两点之间的距离。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算两点之间的距离：
Distance = R × arccos(sin(lat1) × sin(lat2) + cos(lat1) × cos(lat2) × cos(lon2 - lon1))
其中，R是地球的半径（大约为6371公里），lat1和lon1是起点A的纬度和经度，lat2和lon2是终点B的纬度和经度。
根据上述公式，我们可以计算出点A和点B之间的最短航线距离。
高考专题地球上两点间的最短航线方向问题
A.从东南向西北 B.从南向北 C.先向西北再向西南 D.先向东北再向东南
实战演练
80°
M
40°
1.若某人从M点出发，依次向正东、正南、
60°
正西和正北方向分别前进110km，则其最终
C
30° A.回到M 点 C.在M 点的正东
B.在M 点的正南 D.在M 点的正西
M
分别在晨线和昏线上
C B
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断
①同一纬线上
北半球偏北
B
南半球偏南
A
C
D
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断
①同一纬线上 ②其他任意点
根据地图上的 方向判断方法
B A
很少考查
例飞机从②处沿图中箭头路线飞往①的航向
3、计算实际距离（定距离）
（1）赤道上 赤道上两点间的距离等于两点间的经度差乘以111千米。因为 赤道周长约4万千米，赤道是一纬线圈，为360°，故赤道上 经度每相差1°，距离约为40 000÷360°≈111(千米)。
（2）同一经线 地表同一条经线上两点间的距离就等于两点间的纬度差乘 111千米。因为每一条经线长约2,每一条经线呈半圆状,为 180°,故1°的距离约为20000÷180°≈111(千米)。
2.数学球的相关知识 大圆：球面上任意两点与球心所确定的平面 与球面相交所得的圆
地球上两点间的最短航线方向问题
图示圆弧是否 属于大圆？
地球上两点间的最短航线方向问题
判断图中 各点之间是否 为最短距离：
AB
CD
EF
图中甲乙两 点间的最短距 离？
两点间的最短航线方向问题
输入参数为大圆距离以及两个点 的经纬度，输出为最短航线方向 （以度数表示）。
优化算法以提高计算效率
为了提高计算效率，可以采用一些优 化策略。例如，使用近似算法来快速 估算大圆距离和航线方向，然后在误 差允许的范围内使用精确算法进行校 准。
还可以通过并行计算和分布式处理来 加速计算过程，特别是在处理大量数 据时。
两点间的最短航线方 向问题
• 问题定义 • 数学模型与理论 • 算法与解决方案 • 实例分析 • 结论与展望
目录
01
问题定义
什么是两点间的最短航线方向问题
两点间的最短航线方向问题，也称为“大圆航线问题”，是指确定地球上两点间最 短航线的方向。
在地球上，两点之间的最短距离并不是直线距离，而是沿着地球表面的大圆弧线 。因此，确定两点间最短航线方向的问题实际上是寻找经过这两点的大圆弧线。
大圆航线与非大圆航线的比较
总结词
大圆航线通常是最短的航线，但非大圆航线在某些情况下可能更短。
详细描述
大圆航线是指沿着地球大圆弧线的航线，通常是最短的航线。但在某些情况下，由于地球的曲率、地 形、障碍物等因素的影响，非大圆航线可能更短。例如，在穿越山脉或海峡时，选择绕过障碍物的航 线可能比直接的大圆航线更短。
03
算法与解决方案
计算大圆距离的算法
计算地球上两点A和B的大圆距离， 需要使用球面三角学中的Haversine 公式。该公式考虑了地球的曲率，能 够精确计算两点之间的大圆距离。
输入参数包括经度、纬度以及地球半 径，输出为两点之间的大圆距离确定 最短航线方向。这通常使用球面 三角学中的方位角公式来完成。
探讨不同纬度、不同经度地区最短航线方向的差异，为航空、航海等领域 提供更为精确的导航服务。
地理最短的航线
地球上两点间的最短航线方向问题
1.最短航线的判断依据： 数学：球面上两点间的最短距离为两点 所在大圆的劣弧。 地理：地图上的方向
2.数学球的相关知识
大圆：球面上任意两点与球心所确定的
平面与球面相交所得的圆
地球上两点间的最短航线方向问题
图示圆弧是否 属于大圆？
地球上两点间的最短航线方向问题
医学资料
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
D A
分别在晨线和昏线上C B源自地球上两点间的最短航线方向问题
2.在以上几条线上最短
航线方向的判断
③晨昏圈上 在晨线上 地图上的方 在昏线上 向判断方法
D A
分别在晨线和昏线上
极点附近方向的 判断
C B
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断
①同一纬线上
北半球偏北
B
南半球偏南
2.在以上几条线上最短
航线方向的判断
①经线圈上
A
C
同一经线上：正
D
南或正北
经度相对(经度
差为180度)：过
B
较近的极点
地球上两点间的最短航线方向问题 2.在以上几条线上最短 航线方向的判断
②赤道上
正东或正西
B
C
A
地球上两点间的最短航线方向问题
2.在以上几条线上最短
航线方向的判断
③晨昏圈上 在晨线上 地图上的方 在昏线上 向判断方法
A
C
D
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断
①同一纬线上
②其他任意点
B
根据地图上的
A
方向判断方法
地球上两点间的最短航线问题
图示圆弧是 否属于大圆?
判断图中 各点之间是 否为最短距 离: AB CD EF 图中甲乙两 点间的最短 距离?
甲 E 乙 A C B D F
判断图中 各点之间是 否为最短距 离: AB CD EF 图中甲乙两 点间的最短 距离?
甲 乙
1.具有地理意义的几个大圆: 经线圈 赤道 晨昏圈
D
B
70° ° 3.若图中A地点正当日
落,两个小时后,太阳 直射点的地理位置是 ( ) A.20°S,75°W B. 20°N,105°E C.23°26′N,165°E A 30° ° D.23°26′S,105°W
45° °
C
D
B
例2.飞机从②处沿图中箭头路线 飞往①的航向是( D )
D A
C B
2.在以上几条线上最短 航线方向的判断 ③晨昏圈上 在晨线上 地图上的方 向判断方法 在昏线上 分别在晨线和昏线 上 极点附近方向的 判断
D A
C B
3.其他任意点间最短航线方向的判断 ①同一纬线上 B 北半球偏北 南半球偏南
A C D
3.其他任意点间最短航线方向的判断 ①同一纬线上 ②其他任意点 B 根据地图上的 A 方向判断方法 很东北再向东 南
�
地球上两点间的最短航线方向问题
1.最短航线的判断依据:
– 数学:球面上两点间的最短距离为两点所在大 圆的劣弧. – 地理:地图上的方向
2.数学球的相关知识
– 大圆:球面上任意两点与球心所确定的平面与 球面相交所得的圆
在近年的高考地理试题中,考查地球 上两点间最短航线的方向问题经常出现, 由于很多学生对这类问题没有从本质上搞 清楚,又缺乏空间想象能力,只是机械地 背一些结论,造成解这类题目时经常出错.
15 1029地球上两点间的最短航线方向问题
一、地球上两点间的最短航线方向问题1.具有地理意义的几种大圆：、 、 同一纬线上任意点间最短航线方向的判断北半球偏北 ，南半球偏南例1.飞机从②处沿图中箭头路线飞往①的航向是 A.从东南向西北 B.从南向北C.先向西北 再向西南D.先向东北 再向东南1、非极昼区（轨迹与地平面有2个交点） 1、读我国某地二分二至日太阳视运动曲线图，回答有关问题： （1）图中太阳东升西落实质上是 运动的体现。
（2）据图该地的地理纬度是_________，判断依据是 _____________________________。
夏至日：日出 ，日落 ，正午在 ； 冬至日：日出 ，日落 ，正午在 ； 二分日：日出 ，日落 ，正午在(3)①②③三条表示太阳视运动的曲线中，表示冬至日的 是__，这一天该地正午太阳高度角是_ _。
(4)当该地太阳视运动曲线如图中③所示时，该地昼长约________小时 。
(5)当该地太阳视运动曲线如图②所示时，哈尔滨的昼夜长短状况是____，图为某地某日某时段内的杆影轨迹示意图，O 为立杆处，虚线为杆影，曲线为杆影端点轨迹。
据此回答1—2题。
1．①----④四个杆影中最接近日落时段的是：（ ）A.①B. ②C.③D.④ 2．图示季节下列说法正确的是：（ ） A.黑龙江河水封冻B.北极点上太阳高度逐渐增大C.北印度洋海 区海水向西流D. 夏威夷高压势力强盛逆温现象 热力环流 三圈环流 季风 突破图5是“该城市冬季近地面在不同时刻气温随高度变化过程示意图” 1. 该发电厂烟囱的设计高度应不低于A ．50米B ．75米C ． 100米D ．150米2．分布【提示注意】(1)图解低纬环流形成的方块图(以北半球为例)图1-20图7是“半球近地面风带分布示意圈”，读图回答3-4题3．图中a处的盛行风向是A．东北风B．西北风C．东南风D．西南风4．图中b处的气候特征是A．炎热干燥B．高温多雨C．温和干燥D．温和湿润5.右图为北半球大气活动中心分布示意图，读图回答(1)～(3)题。
高考专题地球上两点间的最短航线方向问题
（3）除赤道外的同一纬线上 同一纬线上两点间的距离等于两地的经度差乘以111千米， 再乘以该纬度的余弦函数。
L=2πR =40000Km r=R cosφ l=2πr =2πR cosφ
=40000 cosφ
φ
P点所在纬线上，经度相差一度，距离 约为： 40000 cosφ÷360°≈111 cosφkm
D
A
C B
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断 ①同一纬线上 B 北半球偏北 南来自球偏南A CD
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断 ①同一纬线上 ②其他任意点 根据地图上的 A 方向判断方法 很少考查
B
例飞机从②处沿图中箭头路线飞往①的航向 是( ) D A.从东南向西北 B.从南向北 C.先向西北再向西南 D.先向东北再向东南
地球上两点间的最短航线方向问题
图示圆弧是否 属于大圆？
地球上两点间的最短航线方向问题
判断图中 各点之间是否 为最短距离： AB CD EF 图中甲乙两 点间的最短距 离？
甲 E 乙 F
A C
B
D
地球上两点间的最短航线方向问题
判断图中 戊 甲 各点之间是否 为最短距离： 丙 AB 丁 乙 CD EF 图中甲乙两 点间的最短距 离？
②赤道上 正东或正西
B
C
A
地球上两点间的最短航线方向问题 2.在以上几条线上最短 航线方向的判断
③晨昏圈上 在晨线上 地图上的方 在昏线上 向判断方法 分别在晨线和昏线上
D
A
C B
地球上两点间的最短航线方向问题 2.在以上几条线上最短 航线方向的判断
③晨昏圈上 在晨线上 地图上的方 在昏线上 向判断方法 分别在晨线和昏线上
高考地理复习：地球上两点间的最短航线方向问题
航线方向的判断
③晨昏圈上 在晨线上 地图上的方 在昏线上 向判断方法
D A
分别在晨线和昏线上
极点附近方向的 判断
C B
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断
①同一纬线上
北半球偏北
B
南半球偏南
A
C
D
地球上两点间的最短航线方向问题
3.其他任意点间最短航线方向的判断
①同一纬线上 ②其他任意点
根据地图上的 方向判断方法
B A
很少考查
例1.图中ACB为晨昏线，C地点在格陵兰岛上。
1.由A到B的最短航线是
(B )
A.由A点出发沿纬线向 东到B
70° 45° C D
B.沿ACB
C.沿ADB
D.从A出发过极点再到B
2.飞行方向的变化是
_先_向__东__北__再__向_东__南___。 30°A
B D
地球上两点间的最短航线方向问题 2.在以上几条线上最短 航线方向的判断
②赤道上
正东或正西
B
C
A
地球上两点间的最短航线方向问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.在以上几条线上最短
航线方向的判断
③晨昏圈上 在晨线上 地图上的方 在昏线上 向判断方法
D A
分别在晨线和昏线上
C B
地球上两点间的最短航线方向问题
2.在以上几条线上最短
地球上两点间的最短航线方向问题
在近年的高考地理试题中，考查地球上 两点间最短航线的方向问题经常出现，由于 很多学生对这类问题没有从本质上搞清楚， 又缺乏空间想象能力，只是机械地背一些结 论，造成解这类题目时经常出错。
1.最短航线的判断依据： 数学：球面上两点间的最短距离为两点所在 大圆的劣弧。
地球表面上两点间最短距离(航线)方向的确定
地球表面上两点间最短距离（航线）方向的确定作者：***来源：《中学政史地·高中文综》2016年第03期在复习经纬网的内容时，地球表面上两点间最短航线方向的确定，是我们的拦路虎。
由于有的同学对这类问题缺乏足够的空间想象能力，只是机械地背一些结论，造成在解这类试题时经常出错。
针对有些同学空间想象能力和数学水平不太高等情况，本文旨在帮助他们全面正确认识地球表面上两点间最短航线方向的确定问题。
地球表面上两点之间的最短航线，指的是两点所在大圆的劣弧。
一、认识大圆过球面上两点的大圆就是经过这两点以地心为圆心的圆。
在地球上有三种情况大圆是确定的，如图1中的赤道、经线圈、晨昏圈。
在图2中，很显然，甲、乙、丙所在圆的圆心是地心，其所在的圆就是大圆，其他的圆都不是大圆。
二、确定劣弧大圆上两点间的最短航线或距离就是两点所在大圆的劣弧。
所谓劣弧，即两点间的弧度小于180°。
如图3中的⌒AB和⌒CD都是过大圆的劣弧，而⌒EF虽然是劣弧，但不是大圆上的劣弧。
图4中甲和乙之间的弧线，只有最上面的弧是过大圆的劣弧。
三、确定地球上两点间最短航线的方向沿着劣弧的行进方向就是最短航线的方向。
1.两点在同一经线圈上或者在赤道上（1）两点在同一经线上，向正北或向正南走，不转向。
如图5， A到B是向正北走；反之，B到A是向正南走。
（2）两点在两条经线上（经度相对，两点的经度差等于180°），过极点要转向。
如在通过北极点之前，先向正北走，过北极点后转向正南；反之，在通过南极点之前，先向正南走，过南极点后转向正北。
如图6，从A到B先向正北走，过北极点后向正南走；从B 到A是先向正北走，过北极点后向正南走。
（3）两点在赤道上，向正东走或向正西走，不转向。
如图7， A到B是向正东走；反之，B到A是向正西走。
2.两点既不在同一经线上，也不在赤道上地球上任意两点和地心必然确定一个大圆，一定存在一个纬线圈和这个大圆相切，切点即为这个大圆的纬度最高点，若大圆劣弧航线经过切点，则发生转向，转向点为切点；若大圆劣弧航线不经过切点，则不发生转向。
根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程
根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程王伟民(安徽省太和县宫集镇中心学校ꎬ安徽阜阳２３６６５２)摘㊀要:以例举的方式ꎬ分三种情况分别介绍如何根据地球表面两点的经纬度ꎬ确定两点之间的最短路程ꎬ以及最短路径长度的计算方法.关键词:地球表面ꎻ经线ꎻ纬线ꎻ最短路径ꎻ圆弧长度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－０１３１－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:王伟民(１９６４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀由于球体的表面是曲面不是平面ꎬ所以ꎬ沿地球表面运行质点的运动轨迹一定是曲线ꎬ而非直线.运用数学知识可以证明ꎬ在球面上连接任意两点的所有曲线中ꎬ过这两点及球面球心的平面与球面的交线(是一个半径等于球面半径的圆)上ꎬ这两点之间的圆弧(劣弧)的长度最短.运用这一结论ꎬ对于地球表面上给定的两点ꎬ在已知它们经度和纬度的情况下ꎬ依地球半径作为已知条件ꎬ利用数学知识可以确定两地间最短路径的长度.１同一经线上两点之间的最短路程例１㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ５０ʎＮ)㊁Ｆ(２０ʎＷꎬ４０ʎＳ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度.分析㊀依题意可知ꎬＥ㊁Ｆ两点在同一条经线上ꎬ由于经线所在圆的圆心就是地球的球心ꎬ所以ꎬ地球表面上同一经线上两点间的最短路程ꎬ等于这两点之间的经线圆弧的长度.解析㊀设地球的半径为Ｒꎬ球心为点ＯꎬＥ㊁Ｆ两点间的经线圆弧的长度为ｌꎬ则有ｌ＝ＲøＥＯＦ(øＥＯＦ单位为弧度)＝６.４ˑ１０３ｋｍˑ５０ʎ＋４０ʎ１８０ʎπʈ１００５３ｋｍ答:地球表面上这两点间最短路径的长度为１００５３ｋｍ.㊀２同一纬线上两点之间的最短路程需要说明的是ꎬ如果两点在同一条纬线上(即一个点在另一个点的正东或正西方向)ꎬ且这条纬线不是赤道的话ꎬ它们之间的最短路径不是经过这两点纬线圆弧的长度(相当一部分人有这种错误观点ꎬ认为地球表面上东西方向上两点之间最短路径的长度ꎬ等于这两点之间纬线圆弧的长度).例题２㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ６０ʎＮ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ６０ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度分析㊀如图１所示ꎬ设Ｏ是地球球心ꎬ直线ＯＤ是地球的地轴(Ｄ为北极极点)ꎬ圆弧ＡＢ所在的圆是地球的赤道ꎬ圆弧ＥＦ所在的圆是纬度为β＝π３的１３１一条纬线(即øＢＯＦ＝β＝π３)ꎬ圆弧ＡＤ㊁ＢＤ是分别经过Ｅ㊁Ｆ两点且经度相差α＝π３的两条经线(即øＡＯＢ＝α＝π３)ꎬ为确定球面上Ｅ㊁Ｆ两点之间的最短路程ꎬ只需求出线段ＥＦ(是球面的一条弦ꎬ图中未画出)对球心Ｏ点所张的角øＥＯＦ的角度大小即可.图１解析㊀由图１可知øＥＣＦ＝øＡＯＢ＝α＝π３ＣＦ＝ＣＥ＝ＲｃｏｓβＥＦ＝２ＣＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎＲｃｏｓβｓｉｎα２Ｒ＝２ａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)＝２ａｒｃｓｉｎ１４所以ꎬ球面上Ｅ到Ｆ的最短路径的长度是以地球半径Ｒ为半径ꎬ弧度大小为２ａｒｃｓｉｎ１４的圆心角所对的弧长ꎬ大小为２Ｒａｒｃｓｉｎ１４.２Ｒａｒｃｓｉｎ１４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍˑａｒｃｓｉｎ１４ʈ３２３６ｋｍꎬ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是３２３６ｋｍ.我们将这一数据与过ＥＦ两点纬线上ꎬ圆弧ＥＦ的长度相比较ꎬ设该圆弧长度为ｌꎬ则ｌ＝ＣＦ øＥＣＦ＝(Ｒｃｏｓβ)π３＝π６ˑ６.４ˑ１０３ｋｍʈ３４５０ｋｍ可以看出ꎬ纬线上ＥＦ两点间的圆弧长度比球面上经过ＥＦ的最大圆的圆弧长度多出了１１４ｋｍ.３地球表面任意两点间的最短路程例题３㊀如图２所示ꎬ已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ１５ʎＳ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ７５ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点之间最短路径的长度.分析㊀由题目条件可知ꎬＥ㊁Ｆ两点既不在同一条经线上ꎬ也不在同一条纬线上.参照上面两例题的解法ꎬ我们只需确定Ｅ㊁Ｆ两点所对地球球心圆心角的大小即可.解析㊀如图２所示ꎬ分别作出过Ｅ㊁Ｆ两点的地球的经线和纬线ꎬ并作出赤道平面.设øＥＡＣ＝α(两条经线的经度之差)ꎬ半径ＯＣ㊁ＯＦ与赤道平面的夹角分别是β和θꎬ由题目条件可知øＥＡＣ＝α＝６０ʎꎬβ＝１５ʎꎬθ＝７５ʎꎬ则:ＡＥ＝ＡＣ＝ＲｃｏｓβＢＤ＝ＢＦ＝ＲｃｏｓθʑＥＣ＝２ＡＣｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２ＤＦ＝２ＢＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓθｓｉｎα２ＥＤ＝ＣＦ＝２Ｒｓｉｎβ＋θ２图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３将图２中的等腰梯形ＥＣＦＤ隔离出来单独分析ꎬ如图３所示ꎬ过其顶点Ｄ㊁Ｆ作该梯形的两条高线ＤＰ和ＦＱꎬ垂足分别为Ｐ㊁Ｑꎬ由勾股定理可知２３１ＥＦ２－ＣＦ２＝ＥＱ２－ＱＣ２ʑＥＦ＝ＣＦ２＋(ＥＱ＋ＱＣ)(ＥＱ－ＱＣ)＝ＣＦ２＋ＥＣ ＤＦ＝４Ｒ２ｓｉｎ２β＋θ２＋４Ｒ２ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ图２中ꎬøＥＯＦ的大小(单位为弧度)为øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＲ＝２ａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ地球表面ꎬＥ㊁Ｆ两点之间的最短路径的的长度ｌ为ｌ＝Ｒ øＥＯＦ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ１２＋２＋３２＋６１２＋６１４＝２Ｒａｒｃｓｉｎ３４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍ ａｒｃｓｉｎ３４ʈ１０８５５ｋｍ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是１０８５５ｋｍ.例３解答中ꎬ所导出的根据地球表面两点的经纬度确定两点之间最短路径长度的计算公式ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２ꎬ是一个普遍适用的公式ꎬ它涵盖了已知两点在同一条经线㊁同一条纬线ꎬ以及已知两点既不在同一条经线也不在同一条纬线等多种情形.该公式中ꎬ当β＝－θ时ꎬ公式演变为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)ꎬ这就是例２中ＥＦ两点在同一条纬线上的情形.当α＝０时ꎬｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝Ｒ(β＋θ)ꎬ这正是例１中两点在同一条经线的状况.看该公式的一个实际应用.例４㊀已知北京和悉尼两座城市的经纬度坐标分别如下:北京(１１６.４６ʎＥꎬ３９.２ʎＮ)㊁悉尼(１５０.８８ʎＥꎬ３３.９２ʎＳ)ꎬ试求北京和悉尼间最短航线的长度(地球半径取６４００ｋｍ).解析㊀依题意知ꎬα＝１５０.８８ʎ－１１６.４６ʎ＝３４.４２ʎꎬβ＝３３.９２ʎꎬθ＝３９.２ʎ所以ꎬ两城市间的最短航线长度ｌ为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２３６.５６ʎ＋ｃｏｓ３３.９２ʎｃｏｓ３９.２ʎｓｉｎ２１７.２１ʎʈ８２００ｋｍ答:北京和悉尼间最短航线的长度约为８２００ｋｍ.当然ꎬ这里计算出的数据只是理论数据ꎬ两地间的实际航线还要受地理环境等多种因素的影响ꎬ飞机的实际飞行路线很可能会偏离 标准 的圆弧线ꎬ中途出现 拐弯 的情形ꎬ所以实际航线的长度会比理论值大一些.参考文献:[１]陈龙.追溯 源头 拨开云雾见 真身 :例析 与圆相关的最值问题 [Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(６):８４－８６.[２]许婷婷.例谈立体图形表面最短距离[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１９(１０):１６－１７.[３]牛可新.巧解 求曲线上的点到直线的最短距离 题[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(９):９９.[责任编辑:李㊀璟]３３１。
高中地理飞机最短航线题
高中地理飞机最短航线题在高中地理学习中，我们经常会遇到关于航线的问题。
其中一个经典的问题就是如何确定飞机的最短航线。
本文将介绍如何解决这个问题，并探讨其中的原理和应用。
首先，我们需要了解什么是最短航线。
最短航线是指两个地点之间的最短距离，通常用直线距离来表示。
然而，在实际情况中，由于地球是一个球体，直线距离并不是最短航线。
这是因为飞机在飞行过程中需要考虑地球的曲率，以及飞行高度的限制。
为了确定最短航线，我们需要使用一个叫做大圆航线的概念。
大圆航线是指连接两个地点的地球表面上的最短路径，它是一个圆周上的一段弧线。
在地理学中，大圆航线被广泛应用于航空和航海导航中。
那么，如何确定飞机的最短航线呢？首先，我们需要知道起点和终点的经纬度坐标。
然后，我们可以使用球面三角学的知识来计算大圆航线的长度和方向。
球面三角学是一种研究球面上的三角形的数学学科，它可以帮助我们解决地球表面上的航线问题。
在计算最短航线时，我们需要使用一些基本的公式和方法。
其中一个重要的公式是球面三角形的余弦定理。
根据余弦定理，我们可以计算出两个地点之间的角度，然后通过这个角度来确定大圆航线的长度。
除了长度，我们还需要确定大圆航线的方向。
在球面三角学中，方向通常用方位角来表示。
方位角是指从一个地点到另一个地点的方向，它是以北为参考的角度。
通过计算方位角，我们可以确定飞机应该朝着哪个方向飞行，以达到最短航线。
最后，我们需要考虑飞行高度的限制。
飞机在飞行过程中需要避开地球表面上的障碍物，如山脉和建筑物。
因此，我们需要根据飞机的高度限制来确定最短航线的可行性。
综上所述，确定飞机的最短航线需要使用球面三角学的知识和相关公式。
通过计算大圆航线的长度和方向，我们可以找到飞机飞行的最短路径。
这对于航空和航海导航来说非常重要，可以帮助飞机和船只节省时间和燃料。
在高中地理学习中，我们经常会遇到飞机最短航线的题目。
通过掌握球面三角学的基本原理和计算方法，我们可以轻松解决这类问题。
例谈地球表面两点之间的最短航线问题
例谈地球表面两点之间的最短航线问题地球是一个两极部位略扁的不规则球体，但在讨论两点之间的最短航线时，一般近似地认为地球是一个正球体，即在地球表面上两地之间的最短距离（或航线）应指的是经过这两点的球大圆在这两点间的一段劣弧长度，这个圆的圆心必须经过球心(即地心)。
在中学地理应试中主要有以下几种情况。
1.晨昏线上两点之间的最短距离是该晨昏线上两点之间的劣弧部分。
如图1右图中的的阴影部分为黑夜,GH之间的最短航线是沿着晨昏线的劣弧走：先东南，再向正东，后东北，即经过GMH，而不是GYH。
2.赤道上两点之间的最短距离是赤道上两点之间的劣弧部分。
如图1左图中的AB之间的最短航线：A到B走为正东或B到A走为正西。
3.经线上两点之间的最短距离是该经线上两点之间劣弧部分。
如图1左图中的CD之间的最短航线：C到D为正北或D到A为正南。
4.若两地间的经度差等于180°，则经过两点的大圆一定是经线圈。
这两点间的最短航程须经过极点，其结果只能是先正北后正南或先正南后正北。
⑴同位于北半球的两点，最短航线必须经过北极点，其航行方向一定是先向正北，过北极点后再向正南。
如图1左图中的EF之间的最短航线为先正北后正南，即经过ENF三个点的经线圈的劣弧线,而不是沿EF的纬线走。
⑵同位于南半球的两点，最短航线必须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过北极点后再向正北。
⑶两地位于不同半球时，这时需要考虑是经过北极点为劣弧，还是经过南极点为劣弧，然后再确定最短航程的走向。
如图1左图中的E点到X点的最短航线为先正北后正南，即经过经线圈的ENFX 四个点的劣弧线；而不是先正南后正北，即不是经过经线圈的ESX三个点弧线。
注意：上述四种情况中赤道、经线、经线圈、晨昏线都是大圆或大圆的一部分，故直接可截取球面距离。
5.若两地经度差不等于180°，则过两地的大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航线不经过极点，具体分两种情况。
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例谈地球表面两点之间的最短航线问题
贵州省正安县第一中学梅永华
地球是一个两极部位略扁的不规则球体，但在讨论两点之间的最短航线时，一般近似地认为地球是一个正球体，即在地球表面上两地之间的最短距离（或航线）应指的是经过这两点的球大圆在这两点间的一段劣弧长度，这个圆的圆心必须经过球心(即地心)。
在中学地理应试中主要有以下几种情况。
1.晨昏线上两点之间的最短距离是该晨昏线上两点之间的劣弧部分。
如图1右图中的的阴影部分为黑夜,GH之间的最短航线是沿着晨昏线的劣弧走：先东南，再向正东，后东北，即经过GMH，而不是GYH。
2.赤道上两点之间的最短距离是赤道上两点之间的劣弧部分。
如图1左图中的AB 之间的最短航线：A到B走为正东或B到A走为正西。
3.经线上两点之间的最短距离是该经线上两点之间劣弧部分。
如图1左图中的CD 之间的最短航线：C到D为正北或D到A为正南。
4.若两地间的经度差等于180°，则经过两点的大圆一定是经线圈。
这两点间的最短航程须经过极点，其结果只能是先正北后正南或先正南后正北。
⑴同位于北半球的两点，最短航线必须经过北极点，其航行方向一定是先向正北，过北极点后再向正南。
如图1左图中的EF之间的最短航线为先正北后正南，即经过ENF 三个点的经线圈的劣弧线,而不是沿EF的纬线走。
⑵同位于南半球的两点，最短航线必须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过北极点后再向正北。
⑶两地位于不同半球时，这时需要考虑是经过北极点为劣弧，还是经过南极点为劣弧，然后再确定最短航程的走向。
如图1左图中的E点到X点的最短航线为先正北后正南，即经过经线圈的ENFX四个点的劣弧线；而不是先正南后正北，即不是经过经线圈的ESX三个点弧线。
注意：上述四种情况中赤道、经线、经线圈、晨昏线都是大圆或大圆的一部分，故直接可截取球面距离。
5.若两地经度差不等于180°，则过两地的大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航线不经过极点，具体分两种情况。
⑴若甲位于乙的东方，从甲到乙的最短航线可分为：同在北半球，先向西北，再向西，最后向西南；若同在南半球先向西南，再向西，最后向西北；若位于不同的半球时，需要讨论哪一段为劣弧段。
⑵若甲位于乙的西方，从甲到乙的最短航线可分为：同在北半球，先向东北，再向东，最后向东南；若同在南半球先向东南，再向东，最后向东北；若位于不同的半球时，需要讨论哪一段为劣弧段。
例1（2001年上海 33题（2）和（4）问）随着经济全球化的趋势的发展，我国对外联系得到不断加强，开辟了不少国际航线。
读“极地航路”示意图，回答问题。
(2)最近东航公司成功地开辟了从美国芝加哥飞越北极直达上海的新航线，它最大好处是。
(4)该“极地航路图”原刊登于某报，运用你所学的地理知识，改正图中经度注记的错误之处：①；②。
分析：经过极地附近的航线，恰恰是经过上海和芝加哥两个城市之间最大圆的劣弧，是两地之间的最短航线，这就使飞机减少了飞行时间，节约了能源。
上海位于120°E
附近，它的西边应为90°E，和上海所在经线对应的经线度数120°E应改为60°W。
例2读图2的经纬网示意图，回答下列问题。
⑴若一架飞机从Ａ地飞往Ｃ地，沿最近路线飞行的方向是。
⑵若一架飞机从C地飞往B地，沿最近路线飞行的方向是。
⑶若一架飞机从D地飞往B地，沿最近路线飞行的方向是。
分析：⑴从Ａ地飞往Ｃ地，最近航线的飞行方向是先西北后西南（如图3中的虚线）。
⑵从C地飞往B地，沿最近航线飞行的方向是先东北后东南（如图3中的虚线）。
⑶飞机从D地飞往B，沿最近路线飞行的方向是先西北后西南（如图3中的虚线）。
练习
1.（2005.全国卷Ⅲ）2004年7月28日我国第一个北极科学考察站──黄河站(78°55′N，11°56′E）建成。
据此回答⑴～⑵题。
⑴从黄河站往正南方，将到达（）
A.斯堪的纳维亚半岛
B.西伯利亚
C.阿拉斯
加 D.大不列颠岛
⑵黄河站至北极点的距离约为（）
A.600千米
B.900千米
C.1200千米
D.1500千米
2.某飞行员驾机从30°N，120°E的A机场起飞，为了既经济又省时，飞机沿最短航线飞往35°S，60°W的B机场执行任务。
据此回答⑴～⑵题。
⑴飞机的航向约为（）
A.一直向东南亚
B.一直向西
北 C.先向北后向南 D.先向南后向北
⑵最短航程为（）
A.175×111㎞
B.185×111㎞
C.65×111㎞
D.155×111㎞
3.读图4，从A地（60°N，90°E）到B地（60°N，120°W），若不考虑地形因素，最近的走法是（）
A.一直向东走
B.一直向西走
C.先东南，后东北走
D.先东北，后东南走
答案：1.⑴A ⑵C 2.⑴D ⑵A 3.D。