高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型含详解
高考数学复习考点题型专题讲解 题型29 直线与圆锥曲线(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型:之直线与圆锥曲线【高考题型一】：直线与圆锥曲线在简答题中的步骤体现。
『解题策略』：答题规范模板:步骤1：设直线方程：注意设直线的技巧。
①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为b kx y +=； ②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为n my x +=；③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。
)。
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。
步骤3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出)0(0≥∆>∆）。
步骤4：转化已知条件，转化为两根的关系。
步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中。
※注：若题目中不涉及根与系数，则．．．．．．．．．．．．．步骤．．4．\．步骤．．5．可省略。
．．．． 弦长公式：弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。
弦长公式：直线与曲线联立，若消y ，转化为关于x 的一元二次方程，20,ax bx c ++=则弦长=a ；若消x ，则转化为关于y 的一元二次方程:20,ay by c ++=则弦长。
【题型1】：直线与椭圆的位置关系。
『解题策略』：直线0:=++C By Ax l ，椭圆C :221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；判定方法：∆法：直线与椭圆方程联立：220,00,10,Ax By c mx ny ∆>⎧++=⎧⎪⇒∆=⎨⎨+=⎩⎪∆<⎩相交相切相离。
1.(高考题)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为：142222=-+a y a x ，代入点A 得椭圆方程为2211612x y +=。
高考数学复习考点题型专题讲解22 直线与圆锥曲线
高考数学复习考点题型专题讲解专题22 直线与圆锥曲线高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A.1B.2C.22D.4 答案 B解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋112＋（－1）2＝2，解得：p ＝2(p ＝－6舍去).2.(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________. 答案 2((1，5]内的任意值均可)解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点，则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5，又e ＞1，∴e ∈(1，5]， ∴填写(1，5]内的任意值均可.3.(2021·浙江卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0).若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________；椭圆的离心率是________. 答案25555解析 设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e ，解得e ＝55(e ＝－5舍去).4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l 与椭圆x 26＋y 23＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴、y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝23，则l 的方程为________. 答案 x ＋2y －22＝0解析 法一 设直线l 的方程为x m ＋yn ＝1(m >0，n >0)，分别令y ＝0，x ＝0，得点M (m ，0)，N (0，n ).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由题意知线段AB 与线段MN 有相同的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝m ＋02，y 1＋y 22＝0＋n 2，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m ，y 1＋y 2＝n .因为k AB ＝k MN ， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝0－n m －0＝－n m. 将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）6＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，由题意知x 1＋x 2≠0，x 1≠x 2， 所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即n m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－n m ＝－12， 整理得m 2＝2n 2.① 又|MN |＝23，所以由勾股定理，得m 2＋n 2＝12，② 由①②并结合m >0，n >0， 得⎩⎨⎧m ＝22，n ＝2， 所以直线l 的方程为x 22＋y2＝1，即x ＋2y －22＝0.法二 设直线l 的方程为x m ＋yn＝1(m >0，n >0)，分别令y ＝0，x ＝0，得点M (m ，0)，N (0，n ).由题意知线段AB 与线段MN 有相同的中点，设为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，则k AB ＝0－n m －0＝－nm ，k OQ ＝n2m 2＝n m.由椭圆中点弦的性质知，k AB ·k OQ ＝－b 2a 2＝－12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－n m ·nm＝－12，以下同法一.热点一 中点弦问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k .(1)若椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；(2)若双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；(3)若抛物线E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.例 1 (1)(2022·宝鸡二模)椭圆x 29＋y 22＝1中以点M (2，1)为中点的弦所在直线方程为( )A.4x ＋9y －17＝0B.4x －9y －17＝0C.7x ＋3y －27－3＝0D.7x －3y －27＋3＝0(2)(2022·广州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线x －y＋2＝0与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为－12，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 26＋y 23＝1 答案 (1)A (2)B解析 (1)设以点M (2，1)为中点弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 212＝1，x 229＋y 222＝1，两式相减得x 21－x 229＋y 21－y 222＝0，因为M (2，1)为中点， 所以x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）9（y 1＋y 2）＝－49(或直接利用结论k ＝－b 2a 2·x 0y 0＝－29×21＝－49)，所以所求直线方程为y－1＝－49(x－2)，即4x＋9y－17＝0.(2)因为直线x－y＋2＝0过点F(－2，0)，所以c＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1两式相减并化简得－b2a2＝y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2，即－b2a2＝⎝⎛⎭⎪⎫－12·1，所以b2a2＝12，所以a2＝2b2＝b2＋c2，所以b＝c＝2，a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.规律方法 1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系，(2)点差法.2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.训练1 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(－2，1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于( )A.2＋12B.3＋12C.2＋22D.5＋12答案 A解析法一由题意知F(c，0)，B(0，b)，则k PQ ＝k BF ＝－bc .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）.因为线段PQ 的中点为M (－2，1)， 所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2， 又k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－bc， 所以－b c ＝－4b 22a 2，整理得a 2＝2bc ，所以a 4＝4b 2c 2＝4c 2(c 2－a 2)， 即4e 4－4e 2－1＝0， 得e 2＝2＋12，或e 2＝1－22(舍去). 法二 由题意知F (c ，0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc. 设直线PQ 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 即y ＝kx ＋2k ＋1，代入双曲线方程，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2k (2k ＋1)x －a 2(2k ＋1)2－a 2b 2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4，所以2a 2k （2k ＋1）b 2－a 2k 2＝－4，又k ＝k BF ＝－b c，所以2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＋1＝－4b 2＋4a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 2.整理得a 2＝2bc ， 所以c 2－b 2－2bc ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2－2cb －1＝0，得c b ＝2＋1，或c b＝1－2(舍去)，则e 2＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2－1＝（2＋1）2（2＋1）2－1＝2＋12.热点二 弦长问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.例2(2022·青岛模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋1(m ∈R )与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2＋y 2＝a 2相交于C ，D 两点，当|AB |·|CD |2的值为82时，求直线l 的方程.解 (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4＋12＝322，|PF 2|＝22， 所以2a ＝322＋22＝22，即a ＝2，∵c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2＋2y 2＝2，消去x ， 整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 所以Δ＝8m 2＋8>0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 则|AB |＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋m 24m 2（m 2＋2）2＋4m 2＋2＝22（m 2＋1）m 2＋2.设圆x 2＋y 2＝2的圆心O 到直线l 的距离为d ， 则d ＝|－1|（－m ）2＋1，所以|CD |＝22－d 2＝22－1m 2＋1＝22m 2＋1m 2＋1， 则|AB |·|CD |2＝22（m 2＋1）m 2＋2×4×2m 2＋1m 2＋1＝82（2m 2＋1）m 2＋2＝82，解得m ＝±1，经验证m ＝±1符合题意. 故所求直线的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.规律方法 1.设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过(t ，0)，可设直线方程为x ＝my ＋t (m ≠0)；2.联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等零，二需要Δ＞0；3.点差法，要检验中点是否在圆锥曲线内部，若中点在曲线内部，可不必检验Δ＞0. 训练2(2022·温州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，求|AB |. 解 (1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b ＝c ， ∵椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，∴1a 2＋12b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F (1，0)，设l AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，∵AF →＝2FB →，∴y 1＝－2y 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2m m 2＋2，－2y 22＝－1m 2＋2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m m 2＋22＝1m 2＋2，∴m 2＝27，∴|AB |＝1＋m 2·|y 1－y 2|＝1＋m 2·4m 2＋4（m 2＋2）m 2＋2＝928.热点三 圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1；双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2－y 0y b2＝1；抛物线y 2＝2px (p ＞0)在(x 0，y 0)处的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0).例3 (1)已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1，点P 是直线l ：x ＝4上的任意一点，过点P 作椭圆E的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的最小值是________.(2)(2022·北京石景山区模拟)设A ，B 为抛物线C ：y ＝x 2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C 的焦点F ，分别以A ，B 为切点作抛物线C 的切线，两条切线交于点P .则下列结论：①点P 一定在抛物线C 的准线上； ②PF ⊥AB ；③△PAB 的面积有最大值无最小值. 其中，正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 (1)2 2 (2)C解析 (1)设P (4，t )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则切线PA 的方程为x 1x 8＋y 1y 4＝1，切线PB 的方程为x 2x 8＋y 2y 4＝1.因为它们都经过点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 12＋ty 14＝1，x 22＋ty 24＝1，故直线AB 的方程为x 2＋ty4＝1，即x ＝－t2y ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，x ＝－t2y ＋2，消去x 得，(t 2＋8)y 2－8ty －16＝0，所以y 1＋y 2＝8t t 2＋8，y 1y 2＝－16t 2＋8， 所以|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 22（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝4＋t 24⎝ ⎛⎭⎪⎫8t t 2＋82－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－16t 2＋8 ＝42⎝⎛⎭⎪⎫1－4t 2＋8，所以当t ＝0时，|AB |min ＝2 2. (2)由抛物线知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，可设直线AB 方程为y ＝kx ＋14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线方程得x 2－kx －14＝0，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－14，y 1＋y 2＝k 2＋12，y 1y 2＝116，切线AP 的方程为y －y 1＝2x 1(x －x 1)，化简得y ＋y 1＝2x 1x ， 同理切线BP 的方程为y ＋y 2＝2x 2x ，⎩⎨⎧y ＋y 1＝2x 1x ，y ＋y 2＝2x 2x ，联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k2，－14，故①正确；∴k PF ＝－14－14k 2＝－1k，∴k PF ·k ＝－1，故②正确；S △PAB ＝12|AB |d ＝12·(k 2＋1)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 22＋12k 2＋1＝14（k 2＋1）3，当k ＝0时，S △PAB 有最小值，无最大值，故③错误，故选C.规律方法 1.圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.2.过圆锥曲线外一点作曲线的两条切线，过两切点的直线方程与曲线在该点处的切线方程相同.例如：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外一点P (x 0，y 0)作椭圆的两条切线PA ，PB (A ，B 为切点)，则直线AB 的方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.训练3 (1)(2022·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (x 0，y 0)处的切线l 与圆M ：(x ＋2)2＋y 2＝4相切于另一点B ，则抛物线焦点F 与切点A 距离|AF |的最小值为________.(2)如图，已知点P (x 0，y 0)是双曲线C 1：x 24－y 23＝1上的点，过点P 作椭圆C 2：x 24＋y 23＝1的两条切线，切点为A ，B ，直线AB 交C 1的两渐近线于点E ，F ，O 是坐标原点，则OE →·OF →的值为( )A.34B.1 C.43D.916答案 (1)8 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (x 0，y 0)处的切线l 方程为y 0y ＝p (x 0＋x )， 整理得px －y 0y ＋px 0＝0， 因为切线l 与圆M 相切， 则d ＝|－2p ＋px 0|p 2＋（－y 0）2＝2， 同时平方化简得－4p 2x 0＋p 2x 20＝4y 20，又y 20＝2px 0，∴－4p 2x 0＋p 2x 20＝8px 0，解得x 0＝4＋8p ，即x A ＝4＋8p，此时|AF |＝4＋8p ＋p2≥28p ·p2＋4＝8， 当且仅当8p ＝p2，即p ＝4时取等号，故|AF |的最小值为8.(2)椭圆C 2关于点P (x 0，y 0)的切点弦AB 的方程为x 0x 4＋y 0y 3＝1，即3x 0x ＋4y 0y ＝12，由⎩⎨⎧3x 0x ＋4y 0y ＝12，y ＝32x ，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫433x 0＋2y 0，63x 0＋2y 0，同理F ⎝ ⎛⎭⎪⎫433x 0－2y 0，－63x 0－2y 0，则OE →·OF →＝483x 20－4y 20＋－363x 20－4y 20＝123x 20－4y 20＝1，故选B.热点四 直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程. (2)消元得到关于x 或y 的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.例4 (1)已知直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，与直线x ＝－a ，x ＝a 分别交于点M ，N ，F 为椭圆的左焦点，若以MN 为直径的圆为E ，则F ( ) A.在圆E 上B.在圆E 内C.在圆E 外D.以上三种情况都有可能(2)(2022·长沙模拟)已知椭圆Г：x 24＋y 23＝1，过其左焦点F 1作直线l 交椭圆Г于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .若G 点为△PAB 的外心，则|PA ||GF 1|＝( ) A.2 B.3C.4D.以上都不对 答案 (1)A (2)C解析 (1)显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，可得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0， 因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0， 故m 2＝a 2k 2＋b 2.易知F (－c ，0)，M (－a ，－ak ＋m )，N (a ，ak ＋m )， 则FM →＝(c －a ，m －ak )，FN →＝(c ＋a ，m ＋ak )，则FM →·FN →＝c 2－a 2＋m 2－a 2k 2＝－b 2＋a 2k 2＋b 2－a 2k 2＝0，故∠MFN ＝90°， 即点F 在圆E 上.(2)根据题意可得F 1(－1，0)，显然直线PA 的斜率存在， 故可设方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）联立消去y ， 可得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)， 故x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝6k3＋4k 2， 故|PA |＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2，设PA 的中点为H ，则其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，显然x 轴垂直平分PB ，故可设G (x 3，0)，又GH 直线方程为： y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2，令y ＝0，解得x ＝－k23＋4k 2，故|GF 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k2，故|PA ||GF 1|＝12（k 2＋1）3＋3k 2＝4，故选C. 易错提醒 1.直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).训练4 已知F 1，F 2是椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，曲线E 2：y 2＝4x 的焦点恰好也是F 2，O 为坐标原点，过椭圆E 1的左焦点F 1作与x 轴垂直的直线交椭圆于M ，N ，且△MNF 2的面积为3. (1)求椭圆E 1的方程；(2)过F 2作直线l 交E 1于A ，B ，交E 2于C ，D ，且△ABF 1与△OCD 的面积相等，求直线l 的斜率.解 (1)因为曲线E 2：y 2＝4x 的焦点恰好也是F 2，所以椭圆中c ＝1，2c ＝2， 因为△MNF 2的面积为3，所以|MN |＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，2b2a ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为O 为F 1，F 2的中点，所以O 到直线l 的距离为F 1到l 距离的一半，又因为△ABF 1与△OCD 的面积相等，所以|CD |＝2|AB |， 因为F 2(1，0)，设l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），3x 2＋4y 2＝12， 可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，由两点间距离公式可得，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝4－4k 23＋4k 2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 3＋x 4＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|CD |＝x 3＋x 4＋2＝4＋4k2，因为|CD ||AB |＝4＋4k 24－4k 23＋4k 2＝2，解得k ＝±62， 故直线l 的斜率为±62.一、基本技能练1.椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (－1，2)为中点的弦所在直线斜率为( )A.916B.932C.964D.－932答案 B解析 设以M 为中点的弦为弦AB ，弦AB 的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，又弦AB 中点为M (－1，2)， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4， 即－2（x 1－x 2）16＋4（y 1－y 2）9＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝932.2.(2022·广州二模)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 在抛物线上.若|AF |＝3，则直线AF 的斜率为( ) A.±2B.±2 2 C.2D.2 2答案 B解析 由题意得F (1，0)，设点A (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 0＋1＝3， 故x 0＝2，y 0＝±22，故点A 坐标为(2，22)或(2，－22)， 所以直线AF 的斜率为±2 2.故选B.3.(2022·金华调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－4y ＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为( ) A.3B.233C.2D. 2 答案 C解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx ＋ay ＝0， 圆x 2＋y 2－4y ＋2＝0的圆心为(0，2)，半径为2， 可得圆心到直线的距离为 2a a 2＋b 2＝（2）2－12， 整理得4a 2＝a 2＋b 2，即4a 2＝c 2，∴e ＝c a＝2，故选C.4.(2022·福州二模)F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 是椭圆的上顶点，过点F 1作BF 2的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，若3PF 1→＝7F 1Q →，则椭圆C 的离心率是( )A.33或63B.255或55C.217或277D.59或2149答案 B解析 由椭圆C 的方程可得B (0，b )，F 2(c ，0)，F 1(－c ，0)， 所以k BF 2＝－bc，设直线PQ 的方程为y ＝cb (x ＋c )，即x ＝b cy －c ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＝bc y －c ，整理得(b 4＋a 2c 2)y 2－2b 3c 2y －b 4c 2＝0， 可得y 1＋y 2＝2b 3c 2b 4＋a 2c 2，①y 1y 2＝－b 4c 2b 4＋a 2c 2，②因为3PF 1→＝7F 1Q →，则3(－c －x 1，－y 1)＝7(x 2＋c ，y 2)， 可得y 1＝－73y 2代入①可得y 2＝－3b 3c 22（b 4＋a 2c 2）.③将y 1＝－73y 2代入②可得y 22＝3b 4c 27（b 4＋a 2c 2），④③代入④可得9b 6c 44（b 4＋a 2c 2）2＝3b 4c 27（b 4＋a 2c 2）化简，得25c 4－25a 2c 2＋4a 4＝0， 即25e 4－25e 2＋4＝0， 解得e 2＝15或e 2＝45，即e ＝55或e ＝255，故选B. 5.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)，过焦点F 的直线l 与M 交于A ，B 两点，坐标原点O在以AF 为直径的圆上，若|AF |＝2|BF |，则M 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 25＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 答案 A解析 由题意不妨设F (－c ，0)， 因为原点O 在以AF 为直径的圆上， 所以OA ⊥OF ，可得A 为椭圆M 短轴的端点，则A (0，2)， 因为|AF |＝2|BF |，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c ，－22代入椭圆M 方程中可得9c 24a 2＋14＝1，即a 2＝3c 2，又c 2＝a 2－2，所以a 2＝3(a 2－2)，解得a 2＝3，所以椭圆M 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.6.(多选)(2022·烟台模拟)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1，F 1，F 2为C 的左、右焦点，则( )A.双曲线x 24＋m －y 25＋m＝1(m >0)和C 的离心率相等B.若P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的周长为6＋214C.若直线y ＝tx －1与C 没有公共点，则t <－62或t >62D.在C 的左、右两支上分别存在点M ，N ，使得4F 1M →＝F 1N →答案 BC解析 选项A ：双曲线C ：x 24－y 25＝1的离心率e ＝32，双曲线x 24＋m －y 25＋m＝1(m >0)的离心率e ＝4＋m ＋5＋m 4＋m ＝9＋2m4＋m，则双曲线x 24＋m －y 25＋m ＝1(m >0)和C 的离心率不一定相等.判断错误；选项B ：P 为C ：x 24－y 25＝1上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则有⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝36，|PF 1|－|PF 2|＝4，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝214，则△F 1PF 2的周长为6＋214.选项B 判断正确；选项C ：由⎩⎨⎧x 24－y 25＝1，y ＝tx －1，可得(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0，由题意可知，方程(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0无解.当5－4t 2＝0时，方程(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0有解； 当5－4t 2≠0时，则有⎩⎨⎧5－4t 2≠0，（8t ）2＋96（5－4t 2）<0，解之得t <－62或t >62， 故若直线y ＝tx －1与C 没有公共点，则t <－62或t >62.判断正确；选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点F 1的直线MN 方程可设为x ＝ty －3， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由4F 1M →＝F 1N →，可得y 2＝4y 1，由⎩⎨⎧x 24－y 25＝1，x ＝ty －3，可得(5t 2－4)y 2－30ty ＋25＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝30t5t 2－4，y 1y 2＝255t 2－4，则有⎩⎪⎨⎪⎧5y 1＝30t 5t 2－4，4y 21＝255t 2－4，整理得19t 2＋100＝0，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点F 1的直线MN 为水平直线时， 方程为y ＝0，则M ＝(－2，0)，N (2，0)，F 1M →＝(1，0)，F 1N →＝(5，0)，即5F 1M →＝F 1N →.综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得4F 1M →＝F 1N →.判断错误. 故选BC.7.(2022·西安模拟)已知直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2b ＝1总有公共点，则b 的取值范围是________. 答案 [1，2)解析 由题意直线y ＝kx －1恒过定点N (0，－1)，要使直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2b ＝1总有公共点，则只需要点N (0，－1)在椭圆上或椭圆内， 即（－1）2b≤1，解得b ≥1，又焦点在x 轴上，∴b <2.∴1≤b <2.8.已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________. 答案 8解析 因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|， 所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝8， 所以m 2＋2mn ＋n 2＝64，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48， 即m 2＋n 2＝48，所以mn ＝8，即四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1||PF 2|＝mn ＝8，故答案为8.9.(2022·南通、泰州等七市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是双曲线右支上的两点，x 1＋y 1＝x 2＋y 2＝3.记△PQF 1，△PQF 2的周长分别为C 1，C 2，若C 1－C 2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为________. 答案22解析 根据双曲线的定义，若C 1－C 2＝(|PQ |＋|PF 1|＋|QF 1|)－(|PQ |＋|PF 2|＋|QF 2|)＝4a ＝8，所以a ＝2. 故双曲线右顶点为(2，0)， 因为x 1＋y 1＝x 2＋y 2＝3， 所以P ，Q 在x ＋y ＝3上， 即直线PQ 的方程为x ＋y ＝3，所以双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为d ＝22. 10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，∠F 1AF 2＝60°，四边形AF 1BF 2的周长p 与面积S 满足p 2＝12839S ，则该双曲线的离心率为________. 答案72解析 由题知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，四边形AF 1BF 2是平行四边形， |AF 1|＋|AF 2|＝p2，联立解得|AF 1|＝a ＋p 4，|AF 2|＝p4－a ，∵∠F 1AF 2＝60°，四边形AF 1BF 2的面积S ＝32|AF 1||AF 2|＝32⎝⎛⎭⎪⎫p 216－a 2， ∵p 2＝12839S ，∴p 2＝12839×32⎝ ⎛⎭⎪⎫p 216－a 2，即p 2＝64a 2，由|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 60°＝(|AF 1|－|AF 2|)2＋|AF 1||AF 2|， 可得4c 2＝4a 2＋p 216－a 2＝4a 2＋3a 2＝7a 2，即e ＝72，故答案为72. 11.(2022·临汾二模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与x 轴交于点P ，过点P 作直线l 与C 交于A ，B 两点，点D 与点A 关于x 轴对称. (1)证明：直线BD 过点F ； (2)若DF →＝3FB →，求l 的斜率.(1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，直线l 的斜率为k ，由题可知k 一定存在，直线l 的方程为：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2.由⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，y 2＝2px ，得ky 2－2py ＋kp 2＝0， Δ＝4p 2－4k 2p 2>0，则－1<k <1.y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝p 2，k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 112p（y 22－y 21）＝2py 2－y 1， 故直线BD 的方程为y ＋y 1＝2p y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212p ， 即y ＝2p y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 故直线BD 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.(2)解由DF →＝3FB →可得⎩⎨⎧－x 1＋p 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 1＝3y 2，由(1)可知，y 1＋y 2＝4y 2＝2pk ，故y 2＝p2k， 又x 1＋3x 2＝2p ，故y 212p ＋3y 222p ＝2p ，即y 21＋3y 22＝4p 2＝12y 22，故y 22＝p 24k 2＝p 23，所以k 2＝34，满足Δ>0，故k ＝±32. 12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)，若|AM |＝2|MB |，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求△OMN 的面积.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝32，（－3）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由|AM |＝2|MB |，得y 1＝－2y 2，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0. Δ＝－16(m 2－t 2－4)>0，即m 2<t 2＋4.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42， 化简得(m 2－4)·(t 2＋4)＝－8t 2m 2，所以原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2， 又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎨⎧（m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ>0，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0，在Rt△OMN 中，|MN |＝43－47＝42121， 所以S △OMN ＝12×42121×277＝4321.二、创新拓展练13.(2022·丽水调研)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (9，6)，动点C 在线段OB 上，BD ⊥y 轴，CE ⊥y 轴，CF ⊥BD ，垂足分别是D ，E ，F ，OF 与CE 相交于点P .已知点Q 在点P 的轨迹上，且∠OAQ ＝120°，则|AQ |＝( ) A.4 B.2 C.43D.23 答案 A解析设P(x，y)，则y C＝y，∵直线OB为y＝23x，∴C⎝⎛⎭⎪⎫32y，y，E(0，y)，F⎝⎛⎭⎪⎫32y，6，∵FC∥y轴，∴△OPE∽△FPC，∴EPPC＝OEFC，∴x32y－x＝y6－y，即y2＝4x，∴P的轨迹方程为：y2＝4x(0≤x≤9)，故A(1，0)为该抛物线的焦点，设Q(x0，y0)，则y20＝4x0，AQ→＝(x0－1，y0)，AO→＝(－1，0)，∴cos∠OAQ＝AO→·AQ→|AO→||AQ→|＝1－x0（x0－1）2＋y20＝1－x0x＋1＝－12，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋p2＝3＋1＝4.故选A.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与直线y＝x＋1交于A，B两点，且|AB|＝823，M⎝⎛⎭⎪⎫－23，13为AB的中点，若P是直线AB上的点，则( )A.椭圆C的离心率为2 2B.椭圆C 的短轴长为 3C.OA →·OB →＝－3D.P 到C 的两焦点距离之差的最大值为2 2 答案 ACD解析 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，则m (x 21－x 22)＋n (y 21－y 22)＝0，则m n ＋y 21－y 22x 21－x 22＝0， 则m n ＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，则m n ＋k AB k OM ＝0，所以m n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，所以m n ＝12，则m <n ，1m >1n ，椭圆的标准方程为x 21m ＋y 21n ＝1，所以椭圆C 的焦点在x 轴上，即b 2a 2＝1n 1m＝m n ＝12， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22，A 正确；椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，联立⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2b 2，y ＝x ＋1，消y 可得3x 2＋4x ＋2－2b 2＝0，Δ＝16－12(2－2b 2)＝24b 2－8>0，可得b 2>13，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝2－2b23，∴|AB |＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2169－8－8b 23＝823， 所以b 2＝3，则b ＝3，所以椭圆C 短轴长为2b ＝23，B 错误；OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋1)·(x 2＋1)＝2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝－43×3＋1＝－3，C正确；椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝6，其标准方程为x 26＋y 23＝1，c ＝6－3＝3，椭圆C 的左焦点为F 1(－3，0)，右焦点为F 2(3，0)，如图所示：设点F 1关于直线AB 的对称点为点E (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2＝m －32＋1，n m ＋3＝－1解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1－3，即点E (－1，1－3)， 易知|PF 1|＝|PE |，则||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PE ||≤|EF 2|＝（3＋1）2＋（1－3）2＝22， 当且仅当点P ，E ，F 2三点共线时，等号成立，D 正确.故选ACD.15.(多选)(2022·重庆诊断)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过直线x ＝－32上一动点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列恒为定值的是( ) A.|PA |·|PB ||AB | B.|FA |·|FB ||AB |C.PA →·PB →PF →2D.FA →·FB →FP →2答案 BCD解析 根据题意，得x ＝－32为抛物线的准线，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，设过点P 与曲线C 相切的直线方程为：y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32(k ≠0)，由⎩⎨⎧y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，y 2＝6x ，得ky 2－6y ＋6y 0＋9k ＝0，由直线与曲线相切得Δ＝36－4k (6y 0＋9k )＝0， 整理得3k 2＋2ky 0－3＝0，设切线PA 的斜率为k 1，切线PB 的斜率为k 2， 则k 1＋k 2＝－2y 03，k 1k 2＝－1，即切线PA 与PB 垂直.由3k 2＋2ky 0－3＝0得y 0＝3－3k22k并代入ky 2－6y ＋6y 0＋9k ＝0，整理得k 2y 2－6ky ＋9＝0，解得y ＝3k，再由y ＝3k ，y 0＝3－3k 22k 代入y －y 0＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，得x ＝32k 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21，3k 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 22，3k 2，所以k AB ＝3k 2－3k 132k 22－32k 21＝2k 1k 2k 1＋k 2＝3y 0，k PF ＝y 0－32－32＝－y 03，所以AB ⊥PF ， 因为3k 21＋2k 1y 0－3＝0，k AF ＝3k 132k 21－32＝6k 13－3k 21＝3y 0， 所以A ，B ，F 三点共线(如图)所以△PAB 为直角三角形，PF 为边AB 上的高.对于A ，由等面积法得S △PAB ＝12|PA ||PB |＝12|AB |·|PF |，即|PA ||PB ||AB |＝|PF |， 由于P 为动点，故|PF |不为定值，故A 错误；对于B ，由过焦点弦的性质|FA ||FB ||AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 22＋3232k 21＋32k 22＋3＝94k 21＋94k 22＋18432k 21＋32k 22＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21＋32k 22＋332k 21＋32k 22＋3＝32(定值)，B 正确； 对于C ，由切线PA 与切线PB 垂直， 故PA →·PB →＝0， 即PA →·PB →PF →2＝0(定值)，C 正确；对于D ，由题知△PBF ∽△APB ， 所以|PF |2＝|AF |·|BF |，所以FA →·FB →FP →2＝|FA →|·|FB →|cos α|FP →|2＝cos α＝cos 180°＝－1(定值)，故D 正确，故选BCD.16.(2022·沈阳模拟)双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，圆x 2＋y 2＝c 2与T 及T 的渐近线分别在第一象限交于点M ，N .若M ，N 关于直线y ＝x 对称，则T 的离心率为________. 答案1＋52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 1，x 2，y 1，y 2>0，联立方程组⎩⎨⎧y ＝b a x ，x 2＋y 2＝c2可得x 2＝a 2， ∴x ＝±a ，即M 的横坐标为x 1＝a .联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1整理得b 2(c 2－y 2)－a 2y 2＝a 2b 2，即y 2＝b 4c 2，解得y ＝±b 2c，即点N 的纵坐标为y 2＝b 2c.因为点M 与点N 关于直线y ＝x 对称可得x 1＝y 2，即a ＝b 2c ，即b 2＝ac ，∴c 2－a 2＝ac ，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52， 又∵双曲线离心率e >1，∴e ＝1＋52.17.(2022·丽水质检)在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点(1，2).(1)求抛物线C 的方程；(2)已知抛物线C 关于x 轴对称，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线AB 于点P ，交C 的准线于点Q .若|AB |＝|PQ |，求直线AB 的方程. 解 (1)当焦点在x 轴时，设抛物线C ：y 2＝2px (p >0).将点(1，2)代入得p ＝2， 此时抛物线的方程为y 2＝4x . 当焦点在y 轴时，设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)， 将点(1，2)代入得p ＝14，此时抛物线的方程为x 2＝12y .综上，抛物线C 的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)当抛物线C 的焦点在x 轴时，其方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1，0)，准线方程为x ＝－1.∵当直线AB 的斜率不存在时，|AB |＝4，|PQ |＝2，不符合题意，∴直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∴Δ＝16k 2＋16>0，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2，线段AB 的中点P 为⎝⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∴直线PQ 的方程为y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2.令x ＝－1，得y ＝4k ＋2k3，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，4k ＋2k 3，∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －2k 32＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1k2.由|PQ |＝|AB |得， 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1k 2＝4＋4k2，解得k ＝±33， ∴直线AB 的方程为y ＝33x －33或y ＝－33x ＋33.。
直线与圆锥曲线 高三数学解析几何专项训练(含例题答案) 高三数学解析几何专
心尺引州丑巴孔市中潭学校 直线与圆锥曲线【例题精选】： 例 1 直线y ax b a x y =+≠+=()0122与圆〔1〕 问a,b 满足什么条件，直线与圆有两个公共点？〔2〕 设这两个公共点为M 、N ，且OM 、ON 〔O 为原点〕与x 轴正方向所成角为αβα、，求证：cos(+β)=-+a a 2211分析：第〔1〕问是求直线与圆什么时候有两个公共点，因直线与圆有两个公共点的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，或者直线方程与圆的方程联立的方程组有两个实数解，这里我们用后面的条件求解。
第〔2〕问〔如图〕中角αβ、可以看成是OM 、ON 的倾斜角，直接找αβ+较麻烦，但是由圆的性质，取MN 中点P ，连结OP ，可以知道Lxop =+αβ2,只需求出OP 的斜率，也就可以得到tgαβ+2的值，再根据三角公式，就可以计算出cos()αβ+与a 的关系了。
解 : (1) 由方程组y ax b x y y =++=221消去得,(2)、如图，取MN 中点P ， 连结OP ，那么<2βα+=xop例 2椭圆中心为原点O, 焦在坐标轴上,y=x+1与该椭圆相交于Q p 、，434=PQ ，求椭圆方程。
分析: 这个问题中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上没有给定,因此在设此椭圆方程时,可以设为Ax By 221+=, 又这个问题中涉及弦PQ 的长,因为P 、Q 在直线 y x =+1上，因此坐标满足方程y x =+1， 所以假设P 、Q 坐标分别为〔x, y), (x 2, y 2) 的话，可推得PQ x x =+-1112,〔我们称它为弦长公式，一般地为1212+-k x x ).由OP ⊥OQ 我们一方面可以知道OP 与OQ 的斜率乘积为-1(斜率存在的情况下),一方面也可以知道PQ中点到原点O 的距离等于PQ 的一半,因此此题可以得到以下两种一般解法.解法一: 设椭圆方程为Ax By A B 22100+=>>(,)设P (),(,),x y Q x y 1122由Ax By y x y A B x Bx B 22211210+==+⎧⎨⎩+++-=消去得,()解法二: 同解法一, 得（）A B x Bx B +++-=2210,以下同解法一.例 3 求过点A(3,-1)被A 平分的双曲线x y 2244-=的弦所在直线的方程.解法一: 设过A 点的直线方程为y k x +=-13()代入x y 2244-=消去y , 得解法二 : 设直线与双曲线的两交点坐标分别为p x y Q x y (,),(,)1122那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=-444422222121y x y x 两式相减, 得 ()()()()x x x x y y y y 1212121240-+--+=说明: 此题解法二过程简单, 在解题中是一种常用的方法,但是此法实际上是在成认了直线与双曲线存在两个交点的情况下去求解的,题中点A 坐标假设改成'''A A （，）或（，），213212用此法可以得出相应的斜率'=''=-=--=K K x y x y 1234206850或，从而得出直线或它们与双曲线都是设有交点的，因此也是不合题意的。
高考圆锥曲线专题直线及圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
〔2021年全国一卷理科〕19．〔12分〕抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交2点为P．1〕假设|AF|+|BF|=4，求l的方程；uuur uuur2〕假设AP3PB，求|AB|．319．解：设直线l:y x t,Ax1,y1,Bx2,y2．2〔1〕由题设得F 3,0，故|AF||BF|x1x235，由题设可得x1x2．422由y3xt，可得9x212(t1)x4t212(t1) 20，那么x1x2．y23x912(t1)5，得t 7从而92．8所以l的方程为y 37x8．2uuur uuur〔2〕由AP3PB可得y13y2．y3x t22y2t0．由2，可得yy23x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．代入C的方程得x13,x21．3故|AB|413．3〔2021年全国二卷理科〕21．〔12分〕点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1.记M的轨迹2为曲线C.〔1〕求C的方程，并说明C是什么曲线；2〕过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. i〕证明：△PQG是直角三角形；ii〕求△PQG面积的最大值.21．解：〔1〕由题设得y y 1，化简得x2y21(|x|2)，所以C为中心x2x2242在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点．〔2〕〔i 〕设直线 PQ 的斜率为 k ，那么其方程为ykx(k 0)．y kx222由 x y 得x．112k24 2记u2 ，那么P(u,uk),Q( u, uk),E(u,0)．12k2于是直线QG 的斜率为k ，方程为yk(xu)．22yk(xu),由2得x2y 2412(2 k 2)x 22uk 2x k 2u 2 80．①设G(x G ,y G )，那么u 和x G 是方程①的解，故x Gu(3k 2 2) ，由此得 y Guk 3 ．2 k 22k 2uk 3uk1． 从而直线PG 的斜率为2k 2u(3k 2 k 2 2) uk2所以PQ PG ，即△PQG 是直角三角形．〔ii 〕由〔i 〕得|PQ|2u1k 2 ，|PG|2uk k 2 12 k 2，18k(1 k 2)8( 1k)PQGS|PQk所以△的面积2‖(1 2k 2)(2k2)1．1 k) 22(k设t=k+1，那么由k>0得t ≥2，当且仅当k=1时取等号．k因为S8t 2在[2，+∞〕单调递减，所以当t=2，即k=1时，S 取得最大值，最大值2t 1为16．9因此，△PQG 面积的最大值为16．9〔2021年全国三卷理科〕 21．曲线 C ：y=x 2，D 为直线 y=1上的动点，过D 作C22的两条切线，切点分别为 A ，B.〔1〕证明：直线AB 过定点：〔2〕假设以E(0，5)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形2ADBE 的面积.21．解：〔1〕设Dt,1 , Ax 1,y 1，那么x 12 2y 1.2y 11由于y'x ，所以切线DA 的斜率为x 1 2x 1.，故tx 1整理得2tx 1 2y 1+1=0.设Bx 2,y 2，同理可得2tx 22y 2+1=0.故直线AB 的方程为2tx 2y 1 0.所以直线AB 过定点(0,1).2〔2〕由〔1〕得直线AB的方程为y tx 1 .2y1 tx由2，可得x22tx10.x2y2于是x1x22t, x1x21, y1y2tx1x2 1 2t21，|AB|1t2x1x21t2x1x2221.4x1x22t设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，那么d1t21,d2t 2. 21因此，四边形ADBE的面积S1|AB|d1d2t23t21.2设M为线段AB的中点，那么M t,t21.2uuuur uuur uuuurt,t22uuurt22t0.由于EM AB，而EM，AB与向量(1,t)平行，所以t解得t=0或t1.当t=0时，S=3；当t1时，S42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.〔2021年全国三卷理科〕20.斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．〔1〕证明：；〔2〕设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】〔1〕〔2〕或【解析】分析：〔1〕设而不求，利用点差法进行证明。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
高考圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
（2019年全国一卷理科）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． （2019年全国二卷理科）21．（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.21．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x x t x x x x t =+-=+⨯+-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则212221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()()22121||312S AB d d t t =+=++. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。
直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线 l 1 : yk 1x b 1 ,l 2 : y k 2 x b 2 垂直：则 k 1k 21 ；两条直线垂直， 则直线所在的向量 v 1 v 22、韦达定理：若一元二次方程ax2bx c0(a 0) 有两个不一样的根x 1 , x 2 ，则 x 1 x 2b, x 1x 2 c 。
a a3、中点坐标公式：xx 1 x 2 ,yy 1 y 2，此中 x, y 是点 A( x 1 , y 1)， B( x 2, y 2 ) 的中点坐标。
224、弦长公式：若点 A( x 1 , y 1)， B(x 2 , y 2 ) 在直线 y kxb( k 0) 上，则 y 1kx 1 b ， y 2kx 2 b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(x x ) 2(yy ) 2(xx )2 (kx kx )2(1 k 2 )(x1x )2(1 k 2 )[( x x )24x x ]1 2121 2 1 22121 2或许 AB(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2(1x 1 1x 2)2 (y 1 y 2)2(112)(y 1y 2)2(112 )[( y 1y 2 ) 2 4 y 1 y 2 ] 。
k kk k题型一：数形联合确立直线和圆锥曲线的地点关系例题 1、已知直线 l : ykx 1与椭圆 C :x 2 y 21 一直有交点，求 m 的取值范围4m解：1 m 且 m 4。
题型二：弦的垂直均分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线 l 与曲线 N ：y 2 x 交于 A 、B 两点，在 x 轴上能否存在一点 E( x 0 ,0) ，使得 ABE 是等边三角形 ，若存在，求出x 0 ；若不存在，请说明原因。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。
设直线 l : yk (x 1) ， k0 ， A(x 1, y 1 ) ， B( x 2, y 2 ) 。
【高中数学】高中数学圆锥曲线11大常考题型汇总，附高考真题分析
【高中数学】高中数学圆锥曲线11大常考题型汇总，附高考真题分析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b 、实数、圆形、三角形、四边形等）例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：例16：解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.例17：答案：C解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。
由想到点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。
圆锥曲线经典题目(含答案解析)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE||PF|=2．。
高考圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型
，故
.
（2）由题意得 ，设
，则
.
由（1）及题设得
.
又点 P 在 C 上，所以 ，从而
，
.
于是
.
同理
.
所以
.
故
，即
设该数列的公差为 d，则
成等差数列.
.②
将 代入①得
.
所以 l 的方程为
，代入 C 的方程，并整理得
2
ADBE 的面积.
21．解：（1）设
D
t
,
1 2
,
A x1, y1 ，则 x12 2 y1 .
由于
y'
x
，所以切线DA的斜率为
x1 ，故
y1
1 2
x1 t
x1
.
整理得 2 tx1 2 y1+1=0.
设 B x2, y2 ，同理可得 2tx2 2 y2 +1=0 .
故直线AB的方程为 2tx 2 y 1 0 . 所以直线AB过定点 (0, 1) .
y kx
由 x2
4
y2 2
得x 1
2
．
1 2k2
记 u 2 ，则 P(u,uk),Q(u, uk), E(u, 0) ． 1 2k 2
于是直线 QG 的斜率为 k ，方程为 y k (x u) ．
2
2
由
y k (x 2
x2 y2 42
u 1
),
得
(2 k 2 )x2 2uk 2x k 2u 2 8 0 ．①
代入
C
的方程得
x1
3,
x2
1 3
．
故 | AB | 4 13 ． 3
历年高三数学高考考点之〈直线与圆锥曲线〉必会题型及答案
历年高三数学高考考点之〈直线与圆锥曲线〉必会题型及答案体验高考1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程.解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1，2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k2|k |(1＋2k 2). 因为|PC |＝2|AB |，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.2.如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)， 可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy－4＝0.故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2tt 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).3.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. (1)解 由已知，得a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0， 即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22.所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2). 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.高考必会题型题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 过点P (0，4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？ 解 (1)因为椭圆M 的离心率为22， 所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0，4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交.②过点P (0，4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y22＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0. 因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0， 解得k <－142或k >142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交.点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.变式训练1 (2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求椭圆E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，过点E (a 2c，0)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |. (1)求椭圆的离心率；(2)求直线AB 的斜率.解 (1)由F 1A ∥F 2B ，且|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12，从而a 2c －c a 2c＋c ＝12， 整理，得a 2＝3c 2，故离心率e ＝33. (2)由(1)得b 2＝a 2－c 2＝2c 2，所以椭圆的方程可写为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a 2c)，即y ＝k (x －3c ).由已知设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则它们的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3c )，2x 2＋3y 2＝6c 2消去y 并整理，得(2＋3k 2)x 2－18k 2cx ＋27k 2c2－6c 2＝0，依题意，Δ＝48c 2(1－3k 2)>0，得－33<k <33， (*)而x 1＋x 2＝18k 2c2＋3k 2，① x 1x 2＝27k 2c 2－6c 22＋3k2，②由题设知，点B 为线段AE 的中点， 所以x 1＋3c ＝2x 2，③联立①③解得x 1＝9k 2c －2c 2＋3k 2，x 2＝9k 2c ＋2c2＋3k 2，将x 1，x 2代入②中，解得k ＝±23满足(*)式， 故所求k 的值是±23. 点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.变式训练2 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求椭圆E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求椭圆E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， 即43a ＝4ab2a 2＋b 2， 故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |， 得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.高考题型精练1.(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴， 所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)， 令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2). 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k (x 1－1)＋x 1－3－k (x 2－1)(x 1－2)－(3－x 2)(x 1－2)(3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)[－x 1x 2＋2(x 1＋x 2)－3](3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3(3－x 2)(x 1－2)＝0，所以k BM ＝1＝k DE . 所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行.2.(2016·课标全国甲)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8， 则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增， 又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0， 因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点， 且零点k 在(3，2)内， 所以3<k <2.3.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值. 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， 所以y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1 ＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92， 所以当y 0＝－12时， |AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92. 4.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值. 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a＝1， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.因此，椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. ① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点， 所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0. ②设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段PA 的中点的横坐标是x 4， 则x 4＝t＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0，4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立. 所以，h 的最小值为1.。
圆锥曲线10类大题梳理(解析版)
圆锥曲线大题梳理考情分析圆锥曲线问题是高考的热点问题之一，多数情况在倒数第二题出现，难度为中高档题型。
纵观近几年高考试卷，圆锥曲线的大题主要有以下几种类型：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。
各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可循。
热点题型突破题型一：最值问题1(2024·安徽合肥·统考一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F 0,1，过点F的直线l与C交于A,B两点，过A,B作C的切线l1,l2，交于点M，且l1,l2与x轴分别交于点D,E.(1)求证：DE= MF；d1d(2)设点P是C上异于A,B的一点，P到直线l1,l2,l的距离分别为d1,d2,d，求2d2的最小值.【思路分析】(1)利用导函数的几何意义求得直线l1,l2的表达式，得出D,E,M三点的坐标，联立直线l与抛物线方程根据韦达定理得出 DE= MF；d1d2d2k=221+1≥2，可求出d d12d2(2)利用点到直线距离公式可求得【规范解答的最小值.】(1)因为抛物线C的焦点为F 0,1，所以p=2，即C的方程为：x2=4y，如下图所示：设点A x 1,y 1,B x 2,y 2，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设l :y =kx +1 ，=y =联立 x kx 2 y 4+1得x 2-4kx -4=0，所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.11由x 2=4y ，得y =4x 2,y =2x ，所以l 1:y -y 1=x 1 x -x 1，即y =x 122x -x 14.2令y =0，得x =x 12x12，即D ,0 ，同理l 2:y =x 222x -x 24x22，且E ,0 ，1 1所以 DE =2 x 1-x 2=2 x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+1.x 122x 14x 22x -x -2x 24由y =y ==2y ，得 x =-k1，即M 2k ,-1 .所以 MF =4k 2+4=2 k 2+1，故 DE = MF .(2)设点P x 0,y 0，结合(1)知l 1:y -y 1=x12x -x 1，即l 1:2x 1x -4y -x 2=101因为x 2=4y 1,x 2=4y 00，所以d 1=4y -x 022x 1x 01-24x 1+16=0-2x 0-x 21 2x 1x42x 1+16x =1-x 0222x 1+4.同理可得d 2=x 2-x 022x 2+24，所以d 1d 2=x x 10- 222x 1+4-x ⋅2x 0222x 2+4x =1-2x 0x +x 21 + 0x x 22x 42x 122+4x + 1x 222 +16-4=kx -0+4 x 022k 322+1.又d =y kx 0+01-k 2+12=x 04kx 0+1-+k 21 4kx 0+2=x 04-4k 2+1，d 1所以d 2d 2-4=kx 0 -04+x 2232+k 2116⋅k 2+1 -2x 04kx 0 +42k =221+1≥2.当且仅当k =0时，等号成立；d21即直线l 斜率为0时，d 1d 2取最小值2；求最值及问题常用的两种方法：(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决；(2)代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（ ） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。