复数讲义

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复数讲义(含知识点和例题及解析)

数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。

若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。

2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。

(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。

3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。

②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。

③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。

④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。

(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。

复数及其运算-讲义(学生版)

复数及其运算一、课堂目标1．熟练掌握复数的相关概念及其几何意义并能熟练运用在解题中．2．熟练掌握复数代数形式的四则运算并会运用在解题中．3．掌握实系数一元二次方程两根的关系并会应用在解题中．4．理解复数的三角形式并能进行相关运算．二、知识讲解1. 复数的概念知识精讲（1）复数的概念形如的数叫复数.其中叫做虚数单位.（）规定：①复数中，把称为实部，称为虚部.②全体复数所形成的集合叫做复数集.一般用字母表示.即.③复数通常可以用字母表示，记作，这一表示形式称为复数的代数形式.（2）复数的分类已知复数①当时，则，为实数；特别地，当，且时，为实数.②当时，为虚数；特别地，当，且时，为纯虚数.（3）复数的相等规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若..知识点睛（1）复数的分类归纳：（2）且（3）一般地，两个复数只能判断是否相等，不能比较大小（只有两复数均为实数时才比较大小）复数实数虚数纯虚数非纯虚数经典例题1.的实部是，虚部是．A.B.或C.D.2.复数与复数相等，则实数的值为（）巩固练习3.已知，则，．经典例题（1）（2）（3）4.已知复数，当实数为何值时，为实数．为虚数．为纯虚数．A.或B.或C.D.5.若复数，则实数的值是（）巩固练习6.设（），当时，为实数；当时，为纯虚数．2. 复数的几何意义知识精讲（1）几何意义（一）——复平面内容：复数复平面内的点对几何意义（一）的解释，如下图：一方面，根据复数相等的定义，复数被它的实部与虚部唯一确定，即复数被有序实数对唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点.因此，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即：复数复平面内的点.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．（2）共轭复数①概念：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数的共轭复数记为，因此，当时，有.②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点睛要注意的地方：（1）“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外；（2）复平面内各象限内的点均表示虚数；（3）复平面内点的坐标是，而不是.经典例题A. B.C. D.7.已知复数，则复平面内对应的点的坐标为（）．A. B.C.D.8.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．巩固练习A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.复数，则在复平面内对应的点所在象限为（）．A. B.C.D.10.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）．经典例题A.B.C.D.11.若复数的共轭复数是（）．A. B.C.D.12.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（）．巩固练习A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.设，则在复平面内对应的点位于（）．经典例题14.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．巩固练习15.满足下列条件的复数对应的点的集合分别是什么图形？．知识精讲（2）几何意义（二）——复数的向量表示内容：复数平面向量对几何意义（二）的解释，如下图：因为平面直角坐标系中的点能唯一确定一个以原点为始点、为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中，以为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即：复数平面向量.知识精讲（3）复数的模一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模长用表示，因此.特别地：①当时，②一般地，两个互为共轭复数的模相等，即经典例题A.B. C. D.16.已知为虚数单位，则（）．巩固练习A. B. C. D.17.设为虚数单位，则复数的模（）．经典例题18.若复数满足，则的最大值是．巩固练习19.设复数满足条件，那么的最大值是．3. 复数的运算——加减法知识精讲（1）复数的加法运算法则设，是任意两个复数，则有：．（2）复数的减法运算法则①复数的相反数：一般地复数记作，并规定②设，是任意两个复数，则有：知识点睛（1）加法的运算规律：交换律：结合律：（2）关于复数的模的结论经典例题20.若（，是虚数单位），则的值为．21.设为虚数单位，复数，，则．巩固练习22.复数，其中是虚数单位，则复数的虚部是．23.已知复数，满足：，则的值为．4. 复数的运算——乘除法知识精讲复数的乘法运算法则①乘法运算法则：设，是任意两个复数，则有：②的次方：个相同的复数相乘时，称为的次方（或的次幂），并记作.知识点睛（1）复数的乘法运算律对于任意的，有==（2）复数的乘方运算律即对于任何复数及正整数、，有、、经典例题24.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．25.若，，其中为虚数单位，且，则．巩固练习26.设复数满足行，且是纯虚数，则．经典例题A. B.C.D.27.复数等于（）．巩固练习28.复数．知识精讲复数的除法运算法则①除法运算法则：设，是任意两个复数②复数的倒数：一般地，给定复数，称为的倒数.除以的商也可以看成与的倒数之积.知识点睛同实数类似，可以定义非零复数的次幂与负整数次幂，即当为非零复数且是正整数时，规定：经典例题A. B.C. D.29.若(其中为虚数单位)，则复数的虚部是（）．30.已知复数（为虚数单位），则．巩固练习31.设复数满足（是虚数单位），则复数的虚部为．5. 实数系一元二次方程在复数范围内的解集知识精讲设一元二次方程为.当时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根引入复数后，当时，方程有两个不相等的虚数根可以发现这两个虚数根是一对共轭复数.、、且知识点睛一元二次方程的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即引入复数后，在复数集中，实系数的二次三项式总可以分解成两个一次因式的乘积，即经典例题A. B.C. D.32.若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是（）．巩固练习33.若是实系数一元二次方程的一个根，则．6.复数三角形式知识精讲（1）复数的三角形式复数可表示为，称为复数的三角形式．是复数的模．是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，称作复数的辐角.显然，任何一个非零复数的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差的整数倍，并且在范围内的辐角的值称为复数的辐角主值，记作．经典例题A.B.C.D.34.已知，则复数的三角形式为（）．巩固练习（1）（2）（3）35.将下列复数表示为三角形式：知识精讲（2）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①乘法运算的三角表示设，，．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②几何意义两个复数相乘时，如下图，先分别画出对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义.知识点睛（1）复数乘法的几何意义可归纳为：模相乘，辐角相加（2）根据上述两个复数三角形式的乘法几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘，特别的，如果，则知识精讲（3）复数除法运算的三角表示及其几何意义①除法运算的三角表示设，，．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．②几何意义与乘法类似，还能得到两个复数相除的几何意义，例如，任意一个复数除以，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转.经典例题36.设，，则．巩固练习37.计算．11三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测A.B. C. D.38.在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）．A.的虚部为B.的共轭复数为C.D.在复平面内对应的点在第三象限内39.已知复数，则下列说法正确的是（）．40.已知复满足（其中为虚数单位），则．。

复数-解析版(一轮复习讲义)

复数复数的概念和基本运算【知识精讲】 1 复数的定义1）概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② 12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=3）复数的定义要注意以下几点：○1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘○2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a cb d=⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+.2 复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.3 复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数 4 复数的模向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-5.复数的其他形式(1)复数的三角形式：设z 对应复平面内的点Z ，连接OZ ，设xOZ θ∠=，OZ r =，则cos ,sin a r b r θθ==，所以()cos sin z r i θθ=+，这种形式称为三角形式.则θ称为的辐角.若02θπ≤<，则θ称为z 的辐角主值，记作()arg z θ=，r 称为z 的模，也记作z ，由勾股定理可知z =(2)复数的指数形式：,0,i z e r R θθ=≥∈(3)复数的向量形式：()(),,z a b a b R =∈，复数的向量形式可以很好体现复数的几何意义. 6.共轭复数：若bi a z +=(,a b R ∈)，则z a bi =-称为z 的共轭复数. 性质：(1)1212z z z z ±=± (2) 1212z z z z ⋅=⋅ (3)22z z z z ⋅==(4)1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)1212z z z z ⋅=⋅(6)1122z z z z = (7)121212z z z z z z -≤±≤+ (8)222212121222z z z z z z ++-=+(9)若1,z =则1z z=.7.复数的运算(1)加法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di a c b d i +++=+++两个复数相加，实部和实部相加的结果为实部，虚部和虚部相加的结果为虚部. (2)乘法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++两个复数相加乘，可以参照多项式乘法相乘，最后合并同类项.(3)减法运算：给定两个复数12,z z ，满足条件12z z z +=的复数z 叫做复数2z 减去1z 的差，记作21z z z =-.(4)除法运算：给定两个复数12,z z ，且10z ≠，满足条件12z z z =的复数z 叫做复数2z 除以去1z 的商，记作21z z z =. 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad iz a bi z z c di c di c di c d+-++-+====++-+ (5)开方运算：给定复数1z ，满足条件1nz z =的复数z 叫做复数1z 的n 次方根. 注解：一个不为0的复数z ，有n 个不同的n 次方根.任意一元n 次方程有n 个复数根.(6)按向量形式，加减法满足平行四边形和三角形法则.(7)按照三角形式，若()()11112222cos sin ,cos sin z r z r θθθθ=+=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ⋅=+++⎡⎤⎣⎦如20z ≠，则()()11121222cos sin z r i z r θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ 8. 隶莫弗定理：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦9.开方：若()cos sin nz r i θθ=+，则22cos sin k k z i n n θπθπ++⎫=+⎪⎭，其中()0,1,2,,1k n =⋅⋅⋅-.10.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z a bi =+是方程的一个根，则z a bi =-也是一个根.11.几个常用结论在复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数分别为1234,,,z z z z ，则 (1)()()1233212cos sin Z Z Z z z z z r i θθθ∠=⇔-=-⋅± (2)()43123421//z z Z Z Z Z k k R z z -⇔=∈-(3)()43123421z z Z Z Z Z ki k R z z -⊥⇔=∈-(4) 123,,Z Z Z 三点共线3121z z R z z -⇔∈- (5)123Z Z Z 的重心对应的复数为1233z z z ++ 12.复数表示的轨迹方程在复平面上的点12,Z Z 对应的复数分别为12,z z ，则 (1)1221Z Z z z =-表示复平面上12,Z Z 两点之间的距离； (2) 1z z r -=表示以1Z 为圆心，r 为半径的圆的方程； (3) ()1212+22z z z z a z z a --=-<表示椭圆； (4) ()1212+22z z z z a z z a --=-=表示线段； (5) ()121222z z z z a z z a ---=->表示双曲线； (6) ()121222z z z z a z z a ---=-=表示两条射线； (4) 12=z z z z --表示垂直平分线方程；13. 在复平面上的点123,,Z Z Z 对应的复数分别为123,,z z z ，则123Z Z Z 的面积为()1231223311Im 2Z Z Z Sz z z z z z =++ 【典型例题】例1．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z =（） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i + D ．1i -【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解.【解】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选：B. 例2．已知复数z 满足()()2i 2i 1i z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】本题首先可根据复数的乘法运算得出33i z =-，然后根据复数z 在复平面内对应的点为()3,3-即可得出结果.【解】()()2i 2i 1i z +=+-，即()()22i 1i 2i 22i i i 2i 33i z =+-=-+-=---，则复数z 在复平面内对应的点为()3,3-，在第四象限，故选：D.例3．欧拉恒等式：π10i e +=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：()cos sin i e i R θθθθ=+∈中，令πθ=得到的．根据欧拉公式，4i e 复平面内对应的点在（）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】直接利用欧拉公式化简求解，结合三角函数值的符号，即可判定复数对应的点所在的象限，得到答案.【解】由题意，欧拉公式()cos sin i e i R θθθθ=+∈，可得4cos 4sin 4i e i =+，因为cos 40,sin 40<<，所以4i e 复平面内对应的点(cos 4,sin 4)在第三象限.故选：C.【变式3-1】（不定项选择题）欧拉公式i cos isin x e x x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．i422e π=- B ．i2e π为纯虚数C ．复数i x e 的模长等于1D ．i3e π的共轭复数为12-i【答案】BCD【分析】由i cos isin x e x x =+，将所求复数化为()i ,z a b a R b R =+∈∈的形式，进而逐项判断可得其正误．【解】对A ，因为icos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ），所以i4e π=，故A 错；对B ，i 2i e π=为纯虚数，故B 正确；对C ，复数i x e 1=，故C 正确；对D ，i312e π=+其共轭复数为12-，故D 正确．故选：BCD ．【变式3-2】欧拉公式i cos isin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1iz+表示成三角形式为________．3π3πcos sin 44i ⎫+⎪⎝⎭【分析】根据欧拉公式i cos isin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以13π3πcos sin 1+1244z i i i -⎫==+⎪+⎝⎭.故答案为：3π3πcos sin 244i ⎫+⎪⎝⎭【变式3-3】已知i cos isin x x x e =+，则2022i e 对应的点位于复平面的第________象限．【答案】四【分析】根据题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，结合2022是第四象限角，判断出cos 20220,sin 20220><，即可求出结果.【解】由题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，因为2022是第四象限角，所以cos 20220,sin 20220><，而2022i cos 2022isin 2022e =+对应的点是()cos2022,sin 2022在第四象限，故答案为：四.例4.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先根据图形求出,OA OB ，进而得到122i,i z z =--=，结合复数的减法运算即可求出12z z -，从而求得所对应的点所在的象限.【解】由图可知()()2,1,0,1OA OB =--=，所以122i,i z z =--=，因此122i i=22i z z -=-----，所以12z z -在复平面内所对应的点为()2,2--，在第三象限，故选：C.例5.已知z 是关于x 的方程20x x a ++=的根，且z =则实数a =（）A ．B ．5-C ．5D 【答案】C【分析】根据共轭复数的性质得出25z z z ⋅==，结合根与系数的关系得出实数a 的值. 【解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对出现，25z z z ⋅==，∴5a =．故选：C【变式5-1】若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 【答案】2【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现的性质得出另一根，然后由韦达定理得结论．【解】因为1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，所以1i -也是方程的根，所以(1i)(1i)2c =+-=．故答案为：2．例6.若复数z 满足1i 3z -+=，则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于（） A ．3 B ．9C ．6πD ．9π【答案】D【分析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.【解】复数z 满足()13z i --=，表示复数z 对应的点的轨迹是以点()1,1-为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于239S ππ=⨯=.故选：D【变式6-1】已知复数z 1，z 2满足|z 1|=1，|z 2|=5，则|z 1-z 2|的最小值是________．【答案】4【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解】由1||1z =，2||5z =，可得1z ，2z 所对应点的轨迹分别为以原点为圆心，以1和5为半径的圆，12||z z -的几何意义为两圆上点的距离，由图可知，最小值为514-=．故答案为：4．【变式6-2】复数012i z =-，3z =，则0z z -的最大值是_____.【答案】【分析】设()i ,z a b a b R =+∈根据已知条件可得复数z 对应的点的轨迹，再利用复数模的几何意义即可求解.【解】设()i ,z a b a b R =+∈，则229a b +=，所以复数z 对应的点(),Z a b 的轨迹为以()0,0为圆心，3r =为半径的圆，即圆229x y +=，()()012i z z a b -=-++，0z z -=表示点(),a b 到点()1,2M -的距离，所以0z z -的最大值是33r OM +=+=+.故答案为：【变式6-3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足||1z =，i 为虚数单位，则|34i |z --的最小值为________．【答案】4【分析】令i z x y =+且,x y R ∈，根据复数模的几何意义可知|34i |z --表示(3,4)与圆221x y +=上的点的距离，即可求其最小值.【解】若i z x y =+且,x y R ∈，由题意知：221x y +=即为圆心为(0,0)半径为1的圆， ∵|34i |z --的几何意义：圆221x y +=上的点到点(3,4)的距离， ∴|34i |z --的最小值为圆心(0,0)与(3,4)的距离减去半径1，∴min |34i |14z --==. 故答案为：4【变式6-4】若z C ∈且11z -=，则z 最大值是_______________. 【答案】3【分析】先分析出z 的轨迹可看成圆()(212:11O x y -+=，根据几何法可以得到z 表示圆上的点到原点的距离，即可求出z 最大值.【解】11z -=的几何意义为复平面动点到定点(距离为1的点的轨迹，可看成圆()(212:11O x y -+=，z 表示圆上的点到原点的距离，所以z 最大值为圆O 1到原点距离加上半径1，即 max 1=3z .故答案为：3.【变式6-5】若复数z 满足11z i +-≤，则z 的最大值是___________．1【分析】设z a bi =+，可求得其轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，根据z 的几何意义可确定所求最大值为圆心到原点距离与半径之和.【解】设z a bi =+，则()1111z i a b i +-=++-=，()()22111a b ∴++-≤，z ∴对应点的轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，z表示z 对应的点到原点的距离，max 11z ∴==.1.例7.已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z =__________.【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出2i z =--，然后根据共轭复数以及复数的模的相关性质即可得出结果.【解】()212i i 12i 2i2i i i 1z -⨯-+====---，则2i z =-+，z ==例8.已知复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，则实数m =______. 【答案】3【分析】根据纯虚数满足的条件，得223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解方程即可求出结果.【解】因为复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，所以223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =，故答案为：3例9．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20212i i z -=，则复数z 的虚部为______.【答案】25【分析】根据复数的运算性质得到()2i i z -=，再结合复数的除法运算和复数的概念，即可求解.【解】由题意，复数z 满足()2021505412i ii i z ⨯+=-==，可得()()()i 2i i 12=i 2i 2i 2i 55z ⋅+==-+--+，所以复数z 的虚部为25. 故答案为：25. 例10. 若复数1z 2cos isin33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______．【答案】712π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【解】1212cosisincos isin 33244z z ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos isin cos isin 3344ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2coscosicossinisincosi sinsin34343434ππππππππ=+++cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝⎭1277cossin i 12ππ+=，所以12z z 的辐角的主值为712π. 故答案为：712π. 例11.如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是___________.【答案】22-- 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数【解】因为332i 2cos isin 22ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以由题意可得1OZ 对应的复数为3332cos isincos isin 22244ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦333cos isin 2424ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦553cos isin44ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭322⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭22=--，故答案为：i 22--例12. 设1z 、2z C ∈，若121z z ==，则2212z z -的最大值为______. 【答案】2【分析】根据已知条件，结合不等式，即可求解．【解】12||||1z z ==，∴22221211||||||112z z z z -+=+=．故答案为：2．例13.已知复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z +=，则12z z -=______.【分析】令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+，由12||z z +=22(cos cos )(sin sin )2A B A B +++=，从而2cos cos 2sin sin 0A B A B +=，由此能求出12||z z -．【解】复数1z ，2z 满足12||||1z z ==，∴令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+12||z z +=，22(cos cos )(sin sin )2A B A B ∴+++=，整理得2cos cos 2sin sin 0A B A B +=，又22212||(cos cos )(sin sin )22cos cos 2sin sin 2z z A B A B A B A B -=-+-=--=，12||z z ∴-=例14.i 是虚数单位，则202111i 1i kk =-⎛⎫=⎪+⎝⎭∑______．【答案】i -【分析】利用复数的运算法则、复数的周期性、数列求和公式即可得出．【解】21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2---===-++-，4(i)1-=，20214505(i)[(i)](i)i -=-⨯-=-， ∴()202120212021111i i [1(i)]i[1(i)]i i 1i 1(i)1(i)kk k k ==--⋅-----⎛⎫=-===- ⎪+----⎝⎭∑∑，故答案为：i -．例15.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈. （1）若z 是实数，求实数m 的值；（2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值. 【答案】（1）1m =或3；（2）5m =；（3）3m =.【分析】（1）结合z 是实数，得到2430m m -+=，解之即可求出结果；（2）结合z 是纯虚数，得到228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解之即可求出结果；（3）先求出复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，根据z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，得到2281543m m m m -+=-+，解之即可求出结果. 【解】（1）因为z 是实数，所以2430m m -+=，解得1m =或3；（2）因为z 是纯虚数，所以228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =；（3）复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，又因为z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，所以2281543m m m m -+=-+，解得3m =. 例16．已知复数32i23iz +=-. （1）求12i z --；（2）计算：234z z z z ++++……2021z +．【答案】（1（2）i .【分析】（1）根据复数除法法则化简z ，再由模的定义计算；（2）由i 的幂的性质分组计算得出结论．【解】化简 232i (32i)(23i)69i 4i 5i i 23i (23i)(23i)13z ++++++====--+（1）12i 1i z --=--，∴12i 1i z --=--=（2）计算22345i.i 1,i,1,i,z z z z z ===-=-==有44142431,,1,k k k k z z i z z i +++===-=-()k ∈Z ，且显然44142430k k k k z z z z ++++++=∴234z z z z ++++……20215050z z i +=⨯+=．43．已知复数22cossincos isin 9999z i ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求z 的共轭复数；（2）若复数0z =，求0z 在复平面内对应的点的坐标．【答案】（1）12-；（2）17⎛- ⎝⎭．【分析】（1）利用复数的乘法运算法则及两角和正余弦公式得到结果；（2）利用复数的除法运算法则及几何意义得到结果. 【详解】（1）因为2222coscossin sin i sin cos cos sin 99999999z ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以221cos isin i 999922z ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故z 的共轭复数为12；（2）因为017z ====-+，所以0z 在复平面内对应的点的坐标为17⎛- ⎝⎭.。

复数精品讲义

复数的引入<教师备案>（一）复数的诞生1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作《伟大的艺术》，在书中提出了三次方根的求根公式．同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为10时，积的最大值为25，故这样两个数一定不存在．从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程210400x x -+=的两个根，这个方程的判别式小于零，故没有实数解．卡丹给出答案：515+-与515--，但并不清楚这有什么意义．于是引发了一个重要问题，1-是什么？（二）复数与虚数．笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”，于是大家称1-为“虚数i”．莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间”．欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻”．（三）复数的意义引入1-后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的n 次方程都有根，且必有n 个根．（重根重复计算）一、复数的概念1．虚数单位i ：2i 1i 1=-=-，； 2．复数：所有形如i()a b a b +∈R ，的数就称为复数（complex number ），复数通常用小写字母z 表示，即z 的实部，z 的虚部．<教师备案>注意虚部是一个实数．如34i +3，虚部为4；的虚部为4-． 3．复数的分类：i z a b =+（a b ∈R ，） z 为实数（real number ）；z 为虚数（imaginary number ）；0a =，0b ≠时，z 称为纯虚数．<4i +是一个虚数，但不是一个纯虚数；i -是一个纯虚数．可以举例：若(1)(1)i z m m =++-，问z 是实数、虚数、纯虚数时，m 分别为多少？ z 是实数1m ⇔=；z 是虚数1m ⇔≠；z 是纯虚数1m ⇔=-．4．复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用C 表示，即{}|i z z a b a b ==+∈∈C R R ，，． <教师备案>常见数集的关系为：*N NZQRC ．数系都用黑粗体的字母表示，区别于普通的集合C R ，等．手写时有时习惯多加一道竖线加上区别．5．复数相等与比较大小：6.1 数系扩充知识点睛⑴相等的复数：i i a b c d +=+⇔a c =且b d =；⑵比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小．<教师备案> 注意：如果题目中出现12z z >，则一定有12z z ∈R ，；如果出现0z >，则一定有z ∈R ．复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的．两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数．例：21(3)i z n m =+-，2(2)(3)i z m n m =-+-，若12z z >，求m n ，的取值范围．只有实数比较大小，故3m =，2232n m n n >-=-，解得1n >或3n <-．讲完这些知识点可以先讲例1．6．对所有的实系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠，若240b ac ∆=-<，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根24i 22b ac b x a a-=-±互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．（讲完这个知识点再讲例2）考点1：复数的概念【例1】复数的概念⑴ x ∈R ，当x 取何值时，22(2)(32)i x x x x +-+-+是实数？虚数？纯虚数？⑵ 已知两个复数1()(4)i z x y xy =+-+()x y ∈R ，和2520i z =-+，当实数x y ，取何值时，1z 和2z 相等？【解析】 ⑴ 2320x x -+=时为实数1x ⇒=或者2x =；2320x x -+≠时为虚数1x ⇒≠且2x ≠；220x x +-=且2320x x -+≠时为纯虚数2x ⇒=-．⑵ 两个复数相等意味着实部和虚部都对应相等，所以： 5x y +=-，(4)20xy -+=解这个方程可得83x y =-⎧⎨=⎩或38x y =⎧⎨=-⎩．<教师备案>例2⑴是解实系数的一元二次方程；第⑵小题涉及到复系数的一元二次方程．易知实系数的一元二次方程与复系数的一元二次方程都有韦达定理成立，但实系数一元二次方程的判别式的相关结论对复系数的一元二次方程不正确．见易错门诊．解复系数的一元二次方程目前可以用的方法是设出解的形式，代入方程，利用复数相等得到两个等式，解得结果．这里先看一些最简单的情形，如例2⑵有实根存在的情形与易错门诊已知一根的情形．【例2】解一元二次方程⑴ 在复数集内解方程：①2450x x ++=；②210x x ++=；③42230x x --=． ⑵ 若方程22i 1i x mx x m ++=--有实根，求出实数m 的值，并求出此实根．【解析】 ⑴ ①2(2)1x +=-，故2i x +=±，2i x =-±；②因为1430∆=-=-<，所以原方程没有实根，只有两复根：1211313i 2x -±∆-±-===-±，．③22(3)(1)0x x -+=，故23x =或21x =-，故此方程的根有3x =±与i x =±；经典精讲⑵方程有实根，x ∈R ，利用复数相等的定义有 22212112x mx x x x x m⎧+=-⇒-=-⇒=±⎨=-⎩；而22m x m =-⇒=，即2m =-时，有实根1；2m =时，有实根1-．尖子班学案1【拓2】已知2i 0x kx +-=有一个根是i ，求另一个根及k 的值．【解析】因i 是其根，代入原方程为2i i i 0k +-=，由此得1i k =-，设0x 是另一根，则由根与系数的关系得0i i x =-，从而得01x =-．目标班学案1【拓3】解方程410x +=．【解析】将方程变形得：4222120x x x ++-=，即222(1)(2)0x x +-=，因式分解得22(21)(21)0x x x x ++-+=，2210x x ++=无实根，两个虚根为22i2x -±=； 2210x x -+=无实根，两个虚根为22i2x ±=；故原方程的解有四个，为2(1i)2(1i)2(1i)2(1i)2222+--+--，，，．<教师备案>我们习惯用处理实系数一元二次方程的方法来处理复系数的一元二次方程，但复系数的一元二次方程有些结论是不成立的，比如判别式非负时有实根存在（见题2）；并且我们在解方程时，会默认未知数为实数，从而导致一些比较明显的错误（见引入），这些都是在解决复数问题中经常遇到的．引入：解方程23i 0x x +=，求x ．【解析】 (3i)00x x x +=⇒=或3i x =-．关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．【解析】误解：∵方程有实根，∴22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-≥．解得5a ≥或5a -≤．分析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正解：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±．二、复数的几何意义知识点睛<教师备案> 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考：实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应．如1表示数轴上一个点，1-表示数轴上另一个点，它们关于0对称，也可以理解成1绕着原点O 逆时针旋转180︒，得到1-，如图．这相当于两次逆时针旋转90︒：1i i 1⨯⨯=-，故虚数i 就是1绕原点逆时针旋转90︒，故i 在如图所求的位置，它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上．由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面．用平面来理解复数是高斯在1831年提出的，这对复数被承认起到了很大的推动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立起了联系．这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义．1．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ．实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0．复数i z a b =+ ←−−→有序实数对()a b ， ←−−→点()Z a b ，←−−→向量OZ ． 2．复数的模：设i()OZ a b a b =+∈R ，，则向量OZ 的长度叫做复数i a b +的模（或绝对值），记作|i |a b +，22|i |a b a b +=+．【挑战五分钟】求下列复数的模①34i -=_____；②1i +=______；③13i 2--=_______；④26i +=_____．答案：①5；②2；③1；④22．经典精讲考点2：复数的几何意义【例3】复数的几何意义⑴ 设(3)(21)i z m m =++-，若z 对应的点在第四象限，求m 的范围．⑵ 设i z a b =+∈C ，在复平面内，满足条件0a >，0b >，24z <<的复数z 对应的点的集合是什么图形？⑶ 在复平面内，点A ，点B 所对应的复数分别为2i -+，15i +，那么AB 的中点C 对应的复数为____________．【解析】 ⑴由题意知30210m m +>⎧⎨-<⎩，解得132m -<<．⑵ 0a >，0b >表示第一象限的点，24z <<表示以原点O 半径为2和4的两圆所夹的圆环，综合起来是如右图所示的阴影部分（不包括边界）． ⑶ 13i 2-+；点A 的平面直角坐标是(21)-，，点B 的平面直角坐标是(15)，，中点C 的坐标是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以C 所对应的复数为13i 2-+．【点评】学习复数加减法的几何意义之后，111()(2i 15i)3i 222C A B z z z =+=-+++=-+．提高班学案1【拓1】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【解析】 D ；2222(1)10t t t -+=-+≠．数系扩充的历史<教师备案> 考虑到复数的引入时间较长，所以数系的扩充可以讲完上面这些例题再讲．数系的扩充中有很多生动的例子与故事，下面的文字中会陈述其中的一部分供老师上课时参考．（一）正整数人类最早认识的是正整数．中国的《周易》中就有结绳记事的说法，而结绳计事不仅在中国，也在希腊、波斯等各地出现，从结绳计数（事）慢慢发展出各种不同的计数方法，其中最重要和最美妙的记数法是十进制位置制计数法．（除了十进制外还有很多其它进制，如计算机中的二进制，角度中的60进制（巴比伦人曾经就用60进制位置定位数系）；除了位置制计数法也还其它计数方法，如古埃及的象形文字中有10进制非位置计数，罗马数字中的含加减运算的计数方法，也许这在法语中还在延续，在法语中79就是60109++，80就是420⨯，99用得上三则运算了，是420109⨯++，心算不好的千万别学法语！）（二）0的诞生0一开始是用空位表示的，后来用点⋅，再后来用句点，最后才成为0，是从印度诞生的，通过阿拉伯在13世纪引入欧洲（这是斐波那契的功劳，由于数字是从阿拉伯引入欧洲的，故被称为阿拉伯数字，虽然是由印度人发明的）．0的书写方法正好对应中文的“零”．（汉字中很早就有零，在《孙子算经》中有除百零伍便得之．但汉字中的零原义是加法，并不是真正的零）．（三）负数42y O x负数来源自减法运算，解出负数根．欧洲在16-17世纪普遍不承认负数的存在，包括帕斯卡、莱布尼兹、卡丹（认为仅仅是记号）、韦达、笛卡尔（负根叫做假根）．最开始的负数被认为没有意义，仅可以作为一个符号出现，但不能在结果中出现．负数比分数出现的更晚．（四）分数欧洲15世纪形成分数的真正算法，中国在春秋时期（公元前770年-前476年）就有了分数运算的法则．《九章算术》章一：方田，分数加法“田以乘子，并以为实，田相乘为法，实如法而一”，“其田同有，直相从之”．其中田指分母，子指分子．分数系对加、乘、除封闭，有了负数与分数，有理数系就形成了．（五）无理数无理数的发现与毕达哥拉斯学派以及第一次数学危机有关．毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，这个数最开始是最完美的整数，后来扩展成整数及整数之间的比，即分数．但毕达哥拉斯学派推出了著名的毕达哥拉斯定理，即中国的勾股定理，于是无理数的出现不可阻挡．比如边长为1的等腰直角三角形的斜边长无法表示成两个整数的比．我们会在证明题三大方法中用反证法证明这个结论．无理数的被承认也经过了很长的时间，毕达哥拉斯学派弟子希伯斯也因为发现或是传播无理数藏身大海，这也是“无理数”这个名字的由来．达芬奇（15世纪，意大利）称为“没有道理的数”、开普勒（17世纪，德国）说“不可名状的数”．在中国称无理数为算而不求其本质．有了无理数实数系就形成了．（六）复数系——完备的数系的形成复数系对加、减、乘、除是封闭的，对加法与乘法都满足交换律与结合律，加法与乘法之间满足分配律，满足这些性质的称为数系．到复数系，数系就完备了．想再将数系进行扩充，就会牺牲一些数系中的好的性质．三、复数的运算<教师备案>复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，要求是与实数运算一定是相融的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可．讲完运算可以接着做后面的练习．1．复数的加法定义：设1i z a b =+()a b ∈R ，，2i z c d =+()c d ∈R ，，定义12()()i z z a c b d +=+++．复数的加法运算满足交换律、结合律．几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-．几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3定义：(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++ 4．共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z i z a b =+时，i z a b =-．z z =．共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等．一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方．即2z z z ⋅=．<教师备案>“轭”字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对．通俗点说就是孪生．知识点睛有共轭双曲线的概念，22221x y a b -=与22221y x b a-=称为共轭双曲线，它们共渐近线．引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用2z z z ⋅=．复数的除法就是上下同乘分母的共轭复数．<教师备案>讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解．例：在下列命题中，正确命题的有______．①对任意复数z ，有z z -为纯虚数．②对任意复数z ，有z z +∈R ．③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；④z ∈R 的一个充要条件是z z =．答案：②④；①错误，z z -可以为0；③错误，z 为实数时，也有z z +∈R ．5．复数的除法22i (i)(i)(i)(i)i a b a b c d a b c d c d c d ++-+÷+==++， 22211i i i (i)(i)||a b a b z z a b a b a b a b z --====++-+，1z称为复数z （0z ≠）的倒数． <教师备案> 复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介绍复数的三角形式与棣莫佛定理，i n 与k ω的性质及与此相关的较复杂的复数的计算．复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩，这时复数首先要用模长与角度表示出来，如1i +表示模长为2，角度为45︒（称为幅角）的向量，一个复数乘以1i +即表示这个复数逆时针旋转45︒，模长再伸长到原来的2倍，如 (34i)(1i)17i ++=-+，如下图．这样(1i)(1i)2i ++=就非常好理解了．这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导，但不建议假期时展开．【挑战十分钟】计算下列各小题：⑴(32i)2(1i)(5i 1)--+++；⑵2(1i)-；⑶(2i)(3i)+-；⑷(34i)(43i)+-；⑸1i i +；⑹1i 1i -+；⑺43i 43i43i 43i -+++-；⑻2(1i)3(1i)2i ++-+；⑼213i ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】 ⑴2i +；⑵2i -；⑶7i +；⑷247i +；⑸1i -；⑹i -；⑺1425；⑻2i 33i 3i (3i)(2i)55i 1i 2i 2i 55+-----====-++； ⑼213i 223i 13i 3i ⎛⎫-----===-+ ⎪ ⎪⎝⎭．经典精讲考点3：复数的运算【铺垫】⑴已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．⑵已知复数z 满足1i 1zz-=+，则1z +等于______．【解析】 ⑴1-；注意a 是实数，复数为纯虚数，则实部为0，22(i)12i 2i a a a -=--=，则21a =且221a a =-⇒=-；⑵2；1i1i(1)i i i 1iz z z z --=+=+⇒==-+，故11i 2z +=-=．【例4】复数的运算⑴ 设复数11i z =+，22i z x =+()x ∈R ，若12z z 为实数，则x 等于．⑵ 若复数3i()12ia a +∈+R 为纯虚数，则实数a =_____．⑶如果复数2i12ib z -=+的实部与虚部互为相反数，则3zz z z ++=_______．【解析】⑴ 2-；复数为实数，虚部为0，而()()()()121i 2i 22i z z x x x =++=-++，所以20x +=，2x =-．⑵6-；3i (3i)(12i)(6)(32)i12i 55a a a a ++-++-==+为纯虚数，故606a a +=⇒=-； ⑶4；2i 12i b -+(2i)(12i)(12i)(12i)b --=+-224i 55b b -+=-，又实部与虚部互为相反数，即22455b b -+=，解得23b =-，故2(1i)3z =-，2(1i)3z =+，222233(1i)(1i)(1i)(1i)3333zz z z ++=⋅⋅-++-++84433=+=．提高班学案2【拓1】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数）【解析】由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()22a =+44(2)i a -++则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．尖子班学案2【拓2】已知221i 1z x x =++22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 ∵12z z >，∴42221()x x x a ++>+，∴22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩．综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．证明：分成直接证明与间接证明，直接证明的主要方法有综合法与分析法，间接证明主要是反证法． ⑴ 直接证明：①综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法；②分析法：最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法．<教师备案>在书写过程中用得比较多．比较复杂的问题往往需要同时从条件与结论入手，同时使用综合法与分析法得到结果．讲完直接证明可以先讲例题5及其拓展．⑵ 间接证明：常用的有反证法．反证法：先否定结论（假设原命题不成立），在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，说明假设错误，从而肯定结论的真实性．事实、原命题中的已知条件矛盾等．<教师备案>反证法是由p q ⇒转向证明：q r t ⌝⇒⇒⇒，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q ⌝为假，推出为真的方法．它的本质是：结论不成立是不行的！基础的二元论——非真即假．考虑使用反证法的情况有： ①条件太少；②一些典型的问题，包括否定性命题，唯一性命题，必然性命题，至少至多类命题，涉及无限结论的命题等．<教师备案>反证法首先需要正确的进行反设．例：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）A ．假设三个内角都大于60︒B ．假设三个内角都不大于60︒C ．假设三个内角至多有一个大于60︒D ．假设三个内角至多有两个大于60︒ 答案：A ．<教师备案>反证法的小例子：①伽利略在比萨斜塔上扔铁球，推翻亚里士多德的理论（即物体下落速度和重量成比例的学说，据传说是在1589年，实际上是假的） ②线面平行的判定定理和性质定理的证明．（判定定理：a b a b a ααα⊄⊂⇒∥，，∥．简单证明：如果a 与α不平行，则a A α=；a b ，确定平面β，则b α⊂，b β⊂，A A αβ⊂⊂，，于是A b ∈，从而a b A =，这与条件中a b ∥矛盾．性质定理的证明即假设线线不平行，则线线相交，从而线面相交，与已知矛盾，具体略去） ③证明质数有无限多个．（古希腊经典证明，欧几里得《几何原本》的命题20，原文“预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数．”）简单证明：如果结论不成立，即质数只有有限多个，记为12n p p p ，，，，则121n N p p p =⋅⋅+不是质数，故它一定有质因子，即存在某个i p ，i N p M =⋅，即12i i 12i 1i 11()1n n p p p p M p M p p p p p -+⋅⋅+=⇒-⋅=，这不可能．6.2 证明题三大方法知识点睛故假设错误，即质数有无穷多个． ④证明2是无理数．简单证明：如果结论不成立，即2是有理数，则∃m n ∈Z ，，m n ，互素，使得2mn=，故2m n =，两边平方得222m n =．从而2是m 的因子，从而4是2m 的因子，故2是2n 的因子，故m n ，有公因子2，它与m n ，互素矛盾．上面这些例子可以选讲，讲完这些例子后，可以接着讲后面的例6及拓展．考点4：分析法与综合法【例5】分析法与综合法已知a b c ∈R ，，，0a b c ++=， ⑴求证：0ab bc ac ++≤．⑵若0abc >，求证：1110a b c++<．⑶若a b c >>，求证：0a >，且2ca>-；⑷若a b c >>，求证：23b ac-<．【解析】 ⑴由0a b c ++=得a b c =--；∴()()()ab bc ac a b c bc b c b c bc ++=++=--++22223024c b bc c b c ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭≤．⑵111bc ac ab a b c abc++++=，由⑴知0ab bc ac ++≤，当且仅当002cc b =+=，，即0a b c ===时取等号，∵0abc >，故等号取不到，即0ab bc ac ++<，又∵0abc >，∴1110bc ac aba b c abc++++=<．⑶ ∵a b c >>，所以30a a b c >++=，即0a >；又∵b a c =--，a b >，所以a a c >--，所以2a c >-，又0a >，所以2c a >-，所以2ca>-．⑷法一：分析法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<，即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<，即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．法二：综合法因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，22221324b ac a ac c c a -++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，而1012c b c b a a a a ++=⇒=-->-，又0ca<，经典精讲11故(20)c a ∈-，，故213324c a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭提高班学案3【拓1】已知：00a b >>，【解析】法一：综合法∵00a b >>，，=+法二：分析法∵00a b >>，，移项整理得即证明(0a b -≥，即证明20≥，这显然成立，故原不等式得证．目标班学案2【拓3】求证：223)a b ab a b +++≥．【解析】法一：∵2222a b ab ab +≥≥，23a +≥≥，23b +≥≥，将此三式相加得222(3)2a b ab ++++≥∴223)a b ab a b +++≥．法二：要证223)a b ab a b ++++≥，即证222[3)]0a b ab a b ++-+≥，左边可以写成：222()((0a b a b -++≥，此不等式显然成立，且在a b == 法三：把原式视作关于变量a的不等式，即证：(()2230a b a b -++≥；①那么该不等式恒成立等价于其判别式(()22430b b ∆=+-+≤恒成立；整理∆得(223930b b ∆=-+-=-≤恒成立，所以不等式①即原不等式成立．考点5：反证法【铺垫】已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数．【解析】假设a b c d ，，，都是非负数，∵1a b c d +=+=，∴()()1a b c d ++=．又∵()()1a b c d ac bd ad bc ac bd ++=++++>≥，即11>，矛盾； ∴a b c d ，，，中至少有一个是负数．12第6讲·提高-尖子-目标·教师版【例6】反证法已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：111a b c，，不可能是等差数列．【解析】假设111a b c ，，是等差数列，则211b a c=+，又2b a c =+，两式联立消去b 得411a c a c =++，化简得：2()0a c -=，故a c =，这与0d ≠矛盾，故111a b c，，不可能是等差数列．【点评】本题结论还可以推广：a b c ，，与111a b c，，均不可能构成等比数列．尖子班学案3【拓2】证明：238，，不可能是同一等差数列中的三项．【解析】假设结论不成立，即存在一个等差数列{}n a ，公差为d ，使得238，，是其中三项，不妨记12(1)k a a k d ==+-，13(1)m a a m d ==+-，18(1)n a a n d ==+-．于是32()m k a a m k d -=-=-，83()n m a a n m d -=-=-，将这两个式子相除得83(223)(32)1632m k n m --==-+=+--，由*m n k ∈N ，，知m kn m-∈-Q ，故16+∈Q ，这不可能，故假设错误，238，，不可能是同一等差数列中的三项．目标班学案3 【拓3】实数a b c ，，满足000a b c ab bc ac abc ++>++>>，，，求证：a b c ，，均大于零．【解析】假设结论不成立，即a b c ，，中存在不大于零的数，不妨设0a ≤，由0abc >知，0a <，且0bc <，不妨设00b c <>，，由0a b c ++>知0c a b >-->，0a b +<．于是22()()()ab bc ac ab a b c ab a b a b a ab b ++=++<++--=---223024b a b ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，这与已知中0ab bc ac ++>矛盾，故假设不正确，即a b c ，，均大于零．【演练1】已知(32)(5)i 1910i a b a b ++-=+()a b ∈R ，，则a = ，b = ．【解析】 35，；32193510a b a a b +=⎧⇒=⎨-=⎩，5b =．【演练2】若3i z =-，则2z 的共轭复数是．【解析】223i +； 22(3i)223i z =-=-，2223i z =+．实战演练13【演练3】实数m 分别取什么数值时？复数22(56)(215)i z m m m m =+++--⑴ 与复数212i -相等；⑵ 与复数1216i +互为共轭；⑶ 对应的点在x 轴上方．【解析】 ⑴ 根据复数相等的充要条件得2256221512m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =-．⑵ 根据共轭复数的定义得22561221516m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解得1m =．⑶ 根据复数z 对应点在x 轴上方可得22150m m -->，解之得3m <-或5m >． ∴(3)(5)m ∈-∞-+∞，，．【演练4】若复数3i1ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（） A ．2- B ．4 C ．3- D ．6【解析】 C由3i (3i)(1i)3(3)i 33i 1i (1i)(1i)222a a a a a a ++-++-+-===+++-．因为复数3i 1i a ++是纯虚数，所以302a +=且302a-≠．解得3a =-．【演练5】若1x <，1y <，证明：11x yxy-<-．【解析】用分析法证明：要证明11x yxy-<-，即证明1x y xy -<-，即证明2222212x y xy xy x y +-<-+，不等式移项得即证明2222221(1)(1)0x y x y x y +--=-->．由11x y <<，知，2211x y <<，，故此不等式成立，原命题得证．【演练6】已知非零实数a b c ，，成等差数列，且公差0d ≠，求证：a b c ，，不可能是等比数列．【解析】假设结论不成立，即a b c ，，构成等比数列，则2b ac =．又2b a c =+，故222a c b ac +⎛⎫== ⎪⎝⎭，整理得：2()0a c -=，故a c b ==，这与已知中的公差0d ≠矛盾，故假设不成立，所以a b c ，，不可能是等比数列．。

高中数学竞赛第十五章复数【讲义】

第十五章复数一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。

便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。

所有复数构成的集合称复数集。

通常用C 来表示。

2．复数的几种形式。

对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。

若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。

若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。

模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。

高中数学复数讲义.教师版

知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：，，，．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ，，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

数学基础讲义-第九章复数

第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。

根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。

复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。

高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。

一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。

1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。

对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。

若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。

若240b ac，则方程有没有实根。

为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。

现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。

为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。

其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。

任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。

若将“1”看作“实数单位”，即：1 。

“实数单位”“1”1 。

可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。

2025届高考数学一轮复习——复数讲义

2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠；（3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。

2.1复数的运算讲义

复数的运算讲义知识要点：一、复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 二、复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 三、复数的加法运算满足交换律、结合律:z 1+z 2=z 2+z 1. (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 四、乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 五、乘法运算律：1、z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ；2、z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3；3、z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 六、复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bia ++七、除法运算规则：设复数a+bi(a ，b ∈R )，除以c+di(c ，d ∈R )，其商为x+yi(x ，y ∈R )，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di cd ++-+⋅-+-==++-+222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a+bi)÷(c+di)=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++. 八、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数九、复数与平面向量的联系1．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a+bi ，z 2=c+di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b)，2OZ =(c ，d)以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b)+(c ，d)=(a+c ，b+d)＝(a+c)+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a －c)+(b －d)i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c)+(b －d)i 21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.题型讲解：例1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2 计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i 例3 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例4 计算(12)(34i i +÷-解：(12)(34)i i +÷-1234i i +=-22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 例5 i43+解：ii i i 4342)1)(41(++++-22143247(7)(34)343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525i i ii ++--===-例6 已知z 是虚数，且z+z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数. 证明：设z=a+bi(a 、b ∈R 且b ≠0)，于是 z+z 1=a+bi+bia +1=a+bi+ib a bb b a a a b a bi a )(222222+-+++=+-. ∵z+z1∈R ，∴b －22b a b +=0. ∵b ≠0，∴a 2+b 2=1.∴22)1(])1][()1[()1()1(11ba bi a bi a bi a bi a z z ++-++-=+++-=+-.11212012])1()1[(12222i a b a bi a b a i b a b a b a +=+++=+++--+++-= ∵b ≠0，a 、b ∈R ，∴i a b1+例7 已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z 2－z 1=(1+2i)－(2+i)=－1+i ，∵z 的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0， ∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是z B －z A. ，而所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向例8 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x+yi(x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x+yi)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)i; -==(－1－2i)－(－2+i)=1－3i.∵=，即(x －1)+(y －2)i=1－3i ， ∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x故点D 对应的复数为2－i.随堂演练：1.已知复数z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z=z 2－z 1在复平面内所表示的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是（）A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i,其重心G 所对应的复数为1+i,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为（） A.32B.22C.2D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i,5+2i,则由A 、B 、C 所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数 6.设z=3+i,则z1等于（） A.3+i B.3－i C.101103+i D.i 101103+ 7.aib bia aib bi a +-+-+的值是（） A.0 B.i C.－iD.18.已知z 1=2－i,z 2=1+3i,则复数521z z i +的虚部为（） A.1B.－1C.iD.－i9.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____. 10.计算：(2x+3yi)－(3x －2yi)+(y －2xi)－3xi=________(x 、y ∈R ).11.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x=___________,y=___________. 12.已知复数z 1=a 2－3+(a+5)i,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i(a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值.13．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A 9.－22i 10.(y －x)+5(y －x)i11.53 , －5912、解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a+5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a=－1.13、解：设D （x,y), 则-=对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i ∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x∴D 点对应的复数为2－i。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.1 复数(解析版)

11.1 复数一．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．规定i 2=-1(2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．二．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R)是一一对应关系．三．复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则①加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；②减法：；③乘法：； ④除法：1222i (i)(i)()i (i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d++-++-===+≠++-+．（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有1221123123()(),z z z z z z z z z z +=+++=++．（3）复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有1221z z z z ⋅=⋅，，1231213()z z z z z z z +=+.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.考向一复数的基本概念【例1】（1）复数12z i =-的虚部是。

新高考数学A版讲义：复数第1节复数与复平面

第1节复数与复平面要点一：复数知识点一复数的有关概念 1.复数(1)定义：我们把形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C 表示. 知识点二复数的分类1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系知识点三复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.一、复数的概念例1 下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④解析对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正反思感悟复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1 (多选)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列说法不正确的是( ) A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋(b －1)i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1 答案 ABD解析对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数；对于B ，若a ＋(b －1)i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1；对于D ，i 的平方为－1.所以ABD 均错误. 二、复数的分类例2 当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数.解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数.延伸探究1.本例中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数.2.已知z ＝log 2(1＋m )＋i 12log (3－m )(m ∈R )，若z 是虚数，求m 的取值范围.解 ∵z 是虚数，∴12log (3－m )≠0，且1＋m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，∴－1<m <2或2<m <3.∴m 的取值范围为(－1,2)∪(2,3).反思感悟解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，①z 为实数⇔b ＝0.②z 为虚数⇔b ≠0.③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.跟踪训练2 若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1 解析根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2. 三、复数相等的充要条件例3 若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1)i ，求实数x ，y 的值.解由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.延伸探究若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值.解设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.反思感悟复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.跟踪训练3 复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________.解析因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.要点二：复平面知识点一复平面思考有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？答案不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数. 知识点二复数的几何意义 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ). 2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.知识点三复数的模1.定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值. 2.记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. 3.公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 知识点四共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z 的共轭复数用z 表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.一、复数与复平面内的点的关系例1 已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围).(1)在实轴上；(2)在第三象限. 解 (1)若z 对应的点Z 在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点Z 在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 反思感悟利用复数与点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据.(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.二、复数与复平面内的向量的关系例2(1)已知M (1,3)，N (4，－1)，P (0,2)，Q (－4,0)，O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；(2)已知复数1，－1＋2i ，－3i,6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；(3)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.解 (1)OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ；OQ →表示的复数为－4.(2)设复数1对应的向量为OA →，其中A (1,0)；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B (－1,2)；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C (0，－3)；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D (6，－7). 如图所示.(3)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3). 设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5).由题意知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.反思感悟复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.跟踪训练2 已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( ) A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5iD.－5－5i解析向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2).由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i. 三、复数的模及其应用例3 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2解析因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. (2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8. ∴z ＝－15＋8i.反思感悟复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.跟踪训练3 (1)已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( ) A.z 1>z 2 B.z 1<z 2 C.|z 1|>|z 2|D.|z 1|<|z 2|解析 |z 1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z 2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.因为34<41，所以|z 1|<|z 2|. (2)已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A.(1，10) B.(1，3) C.(1,3)D.(1,10)解析 0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |＝a 2＋1∈(1，10).复数模的几何意义典例设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？(1)|z|<3；(2)|z|＝2.解(1)设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2.由题意知x2＋y2<3，x2＋y2<9.所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.(2)根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2.所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.[素养提升]复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.复数1.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋b i是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋b i＝0∈R.而当“复数a＋b i是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要不充分条件.2.给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析①错误，例如z＝i，则z2＝－1；②错误，因为2i－1虚部是2；③正确，因为2i＝0＋2i.3.在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则()A.a＝0或a＝2B.a＝0C.a ≠1且a ≠2D.a ≠1或a ≠2答案 B解析因为复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 是纯虚数，所以a 2－2a ＝0且a 2－a －2≠0，所以a ＝0.4.若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 019i ＝2－b i ，则a 2＋b i 等于( ) A.2 019＋2i B.2 019＋4i C.2＋2 019i D.4－2 019i答案 D解析因为a ＋2 019i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 019，即a ＝2，b ＝－2 019，所以a 2＋b i ＝4－2 019i.5.(多选)下列命题中错误的有( )A.若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C.若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3D.若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应答案 ABCD解析取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错；BC 错；对于D ，a ＝0时，a i ＝0，D 错.6.设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案－2解析由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，得m ＝－2.7.如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x ，y 为实数，则x ＝________，y ＝________. 答案 141解析由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.8.如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>1则实数m 的值为________. 答案 2解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2.9.实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. 解由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3，由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3. (1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， ∴m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数， ∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，∴m ＝－3.10.分别求满足下列条件的实数x ，y 的值. (1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ； (2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0.解 (1)∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.(2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3.11.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2k π－π4(k ∈Z )B.2k π＋π4(k ∈Z )C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 答案 B解析由题意，得⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎨⎧θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4，k ∈Z ，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .12.已知关于x 的方程(x 2＋mx )＋2x i ＝－2－2i(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( ) A.3＋i B.3－i C.－3－i D.－3＋i答案 B解析由题意知(n 2＋mn )＋2n i ＝－2－2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i. 13.已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______________条件.答案充分不必要解析当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件.14.使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________. 答案 {3}解析由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}.15.若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A.7 B.－17C.－7D.－7或－17答案 C解析 ∵复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0， ∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 16.已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ).(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.解 (1)∵z 1为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2,6].复平面1.已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝－i ，则|z 1||z 2|等于( ) A.55 B.15C. 5D.5 答案 C解析依题意|z 1|＝22＋12＝5，|z 2|＝(－1)2＝1，所以|z 1||z 2|＝ 5. 2.向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A.－10＋8iB.10－8iC.0D.10＋8i答案 C解析由复数的几何意义，可得OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)，所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i答案 C解析因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，所以A (6,5)，B (－2,3)，又C 为线段AB 的中点，所以C (2,4)，所以点C 对应的复数是2＋4i.4.已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A.－1＋3iB.1＋3iC.－1＋3i 或1＋3iD.－2＋3i 答案 A解析因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.5.(多选)设z ＝(2m 2＋2m －1)＋(m 2－2m ＋2)i(m ∈R )，则下列结论中错误的是( )A.z 在复平面内对应的点在第一象限B.z 一定不是纯虚数C.z 在复平面内对应的点在实轴上方D.z 一定是实数答案 ABD解析 2m 2＋2m －1＝2⎝⎛⎭⎫m ＋122－32，m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，则z 在复平面内对应的点一定在实轴上方.6.复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数x 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0，解得x >3. 7.若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 答案 3解析复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.8.复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________.答案－6－8i解析因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.9.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.解 (1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2,1).根据对称性可知，x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知，x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.10.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，若1≤|z |≤2，判断复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.解 |w |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2(x 2＋y 2)＝2|z |，而1≤|z |≤2，故2≤|w |≤2.所以w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(2)2]＝2π.11.已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，即a ＝－1，则复数a －a i ＝－1＋i 对应的点为(－1,1)，位于第二象限.12.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A.2 3B.－23iC.3－3iD.3＋3i答案 B解析复数对应的点为(3，－3)，对应的向量按顺时针方向旋转π3，则对应的点为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23i.13.设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.14.若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________.答案 5解析由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.15.已知复数z 满足|z |2－3|z |＋2＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段答案 B解析由|z |2－3|z |＋2＝0，得(|z |－1)·(|z |－2)＝0，所以|z |＝1或|z |＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆.16.已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R ).若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.解因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1).因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎨⎧ k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.。

【高考备考】高考数学讲义及知识点讲解(复数-概率与统计)

高考数学讲义及知识点讲解（名师指导精编版）一、第一节：复数复数问题在高考中年年必有，从近几年的高考试题来看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，常考选择题和填空题，且属于中低档题.一是复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；复数的模的计算，例如2z ⋅=设z 为复数，则z z二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算.复数可以在直角坐标系中表示。

以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点.热点提示 1．复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2．复数的代数运算是高考的另一热点，以选择题、填空题的形式的出现，属容易题．注意：复数一般不比较大小，如果比较大小两数应该都是实数。

基础篇 (10课标 2)已知复数()2313i iz -+=，z 是z 的共轭复数，则z z ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2考点：复数的共轭和复数运算规律方法：复数的共轭复数、复数的基本运算和模的计算解析： 2z z z = ，∴()21423132==-+=i iz ，∴41=z z答案：A (10全国I 1)复数=-+ii3223 A ．iB ．i -C ．12－13iD ．12＋13i考点：复数的基本运算，规律方法：分母实数化的转化技巧.解析：()()()()i i i i i i i i i =-++=+-++=-+136496323232233223. 答案：A(10全国II 1)复数=⎪⎭⎫⎝⎛+-213i iA ．i 43--B ．i 43+-C ．i 43-D ．i 43+考点：复数的基本运算.解析：分母实数化，()()()i i i i i i 432121313222--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. 答案：A(10北京 9)在复平面内，复数ii-12对应的点的坐标为______ 考点：复数的几何意义规律方法：分母实数化，分母、分子同乘以分母的共轭。

高考数学一轮复习讲义第71课时复数理

547课题：复数考纲要求：(Ⅰ)复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义；（Ⅱ）)复数的四则运算：①会进行复数的代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 教材复习1.虚数单位i :()1它的平方等于1-，即 21i =-;()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -.3.i 的周期性：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =.4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi+的形式，叫做复数的代数形式.6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数07.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =,b d = 9. 复平面、实轴、虚轴：复数(,)z a bi a b R =+∈与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a 纵坐标是b ，复数(,)z a bi a b R =+∈可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数. 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(()Z548是000z i =+=表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.10.复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()a bi c di +++=()()a c b d i +++ 11.复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()a bi c di +-+=()()a c b d i -+- 12.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+13.复数的加法运算满足结合律: 123123()()z z z z z z ++=++ 14.乘法运算规则：设1z a bi =+，2z c di =+(a 、b 、c 、d R ∈)是任意两个复数，那么它们的积()()()()12z z a bi c di ac bd bc ad i =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.15.乘法运算律：(1)()()123123z z z z z z = ()2123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅()3()1231213z z z z z z z +=+3.复数除法定义：满足()()()c di x yi a bi ++=+的复数x yi +(x 、y R ∈)叫复数a bi+除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者dic bia ++ 16.除法运算规则：①设复数a bi + (a 、b R ∈)，除以c di + (c ，d R ∈)，其商为x yi +（x 、y R ∈)，即()()a bi c di x yi +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()cx dy dx cy i a bi -++=+由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有: ()()a bi c di +÷+2222ac bd bc adi c d c d +-=+++②利用()()22c di c di cd +-=+于是将dic bia ++的分母有理化得：原式22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic di c di c di cd ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++.549∴(()()a bi c di +÷+=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++ 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di +与复数c di -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法.17.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

第7讲复数的概念-高一数学新教材专题讲义同步辅导+课堂检测(人教A版2019必修第二册)

第7讲复数的概念一、考点梳理考点1 复数的概念1. 虚数单位i（1）它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈ 3. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当a ≠0且b ≠0时，z =bi 叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.4. 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小例1．（1）已知复数z＝6﹣4i，则它的实部是6，虚部是﹣4．【分析】利用复数实部和虚部的定义求解．【解答】解：∵复数z＝6﹣4i，∴它的实部是6，虚部是﹣4，故答案为：6，﹣4．（2）若复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，则m＝﹣1．【分析】直接利用复数的定义的应用求出结果．【解答】解：复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，则m+1＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．（3）i2020＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i 【分析】直接利用虚数单位i的运算性质求解．【解答】解：i2020＝i4×505＝（i4）505＝1．故选：A．【变式训练1】．设复数z＝3﹣2i，则z的虚部是（）A．i B．3C．2D．﹣2【分析】直接由复数的基本概念得答案．【解答】解：复数z＝3﹣2i，则z的虚部是：﹣2．故选：D．【变式训练2】．若复数m（m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为0．【分析】由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵m（m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，∴，即m＝0．故答案为：0．【变式训练3】．i为虚数单位，i2019＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【分析】直接利用虚数单位i的运算性质求解．【解答】解：∵i4＝1，∴i2019＝i4×504+3＝i3＝﹣i．故选：B．考点2 复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0) 2. 复数的两种几何意义：3. 复数的模：复数bi a Z +=的模22b a Z +=4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-．（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）22Z Z ZZ ==⋅ （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称例2．（1）已知复数z 满足iz ＝1﹣i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：iz ＝1﹣i ⇒z ＝﹣1﹣i ，故z 在复平面内对应的点为（﹣1，﹣1），在第三象限，故选：C ．点向量一一对应一一对应一一对应复数（2）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3+i，﹣1+3i，则对应的复数是（）A．2+4i B．﹣2+4i C．﹣4+2i D．4﹣2i【分析】由＝＝，代入向量，对应的复数计算即可．【解答】解：因为向量，对应的复数分别是3+i，﹣1+3i，所以＝＝＝3+i﹣（﹣1+3i）＝4﹣2i，故选：D．（3）若z＝1﹣2i+i2021，则|z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】化简复数z，再求它的模长|z|．【解答】解：因为z＝1﹣2i+i2021＝1﹣2i+i＝1﹣i，所以|z|＝＝．故选：C．（4）已知复数z＝2i，则z的共轭复数等于（）A．0B．2i C．﹣2i D．﹣4【分析】直接根据共轭复数的定义求解即可．【解答】解：因为复数z＝2i，则z的共轭复数＝﹣2i；故选：C．（5）（多选）对于复数z＝a+bi（a，b∈R），下列结论错误的是（）A．若a＝0，则a+bi为纯虚数B．若a﹣bi＝3+2i，则a＝3，b＝2C．若b＝0，则a+bi为实数D．纯虚数z的共轭复数是﹣z【分析】复数z＝a+bi（a，b∈R），（1）若a＝0，且b≠0时，a+bi为纯虚数；（2）若b＝0，则为实数；（3）其共轭复数为a﹣bi；（4）两个复数相等，则实部和虚部分别相等．【解答】解：对于A：复数z＝a+bi（a，b∈R），若a＝0，且b≠0时，a+bi为纯虚数．故A错误．对于B：两个复数相等，则实部和虚部分别相等，所以a＝3，b＝﹣2，故B错误．由复数定义及运算知，C、D正确．故选：AB．【变式训练1】．在复平面内，复数z＝﹣1﹣i的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：z＝﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．【变式训练2】．在复平面内点P对应的复数z1＝2+i，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数z2的虚部为（）A．B．C．D．【分析】由题意求得点Q对应的复数z2，则其虚部可求．【解答】解：设P点对应的向量为，向量绕坐标原点O逆时针旋转得到对应的复数为（2+i）（cos i sin）＝（2+i）（）＝（）+（）i，∴点Q对应的复数z2的虚部为．故选：B．【变式训练3】．已知a∈R，若有（i为虚数单位），则a＝（）A．1B．﹣2C．±2D．±1【分析】根据复数模的定义得到关于a的方程，再解出a即可．【解答】解：∵，∴1+a2＝5，解得a＝±2，故选：C．【变式训练4】．若复数z＝（m﹣1）﹣（m+2）i（m∈R）为纯虚数，则复数z的共轭复数为（）A．﹣3i B．3i C．4i D．﹣4i【分析】先利用纯虚数的定义可得：m﹣1＝0且m+2≠0，求出m的值，求出复数z，再利用共轭复数概念即可求解．【解答】解：∵复数z＝（m﹣1）﹣（m+2）i（m∈R）为纯虚数，∴m﹣1＝0且m+2≠0，∴m＝1，∴z＝﹣3i，∴复数z的共轭复数为3i，故选：B．【变式训练5】．（多选）下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称【分析】利用实数和纯虚数的概念即可判定选项A正确，选项B错误，再利用共轭复数的定义即可判定选项C 正确，选项D错误．【解答】解：对于选项A：复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0，所以选项A正确；对于选项B：复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，所以选项B错误；对于选项C：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi（a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，所以，所以选项C正确；对于选项D：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi（a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，则它们在复平面内所对应的点分别为（a，b）和（a，﹣b），关于x轴对称，所以选项D错误，故选：AC．二、课堂检测1．已知a是实数，则复数（a2﹣2a）+（a2+a﹣6）i为纯虚数的充要条件是（）A．a＝0或a＝2B．a＝0C．a∈R，且a≠2且a≠﹣3D．a∈R，且a≠2【分析】由实部为0且虚部不为0列式求得a值，则答案可求．【解答】解：∵a是实数，则复数（a2﹣2a）+（a2+a﹣6）i为纯虚数需满足：，解得：a＝0，故选：B．2．若集合A＝{i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，﹣1，﹣i，1}，B＝{1，﹣1}，∴A∩B＝{i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}＝{1，﹣1}．故选：C．3．实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B．4．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也不必要条件【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．5．已知i为虚数单位，则z＝i+i2+i3+…+i2017＝（）A．0B．1C．﹣i D．i【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出．【解答】解：z＝＝＝＝i，故选：D．6．（多选）已知复数z＝1+i，则下列命题中正确的为（）A．B．＝1﹣iC．z的虚部为i D．z在复平面上对应点在第一象限【分析】利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．【解答】解：复数z＝1+i，则．故A正确；，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为（1，1），在第一象限，故D正确．∴命题中正确的个数为3．故选：ABD．7．（多选）已知复数z在复平面上对应的向量，则（）A．z＝﹣1+2i B．|z|＝5C．＝1+2i D．z•＝5【分析】由题意可得z＝﹣1+2i，再由复数的模的公式和共轭复数的定义、复数的乘法运算，可判断正确结论．【解答】解：由题意可得z＝﹣1+2i，|z|＝＝，＝﹣1﹣2i，z•＝（﹣1+2i）（﹣1﹣2i）＝1+4＝5，则A、D正确，B、C错误．故选：AD．8．若复数z＝1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[]．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z＝1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得a∈故答案为：9．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．10．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（1，）．【分析】由复数z的实部为a，虚部为1，知|z|＝，再由0＜a＜2，能求出|z|的取值范围．【解答】解：∵复数z的实部为a，虚部为1，∴|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜|z|＝＜．故答案为：（1，）．11．在复平面内，复数z＝1﹣2i对应的点到原点的距离是．【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数z＝1﹣2i对应的点（1，﹣2）到原点的距离d＝＝．故答案：．12．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数是2﹣i．【分析】由已知求得A的坐标，再由对称性求得B点坐标，则向量对应的复数可求．【解答】解：由题意，A（2，1），则B（2，﹣1），∴向量对应的复数是2﹣i．故答案为：2﹣i．13．若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点在第二象限．【分析】（1）令复数z的虚部为0，即可求解；（2）令复数z的实部为0且虚部不为0，即可求解；（3）根据第二象限点的符号特征，列出不等式，即可求出m的范围．【解答】解：（1）由题意可得：m2﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1或2；（2）由题意可得：m2+m﹣6＝0，且m2﹣m﹣2≠0，∴m＝2或﹣3，且m≠﹣1且m≠2，∴m＝﹣3；（3）由题意可得：，解得：﹣3＜m＜﹣1．。

复变函数第一章讲义全

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。

复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。

1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)40x x -=的根。

他求出形式的根为5525(15)40--=。

但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。

因而复数在历史上长期不能为人们所承受。

“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。

直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅，L Euler ⋅等人逐步说明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍承受并理解了复数。

复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。

到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科与数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。

第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性教学难点：复平面上点集的n 个概念教学基本要求：1、了解复数定义与其几何意义，熟练掌握复数运算 2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数 1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位。

两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y⇔==. 虚部为零的复数可看作实数。

因此，全体实数是全体复数的一部分。

x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+.复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。