高二数学等比数列1
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.已知x是4和16的等比中项，则x＝．【答案】【解析】由x是4和16的等比中项，得【考点】等比中项2.己知等比数列所有项均为正数，首，且成等差数列．(I)求数列的通项公式；(II)数列的前n项和为，若，求实数的值．【解析】(1)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，由条件得成等差数列，所以解得由数列的所有项均为正数,则=2数列的通项公式为=（Ⅱ）记,则若不符合条件；若，则，数列为等比数列，首项为，公比为2,此时又＝,所以【考点】(1)等比数列的通行公式；（2）等比数列的前项和公式.3.已知是等比数列，，则公比q等于（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由得【考点】等比数列的通项4.已知等比数列中，，，则的值（）A．35B．63C．D．【答案】B.【解析】∵等比数列，∴，，∴，.【考点】等比数列的通项公式.5.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．83【解析】∵等比数列，，，也成等比数列，即，∴.【考点】等比数列的性质.6.在数列中，若，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）分别求，的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2），.【解析】（1）欲证数列是等比数列，只需证明，而条件中给出了数列的一个递推公式，因此需结合，得到数列的递推公式：，即，，从而数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，再由条件即可得.试题解析：（1）∵，∴，又∵，∴，，即数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，，又∵，∴.【考点】1.等比数列的证明；2.数列的通项公式.7.设首项为l，公比为的等比数列的前项和为，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，即为所求的关系式．【考点】等比数列的前项和．8.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题意知，。
等比数列(第一课时：等比数列的概念)
2.4等比数列（第一课时：等比数列的概念）--------高二数学组李丁丁教学目标１、知识与技能：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。
２、过程与方法：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析和逻辑推理能力。
３、情感、态度与价值观：通过等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度。
教学重点与难点重点：等比数列的定义、通项公式的推导。
难点：等比数列通项公式的初步应用。
教学过程一、问题情境首先请同学们看以下几个事例（幻灯片展示）情境1、国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：第1个方格放1颗麦粒，第2个方格放2颗麦粒，第3个方格放4颗麦粒，第4个方格放8颗麦粒，以此类推，直到第64个方格，应该放多少颗麦粒，国王能否满足他的要求？情境2、“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”情境3、一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。
如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮。
邮件接收者发送病毒称为第二轮，以此类推，假设每一台计算机感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机构成什么样的数列？问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、学生活动通过观察、联想、发现：1、上述例子可以与数列联系起来（有等差数列的学习做基础）2、得到以下3个数列：① 1,2,22，…，263② 1，，，4121…,n21⎪⎭⎫ ⎝⎛,… ③ 1,20,202,203,…,通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）三、 数学建构1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数 列，谁能试着给这样的数列取个名字？（学生通过联想、尝试、得出最恰当的命名：等比数列）2、归纳总结，形成等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）(引导学生经过类比等差数列的定义得出)3、对等比数列概念的深化理解问题1：上述三例的公比分别是什么？问题2、刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，请同学们类比等差数列，将等比数列定义的内容用数学表达式写出（由学生活动得出，判定方法：)(1为常数q q a a nn =+ 问题3、在学习等差数列时，我们可以用公差d ，项数n 以及首项1a 表示数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式n a ，那么在等比数列中，要表示该数列，需先确定几个条件？怎样用这些条件表示这个等比数列的每一项？（启发引导，引导学生类比等差数列大胆尝试，讨论回答）归纳法：根据等比数列的定义：3134212312q q q a a a q a a a q a a =====，， ，…,∴11-=n n q a a (分析式子结构：1、只要知道q a ，1可求等比数列 中的任一项；2、任一项都可表示成q a 和1的形式，知三求一)四、 数学运用例3、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
高二数学等比数列知识点总结
高二数学等比数列知识点总结1. 概念与特点等比数列是指一个数列中，任意两项之间的比值都相等的数列。
这个比值称为公比，用字母q表示。
等比数列的前两项分别为a₁和a₂，第n项为aₙ，则等比数列可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
等比数列的特点包括：相邻两项的比值相等，任意一项与它之前的项的比值相等。
2. 公式及推导等比数列的通项公式可以通过推导得到。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ。
根据特点2，可以得到：a₂ =a₁ * q，a₃ = a₂ * q = a₁ * q²，...，根据此规律可以推导出通项公式：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
3. 求和公式对于等比数列的求和，有以下两种情况：3.1 当公比q等于1时，等比数列全部项相等，求和公式为：Sₙ = n * a₁。
3.2 当公比q不等于1时，求和公式为：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)。
4. 常见问题及应用4.1 确定等比数列中的某一项已知等比数列的首项a₁和公比q，要确定第n项aₙ，可以使用通项公式aₙ = a₁ * q^(n-1)。
4.2 确定等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁和公比q，要确定前n项和Sₙ，分两种情况计算：若q=1，则Sₙ = n * a₁；若q≠1，则Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)。
4.3 判断数列是否为等比数列判断一个数列是否为等比数列，可以计算相邻两项的比值是否相等。
若相邻项的比值都相等，则数列为等比数列；若存在相邻项的比值不相等，则数列不是等比数列。
4.4 应用举例等比数列在各个领域都有广泛的应用。
例如在金融领域中的复利计算、物理学中的衰减问题、生物学中的细胞分裂等。
利用等比数列的知识，可以更深入地理解和解决实际问题。
5. 总结等比数列是数学中的重要概念，通过学习等比数列的概念、特点、公式和应用，能够帮助我们更好地理解数列的规律及其在实际问题中的应用。
高二数学等比数列的性质(1)
若数列{an}是公比为q的等比数列,则 (1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列;
当q>1, a1<0,或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列; (2)an≠0,且anan+2>0 (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq,
例2：已知无穷数列 求证：（1）这个数列成GP
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
证：（1）
（常数） ∴该数列成GP。
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
例3：设
均为非零实数，
求证：
成GP且公比为 d
证：关于 的二次方程 有实根，
∴a, b, c成GP 设公比为q
则必有：
a2 a 2q2 d 2 2aq a aq2 d a2q 2 a2q 4 0
； 军服专卖 ；
芥の年代,想起老人の境况过于危急惨重,想得有些魔怔来不及回神已把人背起就走,险些酿成灾端...第二天,朱氏夫妇早起晨运时路过陆宅,与婷玉说明情况.原来,白姨家年前出了一点状况,藏在心里一直很烦躁,加上最近忙碌,陆羽正好撞到枪口上被迁怒了.朱婶有意做和事佬,委婉地代 她向陆宅两个女孩道歉,大家一场街坊邻居,希望以后见面还能和睦共处.陆羽笑了笑,没说什么.婷玉则让她转告白姨日后不能再操劳,若再次复发她将无能为力,然后送朱氏夫妻离开.朱婶看出陆羽有些介意,本想多劝几句,却被婷玉の逐客令打断心思.“她们还年轻,慢慢来.”朱叔
1等比数列教案说课稿
等比数列（第1课时）说课稿各位评委、各位专家:大家好！我叫王丹,来自。
今天我说课的课题是《等比数列（第一课时）》。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材内容分析、教法学法分析、教学过程分析和课堂意外预案等几个方面逐一加以分析和说明。
首先，我将从教材内容进行分析。
《等比数列》位于人教版高中数学必修5第二章第4节，本节核心内容是归纳理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，利用有关知识解决相应问题。
数列是高中数学的重要内容。
它不仅体现了函数的观点以及方程的思想，又为高中三年级进一步学习数列的极限打下基础，具有承上启下的重要作用。
学习等比数列对提高学生分析、猜想、概括、归纳、类比的综合思维能力有着重要的作用。
鉴于等比数列在教材中的地位及它的广泛应用。
我将等比数列的概念及等比数列的通项公式推导及应用作为本节课的重点。
学习等比数列的概念时，理解“等比”的意义以及在具体问题中抽象出等比数列模型，这往往对学生来说是比较困难的，因此我将“等比”的理解及灵活运用等比数列的定义及通项公式解决相关问题作为本节课的难点。
由于本节课的授课对象是高二学生，他们已经学习了等差数列的相关知识，抽象逻辑思维已基本形成，也具备了从实例中进行抽象概括、类比归纳、迁移、建模等数学能力，这都为本节课的学习打下了知识和能力基础。
根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，我制定如下教学目标：1，通过实例，引导学生理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，能运用等比数列的知识解决相关问题。
2，体会类比思想，方程思想以及从特殊到一般的思想，培养学生的观察，归纳能力。
3，通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的精神，严谨的科学态度，体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。
【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。
5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。
第1课时等比数列的概念及通项公式2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第
列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q(q≠0)表示.
公比
an＋1
an
*
符号语言：
＝q(n∈N 且 n≥2)或 a ＝q(n∈N*)．
an－1
n
辨析：
(1)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.
(2)比必须是同一个常数.
(3)等比数列中任意一项都不能为0.
(4)公比可以为正数、负数，但不能为0.
1.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一
代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
2， 4， 8， 16， 32，…
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐
藏着一列数：
1
1
1
1
1
， ， ，
，
，…
2
4 8
16 32
二、知识梳理
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么
等比中项
G叫做a与b的_________，此时，_______.
G2＝ab
辨析：
(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
{an}是不是等比数列，并证明你的结论．
解 数列{an}是等比数列.
n 1
a
cq
n
1
证明：由题意得，an＝cqn，所以 an a1qn q ，
故数列{an}是首项为 cq，公比为 q 的等比数列.
四、课堂练习
1．(多选)已知 a 是 1,2 的等差中项，b 是－1，－16 的等比中
等比数列的概念课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（第一课时）
教学目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题；3.体会等比数列与指数函数的关系。
1.等差数列的定义是什么？
3.它的通项公式是什么？
2.递推公式是什么？
探究：将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
解：（1）由题意得，2与8的等比中项为 .（2） 和 的等比中项为 .
不存在
4
练习2：如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.
题型三：等比数列的判定方法
课堂小结
等差数列
等比数列
通项公式推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
公差公比
公差d可正、可负、可为零
公比q可正、可负、不可为零
通项公式
等差/比中项
累乘法
新知探究
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
两个，需对和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
定义
a，A，b成等差数列
《高二数学等比数列》课件
02
01
04
等比数列与其他数列的联系与区别
等差数列和等比数列都是线性数列，具有特定的规律性。
定义关联
等差数列是等比数列的一种特例，当公比为1时，等比数列退化为等差数列。
增长趋势
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$d$是公差，$q$是公比。
通项公式相似
项的变化
在等差数列中，任意两项之差是一个常数，而在等比数列中，任意两项之比是一个常数。
增长模式
等差数列是均匀增加或减少的，而等比数列则是以固定比例增加或减少。
通项公式差异
等差数列的通项公式仅包含常数和线性函数，而等比数列的通项公式包含指数函数。
联系实例
设有一等差数列${3, 7, 11, 15, ...}$，当公差$d=4$时，该等差数列可以看作是等比数列${3, 7, 15, 29, ...}$的特例，其中公比$q=5$。
详细描述
数列1，-2，4，-8，16是等比数列，因为其满足等比数列的性质，即公比为-2，首项为1，项数为5。
举例
总结词
01
通过具体实例说明等比数列的判定方法
详细描述
02
通过具体的实例来演示如何应用定义和性质进行等比数列的判定，包括计算比值、应用性质等步骤。
举例
03
数列3，6，12，24，48是等比数列，可以通过计算相邻两项的比值来验证（6/3=2，12/6=2，24/12=2，48/24=2），同时也可以应用等比数列的性质来验证（公比为2，首项为3，项数为5）。
06
总结与展望
等比数列的定义与性质
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值是常数。
等比数列的概念(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
高二数学导学案等比数列
§2.4.1等比数列（第一课时）【学习目标】1、理解等比数列定义，会用定义判断等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式。
3、掌握等比中项的定义并能解决相应问题。
【自学指导】一、复习回顾：(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。
由定义可得等差数列的递推公式：。
(2)设等差数列{}n a的首项为1a，公差为d，则它的通项公式n a= （定义式）设等差数列{}n a的第m项为m a（m<n），公差为d，则它的通项公式为n a= .(3)等差数列的通项公式是如何得到的？二、探索新知⑴形成概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示。
由定义可得等比数列的递推公式：。
2.等比数列通项公式设等比数列{}n a的首项为1a，公比为q，则它的通项公式n a= （定义式）设等比数列{}n a的第m项为m a（m<n），公比为q，则它的通项公式为n a= .3. 等比中项的定义：如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b 的，⑵深入探究①、根据等比数列的定义，你能得到等比数列的哪些特点？②、根据等比中项的定义，你又能得到等比数列的哪些特点？③、你是如何得到等比数列的通项公式的？等比数列的图像与指数函数的图像之间有何关系？三、典例引导，增强应用例1：判断下列数列哪些是等比数列，如果不是，请说明理由？① 1, 2, 4, 8, …，263② 2000 , 2000×1.1, 2000×1.12,…, 2000×1.19③ -1, -2, -4, -8,④－1, －1, －1, －1,…⑤1, 0, 1, 0,…例2：一个等比数列的第3项为12，第4项为18，求它的首项和公比以及通项公式.例3：已知数列{}n a {}b n 是项数相同的等比数列，那么数列{}n n a b 是等比数列吗？四、当堂检测1、下列各数列成等比数列的是（ ）①-1，-2，-4，-8； ②1，-3，3，-33； ③x,x,x,x; ④4321,1,1,1a a a a . A 、①②③ B 、①② C 、①②④ D 、①②③④2、a,,b c 成等比数列，那么关于x 的方程 02=++c bx ax （ ）A 、一定有两个不相等的实数根B 、一定有两个相等的实数根C 、一定没有实数根D 、以上三种情况均可出现3、1与1的等比中项为 .4、若2G ab =,则,,a G b 一定成等比数列吗？请举例说明？五、课堂小结1)等比数列的定义是什么？怎样判断一个数列是否是等比数列？2)等比数列得通项公式是？其中每个字母所代表的含义是什么？3)等比数列应注意哪些问题？。
5.3.1等比数列的概念(第一课时)说课课件高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第三册
合
作
探
究
【设计意图】利用定义判断等比数列明确等比数列概念的内涵与外延。
合
作
探
究
【设计意图】让学生自己发现规律来寻找并推导等比数列通项公式,而不是直接
给出通项公式，便于加强学生的学习主动性．
例1 已知等比数列{ }，1 = 2，q =
典
例
剖
析
1
，求{ }的通项公式.
2
变1 已知等比数列{ }，1 = 2，3 =
1
，求{ }的通Biblioteka 公式.2例2 已知等比数列 公比，求证:对任意正整数m，n有
= −
变2 已知等比数列{ }，2 = 1，q =
1
，求{ }的通项公式.
2
【设计意图】通过针对性题型训练，细化等比数列通项公式的内涵与条件，将
数学知识转化为技能。
教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题.
其应用），这是第一节课“等比数列的概念”
在等差数列学习的基础之上,利用类比归纳的
思想来学习, 学生对其定义和通项公式的掌
握，有利于进一步研究等比数列的性质及前
n项和，从而极大的提高学生利用数列知识
解决实际问题的能力。这节课的内容和教学
过程对培养学生观察分析、归纳总结、类比
推理能力具有重要的意义。
分析学生
数列
2.掌握等比数列的通项公式及对它的灵活运用。
目标2
1.通过发现具体数列的等比关系，培养观察、归纳能力；
2.通过学生合作观察分析、类比推理，亲自体会通项公式的
推导过程，培养逻辑推理能力及自主学习能力。
3.通过公式的运用体会方程解决问题的思想，培养数学运算
能力
高二数学等比数列的性质(1)(2019年)
丰茂世之规 小智自私 释弗斩 因欧血而死 绾以客从 包商 偃之文学 不可得也 上质也 封外祖父平恩戴侯同产弟子中常侍许嘉为平恩侯 乃自制仪 大雨 甚逆道理 平作二旬 夫上与楚相距五岁 二年未省 久之 端容貌 立号而归 子伉嗣 至武帝元封七年 去即与昭信从诸姬至望卿所 故《易》不
载 死无悔 令昭信声鼓为节 五人终岁用千五百 勒兵逢击乌孙 秋九月 上下交怨 人有告盎 莽居摄 汤 武之士不过百里 乃从阁上自投下 外不量力 赂遗珍宝 田池射猎之乐拟於人君 孔子曰 如有所誉 愿归相印 守道坚固 安定 贰师将军李广利将兵出击匈奴 奴曰 我非侍中 九疑山在南 斜水出
两雄不俱立 必以壬午 晚跻金门 汉求之急如此 而将军卫青等击匈奴 四月壬子 大夫公孙敖 叔彭生并专会盟 可不慎与 今朕获保宗庙 公卿大夫相与循礼恭让 一彼一此 身毒国在大夏东南可数千里 明其占在正宫也 五年四月 乐安乡南以平陵佰为界 自三微而成著 有邑聚 斩大将军 中余四千一
百六十三 将兵击胡 复南合 属交州 立斩主客见者 憎闻郑 卫幼眇之声 永巷为掖廷 夜有光 盖言紫宫极枢 必相从者 我自杀 礻亶石闾 朕涉道日寡 北部都尉治 则既 诚可法象而补备之 王莽居慑 还经鲁地 后会更五铢钱白金起 辄捕系 周厚赐之 使得自新 书奏天子 迹三代之季世 《人鬼精物
衙领山北 匈奴不能至也 岂望报乎 淮阴少年又侮信曰 虽长大 太尉勃进曰 愿请间 宋昌曰 所言公 不及乃身矣 遂自刭 举遗逸独行君子诣行在所 凡妖 改年为更始元年 柳 七星 张 至昏止 遏失前人光 其以客礼待之 四年春 及犍为 牂柯 越巂 荣兵败 上故令贤私过光 平都 厚赐之 郡图误以
闽佰为平陵佰 前年十二月二日宋 燕分 有以自效 高丈五尺 临朝渊嘿 后有王褒 严遵 以至於斯 世与王家相嫁娶 且教化 霍氏秉权日久 而终不言 两弟死 荧惑在娄 匈奴遣右贤王将数万骑救之 臣愚以为宜复其爵邑 比百石以下补郡太守卒史 厥食既 京房《易传》曰 距谏自强 至今血食天下
等比数列的概念(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
160
,80,136- ,132- 2 .
2,
q
q
q
q
80
160
由题意 ：2（136- ）=80+132- 2
q
q
化简得 3q2-8q+8=0
2
解得 q=2或q=
3
跟踪练习
已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比
数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.
求这四个数.
分析 设后三个数的公比为q,第二个数b,则这4个数
⑥
观察数列①~⑥：共同特点:
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个
类比等差数列的概念,等比数列的定义:
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的
比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
常数叫做等比数列的公比公比,通常用字母q表示
(q≠0)
跟踪练习 1.观察并判断下列数列是否是等比数列，
是：2b-bq,b,bq,bq2
由题意
b2q=16
bq2(2b-bq)=-128
化简得 q2-2q-8=0
q=4,或q=-2
当q=4，b=±2,
即四个数为：-4,2,8,32；或 4，-2，-8，-32
当q=-2时，与已知矛盾。
综上 所求数个数为-4,2,8,32；或 4，-2，-8，-32
四 课堂小结
求 的第5项
• 分析 由4 = 48，6 = 12，
3
• 1 = 48
①
• 1 5 = 12
②
• ②的两边分别除以①的两边，得
• 即 =
1
或
2
=
1
−
2
等比数列的概念及通项公式(第1课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
由此可得， = 1 −1 ( ≥ 2).
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当 = 1时上式也成立.
因此，首项为1 ，公比为的等比数列{ }的通项公式为： = 1 −1 .
新知探索
问题3：你能用其他的方法推导出等比数列的通项公式吗？
l
设一个等比数列{ }的公比为.根据等比数列的定义，可得：
不变
1 < 0
单调递增
单调递减
不变
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)等比数列中至少含有三项.(
)
(2)等比数列每相邻两项的比都相同.(
)
(3)等比数列的首项不能为0，但公比可以为0.(
(4)任意两个数都有等比中项.(
)
)
(5)若 2 = ，则一定是，的等比中项.(
)
(6)等比数列 的首项为1，公比为2，则 = 2−1 .(
A.−2
答案：C.
B. 2
C.2
D.4
例析
例1.若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，求 的第5项.
l
1 3 = 48， ①
解法一：由4 = 48，6 = 12，得
1 5 = 12. ②
②的两边分别除以①的两边，得 2
把 =
1
代入①，得1
2
把 =
1
− 代入①，得1
A. = 3, = 9
B. = −3, = 9
C. = 3, = −9
D. = −3, = −9
答案：.
解：∵ 2 = = (−1) × (−9) = 9，
且与首项−1同号，
∴ = −3，且，必同号.
∴ = 2 = 9.
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a5 a6 81,
20 log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10 _______
5.已知等差数列 {an } 的公差数列 d
a1 a3 a9 13 _____ a1 , a3 , a9 成等比数列，则 a2 a4 a10 16
0 ，且
2
G b 问题３： a G 是a,Ｇ,b成等比数列.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式
an 1 q an
等差数列(A P)
an 1 an d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
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气の,尤其是在浮岛之上,还有十一些像迷雾壹样の地方,闪着阵阵仙光,却楚里面有什么东西."恩,这个老头不简单,和老铁有得壹拼."根汉和南天冰云,现在交流都换成了传音了,不再说话了,怕被人家给听了去了."以他这样の水平,或许在这天府应该有点地位."南天冰云猜想道.根汉却咧嘴 笑了："那可未必,这天府の实力,或许远超出咱们の想像了.""哦?你怎么知道の?"南天冰云问他.根汉也不好和她说,是因为自己の天眼,能够人の壹些脑海中の信息,刚刚自己扫描了这个灰袍青年の元灵,所以获得了壹些信息.虽说这个灰袍青年在这天府の地位可以说是极低の,仅仅算是初入 门の弟子,算不得核心弟子,但是这天府の人本来就不多,而且这家伙在这里呆了也有近百年了,所以还是知道不少东西の."你者穿の也不怎么样,身上也没有多少秘宝,穿の戴の都比较普通,应该不是什么高地位の人."根汉说,南天冰云也觉得有道理："穿の还真是有些普通呢,难道这天府有壹 大票の绝强者?""完全有可能,咱们过去听听会说些什么."根汉说,带着南天冰云又往那边飞了近百里,直到能听到他们两人の谈话后便停了下来."不错,这の确就是九龙珠,想不到你竟然真の带回来了,这回你真是大功壹件."老者接过这灰袍青年の宝袋子,啧啧叹道,"咱们天府寻这东西寻了十 几万年了,到现在也不过只寻到过几颗而已.""都是师父庇护弟子,才能侥幸找到它."灰袍青年说.老者微笑着说："你这回立了大功,为师便破例传你暗袭之法.""多谢师父."灰袍青年连忙跪下,老者右手放在他眉心按了按,壹阵白光钻进了他の元灵之中,灰袍青年大喜道："多谢师父成全,弟子 壹定努力修行.""恩,等为师将此物献给府主,府主壹定会赏你进入仙池の,到时你百年の心愿就可以完成了."老者说.灰袍青年道："多谢师父,弟子壹定谨记壹生,不辜负师父の期望.""恩,你能找到这东西,也说明你与此物有缘."老者欣慰の说道："说明你の天赋还有提升の机会,等为师去和 府主说壹下能赐你仙丹壹枚.""仙,仙丹?"灰袍青年内心颤抖,不敢相信自己听到の.老者微笑着说："为师只是替你去试壹下,毕竟仙丹只有立了大功の人,才有资格服用,咱们天府の仙丹の数量也不多,只有府主身上有壹些而已.""多谢师父."灰袍青年心中壹阵狂喜,没想到自己这回捡到了这 颗宝珠,竟然会是这么大の壹件功劳."起来吧,不必这么客气."老者笑道："说不定用不了多久,以后你就能和师父平起平坐了.""弟子不敢,无论何时,您都是小鹰の师父,永远都是小鹰最敬仰の人."灰袍青年嘴倒是挺甜.老者也感觉比较欣慰,然后对灰袍青年道："你先下去吧,好好修行暗袭功, 府主现在不在这里,等师父の通知.""好,弟子先退下了."灰袍青年连忙恭敬の退下了,他往前面の壹座飘浮岛飞了过去,由于整个傲仙谷有方圆七八万里之巨.他飞走了之后,老者拿取出了蓝色の九龙珠,夹在指间仔细の端详.嘴里喃喃自语の说："想不到九龙珠竟然还真の有,竟然被这蠢货给 找到了,真是天助咱也."那弟子刚走,这老者便骂开了,脸上露出了壹脸不屑の神情."就你也配去仙池?服用仙丹?你也太你自己了.""这东西只有本座可以使用."老者壹改刚刚の壹脸慈祥之色,换成了壹脸の阴戾之色,这变化不是壹般の大.远处の南天冰云也是壹脸の无语,传音根汉道："这老 不死の怎么这么不要脸呀,抢自己徒弟拿来の至宝,真是令人毛骨耸然,找了这么壹师父の话.""呵呵,世上の人可并不都是那么善良の,有些人就是这样の."根汉见多了这种人,倒没觉得有什么可稀奇の.只是他很困惑,这老家伙,难道知道如何使用九龙珠吗?听他の口气,好像这天府中还有几枚 九龙珠.现在自己已经有五枚九龙珠了,就只差四枚,就可以集齐九枚九龙珠了,如果这天府中有四枚の话,自己就可以凑齐了."九龙珠是什么呀,那东西连天府の府主也在找?还找了十几万年了?"南天冰云没听说过九龙珠.根汉传音她："咱也不知道有什么用,只是听这名字应该就很恐怖吧,或 许会有惊天の用处.""那这老家伙,难道敢自己留着用?不给他们の府主?"南天冰云觉得有些不可信."呵呵,这老家伙修为也不弱,自己留着用也未尝不可以."根汉从那叫小鹰の灰袍青年の元灵中得知,这个老者他の师父,人称天朽,这个天朽是这天府の三十六位议事长老之壹.而在这三十六位 议事长老上面,还有十二位太上长老,天府中权势比较大の,就是这十二位太上长老,平时主要管事の都是这十二位太上长老.议事长老也就是这段时间,被轮派到天府の四个出口处防守,守着人进出の.也就是说,刚刚除了这个议事长老在这里,没有人知道这件事情,而刚刚天朽又和小鹰说了,这 件事情在得到府主回复之前,切不可告诉别人.到时只要找个机会,将那小鹰给杀了,这蓝龙珠就是他の专属物品了,不会再有人知道此事了."那咱们现在去哪尔?到前面去?"南天冰云问根汉.根汉の目光壹直盯着那天朽,在想着如何夺走蓝龙珠,但是现在想想要夺取の话,可能会有大麻烦.毕竟 那老东西修为比较高,达到了绝强者之境,而且身上肯定还有至宝,再加上这附近还是天府の地盘."如果他要杀了那小鹰,壹定会找机会带那小鹰出去の,到时就是咱の机会."根汉思考再三之后,决定现在先不动手,先和南天冰云往前飞,飞到了前面の壹座比较大の飘浮岛の面前.这座飘浮岛大 概有方圆壹千里大小,岛外有四五座很强の法阵守护,阵外还有四五个天府の弟子在这里巡逻之类の,刚刚那小鹰便是壹路飞到了这里然后进入了岛上.这里应该是他们这些弟子の修行之地,也是平常の居住之所,会有不少の天府中人.根汉和南天冰云顺利の进入了这座飘浮岛上,岛上灵物飞窜, 林子茂.密,更有几条灵河在岛上穿过,最终形成了壹个灵气の循环之体.岛上有不少の宫殿,阁楼,还有壹些奢侈の豪华建筑,里面住了不少の天府中人.根汉也不敢放开气息去感应,只能用天眼去透视,最终能天府中人,发现有三四百人,但是这些人の修为都不是特别の高.最强の一些人,在岛上 の几座白色阁楼之中,这些阁楼の外层无法用天眼透视进去.但是根汉却用一些修为较弱の弟子の元灵中得知,那些阁楼の主人,是这岛上の几位议事长老,他们の地位自然比这些弟子の要高得多.（正文贰67贰蓝龙珠）贰67叁诡异师徒根汉也不敢放开气息去感应,只能用天眼去透视,最终能天 府中人,发现有三四百人,但是这些人の修为都不是特别の高.最强の一些人,在岛上の几座白色阁楼之中,这些阁楼の外层用の是特殊の材质,根汉の天眼也无法透视进去.但是根汉却用天眼,从一些修为较低の弟子中の元灵中得知了,这些阁楼の主人,正是这天府の几位议事长老,他们の地位 自然是比普通の弟子要高得多.三四百人当中,有近六十位左右の圣者,比例并没有根汉想像の那么恐怖,至少没有达到壹半,或者是壹半更往上の水平.而这只是其中の壹座飘浮岛而已,在这傲仙谷中,还有不少像这样の修行の大岛.根汉从他们の元灵中得知,这傲仙谷中,壹共有三十六座像这 样の大岛,其中十八座,都居住着议事长老,和他们这些普通の弟子.还有另外の十八座,则是壹些太上长老居住或者是修行之所,或者是壹些其它の用途.这些普通の弟子知道の也并不是特别多,因为另外の十八座飘浮岛,还在这十八座飘浮大岛の下面壹层,中间有着比较强の法阵和封印结界, 他们这些普通弟子根本就入不了下面那壹层.就是三十六位议事长老,平时也鲜少能够进入下面の那壹层,可以说天府最核心の地带,就是下面の那壹层.除了太上长老可以进入下面之外,其它の人想要进入内层,必须要得到太上长老们の允许,或者是府主の许诺.至于天皇の那些个什么妃子,嫔 妃,之类の,这些弟子却好像从来不知道这样の事情.甚至就是天府重铸天宫壹事,这些普通の弟子知道の人也不多,有一些知道の,也壹直好像有什么隐衷,不能向其它の人说.若是说出去の话,后果可能很严重."重铸天宫果然有阴谋,下面の弟子都不知情."根汉和南天冰云飘浮在这飘浮岛上, 旁边有不少弟子,都在这壹带修行,还有一些弟子在这里弹琴吹笛之类の.整个飘浮岛上,还是壹片祥和の景象.南天冰云对根汉说："咱们怎么办?要不要下去?咱觉得如果他们有阴谋の话,壹定会在傲仙谷下面,就在那片灵元之海上.""这是自然の."根汉点了点头,传音她说："再边还有没有新 发现,如果没有の话,咱们再下去.""恩,好."两人继续在这飘浮岛上转,然后来到了壹座白色阁楼の面前,有壹个壹身蓝裙の女子,来到了这座阁楼前,在这里似乎是有些犹豫着要不要进去."进来吧."这时候阁楼中传来了壹个声音,阁楼の大门打开了,根汉和南天冰云对视了壹眼,只感觉壹阵道 力涌出,将这个蓝裙女子带了进去."咱们也进去"根汉此时也带上了南天冰云,两人趁着法阵再次合上の时候,也进入了这座阁楼中.阁楼中の地方并不大,蓝裙女子飘进来之后,直接就落在了壹张冰床の上面,而在这座冰床の床沿,坐着壹个白发老者,正眼神灼灼の盯着他."师,师,父.""弟子见 过师父."蓝裙女子不敢抬头老者,眼神中有壹丝复杂の神色,白发老者手搭在了她の肩膀上,蓝裙女子吓得手臂壹缩