高二数学复习(六)集合及其运算

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高二数学知识点总结大全

高二数学知识点总结大全一、集合与函数1. 集合的概念和表示方法2. 集合的运算：交集、并集、差集、补集3. 集合的基本性质和运算规律4. 函数的概念和表示方法5. 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性6. 函数的图像、反函数和复合函数二、平面几何1. 直线与射线的性质与关系2. 角的概念、性质和分类：锐角、直角、钝角3. 举例说明平行线和垂直线的判定方法4. 三角形的分类：按角度分类、按边长分类5. 三角形的面积与周长的计算方法6. 三角形内角和、外角和的计算与性质7. 三角形相似性质与判定8. 三角形的中线、高线和垂心、重心的概念与性质三、数列与数列的极限1. 数列的概念与表示方法2. 等差数列与等比数列的性质3. 数列的通项公式与前n项和的公式4. 数列极限的定义与性质5. 数列极限的计算方法：夹逼定理、单调有界准则6. 数列极限存在的判定7. 数列极限与数列的收敛性和发散性的关系四、函数的导数与应用1. 函数的导数与导数的基本性质2. 基本初等函数的导数3. 导数的四则运算法则与复合函数的求导法则4. 高阶导数与隐函数求导5. 函数的单调性与极值点的判定6. 函数的凹凸性与拐点的判定7. 泰勒公式与函数图像的描绘8. 最值问题与最速下降问题的应用五、概率统计1. 随机事件与样本空间的概念2. 概率的定义、性质和计算方法3. 条件概率和乘法定理4. 全概率公式和贝叶斯定理5. 随机变量与概率密度函数的概念6. 二项分布、正态分布和泊松分布的性质与应用7. 抽样调查与统计推断的方法六、立体几何1. 空间几何体的基本概念与性质：点、线、面、体2. 空间几何体的投影、截面和旋转3. 圆柱体、圆锥体、棱锥体、棱柱体的特征与计算4. 球的性质与计算5. 空间向量的概念与基本运算法则6. 向量与几何体的应用：平面的方程、直线的方程七、三角函数1. 弧度与角度的转化关系2. 基本三角函数的定义与性质3. 三角函数图像的性质与变换4. 和差化积公式、倍角公式、半角公式的推导与应用5. 三角方程的解法与求解区间以上为高二数学知识点总结的大致内容，希望对你的学习有所帮助。

第02讲集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)

第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。

符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。

4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。

符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。

【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。

高中数学集合运算教案

高中数学集合运算教案
一、教学目标：
1. 理解集合及其基本概念；
2. 掌握集合之间的基本运算；
3. 能够应用集合运算解决实际问题。

二、教学重点：
1. 集合的定义和基本概念；
2. 并集、交集、差集和补集的运算规律；
3. 集合运算的应用。

三、教学内容：
1. 集合的定义和表示方法；
2. 集合之间的基本运算：并集、交集、差集和补集；
3. 集合运算的性质和规律。

四、教学过程：
1. 集合的定义和表示方法（10分钟）
教师介绍集合的概念，并举例说明集合的表示方法，如集合的写法和集合元素的描述。

2. 集合之间的基本运算（20分钟）
教师介绍并集、交集、差集和补集的定义，并通过实例演示如何进行这些运算。

3. 集合运算的性质和规律（15分钟）
教师讲解集合运算的性质和规律，如交换律、结合律、分配律等，并通过练习加深学生对
这些规律的理解。

4. 集合运算的应用（15分钟）
教师讲解如何利用集合运算解决实际问题，如概率、逻辑等方面的问题，并进行相关练习。

五、教学反馈：
教师对学生进行集合运算的练习，检验学生掌握情况，并及时纠正错误，强化学生对集合运算的理解。

六、作业布置：
布置相关的集合运算练习题，让学生巩固所学知识，并要求学生在下节课前完成。

七、拓展延伸：
引导学生拓展集合运算的相关知识，如集合的性质、集合与函数的关系等，并鼓励学生自主学习。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解1---集合

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第1讲集合一、知识梳理1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法A B(或B A )A∪B＝A∩B＝∁A＝常用结论1.空集的性质空集不含任何元素，空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.2.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.3.集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n －1个.二、教材衍化1.(人A必修第一册P5习题1.1T1(4)改编)若集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，则( )A.8∈AB.9.1∈AC.{8}∈AD.{9.1}⊆A 答案：A2.(人A必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.解析：把集合A，B在数轴上表示如图.由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，所以∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，因为∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.所以(∁R答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合.( )(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、易错纠偏1.(多选)(混淆元素、集合间的关系致误)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )A.∅⊆AB.－2∈AC.{0，2}⊆AD.A⊆{y|y＜3}解析：选ACD.因为A＝{0，2}，所以∅⊆A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y＜3}均正确，－2∉A，故选ACD.2.(混淆子集与真子集的定义致误)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为( )A.3B.4C.6D.7解析：选D.因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.3.(多选)(忽视空集致误)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝( )A.3B.2C.1D.0解析：选ABD.当m ＝0时，可得集合B ＝∅，此时满足B ⊆A ；当m ≠0时，可得集合B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫6m ，所以6m ＝2或6m＝3，解得m ＝3或m ＝2，综上，实数m 等于0，2或3.考点一集合的概念(自主练透)复习指导：1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.1.(2022·常州市前黄高级中学高三适应性考试)设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{5，6}，C ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，则C 中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6解析：选C.由题知，当y ＝5时，x ＋y 的值有6，7，8，9，当y ＝6时，x ＋y 的值有7，8，9，10，于是得C ＝{6，7，8，9，10}，所以C 中元素的个数为5.2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2 023－b 2 023＝( )A.1B.－1C.2D.－2解析：选D.由题易得a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以a 2 023－b 2 023＝－2.3.已知集合P ＝{}x |x ＝2k ，k ∈Z ，Q ＝{}x |x ＝2k ＋1，k ∈Z ，M ＝{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且a ∈P ，b ∈Q ，则()A.a ＋b ∈PB.a ＋b ∈QC.a ＋b ∈MD.a ＋b 不属于P ，Q ，M 中的任意一个解析：选B.因为a ∈P ，所以a ＝2k 1，k 1∈Z .因为b ∈Q ，所以b ＝2k 2＋1，k 2∈Z .所以a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1＝2k ＋1∈Q (k 1，k 2，k ∈Z ).4.(多选)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C.0D.23解析：选BC.若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的值为0或98.与集合中元素有关问题的求解步骤步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集. 步骤二：看这些元素满足什么限制条件.步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.考点二集合间的基本关系(思维发散)复习指导：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }.若A ⊆B ，则m 的取值范围是________.【解析】 (1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}.(2)由题得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，若A ⊆B (如图)可得⎩⎨⎧－m ≤－1，m ≥3，所以m ≥3.故m 的取值范围是[3，＋∞). 【答案】 (1)D (2)[3，＋∞)(链接常用结论1)本例(2)中，若“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，则m 的取值范围是________.解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m ＞0时，因为A ＝{x |－1＜x ＜3}. 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎨⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]. 答案：(－∞，1](1)判断两集合关系的2种常用方法列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系.数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性.②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.[提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论.|跟踪训练|1.(2022·广州高一期中)已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 12，x ≠0}，则下列选项正确的是( )A.M ＝NB.N ⊆MC.M ＝∁R ND.∁R NM解析：选C.由题意，得集合M ＝{y |y ≤0}，而集合N ＝{y |y >0}，所以∁R N ＝{y |y ≤0}，则M ＝∁R N ，故C 正确.2.(链接常用结论3)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A.7B.8C.15D.16解析：选A.因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个). 3.(多选)(2022·河南范县高一月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14x ＋a ≥0，B ＝{x |x 2≤1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值可以是( )A.－2B.0C. 2D.4解析：选CD.因为A ＝{}x |x ≥－4a ，B ＝{x |－1≤x ≤1}，又因为B ⊆A ，则－4a ≤－1，解得a ≥14，故选CD.考点三集合的基本运算(多维探究)复习指导：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.角度1 集合的运算(1)(2021·新高考卷Ⅰ)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B＝( )A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}(2)(2021·高考全国卷乙)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A.∅B.SC.TD.Z【解析】 (1)由题易知A ∩B ＝{2，3}，故选B.(2)S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以T ∩S ＝T .【答案】 (1)B (2)C 角度2 利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A.－4B.－2C.2D.4(2)设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A.2B.4C.2或－2D.－2【解析】 (1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.(2)由题意可知，集合A ，B 的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点.因为A ∩B＝∅，所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以⎩⎨⎧4－a 2＝0，－2a ＋a 2≠0，解得a ＝－2. 【答案】 (1)B (2)D本例(1)中，若“A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}”改成“A ∩B ⊆{x |－2≤x ≤1}”，则实数a 的取值范围是________.解析：A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x ≤－a 2，当A ∩B ＝∅时，即－a2＜－2，a ＞4时，符合题意；当A ∩B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥－2，－a2≤1，得－2≤a ≤4.综上，实数a 的取值范围是a ≥－2. 答案：[－2，＋∞) 角度3 集合的新定义问题(1)(2022·南阳一中第十四次考试)定义集合运算：A ⊙B ＝{Z |Z ＝xy ，x ∈A ，y∈B }，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 ( )A.1B.0C.－1D.sin α＋cos α(2)(2022·保定一模)设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |1＜2x ＜4}，Q ＝{y |y ＝2＋sin x ，x ∈R }，那么P －Q ＝( )A.{x |0＜x ≤1}B.{x |0≤x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |0＜x ＜1}【解析】 (1)因为x ∈A ，所以x 的可能取值为－1，0，1.同理，y 的可能取值为sinα，cos α，所以xy 的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.(2)由题意得P ＝{x |0＜x ＜2}，Q ＝{y |1≤y ≤3}，所以P －Q ＝{x |0＜x ＜1}. 【答案】 (1)B (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，则常用Venn 图求解.②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. (2)利用集合的运算求参数的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). (3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点①准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.②方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.|跟踪训练|1.(2021·高考全国卷乙)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则∁U (M ∪N )＝( )A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}解析：选A.因为集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，所以M ∪N ＝{1，2，3，4}. 又全集U ＝{1，2，3，4，5}，所以∁U (M ∪N )＝{5}. 2.(2021·高考全国卷甲)设集合M ＝{}x |0<x <4，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C.{}x |4≤x <5 D.{}x |0<x ≤5解析：选B.M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. 3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.4.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.解析：由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.答案：6[A 基础达标]0，m，m2－3m＋2，且2∈A，1.(2022·湖南师大附中高二入学考试)已知集合A＝{}则实数m的值为( )A.0B.1C.2D.3解析：选D.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，又m≠0，故m＝3.2.(2022·豫北名校联盟4月联考)已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0<x<8}，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为( )A.4B.3C.2D.1解析：选B.B＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，图中阴影部分表示的集合为∁B A＝{2，4，7}，共3个元素.3.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个解析：选A.因为集合A＝{1，2，3}，所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7(个).x|2x>7，则M∩N＝( )4.(2021·高考全国卷甲)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{}A.{7，9}B.{5，7，9}C.{3，5，7，9}D.{1，3，5，7，9}解析：选B.由题得集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >72，所以M ∩N ＝{5，7，9}.故选B.5.设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2，则下列结论中正确的是()A.NM B.M NC.N ∩M ＝∅D.M ∪N ＝R解析：选B.由题意得，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12，所以M N .故选B.6.(多选)已知非空集合M 满足：①M ⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x ∈M ，则x 2∈M .则集合M 可能是( )A.{－1，1}B.{－1，1，2，4}C.{1}D.{1，－2，2}解析：选AC.由题意可知3∉M 且4∉M ，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M 且2∉M ，所以满足条件的非空集合M 有{－1，1}，{1}.7.(2022·福建厦门质量检查)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a <0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]解析：选D.集合A ＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x <a }.因为B ⊆A ，所以a ≤1.8.设集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1，2}，则a 的值为________. 解析：由题知⎩⎨⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎨⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意. 答案：－2或19.(2022·重庆高一月考)若集合M ＝{x ||x |>2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，则N ＝________；∁R (M ∩N )＝________.解析：由题意得N ＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |x <－2或x >2}，所以M ∩N ＝{x |2<x <3}，所以∁R (M ∩N )＝{x |x ≤2或x ≥3}. 答案：{x |－1<x <3}{ |x x ≤2或 }x ≥310.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为________. 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[B 综合应用]11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是 ( ) A.{x |x 是小于18的正奇数} B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5 C.{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5解析：选D.对于A ：{x |x 是小于18的正奇数}＝{}1，3，5，7，9，11，13，15，17，故A 错误；对于B ：{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5＝{}…，－3，1，5，9，13，17，故B 错误；对于C ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5＝{}－3，1，5，9，13，17，故C 错误；对于D ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5＝{}1，5，9，13，17，故D 正确.12.某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x ，最少人数为y ，则x －y ＝( )A.22B.21C.20D.19解析：选D.如图，设集合A ，B 分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U ，A ∩B 就是两者都爱好的，要使A ∩B 中人数最多，则A ⊆B ，x ＝22，要使A ∩B 中人数最少，则A ∪B ＝U ，即22＋27－y ＝46，解得y ＝3，所以x －y ＝22－3＝19.13.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜2，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 114.定义集合P ＝{p |a ≤p ≤b }的“长度”是b －a ，其中a ，b ∈R .已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N的“长度”的最小值是________.解析：因为集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋12，所以集合M 的长度为12，因为集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －35≤x ≤n ，所以集合N 的长度为35，因为M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，所以m 最小为1，n 最大为2，此时集合M ∩N 的“长度”最小，为32－75＝110.答案：110。

高二春考数学集合知识点

高二春考数学集合知识点集合是数学中一个重要的概念，也是我们高中数学学习的基础。

掌握集合的基本概念和运算规则，对于高二的学生来说尤为重要。

本文将介绍高二春考数学集合知识点，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。

一、集合的基本概念集合是由一些确定的元素组成的整体。

集合中的元素可以是数字、字母、词语或其他事物，用大写字母表示一个集合，用小写字母表示一个元素。

元素属于某个集合时，我们用∈表示。

例如，元素a∈A表示元素a属于集合A。

二、集合的表示方法集合可以用列举法、描述法和图形法来表示。

1. 列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来，用花括号{}括起来。

例如，集合A={1, 2, 3, 4, 5}表示集合A中有元素1、2、3、4、5。

2. 描述法描述法是用一个或多个条件来描述集合中的元素。

例如，集合B={x| x是整数，0<x<10}表示集合B中的元素是满足条件0<x<10的整数。

3. 图形法图形法是用图形的方式表示集合。

例如，我们可以用Venn图来表示集合之间的关系，用交集和并集来表示集合中元素的共同和不同之处。

三、集合的运算规则集合的运算主要包括并集、交集、差集和补集。

1. 并集集合的并集是指将两个或多个集合中的所有元素取在一起，形成一个新的集合。

并集用符号∪表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则 A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

集合的交集是指两个或多个集合中共同的元素的集合。

交集用符号∩表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

3. 差集集合的差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。

差集用符号-表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则 A-B={1, 2}。

4. 补集补集是集合在一个全集中除去该集合的元素所得到的集合。

补集用符号'表示。

例如，全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，则 A'={4, 5}。

高二数学集合的运算试题答案及解析

高二数学集合的运算试题答案及解析1.设集合，，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知，，显然，故选B.【考点】集合的关系.2.集合,,若,则的值为A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】由可知a与a2中一个为4，一个为16，因此a=4，答案选D.【考点】集合的运算与性质3.现有含三个元素的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 013＋b2 013＝________.A．-1B．0C．1D．2【答案】A【解析】因为=，所以【考点】集合相等的概念.x<1}，Q＝{x||x－4.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log22|<1}，那么P－Q＝（）A．{x|0<x<1}B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2}D．{x|2≤x<3}【答案】B【解析】因为，所以【考点】新定义下的集合的运算.5.设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．（1）求（∁M）∩N；IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的（2）记集合A＝（∁I取值范围．【答案】（1）{2}；（2）{a|a≥3}【解析】（1）已知两集合若求交、并、补应注意端点值以及结合数轴完成；（2）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.（4）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）.试题解析：（1）∵M＝{x|≤0}＝{－3}， N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴＝{x|x≠－3}，∴（）∩N＝{2}．（2）A＝（）∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝或B＝{2}，当B＝时，a－1>5－a，∴a>3；当B＝{2}时，，解得a＝3，综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．【考点】（1）集合间的基本关系；（2）利用最值证明恒成立问题.6.若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则（1）是E的第个子集；（2）E的第211个子集是．【答案】（1）5；（2）．【解析】（1）由题意新定义知，中，，，故第一空应填5；（2）因为，所以E的第211个子集包含，此时211-128=83；又因为，，所以E的第211个子集包含，此时83-64=19；又因为，，所以E的第211个子集包含，此时19-16=3；又因为，，所以E的第211个子集包含，此时3-2=1；因为，所以E的第211个子集包含；故E的第211个子集是．故第二空应填．【考点】子集与真子集；新定义．7.已知全集，集合，则A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】集合的并集、补集运算.8.已知集合，集合，则( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以.【考点】集合的运算.9.设全集.（1）解关于x的不等式;（2）记A为(1)中不等式的解集，集合，若恰有3个元素，求的取值范围.【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；（2）．【解析】解题思路：(1)讨论的范围，分情况求的解集即可；（2）先化简集合,再利用题意得出的限制条件，进而求的范围.规律总结：解绝对值不等式的题型主要有：，；主要思路从去掉绝对值符号入手，往往讨论变量的范围去掉绝对值符号，变成分段函数求解问题.试题解析：（1）∵∴ⅰ当即时，原不等式的解集为Rⅱ当即时，或∴或此时原不等式的解集为.（2）∵恰有3个元素，∴，∵∴∴∵恰有3个元素∴或或解得：所以的取值范围为.【考点】1.绝对值不等式；2.集合间的运算.10.设则( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】,;;故选B.【考点】集合间的运算.11.已知集合,则=A．B．C．D．【答案】C【解析】化简集合得，，所以；故选Ｃ．【考点】集合的运算．12.已知集合，，则（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】如图，可知集合A与集合B的公共元素为和，故选C.【考点】集合间的交集运算.13.若集合, , （）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出指数函数的值域及函数的定义域，分别确定出集合和，找出两集合解集中的公共部分即可得到两集合的交集．【考点】交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．14.对于集合 ()，定义集合，记集合中的元素个数为.（1）若集合，则；（2）若是公差大于零的等差数列，则 (用含的代数式表示).【答案】（1）；（2）【解析】因为对于集合，定义集合，记集合中的元素个数为，即集合中的元素是集合中任意两个元素的和的集合，所以（1）当时，，；（2）由题意，集合中最小项为，最大项为，对任意的，如果，则可取，若，可取，显然由于，有，即，所以.【考点】1.集合的含义.2.等差数列的通项公式．15.设集合，,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．故【考点】集合的运算16.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U = A B，则集合的真子集共有（）A．3个B．6个C．7个D．8个【答案】C【解析】.【考点】集合的运算.17.已知集合A＝{x|1<ax<2}，集合B＝{x||x|<1}．当A B时，求a的取值范围．【答案】a≤－2或a＝0或a≥2.【解析】根据B={x||x|＜1}，求得B={x|-1＜x＜1}，由A⊆B，及A={x|1＜ax＜2}，解含参数的不等式1＜ax＜2，对a进行讨论，并求出此时满足题干的a应满足的条件，解不等式即可求得实数a的范围．.试题解析：由已知，B＝{x|－1<x<1}．(ⅰ)当a＝0时，A＝，显然A⊆B.(ⅱ)当a>0时，A＝{x|<x<}，要使A B，必须，所以a≥2.(ⅲ)当a<0时，A＝{x|<x<}，要使A B，必须，即a≤－2.综上可知，a≤－2或a＝0或a≥2.【考点】集合关系中的参数取值问题．18.设集合，那么点P（2，3）的充要条件是______________________.【答案】m<-1,n<5【解析】，∴把点P坐标代入相应的不等式得：m<-1,n<5.【考点】(1)集合的运算；（2）线性规划.19.命题：实数满足，其中，命题：实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】－≤a＜0或a≤－4.【解析】先对集合进行化简，由是p的必要不充分条件，可知推不出p，所以可得不等式或，解不等式组即可.试题解析：解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}， 2分B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}＝{x|x2－x－6＜0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}. 4分因为是p的必要不充分条件，所以推不出p，由得 6分或 10分即－≤a＜0或a≤－4. 12分【考点】本题考查充要条件，集合之间的关系和运算.20.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】先根据题意化简给出的两个命题：，，（1）当时，确定，再由为真，可知均为真，故所求实数的取值范围就是命题所表示的集合的交集；（2）由条件可知，是的充分不必要条件，故命题所表示的集合是命题所表示的集合的真子集，然后借用数轴求解即可.试题解析：(1)由得 1分又，所以 2分当时，，即为真命题时，实数的取值范围是 4分由得所以为真时实数的取值范围是. 6分若为真，则，所以实数的取值范围是 8分(2)设， 10分是的充分不必要条件，则 12分所以，所以实数的取值范围是 14分.【考点】1.逻辑联结词；2.集合的运算；3.充分必要条件.21.设集合，如果满足：对任意，都存在,使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以为聚点的集合有（写出所有你认为正确的结论的序号）．【答案】（2）（3）【解析】（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z-的聚点；（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；（3）集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，∴0是集合的聚点．（4）集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点．故答案为（2）（3）．【考点】新定义问题，集合元素的性质，数列的性质。

高二数学知识点归纳大全

高二数学知识点归纳大全摘要：一、前言二、集合与基本初等函数1.集合概念与运算2.基本初等函数三、函数与导数1.函数的基本概念2.函数的性质与图像3.导数与微分四、三角函数1.三角函数的基本概念2.三角函数的性质与图像3.三角函数的恒等变换五、解析几何1.解析几何的基本概念2.直线与圆的方程3.空间几何与坐标系六、数列与极限1.数列的基本概念与性质2.数列的求和与递推关系3.极限与连续七、排列组合与概率统计1.排列组合2.概率的基本概念3.概率分布与统计八、复数与向量1.复数的基本概念与运算2.向量及其运算3.向量空间与线性变换九、微积分1.极限与导数2.微分中值定理与导数的应用3.积分与微积分的应用十、总结正文：【前言】数学作为高中阶段的重要学科，知识体系庞大且复杂。

为了帮助同学们更好地掌握高二数学知识点，本文将对其进行归纳总结。

全文将分为集合与基本初等函数、函数与导数、三角函数、解析几何、数列与极限、排列组合与概率统计、复数与向量、微积分等九个部分进行阐述，希望对同学们的学习有所帮助。

【集合与基本初等函数】1.集合概念与运算：集合是数学的基本对象，研究集合之间的关系与运算。

集合的表示方法有列举法、描述法等，集合间的基本运算有并集、交集、补集等。

2.基本初等函数：包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，它们是数学中的基本工具，广泛应用于各种数学问题。

【函数与导数】1.函数的基本概念：函数是一种特殊的关系，将一个或多个变量映射到另一个变量。

函数有自变量、因变量、定义域、值域等概念。

2.函数的性质与图像：研究函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的图像和解析式。

3.导数与微分：导数是函数在某一点的变化率，反映函数在某一点的局部性质。

微分则是导数的推广，研究函数在某区间的变化。

【三角函数】1.三角函数的基本概念：三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们是周期性函数，广泛应用于解决三角问题。

2.三角函数的性质与图像：研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，以及函数的图像和解析式。

高二数学知识点总结(8篇)

高二数学知识点总结一、集合、简易逻辑（14课时，8个）1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。

二、函数（30课时，12个）1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。

三、数列（12课时，5个）2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。

四、三角函数（46课时，17个）1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。

五、平面向量（12课时，8个）2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移。

六、不等式（22课时，5个）1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。

七、直线和圆的方程（22课时，12个）1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。

八、圆锥曲线（18课时，7个）1.椭圆及其标准方程;2.椭圆的简单几何性质;3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简单几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简单几何性质。

高二数学集合的概念试题答案及解析

高二数学集合的概念试题答案及解析1.若集合A={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x∈A，1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】，因此，同理可知，而，所以，答案选B．【考点】集合的定义与运算2.如图是集合的知识结构图，如果要加入“全集”，则应该放在（）A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位【答案】D.【解析】根据“全集”是在补集运算中特概念知，要想加入“全集”，则应该放在“集合”的下位“集合的运算”的下位“基本运算”的下位上，进而得到答案为D．【考点】结构图.3.下面四个命题中正确命题的个数是（）.①；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误；②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误；③空集是它本身的子集，故错误；④空集是任何一个集合的子集，故正确.【考点】命题真假的判定.4.已知集合，.（1）若= 3，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围为.【解析】（1）先解出集合A、B，再把= 3代入，即可求；（2）若，写出满足条件的式子，解出实数的取值范围.（1） 4分当m=3时 7分（2） 14分【考点】集合之间的关系、集合的运算.5.若集合有且仅有2个子集，则实数的值是 ( )A．-2B．-2或-1C．2或-1D．2或-1【答案】D【解析】要使得一个集合有且仅有2个子集，则须使集合有且仅有1个元素.因此方程要么有且仅有一个实根，即要么有且仅有两个相等的实根.由得或所以选D.【考点】集合的子集个数，方程的根与系数关系6.集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．【答案】（1）a＝5.（2）a=－2【解析】由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝.(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知：解之得a＝5.(2)由A∩B∩，又A∩C＝，得3∈A，2A，－4A，由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意【考点】集合的混合运算点评：主要是考查了集合之间的关系以及基本运算的综合运用，属于基础题。

高二数学第一章集合知识点

高二数学第一章集合知识点在高二数学学习过程中，集合是一个非常重要的概念和工具。

在第一章中，我们将学习集合的基础知识和相关概念，掌握集合的运算和求解问题的方法。

本文将对高二数学第一章集合知识点进行概述和总结。

一、集合的基本概念集合是由一些具有共同特征的元素所构成的整体。

常用的表示方式有列举法和描述法。

例如，S={a, b, c}是一个由元素a、b、c 构成的集合，描述法表示。

二、集合的关系1. 子集关系：若集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A 是B的子集，记作A⊆B。

2. 相等关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A等于B，记作A=B。

3. 真子集关系：若集合A是集合B的子集，且集合B不等于集合A，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

4. 互为逆关系：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，则称A和B互为逆关系。

三、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素构成的集合。

2. 并集：集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示属于集合A或集合B的元素构成的集合。

3. 差集：集合A和集合B的差集，记作A-B，表示属于集合A 但不属于集合B的元素构成的集合。

4. 补集：相对于全集U，集合A的补集，记作A的̅，表示全集U中不属于集合A的元素构成的集合。

四、集合的求解方法1. 列举法：通过列举元素的方式，直观地表示集合。

2. 描述法：通过给出满足特定条件的元素构成的集合，简洁地表示集合。

3. 图示法：通过绘制Venn图或欧拉图，直观地表示集合及其运算关系。

五、应用实例1. 集合的包含关系判断：给定集合A、B、C，判断A是否包含B，B是否包含C的方法是求出A∩B和B∩C是否相等。

2. 集合的运算问题：对于给定的集合A、B、C，可以利用交集、并集、差集等运算方法解决集合间的问题，如求解集合的元素个数、求解集合中满足某一条件的元素等。

总结起来，高二数学第一章集合知识点主要包括集合的基本概念、集合的关系、集合的运算和集合的求解方法。

集合的基本运算(精讲)(原卷版)--2023届初升高数学衔接专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（原卷版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）A ．{|20}x x -<<B ．{|01}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{|23}x x -<≤【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3}A =，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N ⊆B ．{}4M N =C ．M N ⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．111,,23⎧⎫⎬⎭D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧⎫=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人。

高二数学第一章知识点

高二数学第一章知识点一、集合与运算集合是由若干个确定的对象组成的整体，可以用大写字母表示。

常用的集合有：1. 自然数集N：N={1, 2, 3, ...}2. 整数集Z：Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}3. 有理数集Q：Q={p/q | p∈Z, q∈Z, q≠0}4. 实数集R：R为有理数集Q与无理数集I的并集，不可一一列举。

5. 空集∅：不包含任何元素。

6. 全集U：指定范围内的所有元素的集合。

运算包括交集、并集、补集和差集：1. 交集：A∩B表示A和B共有的元素组成的集合。

2. 并集：A∪B表示A和B中所有元素组成的集合。

3. 补集：A的补集记作A'，表示U中属于A之外的元素组成的集合。

4. 差集：A-B表示属于A但不属于B的元素组成的集合。

二、集合的关系与运算性质1. 包含关系：集合A包含集合B表示为A⊆B，如果A的所有元素都属于B，则A⊆B。

2. 相等关系：集合A和集合B相等表示为A=B，如果A包含B且B包含A，则A=B。

3. 幂集：集合A的幂集为A的所有子集组成的集合，记作P(A)。

4. 运算性质：a) 交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

b) 结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

c) 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

三、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，用逗号隔开。

例如：集合A={1, 2, 3}，集合B={a, b, c}。

2. 描述法：通过一定的条件描述集合中的元素。

例如：集合A={x | x是正整数，1≤x≤5}，集合B={y | y是偶数，2≤y≤10}。

四、集合的运算规律1. 交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

2. 结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

高二数学(理科)参考答案第1天集合及其运算

② 若B≠，则m≥2，要使BA成立，则有即－3≤m≤3，从而，2≤m≤3，
综上可得，实数m的取值范围是m≤3.
(2) 由A∩B＝，
① 若B＝，有m＋1>2m－1，得m<2；
② 若B≠，则m≥2，
要使A∩B＝成立，则有m＋1>5或2m－1<－2，即m>4或m<－，
当a＝3时，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，此时集合B不符合元素互异性，舍去；
当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，此时A∩B＝{9}，符合．
综上，a＝－3.
13. 解：(1) ∵ A∪B＝A，∴ BA.
① 若B＝，有m＋1>2m－1，得m<2；
(2) 当直线l1，l2相交且它们的交点在圆上时，(A∪B)∩C恰有三个元素．
由得x＝y＝，
由＋＝1，得a＝1. 若一个数的平方是正数，则它是负数
2. x∈R，x2＋2x－3<0
整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知∴ f(x)＝x2－x＋1.
12. 解：(1) 由f(x)＝＝2＋，
∵ x∈[2，4)，∴ ∈(1，3]，
∴ f(x)的值域是(3，5]．
(2) f(x)＝|x－3|－|x＋1|＝
易知值域是[－4，4]．
13. 解：(1) ∵ f(x)＝，∴ f(2)＝，f＝，f(3)＝，f＝.
(2) 綈q：x∈R，3x>0，真命题；
(3) 綈t：存在正方形不是矩形，假命题；
(4) 綈s：任何三角形都有外接圆，真命题．
12. 解：若p为真命题，则0<a－<1，∴ <a<；

高二上数学知识点北师大

高二上数学知识点北师大高二上学期，数学是学生们面临的重要科目之一。

北师大出版社的数学教材被广大学生所使用，因其系统性和全面性而备受好评。

以下是高二上数学课程中涉及的北师大教材中的一些重要知识点。

1. 集合与二元运算集合论是数学的基础理论之一，高中数学课程中涉及的集合与二元运算主要包括集合的基本概念、集合的表示方法、集合的关系与运算等内容。

值得注意的是，在集合的运算中，常出现并集、交集、差集等概念，学生需要掌握它们的定义及性质。

2. 三角函数三角函数是数学中的重要内容，也是高二上数学课程中难度逐渐加深的一部分。

在北师大的数学教材中，三角函数的内容包括弧度制、单位圆及三角函数的正弦、余弦、正切等。

理解三角函数的概念及性质是后续解三角方程、三角恒等式等问题的基础。

3. 平面向量平面向量是高二上学期的重要内容，北师大教材中对平面向量的定义、表示及运算进行了详细介绍。

学生需要掌握向量的加法、数量积、向量积等相关概念，并能够灵活运用到平面几何和解析几何中的问题中。

4. 平面解析几何平面解析几何作为数学的一个重要分支，涉及到直线、圆、抛物线、椭圆等图形的方程与性质。

北师大教材中对平面解析几何给出了详细的定义、定理及应用例题，学生需要熟练掌握直线与圆的方程、切线的斜率、两直线的夹角等内容。

5. 不等式不等式是数学中常见的问题类型之一，高二上数学课程中，学生将接触到一元一次不等式、一元二次不等式等。

北师大教材针对不等式给出了求解方法及应用实例，学生需要掌握通过图像、递增递减性质等方法解决不等式问题。

6. 概率统计概率统计是高中数学的一个重要分支，也是高二上学期的知识点之一。

北师大教材中对概率与统计的基本概念、概率计算、抽样调查等内容进行了详细讲解。

学生需要熟悉概率统计的基本理论、掌握概率计算的方法、理解统计数据的处理与分析方法。

7. 导数与微分导数与微分是高二上学期的重要数学知识点，也是高中数学的核心内容之一。

北师大教材中对导数的定义、导数与函数的关系、常见函数的导数等进行了详细介绍。

高二集合与函数知识点梳理

高二集合与函数知识点梳理高二阶段是学习数学的重要阶段之一，而集合与函数是数学中的基础知识。

在这篇文章中，我们将对高二阶段的集合与函数知识点进行梳理，帮助你更好地理解和掌握这一部分内容。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

2. 元素：属于某个集合的个体称为该集合的元素，用小写字母表示。

3. 集合的表示方法：列举法、描述法和区间表示法。

4. 子集与真子集：如果一个集合A的所有元素也是另一个集合B的元素，那么A是B的子集；如果A是B的子集且B不等于A，则A是B的真子集。

二、集合的运算1. 交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，表示同时属于A和B的元素所组成的集合。

2. 并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，表示属于A或B的元素所组成的集合。

3. 差集：集合A减去集合B，记作A-B，表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。

4. 补集：对于给定的一个全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示属于全集U但不属于A的元素所组成的集合。

三、函数的基本概念1. 函数的定义：设有两个集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素，都能确定集合B中唯一确定的元素与之对应，那么我们称这种关系为函数，记作f：A→B。

其中，A为定义域，B为值域。

2. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值构成的集合；函数的值域是指所有可能的输出值构成的集合。

3. 映射图：用图形或者表格的形式展示函数中的元素对应关系。

4. 一对一函数和多对一函数：如果函数的每一个元素在值域中有唯一对应的元素，那么这个函数就是一对一函数；如果函数的两个不同的元素在值域中有相同的对应元素，那么这个函数就是多对一函数。

四、函数的性质与运算1. 奇函数和偶函数：如果对于定义域中的任意一个元素x，有f(-x) = -f(x)，那么该函数为奇函数；如果对于定义域中的任意一个元素x，有f(-x) = f(x)，那么该函数为偶函数。

浙江高二数学知识点及公式大全

浙江高二数学知识点及公式大全一、集合论1. 集合的概念2. 集合的表示方法3. 集合的运算：交集、并集、差集、补集4. 集合的包含关系和相等关系5. 集合的元素个数的计算：基本原理与排列组合二、函数与映射1. 函数的概念及表示方法2. 函数的图像与性质3. 反函数与复合函数4. 映射的概念与性质5. 常用函数的性质与图像：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等三、数列与数列的极限1. 数列的概念与表示方法2. 等差数列与等比数列3. 数列的通项公式与前n项和公式4. 数列的极限与极限性质5. 无穷数列的极限：等比数列的收敛与发散四、三角函数与三角恒等变换1. 任意角的三角函数与三角函数的性质2. 三角函数的基本关系式与恒等变换3. 三角函数的图像与性质4. 三角方程的解法与应用五、立体几何1. 空间直线与平面的位置关系2. 空间中的平行与垂直关系3. 空间图形的投影4. 空间几何体的性质与计算：平行四边形、棱柱、棱锥、棱台、球、圆锥、圆台等六、解析几何1. 坐标系与坐标变换2. 二维坐标系中的图形与性质3. 直线的方程与性质4. 圆的方程与性质5. 平面的方程与性质七、概率统计1. 随机事件与样本空间2. 事件的概率与性质3. 事件的运算：并、交、差、补4. 随机变量的概率分布5. 统计与统计图表的分析八、导数与微分1. 函数的导数与可导性2. 导数的基本运算与性质3. 高阶导数与导数的应用4. 微分与微分近似计算九、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与符号2. 基本不定积分的运算法则3. 定积分的概念与性质4. 定积分的计算方法与应用以上是浙江高二数学的主要知识点与公式大全。

通过对这些知识点的学习与理解，可以帮助同学们牢固掌握高中数学的核心内容，为日后的学习打下坚实的基础。

在备考阶段，同学们可以根据这些知识点进行有针对性的复习，并通过练习题和真题进行实际操作，提高解题能力和应试能力。

高二数学公式及知识点

高二数学公式及知识点在高中数学学习的过程中，数学公式和知识点是我们的基础和重要的工具。

它们帮助我们解决问题，推导出结论，并构建数学模型。

本文将介绍一些高二数学中常用的公式和知识点，帮助大家更好地理解和应用数学。

一、集合与函数1. 集合在集合理论中，常见的集合运算有并集、交集和差集。

- 并集：表示两个或多个集合中的所有元素的总和。

- 交集：表示两个或多个集合中共同的元素。

- 差集：表示一个集合中除去另一个集合中共有的元素后剩余的元素。

2. 函数函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

常用的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

- 线性函数：表达式为y = kx + b，其中k和b为常数，描述了两个变量之间的直线关系。

- 二次函数：表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，描述了两个变量之间的抛物线关系。

二、解析几何1. 直线相关- 直线的斜率：直线斜率表示直线的倾斜程度，用k表示。

- 直线的截距：直线与坐标轴的交点称为截距，分为x截距和y 截距。

2. 圆相关- 圆的面积公式：A = πr^2，其中r为半径。

- 圆的周长公式：C = 2πr，其中r为半径。

三、三角函数1. 常用三角函数- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，它的正弦值等于对边与斜边的比值。

- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，它的余弦值等于邻边与斜边的比值。

- 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，它的正切值等于对边与邻边的比值。

2. 三角函数的基本关系- tanθ = sinθ / cosθ- sin^2θ + cos^2θ = 1- 1 + tan^2θ = sec^2θ- 1 + cot^2θ = csc^2θ四、概率与统计1. 排列与组合- 排列：从n个元素中选取r个元素进行排列的方式数，表示为P(n, r)。

- 组合：从n个元素中选取r个元素进行组合的方式数，表示为C(n, r)。

高二数学集合的运算试题答案及解析

高二数学集合的运算试题答案及解析1.已知为实数，集合，表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则等于（）A．1B．0C．-1D．【答案】A【解析】由条件可得：,即为：；所以.【考点】集合间的基本关系.2.设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则S∩T=_________．【答案】【解析】化简的，所以，答案为.【考点】集合的运算3.已知：非实数集M{1，2，3，4，5}，则满足条件“若x∈M，则6－x∈M”的集合M的个数是 .【答案】7个【解析】利用1+5=2+4=3+3，故M可以是{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个.【考点】集合的概念.4.设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选择C.【考点】集合的概念和运算.5.设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选择C.【考点】集合的概念和运算.6.已知集合,则=A．B．C．D．【答案】C【解析】化简集合得，，所以；故选Ｃ．【考点】集合的运算．7.已知集合，函数的定义域为集合B.(1)若，求集合;(2)已知且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】．【解析】(1)当时，化简集合A，求出集合B；再求出后就可求出；(2)由于则所以可用a的式子表示出集合A和B，又因为“”是“”的必要不充分条件，所以，从而可列出关于a的不等式，就可求得实数a的取值范围.试题解析： (1)若，则集合，集合所以，从而有；(2)因为，所以，从而集合，集合，又因为“”是“”的必要不充分条件，所以，从而有，得实数a的取值范围为.【考点】1．二次不等式；２．集合的运算；３．充要条件．8.设集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）利用解得；（2）利用无公共部分解得；（3）得．规律总结：涉及集合的子集、交集、并集等问题，要注意利用数形结合思想借用数轴解得．注意点：在分类讨论时注意的情形．试题解析：（1）由题意知：，，．①当时，得，解得．②当时，得，解得．综上，．（2）①当时，得，解得；②当时，得，解得．综上，．由，则．【考点】1．集合的运算；2．数形结合思想；3．分类讨论思想．9.设集合，则= ．【答案】【解析】求集合的交集就是求两集合公共元素的集合，根据数轴得：=【考点】集合的运算10.已知集合，函数的定义域为.（1）求集合.（2）求.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据绝对值不等式或（）即可确定集合，根据对数函数的真数大于零可得，进而求解不等式即可确定集合；（2）根据集合的交集运算的定义即可求出.试题解析：（1）因为（2）由（1）可得．【考点】1.绝对值不等式；2.函数的定义域；3.集合的运算.11.已知集合，，若，求实数的取值范围.【答案】.【解析】解一元二次不等式，可得或，故或，，解一元二次不等式，可得当时，显然符合要求，当时，，当时，，后两种情况均可根据建立关于的不等式组，从而求得的取值范围..或，∴或，∴，又∵可化为，当时，符合要求，当时，，由，当时，，由，综上，的取值范围：．【考点】1.集合的关系；2.集合的运算；3.一元二次不等式.12.集合，，若，则实数的值是（）A．1B．-1C．1或-1D．1或0或-1【答案】D【解析】集合，若，则或或，所以实数的值为1或0或-1.【考点】集合的运算、集合之间的关系.13.已知全集（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,故选B．【考点】集合的运算．14.已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|｝，则M∩N＝（）A．B．｛x|0＜x＜3C．｛x|1＜x＜3D．｛x|2＜x＜3【答案】D【解析】解一元二次不等式得N＝｛x|｝，然后根据交集定义即可.【考点】（1）集合的运算；（2）解一元二次不等式.15.已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|｝，则M∩N＝（）A．B．｛x|0＜x＜3C．｛x|1＜x＜3D．｛x|2＜x＜3【答案】D【解析】解一元二次不等式得N＝｛x|｝，然后根据交集定义即可.【考点】（1）集合的运算；（2）解一元二次不等式.16.已知集合，，则_ _.【答案】【解析】因为，，所以.【考点】1.二次不等式；2.集合的运算.17.已知集合（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解不等式可得A=，然后利用交集知识即可解决.【考点】集合的运算.18.已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若条件p 是条件q的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】【解析】将集合B变形为，讨论两个根的大小，在得出集合B，根据条件p 是条件q的充分条件得出，可在草稿纸上画数轴分析问题，再列出不等式求解试题解析：将x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0变形为。

高二数学集合的概念试题答案及解析

高二数学集合的概念试题答案及解析1.已知有限集．如果中元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复合集”有且只有一个，且．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）．【答案】①③④【解析】故①正确；不妨设则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；不妨设A中由得当时有所以于是无解即不存在满足条件的复活集故③正确；当n=3时，故只能求得于是复活集A只能有一个，当时，由即有也就是说复活集存在的必要条件是：事实上矛盾，故④正确．【考点】元素与集合，复活集的定义．2.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④当且仅当“”整数属于同一“类”．其中，正确结论的个数为．A．B．C．D．【答案】C【解析】①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；②∵-3=5×（-1）+2，∴对-3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④对．∴正确结论的个数是3．故选C．.【考点】新定义.3.已知集合，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】本试题主要是考查了集合的交集的运算。

以及二次不等式的解集的运用。

解A得需要对参数m分类讨论得到集合B，然后借助于数轴法求解得到结论。

解：解A得……2分若，解B得：……4分因为，所以，……6分所以，得：……8分若，解B得：所以，得：……11分所以：……12分4.若集合，则满足的集合B的个数是（）A．1B．2C．7D．8【答案】D【解析】解：因为集合，则满足,因此那么集合B的个数就是集合A的子集个数，共有8个，选D.5.集合的子集的个数为．【答案】16【解析】解：因为中有4个元素，因此子集个数为24=16.6.设集合函数，且，则的取值范围是 .【答案】【解析】，，，，，.7.（本小题满分13分）若集合具有以下性质：①②若，则，且时，.则称集合是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题：若，则必有；命题：若，且，则必有；【答案】（Ⅰ）有理数集是“好集”.（Ⅱ）.（Ⅲ）命题均为真命题..【解析】(I)先假设集合是“好集”.因为，，所以这与矛盾.这样就确定集合不是“好集”.有理数Q也采用同样的方法,进行推证.(II)根据好集的定义是“好集”，则，然后再根据x,y的任意性，可证明.(III)本小题也是先假设p、q都是真命题，然后根据好集的定义进行推证..（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”.因为，，所以. 这与矛盾.…………2分有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”.………………………………4分（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以.若，则，即.所以，即. …………………………6分（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下：………………………………………7分对任意一个“好集”，任取，若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.所以，即.所以. 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.若或，则显然.若且，则.由（Ⅱ）可得：.所以. 所以.所以.综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以，即命题为真命题. ……………………………………13分8.已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33B．34C．35D．36【答案】A【解析】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36-3=33个，故选A．9.设集合，则．【答案】【解析】,.10.（本小题满分14分）已知条件：条件：（Ⅰ）若,求实数的值；（Ⅱ）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】解：（Ⅰ），，若，则，故（Ⅱ），若，则或，故或【解析】略11.已知集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）．A．18B．10C．16D．14【答案】D【解析】若以中的元素为横坐标中的元素为纵坐标，则可以表示第一象限内不同的点2×2=4个，第二象限内不同的点1×2=2个。

高二数学必修一集合知识点

高二数学必修一集合知识点集合是数学中的一个基础概念，广泛应用于各个学科。

在高二数学必修一课程中，集合是一个重要的知识点，本文将重点介绍高二数学必修一集合的相关内容。

一、集合的基本概念在数学中，集合是由一些具有共同性质的对象组成的整体。

常用大写字母表示集合，元素则用小写字母表示。

例如，集合A={1,2,3,4,5}表示一个由1、2、3、4和5这些元素组成的集合。

二、集合的表示方法1. 列举法：通过直接列举集合中的元素来表示集合。

例如，集合A={1,2,3,4,5}就是用列举法表示的。

2. 描述法：通过给出集合中元素的共同特征描述集合。

例如，集合A={x|x是自然数，且1<=x<=5}表示一个由自然数1、2、3、4和5组成的集合。

三、集合间的关系1. 包含关系：若集合A中的每个元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

例如，若集合A={1,2}，集合B={1,2,3}，则可以说集合A包含于集合B。

2. 相等关系：若集合A包含于集合B，且集合B也包含于集合A，则称集合A和集合B相等，记作A=B。

例如，若集合A={1,2}，集合B={1,2}，则可以说集合A和集合B相等。

3. 并集：将两个集合合并在一起形成的新集合，称为并集。

并集的表示符号为∪。

例如，若集合A={1,2}，集合B={2,3}，则集合A和集合B的并集为A∪B={1,2,3}。

4. 交集：两个集合共同拥有的元素组成的新集合，称为交集。

交集的表示符号为∩。

例如，若集合A={1,2}，集合B={2,3}，则集合A和集合B的交集为A∩B={2}。

5. 补集：相对于某个全集U，集合A中不属于集合A的元素组成的新集合，称为集合A关于全集U的补集，记作A'或者A^c。

例如，若设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，则集合A的补集为A'={3,4,5}。

四、集合的运算1. 并集运算：将两个集合的所有元素合并在一起所得的新集合。

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