2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡7-6双曲线Word版含解析
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡7-7抛物线Word版含解析
基础知识反馈卡·7.7时间:20分钟 分数:60分一、选择题(每小题5分,共30分)1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )A .(2,0)B .(-2,0)C .(4,0)D .(-4,0)2.(教材改编题)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是( )A .x 2=-12yB .x 2=12yC .y 2=-12xD .y 2=12x3.在平面直角坐标系xOy 中,若抛物线x 2=4y 上的点P 到该抛物线焦点的距离为5,则点P 的纵坐标为( )A .3B .4C .5D .64.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 26+y 22=1的右焦点重合,则p 的值为( ) A .-2 B .2C .-4D .45.经过点P (4,-2)的抛物线标准方程为( )A .y 2=x 或x 2=-8yB .y 2=x 或y 2=8xC .y 2=-8xD .x 2=-8y6.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为( ) A.12B .1C .2D .4 二、填空题(每小题5分,共15分)7.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点P (4,4),则该抛物线的方程是__________.8.抛物线y 2=2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,则p =________.9.焦点在直线x -2y -4=0上的抛物线标准方程为________________,对应的准线方程为________________.三、解答题(共15分)10.若点(3,1)是抛物线y 2=2px 的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,求p 的值.基础知识反馈卡·7.71.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.y 2=4x 8.29.y 2=16x (或x 2=-8y ) x =-4(或y =2)10.解:设弦两端点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=2px 1,y 22=2px 2.两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=2p y 1+y 2=2. ∵y 1+y 2=2,∴p =2.。
2018年高考总复习数学理科基础知识反馈卡 7-8轨迹与方
基础知识反馈卡·7.8时间:20分钟 分数:60分一、选择题(每小题5分,共30分)1.设椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m >0,n >0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.x 216+y 212=1B.x 212+y 216=1C.x 248+y 264=1D.x 264+y 248=1 2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(-5,0),点P 位于该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1 B .x 2-y 24=1 C.x 22-y 23=1 D.x 23-y 22=1 3.已知点F (1,0),直线l :x =-1,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( )A .双曲线B .椭圆C .圆D .抛物线4.已知点P 是直线2x -y +3=0上的一个动点,定点M (-1,2),Q 是线段PM 延长线上的一点,且|PM |=|MQ |,则Q 点的轨迹方程是( )A .2x +y +1=0B .2x -y -5=0C .2x -y -1=0D .2x -y +5=0 5.已知两定点A (1,1),B (-1,-1),动点P 满足P A →·PB →=x 22,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .拋物线6.过点(2,-2)且与双曲线x 24-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( ) A.y 212-x 23=1 B.y 23-x 212=1 C.x 212-y 23=1 D.x 23-y 212=1 二、填空题(每小题5分,共15分)7.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点P (2,4),则该抛物线的方程是________.8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (2,0)为其右焦点,过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C 的方程为________.9.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的焦点坐标为________________;渐近线方程为____________.三、解答题(共15分)10.已知两点M (-1,0),N (1,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN →|·|NP →|=MN →·MP →.求动点P 的轨迹方程.基础知识反馈卡·7.81.A 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.y 2=8x 8.x 24+y 22=1 9.(-4,0),(4,0) y =±3x10.解:设P (x ,y ),则MN →=(2,0),NP →=(x -1,y ),MP →=(x +1,y ).由|MN →|·|NP →|=MN →·MP →,得2(x -1)2+y 2=2(x +1).化简,得y 2=4x .所以动点P 的轨迹方程为y 2=4x .。
2018版高考数学(理)一轮复习文档:第九章解析几何9.6 双曲线含解析
1.双曲线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c 为常数且a〉0,c〉0.(1)当2a〈|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;(3)当2a〉|F1F2|时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!-错误!=1(a>0,b〉0)错误!-错误!=1(a〉0,b>0)图形【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线错误!-错误!=1(a〉0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-错误!=t(t≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!+错误!=1(mn〈0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ×)(2)方程错误!-错误!=1(mn〉0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ×)(3)双曲线方程x2m2-错误!=λ(m>0,n〉0,λ≠0)的渐近线方程是错误!-错误!=0,即错误!±错误!=0。
( √)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于错误!.(√)(5)若双曲线错误!-错误!=1(a〉0,b〉0)与错误!-错误!=1(a>0,b〉0)的离心率分别是e1,e2,则错误!+错误!=1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).(√)1.(教材改编)若双曲线错误!-错误!=1 (a〉0,b〉0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )A。
5 B.5C.错误!D.2答案A解析由题意得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2。
2018年高考总复习数学理科基础知识反馈卡 7-6双曲线
基础知识反馈卡·7.6时间:20分钟 分数:60分一、选择题(每小题5分,共30分)1.双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( )A .2B .2 2C .4D .4 22.若方程y 24-x 2m +1=1表示双曲线,则实数m 的取值范围是( ) A .-1<m <3 B .m >-1C .m >3D .m <-13.若双曲线x 2a 2-y 23=1(a >0)的离心率为2,则a 等于( ) A .2 B. 3 C.32D .1 4.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0),离心率等于32,则C 的方程是( ) A.x 24-y 25=1 B.x 24-y 25=1 C.x 22-y 25=1 D.x 22-y 25=1 5.若双曲线x 24-y 212=1上的一点P 到它的右焦点的距离为8,则点P 到它的左焦点的距离是( )A .4B .12C .4或12D .66.下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是( ) A .x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D .y 2-x 24=1 二、填空题(每小题5分,共15分)7.双曲线x 210-y 22=1的焦距为________. 8.双曲线x 216-y 2m =1的离心率为54,则m 等于________. 9.已知双曲线x 29-y 2a=1的右焦点的坐标为(13,0),则该双曲线的渐近线方程为________.三、解答题(共15分)10.双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,求C 的焦距.基础知识反馈卡·7.61.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.4 3 8.9 9.2x ±3y =0 10.解:双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b ax , 焦点(c,0)到渐近线的距离为d =|bc |a 2+b 2=|bc |c =b =3, 离心率为e =c a=2,b 2=c 2-a 2,∴3=4a 2-a 2,a 2=1,c =2,则C 的焦距等于4.。
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡 8.3点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析
基础知识反馈卡·时间:分钟分数:分一、选择题(每小题分,共分).已知,是异面直线,直线∥直线,则与( ).一定是异面直线.一定是相交直线.不可能是平行直线.不可能是相交直线.下列命题正确的个数为( )①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合......若直线不平行于平面α,且α,则( ).α内的所有直线与异面.α内不存在与平行的直线.α内存在唯一的直线与平行.α内的直线与都相交.在空间四边形的边,,,上分别取,,,四点,如果与交于点,那么( ).一定在直线上.一定在直线上.可能在直线上,也可能在直线上.既不在直线上,也不在直线上.已知正四棱柱-中,=,为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( ).下列推断中,错误的是( ).∈,∈α,∈,∈α⇒⊂α.∈α,∈β,∈α,∈β⇒α∩β=.α,∈⇒α.,,∈α,,,∈β,且,,不共线⇒α,β重合二、填空题(每小题分,共分).如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.用数学符号语言可叙述为:..若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成部分..正方体的表面展开图如图--,,,为其上的三个顶点,则在正方体中,∠的大小为.图--三、解答题(共分).长方体-中,==,=,点,,分别是,,的中点.求异面直线,所成角的大小.基础知识反馈卡·..α⊥β,∈α,∈,⊥β⇒⊂α°.解:连接,由对称性,知,则∠就是异面直线,所成角.在△中,==.在△中,==.在△中,==.在△中,+==,∴∠=°.。
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡5.7数学归纳法含解析
基础知识反馈卡·5.7时间:20分钟分数:60分一、选择题(每小题5分,共30分)1.关于正整数n的不等式2n〉n2成立的条件是( )A.n∈N*B.n≥4C.n〉4 D.n=1或n〉42.用数学归纳法证明1+错误!+错误!+…+错误!<n(n∈N*,且n〉1)时,第一步即证下述哪个不等式成立()A.1〈2 B.1+1 2 <2C.1+错误!+错误!〈2 D.1+错误!〈23.若f(n)=1+错误!+错误!+…+错误!(n∈N*),则f(1)为()A.1 B.1 5C.1+错误!+错误!+错误!+错误!D.非以上答案4.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n-3)条时,第一步检验n等于()A.1 B.2 C.3 D.05.对于不等式错误!〈n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,错误!<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即错误!〈k+1,则当n =k+1时,错误!=错误!<错误!=错误!=(k+1)+1.∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法( )A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确6.设nf(n)=n+f(1)+f(2)+…+f(n-1),用数学归纳法证明“n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)”时,第一步要证的等式是()A.0=f(0) B.1=f(1)C.2=2f(2) D.2+f(1)=2f(2)二、填空题(每小题5分,共15分)7.设f(n)=62n-1+1,则f(k+1)用含有f(k)的式子表示为f(k +1)=____________.8.设S n=1+错误!+错误!+错误!+…+错误!,则S n+1-S n=____________________。
9.设f(n)=错误!+错误!+…+错误!,n∈N*,则f(n+1)-f(n)=________。
2018年高考数学(理)总复习教师用书第十四单元椭圆、双曲线、抛物线Word版含答案
第十四单元 ⎪⎪⎪椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过1.椭圆的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数: (1)当2a >|F 1F 2|时,P 点的轨迹是椭圆; (2)当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是线段; (3)当2a <|F 1F 2|时,P 点不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质[小题速通]1.设P 是椭圆x 225+y 216=1上的点,若F 1,F 2是椭圆的两个焦点,则|PF 1|+|PF 2|等于( )A .4B .5C .8D .10解析:选D 由椭圆的定义知:|PF 1|+|PF 2|=2×5=10.2.(2016·天津红桥一模)已知椭圆C 的焦点在y 轴上,焦距等于4,离心率为22,则椭圆C 的标准方程是( )A.x 216+y 212=1 B.x 212+y 216=1 C.x 24+y 28=1 D.x 28+y 24=1 解析:选 C 由题意可得2c =4,故c =2,又e =2a =22,解得a =22,故b =()222-22=2,因为焦点在y 轴上,故选C.3.(2017·临沂一中模拟)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析:选D 在Rt △PF 2F 1中,令|PF 2|=1,因为∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2,|F 1F 2|= 3.故e =2c 2a =|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=33.故选D.4.若焦点在x 轴上的椭圆x 22+y 2m =1的离心率为12,则m =________.解析:因为焦点在x 轴上,所以0<m <2,所以a 2=2,b 2=m ,c 2=a 2-b 2=2-m .椭圆的离心率为e =12,所以e 2=14=c 2a 2=2-m 2,解得m =32.答案:32[清易错]1.椭圆的定义中易忽视2a >|F 1F 2|这一条件,当2a =|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2,当2a <|F 1F 2|不存在轨迹.2.求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).1.若直线x -2y +2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25+y 2=1 B.x 24+y 25=1 C.x 25+y 2=1或x 24+y 25=1 D .以上答案都不对解析:选C 直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0), 由题意知当焦点在x 轴上时,c =2,b =1, ∴a 2=5,所求椭圆的标准方程为x 25+y 2=1.当焦点在y 轴上时,b =2,c =1, ∴a 2=5,所求椭圆标准方程为y 25+x 24=1.2.已知椭圆x 29+y 24-k =1的离心率为45,则k 的值为( )A .-21B .21C .-1925或21 D.1925或-21解析:选D 当9>4-k >0,即4>k >-5时,a =3,c 2=9-(4-k )=5+k ,∴5+k 3=45,解得k =1925. 当9<4-k ,即k <-5时,a =4-k ,c 2=-k -5, ∴-k -54-k=45,解得k =-21,所以k 的值为1925或-21. 双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当2a >|F 1F 2|时,P 点不存在. 2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0);(2)中心在坐标原点,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0).3.双曲线的性质[小题速通]1.(2017·邢台摸底)双曲线x 2-4y 2=-1的渐近线方程为( ) A .x ±2y =0 B .y ±2x =0 C .x ±4y =0D .y ±4x =0解析:选A 依题意,题中的双曲线即y 214-x 2=1,因此其渐近线方程是y 214-x 2=0,即x ±2y=0,选A.2.(2017·江南十校联考)已知双曲线的焦距为23,离心率为3,则双曲线的标准方程是( )A .x 2-y 22=1 B.x 24-y 28=1C .x 2-y 22=1或y 2-x 22=1 D.y 22-x 2=1解析:选C 因为双曲线的焦距为23,所以2c =23,c =3,因为双曲线的离心率为3,所以c a=3,a =1,因为a 2+b 2=c 2,所以b 2=2,由题意无法判断焦点的位置,故有两个标准方程,故选C.3.(2016·甘肃张掖一诊)如图,F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ,A .若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A.7 B .4 C.233D. 3解析:选 A 依题意得|AB |=|AF 2|=|BF 2|,结合双曲线的定义可得|BF 1|=2a ,|BF 2|=4a ,|F 1F 2|=2c ,根据等边三角形,可知∠F 1BF 2=120°,应用余弦定理,可得4a 2+16a 2+2×2a ×4a ×12=4c 2,整理得c a=7,故选A.4.已知F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点,P ,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A (5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为________.解析:由题意得,|FP |-|PA |=6,|FQ |-|QA |=6,两式相加,利用双曲线的定义得|FP |+|FQ |=28,所以△PQF 的周长为|FP |+|FQ |+|PQ |=44.答案:44[清易错]1.双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件.若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a >|F 1F 2|,则轨迹不存在.2.注意区分双曲线中的a ,b ,c 大小关系与椭圆中的a ,b ,c 关系,在椭圆中a 2=b 2+c 2,而在双曲线中c 2=a 2+b 2.3.易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x 轴上,渐近线斜率为±ba,当焦点在y 轴上,渐近线斜率为±a b.1.双曲线x 236-m 2-y 2m2=1(0<m <3)的焦距为( )A .6B .12C .36D .236-2m 2解析:选B c 2=36-m 2+m 2=36,∴c =6.双曲线的焦距为12. 2.双曲线x 24-y 212=1的焦点到渐近线的距离为( )A .2 3B .2 C. 3D .1解析:选A 由题意知双曲线的渐近线方程为y =±3x ,焦点为(±4,0),故焦点到渐近线的距离d =2 3.1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质[小题速通]1.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A .(-1,0) B .(1,0) C .(0,-1)D .(0,1)解析:选B 抛物线y 2=2px (p >0)的准线为x =-p 2且过点(-1,1),故-p2=-1,解得p =2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).2.若抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D .0解析:选B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离,又准线方程为y =-116,设M (x ,y ),则y +116=1,∴y =1516.3.已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=54x 0,则x 0=( )A .4B .2C .1D .8解析:选C 由y 2=x ,得2p =1,即p =12,因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14,0,准线方程为l :x =-14.设A 点到准线的距离为d ,由抛物线的定义可知d =|AF |,从而x 0+14=54x 0,解得x 0=1,故选C.4.(2017·唐山模拟)已知抛物线的焦点F (a,0)(a <0),则抛物线的标准方程是( ) A .y 2=2ax B .y 2=4ax C .y 2=-2axD .y 2=-4ax解析:选B 以F (a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y 2=4ax .[清易错]1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线.2.抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0,才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离,否则无几何意义.1.抛物线y =ax 2的准线方程是y =1,则a 的值为( ) A.14B .-14C .4D .-4解析:选B 由题意知抛物线的标准方程为x 2=1a y ,所以准线方程y =-14a =1,解得a=-14.2.动圆过点(1,0),且与直线x =-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析:设动圆的圆心坐标为(x ,y ),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x =-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=4x .答案:y 2=4x[过双基]1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程.即⎩⎪⎨⎪⎧Ax +By +C =0,F x ,y =0,消去y ,得ax 2+bx +c =0.(1)当a ≠0时,设一元二次方程ax 2+bx +c =0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C 相切; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a =0,b ≠0时,即得到一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2·x 1+x 22-4x 1x 2=1+1k 2·|y 1-y 2|=1+1k2·y 1+y 22-4y 1y 2.[小题速通]1.直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( )A .相交B .相切C .相离D .不确定解析:选A 直线y =kx -k +1=k (x -1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.(2017·福州质检)抛物线C 的顶点为原点,焦点在x 轴上,直线x -y =0与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为( )A .y =2x 2B .y 2=2x C .x 2=2yD .y 2=-2x解析:选B 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),抛物线方程为y2=2px ,则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=2px 1,y 22=2px 2两式相减可得2p =y 1-y 2x 1-x 2×(y 1+y 2)=k AB ×2=2,即可得p =1, ∴抛物线C 的方程为y 2=2x .3.设双曲线x 29-y 216=1的右顶点为A ,右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为________.解析:c =5,设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y =43(x -5),即4x -3y -20=0,联立直线与双曲线方程,求得y B =-3215,则S =12×(5-3)×3215=3215.答案:3215[清易错]1.直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点.2.直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点.1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条D .4条解析:选C 结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x =0,过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x =0).2.直线y =b a x +3与双曲线x 2a 2-y 2b2=1的交点个数是( )A .1B .2C .1或2D .0解析:选A 因为直线y =ba x +3与双曲线的渐近线y =b ax 平行,所以它与双曲线只有1个交点.[双基过关检测] 一、选择题1.以x 轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P (1,m )到焦点的距离为3,则抛物线的方程是( )A .y =4x 2B .y =8x 2C .y 2=4xD .y 2=8x解析:选D 设抛物线的方程为y 2=2px ,则由抛物线的定义知1+p2=3,即p =4,所以抛物线方程为y 2=8x .2.(2017·济南第一中学检测)抛物线y =4x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫116,0 B .(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116 D .(0,1)解析:选C 抛物线的标准方程为x 2=14y ,则p =18,所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116.3.(2017·贵州七校联考)已知双曲线x 2+my 2=1的虚轴长是实轴长的两倍,则实数m 的值是( )A .4B .-14C.14D .-4解析:选B 由双曲线的方程知a =1,b =-1m ,又b =2a ,所以-1m=2,解得m =-14,故选B.4.已知椭圆x 225+y 2m2=1(m >0)的左焦点为F 1(-4,0),则m =( )A .2B .3C .4D .9解析:选B 由左焦点为F 1(-4,0)知c =4.又a =5, ∴25-m 2=16,解得m =3或-3.又m >0,故m =3.5.(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,则|PQ |=( )A .9B .8C .7D .6解析:选B 抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1.根据题意可得,|PQ |=|PF |+|QF |=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2=8.故选B.6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为33,过F 2的直线l交C 于A ,B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( )A.x 23+y 22=1B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1 解析:选A 由椭圆的性质知|AF 1|+|AF 2|=2a ,|BF 1|+|BF 2|=2a ,又∵△AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=43,∴a = 3.又e =33,∴c =1.∴b 2=a 2-c 2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1,故选A.7.椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32,则ab =( ) A.32 B.233 C.932D.2327解析:选A 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点M (x 0,y 0),结合题意,由点差法得,y 2-y 1x 2-x 1=-a b ·x 1+x 2y 1+y 2=-a b ·x 0y 0=-a b ·23=-1,∴a b =32. 8.已知双曲线x 212-y 24=1的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33 B.()-3,3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-33,33 D.[]-3,3解析:选 C 由题意知F (4,0),双曲线的两条渐近线方程为y =±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时,满足与右支只有一个交点,画出图象,数形结合可知应选C.二、填空题9.(2016·北京高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为2x +y =0,一个焦点为(5,0),则a =________,b =________.解析:因为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为2x +y =0,即y =-2x ,所以b a=2.①又双曲线的一个焦点为(5,0),所以a 2+b 2=5.② 由①②得a =1,b =2. 答案:1 210.(2016·山东高考)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.解析:如图,由题意知|AB |=2b2a,|BC |=2c .又2|AB |=3|BC |, ∴2×2b2a=3×2c ,即2b 2=3ac ,∴2(c 2-a 2)=3ac ,两边同除以a 2并整理得2e 2-3e -2=0,解得e =2(负值舍去). 答案:211.已知点P 是椭圆x 25+y 24=1上y 轴右侧的一点,且以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于1,则点P 的坐标为________.解析:设P (x ,y ),由题意知c 2=a 2-b 2=5-4=1,所以c =1,则F 1(-1,0),F 2(1,0),由题意可得点P 到x 轴的距离为1,所以y =±1,把y =±1代入x 25+y 24=1,得x =±152,又x >0,所以x =152,∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152,1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152,-1. 答案:⎝⎛⎭⎪⎫152,1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152,-1 12.(2017·西安中学模拟)如图,过抛物线y =14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x2+(y -1)2=1交于A ,B ,C ,D 四点,则AB ―→·DC ―→=________.解析:不妨设直线AB 的方程为y =1,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =1,y =14x 2,解得x =±2,则A (-2,1),D (2,1),因为B (-1,1),C (1,1),所以AB ―→=(1,0),DC ―→=(-1,0),所以AB ―→·DC ―→=-1.答案:-1 三、解答题13.(2017·揭阳一中期末)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,右焦点为F (1,0).(1)求椭圆E 的标准方程;(2)设点O 为坐标原点,过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点,若OM ⊥ON ,求直线l 的方程.解:(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a =22,a 2=b 2+1,解得a =2,b =1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), ①当MN 垂直于x 轴时,直线l 的方程为x =1,不符合题意;②当MN 不垂直于x 轴时, 设直线l 的方程为y =k (x -1).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =k x -,消去y ,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2(k 2-1)=0, 所以x 1+x 2=4k21+2k2,x 1x 2=k 2-1+2k2. 所以y 1y 2=k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=-k21+2k 2.因为OM ⊥ON , 所以OM ―→·ON ―→=0,所以x 1x 2+y 1y 2=k 2-21+2k2=0,所以k =±2,即直线l 的方程为y =±2(x -1).14.已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且|AF |=3.(1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G (-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切.解:(1)由抛物线的定义得|AF |=2+p2.因为|AF |=3,即2+p2=3,解得p =2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)因为点A (2,m )在抛物线E :y 2=4x 上, 所以m =±2 2.由抛物线的对称性,不妨设A (2,22).由A (2,22),F (1,0)可得直线AF 的方程为y =22(x -1). 由⎩⎨⎧y =22x -,y 2=4x ,得2x 2-5x +2=0, 解得x =2或x =12,从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-2. 又G (-1,0), 所以k GA =22-02--=223,k GB =-2-012--=-223,所以k GA +k GB =0,从而∠AGF =∠BGF ,这表明点F 到直线GA ,GB 的距离相等,故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.高考研究课(一)————————————————————————————————————— 椭圆命题3角度——求方程、研性质、判关系————————————————————————————————————— [全国卷5年命题分析][典例] (1)若椭圆C :9+2=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且|PF 1|=4,则∠F 1PF 2=( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6(2)(2017·大庆模拟)如图,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),其中左焦点为F (-25,0),P 为C 上一点,满足|OP |=|OF |,且|PF |=4,则椭圆C 的方程为( )A.x 225+y 25=1 B.x 236+y 216=1C.x 230+y 210=1 D.x 245+y 225=1 [解析] (1)由题意得a =3,c =7,则|PF 2|=2. 在△F 2PF 1中,由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1=42+22-722×4×2=-12.又∵∠F 2PF 1∈(0,π),∴∠F 2PF 1=2π3.(2)设椭圆的焦距为2c ,右焦点为F 1,连接PF 1,如图所示. 由F (-25,0),得c =2 5. 由|OP |=|OF |=|OF 1|, 知PF 1⊥PF .在Rt △PF 1F 中,由勾股定理, 得|PF 1|=|F 1F |2-|PF |2=()452-42=8.由椭圆定义,得|PF 1|+|PF |=2a =4+8=12, 从而a =6,得a 2=36,于是b 2=a 2-c 2=36-(25)2=16, 所以椭圆C 的方程为x 236+y 216=1.[答案] (1)C (2)B [方法技巧]求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a ,b 的方程组.如果焦点位置不确定,可把椭圆方程设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )的形式.[即时演练]1.(2016·西安质检)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则椭圆C 的方程是( )A.x 23+y 24=1B.x 24+y 23=1 C.x 24+y 23=1 D.x 24+y 2=1解析:选C 依题意,所求椭圆的焦点位于x 轴上,且c =1,e =c a =12⇒a =2,b 2=a2-c 2=3,因此椭圆C 的方程是x 24+y 23=1.2.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.解析:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则⎩⎪⎨⎪⎧r 1+r 2=2a ,r 21+r 22=4c 2,∴2r 1r 2=(r 1+r 2)2-(r 21+r 22)=4a 2-4c 2=4b 2, 又∵S △PF 1F 2=12r 1r 2=b 2=9,∴b =3.答案:3[典例] (1)(2017·兰州一模)已知椭圆a 2+b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上,O 为坐标原点,若|OP |=12|F 1F 2|,且|PF 1||PF 2|=a 2,则该椭圆的离心率为( )A.34B.32C.22D.12(2)如图,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.①若|PF 1|=2+2,|PF 2|=2-2,求椭圆的标准方程; ②若|PQ |=λ|PF 1|,且34≤λ<43,求椭圆离心率e 的取值范围.[解析] (1)由|OP |=12|F 1F 2|,且|PF 1||PF 2|=a 2,可得点P 是椭圆的短轴端点,即P (0,±b ),故b =12×2c =c ,故a =2c ,即c a =22,故选C. 答案:C(2)①由椭圆的定义,2a =|PF 1|+|PF 2|=(2+2)+(2-2)=4,故a =2.设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2, 因此2c =|F 1F 2|=|PF 1|2+|PF 2|2=+22+-22=23,即c =3,从而b =a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.②如图,由PF 1⊥PQ , |PQ |=λ|PF 1|, 得|QF 1|=|PF 1|2+|PQ |2=1+λ2|PF 1|.由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a ,进而|PF 1|+|PQ |+|QF 1|=4a . 于是(1+λ+1+λ2)|PF 1|=4a , 解得PF 1=4a 1+λ+1+λ2,故|PF 2|=2a -|PF 1|=2aλ+1+λ2-1+λ+1+λ2.由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2=4c 2,从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1+λ+1+λ22+⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a λ+1+λ2-1+λ+1+λ22=4c 2, 两边除以4a 2,得4+λ+1+λ22+λ+1+λ2-2+λ+1+λ22=e 2.若记t =1+λ+1+λ2, 则上式变成e 2=4+t -2t 2=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t -142+12. 由34≤λ<43,并注意到t =1+λ+1+λ2关于λ单调递增,得3≤t <4,即14<1t ≤13. 进而12<e 2≤59,即22<e ≤53.[方法技巧]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b,0<e <1,在求椭圆相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.[即时演练]1.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1,F 2,过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________.解析:由题意知F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c =a 2-b 2,因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x =c ,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,-b 2a .因为AB 平行于y 轴,且|F 1O |=|OF 2|,所以|F 1D |=|DB |,即D 为线段F 1B 的中点,所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,-b 22a ,又AD ⊥F 1B ,所以k AD ·kF 1B =-1,即b 2a -⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 22a c -0×-b 2a -0c --c=-1,整理得3b 2=2ac ,所以3(a 2-c 2)=2ac ,又e =c a,0<e <1,所以3e 2+2e -3=0,解得e =33(e =-3舍去). 答案:332.(2017·安徽黄山质检)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1,F 2,点P 为椭圆C 与y 轴的交点,若以F 1,F 2,P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是________.解析:∵点P 为椭圆C 与y 轴的交点,以F 1,F 2,P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,即∠F 1PF 2≤90°,∴tan ∠OPF 2≤1,∴cb≤1,c ≤b ,c 2≤a 2-c 2,∴0<e ≤22. 答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤0,22[典例] (2016·四川高考)已知椭圆E :a 2+b2=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P ⎝⎛⎭⎪⎫3,12在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程;(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C ,D ,证明:|MA |·|MB |=|MC |·|MD |.[解] (1)由已知,a =2b ,又椭圆x 2a 2+y 2b 2=1过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,12, 故34b 2+14b2=1,解得b 2=1. 所以椭圆E 的方程是x 24+y 2=1.(2)证明:设直线l 的方程为y =12x +m (m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y =12x +m ,得x 2+2mx +2m 2-2=0,由Δ=4(2-m 2)>0,解得-2<m < 2. 由根与系数的关系得x 1+x 2=-2m ,x 1x 2=2m 2-2,所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫-m ,m 2,直线OM 的方程为y =-12x .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y =-12x ,得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,22,D ⎝⎛⎭⎪⎫2,-22. 所以|MC |·|MD |=52(-m +2)·52(2+m ) =54(2-m 2). 又|MA |·|MB |=14|AB |2=14[(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2]=516[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=516[4m 2-4(2m 2-2)] =54(2-m 2), 所以|MA |·|MB |=|MC |·|MD |. [方法技巧](1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=+k 2[x 1+x 22-4x 1x 2]=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k 2[y 1+y 22-4y 1y 2](k 为直线斜率).[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.[即时演练]1.若对任意k ∈R ,直线y -kx -1=0与椭圆x 22+y 2m=1恒有公共点,则实数m 的取值范围是( )A .(1,2]B .[1,2)C .[1,2)∪(2,+∞)D .[1,+∞)解析:选C 联立直线与椭圆的方程,消去y 得(2k 2+m )x 2+4kx +2-2m =0,因为直线与椭圆恒有公共点,所以Δ=16k 2-4(2k 2+m )(2-2m )≥0,即2k 2+m -1≥0恒成立,因为k ∈R ,所以k 2≥0,则m -1≥0,所以m ≥1,又m ≠2,所以实数m 的取值范围是[1,2)∪(2,+∞).2.(2017·辽宁质检)已知离心率为63的椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ,过F且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ,B 两点,|AB |=233.(1)求此椭圆的方程;(2)已知直线y =kx +2与椭圆交于C ,D 两点,若以线段CD 为直径的圆过点E (-1,0),求k 的值.解:(1)设焦距为2c , ∵e =c a =63,a 2=b 2+c 2, ∴b a =33, 由|AB |=233,易知b 2a =33,∴b =1,a =3, ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)将y =kx +2代入椭圆方程, 得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0,又直线与椭圆有两个交点,所以Δ=(12k )2-36(1+3k 2)>0,解得k 2>1. 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=-12k 1+3k 2,x 1x 2=91+3k 2,若以CD 为直径的圆过E 点,则EC ―→·ED ―→=0,即(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0, 而y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4, 则(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=k 2+1+3k 2-12k k +1+3k2+5=0,解得k =76,满足k 2>1.1.(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析:选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0,b )和一个焦点F (c,0),则直线l 的方程为x c +y b=1,即bx +cy -bc =0.由题意知|-bc |b 2+c 2=14×2b ,解得c a =12,即e =12.故选B.2.(2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E :x 24+y 23=1的左顶点,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA .(1)当|AM |=|AN |时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM |=|AN |时,证明:3<k <2. 解:(1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4.又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2.将x =y -2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y =0.解得y =0或y =127,所以y 1=127.因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.(2)证明:设直线AM 的方程为y =k (x +2)(k >0), 代入x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-12=0.由x 1·(-2)=16k 2-123+4k2,得x 1=-4k23+4k2,故|AM |=|x 1+2|1+k 2=121+k23+4k 2.由题意,设直线AN 的方程为y =-1k(x +2),故同理可得|AN |=12k 1+k23k 2+4. 由2|AM |=|AN |,得23+4k 2=k3k 2+4, 即4k 3-6k 2+3k -8=0.设f (t )=4t 3-6t 2+3t -8,则k 是f (t )的零点.f ′(t )=12t 2-12t +3=3(2t -1)2≥0,所以f (t )在(0,+∞)上单调递增.又f (3)=153-26<0,f (2)=6>0,因此f (t )在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k 在(3,2)内,所以3<k <2.3.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3,m ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)证明:设直线l :y =kx +b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y =kx +b 代入9x 2+y 2=m 2, 得(k 2+9)x 2+2kbx +b 2-m 2=0, 故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b =9bk 2+9. 于是直线OM 的斜率k OM =y M x M=-9k,即k OM ·k =-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3,m ,所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0,k ≠3.由(1)得OM 的方程为y =-9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-9k x ,9x 2+y 2=m 2,得x 2P =k 2m 29k 2+81,即x P =±km3k 2+9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3,m 的坐标代入直线l 的方程得b =m-k 3,因此x M =k k -mk 2+.四边形OAPB 为平行四边形,当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是±km 3k 2+9=2×k k -mk 2+,解得k 1=4-7,k 2=4+7. 因为k i >0,k i ≠3,i =1,2,所以当直线l 的斜率为4-7或4+7时, 四边形OAPB 为平行四边形. [高考达标检测] 一、选择题1.如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(0,2) C .(1,+∞)D .(0,+∞)解析:选A x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程,得x 22+y 22k=1,∵x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,∴2k>2,解得0<k <1.∴实数k 的取值范围是(0,1).故选A.2.(2017·济南质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C :x 2+y 2-2x -15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 216+y 212=1 C.x 24+y 2=1 D.x 216+y 24=1 解析:选A 由x 2+y 2-2x -15=0, 知r =4=2a ,所以a =2.又e =c a =12,所以c =1,则b 2=a 2-c 2=3. 因此椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.3.设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =3a2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析:选C 由题意可得|PF 2|=|F 1F 2|,所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a -c =2c , 所以3a =4c ,所以e =34.4.(2017·厦门模拟)椭圆E :x 2a 2+y 23=1(a >0)的右焦点为F ,直线y =x +m 与椭圆E交于A ,B 两点,若△FAB 周长的最大值是8,则m 的值等于( )A .0B .1 C. 3D .2解析:选B 设椭圆的左焦点为F ′,则△FAB 的周长为AF +BF +AB ≤AF +BF +AF ′+BF ′=4a =8,所以a =2,当直线AB 过焦点F ′(-1,0)时,△FAB 的周长取得最大值,所以0=-1+m ,所以m =1.故选B.5.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点,则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332 C.94D.154解析:选 B 设向量F 1P ―→,F 2A ―→的夹角为θ.由条件知|AF 2|=b 2a =32,则F 1P ―→·F 2A ―→=32|F 1P |―→cos θ,于是F 1P ―→·F 2A ―→要取得最大值,只需F 1P ―→在向量F 2A ―→上的投影值最大,易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点,所以F 1P ―→·F 2A ―→=32|F 1P |―→cos θ≤332,即F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.6.从椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解析:选C 由题意可设P (-c ,y 0)(c 为半焦距),k OP =-y 0c ,k AB =-b a,由于OP ∥AB ,∴-y 0c =-b a ,y 0=bc a ,把P ⎝⎛⎭⎪⎫-c ,bc a 代入椭圆方程得-c 2a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2=1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2=12,∴e =ca =22.选C. 二、填空题7.若F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________________.解析:设点A 在点B 上方,F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c =1-b 2,则可设A (c ,b 2),B (x 0,y 0),由|AF 1|=3|F 1B |,可得AF 1―→=3F 1B ―→,故⎩⎪⎨⎪⎧-2c =x 0+c ,-b 2=3y 0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-53c ,y 0=-13b 2,代入椭圆方程可得-b 29+19b 2=1, 解得b 2=23,故椭圆方程为x 2+3y22=1.答案:x 2+3y22=18.已知椭圆的方程是x 2+2y 2-4=0,则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是______. 解析:设过M (1,1)点的方程为y =kx +b , 则有k +b =1,即b =1-k ,即y =kx +(1-k ),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2y 2-4=0,y =kx +-k ,则有(1+2k 2)x 2+(4k -4k 2)x +(2k 2-4k -2)=0,所以x 1+x 22=12·4k 2-4k1+2k2=1,解得k =-12,故b =32,所以y =-12x +32,即x +2y -3=0.答案:x +2y -3=09.如图,椭圆的中心在坐标原点O ,顶点分别是A 1,A 2,B 1,B 2,焦点分别为F 1,F 2,延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点,若∠B 1PA 2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为________.解析:设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→,F 2B 1―→所夹的角为钝角,则(a ,-b )·(-c ,-b )<0,得b 2<ac ,即a 2-c 2<ac ,故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2+c a-1>0,即e 2+e -1>0,e >5-12或e <-5-12,又0<e <1,∴5-12<e <1.答案:⎝⎛⎭⎪⎫5-12,1三、解答题10.(2016·洛阳一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标.解:(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2=1,∴b =4,由e =c a =35,得a 2-b 2a 2=925,即1-16a 2=925,∴a =5,∴C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x -3),设直线与椭圆C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点为M (x 0,y 0). 将直线方程y =45(x -3)代入椭圆C 的方程,得x 225+x -225=1,即x 2-3x -8=0,由根与系数的关系得x 1+x 2=3, ∴x 0=x 1+x 22=32, y 0=y 1+y 22=25(x 1+x 2-6)=-65,即线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-65.11.(2017·广州五校联考)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =22,且经过点(6,1),O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆,M 是直线x =-4在x 轴上方的一点,过M 作圆O 的两条切线,切点分别为P ,Q ,当∠PMQ =60°时,求直线PQ 的方程.解:(1)由题意可得e =c a =22, ∵椭圆E 经过点(6,1),∴6a 2+1b2=1,又a 2-b 2=c 2,解得a =22,b =2, ∴椭圆E 的标准方程为x 28+y 24=1.(2)连接OM ,OP ,OQ ,OM 与PQ 交于点A , 依题意可设M (-4,m ).由圆的切线性质及∠PMQ =60°,可知△OPM 为直角三角形且∠OMP =30°, ∵|OP |=22,∴|OM |=42, ∴-2+m 2=42,又m >0,解得m =4,∴M (-4,4), ∴直线OM 的斜率k OM =-1, 由MP =MQ ,OP =OQ 可得OM ⊥PQ , ∴直线PQ 的斜率k PQ =1, 设直线PQ 的方程为y =x +n , ∵∠OMP =30°,∴∠POM =60°, ∵∠OPA =30°,由|OP |=22知|OA |=2,即点O 到直线PQ 的距离为2, ∴|n |12+-2=2,解得n =±2(舍去负值),∴直线PQ 的方程为x -y +2=0.12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22,过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时,|AB |+|CD |=3 2.(1)求椭圆的方程;(2)求以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形的面积的取值范围. 解:(1)由题意知,e =c a =22,则a =2c ,b =c . 当直线AB 的斜率为0时,|AB |+|CD |=2a +2b2a=22c +2c =32,∴c =1.∴椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条的斜率为0时,另一条的斜率不存在. 由题意知S 四边形=12|AB |·|CD |=12×22×2=2.②当两条直线的斜率均存在且不为0时, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =k (x -1),则直线CD 的方程为y =-1k(x -1).将直线AB 的方程代入椭圆方程,并整理得 (1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0, ∴x 1+x 2=4k21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k2,∴|AB |=k 2+1|x 1-x 2| =k 2+1·22k 2+11+2k2=22k 2+1+2k2.同理,|CD |=22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2+11+2k 2=22k 2+k 2+2.∴S 四边形=12·|AB |·|CD |=12·22k 2+1+2k 2·22k 2+k 2+2=k 2+22k 4+2+5k2=4⎝⎛⎭⎪⎫k +1k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫k +1k 2+1=2-22⎝ ⎛⎭⎪⎫k +1k 2+1. ∵2⎝⎛⎭⎪⎫k +1k 2+1≥2⎝⎛⎭⎪⎫2k ·1k 2+1=9, 当且仅当k =±1时取等号,∴S 四边形∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫169,2. 综合①与②可知,S 四边形∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤169,2.高考研究课(二)————————————————————————————————————— 双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质—————————————————————————————————————[全国卷5年命题分析][典例] (1)设F 1,F 2是双曲线x 2-24=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且|PF 1|=43|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于( ) A .4 2 B .8 3 C .24D .48(2)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为10,点P (2,1)在C 的一条渐近线上,则C 的方程为( )A.x 220-y 25=1 B.x 25-y 220=180202080[解析] (1)由双曲线定义||PF 1|-|PF 2||=2, 又|PF 1|=43|PF 2|,∴|PF 1|=8,|PF 2|=6, 又|F 1F 2|=2c =10,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,△PF 1F 2为直角三角形.△PF 1F 2的面积S =12×6×8=24.(2)依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=25,1=ba×2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=20,b 2=5,∴双曲线C 的方程为x 220-y 25=1.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]双曲线定义及标准方程问题求解中的2个注意点(1)应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.(2)求双曲线方程时一是标准形式判断;二是注意a ,b ,c 的关系易错易混. [即时演练]1.若双曲线x 24-y 212=1的左焦点为F ,点P 是双曲线右支上的动点,A (1,4),则|PF |+|PA |的最小值是( )A .8B .9C .10D .12解析:选B 由题意知,双曲线x 24-y 212=1的左焦点F 的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B ,则B (4,0),由双曲线的定义知,|PF |+|PA |=4+|PB |+|PA |≥4+|AB |=4+-2+-2=4+5=9,当且仅当A ,P ,B 三点共线且P 在A ,B 之间时取等号.2.(2016·天津高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x +y =0垂直,则双曲线的方程为( )。
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡 6.4简单的线性规划 Word版含解析
基础知识反馈卡·时间:分钟分数:分一、选择题(每小题分,共分).不在+<表示的平面区域内的点是( ).() .() .() .().下列命题中正确的是( ).点()在区域+≥内.点()在区域++<内.点()在区域>内.点()在区域-+>内.不等式->表示的平面区域是( ).设,满足约束条件(\\(-+≥,+-≥,≤,))则=-的最小值是( ).-.-.-.-.不等式组(\\(≥,+≥,+≤))所表示的平面区域的面积等于( ).已知点()和(-)在直线-+=的两侧,则的取值范围是( ).<-或>.-<<.-<<.<-或>二、填空题(每小题分,共分).如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图--中的阴影部分(包括边界),那么这个不等式组是.图--.若实数,满足(\\(-+≤,>,≤,))则的最小值是..设为不等式组(\\(≥,-≤,+-≤))表示的平面区域,区域上的点与点()之间的距离的最小值为.三、解答题(共分).某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用原料吨,原料吨;生产每吨乙产品要用原料吨,原料吨,销售每吨甲产品可获得利润万元,每吨乙产品可获得利润万元.该企业在一个生产周期内消耗原料不超过吨,原料不超过吨,求该企业可获得的最大利润.基础知识反馈卡·.(\\(≤,≥-,-+≥))()).解:设生产甲、乙两种产品分别为吨、吨,由题意,得(\\(+≤,+≤,≥,≥,))且获得利润=+.画出可行域如图,图由(\\(+=,+=,))解得().由图可知,当直线+=经过点时,=.故该企业可获得的最大利润为万元.。
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡 2.14函数模型及其应用 Word版含解析
基础知识反馈卡·时间:分钟分数:分一、选择题(每小题分,共分).已知,两地相距千米,某人开汽车以千米时的速度从地前往地,到达地停留小时后再以千米时的速度返回地,把汽车离开地的距离(单位:千米)表示为时间(单位:小时)的函数,则下列正确的是( ).=+(≤≤) .=(\\(,≤≤,,<≤,-,<≤)).=(\\(,≤≤,-,>)).=(\\(,≤≤,,<≤,-(-(,<≤)).某厂日产手套总成本(单位:元)与手套日产量(单位:副)的函数解析式为=+,而手套出厂价格为每副元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( ).副.副.副.副.某机床在生产中所需垫片可以外购,也可自己生产,其中外购的单价是每个元,若自己生产,则每月需投资固定成本元,并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共元.设该厂每月所需垫片个,则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是( ).>.>.>.>.按复利计算利率的储蓄,在银行整存一年,年息,零存每月利息,现把万元存入银行年半,取出后本利和应为人民币( ).[(+)]万元.[(+)(+)]万元.[(+)+××]万元.[(+)+(+)(+)]万元.下列函数中随的增大而增大且速度最快的是( ).=.=.=.=·.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为=-和=,其中为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售辆车,则能获得的最大利润为( )....二、填空题(每小题分,共分).在如图--所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(图中阴影部分),则其边长为.图--.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔年计算机的价格降低,则现在价格为元的计算机年后的价格应降为元..将进货单价为元的商品按元一个销售,每天可卖出个.若每个涨价元,则日销售量减少个.为获得最大利润,则此商品日销售价应定为每个元.三、解答题(共分).某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图--,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(图中阴影部分)备用,求当截取的矩形面积最大时,矩形两边长,的值.图--。
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡 8.7空间中角与距离的计算 Word版含解析
基础知识反馈卡·时间:分钟分数:分一、选择题(每小题分,共分).如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=(),=(),那么这条斜线与平面所成的角是( ).正方体-中,异面直线与所成角为( ).°.°.°.°.若直线的方向向量与平面α的法向量的夹角等于°,则直线与平面α所成的角等于().°.°.°.°或°.如图--,在正方体-中,,分别是棱,的中点,则异面直线与所成的角的大小是()图--.°.°.°.°.长方体-中,==,=,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( ).过正方形的顶点作线段⊥平面,若=,则平面与平面所成的二面角为( ).°.°.°.°二、填空题(每小题分,共分).在空间直角坐标系中,平面的一个法向量为=(,-),已知点(-),则点到平面的距离等于..是二面角α--β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线,,如果∠=∠=°,∠=°,那么二面角α--β的大小为..空间点(),(-)间的距离是.三、解答题(共分).正方体-的棱长为,,分别为,的中点,求点到平面的距离.基础知识反馈卡·°.解:以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图,图则(),,,().∴=,=().设平面的一个法向量为=(,,),则(\\(·(,\(→))=,·(,\(→))=,))即(\\(-()=,=.))令=,则=.∴=().又=,∴点到平面的距离为===()).。
2018年高考总复习数学(理科)基础轻过关+考点巧突破课件:第七章 第6讲 双曲线
2 2 |PF2 | + | PF | - | F F 1 2 1 2| F1F2 = 4. 利用余弦定理可得 cos ∠ F1PF2 = 2|PF1|· |PF2|
4 22+2 22-42 3 = =4. 2×2 2×4 2
答案:C
考点2
求双曲线的标准方程
x2 y2 例 2:(1)(2016 年天津)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的 焦距为 2 5, 且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直, 则 双曲线的方程为( x2 2 A. 4 -y =1 3x2 3y2 C. 20 - 5 =1 )
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0)
图形
范围 性 对称性 质 顶点 渐近线
a 或 x≤_____ -a ,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a x≥____
对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± y =± ax bx
3.等轴双曲线 实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线,其渐近线方程 为 y=±x,离心率为 2 .
x2 2 1.(2015 年北京)已知双曲线a2-y =1(a>0)的一条渐近线
3 3 为 3x+y=0,则 a=________.
x2 2 1 解析:双曲线a2-y =1(a>0)的渐近线方程为 y=± ax, 3x 1 3 +y=0⇒y=- 3x,∵a>0,∴-a=- 3.∴a= 3 .
=6.解得|PF2|=9.故选 B. 答案:B
x2 y2 (2)(2011年大纲)已知 F1,F2 分别为双曲线 C:-— =1 9 27
2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡7-3圆的方程Word版含解析
基础知识反馈卡·7.3时间:20分钟 分数:60分一、选择题(每小题5分,共30分)1.若点(2a ,a +1)在圆x 2+(y -1)2=5的内部,则a 的取值范围是( )A .-1<a <1B .0<a <1C .-1<a <15D .-15<a <1 2.已知点A (1,-1),B (-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A .x 2+y 2=2B .x 2+y 2= 2C .x 2+y 2=1D .x 2+y 2=43.已知方程x 2+y 2-2x +2k +3=0表示圆,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-1)B .(3,+∞)C .(-∞,-1)∪(3,+∞) D.⎝⎛⎭⎫-32,+∞ 4.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )A .x 2+(y -2)2=1B .x 2+(y +2)2=1C .(x -1)2+(y -3)2=1D .x 2+(y -3)2=15.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A .(x -2)2+(y +1)2=1B .(x -2)2+(y +1)2=4C .(x +4)2+(y -2)2=4D .(x +2)2+(y -1)2=16.圆x 2+y 2-2x -2y +1=0上的点到直线x -y =2的距离的最大值是( ) A .2 B .1+ 2C .2+22D .1+2 2 二、填空题(每小题5分,共15分)7.圆(x -1)2+y 2=1的圆心到直线y =33x 的距离是____________. 8.圆x 2+y 2=1关于直线x +y -1=0的对称圆的方程为____________________.9.经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ,且与直线x +y =0垂直的直线的方程是____________.三、解答题(共15分)10.经过三点A (1,12),B (7,10),C (-9,2)的圆的标准方程.基础知识反馈卡·7.31.A 2.A 3.A 4.A 5.A 6.B 7.128.(x -1)2+(y -1)2=1 9.x -y +1=0 10.解:方法一,设圆的一般方程为:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 则⎩⎪⎨⎪⎧ 1+144+D +12E +F =0,49+100+7D +10E +F =0,81+4-9D +2E +F =0,解得D =-2,E =-4,F =-95.∴所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -95=0,即圆的标准方程为:(x -1)2+(y -2)2=100.方法二,由A (1,12),B (7,10),得A ,B 的中点坐标为(4,11),k AB =-13,则AB 的中垂线方程为:3x -y -1=0.同理得AC 的中垂线方程为x +y -3=0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -y -1=0,x +y -3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2. 即圆心坐标为(1,2),半径r =(1-1)2+(2-12)2=10.∴所求圆的标准方程为:(x -1)2+(y -2)2=100.。
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第9章 第6讲 双曲线 Word版含解析
第6讲 双曲线最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知 识 梳 理1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1,F 2(|F 1F 2|=2c >0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零),则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0:(1)若a <c 时,则集合P 为双曲线; (2)若a =c 时,则集合P 为两条射线; (3)若a >c 时,则集合P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质1.判断正误(在括号内打“√”或“³”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线方程x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xm±yn=0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.()解析(1)因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.(3)当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案(1)³(2)³(3)³(4)√(5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)解析∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2,由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2³2|m|=4,解得|m|=1,∴-1<n<3,故选A.答案 A3.(2015·湖南卷)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53解析 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线方程为y =±ba x ,则点(3,-4)在直线y =-b a x 上,即-4=-3b a ,所以4a =3b ,即b a =43,所以e =1+b 2a 2=53.故选D.答案 D4.(2015·全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y =±12x ,则该双曲线的标准方程为________.解析 根据渐近线方程为x ±2y =0,可设双曲线方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,3),所以42-4³(3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x24-y 2=1.答案 x 24-y 2=15.(选修2-1P62A6改编)经过点A (3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析 设双曲线的方程为:x 2-y 2=λ(λ≠0),把点A (3,-1)代入,得λ=8,故所求方程为x 28-y 28=1. 答案 x 28-y 28=16.(2017·乐清调研)以椭圆x 24+y 2=1的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________,离心率为________.解析 由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则a =4-1=3,c =2,∴b 2=c 2-a 2=4-3=1,故双曲线方程为x 23-y 2=1,其渐近线方程为y =±33x ,离心率为e =233. 答案 y =±33x 233考点一双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2017·杭州模拟)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB 是以B为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=()A.1+2 2B.4-2 2C.5-2 2D.3+2 2(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,66),当△APF周长最小时,该三角形的面积为________.解析(1)如图所示,因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,|BF1|=|AF2|+|BF2|,所以|AF2|=2a,|AF1|=4a.所以|BF1|=22a,所以|BF2|=22a-2a.因为|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,所以(2c)2=(22a)2+(22a-2a)2,所以e2=5-2 2.(2)设左焦点为F1,|PF|-|PF1|=2a=2,∴|PF|=2+|PF1|,△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF 周长最小即为|AP|+|PF1|最小,当A,P,F1在一条直线时最小,过AF1的直线方程为x-3+y66=1.与x2-y28=1联立,解得P点坐标为(-2,26),此时S=S△AF1F-S△F1PF=12 6.答案(1)C(2)12 6规律方法“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧:经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1||PF2|的联系.提醒利用双曲线的定义解决问题,要注意三点①距离之差的绝对值.②2a<|F1F2|.③焦点所在坐标轴的位置.【训练1】 (1)如果双曲线x 24-y 212=1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么点P 到它的左焦点的距离是( ) A.4 B.12 C.4或12D.不确定(2)(2016·九江模拟)已知点P 为双曲线x 216-y 29=1右支上一点,点F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,M 为△PF 1F 2的内心,若S △PMF 1=S △PMF 2+8,则△MF 1F 2的面积为( ) A.27B.10C.8D.6解析 (1)由双曲线方程,得a =2,c =4.设F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,根据双曲线的定义|PF 1|-|PF 2|=±2a ,∴|PF 1|=|PF 2|±2a =8±4,∴|PF 1|=12或|PF 1|=4. (2)设内切圆的半径为R ,a =4,b =3,c =5, 因为S △PMF 1=S △PMF 2+8, 所以12(|PF 1|-|PF 2|)R =8, 即aR =8,所以R =2, 所以S △MF 1F 2=12·2c ·R =10. 答案 (1)C (2)B考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例2-1】 (2015·全国Ⅰ卷)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→²MF 2→<0,则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-36,36C.⎝⎛⎭⎪⎫-223,223D.⎝⎛⎭⎪⎫-233,233 解析 因为F 1(-3,0),F 2(3,0),x 202-y 20=1,所以MF 1→·MF 2→=(-3-x 0,-y 0)·(3-x 0,-y 0)=x 20+y 20-3<0,即3y 20-1<0,解得-33<y 0<33. 答案 A命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2-2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D.2(2)(2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x +y =0垂直,则双曲线的方程为( ) A.x 24-y 2=1 B.x 2-y 24=1C.3x 220-3y 25=1D.3x 25-3y 220=1解析 (1)设F 1(-c ,0),将x =-c 代入双曲线方程, 得c 2a 2-y 2b 2=1,所以y 2b 2=c 2a 2-1=b 2a 2, 所以y =±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1=13,所以tan ∠MF 2F 1=|MF 1||F 1F 2|=b 2a 2c =b 22ac =c 2-a 22ac =c 2a -a 2c =e 2-12e =24,所以e 2-22e -1=0,所以e =2,故选A.(2)由题意得c =5,b a =12,则a =2,b =1,所以双曲线的方程为x 24-y 2=1. 答案 (1)A (2)A规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练2】 (1)(2017·慈溪调研)设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相交于点O ,所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233,2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233,2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233,+∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233,+∞ (2)(2017·武汉模拟)已知双曲线x 2-y 23=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则P A 1→²PF 2→的最小值为________. 解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ,所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称,并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°,双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°,否则不满足题意.可得b a >tan 30°,即b 2a 2>13,c 2-a 2a 2>13,所以e >233.同样的,当b a ≤tan 60°,即b 2a 2≤3时,c 2-a 2a 2≤3,即4a 2≥c 2,∴e 2≤4,∵e >1,所以1<e ≤2. 所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤233,2.(2)由题可知A 1(-1,0),F 2(2,0).设P (x ,y )(x ≥1),则P A 1→=(-1-x ,-y ),PF 2→=(2-x ,-y ),P A 1→·PF 2→=(-1-x )(2-x )+y 2=x 2-x -2+y 2=x 2-x -2+3(x 2-1)=4x 2-x -5.因为x ≥1,函数f (x )=4x 2-x -5的图象的对称轴为x =18,所以当x =1时,P A 1→·PF 2→取得最小值-2. 答案 (1)A (2)-2 考点三 双曲线的综合问题【例3】 (1)已知椭圆x 2a 2+y 29=1(a >0)与双曲线x 24-y 23=1有相同的焦点,则a 的值为( ) A. 2B.10C.4D.34(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x -y +1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________.解析 (1)因为椭圆x 2a 2+y 29=1(a >0)与双曲线x 24-y 23=1有相同的焦点(±7,0),则有a 2-9=7,所以a =4.(2)设P (x ,y )(x ≥1),因为直线x -y +1=0平行于渐近线x -y =0,所以c 的最大值为直线x -y +1=0与渐近线x -y =0之间的距离,由两平行线间的距离公式知,该距离为12=22. 答案 (1)C (2)22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解.(2)解决直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍.【训练3】 (2016·天津卷)已知双曲线x 24-y 2b 2=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( ) A.x 24-3y 24=1 B.x 24-4y 23=1 C.x 24-y 24=1D.x 24-y 212=1解析 由双曲线x 24-y 2b 2=1(b >0)知其渐近线方程为y =±b2x , 又圆的方程为x 2+y 2=4,①不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B ,将y =b2x 代入方程①式,可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫44+b2,2b 4+b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形,其相邻两边长为84+b2,4b 4+b2,故8³4b 4+b 2=2b ,得b 2=12. 故双曲线的方程为x 24-y 212=1. 答案 D[思想方法]1.与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2-y 2b 2=t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x 2a 2-y 2b 2=0就是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的两条渐近线方程. [易错防范]1.双曲线方程中c 2=a 2+b 2,说明双曲线方程中c 最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±b a x ,y 2a 2-x 2b 2=1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y =±ab x .4.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017·台州调研)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y =±12x B.y =±22x C.y =±2xD.y =±2x解析 因为2b =2,所以b =1,因为2c =23,所以c =3,所以a =c 2-b 2=2,所以双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±22x ,故选B. 答案 B2.(2015·广东卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =54,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 23=1 B.x 29-y 216=1 C.x 216-y 29=1D.x 23-y 24=1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e =c a =54,所以c =5,a =4,b 2=c 2-a 2=9,所以所求双曲线方程为x 216-y 29=1,故选C.答案 C3.(2016·浙江卷)已知椭圆C 1:x 2m 2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2:x 2n 2-y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则( ) A.m >n 且e 1e 2>1 B.m >n 且e 1e 2<1 C.m <n 且e 1e 2>1D.m <n 且e 1e 2<1解析 由题意可得:m 2-1=n 2+1,即m 2=n 2+2, 又∵m >0,n >0,故m >n .又∵e 21·e 22=m 2-1m 2·n 2+1n 2=n 2+1n 2+2·n 2+1n 2=n 4+2n 2+1n 4+2n2=1+1n 4+2n 2>1,∴e 1·e 2>1. 答案 A4.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34D.45解析 由x 2-y 2=2,知a =b =2,c =2. 由双曲线定义,|PF 1|-|PF 2|=2a =22, 又|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|=42,|PF 2|=22,在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c =4,由余弦定理,得 cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=34.答案 C5.(2017·杭州调研)过双曲线x 2-y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A ,B 两点,则|AB |=( ) A.433B.2 3C.6D.4 3解析 由题意知,双曲线x 2-y 23=1的渐近线方程为y =±3x ,将x =c =2代入得y =±23,即A ,B 两点的坐标分别为(2,23),(2,-23),所以|AB |=4 3. 答案 D 二、填空题6.(2015·浙江卷)双曲线x 22-y 2=1的焦距是________,渐近线方程是________. 解析 由双曲线方程得a 2=2,b 2=1,∴c 2=3,∴焦距为23,渐近线方程为y =±22x .答案 23 y =±22x7.(2016·北京卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a =________.解析 取B 为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2,∴c =|OB |=22, 又∠AOB =π4, ∴ba =tan π4=1,即a =b . 又a 2+b 2=c 2=8,∴a =2. 答案 28.(2016·山东卷)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.解析 由已知得|AB |=2b 2a ,|BC |=2c ,∴2³2b 2a =3³2c .又∵b 2=c 2-a 2,整理得:2c 2-3ac -2a 2=0,两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2-3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a -2=0,即2e 2-3e -2=0,解得e =2或e =-1(舍去). 答案 2 三、解答题9.(2017·宁波十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点P (4,-10). (1)求双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→²MF 2→=0.(1)解 ∵e =2,∴可设双曲线的方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,-10), ∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线的方程为x 2-y 2=6.(2)证明 法一 由(1)可知,a =b =6, ∴c =23,∴F 1(-23,0),F 2(23,0),∴k MF 1=m 3+23,k MF 2=m3-23,k MF 1²k MF 2=m 29-12=-m 23.∵点M (3,m )在双曲线上,∴9-m 2=6,m 2=3, 故k MF 1²k MF 2=-1, ∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→²MF 2→=0.法二 由(1)可知,a =b =6,∴c =23, ∴F 1(-23,0),F 2(23,0),MF 1→=(-23-3,-m ),MF 2→=(23-3,-m ), ∴MF 1→²MF 2→=(3+23)³(3-23)+m 2=-3+m 2, ∵点M (3,0)在双曲线上,∴9-m 2=6,即m 2-3=0, ∴MF 1→²MF 2→=0. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;(2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →²OB →>2(其中O 为原点),求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0), 则a 2=3,c 2=4,再由a 2+b 2=c 2,得b 2=1. 故C 2的方程为x 23-y 2=1. (2)将y =kx +2代入x 23-y 2=1, 得(1-3k 2)x 2-62kx -9=0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点,得⎩⎨⎧1-3k 2≠0,Δ=(-62k )2+36(1-3k 2)=36(1-k 2)>0,∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=62k 1-3k 2,x 1x 2=-91-3k 2. ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2) =(k 2+1)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+2=3k 2+73k 2-1.又∵OA →²OB →>2,得x 1x 2+y 1y 2>2, ∴3k 2+73k 2-1>2,即-3k 2+93k 2-1>0, 解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1,故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33,1.能力提升题组 (建议用时:30分钟)11.过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 27-y 29=1 C.x 28-y 28=1D.x 212-y 24=1解析 由双曲线方程知右顶点为(a ,0),不妨设其中一条渐近线方程为y =ba x ,因此可得点A 的坐标为(a ,b ).设右焦点为F (c ,0),由已知可知c =4,且|AF |=4,即(c -a )2+b 2=16,所以有(c -a )2+b 2=c 2,又c 2=a 2+b 2,则c =2a ,即a =c2=2,所以b 2=c 2-a 2=42-22=12.故双曲线的方程为x 24-y 212=1,故选A.答案 A12.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤1,52B.⎝⎛⎦⎥⎤1,72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52,+∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72,+∞ 解析 由条件,得|OP |2=2ab ,又P 为双曲线上一点,从而|OP |≥a ,∴2ab ≥a 2,∴2b ≥a ,又∵c 2=a 2+b 2≥a 2+a 24=54a 2,∴e =c a ≥52.答案 C13.(2016·浙江卷)设双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是________. 解析 如图,由已知可得a =1,b =3,c =2,从而|F 1F 2|=4,由对称性不妨设点P 在右支上,设|PF 2|=m ,则|PF 1|=m +2a =m +2,由于△PF 1F 2为锐角三角形,结合实际意义需满足⎩⎨⎧(m +2)2<m 2+42,42<(m +2)2+m 2, 解得-1+7<m <3, 又|PF 1|+|PF 2|=2m +2, ∴27<2m +2<8. 答案 (27,8)14.已知双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为2x +y =0,且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程;(2)设P 为双曲线上一点,A ,B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若AP→=PB →,求△AOB 的面积.解(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b =2,|2³0+a |5=255,解得⎩⎨⎧a =2,b =1,故双曲线的方程为y 24-x 2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y =±2x ,设A (m ,2m ),B (-n ,2n ),其中m >0,n >0,由AP →=PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m -n 2,m +n . 将点P 的坐标代入y 24-x 2=1,整理得mn =1.设∠AOB =2θ,∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ=2,则tan θ=12,从而sin 2θ=45. 又|OA |=5m ,|OB |=5n , ∴S △AOB =12|OA ||OB |sin 2θ=2mn =2.15.(2017·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程;(2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 左支交于A 、B 两点,求k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0,m ),求m 的取值范围.解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0). 由已知得:a =3,c =2,再由a 2+b 2=c 2,得b 2=1, ∴双曲线C 的方程为x 23-y 2=1.(2)设A (x A ,y A )、B (x B ,y B ),将y =kx +2代入x 23-y 2=1,得(1-3k 2)x 2-62kx -9=0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1-3k 2≠0,Δ=36(1-k 2)>0,x A+x B=62k1-3k2<0,x A x B=-91-3k2>0,解得33<k <1.∴当33<k <1时,l 与双曲线左支有两个交点. (3)由(2)得:x A +x B =62k1-3k 2,∴y A +y B =(kx A +2)+(kx B +2) =k (x A +x B )+22=221-3k 2. ∴AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1-3k 2,21-3k 2. 设直线l 0的方程为:y =-1k x +m , 将P 点坐标代入直线l 0的方程,得m =421-3k 2. ∵33<k <1,∴-2<1-3k 2<0. ∴m <-2 2.∴m 的取值范围为(-∞,-22).。
2018年高考总复习数学理科课时作业:第7章 第6讲 双曲
第6讲 双曲线1.(2015年湖南)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.532.(2015年天津)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.x 221-y 228=1B.x 228-y 221=1 C.x 23-y 24=1 D.x 24-y 23=1 3.如图X7-6-1,F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ,B 两点.若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为( )图X7-6-1A.13B.15 C .2 D. 34.(2015年新课标Ⅱ)已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )(导学号 58940343)A. 5 B .2 C. 3 D. 25.(2015年新课标Ⅰ)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 上的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( )(导学号 58940344)A.⎝⎛⎭⎫-33,33B.⎝⎛⎭⎫-36,36 C.⎝⎛⎭⎫-223,223 D.⎝⎛⎭⎫-233,233 6.(2015年浙江)双曲线x 22-y 2=1的焦距是________,渐近线方程是________.7.(2016年北京)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a =______________.8.已知P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上的点,F 1,F 2是其焦点,双曲线的离心率是54,且PF 1→·PF 2→=0,若△PF 1F 2的面积为9,则a +b 的值为________.9.已知圆C 1:(x -4)2+y 2=1,圆C 2:x 2+(y -2)2=1,圆C 1,C 2关于直线l 对称. (1)求直线l 的方程;(2)直线l 上是否存在点Q ,使点Q 到点A (-2 2,0)的距离减去点Q 到点B (2 2,0)的距离的差为4?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.10.(2016年上海)双曲线x 2-y 2b2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A ,B 两点.(导学号 58940345)(1)若l 的倾斜角为π2,△F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b =3,若l 的斜率存在,且|AB |=4,求l 的斜率.第6讲 双曲线1.D 解析:因为双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),∴3b =4a .∴9(c 2-a 2)=16a 2.∴e =c a =53.故选D.2.D 解析:双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±bax ,因为点(2,3)在渐近线上,所以b a =32.因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4 7x 的准线x =-7上,所以c=7.由此可解得a =2,b = 3.所以双曲线方程为x 24-y 23=1.故选D.3.A 解析:设|AB |=3x ,|BF 2|=4x ,|AF 2|=5x ,所以|BF 1|=2a +4x ,|AF 1|=5x -2a ,所以|AB |=4a -x =3x .解得a =x . 所以|BF 1|=6a ,|BF 2|=4a .由题意有36a 2+16a 2=4c 2,c 2a2=13,e =13.4.D 解析:设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),如图D120,|AB |=|BM |,∠ABM=120°,过点M 作MN ⊥x 轴,垂足为N ,在Rt △BMN 中,|BN |=a ,|MN |=3a ,故点M 的坐标为M (2a ,3a ),代入双曲线方程,得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2.所以e = 2.故选D.图D1205.A 解析:由题设知,F 1(-3,0),F 2(3,0),x 202-y 20=1,所以MF 1→·MF 2→=(-3-x 0,-y 0)·(3-x 0,-y 0)=x 20+y 20-3=3y 20-1<0.解得-33<y 0<33.故选A. 6.23 y =±22x 解析:由题意得:a =2,b =1,c =a 2+b 2=2+1=3,∴焦距为2c =2 3.渐近线方程为y =±b a x =±22x .7.2 解析:∵四边形OABC 是正方形,∴∠AOB =45°,即直线OA 方程为y =x ,此为双曲线的渐近线,因此a =b ,又由题意知,|OB |=2 2,∴a 2+a 2=(22)2,a =2.故填2.8.7 解析:设|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,则由△PF 1F 2面积为9及PF 1→·PF 2→=0可得xy =18.∴x 2+y 2=4c 2.故(x -y )2=4c 2-36=4a 2,又e =54,∴c =5,a =4.∴b =3.∴a +b =7.9.解:(1)因为圆C 1,C 2关于直线l 对称,圆C 1的圆心C 1的坐标为(4,0),圆C 2的圆心C 2的坐标为(0,2),显然直线l 是线段C 1C 2的中垂线, 线段C 1C 2中点的坐标是(2,1),C 1C 2的斜率是k =y 1-y 2x 1-x 2=0-24-0=-12.所以直线l 的方程是y -1=-1k(x -2),即y =2x -3.(2)假设这样的点Q 存在.因为点Q 到点A (-2 2,0)的距离减去点Q 到点B (2 2,0)的距离的差为4,所以点Q 在以A (-2 2,0)和B (2 2,0)为焦点,实轴长为4的双曲线的右支上,即c =2 2,a =2,b 2=c 2-a 2=4.所以点Q 在曲线x 24-y 24=1(x ≥2)上.又点Q 在直线l 上,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -3,x 24-y 24=1,消元,得3x 2-12x +13=0.Δ=122-4×3×13<0,方程组无解, 所以直线l 上不存在满足条件的点Q .10.解:(1)设A (x A ,y A ).由题意,得F 2(c,0),c =1+b 2,y 2A =b 2(c 2-1)=b 4.因为△F 1AB 是等边三角形,所以2c =3|y A |, 即4(1+b 2)=3b 4.解得b 2=2.故双曲线的渐近线方程为y =±2x .(2)由已知知F 2(2,0).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l :y =k (x -2).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2-y 23=1,y =k (x -2),得(k 2-3)x 2-4k 2x +4k 2+3=0.因为l 与双曲线交于两点,所以k 2-3≠0,且Δ=36(1+k 2)>0.由x 1+x 2=4k 2k 2-3,x 1x 2=4k 2+3k 2-3,得(x 1-x 2)2=36(k 2+1)()k 2-32,故|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=6(k 2+1)|k 2-3|=4.解得k 2=35,故l 的斜率为±155.。
高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡 7.8轨迹与方程 Word版含解析
基础知识反馈卡·7.8时间:20分钟 分数:60分一、选择题(每小题5分,共30分)1.设椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m >0,n >0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.x 216+y 212=1B.x 212+y 216=1C.x 248+y 264=1D.x 264+y 248=1 2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(-5,0),点P 位于该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1 B .x 2-y 24=1 C.x 22-y 23=1 D.x 23-y 22=1 3.已知点F (1,0),直线l :x =-1,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( )A .双曲线B .椭圆C .圆D .抛物线4.已知点P 是直线2x -y +3=0上的一个动点,定点M (-1,2),Q 是线段PM 延长线上的一点,且|PM |=|MQ |,则Q 点的轨迹方程是( )A .2x +y +1=0B .2x -y -5=0C .2x -y -1=0D .2x -y +5=0 5.已知两定点A (1,1),B (-1,-1),动点P 满足P A →·PB →=x 22,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .拋物线6.过点(2,-2)且与双曲线x 24-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( ) A.y 212-x 23=1 B.y 23-x 212=1C.x 212-y 23=1 D.x 23-y 212=1 二、填空题(每小题5分,共15分)7.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点P (2,4),则该抛物线的方程是________.8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (2,0)为其右焦点,过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C 的方程为________.9.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的焦点坐标为________________;渐近线方程为____________.三、解答题(共15分)10.已知两点M (-1,0),N (1,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN →|·|NP →|=MN →·MP →.求动点P 的轨迹方程.基础知识反馈卡·7.81.A 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.y 2=8x 8.x 24+y 22=1 9.(-4,0),(4,0) y =±3x10.解:设P (x ,y ),则MN →=(2,0),NP →=(x -1,y ),MP →=(x +1,y ).由|MN →|·|NP →|=MN →·MP →, 得2(x -1)2+y 2=2(x +1).化简,得y 2=4x .所以动点P 的轨迹方程为y 2=4x .。
2018年高考数学总复习 9.6 双曲线
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= 2a ; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= 2b ; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长
知识梳理 考点自测
-7-
1yb0.2过y=双1. 曲线xa
2 2
−
y2 b2
=1(a>0,b>0)上一点
M(x0,y0)的切线方程为xa02x
知识梳理 考点自测
-5-
3.双曲线的性质
标准方程
x2 a2
−
y2 b2
=1(a>0,b>0)
y2 a2
−
bx22=1(a>0,b>0)
图形
知识梳理 考点自测
-6-
标准方程 范围 对称性 顶点 渐近线
性 离心率 质 a,b,c
的关系
实虚轴
x2 a2
−
by22=1(a>0,b>0)
y2 a2
−
bx22=1(a>0,b>0)
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的 距故离点大M,与的C轨1的迹距方离程小为),其x2-中���8���2=a=11(,xc≤=3-1,则). b2=8.
知识梳理 考点自测
-11-
3.(2017 全国Ⅰ,文 5)已知 F 是双曲线 C:x2-���3���2=1 的右焦点,P 是 C
上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为
高考数学总复习 第七章 第7讲 双曲线 理
( C)
A. 22,0
B. 25,0
C. 26,0
D.( 3,0)
4.(2013年江苏)双曲线
x2 16
-
y2 9
=1的两条渐近线的方程为
__y_=__±_34_x_____.
考点 1 求双曲线的标准方程
例1:(1)(2014年江西)过双曲线C:
x2 a2
-
y2 b2
=1的右顶点作x
轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、
A.y=±14x
B.y=±13x
C.y=±12x
D.y=±x
解析:e=ac =
5 2
,设a=2m,c=
5 m,则b=m.根据渐近
线公式可知答案选C.
答案:C
【规律方法】离心率是双曲线几何性质中的一个重点问题.
求离心率的常用方法有两种:①求得a,c的值,直接代入公式e= c a
求得;②列出关于a,b,c的齐次式(或不等式),利用b2=c2-a2消去b,
解析:e=ac=
42+1=
5 2.
2.(2013年陕西)双曲线
x2 16
-
y2 m
=1的离心率为
5 4
,则m等于
____9____.
解析:因为离心率为54,所以4c=5a,又因为a2=16,b2=
m,且c2=a2+b2,所以经计算可知答案为9.
3.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为
质 渐近线
A1(-a,0),A2(a,0) y=±bax
A1(0,-a),A2(0,a) y=±abx
离心率
e=ac,e∈(1,+∞),其中c= a2+b2
(续表)
2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第九章第五节双曲线Word版含解析
第五节双曲线突破点(一)双曲线的定义和标准方程1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线;(2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).[例1](1)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8(2)已知圆C:(x-3)2+y2=4,定点A(-3,0),则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M 的轨迹方程为________.[解析](1)由双曲线的方程得a=1,c=2,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2.在△PF1F2中,由余弦定理得本节主要包括2个知识点:1.双曲线的定义和标准方程;双曲线的几何性质.|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos 60°, 即(22)2=|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2| =(|PF 1|-|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2| =22+|PF 1|·|PF 2|. 解得|PF 1|·|PF 2|=4.故选B. (2)设动圆M 的半径为R , 则|MC |=2+R ,|MA |=R , ∴|MC |-|MA |=2,由双曲线的定义知,M 点的轨迹是以A ,C 为焦点的双曲线的左支,且a =1,c =3, ∴b 2=8,则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-y 28=1(x ≤-1).[答案] (1)B (2)x 2-y 28=1(x ≤-1)[方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.双曲线的标准方程1.定义法根据双曲线定义,确定a 2,b 2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:①c 2=a 2+b 2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . 2.待定系数法 (1)其一般步骤为:(2)待定系数法求双曲线方程的五种类型[例2] (1)过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )A.x 24-y 212=1 B.x 27-y 29=1C.x 28-y 28=1 D.x 212-y 24=1 (2)与椭圆x 24+y 2=1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24-y 2=1 B.x 22-y 2=1C.x 23-y 23=1 D .x 2-y 22=1[解析] (1)因为渐近线y =ba x 与直线x =a 交于点A (a ,b ),c =4且(4-a )2+b 2=4,解得a =2,b 2=12,因此双曲线的标准方程为x 24-y 212=1.(2)法一:椭圆x 24+y 2=1的焦点坐标是(±3,0).设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),因为双曲线过点P (2,1), 所以4a 2-1b2=1,又a 2+b 2=3,解得a 2=2,b 2=1,所以所求双曲线方程是x 22-y 2=1.法二:设所求双曲线方程为x 24-λ+y 21-λ=1(1<λ<4), 将点P (2,1)的坐标代入可得44-λ+11-λ=1, 解得λ=2(λ=-2舍去),所以所求双曲线方程为x 22-y 2=1.[答案] (1)A (2)B[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x 轴上或y 轴上,则设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a ,b ,c 的方程组,解出a 2,b 2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解).(2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的一般方程为mx 2+ny 2=1(mn <0).能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]设F 1,F 2是双曲线x 2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于( )A .4 2B .8 3C .24D .48解析:选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ ||PF 1|-|PF 2||=2,3|PF 1|=4|PF 2|,解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|=8,|PF 2|=6.又|F 1F 2|=2c =10,则由|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2可得△PF 1F 2是直角三角形,则S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=24,故选C.2.[考点二]已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e =54,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C的标准方程为( )A.x 24-y 23=1 B.x 29-y 216=1C.x 216-y 29=1 D.x 23-y 24=1解析:选C ∵e =c a =54,F 2(5,0),∴c =5,a =4,则b 2=c 2-a 2=9,∴双曲线C 的标准方程为x 216-y 29=1.3.[考点二](2016·天津高考)已知双曲线x 24-y 2b 2=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )A.x 24-3y 24=1 B.x 24-4y 23=1C.x 24-y 24=1 D.x 24-y 212=1解析:选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y =±b2x ,圆的方程为x 2+y 2=4,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=4,y =b2x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =44+b 2,y =2b 4+b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-44+b 2,y =-2b4+b 2,即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为44+b2,2b 4+b2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形,其相邻两边长为84+b2,4b 4+b 2,故8×4b (4+b 2)2=2b ,得b 2=12.故双曲线的方程为x 24-y 212=1.故选D.4.[考点一]已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=________.解析:由题可知a =2,c =2.∵由双曲线的定义有|PF 1|-|PF 2|=|PF 2|=2a =22,∴|PF 1|=2|PF 2|=42,则cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=(42)2+(22)2-422×42×22=34.答案:34突破点(二) 双曲线的几何性质求双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令x 2a 2-y 2b 2=0,得y =±b a x ;或令y 2a 2-x 2b 2=0,得y =±ab x .反之,已知渐近线方程为y =±b a x ,可设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=λ(a >0,b >0).[例1] (1)已知双曲线的渐近线方程为y =±12x ,且经过点A (2,-3),则双曲线的标准方程为( )A.x 28-y 232=1 B.y 28-x 232=1 C.4x 27-y 27=1 D.x 27-4y 27=1(2)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆O :x 2+y 2=a 2的两条切线,切点为A ,B ,双曲线左顶点为C ,若∠ACB =120°,则双曲线的渐近线方程为( )A .y =±3xB .y =±33xC .y =±2xD .y =±22x[解析] (1)若焦点在x 轴上,设所求双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),因为双曲线的渐近线方程为y =±12x ,所以b a =12.①因为A (2,-3)在双曲线上, 所以4a 2-9b 2=1.②①②联立,无解.若焦点在y 轴上,设所求双曲线的标准方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),因为双曲线的渐近线方程为y =±12x ,所以a b =12.③因为A (2,-3)在双曲线上, 所以9a 2-4b2=1.④③④联立,解得a 2=8,b 2=32. 所以所求双曲线的标准方程为y 28-x 232=1.(2)如图所示,连接OA ,OB ,设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2c (c >0),则C (-a,0),F (-c,0).由双曲线和圆的对称性知,点A 与点B 关于x 轴对称,则∠ACO =∠BCO =12∠ACB =12×120°=60°.因为|OA |=|OC |=a ,所以△ACO 为等边三角形, 所以∠AOC =60°.因为FA 与圆O 切于点A ,所以OA ⊥FA ,在Rt △AOF 中,∠AFO =90°-∠AOF =90°-60°=30°, 所以|OF |=2|OA |,即c =2a , 所以b =c 2-a 2=(2a )2-a 2=3a ,故双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ,即y =±3x . [答案] (1)B (2)A1.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ,b ,c 的值,由c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2直接求e .(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助于b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.双曲线的形状与e 的关系k =ba =c 2-a 2a =c 2a2-1=e 2-1,e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔.[例2] (1)中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52(2)已知点F 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(1,2)C .(2,1+2)D .(1,1+2)[解析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),所以其渐近线方程为y =±ba x ,因为点(4,-2)在渐近线上,所以b a =12,根据c 2=a 2+b 2,可得c 2-a 2a 2=14,解得e 2=54,即e=52. (2)若△ABE 是锐角三角形,只需∠AEF <45°,在Rt △AFE 中,|AF |=b 2a,|FE |=a +c ,则b 2a <a +c ,即b 2<a 2+ac ,即2a 2-c 2+ac >0,则e 2-e -2<0,解得-1<e <2,又e >1,则1<e <2,故选B.[答案] (1)D (2)B[易错提醒]求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围.求参数或变量的取值范围[例3] 已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若1MF ·2MF <0,则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-33,33 B.⎝⎛⎭⎫-36,36 C.⎝⎛⎭⎫-223,223D.⎝⎛⎭⎫-233,233[解析] 由题意知a =2,b =1,c =3, ∴F 1(-3,0),F 2(3,0),∴1MF =(-3-x 0,-y 0),2MF =(3-x 0,-y 0). ∵1MF ·2MF <0,∴(-3-x 0)(3-x 0)+y 20<0,即x 20-3+y 20<0.∵点M (x 0,y 0)在双曲线上,∴x 202-y 20=1,即x 20=2+2y 20,∴2+2y 20-3+y 20<0,∴-33<y 0<33. [答案] A1.[考点一]双曲线x 24-y 2=1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为( )A.255B.455C.233D .1解析:选A 双曲线x 24-y 2=1的右顶点为(2,0),渐近线方程为x ±2y =0,点(2,0)到x ±2y=0的距离d =|2|1+4=255,故选A.2.[考点二]已知曲线x 24+y 2b =1,则当b ∈[-4,-2]时,该曲线的离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤62,3 B .[2, 6 ] C.⎣⎡⎦⎤62,2 D .[6,2 2 ]解析:选C 当b ∈[-4,-2]时,曲线为双曲线,即双曲线x 24-y 2-b =1,则c 2=4-b ,离心率e =ca =4-b 2∈⎣⎡⎦⎤62,2,故选C.3.[考点一]已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b 2=1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为( )A .x ±2y =0 B.2x ±y =0 C .x ±2y =0D .2x ±y =0解析:选A 椭圆C 1的离心率为a 2-b 2a,双曲线C 2的离心率为a 2+b 2a,所以a 2-b 2a ·a 2+b 2a =32,所以a 4-b 4=34a 4,即a 4=4b 4,所以a =2b ,所以双曲线C 2的渐近线方程是y =±12x ,即x ±2y =0.4.[考点三]在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2m -y 2m 2+4=1的离心率大于6,则m的取值范围为________.解析:由双曲线方程可得m >0,所以e =m +m 2+4m>6,解得m >4或m <1.由m >0,故可得m 的取值范围为(0,1)∪(4,+∞).答案:(0,1)∪(4,+∞)5.[考点二]过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为________.解析:如图所示,不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ,又直线l 过右焦点F (c,0),则直线l 的方程为y =ba (x -c ).因为点P 的横坐标为2a ,代入双曲线方程得4a 2a 2-y 2b 2=1,化简得y =-3b 或y =3b (点P 在x 轴下方,舍去),故点P 的坐标为(2a ,-3b ),代入直线方程得-3b =ba (2a -c ),化简可得离心率e =ca =2+ 3.答案:2+ 3[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国甲卷)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D .2解析:选A 作出示意图,如图,离心率e =c a =2c 2a =|F 1F 2||MF 2|-|MF 1|,由正弦定理得e =|F 1F 2||MF 2|-|MF 1|=sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2-sin ∠MF 2F 1=2231-13=2.故选A.2.(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A .(-1,3)B .(-1,3)C .(0,3)D .(0,3)解析:选A 由题意得(m 2+n )(3m 2-n )>0,解得-m 2<n <3m 2,又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m 2+n +3m 2-n =4,即m 2=1,所以-1<n <3.3.(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A. 5B .2 C. 3D. 2解析:选D 不妨取点M 在第一象限,如图所示,设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则|BM |=|AB |=2a ,∠MBx =180°-120°=60°,∴M 点的坐标为()2a ,3a .∵M 点在双曲线上,∴4a 2a 2-3a 2b2=1,a =b ,∴c =2a ,e =ca = 2.故选D.4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3B .3 C.3m D .3m解析:选A 双曲线C 的标准方程为x 23m -y 23=1(m >0),其渐近线方程为y =±33mx =±mm x ,即my =±x ,不妨选取右焦点F (3m +3,0)到其中一条渐近线x -my =0的距离求解,得d =3m +31+m= 3. 5.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C :x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,66).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________.解析:设双曲线的左焦点为F 1,由双曲线方程x 2-y 28=1可知,a =1,c =3,故F (3,0),F 1(-3,0).当点P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF |-|PF 1|=2,所以|PF |=|PF 1|+2,从而△APF 的周长为|AP |+|PF |+|AF |=|AP |+|PF 1|+2+|AF |. 因为|AF |=32+(66)2=15为定值,所以当(|AP |+|PF 1|)最小时,△APF 的周长最小,由图象可知,此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示). 由题意可知直线AF 1的方程为y =26x +66,由⎩⎪⎨⎪⎧y =26x +66,x 2-y 28=1,得y 2+66y -96=0,解得y =26或y =-86(舍去), 所以S △APF =S △AF 1F -S △PF 1F =12×6×66-12×6×26=12 6. 答案:12 66.(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y =±12x ,则该双曲线的标准方程为________.解析:∵双曲线的渐近线方程为y =±12x ,∴可设双曲线的方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,3),∴λ=16-4×(3)2=4,∴双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.答案:x 24-y 2=1[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1.已知双曲线x 2a 2-y 23=1(a >0)的离心率为2,则a =( )A .2 B.62 C.52D .1解析:选D 因为双曲线的方程为x 2a 2-y 23=1,所以e 2=1+3a 2=4,因此a 2=1,a =1.选D.2.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .y =±2xB .y =±2xC .y =±12xD .y =±22x解析:选B 在双曲线中离心率e =ca = 1+⎝⎛⎭⎫b a 2=3,可得b a =2,故双曲线的渐近线方程是y =±2x .3.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( )A .2 B. 3 C. 2D.32解析:选C 由渐近线互相垂直可知⎝⎛⎭⎫-b a ·ba =-1,即a 2=b 2,即c 2=2a 2,即c =2a ,所以e = 2.4.(2016·天津高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x +y =0垂直,则双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1 B .x 2-y 24=1C.3x 220-3y 25=1 D.3x 25-3y 220=1解析:选A 由焦距为25,得c = 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x +y =0垂直,所以b a =12.又c 2=a 2+b 2,解得a =2,b =1,所以双曲线的方程为x 24-y 2=1.5.(2016·北京高考)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a =________.解析:不妨令B 为双曲线的右焦点,A 在第一象限,则双曲线如图所示.∵四边形OABC 为正方形,|OA |=2, ∴c =|OB |=22,∠AOB =π4.∵直线OA 是渐近线,方程为y =b a x ,∴ba =tan ∠AOB =1,即a =b . 又∵a 2+b 2=c 2=8,∴a =2. 答案:2[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.若实数k 满足0<k <9,则曲线x 225-y 29-k =1与曲线x 225-k -y 29=1的( )A .离心率相等B .虚半轴长相等C .实半轴长相等D .焦距相等解析:选D 由0<k <9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上,由25+9-k =25-k +9,得两双曲线的焦距相等.2.已知双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ,且经过点(2,2),则C 的方程为( ) A.x 23-y 212=1 B.x 212-y 23=1 C.y 23-x 212=1 D.y 212-x 23=1 解析:选A 由题意,设双曲线C 的方程为y 24-x 2=λ(λ≠0),因为双曲线C 过点(2,2),则224-22=λ,解得λ=-3,所以双曲线C 的方程为y 24-x 2=-3,即x 23-y 212=1. 3.设F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为( )A.52B.102C.152D. 5解析:选B 因为∠F 1AF 2=90°,故|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,又|AF 1|=3|AF 2|,且|AF 1|-|AF 2|=2a ,所以|AF 1|=3a ,|AF 2|=a ,则10a 2=4c 2,即c 2a 2=52,故e =c a =102(负值舍去).4.设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点.若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A .±12B .±22C .±1D .±2解析:选C 由题设易知A 1(-a,0),A 2(a,0),Bc ,b 2a ,C ⎝⎛⎭⎫c ,-b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ,∴b 2a c +a ·-b 2a c -a =-1,整理得a =b .∵渐近线方程为y =±ba x ,即y =±x ,∴渐近线的斜率为±1. 5.(2017·江南十校联考)已知l 是双曲线C :x 22-y 24=1的一条渐近线,P 是l 上的一点,F 1,F 2分别是C 的左、右焦点,若1PF ·2PF =0,则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C .2D.263解析:选C 由题意知F 1(-6,0),F 2(6,0),不妨设l 的方程为y =2x ,点P (x 0,2x 0),由1PF ·2PF =(-6-x 0,-2x 0)·(6-x 0,-2x 0)=3x 20-6=0,得x 0=±2,故点P 到x 轴的距离为2|x 0|=2,故选C.6.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1与直线y =2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )A .(1,5)B .(1, 5 ]C .(5,+∞)D .[5,+∞)解析:选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y =b a x ,则由题意得b a >2,∴e =ca = 1+⎝⎛⎭⎫b a 2>1+4= 5.即双曲线离心率的取值范围为(5,+∞). 二、填空题7.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为y =±2x ,则双曲线C 的方程为________________.解析:易得椭圆的焦点为(-5,0),(5,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=5,b a =2,∴a 2=1,b 2=4,∴双曲线C 的方程为x 2-y 24=1.答案:x 2-y 24=18.过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ,B ,若v 1F A =AB ,则双曲线的渐近线方程为____________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x +c ,y =-b a x 得x =-aca +b ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +c ,y =b a x ,解得x =ac b -a ,不妨设x A =-ac a +b ,x B =ac b -a ,由1F A =AB 可得-aca +b +c =ac b -a +ac a +b, 整理得b =3a .所以双曲线的渐近线方程为3x ±y =0. 答案:3x ±y =09.设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2b2=1的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限内的点,若|AF 2|=2且∠F 1AF 2=45°,延长AF 2交双曲线右支于点B ,则△F 1AB 的面积等于______.解析:由题意可得|AF 2|=2,|AF 1|=4,则|AB |=|AF 2|+|BF 2|=2+|BF 2|=|BF 1|.又∠F 1AF 2=45°,所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形,则|AB |=|BF 1|=22,所以其面积为12×22×22=4. 答案:410.(2016·山东高考)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.解析:如图,由题意知|AB |=2b 2a ,|BC |=2c .又2|AB |=3|BC |, ∴2×2b 2a =3×2c , 即2b 2=3ac ,∴2(c 2-a 2)=3ac ,两边同除以a 2并整理得2e 2-3e -2=0,解得e =2(负值舍去). 答案:2 三、解答题11.已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).点M (3,m )在双曲线上. (1)求双曲线的方程; (2)求证:1MF ·2MF =0; (3)求△F 1MF 2的面积. 解:(1)∵e =2,∴双曲线的实轴、虚轴相等. 则可设双曲线方程为x 2-y 2=λ. ∵双曲线过点(4,-10), ∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线方程为x 26-y 26=1.(2)证明:不妨设F 1,F 2分别为左、右焦点, 则1MF =(-23-3,-m ),2MF =(23-3,-m ).∴1MF ·2MF =(3+23)×(3-23)+m 2=-3+m 2, ∵M 点在双曲线上, ∴9-m 2=6,即m 2-3=0, ∴1MF ·2MF =0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|=4 3. 由(2)知m =±3.∴△F 1MF 2的高h =|m |=3,∴S △F 1MF 2=12×43×3=6.12.中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且|F 1F 2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P 为这两曲线的一个交点,求cos ∠F 1PF 2的值.解:(1)由题知c =13,设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线方程为x 2m 2-y 2n2=1,则⎩⎪⎨⎪⎧a -m =4,7·13a=3·13m ,解得a =7,m =3.则b =6,n =2.故椭圆方程为x 249+y 236=1,双曲线方程为x 29-y 24=1.(2)不妨设F 1,F 2分别为左、右焦点,P 是第一象限的一个交点,则|PF 1|+|PF 2|=14,|PF 1|-|PF 2|=6,所以|PF 1|=10,|PF 2|=4. 又|F 1F 2|=213,所以cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=102+42-(213)22×10×4=45.。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第8章 第6节 双曲线 Word版含解析
第六节双曲线[考纲传真] .了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).理解数形结合的思想.了解双曲线的简单应用..双曲线的定义为非零常数(<)的点的轨迹平面内与两个定点,(=>)的距离之差的()绝对值叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的.焦点()集合={-=},=,其中,为常数且>,>.①当<时,点的轨迹是双曲线;②当=时,点的轨迹是两条射线;当③>时,点不存在..双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为=±,离心率为=..(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)()平面内到点(),(,-)距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线.()()方程-=(>)表示焦点在轴上的双曲线.( ) ()双曲线方程-=λ(>,>,λ≠)的渐近线方程是-=,即±=.( )()等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( )[答案]()×()×()√()√.(教材改编)已知双曲线-=(>)的离心率为,则=( ).[依题意,===,∴=,则=,=.].(·福州质检)若双曲线:-=的左、右焦点分别为,,点在双曲线上,且=,则等于( )..[由题意知=,=,∴=.由双曲线的定义-=-==,∴=.].(·全国卷Ⅰ)已知方程-=表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的取值范围是( ).(-,).(-).(,).()[∵原方程表示双曲线,且两焦点间的距离为.∴(\\(++-=,,(+((-(>,))则(\\(=,,-<<,))因此-<<.].(·北京高考)双曲线-=(>,>)的渐近线为正方形的边,所在的直线,点为该双曲线的焦点.若正方。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
基础知识反馈卡·7.6
时间:20分钟 分数:60分
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( )
A .2
B .2 2
C .4
D .4 2
2.若方程y 24-x 2
m +1
=1表示双曲线,则实数m 的取值范围是( ) A .-1<m <3 B .m >-1
C .m >3
D .m <-1
3.若双曲线x 2a 2-y 23
=1(a >0)的离心率为2,则a 等于( ) A .2 B. 3 C.32
D .1 4.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0),离心率等于32,则C 的方程是( ) A.x 24-y 25=1 B.x 24-y 25=1 C.x 22-y 25=1 D.x 22-y 2
5=1 5.若双曲线x 24-y 212
=1上的一点P 到它的右焦点的距离为8,则点P 到它的左焦点的距离是( )
A .4
B .12
C .4或12
D .6
6.下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是( ) A .x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D .y 2-x 24
=1 二、填空题(每小题5分,共15分)
7.双曲线x 210-y 2
2
=1的焦距为________. 8.双曲线x 216-y 2m =1的离心率为54,则m 等于________. 9.已知双曲线x 29-y 2a
=1的右焦点的坐标为(13,0),则该双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题(共15分)
10.双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,求C 的焦距.
基础知识反馈卡·7.6
1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.4 3 8.9 9.2x ±3y =0 10.解:双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a
x , 焦点(c,0)到渐近线的距离为d =|bc |a 2+b 2=|bc |c =b =3, 离心率为e =c a
=2,b 2=c 2-a 2,∴3=4a 2-a 2,a 2=1,c =2,则C 的焦距等于4.。