高三培优讲义3 函数(一)

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高三第二学期导数讲义(3)

高三第二学期函数与导数讲义（3）班级：__________姓名：_____________求解恒成立问题1、已知函数()ln 3mf x x x x=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围.2、已知函数.（I ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a3、设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图像在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.4、已知函数2()ln f x x ax =-在1x =处的切线与直线10x y -+=垂直．（Ⅰ）求函数()()y f x xf x '=+的单调递增区间；（Ⅱ）记函数23()()(1)2g x f x x b x =+-+，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若2e 11e b +-≥，则12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值．5、已知函数2()(1)ln(21)ln f x x a x b x =-+-+，,a b 为常数（Ⅰ）若0a =时，已知()f x 在1(,)2+∞有且只有一个极值点，求b 的取值范围；（Ⅱ）若2b a =-，已知[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

高中数学培优讲义练习(人教A版2019必修一)专题3.3函数的基本性质-重难点题型精讲(学生版)

专题3.3 函数的基本性质重难点题型精讲1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性.③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性.④若f(x)≥0，则f(x)具有相同的单调性.⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.2．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b 处有最大值f(b)，如图(1)所示；②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b 处有最小值f(b)，如图(2)所示.3．函数的奇偶性(1)定义：(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)函数图象的对称性：①图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)b为奇函数.②图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（）A．y=−1x B．y＝2x+1C．y＝x2D．y＝x0【变式11】（2022春•天津期末）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f(x)=−1x D．f（x）＝﹣|x|【变式12】（2020秋•福田区校级期末）函数y=√x2+3x的单调递减区间为（）A．(−∞，−32]B．[−32，+∞)C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【变式13】（2021•白山开学）函数f(x)=x−1x的单调增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0），（0，+∞）【题型2 利用函数的单调性求参数】【例2】（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A ．（﹣∞，10]∪[40，+∞）B ．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）C ．[10，+∞）D ．[40，+∞）【变式21】（2021秋•怀仁市校级月考）若函数y ＝x 2+2mx +1在[2，+∞）上单调递增，则实数m 的取值范围是（） A ．[﹣2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，2]【变式22】（2021秋•河北期中）若函数f （x ）＝2x 2+（x ﹣a ）|x ﹣a |在区间[﹣3，0]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣3，0）∪（0，9） B ．（﹣9，0）∪（0，3）C ．（﹣9，3）D ．（﹣3，9）【变式23】（2022•湖南模拟）定义在R 的函数f （x ）＝﹣x 3+m 与函数g （x ）＝f （x ）+x 3+x 2﹣kx 在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2] B ．[2，+∞）C ．[﹣2，2]D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【题型3 利用函数的单调性比较大小、解不等式】【例3】（2021秋•福田区校级期末）已知函数f （x ）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f （2a 2﹣5a +4）＜f （a 2+a +4），则实数a 的取值范围是（） A ．(−∞，12)∪(2，+∞) B ．[2，6） C ．(0，12]∪[2，6)D ．（0，6）【变式31】（2020秋•泸县校级月考）已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f （x ），若f （2a ﹣1）＞f （13），则a 的取值范围是（） A ．(−∞，23)B ．(12，23)C ．(23，+∞)D ．[12，23)【变式32】（2021秋•金凤区校级月考）已知函数f （x ）是区间（0，+∞）内的减函数，则f （a 2﹣a +1）与f(34)的大小关系为（） A ．f(a 2−a +1)≥f(34) B ．f(a 2−a +1)≤f(34) C ．f(a 2−a +1)=f(34)D ．不确定【变式33】（2021秋•滨海新区期中）定义在R 上函数y ＝f （x ）满足以下条件：①函数y ＝f （x ）图像关于x ＝1轴对称，②对任意x 1，x 2∈（﹣∞，1]，当x 1≠x 2时都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则f （0），f(32)，f （3）的大小关系为（） A ．f(32)＞f(0)＞f(3) B ．f(3)＞f(0)＞f(32)C ．f(32)＞f(3)＞f(0)D ．f(3)＞f(32)＞f(0)【题型4 求函数的最值】【例4】（2021•白山开学）函数f(x)=1x 2+1在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（） A ．12，15B ．2，5C ．1，2D ．15，12【变式41】（2022春•铜鼓县校级期末）若函数f(x−1x )=1x2−2x +1，则函数g （x ）＝f （x ）﹣4x 的最小值为（） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4【变式42】（2022春•阎良区期末）设函数f(x)=2xx−2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则M +m ＝（） A ．4B ．6C ．10D ．24【变式43】（2021秋•杭州期末）已知min{a ，b}={a ，a ≤bb ，a ＞b ，设f （x ）＝min {x ﹣2，﹣x 2+4x ﹣2}，则函数f （x ）的最大值是（） A ．﹣2B ．1C ．2D ．3【题型5 由函数的最值求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）若函数f(x)=2x+mx+1在区间[0，1]上的最大值为52，则实数m ＝（）A ．3B ．52C ．2D ．52或3【变式51】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数f （x ）＝|x 2﹣2x +a |+a 在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（） A ．[0，12] B ．(−∞，12]C ．[12，+∞)D ．(0，12)∪(12，+∞)【变式52】（2021秋•浉河区校级期末）函数f （x ）＝x （|x |﹣1）在[m ，n ]上的最小值为−14，最大值为2，则n ﹣m 的最大值为（） A ．52B ．52+√22C ．32D ．2【变式53】（2021秋•松山区校级月考）若关于x 的函数f(x)=2021x 3+ax 2+x+a 2x 2+a的最大值为M ，最小值为N ，且M +N ＝4，则实数a 的值为（） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．1【题型6 函数奇偶性的判断】【例6】（2021秋•海安市校级月考）设函数f （x ）=x−2x+2，则下列函数中为奇函数的是（） A ．f （x ﹣2）﹣1B ．f （x ﹣2）+1C ．f （x +2）﹣1D ．f （x +2）+1【变式61】（2022春•杨陵区校级期末）若函数f （x ）＝ax 2+bx +8（a ≠0）是偶函数，则g （x ）＝2ax 3+bx 2+9x 是（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【变式62】（2022春•祁东县期末）设函数f(x)=1x 2−2x+3，则下列函数中为偶函数的是（）A ．f （x +1）B ．f （x ）+1C ．f （x ﹣1）D ．f （x ）﹣1【变式63】（2022春•云浮期末）已知f （x ）为R 上的奇函数，g （x ）为R 上的偶函数，且g （x ）≠0，则下列说法正确的是（） A ．f （x ）+g （x ）为R 上的奇函数 B ．f （x ）﹣g （x ）为R 上的奇函数C ．f(x)g(x)为R 上的偶函数D ．|f （x ）g （x ）|为R 上的偶函数【题型7 函数奇偶性的应用】【例7】（2022春•北京期末）f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1+x ）﹣f （x ）＝0，若f(35)=−35，则f(75)=（） A ．−75B ．−35C ．35D ．75【变式71】（2022•成都开学）若定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝﹣f （x ），且当1≤x ≤2时，f （x ）＝x ﹣1，则f （72）的值等于（）A ．52B ．32C ．12D ．−12【变式72】（2022春•长春期末）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x ﹣1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （1）＝0，f （﹣4）+f （3）＝﹣3，则f(152)=（） A ．−54B ．54C ．−34D ．34【变式73】（2022春•辽宁期末）设f（x）的定义域为R，f（x﹣2）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（）A．﹣4B．0C．4D．不确定【题型8 函数图象的识别、判断】【例8】下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A．B．C．D．【变式81】根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．【变式82】已知f（x）={x+1，x∈[−1，0)x2+1，x∈[0，1]则关于图中的函数图象正确的是（）A．是f（x﹣1）的图象B．是f（﹣x）的图象C．是f（|x|）或|f（x）|的图象D．以上答案都不对【变式83】反比例函数f（x）=kx的图象，如图，则（）A．常数k＜﹣1B．函数f（x）在定义域范围内，y随x的增大而减小C．若点A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，则m＜n D．函数f（x）图象对称轴的直线方程y＝x。

高三复习——基本三角函数培优专题

高三复习——基本三角函数培优专题导言高三是学生们备战高考的重要阶段，掌握基本的三角函数知识对于数学成绩的提升非常关键。

本文档将为高三学生提供一个基本三角函数培优专题，帮助学生们巩固和提高对基本三角函数的理解和运用能力。

一、正弦函数1. 正弦函数图像正弦函数图像是一条波动曲线，我们来了解一下如何绘制正弦函数图像的方法：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。

- 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。

- 将这些点连成曲线即可得到正弦函数的图像。

2. 正弦函数性质正弦函数具有以下性质：- 周期性：正弦函数的图像在每个周期内重复。

- 奇函数性质：f(x) = -f(-x)，即正弦函数关于原点对称。

3. 正弦函数的应用正弦函数在实际生活中有广泛的应用，比如：- 研究天体运动：正弦函数可以描述天体在运动过程中的周期性变化。

- 声音和音乐：音调的高低可以通过正弦函数的频率表示。

- 电流和电压的变化：交流电的电流和电压变化符合正弦函数的规律。

二、余弦函数1. 余弦函数图像余弦函数图像也是一条波动曲线，与正弦函数图像相似，但有一些区别：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。

- 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。

- 将这些点连成曲线即可得到余弦函数的图像。

2. 余弦函数性质余弦函数具有以下性质：- 周期性：余弦函数的图像在每个周期内重复。

- 偶函数性质：f(x) = f(-x)，即余弦函数关于y轴对称。

3. 余弦函数的应用余弦函数在实际生活中也有广泛的应用，比如：- 振动和波动现象：余弦函数可以描述物体振动和波动的变化规律。

- 交流电的电流和电压：交流电的电流和电压变化符合余弦函数的规律。

三、切线函数1. 切线函数图像切线函数是正弦函数的导数，它的图像与正弦函数有一定的关联，但也有一些不同：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。

届高三数学培优讲座（函数）

届高三数学培优复习讲座（一）函数一、04考题回放 1、函数基础知识1、1函数的定义、解析式（. 陕西.理5）函数)1(log 221-=x y 的定义域为（）A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --（·浙江·文9）若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a =(A)31(B) 2 (C)22 (D)2（·湖北·理10）已知)(,11)11(22x f xx x x f 则+-=+-的解析式可取为（） A ．21xx+ B ．212xx+-C ．212xx+ D ．21xx+-（·浙江·理12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是（A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x1、2函数的性质1、2、1函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性(.全国Ⅰ.理2)已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若（） A ．b B ．b - C ．b 1 D ． 1b-（·宁夏·理12）设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f A ．0 B ．1 C ．25D ．5（·福建·理11）定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()24f x x =--则（）A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1) C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)（·天津·12）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（）A ． 21-B ． 21 C ． 23-D ．23 （·湖南·文7）若2()2f x x ax =-+与1)(+=x ax g 在区间[]1,2上都是减函数，则a 的值范围是（）A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．（0，1）D ．]1,0( （·四川·理6）函数xe y -=的图象（）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称1、2、2函数的最值（·湖北·理7）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（）A ．41B ．21 C ．2 D ．4 （·湖北·文8）已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有（）A ．最大值45B ．最小值45 C ．最大值1 D ．最小值1（·天津·理5）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =（） A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 1、2、3函数的反函数（·北京·理5）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（）A ．a ∈-∞(,]1B ．a ∈+∞[,)2C ．a ∈[,]12D ． a ∈-∞⋃+∞(,][,)12（·全国Ⅰ·理4）函数)1(11>+-=x x y 的反函数是（）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y（·宁夏·理2）函数)(2R x e y x∈=的反函数为（）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y （·天津·理11）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（）A ． )31(log 13≥+=x x yB ． )31(log 13≥+-=x x yC ． )131(log 13≤<+=x x yD ． )131(log 13≤<+-=x x y（·湖南·文3）设)(1x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）A ．12)(1-≤-x x fB ．12)(1+≤-x x fC ．12)(1-≥-x x fD ．12)(1+≥-x x f（·湖南·理3）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．3log 2（·陕西·理15）已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=xx f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .（·广东·16）函数()ln 110)f x x x =+->（）(的反函数1()f x -=____________1、2、4函数的图像及图像变换（·福建·理7）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（. 北京春季高考。

高中函数培优讲义

培优讲义¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤【例2】已知函数2()(0,0)1bx f x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()xxeaf x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？【例5】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y xm Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值基本初等函数（Ⅰ）练习题※基础达标1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N = （）. A. ∅ B. {}|03x x << C. {}|13x x << D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（）. A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（）.A. 1,0a b ><B. 1,0a b >>C. 01,0a b <<>D. 01,0a b <<< 4．（06年广东卷）函数2()l g (31)f x x =++的定义域是（）.A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2xx b f x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x (2≤x ≤4).（1）求输入x =234时对应的y 值；（2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新 10．设121()log 1ax f x x -=-为奇函数，a 为常数.（1）求a 的值；（2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2x m +恒成立，求实数m 的取值。

高考复习专题系列——函数高三数学培优讲座(函数)_367

2005届高三数学培优复习讲座（一）函数一、04考题回放 1、函数基础知识1、1函数的定义、解析式（2004. 陕西.理5）函数)1(log 221-=x y 的定义域为（）A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --（2004·浙江·文9）若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a =(A)31(B) 2 (C)22(D)2（2004·湖北·理10）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（）A ．21xx+ B ．212xx+-C ．212xx+ D ．21xx+-（2004·浙江·理12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是（A ）512-+x x （B ）512++x x（C ）512-x （D ）512+x 1、2函数的性质1、2、1函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性(2004.全国Ⅰ.理2)已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若（） A ．b B ．b - C ．b 1 D ． 1b-（2004·宁夏·理12）设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f A ．0 B ．1 C ．25D ．5（2004·福建·理11）定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()24f x x =--则（）A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1) C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)（2004·天津·12）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（）A ． 21-B ． 21 C ． 23-D ．23 （2004·湖南·文7）若2()2f x x ax =-+与1)(+=x ax g 在区间[]1,2上都是减函数，则a 的值范围是（）A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．（0，1）D ．]1,0( （2004·四川·理6）函数xe y -=的图象（）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称1、2、2函数的最值（2004·湖北·理7）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a的值为（）A ．41B ．21C ．2D ．4 （2004·湖北·文8）已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有（）A ．最大值45B ．最小值45 C ．最大值1 D ．最小值1（2004·天津·理5）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =（） A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 1、2、3函数的反函数（2004·北京·理5）1，2］上存在反函数的充分必要条件是（）A B C D ．（2004·全国Ⅰ·理4）函数)1(11>+-=x x y 的反函数是（）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y（2004·宁夏·理2）函数)(2R x e y x∈=的反函数为（）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y （2004·天津·理11）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（）A ． )31(log 13≥+=x x yB ． )31(log 13≥+-=x x yC ． )131(log 13≤<+=x x yD ． )131(log 13≤<+-=x x y（2004·湖南·文3）设)(1x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）A ．12)(1-≤-x x fB ．12)(1+≤-x x fC ．12)(1-≥-x x fD ．12)(1+≥-x x f（2004·湖南·理3）设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．3log 2（2004·陕西·理15）已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=xx f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .（2004·广东·16）函数()ln 10)f x x =>）(的反函数1()f x -=____________1、2、4函数的图像及图像变换（2004·福建·理7）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（2005. 北京春季高考。

高三数学培优教材

特特特特特特特王特新特王特新王特王特王新王新王王
12
2.函数 y = −x2 − 3x + 4 的定义域为（） x
A.[−4, 1]
B.[−4, 0)
C. (0, 1]
）
D 新新新源源源新源源新源新源源源源源源源源源源源源
特特特特特特特王新特王特王特新特特王王新王王新王
新新新源源新源源新源源新源源源源源源源源源源源源
D.
−
9 4
,
0
∪
(2,
+∞)
( ) 4.已知
f
(x)
=
x 2
+
4x,
x
≥
0
,若
f
2 − a2
> f (a) ，则实数 a 的取值范围是（
）
4x − x2, x < 0
A. (−∞, −1) ∪ (2, +∞)
B. (−1, 2)
C. (−2,1)
D. (−∞, −2) ∪ (1, +∞)
一个正方形区域，则 a 的值为（）
A. −2
B. −4
C. −8
D.不能确定
( ) （4）若关于 x 的方程
2 − 2− x−2
2
= a + 2 有实根，则实数 a 的取值范围是
.
（5）（福建卷理）已知定义域为 (0，+ ∞) 的函数 f (x) 满足：
（1）对任意 x ∈ (0，+ ∞) ，恒有 f (2x) = 2 f (x) 成立；
王新王王新王
f [ f (x + 6)], x < 10
A 新新新源源源新源源新源新源源源源源源源源源源源源

高三数学高考《函数》讲义与练习

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。 ②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。 ③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本
10 2 x1 1 10 2 x2 1 10 2 x1 1 10 2 x2 1
2 10 2x1 10 2 x2 10 2 x1 1 10 2 x2 1
y 102 是增函数，
10 f x1 f x2 0
f x1 f x2
f x 在，上是增函数
（A ）
（ A） 0 6．函数 y
（ B） 2
（ C） 1
x 1 （ x≥0）的反函数是
（ D） -1 （A ）
（ A） y (x 1)（2 x 1）（ B） y= (x 1) （2 x 1）
（ C） y x 2 （1 x 1）
（ C） y x2 （1 x 1）
7．函数 f(x)的反函数为
g（x），则下面命题成立的是
1x
f 1x
1 1x
y lg
1 x1
2 1x
例8 定义在 R 上的函数 f x 满足：对任意实数 m, n ，总有 f m n
f m f n，
且当 x 0 时， 0 f x 1．
（ 1）试求 f 0 的值；
（ 2）判断 f x 的单调性并证明你的结论；

人教版高中数学高一培优讲义第3讲函数的基本性质

第3讲函数得基本性质(2)一、函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性（是一个局部概念）（1）单调性定义（2）单调区间的定义【例】1.已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（） A.30a -≤< B.32a -≤≤- C.2a ≤- D.0a <注：单调区间之间用“，”或“和”。

定义域的区间之间用“ ”（3）.判断函数单调性的方法步骤：取值→作差→变形→定号→下结论【例】2.证明函数3)(x x f =在R 为增函数。

2．函数的最值（是一个整体含义）【考点分析】考点一求函数的单调区间【例1】（1）求下列函数的单调区间：1||22++-=x x y ；（2）已知函数()f x 为R 上的减函数，则满足1<(1)f f x ⎛⎫⎪⎝⎭的实数的取值范围是（）A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) D.(-,1)(1,)∞-+∞ ►归纳提升函数单调区间的求法(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域。

对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等。

(2)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间。

强化训练1（1）设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围为（）（2）已知函数=)(x f 1,5)3(1,2{≤+->x x a x x a，若对R 上的任意)(,2121x x x x ≠，恒有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围（）考点二函数单调性的判断与证明【例2】求证：函数)0()(>+=a x a x x f ，在),[+∞a 上是增函数。

2021届秋季函数高三讲义(3)

预备知识——解不等式1．解下列不等式（1）x2 - 5x + 6 ≤ 0 （2）-x2 - 2x + 3 ≤ 0（3）-6x2 -x + 2 ≤ 0 （4）2x2 - 3x - 2 > 0（5）-x2 - 2x ≥-3 （6）x2 -x -1 > 0（7）2x > 2 - 3x - 3x2 （8）9x2 - 6x +1 > 0（9）x2 - 4x + 5 > 0 （10）x2 -x +1 < 02．（2015四川）设集合A={x|(x+1)(x-2)<0}，集合B = {x | 1<x < 3} ，则A B=（）A．{x |-1 <x < 3} B．{x | -1 <x <1}C．{x |1 <x < 2} D．{x | 2 <x < 3}3．（2015山东）已知集合A={x x2-4x+3<0}，B={x2<x<4},则A B=（）A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)R 4．设集合 A = {x x (x - 3) < 0}, B = {x x - 2 ≤ 0}，则 A B = （）A ． (0, 2]B ． (0, 2)C ． (0,3)D ． [2,3)5．已知集合 P = {x ∈ R |1 ≤ x ≤ 3},Q = {x ∈ R | x 2≥ 4} ，则 P (C Q ) =（）A ．[2,3]B ． (-2, 3]C ． [1, 2]D ． (-∞, -2] [1, +∞)6．（2017 北京卷）若集合 A = {x | -2 < x < 1}, b = {x | x < -1或x > 3}，则 A B = （）A ．{x | -2 < x < -1}B ．{x | -2 < x < 3}C ．{x | -1 < x < 1}D ．{x |1 < x < 3}7．（2017 浙江卷）已知 P = {x | -1 < x < 1}， Q = {0 < x < 2}，则 P Q = ()A ． (-1,2)B ． (0,1)C ． (-1,0)D ． (1,2)8．解下列不等式2 - x1（1）4 + x> 0（2）x -1≤ 1（3） 2 - x > 1x + 4（4）1- x ≥ 03x + 5（5） x +1 < 3（6） 1 < 1xx 2（7） x +1 ≥ -22 - x（8）5x +1 < 3x +1≤ ≥ 9．设集合 A = {x x > 3}， B = ⎧xx - 1< 0⎫，则 A B = （）⎨⎩ A ． ∅B ． (3,4)x - 4⎬ ⎭C ． (-2,1)D ． (4,+∞)10．解下列不等式（1） (x + 2)(x -1)(x - 2) > 0（2） (3x + 2)(1- 3x )(x - 2) ≥ 0（3） (x +1)(1- x )(x - 2) > 0（4） x (x -1)2 (x +1)3(x + 2) ≥ 0（5） (1- 2x )(x -1)3(x +1)2< 0（6）1+ x - x 3 - x 4> 0（7） x 3+ 2x 2- x - 2 > 0x (x + 2) （8）< 0x - 3（9）x 2 + 2x - 3x + 1 0（10）1- x < 0x 2 - 4（11）x 2 + 2x - 3- x 2 + x + 6（12）x + 5≥ 2(x -1)24 ( ) > 4（13） x -< 1 x -1（14） x +2> 2x + 111．解下列不等式（1） 2x -1 ≤ 3（2） | 4 - 3x | -5 ≤ 0（3） x 2- 2 < 2（4） 3 ≤ 5 - 2x < 912．解下列不等式（1） 2x 2 - x< 4（2） 6x 2 + x -2< 1（3） 1 2< 2x -1< 8（4） ( 1 )x -3 4> 161 x 2-8 -2 x（5） 4（6） 23-2 x < 0.53 x -41 2 221 x-1 （7） ( )2 x +1≥ 12（8） lg(x -1) < 1（9） ln(x 2- 2x - 2) > 0（10） log (x 2- 5x + 7) > 02（11） log 1 x > 12（12） log (4 - x 2) > log (3x )（13） log a (2x +1) < log a (4x - 3)（14） log 2x - 2 ≥1x13．设集合 M = ⎧1 1- x> 1⎫ ；N = {x | x 2 - 2x - 3 ≤ 0}, 则 N (C M ) = （）A ． (1,+∞)⎨x | ( )⎩ ⎬ ⎭B ． (-∞,-1)C ． [-1,1]RD ． (1,3)14．集合 A = {x | lg x > 0}, B = {x | x 2≤ 9}，则 A B = （）A ． (1, 3)B ． [1,3)C ． (1,3]D ． [1,3]15．已知全集U = R , A = ⎧x |x +1 ≥ 0⎫, B = {x | ln x < 0}，则 A B = （）⎨ 2 - x ⎬ ⎩ ⎭A ．{x | -1 ≤ x ≤ 2} C ． {x | x < -1或x ≥ 2}B ． {x | -1 ≤ x < 2}D ． {x | 0 < x < 2}x(x +1) 2一、函数定义域函数（一）（一）由解析式求定义域1．函数 f (x)+1x +1的定义域是（）A．(-∞,-1) (-1,+∞) B．[-3, +∞)C．[-3, -1) ∪(-1, +∞) D．(-1, +∞)2．函数f(x ) = +log 2 (6 -x ) 的定义域是( )A．{x | x > 6} B．{x | -3 <x < 6} C．{x | x >-3} D．{x | -3 ≤x < 6}3．函数f (x) = lg(x + 2) 的定义域为( )A．(-2,1) B．[-2,1] C．(-2,+∞) D．(-2,1]4．（2015重庆）函数f(x)=log(x2+2x-3)的定义域是（）A．[-3,1] B．(-3,1)C．(-∞, -3] [1, +∞) D．(-∞, -3) (1, +∞)5．函数y =x ln(1-x) 的定义域为( )A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]6．函数f (x) =+ ln(-x) 的定义域为（）A．{x | x < 0} B．{x | x ≤-1} {0} C．{x | x ≤-1} D．{x | x ≥-1} x + 34 - x 23 3⎝⎝ ⎝ ⎭7．函数 yA ．[1,3]的定义域是（）B ．- ∞,1⎤C ． ⎛ 1 ,2 ⎤D ．⎛ 2,+∞ ⎫3⎥⎦3 ⎥⎦⎪8．函数 y =1log 2 (x - 2)的定义域为（）A ． (-∞, 2)B ． (2, +∞)C ． (2, 3) (3, +∞)D ．(2, 4) (4, +∞)9．函数 f (x ) =ln(x +1)的定义域为．lg(x 2 -1)10．函数 f (x ) =）A ．(-∞, -2) (1, +∞)B ．(-2,1)C ．(-∞, -1) (2, +∞)D ．(1, 2)11．（2017 山东）设函数 y = 的定义域 A ，函数 y = ln(1- x ) 的定义域为 B ，则A B = （）A ． (1,2)B ． (1,2]C ． (-2,1)D ．[-2,1)12．函数 f (x ) =11- x+ lg(1+ x ) 的定义域是（）A ． (-∞, -1)B ． (1, +∞)C ． (-1,1) (1, +∞)D ． (-∞, +∞)13．函数 y = + (x -1)0 lg(2 - x )的定义域为．ln(x +1)14．函数 y =的定义域为．1- x x +13 3x 215．函数 f (x ) =lg(3x + 1) 的定义域是（）A ． (- 1 ,+∞) 3B ． (- 1,1)3 C. (- 1 , 1) 3 3D. (-∞,- 1)316．（2015 湖北）函数 f (x ) =+ lg x 2 - 5x + 6 x - 3的定义域为（）A ．(2, 3)B ．(2, 4]C ．(2, 3) (3, 4]D ．(-1, 3) (3, 6]（二）抽象函数定义域1．已知 f (x ) 的定义域为[-1,1]，则 f (2x -1) 的定义域为．2．已知 f (2x -1) 的定义域为[0,1]，则 f (x ) 的定义域为．3．已知 f (x 2) 的定义域为(1,2) ，则 f (2x +1) 的定义域为．4．已知函数 f (x ) 的定义域为[1,2]，则函数 g (x ) = f (2x ) (x -1)0的定义域为．5．若函数 f (x ) 的定义域为(0,1) ，则函数 f (2- x ) 的定义域为．6．已知函数 f (3x)的定义域为(0,1]，则函数 f (log x )的定义域为．7．已知函数 f (x ) 的定义域为[0,4]，求函数 y = f (x + 3) + f (x 2) 的定义域为．8．若函数 y =f (x )的定义域为[-2,1]，求函数 y = f (x + 1 ) ⋅ f (x - 1) 的定义域．4 42 + x9．设 f (x ) = lg 则 f( 2 - x x) + f ( 2 2 ) 的定义域为．x⎨⎪2x, ⎨⎪ 2 ⎨⎩⎨⎨二、分段函数1．（2015 陕西文）设 f (x ) = ⎧⎪1- ⎩1A ．－1B ．4x , x ≥ 0x < 0，则 f ( f (-2)) = （）1 3 C ．D ．22⎧x 2 +1, x ≤ 1, 2．设函数 f (x ) = ⎪, x > 1, ⎩ x则 f ( f (3)) 等于 ()A ．15B ．3C ．23D ．13 9⎧⎪1- x 2， x ≤1⎛ 1 ⎫ 3．函数 f (x ) = ⎨x 2- x - 3，x > 1 则 f f (3) ⎪ 的值为．⎩⎪， ⎝ ⎭4．已知 f (x ) = ⎧1 + x , x ∈ R ⎩(1 + i )x , x ∉ R，则 f ( f (1 - i )) =（） A ． 2 - iB ．1C ．3D ． 3 + i⎧1+ log 2 (2 - x ), x < 1 5．设函数 f (x ) = ⎨2x -1 , x ≥ 1，则 f (-2) + f (l og 2 12) = （）A ．3B ．6C ．9D ．12⎧2 cosx π≤ 46．设 f (x ) = ⎪a, x，且 f (8) = 2 ，则 f ( f (80)) = ． ⎪log ( x +1), x > 4 ⎩ a⎧x + 2- 3, x ≥ 17．（2015 浙江）已知函数 f (x ) = ⎪x，则 f ( f (-3)) = ， f (x ) 的最小⎪⎩lg(x 2 +1), x < 1值是．⎨ ⎩( ) ⎛ 5 ⎫ ⎩ 6 ⎧3x - a , (x ≥ 0)8．（2017 淄博二模）已知奇函数 f (x ) = ⎨ ⎩g (x ), (x < 0)，则 f (-2) 的值为．⎧ f (x +1), (x < 1)9．（韶关市 2017 届 1 月调研）已知 f (x ) = ⎨ x , 则 f (-1+ log 3 5) =．⎩3 , ( x ≥ 1)⎧x 2 -1, 0 ≤ x ≤ 210．已知函数f (x ) = ⎨ , 若 f (x 0 ) = 8, 则x 0 = ．⎩ 2x , x > 2⎧2x , x > 0, 11．已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩x +1, x ≤ 0,若 f (a ) + f (1) = 0 ，则实数 a 的值等于．⎧x + 2, x ≤ -1 12．在函数 y = ⎪x 2 , - 1 < x < 2 ⎪2x , x ≥ 2 中，若 f (x ) = 1，则 x 的值是（）A ．1B ．1或32C ． ±1D ．⎧3x - b , 13．（2015 山东文）设函数 f x = x < 1,⎛ ⎫ 若 f f = 4 ，则b = （）A ．1B ．⎨2x , 78x ≥ 1, ⎪ ⎪ ⎝ ⎝ ⎭ ⎭ 3 1 C ．D ．42⎧2x -1 - 2, x ≤ 114．（2015 新课标 1）已知函数 f (x ) = ⎨- log (x +1), x >1 ，且 f (a ) = -3，则 f (6 - a ) =⎩ 2（）A ． - 74B ． - 54C ． - 34D ． - 143⎨ ⎩⎨0, x ⎩( ) = x( ) ( ) { ，则满足 f ( f (m ) = 3 的实数m 的取值范围是（）)x⎧⎪log 1x , x > 0 15．（揭阳市 2017 届高三上学期期末）已知a > 0 且a ≠ 1，函数 f (x ) = ⎨ 3 满足 f (0) = 2 ， f (-1) = 3 ，则 f ( f (-3))= ．⎪⎩a x + b , x ≤ 0⎧ 1, x > 016．（2015 湖北）设 x ∈ R ，定义符号函数sgn x = ⎪0, x = 0 ，则（）⎪-1, x < 0A ． | x |= x | sgn x |B ． | x |= x sgn | x |C ． | x |=| x | sgn xD ． | x |= x sgn x⎧1, x > 0 17．设 x ∈ R ，定义符号函数sgn (x ) = ⎪= 0 ，则下列正确的是（）A ． sin x ⋅ sgn (x ) = sin x C ． sin x ⋅ sgn (x ) = sin x ⎪-1, x < 0B ． sin x ⋅ sgn (x ) = sin x D ． sin x ⋅ sgn (x ) = sin x⎧⎪ln x (x < 0) 18．设函数 f x ⎨ ⎪⎩3 -1 x ≥ 0 A ． (-∞, -1) (1, +∞) C ． (-1, 0) (0,1)，若 f (x 0 ) > 0，则 x 0 的取值范围是（）B ． (-∞, -1) (0, +∞) D ． (-1, 0) (0, +∞)⎧2-2 x , x ≤ -1,19．已知函数 f x = ⎨⎩2x + 2, x > -1,则满足 f (a ) ≥ 2 的实数 a 的取值范围是．20．函数 f (x ) = 2x +1, x < 1 f (m )3 , x ≥ 1A. (-∞,0] {- 1}2 B. [0,1]C. [ 0 , +∞ ) { - 1}2D. [1, +∞)．， ⎨2, x < 1⎩ ⎪ ⎪⎧⎪1 21．（黄冈市 2017 届高三上学期期末）设函数 f (x ) = ⎧x - 2, x ≥ 1，则满足 xf (x -1) ≥ 10⎩ 的 x 取值范围为.⎧x + 1，x ≤ 0 22 （2017 新课标 3）设函数 f (x ) = ⎨2x ，x > 0，f (x ) + f (x - 1) > 1 的 x 的取值范围 2是．23．（2017 山东）设 f (x )= ⎨ x , 0＜x ＜1 ，若 f (a ) = f (a +1) ,则 f⎛ 1 ⎫= ．⎪⎩2 (x - 1),x ≥ 1⎝ a ⎭⎧ ⎪log 2 ( 24．已知函数 f (x ) = 1x +1 ), x ≥ 0 ，若 f (3 - 2a 2 ) > f (a )，则实数 a 的取值范围是 ⎨ ⎪( )x -1, x < 0 ⎩ 2．⎧2x -1 , x ≥ 1⎛ 1 ⎫ 125 ．已知 f (x ) = ⎨ ，若不等式 f cos 2θ+ λsin θ-⎪ + ≥ 0 对任意的⎡ π⎤⎩3x - 2, x < 1⎝ 4 ⎭ 2θ∈ ⎢⎣0, 2 ⎥⎦恒成立，则整数λ的最小值为．⎧2x +1, (x ≤ 1)26．已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩1- log 2 x , (x > 1)，则满足不等式 f (1- m 2)> f (2m - 2)的 m 取值范围为（）A ． (-3,1)B ． ( 32,+∞)C ． (-3,1) ( 32,+∞)D ． (-3, 3)2⎧x 2 +1, x ≥ 027．已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩1, x < 0，则满足不等式 f (1- x 2)> f (2x )的x 的范围是（）A ． (0, -1)B ． (-1, +1)C ． (0, 2 -1)D ． (-1, -1)则满足 2 2 2( ) ⎩28 ．已知函数．⎧- x 2 + 2x (x ≤ 0)f (x ) = ⎨，若 ⎩ln(x +1) f (x ) ≥ ax 恒成立，则 a 取值范围为⎧3x, x ∈ (-∞,1)29．函数 y = ⎨ ⎩log 2x , x ∈[1,+∞)的值域为（）A ． (0,3)B ． [0, 3]C ． (-∞,3]D ． [0, +∞)⎧-x + 6, x ≤ 2,30．（2015 福建）若函数 f x = ⎨⎩3 + log a x , x > 2,则实数 a 的取值范围是．（ a > 0 且 a ≠ 1）的值域是[4, +∞) ，⎧2x + a , 31． f (x ) = ⎨x > 2，值域为 R ，则 a 的取值范围是．⎩ x + 3a ,x ≤ 232．已知 f (x ) = ⎧(1- 2a ) x + 3a , x < 1的值域为 R ，那么 a 的取值范围是（）⎨ ⎩ A ． (-∞, -1] ln x , x ≥ 1 B ． (- 1 1, ) 2 C ． [- 1 1, ) 2 1(0, ) 2⎧x 3 - 3x , x ≤ a33．(2016 北京卷）设函数 f (x ) = ⎨-2x , x > a .①若 a = 0 ，则 f (x ) 的最大值为；②若 f (x ) 无最大值，则实数 a 的取值范围是．D ．⎨⎪ ⎨ 2 3 ⎪ ⎧| x | +2, x < 1, 34 ．（ 2017 天津文）已知函数xf (x ) = ⎪ x + ⎩ 2 , x ≥ 1. x设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| + a |在R 上恒成立，则 a 的取值范围是（）2A ．[-2, 2]B ． [-2 3, 2]C ． [-2, 2 3]D ． [-2 3, 2 3]35．（ 2017 天津理）已知函数 ⎧x 2 - x + 3, x ≤ 1 f (x ) = ⎪x + , x >1，设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 ⎩⎪ x xf (x ) ≥| + a |在R 上恒成立，则 a 的取值范围是（） 2 A ．[- 47 ,2] B ．[- 47 , 39 ] C ．[-2 3,2]D ．[-2 3,39]16 16 1616x +1, 0 ≤ x < 136．已知函数 f (x ) = { 1，若 a > b ≥ 0 ，且 f (a ) = f (b )，则bf (a )的取值范围是．2x - , x ≥ 121- x - 2 ,1 ≤ x ≤ 337．已知函数 f (x ) = { 3 f ⎛ x ⎫, x > 3 ⎝ ⎭将集合 A = {x | f (x ) = t , 0 < t < 1}（t 为常数）中元素由小到大排列，则前 6 个元素的和为.函数（二）一、常见初等函数的图像（一）一次函数 y =kx +b（二）二次函数 y =ax2 +bx +c（三）幂函数 y =x a (a =± 1, 0, 2, 3, 1 )2（四）指数函数与对数函数 y =a x , y = log a x(a > 0, a ≠ 1)（五）对勾函数、双曲函数 y =x +a(a > 0), y =cx +d+e x ax +b（六）半圆型函数 y =A ±二、常见函数图像变化（一）左右平移 y =f (x) →y =f (x ±a)（二）上下平移 y =f (x) →y =f (x) ±a-x2 +Bx +C（三）左右对称 y = f (x) →y = f (-x)（四）上下对称 y =（五）原点对称 y = f (x) →y =-f (x) f (x) →y =-f (-x)（六）左右翻折 y = f (x) →y = f (| x |) 或y = f (x) →y = f (- | x |) （七）上下翻折 y =f (x) →y =| f (x) |三、利用导数工具可画的常见函数（一） y =ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)（二） y =xe x（三） y =e x（四）y =x e x x（五） y =x ln x（六） y =ln x x（七）y =x ln x四、识图练习1．函数 y = ( 1 )x - 1 的图象可能是（）22ABCD12．函数 f (x ) = x 2-1的图象大致是（）3．函数 f (x ) = x -1 的图象是（）4．如图所示，函数 y = 1x2 的图像大致为（）y1O(-1, 2)yx = -1OyOx = 15．函数 f (x ) = log a x + 1， (0 < a < 1) 的图象大致为下图的()6．函数 f (x ) =| log 2 (x +1) | 的图象大致是()7．函数 f (x ) = e2 x+1的大致图象为()8．函数 f (x ) = 1- e |x |的图象大致是（）9．函数 f (x ) =1的图象是 ()xxxxA B C D1 + xyx = -1Oxx ln xx10．函数 f (x) =x的图象是（）xa x11．函数y =(0 <a <1) 的图象的大致形状是（）A B C D 12．函数y =的图象大致是（）13．函数y =e ln x -x -1 的图象大致是（）y1O x－1y1O x－1y1O x－1xy1O x－13⎨⎛ 1 ⎫ ⎩⎧-x 2 +1, x < 0 14．函数 f (x ) = ⎪ x⎪ ⎪ ⎩⎝⎭ , x ≥ 0 的图象大致为（）A B C D15．已知 f (x ) = ⎧x + 1x ∈[-1,0) ，则下列函数的图象错误的是（）⎨x 2+ 1 x ∈[0,1] ．．⎧⎪3x , (x ≤ 1), 16．已知函数 f (x ) = ⎨log ⎪⎩ 1x , (x > 1), 则 y = f (2 - x ) 的大致图象是（）17．（2016 海南中学高三考前模拟七）已知函数 y = f (1- x ) 的图象如下，则 y = f (x + 2)的图象是（）31-x218．函数y =的图象是（）xA B C D 19．函数f (x) = (x2 - 2x)e x 的图像大致是( )20．函数y = 2 x -x 2 ( x∈R) 的图象大致为（）21．（2016新课标1）函数y=2x2-e x在[-2, 2]的图像大致为()A．B．C．122．函数y =x -x3 的图像大致为（）23．函数f (x) =x - ln | x | 的图象为（）24．函数f (x) = ln(x2 +1) 的图象大致是( )25．已知函数f (x) = 2x cos x ，则函数f (x) 的部分图象可以为（）26．函数g(x) =-x 2 + 2 ln x 的图象大致是（）27．函数y=log2| x |的图象大致是（）x28．函数 y = e x +e-xe x -e-x的图像大致为（）29．函数f (x) =-cos x ln x2 的部分图象大致是图中的（）．30．函数 f (x ) = sin x ⋅ ln(x 2+1) 的部分图像可能是（）A B C D31 （2017 新课标3）函数 y = 1+ x + sin x 的部分图像大致为（）x2A ．C ．D ．32．（2017 新课标 1）函数 y = sin2x 1- cos x的部分图像大致为（）33．已知函数 f (x) =xsin( x -π（e为自然对数的底数），当x∈[-π,π]时，y= f (x) 的图e 2象大致是（）A．B．C．D．34．函数y = sin x + ln x 在区间[-3, 3]的图象大致为（）A． B．C．D．35．函数f (x) =x2 - sin | x | 在[-2,2]上的图象大致为( )A． B．C． D．)236．函数 y =2sin x ⎛ x ∈ ⎡- 3π, 0⎫ ⋃ ⎛ 0, 3π⎤ ⎫的图像大致是（）1 ⎣⎢ 4 ⎪ 4 ⎥ ⎪1+ x2 ⎝⎭ ⎝ ⎦ ⎭A ．B ．C ．D ．3 37．函数 y = 3 x 4-1的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．38．函数 f (x ) = (4x- 4- x)log x 2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．39．如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟,瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x = 0 时， h =13．如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完．则函数 h = f (x) 的图像为（）40．如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M，将点M 到直线OP 的距离表示成x的函数f (x) ，则y =f (x)在[0,π]的图像大致为（）π π π πx 1 ⎩⎩五、两个函数图像交点个数1．函数 f (x ) = x 2- log x 的零点个数为（）2A ． 0B ．1C ． 2D ． 32．关于 x 的方程e xln x = 1的实根个数是（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 43．方程 x = sin x 的解个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 44．函数 f (x ) = - cos x 在[0, +∞) 内（）A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点5．已知方程 2 x- 1 = a 有两个不等实根，则实数 a 的取值范围是（）A ． (- ∞,0)B ． (1,2)C ． (0,+∞)D ． (0,1)⎧x , x ≤ 0,6．设函数 f (x ) = ⎨x 2 - x , x > 0，若方程 f (x ) = m 有三个不同的实根，则实数 m 的取值范围为．⎧ 2x , (x ≤ 1)7．已知函数 f (x ) = ⎨x 2 - 2x + 2, (x > 1) ，若关于 x 的函数 g (x ) = 实数 m 的取值范围是．f (x ) - m 有两个零点，则8． y = x 2- 2 x - 3 与 y = k 有 4 个不同的交点，则 k 的范围是．- - 4 11 函数（三）一、指对幂基本运算1．化简下列各式（1） (2a -3b - 2 - 5 3) ⋅ (-3a 1b ) ÷ (4a 4b 3)（2, b > 0)（3（4）已知 a = 3，求1 + 1+ 1 + 1+ a 的值1+ a 4 1- a 4 1+ a 223 3 1.5 1 2-2 0 1 - 327 4 2．化简或求值(其中各字母均为正数)3- 2（1） 2 3 ⨯ 3 3 - 8（2） (- 8) 3- (3π)0+(-2)2（3） (-1)0 + 83 + 4 (3 -π)48（4） 2 ⨯ ⨯31- 2 1 （5）(2 ) + 0.2 -π + ( )⎛ 27 ⎫ （6 3- ⎛ 49 ⎫2 + (0.2)-2 ⨯ 3427） 8⎪ 9 ⎪ 25 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2⎛ 1⎫-2⎛ 81 ⎫-111（7） 83 - (0.5)-3+ ⎪ ⨯ ⎪ （8）643- (- )0 + 3⋅ (-2)2 + 23⎝ 3 ⎭ ⎝ 16 ⎭99 （9）0.5+ (-3)-1÷ 0.75-2（10）25 - ⎛1- 18 ⎫3 - (π+ e )0+ ⎛ 1 ⎫ 2( )⎪ ⎪ 49 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（11） lg 4 + 2 l g 5 = ．4 126 1272 23 2 1（12） 2 log 5 10 + log 5 0.25 = ．（13） lg 1 - lg 5+ lg12.5 - log 9 ⋅ log 8 + e2 ln 2的值是．288 27（14） log 3 81 + 2 lg 5 + lg 4（15） lg 4 + lg 50 - lg 2（16） 2 l g 5 + lg 4 + ln1+log 2（17） log 2 = ， 33= ．（18） log 3⋅ log 2 + lg 2 + lg 5 - ln e2（19） lg 32 - lg 4lg 2+ (27)3 =．（20）计算： 2 log 5 10 + log 5 4= ， 2log 4 3= .e53 12（21）计算： (0.25)-0.5+ 83 - 2 log 25 =（22） log 5 25 + lg1100+ ln + 2log 2 3（23） 9log 3 2- 4 log 4 3 ⋅ log 27 8 + 3log 6 8 - 2 log 6-19 1 27 - 2 log 16（24） ( ) 2 - (-9.6)0 - ( ) 4 8 3 + 27log 3 8（25） (log 2 5 + log 4 125) ⋅log 3 2 log 5普通物质的原子总数 N 约为 1080．则下列各数中与 M最接近的是（）N（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033B ．1053C ．1073D ．10934．若102 x= 25，则10- x 等于（）A ． 15B ． - 15 C ． 150 D ． 16255．设ln 3 = a , ln 7 = b ，则e a + e b= .（其中e 为自然对数的底数）e 35a a6．已知a = e -2 ,b = e m, 且 a ⋅b = 1，则 m = ．7．设 2a= 5b= m ，且 1 + 1= 2 ，则 m =．a b8．已知 a , b ∈ R ，若 2a = 5b= 10 ，则 1 + 1=．a b9．已知2a= 5b = M ，且 2 + 1= 2 ，则 M 的值是（） a bA ．20B ． 2C ． ± 2D ．40010．若log 2 = m , log 3 = n , a 2m +n= ．11．已知 4a= 2 ， lg x = a ，则 x = ．12．（2017 广西 5 月考前适应性考试）设lg2 = a ，lg3 = b ，lg5 = c ，则log 12 25 等于（）A ．c a + bB ．ca - bC ．2c2a + bD ．2ca + 2bx 2 13．若log 1 x = m , log 1 y = m + 2 ，求 y的值．2 4510.5 0.5 2 二、指对幂大小比较1．已知log 1 a < log 1 b ，则下列不等式一定成立的是（）22A ． ( 1 )a 4 < (1)b3B ． 1 >1C ． ln (a - b ) > 0a bD ． 3a -b< 12．设 a = 40.9， b = 80.48， c = ( 1 ) 2 -1.5，则( )A ． c > a > bB ． b > a > cC ． a > b > cD ． a > c > b3．将下列各组数从小到大排列起来．33- 3- 3 （1） 2.34,2.44（2） ( 2) 2, ( 3)222 1 1 2- 23（3） 2.53 , (-1.4) 3,(- )33（4） 4.55 ,3.8 3, (-1.9)5- 3 - 3 3 - 1- 1 1 （5） 0.16 4,0.5 2,6.258（6） 0.16 2,0.25 4,6.254-14．已知a = 2 3， b = log 2 1, c = log 1，则（） 3 2 3A ． a > b > cB ．a > c > bC ．c > a > bD ．c > b > a5．已知a = 0.3-0.2,b = log 0.8, c = log 3，那么a ,b ,c 的大小关系是（） A ．a < b < cB ．c < b < aC ．c < a < bD ．a < c < b6．设 a = log 0.3， b = 20.3 ， c = 0.32，则下列不等式成立的是（）A ．c b > cB ． c a > bD ． a > c > b8．设 a = 40.1, b = log 0.1, c = 0.50.1，则（）A ． a > b > cB ． b > a > cC ． a > c > bD ． b > c > a9．设 a = log 3 2,b = ln 2, c = 5 - 12，则（）A ． a b > aB ． b > a > cC ． c > a > bD ． a > b > c12．已知 x = ln3， y = log 2 ， z = e -0.5，则（）A ． x < y < zB ． x < z < yC ． z < y < xD ． y < z < x13．已知 a = 1log 3 ，b =， c = log 3，则（）42A ． c < a < b2 2 5B ． a < b < cC ． b < c < aD ． b < a < c14．三个数 40.2 , 30.4, log 0.5的大小顺序是（）A ． 30.4 <40.2< log 0.5C ． log 0.5 < 30.4< 40.2B ． 30.4<log 0.5<40.2D ． log 0.5 < 40.2< 30.415．设 a = log 3 4 ⎛ 1 ⎫0.3， b = ⎪ ⎝ ⎭， c = log 2 (log 2 2 )，则（）A ． b < c < aB ． a a > c0.5B ． c > a > b 0.5C ． c > b > a⎪ ⎝ ⎭D ． b > c > a17．（2017 新课标 1）设 x , y , z 为正数，且 2x = 3y = 5z，则（）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z18．若 a > b > 0,0 < c < 1，则（）A ． log a c < log b cB ． l og c a < log c bC ． a c cb19．设 a > b > 1, c < 0 ，给出下列四个结论：① a c > 1；② a c log (b - c )；④ a b -c > a a -c . 其中所有的正确结论的序号是（）A ． ①②B ．②③C ．①②③D ．②③④20．若 a > b > 1，0 < c < 1，则（）A ． a c< bcB ． ab c< ba cC ． a log b c b > 0D. 若ln a - ln b = 3b - a ，则0 > a > b2一、单调性的判断函数（四）1．下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（） A ． y = e- xB ． y = x3C ． y = ln xD ． y = | x |2．下列函数中，当 x < 0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大的有（）① y = x ② y = -2x +1③ y = - 1x④ y = 3x2A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个3．下列函数中，在区间(0,+∞) 上为增函数的是（）A ． y = x-1B ． y = ( 1)x2C ． y = x + 1xD ． y = ln(x +1)4．下列函数中，在(0,+∞) 内单调递增，并且是偶函数的是（）A ． y = -(x -1)2B ． y = cos x +1C ． y = lg | x | +2D ． y = 2x5．下列函数中，在区间(0,1) 上是递增函数的是（）A ． y =| x +1|B ． y = 3 - xC ． y = 1xD ． y = -x 2+ 46．（2016 北京）下列函数中，在区间(-1,1) 上为减函数的是（） A ． y =11 - xB ． y = cos xC ． y = ln(x + 1)D ． y = 2- x7．下列函数中，满足“ f (x + y ) = f (x ) f ( y )”的单调递增函数是（）⎛ 1 ⎫xA ． f (x ) = lg xB ． f (x ) = x3C ． f (x ) = ⎪⎝ ⎭D ． f (x ) = 3x8．已知函数 f (x ) = ln x + ln(2 - x ) ，则（）A ． f (x ) 在(0,2) 单调递增B ． f (x ) 在(0,2) 单调递减C ． y = f (x ) 的图像关于直线 x = 1对称D ． y = f (x ) 的图像关于点(1,0) 对称9．已知函数 f (x ) = 3x- (1)x，则 f (x ) （）3A ．是偶函数，且在 R 上是增函数B ．是奇函数，且在 R 上是增函数C ．是偶函数，且在 R 上是减函数D ．是奇函数，且在 R 上是增函数10．对于函数：① f (x ) = lg ( x - 2 +1)，② f (x ) = (x - 2)2，③ f (x ) = cos (x + 2)，判断如下三个命题的真假：命题甲： f (x + 2)是偶函数；命题乙： f (x )在(-∞, 2)上是减函数，在(2, +∞)上是增函数；命题丙： f (x + 2)- f (x )在(-∞, +∞)是增函数．则能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是．二、求单调区间1．函数 f (x ) =| x | -3的单调增区间是．2． f (x ) = x 2- 2x (x ∈[-2,4]) 的单调递增区间为．3．函数 y =的单调递减区间是．4．函数 y = 的增区间是．x 2+ 2x - 3 - x 2- 2x + 32 23 2 0.7 1 1 15．若函数 f (x ) = (1) 3 |x -2|，则 f (x ) 的单调递减区间是．6．函数y = ( 1 ) 2- x 2+ x +2的单调递增区间是．7．函数y = (1) 8x 2-3 x -2的增区间是．8．函数 f (x ) = 3- x 2 +6 x -5的单调递减区间为．9．函数 f (x ) = log (x 2- 2x )的单调减区间是．10．求函数 y = log (x 2-1) 的单调区间．11．求函数 y = log (x 2- 3x + 2)的单调区间．12．函数 f (x ) = log (x - x2)的单调递增区间是．213．函数 f (x ) =1 的单调增区间为（）A ．(-∞,-1)B ．(3,+∞)C ．(-∞,-1) 和(-1,1)D ．(1,3) 和(3,+∞)14．函数 y = 2(log x )2- log x +1的单调递增区间是（）A ．[ 2,+∞)2 2B ． (0, 1]4C ． (0,]2D ． ( 1 , ]4 2x 2- 2x - 34 80.5 ⎩ 三、单调性求参数1．函数 y = (2k + 1)x + b 在实数集上是减函数，则（）A ． k > - 12B ． k < - 12C ． b > 0D ． b < 02．已知函数 f (x ) = x + a 在(-∞, -1)上是单调函数，则 a 的取值范围是（）A ．(-∞,1]B ．(-∞, -1]C ．[-1, +∞)D ．[1, +∞)3．若函数 y = x 2+ (2a -1)x + 1 在区间(-∞,2] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（）A ．[- 3,+∞)2B ． (-∞,- 3)2C ． [ 3 2,+∞)D ． (-∞, 3]24．已知 f (x ) = log 2 (4 - ax )在区间[-1, 3]上是增函数，则 a 的取值范围是．5．已知函数 f (x ) = log (x 2- ax + 3a ) 在[2，＋∞)单调递减，则 a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]6．若 f (x ) = lg(x 2- 2ax +1+ a ) 在区间(-∞,1] 上递减，则 a 的取值范围为()A ．[1,2)B ． [1,2]C ． [1,+∞)D ．[2,+∞)⎧a x , x > 1 7．已知函数 f (x ) = ⎪是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是 ⎨ a（）A. (1, +∞) ⎪(4 - 2)x + 2, x ≤ 1B. (1,8)C. [4,8)D. (4,8)36 - x 2x + 3 - 3 1- x x 2 - 1 ⎨⎪a ( ) = ⎩ x 1⎧- x 2 - ax - 5, x ≤ 1 8．已知函数 f (x ) = ⎪, x > 1 ⎩ x是 R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ． -3≤ a ＜0B ． a ＜0C ． a ≤ -2D ． -3≤ a ≤ -2⎧⎪a x, x < 0 9．已知函数 f x ⎨满足对任意 x≠ x ，都有 f ( x 1 ) - f (x 2 ) < 0 成 ⎪(a - 3)x + 4a , x ≥ 0 1 2 x - x ⎩1 2 立，则实数 a 的取值范围是（）1 1A ． (0,1]B ． (0, ]4C ． (0,3]D ． (0, )4⎧(2 - a )x +1, x < 1, 10．已知 f (x ) = 满足对任意 x ≠ x，都有 f (x 1 ) - f (x 2 ) > 0 成立，那⎨a x, x ≥ 1,么 a 的取值范围是．四、奇偶性的判断1．判断下列函数的奇偶性（1） f (x ) = x 3+ 1x1 2- x（2） f (x ) = x 4- x2（3） f (x ) =（4） f (x ) = +（5） f (x ) = log 2 (x + x 2+1)（6） f (x ) = + x - 21 - x 22x 2- 2 x⎩ ⎧⎪x 2 + x (x < 0)⎧- x 2 +1, x > 0（7） f (x ) = ⎨⎪- x 2+ x (x ≥ 0) （8） f (x ) = ⎨ ⎩ x 2-1, x < 0（9） f (x ) = x + 1 + x - 1（10） f (x ) = x + 1 - x - 12．在函数 y = x cos x ， y = e x + x 2 ， y = lg ， y = x sin x 偶函数的个数是（）A ． 3B ． 2C ．1D ． 03．（2015 福建）下列函数为奇函数的是（）A ．y =B ．y = sin xC ．y = cos xD ．y = e x- e- x4．下列函数为奇函数的是（）A ． 2x- 12xB ． x 3sin x C ． 2 cos x +1 D ． x 2 + 2x5．（2015 广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．y =B ．y = x + 1x C ．y = 2x+ 12xD ．y = x + e x6．下列函数中，既是偶函数又在(0，+ ∞) 上单调递增的是()A ． y = x3B ． y = cos xC ． y = 1x 2D ． y = ln x7．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（） A ． y = x 3+ xB ． y = log a xC ． y = 3xD ． y = - 1x8．下列函数中，是偶函数且在区间(0, +∞)上是减函数的为（）A ．y = 1xB ．y = x2C ．y = 1x 2D ．y = ( 1)x21+ x2x 9．下列函数是奇函数的是（）A ． f (x ) = - | x |B ． f (x ) = 2x+ 2- xC ． f (x ) = lg(1+ x ) - lg(1- x )D ． f (x ) = x 3 -110．（2015 湖南理）设函数 f (x ) = ln(1+ x ) - ln(1- x ) ，则 f (x ) 是（）A ．奇函数，且在(0,1) 上是增函数B ．奇函数，且在(0,1) 上是减函数C ．偶函数，且在(0,1) 上是增函数D ．偶函数，且在(0,1) 上是减函数11．（2016 吉林大学附中二模）下列函数既是奇函数，又在区间 (0 ，1) 上单调递减的是（）A ． f (x ) = x 3B ． f (x ) = - | x + 1|C ． f (x ) = ln 1 - x1 + xD ． f (x ) = 2x + 2- x12．（2015 陕西文）设 f (x ) = x - sin x ，则 f (x ) （）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数五、奇偶性求值11．若 f (x ) = a ＋为奇函数,求常数 a 的值．4 x+ 12．设函数 f (x ) = (x +1)(x + a ) 为偶函数，则 a = ．3．若函数 f (x ) =的图像关于原点对称，则 a = ． (2x +1)(x + a )4．函数 f (x ) = lg(a +21 + x) 为奇函数，则实数 a = ．5．若函数 f (x )= 2x +1x 是奇函数，则a 的值为（）2 -aA．0 B．-1 6．已知函数 f (x)= log aA．1 B．-1C．1 D．2 +kx)为奇函数，则k 的值为（）C．0 D．1 或-17．（2015新课标1）若函数f(x)=x ln(x+a+x2)为偶函数，则a=．8．已知函数f (x) = (9x +1) ⋅9kx (k ∈R) 为偶函数，则实数k 的值为．9．设函数f (x) =x(e x +ae-x )(x ∈R) 是偶函数，则实数a = ．10．若函数f (x) =x +(2a +1)x +1+1为奇函数，则a =．xt e x -t - 2 1+x 211．若函数 f (x )= e x -1 ⋅ln 1-x +x+1是偶函数，则实数t =（）A．-2 B．2 C．1 D．-112．设f (x) =ax2 +bx + 2 是定义在[1+a, 2]上的偶函数，则f (x) 的值域是( ) A．[-10, 2] B．[-12, 0] C．[-12, 2] D．与a, b 有关，不能确定13．已知函数f (x)=x3 +m - 2 是定义在[n, n + 4]上的奇函数，则m +n =．14．已知f (x) =ax2 +bx +3a +b 是偶函数，且其定义域为[a -1, 2a] 则a = ；b = ．)2 ⎝ ⎭15．（2017 天津二模）若函数 f (x ) = (x 2 + x - 2)(x 2+ ax + b )是偶函数，则 f (x ) 的最小值为．16．已知函数 f (x ) 为奇函数,且当 x > 0 时, f (x ) = x 2+ 1,则 f (-1) = （） xA ． - 2B ．0C ．1D ．217．已知函数 f (x ) 是奇函数，且当 x > 0 时， f (x ) = e x，则 f (-1) = （）A ． 1eB ． - 1eC ． eD ． -e18．已知函数 f (x ) = lg+ 2x + 2 ，则 f (ln 2) + f (ln 1) = ． 219．已知函数 f (x ) = x 5 + px 3+ qx - 8 满足 f (-2) = 10 ,则 f (2) = ()A ．10B ．－10C ．－26D ．－1820 ．函数 f (x ) = ax 5+ bx - 2 ，且 f ( p ) = 10 ，（其中 a , b , p 为常数），则f (- p ) = ．21．函数 f (x ) = x 5+ sin x +1( x ∈ R ),若 f (a ) = 2 ,则 f (-a ) 的值为．⎛ 1 ⎫ x 2 + x cos x + 2017 1016⎛ i ⎫22．已知函数 f x + ⎪ = ⎝ ⎭ x 2+ 2017 ，则 ∑ i =1001 f 2017 ⎪ = ．23．若 f (x )和 g (x )都是奇函数，且 F (x ) = af (x )+ b g (x )+ 2在(0, +∞)上有最大值 5，则 F (x )在(-∞, 0)上（）A ．有最小值- 5B ．有最大值- 5C ．有最小值 -1D ．有最大值 -1。

2024年高考数学复习培优讲义专题3-原函数与导函数混合还原问题(含解析)

专题1-3 原函数与导函数混合还原问题常见函数的构造模型1.对于)()(x g x f '>'，构造)()()(x g x f x h −=模型2.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()b kx x f x g +−=. 模型3.对于不等式()()0'>+x f x f ，构造函数())(x f e x g x = 拓展：对于不等式()()0'>+x kf x f ，构造函数())(x f e x g kx=模型4.对于不等式()()0'>−x f x f ，构造函数()x e)(x f x g =模型5.对于不等式()()0'>+x f x xf ，构造函数()()x xf x g = 拓展：对于不等式()()0'>+x nf x xf ，构造函数())(x f x x g n = 模型6.对于不等式()()0'>−x f x xf ，构造函数()()x x f x g =()0≠x 拓展：对于不等式()()0'>−x nf x xf ，构造函数()n xx f x g )(=模型7.对于0)()(>'x f x f ，分类讨论：（1）若0)(>x f ，则构造);(ln )(x f x h =（2）若0)(<x f ，则构造)](ln[)(x f x h −=模型8.对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =. 模型9.对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. 模型10.（1）对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '−><，构造()()cos h x f x x =．对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=．模型11.（1）()sin ()cos [()sin ]f x x f x x f x x ''+= （2）2()sin ()cos ()[]sin sin f x x f x x f x x x'−'= 解题思路利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别题型一由导函数不等式构造函数解不等式2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T81．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈−∞时，()2'>f x x ，则不等式 ()()()()3123331f x f x x −−>−+的解集为（）A ．1,3⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭B ．()()1,1,3−∞−⋃+∞C ．()1,+∞D ．1,13⎛⎫− ⎪⎝⎭2023·南京二模T82．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若对任意x ∈R 有()1f x '>，()()110f x f x ++−=，且()02f =−，则不等式()11f x x −>−的解集为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()3,+∞3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x '<，且()45f =，则不等式()222log log 3f x x >−的解集是．4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为(),f x '且当0x ＞时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式()()210xf x −<的解集为（）A ．()1,1－B ．(),1()0,1∞⋃－－C ．,11,()()∞⋃∞－－＋D ．1,0),()(1⋃∞－＋5．已知函数()f x 的定义域为(),0∞−,其导函数()'f x 满足()()'20xf x f x −>,则不等式()()()22023202310f x x f +−+−<的解集为（）A ．(2024,2023)−−B ．(2024,0)−C ．(,2023)−∞−D ．(,2024)−∞−重点题型·归类精讲2023·广州2023届综合能力测试（一）T156．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，若()10xf x '−<.(e)2f =，则关于x 的不等式1)(e x f x <+的解集为__________.2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T87．设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（）A ．e 0,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()30,eD ．3e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭2023届长郡中学月考（六）·118．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的x ∈R 有2()()f x f x x +−=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a −+>+，则实数a 的可能取值为（） A. 1− B. 0C. 1D. 2广州华南师大附中高三第一次月考·79．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数,()10f −=,当0x >时,()()0xf x f x '−>则使得()0f x >成立的x 的取值范围是().(,1)(1,0)A −∞−⋃−B.(0,1)∪(1,+∞) ().,1(0,1)C −∞−⋃D.(-1,0)∪(1,+∞)2022武汉高二下期中·710．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>−，()f x '是()f x 的导函数，且()06f =，则不等式()e 51x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）．A. ()(),01,−∞⋃+∞B. ()(),03,−∞+∞C. ()0,∞+D. ()3,+∞11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x +'>在R 上恒成立，则不等式()2e 21xf x +>()2e 3x f x −−的解集是．12．已知函数()f x 的定义域是（-5，5），其导函数为()f x '，且()()2f x xf x '+>，则不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−的解集是 .安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质检13．已知函数()f x 的定义域是11,22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭R ，若对于任意的x ∈R 都有()40f x x '+<，则当[]0,2απ∈时，不等式()sin cos20f αα−<的解集为（）A ．5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,266πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．50,,233πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭14．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若()05f =，且()()2f x f x '−>，则使不等式()3e 2xf x ≤+成立的x 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．12−D ．2题型二由导函数不等式构造函数比大小广东省四校2024届高三上学期10月联考（二）数学试题15．已知函数()f x 满足()()ln 0xf x x f x '+>（其中()f x '是()f x 的导数），若12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()2e c f =，则下列选项中正确的是（） A ．42c b a <> B ．()()()()2404001,12021e f f e f f <>C ．()()()()2404001,12021e f f e f f >< D ．()()()()2404001,12021e f f e f f <<2024届湖南师范大学附属中学月考(一)·T717．已知函数()f x 的定义域为R ，设()f x 的导数是()f x '，且()()sin 0f x f x x '⋅+>恒成立，则（）A ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．已知偶函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[0,)x ∞∈+，都有()()20f x x xf '+>恒成立，则下列结论正确的是（） A ．()00f −） D ．()()12f f <19．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（）A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<20．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，满足()()0f x xf x '−>，若()41a f =，()22b f =，()4c f =，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．c b a >>2023届菏泽市二模T821．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0,01f x f >=，且()()222e x f x f x ++=−，当1x >时，()()f x f x '>，则（）A ．()11e f −− ⎪⎝⎭C ．()22e f > D ．()ee ef >河南省洛阳市六校高三上10月联考·1022．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（） A ．()()2130f f >> B ．()()2130f f << C ．()()2310f f >> D ．()()2310f f <<23．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（）．A 3()2()43ππ>B ．(1)2()sin16f f π<⋅C 2()()64f ππ>D 3()()63f ππ<2022湖北六校高二下期中·1124．（多选）已知函数f （x ）的定义域是（0，+∞），其导函数是f '（x ），且满足1ln '( >)()0x f x f x x⋅+⋅，则下列说法正确的是（） A ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．f （e ）＞0D ．f （e ）＜025．已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数都存在，若()()()()10f x g x f x g x x <'+'，且()()()()2211f g f g −为整数，则()()()()2211f g f g −的可能取值的最大值为 .题型三由导函数不等式构造函数结合奇偶性解不等式经典例题26．设函数'f x （）是奇函数()()f x x ∈R 的导函数(1)0f −＝，当x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＜0成立的x 的取值范围为．深圳第二高级中学高二下期中T1527．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且f （2）0=，当0x >时，()()0xf x f x '+>恒成立，不等式()0f x <的解集为_______________．28．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()20f =，对()0,x ∀∈+∞，()()0f x xf x '+>成立，则()()10x f x −≥的解集为．2023届广东佛山高三上学期期末T1629．已知()f x 是定义在(,0)(0,)−∞+∞上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，若(2)0f =，则不等式2()0x f x >的解集是________．2023·湖北省·一模T1630．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()()2,0f x f x x x =−−>时，()10f x '+>．若不等式()()ln ln f x a f x a +>−在[)2,−+∞上恒成立，则a 的取值范围是__________,2023淄博市二模T831．已知定义在()3,3−上的函数()f x 满足42()e ()0,(1)e ,()x f x f x f f x '+−==为()f x 的导函数，当[0,3)x ∈时，()2()f x f x '>，则不等式24e (2)e x f x −<的解集为（）A ．(2,1)−B ．(1,5)C ．(1,)+∞D ．(0,1)广东省梅州市2022-2023学年高二下学期期末32．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，有()2()0xf x f x '+<恒成立，则（） A ．14(1)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．(2)(3)94f f < C ．119423f f⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．19(1)3f f ⎛⎫−<− ⎪⎝⎭2023届第七次百校大联考T833．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x >时，()()0xf x f x x'+>，且(2)1f =，则不等式2(21)21f x x −<−的解集为（） A ．13,,22⎛⎫⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2023届梅州二模T834．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()22f x f x x −+=，且在()0,∞+上()2f x x '<．若(3)()96f a f a a −−≥−，则实数a 的取值范围为（）A. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. [)3,+∞2023届湖南湘考王3月模拟T835．设定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x −+=，且当0x ≤时，'()f x x <，其中'()f x 为函数()f x 的导数，则不等式1()(1)2f x f x x −−≥−的解集是（）A ．(1]−∞，B ．[1)+∞，C ．1[)2+∞，D ．1(]2−∞，2023届邵阳三模T836．定义在R 上的可导函数f （x ）满足()()()e e x xf x f x x −−−=+，且在()0,∞+上有()10e xx f x −'+<若实数a 满足()()222222e e2e 0a a a f a f a a a −−−−−−+−++≥，则a 的取值范围为（） A ．2,23⎡⎤−⎢⎥⎣⎦B ．[)2,+∞C ．[)2,2,3⎛⎤−∞−⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(],2−∞2023届广东佛山·华南师大附中南海实验强化考（三）T837．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =−−，当(),0x ∈−∞时，()142f x x '+<.若()()142f m f m m +≤−++，则实数m 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,−+∞D ．[)2,−+∞,0)(0,)+∞上的奇函数，()0x f x ⋅>的解集为．辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三）T839．已知函数f （x ）为定义在R 上的偶函数，当()0,x ∈+∞时，()2'>f x x ，()24f =，则不等式()2312xf x x x x −+>+的解集为（）A ．()()103−⋃+∞,, B ．()()1,13,−+∞C ．()(),10,3−∞−D ．()1,3−40．已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =−，则不等式6(21)21f x x −−<−的解集为（） A ．13,,22⎛⎫⎛⎫−∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1113,,2222⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭题型四由等式构造函数2024届山西大学附属中学10月月考T1141．（多选）已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫− ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '.若()()sin cos x f x x f x x '⎡⎤+=⎣⎦，且()00f =，则（）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是减函数C ．()f x 有最大值D ．()f x 没有极值河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）42．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2sin f x f x x −−=，且在[)0,∞+上()cos f x x '>．若()πcos sin 2f f t t t t ⎛⎫− ⎝−⎭−>⎪．则实数t 的取值范围为（）A ．π,4⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭ B ．π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ．π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭山东省德州市2022-2023学年高二下学期期末43．（多选）R 上的函数()f x 满足()()e xf x f x ='+，且()01f =，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在2x =−处取得极小值B ．()f x 有两个零点C ．若0x ∀>，()f x k >恒成立，则1k <D ．若1x ∃，2R x ∈，12x x ≠，()()12f x f x =，则124x x +<−44．（多选）已知()f x '为函数()f x 的导函数，若()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论错误的是 A ．()xf x 在()0,∞+上单调递增 B ．()xf x 在()0,∞+上单调递减 C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12专题1-3 原函数与导函数混合还原问题常见函数的构造模型1.对于)()(x g x f '>'，构造)()()(x g x f x h −=模型2.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()b kx x f x g +−=. 模型3.对于不等式()()0'>+x f x f ，构造函数())(x f e x g x = 拓展：对于不等式()()0'>+x kf x f ，构造函数())(x f e x g kx = 模型4.对于不等式()()0'>−x f x f ，构造函数()xe )(x f x g =模型5.对于不等式()()0'>+x f x xf ，构造函数()()x xf x g =拓展：对于不等式()()0'>+x nf x xf ，构造函数())(x f x x g n=模型6.对于不等式()()0'>−x f x xf ，构造函数()()x x f x g =()0≠x 拓展：对于不等式()()0'>−x nf x xf ，构造函数()nx x f x g )(=模型7.对于0)()(>'x f x f ，分类讨论：（1）若0)(>x f ，则构造);(ln )(x f x h =（2）若0)(<x f ，则构造)](ln[)(x f x h −=模型8.对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =. 模型9.对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =. 模型10.（1）对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '−><，构造()()cos h x f x x =．对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=．模型11.（1）()sin ()cos [()sin ]f x x f x x f x x ''+= （2）2()sin ()cos ()[]sin sin f x x f x x f x x x'−'= 解题思路利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别题型一由导函数不等式构造函数解不等式2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T81．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈−∞时，()2'>f x x ，则不等式 ()()()()3123331f x f x x −−>−+的解集为（）A ．1,3⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭B ．()()1,1,3−∞−⋃+∞C ．()1,+∞D ．1,13⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】D重点题型·归类精讲【分析】根据不等式的结构，构造函数()()2g x f x x =−，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可. 【详解】令()()2g x f x x =−，因为()f x 为偶函数，即()()f x f x −=，故()()g x g x −=，()g x 为偶函数，当(),0x ∈−∞时，()2'>f x x ，则()()()20,g x f x x g x =−>''在(),0∞−上单调递增，因为()()()()3123331f x f x x −−>−+，即()()2231(31)22f x x f −−−>−，所以()()312g x g −>，故312x −<，解113−<<x ，所以不等式的解集为1,13⎛⎫− ⎪⎝⎭.2023·南京二模T82．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若对任意x ∈R 有()1f x '>，()()110f x f x ++−=，且()02f =−，则不等式()11f x x −>−的解集为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()3,+∞【答案】D【分析】构造()()g x f x x =−，确定函数单调递增，计算()22f =，()20g =，转化得到()()12g x g −>，根据单调性得到答案.【详解】设()()g x f x x =−，则()()10g x f x ''=−>恒成立，故函数在R 上单调递增.()()110f x f x ++−=，则()()200f f +=，即()22f =，故()()2220=−=g f .()11f x x −>−，即()10g x −>，即()()12g x g −>，故12x −>，解得3x >.3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x '<，且()45f =，则不等式()222log log 3f x x >−的解集是．【答案】()1,16【分析】构造函数()()23g x f x x =−+，由导数确定其单调性，题设不等式化为2(log )(4)g x g >，再利用单调性变形求解．【详解】令()()23g x f x x =−+，则()()20g x f x ''=−<， ∴()g x 在(0,)+∞上是减函数， (4)(4)830g f =−+=，不等式()222log log 3f x x >−化为22(log )2log 3f x x >−，即22(log )2log 30f x x −+>，也即为2(log )(4)g x g >，所以20log 4x <<，116x <<. 故答案为：(1,16)，4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为(),f x '且当0x ＞时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式()()210xf x −<的解集为（）A ．()1,1－B ．(),1()0,1∞⋃－－C ．,11,()()∞⋃∞－－＋D ．1,0),()(1⋃∞－＋【答案】B【分析】构造新函数()()ln g x f x x =，利用导数确定()g x 的单调性，从而可得0x >时()f x 的正负，利用奇函数性质得出0x <时()f x 的正负，然后分类讨论解不等式．【详解】设()()ln g x f x x =，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，又(1)0g =，所以1x >时，()()ln (1)0g x f x x g =>=，此时ln 0x >，所以()0f x >，01x <<时，()()ln (1)0g x f x x g =<=，此时，ln 0x <，所以()0f x >，所以(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0f x >，因为()f x 是奇函数，所以(,1)(1,0)x ∈−∞−−时，()0f x <，由2(1)()0x f x −<得210()0x f x ⎧−>⎨<⎩或210()0x f x ⎧−<⎨>⎩，所以1x <−或01x <<．关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数()()ln g x f x x =，利用导数确定单调性后，得出()0f x >的解．5．已知函数()f x 的定义域为(),0∞−,其导函数()'f x 满足()()'20xf x f x −>,则不等式()()()22023202310f x x f +−+−<的解集为（）A ．(2024,2023)−−B ．(2024,0)−C ．(,2023)−∞−D ．(,2024)−∞−【答案】A【分析】由题可得当(),0x ∈−∞时，()()20xf x f x −>，构造函数2()()f x g x x =，可判断()g x 在(,0)−∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2023)(1)g x g +<−，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集. 【详解】由题意知，当(,0)x ∈−∞时，'()2()0xf x f x −>，设2()()f x g x x =，则2'''43()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x −−==<，所以()g x 在(,0)−∞上单调递减，不等式2(2023)(2023)(1)0f x x f +−+−<等价于()22(2023)(1)(2023)1f x f x +−<+−，即为(2023)(1)g x g +<−，所以2023120230x x +>−⎧⎨+<⎩，解得20242023x −<<−. 故选：A.2023·广州2023届综合能力测试（一）T156．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，若()10xf x '−<.(e)2f =，则关于x 的不等式1)(e x f x <+的解集为__________.【答案】(1,)+∞【解析】令函数()()ln ,0g x f x x x =−>，则1()1()()0xf x g x f x x x'−''=−=<，因此函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，(e)(e)ln e 1g f =−=，因此1))))(e 1(e (e (e x x x f x g f x g −<+<⇔<⇔，即e e x >，解得1x >，所以不等式1)(e x f x <+的解集为(1,)+∞.2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T87．设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（）A ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()30,eD ．3e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()3exf xg x =，由已知可得函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令()()3e xf xg x =，则()()()33exf x f xg x '−'=，因为()()()3R f x f x x '>∈，所以()()()330e xf x f xg x '−'=>，所以函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即不等式()3ln <1>0f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，又()()()3ln 3ln ln ln e x f x f x g x x ==，11313e f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，所以不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln 3x <，解得30e x <<，所以不等式()3ln f x x <的解集为(3e .2023届长郡中学月考（六）·118．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的x ∈R 有2()()f x f x x +−=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a −+>+，则实数a 的可能取值为（） A. 1− B. 0C. 1D. 2【答案】AB 【解析】【分析】构建2()()2x g x f x =−，根据题意分析可得：()g x 为奇函数，在R 上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.【详解】222()()()()()022x x f x f x x f x f x −+−=⇔−+−−=令2()()2x g x f x =−，即()()0g x g x +−=，则()g x 为奇函数，当0x ≥时，()()0g x f x x ''=−>，则()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，故()g x 在区间(],0−∞上单调递增，则()g x 在R 上单调递增，∵(2)2()2f a a f a −+>+⇔22(2)(2)()22a af a f a −−−>−，即()(2)g a g a −>，∴2a a −>，解得1a <，故A 、B 正确，C 、D 错误.广州华南师大附中高三第一次月考·79．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数,()10f −=,当0x >时,()()0xf x f x '−>则使得()0f x >成立的x 的取值范围是().(,1)(1,0)A −∞−⋃−B.(0,1)∪(1,+∞) ().,1(0,1)C −∞−⋃D.(-1,0)∪(1,+∞)【答案】 D2022武汉高二下期中·710．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>−，()f x '是()f x 的导函数，且()06f =，则不等式()e 51x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）．A. ()(),01,−∞⋃+∞B. ()(),03,−∞+∞C. ()0,∞+D. ()3,+∞【答案】C 【解析】【分析】构造函数()1()exf xg x −=，(R)x ∈，研究()g x 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【详解】设()1()exf xg x −=，(R)x ∈，则2e ()e ()(()11()e [)]e x x x xf x f x f x f xg x −''−−+'==， ()()1f x f x '>−， ()()10f x f x '∴−+>，()0g x '∴>，()y g x ∴=在定义域R 上单调递增，()5e 1x f x >+，()06f =，即()1(0)15e e x f x f −−>=， ()(0)g x g ∴>，0x ∴>，∴不等式的解集为(0,)+∞11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x +'>在R 上恒成立，则不等式()2e 21xf x +>()2e 3x f x −−的解集是．【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()e x g x f x =，再将()2e 21x f x +>()2e 3xf x −−转化为()()213g x g x +>−，进而根据()g x 的单调性求解即可.【详解】令()()e x g x f x =，则()()()e 0x g x f x f x ''+>⎡⎤⎣⎦=，所以()g x 在R 上单调递增，由()2e 21x f x +>()2e 3x f x −−，得()()213e 21e 3x xf x f x +−+>−，即()()213g x g x +>−，所以213x x +>−，解得23x >. 所以不等式()2e 21x f x +>()2e 3xf x −−的解集是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.12．已知函数()f x 的定义域是（-5，5），其导函数为()f x '，且()()2f x xf x '+>，则不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−的解集是 .【答案】()2,4【分析】设()()2g x xf x x =−，根据()()2f x xf x '+>，得到()0g x '>，从而()g x 是()5,5−上的增函数，将不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−转化为()()()()()()23232231121x f x x x f x x −−−−>−−−−，即()()231g x g x −>−求解.【详解】解：设()()2g x xf x x =−，则()()()2g x f x xf x =+'−'. 因为()()2f x xf x '+>，所以()0g x '>，则()g x 是()5,5−上的增函数.不等式()()()()23231124x f x x f x x −−−−−>−等价于，()()()()()()23232231121x f x x x f x x −−−−>−−−−，即()()231g x g x −>−，则5235,515,231,x x x x −<−<⎧⎪−<−<⎨⎪−>−⎩解得24x <<. 故答案为：()2,4安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质检13．已知函数()f x 的定义域是11,22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭R ，若对于任意的x ∈R 都有()40f x x '+<，则当[]0,2απ∈时，不等式()sin cos20f αα−<的解集为（）A ．5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,,266πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．50,,233πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】构造函数()()221g x f x x =+−，求导得()g x 在R 上是减函数，由题知()1sin 2g g α⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以1sin 2α>，计算得解.【详解】令()()221g x f x x =+−，则()()()40,g x f x x g x =+<''在R 上是减函数.2111210222g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()2sin sin 2sin 1sin cos20g f f ααααα=+−=−<得1sin 2α>，又[]0,2απ∈，所以5,66αππ⎛⎫⎪⎝⎭∈. 14．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '．若()05f =，且()()2f x f x '−>，则使不等式()3e 2xf x ≤+成立的x 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．12−D ．2【分析】根据已知条件构造函数()()2exf x F x −=，要求解的不等式可化为()()0F x F ≤，判断F (x )单调性即可求解.【详解】设()()2e xf x F x −=，则()()()2exf x f x F x '−+'=， ∵()()2f x f x '−>，∴()()20f x f x '−+<， ∴()0F x '<，即()F x 在定义域R 上单调递减． ∵()05f =，∴()03F =，∴不等式()3e 2xf x ≤+等价于()23exf x −≤，即()()0F x F ≤，解得0x ≥，结合选项可知，只有D 符合题意．题型二由导函数不等式构造函数比大小广东省四校2024届高三上学期10月联考（二）数学试题15．已知函数()f x 满足()()ln 0xf x x f x '+>（其中()f x '是()f x 的导数），若12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()2e c f =，则下列选项中正确的是（） A ．42c b a <，由题意可得(0,)∀∈+∞x ，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，然后由1220e e e <<<可得答案.【详解】因为()()ln 0xf x x f x '+>（0x >），所以()()1ln 0f x x f x x'+>，所以[()ln ]0f x x '>，令()()ln (0)g x f x x x =>，则(0,)∀∈+∞x ，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，因为1220e e e <<<，所以122(e )(e)(e )g g g <<，所以112222(e )ln e (e)ln e (e )ln e f f f <<，所以1221(e )(e)2(e )2f f f <<，所以122a b c <<，所以24a b c <<江苏南通市部分学校3月模拟·T816．已知()f x 是可导的函数，且()()2f x f x '≤，对于x R ∈恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()()()2404001,12021e f f e f f >>B ．()()()()2404001,12021e f f e f f <>C ．()()()()2404001,12021e f f e f f >< D ．()()()()2404001,12021e f f e f f <<【答案】A 【解析】令()()2xf xg x e =，则()()()()()()2222222x x xxf x e e f x f x f xg x e e ''⋅−⋅−'==，()()2f x f x '≤，20x e >，()0g x '∴≤，()g x ∴在R 上单调递减， ()()01g g ∴>，()()12021g g >，即()()0201f f e e >，()()2404212021f f e e >，()()201e f f ∴>，()()404012021e f f >.17．已知函数()f x 的定义域为R ，设()f x 的导数是()f x '，且()()sin 0f x f x x '⋅+>恒成立，则（）A ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫<− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】设()()22cos g x f x x =−，得到()0g x '>，得到()g x 为增函数，得到22ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解.【详解】设()()22cos g x f x x =−，则()()()22sin 0g x f x f x x ''=⋅+>，故()y g x =在定义域R 上是增函数，所以ππ22g g ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππ22f f ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫>− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．已知偶函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若对任意[0,)x ∞∈+，都有()()20f x x xf '+>恒成立，则下列结论正确的是（） A ．()00f −）D ．()()12f f <【答案】C【详解】令0x =，则2(0)00,(0)0f f +>∴>，则A 错误；令2()()g x x f x =，则2()2()()g x xf x x f x ''=+，当0x >时，由()()20f x xf x '+>，22()()0xf x x f x '∴+>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，又因为偶函数()f x 的定义域为R ，∴2()()g x x f x =为偶函数，()g x 在(0,)+∞上单调递增， ()(3)3(1)g g g ∴−=>，9(3)(1)f f −>，故B 错误；(2)(1)g g ∴>−，4(2)(1)f f >−，故C 正确；由题意，不妨假设()0f x c =>(c 为常数)符合题意，此时()()12f f c ==，故D 错误.19．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（）A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<【答案】B【分析】构造函数ln(1)()()x g x f x +=，根据题意可得()0g x '<，从而根据单调性可得0(1)(3)g g >>，进而得出结果.【详解】由题意，在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，构造函数ln(1)()()x g x f x +=，则()()2()ln(1)1()f x f x x xg x f x '−++'=，∵[)0,∞+上()()()()()1ln ()ln(1)0111f x x f x x f x f x x x x −+'−+'+=<++，即()0g x '<， ∴()g x 在[)0,∞+上单调递减，而(0)0g =，故0(1)(3)g g >> ∴ln 2ln 42ln 20(1)(3)(3)f f f >>=，可得2(1)(3)0f f <<.20．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，满足()()0f x xf x '−>，若()41a f =，()22b f =，()4c f =，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A【分析】依题意令()()f x g x x=，进而根据题意得()g x 在R 上单调递减，故()()()24124f f f >>，进而得答案.【详解】解：因为()f x 满足()()0f x xf x '−<，令()()f x g x x=，则()()()20xf x f x g x x'−'=<，所以()g x 在R 上单调递减，所以()()()124g g g >>，即()()()24124f f f >>，所以()()()41224f f f >>.所以c b a <<.2023届菏泽市二模T821．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0,01f x f >=，且()()222e x f x f x ++=−，当1x >时，()()f x f x '>，则（）A ．()11e f −− ⎪⎝⎭C ．()22e f > D ．()ee ef >【答案】D【分析】设()()xf xg x =e ，由1x >时，()()f x f x '>可得()g x 在()1,+∞上单调递增，由()()222e x f x f x ++=−，可得()()2g x g x +=−.A 选项，比较()1g −与()2g 大小即可判断选项正误；B 选项，比较1e g ⎛⎫⎪⎝⎭与()2g 大小即可判断选项正误；C 选项，比较1与()2g 大小即可判断选项正误；D 选项，比较()e g 与()2g 大小即可判断选项正误；【详解】因()()f x f x '>，则()()()()()200e e e e e x x xxx f x f x f x f x f x '⎡⎤''−−>⇒=>⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则函数()()xf xg x =e 在()1,+∞上单调递增；因()()()()()()22222e 2e e x xx f x f x g x g x f x f x ++−+−⇒=⇒++=−−=，则()()()00201ef g g ===.A 选项，()()()()()111132111e e f g g g f −−−−=>=⇒>⇒−>，故A 错误；B 选项，注意到11221e e <<−<，则()11221e e g g g ⎛⎫⎛⎫=−<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111e ee e e ef f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭⇒<⇒< ⎪⎝⎭，故B 错误； C 选项，()()()2222112e ef g f =⇒=⇒=，故C 错误； D 选项，()()()()211e ee e e e ef g g f >=⇒>⇒>，故D 正确.河南省洛阳市六校高三上10月联考·1022．设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '−++<，则（） A ．()()2130f f >> B ．()()2130f f << C ．()()2310f f >> D ．()()2310f f <<【答案】B【解析】由题意，在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，构造函数ln(1)()()x g x f x +=，则()()2()ln(1)1()f x f x x xg x f x '−++'=，∵[)0,∞+上()()()()()1ln ()ln(1)0111f x x f x x f x f x x x x −+'−+'+=<++，即()0g x '<， ∴()g x 在[)0,∞+上单调递减，而(0)0g =，故0(1)(3)g g >> ∴ln 2ln 42ln 20(1)(3)(3)f f f >>=，可得2(1)(3)0f f <<. 23．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（）． A 3()2()43ππ>B ．(1)2()sin16f f π<⋅C 2()()64f ππ>D 3()()63f ππ<【答案】D【分析】由已知条件构造函数()()sin f x g x x =，求导后结合已知可得()g x 在(0,)2π上为增函数，从而可比较出大小【详解】()cos ()sin f x x f x x '⋅<⋅，()cos ()sin 0f x x f x x '⋅−⋅<，设()()sin f x g x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x g x x'⋅−⋅'=>，则()g x 在(0,)2π上为增函数，对于A ，因为0432πππ<<<，所以()()43g g ππ<，即()()34sin sin43f f ππππ<3()2()43ππ，所以A 错误，对于B 因为0162ππ<<<，所以()(1)6g g π<，即()(1)6sin1sin 6f f ππ<，得(1)2()sin16f f π>⋅，所以B 错误，对于C ，因为0642πππ<<<，所以()()64g g ππ<，即()()64sin sin 64f f ππππ<2()()64f ππ<，所以C 错误，对于D ，因为0632πππ<<<，所以()()63g g ππ<，即()()63sin sin 63f f ππππ<3()()63f ππ<，所以D 正确， 2022湖北六校高二下期中·1124．（多选）已知函数f （x ）的定义域是（0，+∞），其导函数是f '（x ），且满足1ln '( >)()0x f x f x x⋅+⋅，则下列说法正确的是（） A ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．f （e ）＞0D ．f （e ）＜0【解答】解：令g （x ）＝f （x ）lnx （x ＞0），则g ′（x ）＝1ln ()()0x f x f x x'⋅+⋅>， ∴g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，又g （1）＝f （1）ln 1＝0， ∴当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，当x ＞1时，g （x ）＞0，而1e∈（0，1），e ∈（0，+∞），因此111()()ln0 <g f e e e=，g （e ）＝f （e ）lne ＞0， ∴>1()0 f e，f （e ）＞0，故AC 正确，BD 错误；故选：AC ．25．已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数都存在，若()()()()10f x g x f x g x x <'+'，且()()()()2211f g f g −为整数，则()()()()2211f g f g −的可能取值的最大值为 .【答案】14【分析】构建()()()25h x f x g x x =−，根据题意利用导数可得()h x 在R 上单调递减，由()()12h h >，结合题意分析求解.【详解】因为()()()()10f x g x f x g x x <'+'，设函数()()()25h x f x g x x =−，则()()()()()100h x f x g x f x g x x '=+''−<，所以()h x 在R 上单调递减，则()()12h h >，即()()()()2211512252f g f g −⨯>−⨯，整理得()()()()221115f g f g −<，又因为()()()()2211f g f g −为整数，所以()()()()2211f g f g −的可能取值的最大值为14. 故答案为：14.题型三由导函数不等式构造函数结合奇偶性解不等式经典例题26．设函数'f x （）是奇函数()()f x x ∈R 的导函数(1)0f −＝，当x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＜0成立的x 的取值范围为．【解答】解：令g （x ）＝()f x x（x ＞0），因为x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，所以g ′（x ）＝2()()f x x f x x '−＜0，故g （x ）在（0，+∞）上单调递减，因为f （x ）为奇函数，所以g （x ）为偶函数，根据偶函数对称性可知，g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，由g （﹣1）＝﹣f （﹣1）＝0，g （1）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝0，因为f （x ）＜0，所以xg （x ）＜0，可转化为0 >0()x g x ⎧⎨<⎩或，0 <0()x g x ⎧⎨>⎩ 解得x ＞1或﹣1＜x ＜0，故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）。

2020届高三精准培优专练一函数的图象与性质(理) 学生版

2020届高三好教育精准培优专练例1：对于函数()f x ，若a ∀，b ，c ∈R ，都有()f a ，()f b ，()f c 为某一三角形的三条边，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+（e为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（） A ．[0,)+∞ B ．[0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2：设函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞ B ．)⎡-+∞⎣C ．17,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．257,60⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭例3：定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[0,2)x ∈时，2()48f x x x =-+．若在区间[,]a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数i x （1i =，2，L ，m ），满足111()()72m i i i f x f x -+=-≥∑，则b a -的最小值为（） A ．15 B ．16C ．17D ．18三、函数的周期性二、函数的奇偶性和对称性一、函数的单调性培优点一函数的图象与性质例4：已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(,3)-∞-C ．(,3)-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭一、选择题 1．已知函数ln ln ()a xf x x+=在[1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．10a e<<B ．0a e <≤C ．a e ≤D ．a e ≥2．已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有(4)()f x f x +=；②对于任意的1x ，2x ∈R ，且1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是（） A ．(7)(4.5)(6.5)f f f << B ．(4.5)(7)(6.5)f f f << C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<3．已知函数(1)y f x =+关于直线1x =-对称，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，31log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0.3(2)b f -=-，3(2log 2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知实数x ，y 分别满足：3(3)2019(3)x x a -+-=，3(23)2019(23)y y a -+-=-，则2244x y x ++的最小值是（） A ．0B ．26C ．28D ．30对点增分集训四、函数性质的综合应用5．设函数()11,1121,1x x f x x x ⎧+-≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(6)()f x f x ->的解集为（） A ．(3,1)-B ．(3,2)-C．(-D．(2)6．若对x ∀，y ∈R ，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数22()()1xg x f x x =++，(2)(2)g g +-的值（） A ．0B ．4C ．6D ．97．设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos π()g x x f x =-在区间[3,5]-上的所有零点的和为（） A ．10B ．8C ．16D ．208．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，K ，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=L L （）A ．0B ．6C ．12D ．189．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（） A ．3-B ．0C ．1D ．310．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为(0,1)，且()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则b =（） A ．1B ．2C ．3D ．411．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()232,[0,1)1,[1,2)2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．[2,0)(0,1)-UB ．[2,0)(1,)-+∞UC ．[2,1)-D ．(,2](0,1]-∞-U12．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当(0,2)x ∈时，3()f x x =，则函数()f x 在区间[2018,2021]上（） A ．无最大值 B ．最大值为0C ．最大值为1-D ．最大值为1二、填空题 13．已知321()(1)1x f x x x +=+--，若(2021)f a =，则(2019)f -= ． 14．函数2log (2)a y x ax =-+在区间(,1]-∞上是减函数，则a 的取值范围是．15．某同学在研究函数()()1xf x x x=∈+R 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()f x f x -=-在x ∈R 时恒成立； ②函数()f x 的值域为(1,1)-；③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ④方程()f x x =在R 上有三个根．其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）16．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，(2)(2)0f x f x +--=；③当[0,2]x ∈时，()f x x =；④函数1()()(2)n n f x f x -=⋅，n ∈*N ，若过点(1,0)-的直线l 与函数(4)()f x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是．例1：【答案】D【解析】由题意可得：()()()f a f b f c +>，对a ∀，b ，c ∈R 恒成立，1()111x x xe t tf x e e +-==+++，当10t -=时，()1f x =，()()()1f a f b f c ===，满足条件，当10t ->时，()f x 在R 上单调递减，∴1()11f a t t <<+-=，同理：1()f b t <<，1()f c t <<，∵()()()f a f b f c +>，所以2t ≥，∴12t <≤．当10t -<时，()f x 在R 上单调递增，∴()1t f a <<，同理：()1t f b <<，()1t f c <<，∴21t ≥，12t ≥．∴112t ≤<．综上可得：实数t 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例2：【答案】C【解析】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，()g x 为定义在R 上的偶函数， ∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=，又∵由()()2x f x g x +=，结合()()()()2x f x g x f x g x --+-=-+=， ∴1()(22)2x x f x -=-，1()(22)2x x g x -=+，又由()(2)0af x g x +≥，可得221(22)(22)022x x x x a ---++≥， ∵12x ≤≤，∴3152224x x -≤-≤，令22xxt -=-，则0t >，将不等式整理即得：2a t t ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭．培优点一函数的图象与性质答案∵31524t ≤≤，∴172257660t t ≤+≤，∴176a ≥-．故选C ．例3：【答案】D【解析】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，可得()f x 关于直线2x =对称，且(4)()()f x f x f x +=-=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，∴()f x 的周期为8．函数()f x 的图象如下：比如，当不同整数i x 分别为1-，1，2，3，5，L 时，b a -取最小值， ∵(1)4f -=-，(1)4f =，(2)0f =，7231812⨯=，则b a -的最小值为18，故选D ．例4：【答案】D【解析】由题意，函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且2()()g x f x x =+，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=-+-=+=，所以函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，所以当(0,)x ∈+∞时函数()g x 单调递减，又由22(1)(1)(1)(1)21g x f x x f x x x +=+++=++++，22(2)(2)(2)(2)44g x f x x f x x x +=+++=++++，所以不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+等价于(1)(2)g x g x +>+，所以12x x +<+，平方得222144x x x x ++<++，解得32x >-．即不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．一、选择题 1．【答案】D 【解析】函数ln ln ()a x f x x +=在[1,)+∞上为减函数，21ln ln ()a xf x x --'=，则()0f x '≤在[1,)+∞上恒成立，即1ln ln 0a x --≤在[1,)+∞上恒成立， ∴ln 1ln ln e x a a ≥-=恒成立，∴ln 0e a ≤，即01ea<≤，∴a e ≥．故选D ． 2．【答案】B【解析】定义在R 上的函数()y f x =满足三个条件：由①对于任意的x ∈R ，都有(4)()f x f x +=，可知函数()f x 是周期4T =的周期函数； ②对于任意的1x ，2x ∈R ，且1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <，可得函数()f x 在[0,2]上单调递增；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，可得函数()f x 的图象关于直线2x =对称． ∴(4.5)(0.5)f f =，(7)(3)(1)f f f ==，(6.5)(2.5)(1.5)f f f ==． ∵(0.5)(1)(1.5)f f f <<，∴(4.5)(7)(6.5)f f f <<．故选B ． 3．【答案】D【解析】因为(1)y f x =+关于直线1x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，331log (log 5)5a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，0.30.31(2)2b f f -⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，3(log 4)c f =，因为33log 5log 41>>，0.31102⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，根据函数对称性及单调性可知b c a <<，所以选D ． 4．【答案】C【解析】设3()2019f x x x =+，则()()f x f x -=-，即函数()f x 是奇函数，且函数为增函数，∵3(3)2019(3)x x a -+-=，3(23)2019(3)y y a -+-=-， ∴33(3)2019(3)[(23)2019(23)]x x y y -+-=--+-，即(3)(23)f x f y -=--，即(3)(32)f x f y -=-，∵3()2019f x x x =+为增函数，∴332x y -=-，即260x y +-=，把26y x =-代入2244z x y x =++，得到2222(6)428362(2)2828z x x x x x x =+-+=-+=-+≥，当且仅当2x =，2y =时取得最小值．故选C ． 5．【答案】D【解析】易证得函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，当1x <时，得261x x ->⇒<<1x <；当1x ≥时，得2632x x x ->⇒-<<，则12x ≤<，综上得不等式的解集为(2)．6．【答案】C【解析】∵函数()y f x =对任意x ，y ∈R ，都有()()()3f x f y f x y +-+=，所以()()()3f x y f x f y +=+-，∴令0x y ==，(0)(0)(0)3f f f =+-， ∴(0)3f =．令2,2x y ==-，(2)(2)(0)3f f f +--=，∴(2)(2)6f f +-=， ∴22222(2)(2)(2)(2)(2)621(2)1g g f f ⨯⨯-+-=+++-=+-+．故选C ． 7．【答案】B【解析】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-， ∴()(2)(2)f x f x f x =-=-+，可得(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，且()y f x =图象关于直线1x =对称．故()cos π()g x x f x =-在区间[3,5]-上的零点，即方程cos ()x f x π=的根，分别画出cos πy x =与()y f x =的函数图象，因为两个函数图象都关于直线1x =对称，因此方程cos π()x f x =的零点关于直线1x =对称，由图象可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左往右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以所有零点和为8，故选B ． 8．【答案】D 【解析】211()211x g x x x -==+--，由此()g x 的图象关于点(1,2)中心对称，(1)2y f x =+-是奇函数，(1)2(1)2f x f x -+-=-++，由此(1)(1)4f x f x -+++=，所以()f x 关于点(1,2)中心对称，1266x x x +++=L ，12612y y y +++=L ，所以12612618x x x y y y +++++++=L L ，故选D ． 9．【答案】B【解析】∵()()f x f x -=-，∴(3)(3)f x f x -=--，且(0)0f =，又(3)()f x f x -=，∴()(3)f x f x =--，由此可得(3)(6)f x f x -=--，∴()(6)f x f x =-，∴()f x 是周期为6的函数，(2019)(63363)f f =⨯+，∴(2019)(3)(0)0f f f ===，故选B ．10．【答案】A【解析】∵函数32()f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为(0,1)，∴()()2f x f x -+=，∴(1)(1)2(2)(2)2f f f f -+=⎧⎨-+=⎩，即141a c a c +=⎧⎨+=⎩，得01a c =⎧⎨=⎩，∴3()1f x x bx =++，2()3f x xb '=+，又∵()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)， ∴(1)7(1)12f f -'=-，即531b b -+=-，解得1b =，故选A ．11．【答案】D【解析】当[0,1)x ∈时，21(),04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦；当[1,2)x ∈时，321()1,22x f x -⎡⎛⎫=-∈--⎢⎪⎝⎭⎣⎦， ∴当[0,2)x ∈时，()f x 的最小值为1-，又∵函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为12-，当[4,2)x ∈--时，()f x 的最小值为14-，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，∴11424t t -≤-，即(2)(1)04t t t+-≤，即4(2)(1)0t t t +-≤且0t ≠，解得(,2](0,1]t ∈-∞-U ．故选D ．12．【答案】D【解析】因为函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，所以(4)()f x f x -=-．又函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-．令t x =-，得(4)()f t f t +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数．又函数()f x 的定义域为R ，且函数()f x 是奇函数，所以(0)0f =，(2)(2)f f -=-，由函数()f x 的周期为4，得(2)(2)f f -=，所以(2)(2)f f -=，解得(2)0f =．所以(2)0f -=．依此类推，可以求得(2)0()f n n =∈Z ．作出函数()f x 的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数()f x 在区间[2018,2021]上的图象与在区间[2,1]-上的图象完全一样．观察图象可知，函数()f x 在区间(2,1]-上单调递增，且3(1)11f ==，又(2)0f -=，所以函数()f x 在区间[2,1]-上的最大值是1，故函数()f x 在区间[2018,2021]上最大值也是1．二、填空题13．【答案】4a -【解析】因为33213()(1)2(1)11x f x x x x x +=+-=++---，所以33(2)2(1)1f x x x-=++--，因而3333()(2)2(1)2(1)411f x f x x x x x +-=++-+++-=--，所以(2019)4(2021)4f f a -=-=-．14．【答案】[2,3)【解析】若01a <<，则函数2log (2)a y x ax =-+在区间(,1]-∞上为增函数，不符合题意；若1a >，则22t x ax =-+在区间(,1]-∞上为减函数，且0t >． ∴12120a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩，解得23a ≤<．综上，a 的取值范围是[2,3)．15．【答案】①②③【解析】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x x f x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，1()1(0,1)11x f x x x==-∈++，根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()(1,0)f x ∈-，且0x =时，()0f x =，∴()(1,1)f x ∈-，②正确；对于③，当0x >时，1()11f x x=-+，∴()f x 在(0,)+∞上是增函数，且0()1f x <<；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(,0)-∞上也是增函数，且1()0f x -<<，∴12x x ≠时，一定有12()()f x f x ≠，③正确；对于④，因为1x x x=+只有0x =一个根，∴方程()f x x =在R 上只有一个根，④错误．正确结论的序号是①②③．16．【答案】80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵函数()f x 的图象关于y 轴对称，∴函数()f x 是偶函数，由(2)(2)0f x f x +--=，得(2)(2)(2)f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数．∵当[0,2]x ∈时，()f x x =，∴当[0,2]x -∈，即[2,0]x ∈-时，()()f x f x x -==-，则函数()f x 在一个周期[2,2]-上的表达式为,(02)(),(20)x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩， ∵1()()(2)n n f x f x -=⋅，n ∈*N ，∴函数3(4)()(2)(8)f x f x f x =⋅=，故(4)()f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象横坐标压缩为原来的18得到，作出(4)()f x 在[0,2]x ∈上的图象如图：易知过(1,0)M -的斜率存在，设过点(1,0)-的直线l 的方程为(1)y k x =+，设()(1)h x k x =+，则要使(4)()f x 的图象在[0,2]上恰有8个交点，则0MA k k <<， ∵7,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴20871114MA k -==+，故8011k <<．。

培优点三第一讲“利用零点”,证明函数不等式(教师篇)

培优点三第一讲 “利用零点”，证明函数不等式应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系.1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”．2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练.【典型例题】类型一设而不求，应用函数零点存在定理例1.已知函数()ln x af x x e+=-．（1）若曲线()f x 在点(1)f （1,）处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【解】（1）函数()ln x af x x e+=-的导数为()1x af x e x+'=-．曲线()f x 在点(1)f （1,）处的切线斜率为11a e +-，切点为1a e +-（1,），可得切线方程为11(1)(1)a a y e e x +++=--，可令0y =可得111a x e +=-，由题意可得1101ae+>-，可得11ae+<，解得1a <-；（2）证明：()1x a f x e x +'=-．设()1()x a g x f x e x +'==-．可得21()()x a g x e x+'=-+，当0x >时，()0g x '<，()g x 递减；由11a e >-，x a x e e +>．若1x e x >，1()0x g x e x<-<，当01x <<时，1x aa ee ++<．若11a e x+<，即1ax e --<，故当10a x e --<<时，()0g x >，即()()g x f x '=有零点0x ，当00x x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当0x x >时，()0f x '<，()f x 递减，可得()()0f x f x ≤，又()000ln x af x x e+=-，又001x aex +=，可得()0001ln f x x x =-，在00x >递增，又00001ln(ln )a x x x x =-=-+， 11a e >- ⇔00111(ln )1(ln )x x e e e -+>-=-+，所以0011ln ln x x e e+<+，由于00ln x x +递增，可得010x e <<，故()()01()1f x f x f e e≤<=--．类型二设而不求，应用不等式性质例2.已知函数()1ln xx a f x e a x x e--=+-（1a <，e 是自然对数的底）（1）讨论()f x 的单调性；（2）若01a <<，0x 是函数()f x 的零点，()f x '是()f x 的导函数，求证：()()0332f f f x ⎛⎫'''<< ⎪⎝⎭．【解】（1）()1()1()() (0)x x e a e f x x a x a x e x e x '=-+-=-->，设1() (0)x e g x x e x=->，解法一：由x e y e =和1y x =-在(0,)+∞上单调递增，可知()g x 在(0,)+∞上单调递增，解法二：由0x >得21()0x e g x e x '=+>可知()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，所以当x (0,1)∈时，()0g x <，当x (1,)∈+∞时，()0g x >，①当0a ≤时，0x a ->，当x (0,1)∈时，()0f x '<；当x (1,)∈+∞时，()0f x '>．②当01a <<时，由()0f x '=得x a =或1x =，当x (0,)a ∈时，0x a -<，()0g x <，()0f x '>；当x (,1)a ∈时，()0f x '<；当x (1,)∈+∞时，()0f x '>．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(0,)a 单调递增，在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）解法一（分析法）：当01a <<时，由（1）知()f x 在(]0,1上的最大值为()f a ，可知()1ln 0a f a e a a a -=-+-<，所以()f x 在(]0,1上无零点．若0x 是函数()f x 的零点，则01x >， ∵()1()() (1)x e f x x a x e x '=-->，解法一：由()y x a =-和1x e y e x =-在(1,)+∞上单调递增，且10x e e x->、0x a ->，可知()f x '在(1,)+∞上单调递增，解法二：设()()h x f x '=，则()211() +()() x x e e h x x a e x e x '=--+，由1x >得10x e e x->，21()() >0x e x a e x -+，所以()0h x '>，可知()f x '在(1,)+∞上单调递增，要证()()0332f f f x ⎛⎫'''<<⎪⎝⎭，只需证0332x <<，由（1）知()f x 在(1,)+∞上单调递增，只需证()()0332f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，又()00f x =，只需证032f ⎛⎫<⎪⎝⎭且()03f >．13333(ln (ln 2222223f a a a ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由3lnln 12e <=1>，得3ln 02<302-<，所以032f ⎛⎫< ⎪⎝⎭； ()2(2)ln333f a e a =-+-，由21a ->得()2ln 3330f e a >+->，综上所述，得证．类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系例3.已知函数()ln f x x kx =-，其中k R ∈为常数. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个相异零点1212,()x x x x <，求证：21ln 2ln x x >-. 【解】（1）()11(0)kxf x k x x x-'=-=>， ①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0k >时，由()0f x '>，得10x k <<，所以()f x 在区间1(0,)k 上单调递增，在区间1(,)k+∞上单调递减.（2）因为12,x x 是()f x 的两个零点，则22ln 0x kx -=，11ln 0x kx -=，所以2121ln ln ()x x k x x -=-，2121ln ln ()x x k x x +=+.要证21ln 2ln x x >-，只要证21ln ln 2x x +>，即证21()2k x x +>，即证212121ln ln ()2x x x x x x -+>-，即证212122()ln ln x x x x x x -->+，只要证221122()ln x x x x x x ->+.设21(1)x t t x =>，则只要证2(t 1)ln (1)1t t t ->>+. 设2(t 1)g(t)ln 1t t -=-+，则22(t 1)g (t)0(1)t t -'=>+，所以g(t)在(1,)+∞上单调递增. 所以()(1)0g t g >=，即2(t 1)ln 1t t ->+，所以21ln ln 2x x +>，即21ln 2ln x x >-. 类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围例4．已知函数()212ln (1), 02f x x x ax a =-++->． (1)判断()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥在(1,)+∞上恒成立，且()0f x =有唯一解，试证明1a <．【解】（1）函数的定义域是(0,)+∞，()222(0)x ax f x x a x x x --'=-+-=>，易知220x ax --=有两根，10x =<，2x =故()f x在递减，在)+∞递增；（2）∵0a >，∴12a +>，∴()f x '在(1,)+∞上有唯一零点02a x +=，又()2f x x a x'=-+-，∴0020x a x -+-=①，要使()0f x ≥在区间(1,)+∞恒成立，且()0f x =有唯一解，须()00f x =，即200012ln (1)02x x ax -++-=②，由①②得： 200000122ln (1)()02x x x x x -++--+=，故200152ln 022x x --+=，令200015()2ln 22g x x x =--+，显然0()g x 在(1,)+∞递减， ∵(1)20g =>，1(2)2ln 202g =-+<，∴012x <<，又∵002a x x =-+在(1,)+∞递增，故1a <．专题一【提升训练】1．设函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：．【解】（1），设，①当时，，；②当时，由得或，记则，∵∴当时，，，当时，，，∴当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）不妨设，由已知得，，即，，两式相减得，∴，要证，即要证，只需证，只需证，即要证，设，则，只需证，设，只需证，，在上单调递增，，得证．2.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．【解】（1）由题意，函数的定义域为,当时，，则. 由解得或；由解得.所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.（2）当时，由,只需证明.令，.设，则.当时，，单调递减;当时，，单调递增,∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.的最小值是成立.故成立.3．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．【解】（1），①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞2时，设2ax2﹣2ax+1=0的两个根为，且，y=f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递増，在（x1，x2）单调递减．（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，由（1）可知a＞2，且．于是：①②由①②得，设，则，因此g（x）在上单调递减，又，根据零点存在定理，故．4. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax•e x﹣4x，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）．【解】（Ⅰ）…………………………………（2分）x∈（0，1）时，f'（x）＞0，y=f（x）单增；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，y=f（x）单减………………………．（4分）（Ⅱ）证明：令h（x）=axe x﹣4x﹣2lnx+2x﹣2=axe x﹣2x﹣2lnx﹣2（a＞0，x＞0）…………………．（5分）故……………………………．（7分）令h'（x）=0即，两边求对数得：lna+x0=ln2﹣lnx0即 lnx0+x0=ln2﹣lna………………．（9分）∴，∴h（x）≥2lna﹣2ln2……………………………（12分）5．设(e为自然对数的底数)，．(I)记，讨论函单调性；(II)令，若函数G(x)有两个零点．(i)求参数a的取值范围；(ii)设的两个零点，证明．【解】（Ⅰ），，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．（Ⅱ）由已知，，．①当时，，有唯一零点；②当时，，所以当时，，减；当时，，增．所以，因，所以当时，有唯一零点；当时，，则，所以，所以，因为，所以，，，且，当，时，使，取，则，从而可知当时，有唯一零点，即当时，函数有两个零点．③当时，，由，得，或．若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点；若，即时，，注意到，都是增函数，所以当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．又因为，所以至多有一个零点；若，即时，同理可得当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．又因为，所以至多有一个零点．综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．由知，函数有两个零点，则参数的取值范围是．，是的两个零点，则有，因，则，且，，，，，由（Ⅰ）知，当时，是减函数；当时，是增函数．令，，再令φ（m）e2m+1＝e2m1，，，所以，又，所以时，恒成立，即恒成立，令，即，有，即，因为，所以，又，必有，又当时，是增函数，所以，即．。

高考培优课程秋季数学讲义：三角函数-图像与性质【学生版】

高三数学三角函数-图像与性质学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲义目的在于让同学从根本上了解三角函数的图像与性质，了解图像变换与解析式变换之间的对应关系，利用图像解决与三角函数有关的问题，并在此基础上发散思维，解决三角函数与其他知识融合的综合问题。

知识点一：由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。

知识点二：通过解决图象与性质融合的新题目，既积累解题经验，又消除“怕新”“怕繁”的心理，提升思维品质与解题能力，适应各种变化。

知识点三：通过结合图象解决与三角函数有关的问题（如方程、不等式），发展用图象思考问题的能力。

知识点四：通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。

知识点五：通过解决三角函数与其他知识融合的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合运用能力。

【题目来源】【题目】已知定义域为R 的函数（）（）ωϕ=+f x Asin x （A ＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求（）f x 的解析式；（2）若3?（），（）（）（）==g x cos x h x f x g x ，求函数h （x ）的单调递增区间．【难度系数】3【题目来源】【题目】求下列函数的最小正周期(1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=；(4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．【难度系数】3【题目来源】【题目】（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（）【难度系数】2【题目来源】【题目】已知函数（）（）φω=+f x Asin x （A>0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =f （x ）图象的所有交点的坐标。

【难度系数】3【题目来源】【题目】如下图弹簧挂着的小球作上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止时状态)的高度h(cm)之间的关系式是,t∈[0,+∞). 画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,回答下列问题.(1)小球开始振动的位置在哪里?(2)小球最高､最低点与平衡位置的距离分别为多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次(即周期是多少)?(4)小球每1 s能往复振动多少次?【难度系数】3【题目来源】【题目】[变式题]:如下图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为), 那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.2π sB.π sC.0.5 sD.1 s【难度系数】2试题演练【题目来源】【题目】得到2()3y tan x π=-的图象,只要将y=tan2x 的图象( )A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位【难度系数】2【题目来源】【题目】若A ､B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【难度系数】3【题目来源】【题目】如下图,表示电流强度I 与时间t 的关系为I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数的解析式为( )A.I=300sin(50πt+3π)B.I=300sin(50πt-3π)C.I=300sin(100πt+3π)D.I=300sin(100πt- 3π)【难度系数】3【题目来源】【题目】函数y ＝sin(x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕωB ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕωD ．6π,21-==ϕω【难度系数】3【题目来源】【题目】在△ABC 中．Sin 2A≤sin 2B+sin 2C-sinBsinC ．则A 的取值范围是（） A ．06]（，π B ．[),6ππ C ．(0,]3π D ．[,)3ππ【难度系数】3【题目来源】【题目】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（） A.725 B. -725 C. ±725D. 2425【难度系数】3【题目来源】【题目】设当θ=x 时，函数()2＝－f x sinx cosx 取得最大值，则θcos = ( )D.5【难度系数】3【题目来源】【题目】函数y sin()cos()26ππ=+-x x 的最大值为（）【难度系数】3【题目来源】【题目】已知函数()(2)ϕ=+f x sin x ，其中ϕ为实数，若()|()|6π≤f x f 对x∈R 恒成立，且()()2ππ>f f ，则f(x)的单调递增区间是（） A.() ,k [k ]36ππππ-+∈k ZB. () ,k [k ]2πππ+∈k Z C. ()2 ,k 3[k ]6ππππ++∈k Z D. ()[k 2 ,k ]2πππ-∈k Z【难度系数】3【题目来源】【题目】设函数()()()ϕϕωω=+++f x sin x cos x ，|)0,|2(πϕω><的最小正周期为π，且f(-x)=f(x),则（） A.y=f(x) 在(0,)2π单调递减B. y=f(x)在(,43)ππ单调递减 C. y=f(x)在(0,)2π单调递增D. y=f(x)在(3,44)ππ单调递增【难度系数】3【题目来源】【题目】A.1[25,4] B.1[23,4] C.[01,2] D.[0,2] 【难度系数】3【题目来源】【题目】【难度系数】3【题目来源】【题目】A ．22－1 B ．22＋1 C ．1－22D ．－1－22 【难度系数】3【题目来源】【题目】（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （cosx ）的定义域；（2）求函数y=lgsin （cosx ）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx ≤1，（2）要使sin （cosx ）＞0，这里的cosx 以它的值充当角。

高考培优课程秋季数学讲义：三角函数恒等变换【学生版】

高三数学三角函数恒等变换学生姓名授课日期教师姓名授课时长本篇学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。

通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

1、本章网络结构tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−−←相除2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 ()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：()()2ααβαβ=++-，()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

高三培优专题三角函数与解三角形大题归类 (原卷版)

高三培优专题三角函数与解三角形大题归类目录重难点题型归纳...............................................................................................................................................................................................1【题型一】恒等变形.....................................................................................................................................................................................1【题型二】零点与对称性..........................................................................................................................................................................2【题型三】恒成立求参.................................................................................................................................................................................2【题型四】图像与解析式型.....................................................................................................................................................................3【题型五】利用正弦定理求角................................................................................................................................................................4【题型六】利用余弦定理求角型..............................................................................................................................................................4【题型七】最值1：面积最值型...............................................................................................................................................................5【题型八】最值2：锐钝角限制型最值...............................................................................................................................................5【题型九】最值3：周长最值型...............................................................................................................................................................6【题型十】最值3：比值最值型...............................................................................................................................................................6【题型十一】最值4：系数不一致型......................................................................................................................................................7【题型十二】最值5：角非对边型...........................................................................................................................................................7【题型十三】最值6：四边形面积型......................................................................................................................................................7【题型十四】图形1：外接圆型...............................................................................................................................................................8【题型十五】图形2：角平分线型...........................................................................................................................................................8【题型十六】图形3：中线型....................................................................................................................................................................9【题型十七】图形4：三角形高型........................................................................................................................................................10【题型十八】图形5：双三角形型........................................................................................................................................................11好题演练.....................................................................................................................................................................错误！未定义书签。