2007年春学期_初一数学_第8讲

人教版数学七年级下册课件 8

怎样解三元一次方程组呢？
x y z 23,
x
y
1,
2 x y z 2 0 .
能不能像以前一样 “消元”，把“三元” 化成“二元”呢？
典例精析
x y z 23,
例1：解方程组
x
y
1,
2 x y z 2 0 .
解：由方程②得 x=y+1 ④ 类似二元一次方程组
把④分别代入①③得的“消元”,把“三 2y+z=22 ⑤元”化成“二元”.
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8,z=6 把y=8代入④，得x=9 所以原方程的解是 x=9
y=8 z=6
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入” 或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 .
x＋y－z＝11， ①
1.解方程组 y＋z－x＝5， ② ,则x＝__6___，
z＋x－y＝1. ③
y＝__8____，z＝___3____. 【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +② 求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ） A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b， c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负
数都为0.

2007年春学期初一数学第8讲.doc

2007年春学期·初一数学·第八讲一、填空题：1、方程04y 5x 21=++，若用含x 的代数式表示y 为，若用含y 的代数式表示为； 2、二元一次方程12y 2x 3=+的非负整数解是________________________； 3、已知方程组⎩⎨⎧=+=-23y 2x 55y 2x 3的解也是方程014y 2kx =-+的解，则k=______；4、当5.0x =时，关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+5by x 25y 2ax 的解中的两个数互为倒数，则a=____，b=____；5、已知⎩⎨⎧=-=3y 2x 是方程n y x 5m y 3x 3=+=-和的公共解，则22n 2m 3m --的值是_________； 6、方程组⎩⎨⎧=-+=+3y )1k (kx 1y 3x 4的解为⎩⎨⎧==b y a x ，若b a =，则k=_______；二、解方程组：1、23214y x x y =⎧⎨+=⎩ 2、233213x y x y -=-⎧⎨+=⎩3、⎩⎨⎧-=+-=+x 23)2y (3y 51)2x (44、⎩⎨⎧=+=+4.0y 1.0x 4.02.0y 5.0x 2.0三、解答题：1、已知⎩⎨⎧=-=3y 2x 是方程ax －by ＝5的一个解，试求2 a ＋3b 的值.2、已知方程组⎩⎨⎧=-=-7y x 22by 2ax 与⎩⎨⎧=-=-11y x 39by 5ax 3有相同的解，求a 、b 的值；3、若方程组⎩⎨⎧=--=+8y )1k (kx 5y 3x 4的解中，x 的值比y 的值的相反数大1，求k 的值；4、在解方程组⎩⎨⎧-=-=+2by x 415y 5ax 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为⎩⎨⎧-=-=1y 3x ，乙看错了方程组中的b,而得解为⎩⎨⎧==4y 5x ，（1）甲把a 看成了什么，乙把b 看成了什么？（2）求出原方程组的正确解；（1）甲把a 看成203-，乙把b 看成了112（2）14295x y =⎧⎪⎨=⎪⎩四、用方程（组）解决问题：1、某种出租车的车费是这样计算的：路程的4千米以内（含4千米）为10.4元，达到4千米以后，每增加1千米加1.60元；达到15千米以后，每增加1千米加2.40元，增加不足1千米时按四舍五入计算，（1）求乘坐15千米时该向出租车司机交车费多少元？（2）如果某乘客乘出租车向出租车司机交车费95.20元，求这个乘客乘该出租车行驶了多少千米？2、某家电生产企业根据市场调查，决定生产方案如下：每周（按120个工时计算）生产空调、彩电、冰箱，其中冰箱占60台，已知每生产一台家电所需工时和产值如下表，问每周生产彩电、空调各多少台，才能使总产值是98万元？参考答案：一、1、8810xy x y -==--、2、06x y =⎧⎧⎧⎨⎨⎨=⎩⎩⎩x=2x=4、、y=3y=03、177k =4、a ＝2，b ＝－2；5、1726、k ＝11二、1、24x y =⎧⎨=⎩ 2、 15x y =⎧⎨=⎩ 3、31x y =-⎧⎨=⎩ 4、10x y =⎧⎨=⎩三、1、2 a ＋3b ＝－5 2、23a b =⎧⎨=⎩ 3、k ＝3四、1、（1）10.4＋（15－4）×1.60＝28元（2）设这个乘客乘该出租车行驶了x 千米.28＋（x －15）×2.4＝95. 20解得x ＝43 2、设每周生产彩电、空调分别为x 台、y 台，才能使总产值是98万元.则：1116012023443260980x y x y ⎧++⨯=⎪⎨⎪++⨯=⎩ 解得：17060x y =⎧⎨=⎩。

第08讲一元二次方程求根公式及解方程综合(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与

第08讲一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b ac a -< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b ac x a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =，2x 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．二：一元二次方程解法综合①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=；（3）224(32)26x x x -+=-；（42+．【变式1】用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【变式2】用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【变式3】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【变式4】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【变式5】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【变式6】用公式法解方程：21)30x x ++-．【变式7】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=；（2）(1)(3)0x x --=；（3）(32)(4)0x x +-=；（4）()()0x m x n -+=．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=；（4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【变式4】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【变式5】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【变式6】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【变式7】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【变式8】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a -=．【变式9】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=；（2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【变式11】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+．试解方程：2(2)210x x +=．【变式12】．已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x +1）（x ﹣3）＝5的解是（）A ．x 1＝1，x 2＝﹣3B ．x 1＝4，x 2＝﹣2C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣4，x 2＝22．（2023春•浦东新区期末）方程2x 2﹣2＝0的解是（）A ．x ＝﹣1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝±1．3．（2022春•上海期中）下列关于x 的方程一定有实数根的是（）A ．ax +1＝0B ．ax 2+1＝0C ．x +a ＝0D ．x 2+a ＝04．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x 2+5x +2＝0时，下列变形正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax 2+b ＝0有实数根，则条件是（）A ．a ≠0，b ＞0B ．a ≠0，b ＜0C ．a ≠0，a ，b 异号或b ＝0D ．a ≠0，b ≤06．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x ）2﹣2015•2017x ﹣1＝0较大的根为m ，方程x 2+2015x ﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016B．2017C．D．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是和．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝222．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．27．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：（a﹣b+c）x2+2ax+（a+b﹣c）＝0．28．（2022秋•黄浦区校级月考）解方程：2x2+4x﹣1＝0．29．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．30．（2022秋•闵行区期中）已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．。

人教版初中数学七年级下册8课件

第八章二元一次方程组
8.2.1 代入法解二元一次方
程组
复习旧知
1、什么叫二元一次方程组的解？
二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程
组的解。
=
5
2、若ቊ = 是方程2x+y=2的解，则8a+4b-3=____.
y=4x+1
3．已知4x-y=-1，用关于x的代数式表示y：___________；
的y都表示地上鸽子的数量，所以我们把第一个方程中的y都换
成x-2，这个方程组就转化为一元一次方程x+(x-2)=3[(x-2)1]，解这个方程即可得出x的值，然后再代入y=x-2，即可得出
y的值。
探究新知
+ = ( − )
如何解方程组： ቊ
−=+
二元
消
元
这种解方程组的方法
称为“代入消元法”
3 − 8 = 14②
解：由①，得x= y+ … ③
3 y+
把③代入②，得3（ ___）－ __=8y
___ 14
3
解这个方程，得y＝ -1
___.
-1
把y＝ _代入③，得x=
__
2
=2
所以原方程组的解是ቊ
= −1
变
代
求
写
探究新知
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示
4
解得：b=−
7
4
将b= − 代入②得：-a-2×
7
1
解得：a=
7
4
(− )=1
7
随堂练习
1．在方程2x－3y＝6中，用含有x的代数式表示y，得（C ）

【新】人教版七年级数学下册第八章《8.1二元一次方程组》公开课课件.ppt

做方程组
x y 10
2
x
y
16
的解。记作：
x y
6 4
1、下列各组数中，哪几组是方程x-3y=2解 A B ，哪几组是方程2x-y=9的解 B D ;
则方程组
x-3y=2 2x-y=9
的解是（ B ）
x=-1
Ａ
y=-1
B x=5
y=1
C x=3
y=2
x=2
D
y=-5
【实际应用】（只列方程（组），不要求解）:
1、满足方程 x y 10且符合问题的实际
意义的 x 、y 的值如下表：
x 0 1 2 3 … 6 … 9 10
y 10 9 8 7 … 4 … 1 0
2、满足方程 2xy16且符合问题的实际意
义的x 、y的值如下表：
x 0 1 2 3 …6 … 8
y 16 14 12 10 … 4 … 0
不难发现x=6,y=4既是 x+y=10的解，也是2x+y=16 的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫
海师大附中初一年级组织篮球比赛活动，结束后，初一（4）班为了奖励“运动员”，体育委员第一次到商店购买了5本笔记本和8支碳素笔，花费74元；第二次又去购买了7本笔记本和5支碳素笔，花费85元。求每本笔记本和每支碳素笔各多少元？
解：设每本笔记本x元，每支碳素笔y 元。根据题意得：
5x 8y 74
。2020年12月15日星期二2020/12/152020/12/152020/12/15
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/152020/12/152020/12/1512/15/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/152020/12/15December 15, 2020

七年级数学下册第8章二元一次方程组8.1二元一次方程组课件新版新人教版

感悟新知
知4－练
例 5 [母题教材P89 探究]根据下表所给出的x 的值及关于x， y的二元一次方程，求出相应的y 的值，并填入表内.
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y=2x
y=x＋5
感悟新知
知4－练
解题秘方：根据二元一次方程组的解的定义，找出同时满足两个二元一次方程的公共解，即为二元一次方程组的解.
C.3 个
D.4 个
解题秘方：紧扣二元一次方程必备的条件去识别.
感悟新知
方法点拨：判断一个方程是不是二元一次方程的知1－练方法：一看原方程是不是整式方程且只含有两个未知数；二看化简整理后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1 的条件. 解：根据二元一次方程的定义进行判断. ①含未知数的项xy 的次数是2；③不是整式方程； ④含未知数的项x2，y 中，x2 的次数不是1. ②⑤满足二元一次方程的定义. 答案：B
序号)
x＋y=10， x＋y=5， x＋2y=4， x2＋y=3
①
②
③
④
4x－y=25； y－z=3； 1x＋y=2； 2x－y=5.
感悟新知
知2－练
例 3 某中学组织七年级学生春游，原计划租用45 座的客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，试问七年级学生人数是多少？原计划租用45 座客车多少辆？(只列方程组) 解题秘方：分析出题意中蕴含的等量关系，用未知量表示出等量关系.
感悟新知
知2－练
解：设七年级学生有x 人，原计划租用y 辆45 座客车. 根据题意，得 45y＋15=x，
60(y－1)=x.

初一数学春季班第8次课----教案(学生版)(期中复习)

21第8章期中复习教案（第8次课）教学内容期中复习教学过程一、相交线与平行线1、如下图，直线a b ∥，则A 的度数是（）。

Ａ．38° Ｂ．48° Ｃ．42° Ｄ．39°2、已知：直线1l ∥2l ，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）3、如右图，下列条件中，不能判断直线a//b 的是（）A 、∠1=∠3B 、∠2=∠3C 、∠4=∠5D 、∠2+∠4=180°4、一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度（）A 、先向左转130°，再向左转50°B 、先向左转60°，再向右转60°C 、先向左转50°，再向右转40°D 、先向左转50°，再向左转40° 5、下列说法中正确的是（）A 、有且只有一条直线垂直于已知直线。

B 、互相垂直的两条线段一定相交。

C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。

D 、直线c 外一点A 与直线c 上各点连结而成的所有线段中最短线段的长是3cm ，则点A 到直线c 的距离是3cm 。

6、如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于点P ，若∠A=50°，则 ∠BPC 等于（）A 、90°B 、130°C 、100°D 、150°7、如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1= 63，则∠2=______ .A ． 30°B ． 35°C ． 40°D ． 45°cba5 432 1 PBCAE D8、如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°9、如图，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 32°，则∠F的度数为_________________10、如图，一束平行太阳光照射到正方形上，若∠α=28°，则∠β=________________11、把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么………”的形式是_________________12、如右图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30，∠2＝50，∠3等于__________度。

【最新】人教版数学七年级下册第八章《81二元一次方程组》公开课课件1.ppt

2x + y = 16 ②
观察思考：这两个方程是否为一元一次方程? 这两个方程有什么共同特点?
方程中含有两个未知数 , 并且未知数的项的次数都是1 ,
像这样的方程叫做二元一次方程.
判断点：1、未知数几个？ 2个判断点：2、未知数的项的次数是几次？ 1次判断点：3、等式两边都是整式
请帮下列各等式找到自己的家。
6
4
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
2x + y = 16
10 9 8 7
6
54
3
2
10
使二元一次方程两边的值相等的两个未6知数的
值,叫做二元一次方程的解.
4
2.再找出方程2x + y = 16的符合实际意义的解,并用表格罗列.
x 二0 元1一次2 方3 程4组的5 两6 个7方程8 的公共解，叫做二 y元一16次14方1程2 组10的8解6. 4 2 0
8.1 二元一次方程组
问题:
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负, 每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?
1、你能用以前学过的方法解决这个问题吗？
解法一：设胜X场，负(10-X)场，则 2X+(10-X)=16
2、这个问题还有新的解法，你想知道吗？
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.

初一数学竞赛讲座、例题练习及答案⑻列方程解应用题

初一数学竞赛讲座第8讲列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。

然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。

而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。

所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。

列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。

其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。

一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数，只要求出五位数x abcde =就可以了。

按题意，这个六位数的3倍等于1abcde 。

解：设五位数x abcde =，则六位数abcde 1x +=510，六位数1101+=x abcde ，从而有3（105+x ）=10x+1，x ＝42857。

答：这个六位数为142857。

说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。

（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。

因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。

例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。

问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。

初一数学第8讲等积变形

暑期数学思维训练初一数学第八讲等积变形【知识梳理】1、有些图形虽然形状发生变化，但它的面积保持不变，这就叫做等积变形。

2、会利用等积变形的相关知识解决一些问题。

ABO CDO的面积也是相等的。

A DOB C【例题解析】例1、四边形ABCD和CEFG AEG的面积。

提示一：整体图形面积－空白部分面积8cmE 提示二：连接AC，利用等积变形G FA D 8cm5cm HB C E例2、如图，长方形ABCD的长是16厘米，宽是10厘米，求阴影部分面积之和。

例3、如图P是长方形ABCD中的一点，根据图中所标数据，求长方形ABCD 的面积。

A D12 C㎡P占长方形的1 3B C【习题精练】1、下图是由一个扇形和一个长方形部分叠合而成，求甲、乙两部分的面积差。

甲乙4cm6cm2、下图由两个相同的直角三角形部分叠合而成，BE＝10厘米，EF＝16厘米，CG＝6厘米，求阴影部分的面积。

A DB EGC F3、下图是由大、小两个正方形拼成的，已知大正方形的面积是80平方厘米，求阴影部分的面积。

4、下图中，长方形的长是12厘米，宽是8厘米，求阴影部分的面积。

5、下图中，ABCD是平行四边形，BC＝8厘米，CE＝7厘米，阴影部分的面积比EFG大12平方厘米，求平行四边形的面积。

EB C6、把长方形ABCD分成宽之比为2：3的两个长方形，P为较大的长方形内的一点，已知阴影部分的面积为1，求长方形ABCD的面积。

AB C7、如下图，已知正方形ABCD的面积是5，EF＝FG，FD＝DG，求三角形ECG的面积。

GA DFE B C。

【新】人教版七年级数学下册第八章《8.1二元一次方程组》优质公开课课件.ppt

3 则a=_____
x y
2
1
，
2、判断下列各组未知数的值是不是二元一次方程
组
x y 8，
x
y
10
的解：
x 3，
y
5．
x 1 1，
y
1.
x9
y
1.
巩固新知
3 教科书第89页练习
解：设x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，根据题意，得
x y 7， 900 x 1200 y.
2x＋y=16
含有两两个个未未知知数数,并且含有未知数的
项项的的次次数数都都是是1，1 这样的方程叫做二元
一次方程。
二元一次方程
1.有两个未知数( 二元 ) 2.含有未知数的项的指数都为( 1 3.含未知数的式子是( 整式 )) 一次探Fra bibliotek新知，类比概念
x y 10, 2x y 16.
把具有相同未知数的两个二元一次方程
D 2、二元一次方程3x+2y=11的解有（）
A、任何一对有理数都是它的解 B、只有一个解 C、只有两个解 D、无穷多个解
y 1 x
3. 方程组
3
x
2
y
5
的解是（ D）
x 3
A.
y
2
B
.
x y
3
C
2
.
x y
3 2
x 3
D
.
y
2
4、若方程2x 2m+3+3 y 3n-5=0是关于x、y的二元一次方程，则
胜2x+场(1积0-x分)×1＋=1负6 场积分＝总积分
解决这个问题吗？解得
x=6 所以 10-6=4（场）

初中数学-春季班-人教版-初一(教师版) 第8讲二元一次方程组--尖子班

第8讲二元一次方程组知识点1 二元一次方程（组）的概念1．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）一般形式：ax+by+c=0(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)．（3）二元一次方程需满足三个条件：①方程是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．2．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 3．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）一般形式：111222a x+b y+c =0a x+b y+c =0⎧⎨⎩（其中1212a ,a ,b ,b 不同时为零）（3）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【典例】例1 （2020春•巴州区校级期中）已知关于x 、y 的方程22(4)(2)(6)8k x k x k y k -+++-=+，试问：①当k 为何值时此方程为一元一次方程？ ②当k 为何值时此方程为二元一次方程？【解答】解：（1）因为方程为关于x 、y 的一元一次方程，所以：①2402060k k k ⎧-=⎪+=⎨⎪-≠⎩，解得2k =-； ②2402060k k k ⎧-=⎪+≠⎨⎪-=⎩，无解，所以2k =-时，方程为一元一次方程．（2）根据二元一次方程的定义可知2402060k k k ⎧-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得2k =，所以2k =时，方程为二元一次方程．此题考查了一元一次方程与二元一次方程的定义，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．例 2 （2021•宁波模拟）在方程35143x y +=的正整数解中，使||x y -的值最小的解是 1619x y =⎧⎨=⎩．【解答】解：由35143x y +=，得33285xy -=+， ∴128x y =⎧⎨=⎩是方程组的一个解，其通解为15(283x tt y t =-⎧⎨=+⎩为整数），x ，y 都是正整数，∴128x y =⎧⎨=⎩，625x y =⎧⎨=⎩，1122x y =⎧⎨-⎩，1619x y =⎧⎨=⎩，2116x y =⎧⎨=⎩，2613x y =⎧⎨=⎩，3110x y =⎧⎨=⎩，367x y =⎧⎨=⎩，414x y =⎧⎨=⎩，461x y =⎧⎨=⎩， ∴使||x y -的值最小的解是1619x y =⎧⎨=⎩故答案为1619x y =⎧⎨=⎩．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的解，确定出符合题意的方程组的所有解是解题的关键．例3 （2020春•涪城区期末）若方程组||(2)2(1)3m y n xy m x ⎧+-=⎨-=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则n m = 1 ．【解答】解：根据题意知，||12010m n m =⎧⎪-=⎨⎪-≠⎩，解得1m =-，2n =，则2(1)1n m =-=，故答案为：1．本题考查的是一元二次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程．【随堂练习】1．（2020秋•青羊区校级期中）已知，方程12230a b x y -+-+=是关于x ，y 的二元一次方程，则a b += 1 ．【解答】解：方程12230a b x y -+-+=是关于x ，y 的二元一次方程， 11a ∴-=，21b +=，解得2a =，1b =-， 211a b ∴+=-=．故答案为：1．2．（2020春•香坊区校级期中）若223347m n m n x y +--=是二元一次方程，则mn= 5 ．【解答】解：由223347m n m n x y +--=是二元一次方程，得 21231m n m n +=⎧⎨-=⎩．解得5717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴51577m n =÷=，故答案为：5．3．（2020春•水磨沟区校级期中）方程组||(1)5(5)3a y a x y b xy --=⎧⎨+-=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则b a 的值是 1- ．【解答】解：由题意得：||1a =，50b -=，10a -≠，解得：1a =-，5b =，则原式5(1)1=-=-．故答案为：1-．知识点2 解二元一次方程组1．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．2．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x =a y =b 的形式表示．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． ③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ay=b的形式表示．【典例】例1 （2020春•新罗区期末）已知关于x，y的方程组2143x y mx y m-=+⎧⎨+=+⎩的解也是二元一次方程237x y-=的一个解，求m的值．【解答】解：2143 x y mx y m-=+⎧⎨+=+⎩①②①+②得：32x m=+．②-①得：1y m=+．将以上所求的x，y代入237x y-=，解得：2m=．【方法总结】本题考查二元一次函数的求解问题．同学们掌握其计算方法即可．例2（2020秋•新都区月考）解下列方程组：（1）3(1)55(1)3(5)x yy x-=+⎧⎨-=+⎩；（2）272253xyyx⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．【解答】解：（1）3(1)55(1)3(5)x yy x-=+⎧⎨-=+⎩，方程组整理，得385320x yy x-=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得428y=，解得7y=，把7y=代入①，得378x-=，解得5x =，所以方程组的解为57x y =⎧⎨=⎩；（2）272253xy y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，方程组整理，得414615x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．②4⨯-①，得2346x =，解得2x =，把2x =代入②，得1215y +=，解得3y =，所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩．【方法总结】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．例3（2020秋•枣庄月考）对x ，y 定义一种新运算“※”，规定：x ※y mx ny =+（其中m ，n 均为非零常数），若1※14=，1※23=．则2※1的值是 9 ．【解答】解：1※14=，1※23=， ∴423m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：51m n =⎧⎨=-⎩，则x ※5y x y =-2∴※12519=⨯-=，故答案为：9．【方法总结】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•青羊区校级期中）解方程组 75331x y x y +=⎧⎨+=⎩；【解答】解：75331x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①3⨯-②，得210x -=-，解得5x =，把5x =代入①，得2y =， ∴方程组的解为52x y =⎧⎨=⎩.2．（2020春•香坊区校级月考）已知方程组24323x y m y x -=+⎧⎨-=-⎩的解x 、y 互为相反数，求m 的值．【解答】解：24323x y m y x -=+⎧⎨-=-⎩①②，①+②得：4x y m +=，由x 与y 互为相反数，得到0x y +=，代入得：40m =，解得：0m =．知识点3 解三元一次方程组1．解三元一次方程组（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．（2）解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤把所求得的三个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x =a y =b z =c 的形式表示．【典例】例1 （2020春•如东县校级月考）在等式2y ax bx c =++，当1x =-时，0y =；当1x =时，4y =-，当2x =时，3y =，求当5x =时，y 的值．【解答】解：根据题意得：04423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩①②③，①-②得：24b -=，解得：2b =-，把2b =-代入①得：20a c ++=，即2a c +=-④，把2b =-代入③得：443a c -+=，即47a c +=⑤，由④和⑤组成方程组：247a c a c +=-⎧⎨+=⎩，解得：35a c =⎧⎨=-⎩，所以2325y x x =--，当5x =时，23525560y =⨯-⨯-=．【方法总结】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．例2（2020•浙江自主招生）解方程组() 2.5,(1)(1)9.5,(1)(1)11.x y z y z x z x y +=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩【解答】解：()()()()()2.5119.51111x y z y z x z x y +=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩①②③，②+③-①得：10yz y z +-=④，把④代入②，③得：12xy x -=，2zx x +=， 112y x ∴=+，21z x=-， 10yz y z =+-， (1)(1)9y z ∴-+=，∴219x =，开方得：13x =±，把13x =代入得：52y =，5z =，把13x =-代入得：12y =-，7z =-，则方程组的解为13525x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或13127x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩．【方法总结】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【随堂练习】1．（2020春•常德期末）若方程组4314(1)6x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解中x 与y 的值相等，则k 为 2 ．【解答】解：根据题意得：4314x y x y +=⎧⎨=⎩，解得2y ⎨=⎩①，将①代入(1)6kx k y +-=得， 22(1)6k k +-=，解得2k =．2．（2020春•浦东新区期末）解方程组：321224223x y x y z x y z +=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩．【解答】解：321224223x y x y z x y z +=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩①②③②+③得：31x y +=-④，由①-④得：2y =，把2y =代入①得：1x =-；把1x =-，2y =代入②得：0z =．则方程组的解为120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．知识点4 同解问题和错解问题【典例】例1 （2020春•市中区校级月考）已知关于x ，y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求2020(3)a b +的值．【解答】解：由题意可得2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入1233ax by ax by +=-⎧⎨+=⎩得31633a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得5b ⎨=⎩，20202020(3)(65)1a b ∴+=-+=．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x 、y 的方程组，求出x 、y 的值，再将x 、y 的值代入含a 、b 的方程组即可求出a 、b 的值，即可求出代数式的值．例2 （2020春•大化县期末）若方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩与方程组126mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解相同，求m ，n 的值．【解答】解：方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：31x y =⎧⎨=⎩，把31x y =⎧⎨=⎩代入方程组126mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩，得31236m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：33m n =⎧⎨=⎩，则m ，n 的值为3，3．【方法总结】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【随堂练习】1. （2020春•岳阳期末）方程组3251x y ax by +=⎧⎨-=⎩与方程组217y x bx ay =-⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值．【解答】解：由于两个方程组的解相同，∴方程组32521x y y x +=⎧⎨=-⎩①②与方程组17ax by bx ay -=⎧⎨+=⎩①②的解相同．解方程组32521x y y x +=⎧⎨=-⎩①②得11x y =⎧⎨=⎩把1x =，1y =代入方程组17ax by bx ay -=⎧⎨+=⎩①②，得17a b b a -=⎧⎨+=⎩．解这个方程组，得43a b =⎧⎨=⎩．2．（2020春•淮阳区期末）已知关于x ，y 的两个二元一次方程组22654x ymx ny +=-⎧⎨=-⎩和353680x y nx my =+⎧⎨++=⎩的解相同，求188(2)m n +的值．【解答】解：由两个方程组的解相同，得22653536x yx y +=-⎧⎨=+⎩，解得26x y =⎧⎨=-⎩，所以有：2642680m n n m =--⎧⎨-+=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩，所以188188(2)(12)1m n +=-=．知识点5 含参二元一次方程组【典例】例1 （2020春•邗江区期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组2225x y m x y m -=+⎧⎨+=-⎩．（1）若1m =，求方程组的解；（2）若方程组的解中，x 的值为正数，y 的值为正数，求m 的范围．【解答】解：（1）把1m =代入方程组，得2324x y x y -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得21x y =⎧⎨=⎩（2）2225x y m x y m -=+⎧⎨+=-⎩①②由②，得52x m y =--③ 把③代入①，得 10242m y y m ---=+整理，得835my -= 把835my -=代入③，得 95mx +=x 的值为正数，y 的值为正数，∴9058305mm +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得893m -<<【方法总结】本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．会用代入法或加减法解二元一次方程组是解决本题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•龙泉驿区期中）若方程组437(3)1x y kx k y +=⎧⎨+-=⎩的解满足x y =，求k 的值．【解答】解：()43731x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②，把x y =代入①得77y =，解得1y =，把1x y ==代入②得31k k +-=，解得2k =．综合运用1．二元一次方程3x +5y ＝17的正整数解是 {x =4y =1．【解答】解：方程3x +5y ＝17，解得：x =17−5y3，当y ＝1时，x ＝4，则方程的正整数解为{x =4y =1，故答案为：{x =4y =12．解方程组：（1）{x −y =42x +y =5；（2）{x+13=y+24x−34−y−33=112．【解答】解：（1）{x −y =4①2x +y =5②，①+②得：3x ＝9，解得：x ＝3，把x ＝3代入①得：y ＝﹣1，则方程组的解为{x =3y =−1；（2）方程组整理得：{4x −3y =2①3x −4y =−2②，①×4﹣②×3得：7x ＝14，解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝2，则方程组的解为{x =2y =2．3．若关于m 、n 的二元一次方程组{am −2n =132m +bn =14的解为{m =4n =−1，求关于x 、y 的方程组{a(2x +y)−2(x +2y)=132(2x +y)+b(x +2y)=14的解．【解答】解：∵二元一次方程组{am −2n =132m +bn =14的解为{m =4n =−1，∴{4a +2=138−b =14， ∴{a =114b =−6，∴方程组{a(2x +y)−2(x +2y)=132(2x +y)+b(x +2y)=14可转化为{114(2x +y)−2(x +2y)=13①2(2x +y)−6(x +2y)=14②，①×3﹣②，得2x +y ＝4③，将2x +y ＝4代入②中，得x +2y ＝﹣1④， ③×2﹣④，得x ＝3，将x ＝3代入④，得y ＝﹣2， ∴原方程组的解为{x =3y =−2．4．（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩①②甲解题看错了①中的m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，乙解题时看错②中的n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，试求原方程组的解．【解答】解：（1）把722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入②得：7213n +=，解得：3n =，把37x y =⎧⎨=-⎩代入①得：375m -=，解得：4m =；把4m =，3n =代入方程组得：452313x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①3⨯+②得：1428x =，即2x =，把2x =代入①得：3y =-，则方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩．5．（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于x ，y 的方程组3528ax y bx y +=⎧⎨+=⎩时，小红只因看错了系数a ，得到方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，小风只因看错了系数b ，得到方程组的解为14x y =⎧⎨=⎩，求a ，b 的值和原方程组的解．【解答】解：根据题意，12xy=-⎧⎨=⎩不满足方程35ax y+=，但应满足方程28bx y+=，代入此方程，得48b-+=，解得4b=-．同理，将14xy=⎧⎨=⎩代入方程35ax y+=，得125a+=，解得7a=-．所以原方程组应为735428x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，解得718xy=⎧⎨=⎩．6．（2020春•西华县期末）在解方程组51741ax yx by+=-⎧⎨-=⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为43xy=⎧⎨=⎩；乙看错了方程组中的b而得到解为31xy=-⎧⎨=-⎩．（1）求正确的a、b值；（2）求原方程组的解．【解答】解：（1）根据题意得：1631 3517ba-=⎧⎨--=-⎩解得：45 ab=⎧⎨=⎩（2）原方程组是：4517 451x yx y+=-⎧⎨-=⎩解得：295xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩．。

初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第8讲二元一次方程组--基础班

第8讲二元一次方程组知识点1 二元一次方程（组）的概念1．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）一般形式：ax+by+c=0(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)．（3）二元一次方程需满足三个条件：①方程是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．2．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 3．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）一般形式：111222a x+b y+c =0a x+b y+c =0⎧⎨⎩（其中1212a ,a ,b ,b 不同时为零）（3）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【典例】例1 （2020秋•锦江区校级期中）下列方程中，是二元一次方程的是( ) A ．40x -=B ．20x y -=C ．350xy -=D ．112y x +=【方法总结】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．例2（2020春•江岸区校级月考）已知关于x ，y 的二元一次方程31mx y -=-有一组解是12x y =⎧⎨=-⎩，则m 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．1-【方法总结】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．例3 （2020秋•肃州区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) A ．3526x y y z -=⎧⎨-=⎩B ．231x y x +=⎧⎨=⎩C ．5211x y xy +=⎧⎨=-⎩D ．224x y y x +=⎧⎨-=⎩【方法总结】此题主要考查了二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．【随堂练习】1．（2020春•江都区月考）下列方程中，是二元一次方程的是( ) A ．2xy = B ．34x y = C ．12x y+= D ．224x y +=2．（2020秋•肃州区期末）已知3211203n m x y -+-=是关于x ，y 的二元一次方程，则m n = ．3．（2020春•中山区期末）已知21x y =⎧⎨=-⎩是方程515ax y -=的一个解，则a 的值为( )A ．5a =B ．5a =-C ．10a =D ．10a =-4．（2020春•蔡甸区校级月考）下列方程组中不是二元一次方程组的是( ) A ．1324s s t +=⎧⎨-=⎩B ．324m n m n +=⎧⎨-=⎩C ．34x y =⎧⎨=⎩D ．324x y xy y +=⎧⎨-=⎩知识点2 解二元一次方程组1．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．2．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=a的形式表示．y=b（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．的形式表示．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ay=b【典例】例1（2020秋•兰州期末）解方程组（1）25343x y x y -=-⎧⎨-+=-⎩；（2）4(1)3(1)2223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩；【方法总结】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．例2 （2020春•南岗区校级月考）已知21x y =⎧⎨=-⎩是方程组36mx y x ny -=⎧⎨-=⎩的解，则m n -= ．【方法总结】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．例3 （2020春•永定区校级期末）如果单项式2225m n n m x y +-+与577x y 是同类项，那么n m 的值是．【方法总结】此题考查了解二元一次方程组，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•新城区校级期中）若方程组421x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解也是214x ay -=的解，则a = ．2．（2020秋•肃州区期末）解方程组：（1）32143x y x y +=⎧⎨=+⎩；（2）134342x yx y⎧-=⎪⎨⎪-=⎩．知识点3 解三元一次方程组1．解三元一次方程组（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．（2）解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤把所求得的三个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ay=bz=c的形式表示．【典例】例1 （2020春•东城区校级期末）解方程组：131022 x yx y zx y z-=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩【方法总结】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成其余两个未知数的二元一次方程组．例2 （2020春•嘉定区期末）解方程组：312x y x z y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．【方法总结】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【随堂练习】1．（2020春•津南区校级月考）三元一次方程组102040x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解是．2．（2020春•海安市期中）已知点4360x y z --=，270(0)x y z xyz +-=≠，则23x y zx y z --=++ ．3．（2020春•仁寿县校级期末）解方程组23032512247x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩．知识点4 同解问题和错解问题【典例】例1 （2020秋•新都区月考）若方程组34252x y bax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩与4325a x by x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩有相同的解，则a = ，b = ．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能根据题意得出关于a 、b 的方程组是解此题的关键．例2 （2020春•江都区月考）已知关于x ，y 的方程组3274522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同解，求()b a -的值．【方法总结】此题考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．【随堂练习】1．（2020春•惠城区期中）已知方程组2564x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩与方程组35168x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩的解相同．求2020(2)a b +的值．2．（2020春•南召县期中）关于x 、y 的方程组251x y ax by -=⎧⎪⎨⎪+=-⎩和321122x y ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值．知识点5 含参二元一次方程组【典例】例1（2020春•方城县期中）已知，关于x ，y 的方程组4325x y a x y a-=-⎧⎨+=-⎩的解为x 、y ．（1）x = ，y = （用含a 的代数式表示）；（2）若x 、y 互为相反数，求a 的值；【方法总结】本题考查的是二元一次方程组的解法，相反数的概念，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•三台县期中）已知关于x ，y 的二元一次方程组2564x y m x y m +=⎧⎨-=⎩的解满足方程210x y -+=，求m 的值．综合运用1．二元一次方程3x +5y ＝17的正整数解是．2．解方程组：（1）{x −y =42x +y =5；（2）{x+13=y+24x−34−y−33=112．3．若关于m 、n 的二元一次方程组{am −2n =132m +bn =14的解为{m =4n =−1，求关于x 、y 的方程组{a(2x +y)−2(x +2y)=132(2x +y)+b(x +2y)=14的解．4．（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩①②甲解题看错了①中的m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，乙解题时看错②中的n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，试求原方程组的解．5．（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于x ，y 的方程组3528ax y bx y +=⎧⎨+=⎩时，小红只因看错了系数a ，得到方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩，小风只因看错了系数b ，得到方程组的解为14x y =⎧⎨=⎩，求a ，b 的值和原方程组的解．6．（2020春•西华县期末）在解方程组51741ax y x by +=-⎧⎨-=⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得到解为43x y =⎧⎨=⎩；乙看错了方程组中的b 而得到解为31x y =-⎧⎨=-⎩．（1）求正确的a 、b 值；（2）求原方程组的解．。

第8讲平行线的性质与用尺规作角七年级数学下册同步精品讲义

第8讲平行线的性质与用尺规作角目标导航1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3、理解尺规作图的含义；4、能用尺规作一些基本的图形；5、通过尺规作图的理解进行一些线段和角的计算。

知识精讲知识点01平行线的性质一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．二、平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．三、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【知识拓展1】（2021秋•本溪期末）如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线a，b上，若∠1＝115°，则∠2的度数为（）A．85°B．75°C．55°D．95°【即学即练1】（2021秋•成都期末）如图，直线AB∥CD，点E在AC上，若∠A＝130°，∠D＝20°，则∠AED＝（）A．70°B．75°C．80°D．85°【即学即练2】（2021秋•武侯区期末）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平行，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．25°B．55°C．65°D．75°【即学即练3】（2021秋•普宁市期末）如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB ∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（）A．60°B．30°C．90°D．80°【即学即练4】（2021秋•铁西区期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为．【即学即练5】（2021秋•宽城区期末）如图，直线m∥n．若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的大小为度．【知识拓展2】（2021秋•成都期末）如图，AE∥BC，且∠ABD＝∠ADB，∠DAE＝∠E，若∠ABC＝63°，求∠DBC的度数．【即学即练1】（2021秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线P A，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（）A．2αB．2βC．α+βD．（α+β）【即学即练2】（2021秋•香坊区期末）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°；其中正确说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练3】（2021秋•道里区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为度．【即学即练4】（2021秋•罗湖区期末）请解答下列各题：（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．①由条件可知：∠1＝∠3，依据是，∠2＝∠4，依据是．②反射光线BC与EF平行，依据是．（2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝；∠3＝．【即学即练5】（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．解：∵AB∥DC（），∴∠B+∠DCB＝180°（）．∵∠B＝（已知），∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．∵AC⊥BC（已知），∴∠ACB＝（垂直的定义）．∴∠2＝．∵AB∥DC（已知），∴∠1＝（）．∵AC平分∠DAB（已知），∴∠DAB＝2∠1＝（角平分线的定义）．∵AB∥DC（已知），∴+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．∴∠D＝180°﹣∠DAB＝．【即学即练6】（2021秋•长春期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．知识点02 用尺规作角1．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、作一个角等于已知角作一个角等于已知角的主要作用是作三角形和作平行线等．利用尺规作一个角等于已知角.已知：∠AOB(如图2－4－22所示)．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.图2－4－22作法：(1)如图2－4－23所示，作射线O′B′；(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点C；(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′B′于点C′；(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′；(5)过点D′作射线O′A′.则∠A′O′B′就是所求作的角．图2－4－23【知识拓展1】（2021秋•无为市期末）下列尺规作图的语句正确的是（）A．延长射线AB到DB．以点D为圆心，任意长为半径画弧C．作直线AB＝3cmD．延长线段AB至C，使AC＝BC【即学即练1】（2020秋•大连期末）下列作图语句中，叙述正确的是（）A．延长线段AB到点C，使BC＝ABB．画直线AB的中点CC．画直线AB＝6cmD．延长射线OA到点B【即学即练2】只用的直尺和进行的作图称为尺规作图．【即学即练3】（2021春•铁岭月考）下列作图语句错误的个数是（）①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练4】（2021春•龙口市月考）下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离C．延长射线OA D．连接A、B两点【即学即练5】（2011春•巴东县校级期末）作图题的书写步骤是、、，而且要画出，写出，保留．【即学即练6】（2019秋•成安县期末）下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3cm B．连结A、B两点C．画出直线AB的中点D．画出A、B两点的距离【即学即练7】（2018秋•宁阳县期末）下列语句是有关几何作图的叙述．①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB＝∠1；④作直线AB，使AB＝a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB 的平行线．其中正确的有．（填序号即可）【即学即练8】如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【即学即练9】下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：．②过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：．能力拓展类型一、平行线的性质例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°类型二、两平行线间的距离例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.类型三、平行的性质与判定综合应用例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°类型四：尺规作图的定义例6.下列作图属于尺规作图的是()A．用三角尺作AB的平行线B．用刻度尺画线段AB＝3 cmC．用直尺和圆规作直线AB的平行线D．用量角器画∠AOB的平分线OC类型五：作一个角等于已知角例7.如图2－4－24所示，已知∠AOB，求作∠CBO，使∠CBO＝∠AOB，交OA于点C.图2－4－24类型六：作已知角的和、差、倍例8.如图2－4－25所示，已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和．图2－4－25分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知l1∥l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（）A．50°B．55°C．45°D．60°2．（2020秋•历下区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°4．下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3 cm B．画出A、B两点的距离C．画出A、B两点的中点D．连接A、B两点5．在下列各题中，属于尺规作图的是（）A．利用三角板画45°的角B．用直尺和三角板画平行线C．用直尺画一工件边缘的垂线D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段二．填空题（共3小题）6．（2021秋•道里区期末）如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为度．7．（2019秋•辉县市期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝度．8．（2020秋•石狮市期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•临漳县期末）探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空．解：因为DE∥BC，所以∠DEF＝（）．因为EF∥AB，所以＝∠ABC（）．所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．因为∠ABC＝50°，所以∠DEF＝°．应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．10．（2021春•原州区期末）如图，AD∥BC，∠CAE的平分线是AD，∠C＝65°．请你计算出∠DAE、∠CAB和∠B的度数．11．（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝∠D．12．（2021春•南丹县期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF ∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整：解：∵DE∥BC（），∴∠DEF＝∠CFE（），∵EF∥AB，∴∠CFE＝∠ABC（），∴∠DEF＝∠ABC（）．∵∠ABC＝65°，∴∠DEF＝．题组B 能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2020秋•南岸区期末）如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为（）A．αB．αC．2αD．2．（2021秋•上思县期中）如图所示，若AB∥DE，且∠E＝55°，则∠B+∠C的度数是（）A．135°B．125°C．55°D．45°3．（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．32°B．34°C．36°D．38°4．（2021•河南模拟）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°5．（2021秋•常州期中）下列作图语句正确的是（）A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线ABC．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF6．下列作图不是尺规作图的是（）A．用直尺和圆规作线段a等于已知线段B．用直尺和圆规作一个角等于已知角C．用刻度尺和圆规作一条10cm的线段D．用直尺和圆规作一个三角形二．填空题（共4小题）7．（2021秋•南岗区期末）如图，m∥n，l⊥n，垂足为点A，l交m于点B，点C在直线n上，请在直线m 上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交直线l于点E，若∠BED＝60°，则∠ACD＝度．8．（2021秋•道里区期末）如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于度．9．（2020秋•成都期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝．10．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠NED＝°．三．解答题（共4小题）11．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．12．（2021秋•嵩县期末）已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．（1）如图1所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（2）如图2所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）：；（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是多少度？13．（2021秋•虎林市期末）（1）如图（1），AB∥EF．求证：∠BCF＝∠B+∠F．（2）当点C在直线BF的右侧时，如图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B、∠F的关系如何？请说明理由．14．（2020秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二．填空题（共7小题）2．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝．3．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有个．4．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD ＝y°则∠P1＝（x+y）度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠P n＝度．5．（2021春•辛集市期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝．6．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为．7．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠CDE n﹣1的平分线，交点为E n，若∠E n＝α度，则∠BED＝度．8．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝．三．解答题（共5小题）9．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）10．（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．11．（2021•泉州模拟）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度数大于90°小于120°）（1）求证：∠BED＝90°；（2）若点F为射线BE上一点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；（3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：．（题中所有的角都是大于0°小于180°的角）12．（2021春•靖江市期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；（2）如图②，若α＝135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝θ（90°＜θ＜180°），入射光线FE与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线FE从镜面AB开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线FE平行，请用含有m的代数式直接表示θ的度数；（3）如图③，若90°＜α＜180°，∠1＝20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．13．（2021春•江汉区期中）问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．。

春学期七年级数学下册第8章二元一次方程组复习课件新人教版

的系数，使其绝对值相等；
2.把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；
3.解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 4.把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程的解 .
难点突破
►考点三
加减法解二元一次方程组
解：①-②，得0.4x=-1.2 解这个方程，得x=-3 把x=-3代入①，得0.6×(-3)-0.4y=1.1
3.解一元一次方程，求出x的值;
4.再把求出的x的值代入变形后的方程，求出y的值.
难点突破
►考点二
代入法解二元一次方程组
解：由①，得y=5x-110 ③ 把③代入②，得9(5x-110)-x=110 解这个方程，得x=25 把x=25代入③，得y=15
知识梳理用加减法解二元一次方程组的步骤： 1.利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数
本课小结数学问题（二元或三元一次方程组）
实际问题
设未知数，列方程组
解方程组
代入法加减法（消元）
实际问题的答案
检验
数学问题的解（二元或三元一次方程组的解）
随堂检测
A B
随堂检测
3. 方程2x＋y＝9在正整数范围内的解有（ D） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
4. 有一个两位数，减去它各位数字之和的3倍，值为23，除以它各位数字之和商是5，
知识梳理
三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即
消元
三元一次方程组二元一次方程组
消元
一元一次方程

人教版七年级数学下8

4.引导学生正确看待数学学习中的困难与挫折，培养学生克服困难、勇于进取的精神。
本教学设计旨在使学生在掌握二元一次方程组相关知识的基础上，提高数学思维能力、运算能力和实际应用能力，同时培养学生的情感态度与价值观，使学生在学习过程中得到全面发展。
二、学情分析
在进入七年级下学期的数学学习阶段，学生已经掌握了线性方程的基本概念和求解方法，具备了一定的数学基础。在此基础上，开展二元一次方程组的教学，学生需要在原有知识体系上进行拓展和深化。然而，学生在面对二元一次方程组时，可能会在以下几个方面遇到困难：
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以学生熟悉的生活场景为背景，提出一个实际问题，如“小明和小华一起去书店买书，小明买了3本科技书和2本故事书，共花费了56元；小华买了2本科技书和4本故事书，共花费了64元。请问：一本科技书和一本故事书各多少钱？”
2.教学过程：
（1）引导学生思考如何解决这个问题，让学生尝试用已学的数学知识进行求解。
（3）巩固：设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，教师进行个别辅导，巩固所学知识。
（4）拓展：引入实际问题，让学生尝试将问题转化为二元一次方程组，并运用所学方法求解，提高学生的实际应用能力。
（5）总结：对本节课的知识点进行梳理，强调重点，突破难点，使学生形成系统的知识结构。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、讨论交流、小组合作等方面的表现，鼓励学生积极参与，培养团队协作能力。
1.抽象思维能力：二元一次方程组的抽象性相对较高，学生可能难以理解其内涵和本质，需要教师在教学过程中给予充分引导和解释。
2.解题策略：学生在解决二元一次方程组问题时，可能难以灵活运用代入法、消元法等求解方法，需要通过实例分析和反复练习来提高解题技巧。

七年级数学下册专题第8讲三角形重点、考点知识总结及练习

=90°+ 1 ∠A， 2
即 D 90 1 A ． 2
【方法总结】
角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角乊间的关系。此题可记住结论：
当 BD、CD 是三角形 ABC 的角平分线时， D 90 1 A 2
【随堂练习】 1．（2017 春•辉县市期末）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C 的度数．
专题第 8 讲三角形
知识点 1 三角形的三边关系
1、三角形三条边乊间的关系：三角形任意两边乊和大于第三边，三角形任意两边乊差小于第三边． 2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段乊和时，戒当三条线段中最短的线段大于另两条线段乊差时，即可组成三角形”
【典例】
1. 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【答案】3a﹣b 【解析】解：∵△ABC 的三边长分别是 a、b、c， ∴必须满足两边乊和大于第三边，则： a+b﹣c=（a+b）-c＞0， a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0， a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即 a﹣b+2c>0），
⊥AC 于 M，探究线段 PK、PM 不 CG 乊间的数量关系．
【解析】解：连接 AP，
∵CG⊥AB，PK⊥AB，PM⊥AC，
∴S△ABC=
1 2
AB•CG，S△ABP=
1 2
AB•PK，S△ACP=
1 2
AC•PM，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ 1 AB•CG= 1 AB•PK+ 1 AC•PM，

2007年春学期_初一数学_第8讲

人教版数学七年级下册课件 8