Hardy-Hilbert积分不等式的改进

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Hilbert型不等式的改进与推广

Hilbert型不等式的改进与推广
Hilbert不等式(包括积分型和离散型)是分析学中的重要不等式.本文通过引入适当权函数的方法,对积分型和半离散型Hilbert不等式进行一些改进、推广,证明了常数因子是最佳的,并给出了它们的等价式和一些特殊结果.还考虑了强的H(?)lder不等式在Hardy-Hilbert型不等式改进中的应用.全文组织如下:第一章:介绍全文的研究目的、背景、方法和结果.第二章:应用转换公式,权函数的方法和实分析技巧,建立一个具有最佳常数因子的核含对数函数、多维的且含有几个参数的Hilbert型积分不等式.给出了其等价式与相应逆式.还考虑了其算子表示和齐次与非齐次核的一些特殊结果.第三章:应用权函数和
Hermite-Hadamard不等式,建立一个带有最佳常数因子的半离散逆向的Mulholland型不等式.并考虑了它的带有多参数齐次核的最佳推广式及等价式.第四章:通过引入权函数,应用实分析的方法,对具有准齐次核的Hardy-Hilbert 型不等式做了改进,从而建立了一些新的不等式.。

关于Hardy-Hilbert不等式的一个加强和应

关于Hardy-Hilbert 不等式的一个加强及应用隆建军（攀枝花市大河中学，四川攀枝花 617061）摘要：通过建立权系数不等式，得到了Hardy-Hilbert 不等式的一个推广及应用.所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果.关键词：Hardy-Hilbert 不等式；权系数；Holder 不等式中图分类号：O1781 引言设0,≥n n b a )(N n ∈,1>p ，111=+q p .若∞<<∑∞=10n pn a ,∞<<∑∞=10n qn b ,则有 ∑∑∞=∞=+11m n m n n m b a )sin(p ππ<p n p n a 11)(∑∞=n q n b 11)(∑∞=. （1）这里，常数)p ππ是最佳值]1[，其等价形式是∑∑∞=∞=+11)(n pm m nm a pp ])sin([ππ<∑∞=1n pna.（2）这里，常数p p ])sin([ππ仍是最佳值.称（1）为Hardy-Hilbert 不等式，它是分析学及其应用领域的重要不等式.近年来有许多专家、学者对其进行研究，得到了许多优秀的结果]62[-.1991年，徐利治和郭永康得到如下权系数估计]7[： ()1,sin 1,1111-=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=-∞=∑p nn p m n n m n q p qppm qηηππω .（3）从而给出了Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n q p a n n p p n m b a 11111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ.（4）1997年，杨必成和高明哲得到如下权系数估计]8[： ()pm qnC p m n n m n q 1111sin 1,--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∞=ππω .（5）给出新的Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n q pn p n p m n n m b n C p a n C p n m b a 111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=ππππ.（6）其中C 是欧拉常数.1998年，杨必成和L.Debnath 得到如下权系数估计]9[： ()qpm qnn p m n n m n q 111121sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω .（7）从而得到如下的Hardy-Hilbert 不等式的一个新的加强形式：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 111111111121sin 21sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ. （8）2005年，吕中学得到如下权系数估计]10[： ()qpm qnabn p m n n m n q 11111sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω .（9）从而得到Hardy-Hilbert 不等式的一个新的推广与改进：qn q n p q pn p n q p m n n m b n abn ab p a n abn ab p n m b a 111111111112sin 12sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ. （10）其中e ab b a ≤<>>0,0,0.其等价形式为：∑∑∑∞=--∞=∞=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11111112sin sin n pn q p p m pn m a n abn ab p p n m a ππππ . （11）本文通过改进和推广文献[7-10]的结果，从而给出（1）式和（2）式一个新的改进形式.2 一些引理为了证明引理，需要用到下述改进的Euler-Machaurin 公式]11[，即：若0)(,0)()12()2(<>+x fx fr r ，0)(lim )(lim )(==∞→∞→x i x x fx f ，)3,2,1(=i 且∑∞=1)(m m f 及⎰∞1)(dx x f 收敛，则)1('121)1(21)()(11f f dx x f m f m -+≤⎰∑∞∞= .（12）引理1 设N n r ∈>,1，下列权系数不等式成立：()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--++--++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=-∞=∑2111112161512121211211213121sin 1,n r r r r n r r r r r r r r nr m n n m r n r m rππω. （13）证明：设()()rn xn x x f 11+=，[)),1,1(+∞∈>x r ，则()()n f n +=111，()()n r n f n +-+-=1111)1(2'.()()()()⎰⎰⎰⎰+-+=+=∞∞∞1101111111dx xn x dx xn x dx xn x dx x f rrrn()()⎰⎰-∞+--+=101101111111r rrdx n x r r dy yy n()⎰-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011111sin 1r r dx n x r r r nππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰-1011211111sin 1dx x n x n r r r n rr ππ()()()()()⎰-+---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=1012221112111sin 1r r dx n x r r r n r r r nππ()()()()()()()()⎰-+---+---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=10123222111212112111sin 1dx x n x r r r n r r r n r r r nr r ππ()()()()()221112111sin 1n r r r n r r r n r +---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππ. ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+<=⎰∑∞∞=)1(121)1(21)()(,'1111n n n rm n rf f dx x f n m f n r n ω()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛<n r n n n r r r n r r r n n r r 11211121121112111sin 122211ππ()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+++-++-⎪⎭⎫⎝⎛<-2111121121512111213121sin n r r n r r n r r n r r n r r ππ.（14）对N n ∈，结合Bernoulli 不等式]12[，有()()()()()()()()()2112112151211121312n r r n r r n r r n r r +---+++-++ ()()()()()()()2111121121512111121312--⎪⎭⎫⎝⎛+---++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=n n r r r r n r r r r()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----++⎪⎭⎫ ⎝⎛--++>n n r r r r n r r r r 21121121512111121312()()()()()()()()()()21216151212121121121312n r r r r n r r r r r r r r ---+--++--++=.（15）把(15)式代入(14)式，即得(13)式，故引理1得证. 引理2 设N n r ∈>,1，下列权系数不等式成立： ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--∞=∑r r m rn n r r r r r m n n m r n 111111121312sin 1,ππω.（16）证明：()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--++--++n n r r r r n r r r r r r r r 1112161512121211211213122()()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+---------++-++=221216151212112121112112151211121312n r r r r n r r r r r r r r r n r r r r ()()()1121312-++≥r r r r ()3≥n . 所以，有()()()()()()()()()()()()()()12111213121216151212121121121312-+-++>---+--++--++n r r r r n r r r r n r r r r r r r r ()3≥n . 结合引理1，有： ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=--∞=∑r r m rn n r r r r r m n n m r n 111111121312sin 1,ππω()3≥n 当2,1=n 时，显然有()()()()1241312sin 11sin ,1-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<r r r r r ab p r ππππω，()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<---rrrrr r r r p ab p r 11111221121312sin 221sin ,2ππππω故，当N n ∈时，(16)式成立.3 主要结论及其证明定理1 设111,1=+>q p p ，0,0≥≥n n b a ，+∞<<+∞<<∑∑∞=∞=110,0n qnn p n b a ，则 ()()()()qn q n q q pn pn p p n m n m b n n q q q p a n n p p p q n m b a 111111111111121413sin 121413sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=+-∞=+-∞=∞=ππππ 证明：由Holder 不等式，得()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111111m n pqqn pq p m m n n m m n n m b n m n m a n m b a qm n p q npm n q p n m n n m b n m n m a 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+≤∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= qm q nn ppm p n n qb m n n m a n m n m 1111111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= ()()qn q n pm p n b p n a q m 1111,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞=∞=ωω 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q p ππsin sin ，且111=+q p ，在(16)式中分别取q p r ,=，代入上式，可得()()()()qn q n q q pn pn p p n m n m b n n q q q p a n n p p p q n m b a 111111111111121413sin 121413sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=+-∞=+-∞=∞=ππππ 证毕.作为应用我们建立定理1的一个等价形式：定理2 设111,1=+>q p p ，0≥n a ，+∞<<∑∞=10n p n a ，则()()∑∑∑∞=+--∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111111121413sin sin n p np p p m p n n a n n p p p q p n m a ππππ证明：由()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<p n q ππωsin ,和Holder 不等式，得()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1111111n pqqpqpnn n m n n m m n n m a n m a qn ppn p n qm n n m a m n n m 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∑∑∞=∞= (){}q pn p n qn p a m n n m 1111,1ω⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞=qpn p n qp a m n n m 1111sin 1⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∞=ππ.由(16)式和以上所得，有∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11111111sin 1m n pn qqpp q m p n n a m n n m p n n m a ππ∑∑∞=∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111sin n p nm q p a m n n m p ππ()∑∞=-⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,sin n pnp an q p ωππ()()∑∞=+--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<11111121313sin sin n p np p p a n n p p p q p ππππ.所以，定理2成立.证毕特别地，在定理1和定理2中取2==q p 有：推论1 若0,0≥≥n n b a ，+∞<<+∞<<∑∑∞=∞=12120,0n nn n b a ，则 21122121211223211124352435⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<+∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=n n n n n m n m b n n a n n n m b a ππ. 推论2 若0≥n a ，+∞<<∑∞=10n p n a ，则∑∑∑∞=-∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1223211212435n n m n n a n n n m a ππ. 显然，本文结论改进了文献[2-10]中的结论，是(1)和(2)的一个新推广与改进. 参考文献：[1]Hardy G H, Littlewood J E, Polya G. Inequalities[M].Cambridge Univ Press,1952.[2]董大校.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广[J].云南师范大学学报(自然科学版)，2000，20(2):9-13.[3]杨必成.关于一个推广的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2002,23A(2):247-254.[4]洪勇.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广与改进[J].数学的实践与认识，2002，32(5):849-855.[5]杨必成.一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2000,21A(4):401-408.[6]洪勇.关于Hardy-Hilbert不等式的新推广[J].南昌大学学报(理学版)，2005,29(6):566-570.[7]Xu L C,Gau Y K.Note on Hardy-Riesz's extension of Hilbert's inequality[J].Chin Quar J math,1991,6(1):75-77.[8]杨必成,高明哲.关于Hardy-Hilbert不等式的一个最佳常数[J].数学进展,1996,29(2):159-164.[9]Yang B C,Debnath L.On new strengthened Hardy-Hilbert inequality[J].Internat J Math Sci,1998,21(2):403-408.[10]吕中学.Hardy-Hilbert不等式一个新的推广与改进[J].数学的实践与认识,2005,35(5):142-145.[11]杨必成.关于一般Hilbert二重级数定理的改进[J].数学研究，1996,29(2):64-70.[12]隆建军.p=5的Hardy不等式的一个加强改进[J].沙洋师范高等专科学校学报,2005,6(5):11-13.On a strengthened Hardy-Hilbert's inequality and its applicationLONG Jian-jun(DaHe Middle School of Panzhihua,Sichuan panzhihua 617061,China) Abstract:By deducing the inequality of weight coefficient,we obtain a generalization of Hardy-Hilbert's inequality its application.The results presented in this paper improve and unify some recent results in this field.Key words: Hardy-Hilbert inequality ;weight coefficient;Holder inequality该文发表于《井冈山大学学报》（自然科学版），2012年3月第二期第22-26页.。

较为精密的Hardy-Hilbert不等式的一个加强

ｌｎ２一ｙ
＜
ｓ（／）（ｚ１１ｉｚ２＋）ｎｒｐ，
、●● ●● Ｌ， ●● Ｊ ● ● ● ●
咖
）＝
一Ｐ
十
１（］＜
＝
Ｉ，ｎ２一＇
ｓ（ｐ（＋）１ｉｒ）２１ｎｒ／刀 ’
这里，ｙ＝０５７Ｅｌｒ．７１是ｕｅ常数。
第３卷第４期３
２１０２年７月
Ｖ１３Ｎ．ｏ３ｏ．４
Ｊｌ．０２ｕｙ２１
井冈山大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｉｇａｇｈｎＵｉｅｓｙ（ｔａｃｎｅｏｒａｆＪｇｎｓａｎｖｒｉＮａｒｌＳｉｃ）ｎｔｕｅ
≥０，ｏ＜
ｐ。＜ｏ，
这里，
ｓ１ｉＩ
Ｊ
０＜∑ ＜：，， ∞ ０）则１
不等式，特别地，当＝１，称之为“ 精密 ” 时较的Ｈａｄ－ｌｅｔ等式【。Ｈａｄ－ｌｅｔ等式在分ｒｙＨｉｒ不ｂ１］ｒｙＨｉｒ不ｂ析学中有着重要的应用。一直以来都有专家、学者对其进行加强、推广和改进【】２。１９９１年，徐利治首倡权系数方法【，对（）１１在＝０Ｐ＝ｑ：２的情形作改进，得到加强的．
、－，
（（十（ｌ（厂三。／）６）厂一（）＜））０
引理２设，．Ｎ，＞１ ∈ 下列权系数不等式成立：
●
● 一ｐ
１ ●●●● ●●● ＿］

Hardy-Hilbert不等式一个新的改进

ｒｍｅｅａｄｕｉｇｔｅ启ｆｎｔｎＩｐｌａｉｎ，ｉｓｅｕｖｌｎｏｍｏｓｄｒｄａｔｒｎｓｎｈｕｃｉ．ｎａｐｉｔｏｏｃｔｑｉａｅｔｆｒｉｃｎｉｅｅ．Ｓｍｉｒｓｉｌ — ａｌ，ｔｅｇｎｒｌｅｏｍｕａｃｒｅｐｎｉｇｔｈｏｂｅｓｒｅｓｇｖｎＩａｔｃｌｒｎｃｓｙｈｅｅａｉｄｆｒｌｏｒｓｏｄｎｏｔｅｄｕｌｅｉｓｉｉｅ．ｎｐｒｉｕａ，ｉａｅｚ＝１ｔｅｃａｓｃｌＨａｄ－ｉｅｔｉｅｕｌｙｉｂａｎｄＴｈｅｕｔｎｈｙｉｈｓｐｐｒ＝ｈｌｓｉａｒｙＨｌｒｎｑａｉｏｔｉｅ．＝ｂｔｓｅｒｓｌｓａｄｔｅｗａｔｉａｅｎｐｏｉｅａｘｅｓｖｍｏｎｆｈｌｏｈｓｔｐｆｉｅｕｌｉｓｒｖｄｎｅｔｎｉｅａｕｔｏｅｐｆｒｔｉｙｅｏｑａｉｅ．ｎｔ
’
是最佳值．本文的目的是在已有文献的基础上，引进参数与函数对上式做进
步的改进，立如下形式的不等式：建
收稿日期：０９０ —０２０ —５２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７００６６４２）作者简介：赵玉中（９４）男，江苏淮安人．硕士。１８一．研究方向为微分方程的稳定性、积分不等式．－ｉｚｚｄ５０６．ｏｌＥｍａｌｙｌｑ２＠１３ｃｉ．：３＊通讯作者（ｍ砷蚰ｄｌｕｈｒ：ｃｏｉｇａｔｏ）郭继峰，博士，Ｉ男，剐教授．－ｉｇｏ２５ｔｃ．ｄ．ｎＥｍａｌｕ１１＠ｑｅｈｅｕｅ．：

一个加强的 Hardy-Hilbert 型不等式

一个加强的 Hardy-Hilbert 型不等式顾朝晖;杨必成【摘要】引入独立参数，应用权系数的方法及Hadamard不等式，建立了一个加强的具有最佳常数因子的Hardy‐Hilbert型不等式及其等价形式。

%Based on the weight coefficients ,by applying of Hadamard’s inequality and introducing some independent parameters ,a strengthened version of a Hardy‐Hilbert‐type inequality with a best possible constant factor is con‐structed .Meanwhile ,its equivalent form is considered .【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(043)005【总页数】5页(P532-536)【关键词】Hardy-Hilbert型不等式;参数;权系数;等价式;Hadamard不等式【作者】顾朝晖;杨必成【作者单位】广东外语外贸大学经济贸易学院，广东广州 510006;广东第二师范学院数学系，广东广州510303【正文语种】中文【中图分类】O178若,则有如下具有最佳常数因子的Hardy-Hilbert不等式[1]:.2015年,文献[6]引入独立参数α,λ>0,建立如下推广的Hardy-Hilbert型不等式:设为递减正数列,<∞.则有本文引入独立参数,应用权系数的方法及Hadamard不等式,建立具有最佳常数因子式(5)的加强式,还考虑了其等价形式.下设为递减正数列,,及U∞=V∞=∞.引理1 设a∈R，函数f(x)在连续,在/{a}可导,f′(x)分别在开区间及严格递增,且).则有如下Hadamard不等式:证明显然,有限.作函数g(x)=得式(6)成立.证毕.例1 设μ(t):=μm,t∈(m-1,m](m=1,2,…);v(t):=νn,t∈(n-1,n](n=1,2,…),f′(x)=(i)当时,(ii)当在时,有由νn+1≤νn及上面结果,有).故由引理1,有引理2 定义如下权系数：证明显然,当时,有νn+1≤V′(x).由式(8),有x.u.,引理3 有如下权系数不等式:θ1(λ2,m)：=证明因f(x)严格递减及V(∞)=∞,有)..故式(14)成立.同理,由对称性,式(15)亦成立.证毕.引理4 对∀ε>0,有证明由递减性质,有,故式(17)成立.同理,由对称性,式(18)亦成立.证毕.定理1 设).则有如下等价不等式:,证明配方,并由带权的不等式[8]、式(10)及(9),有,.,,.定理2 由定理1,若<∞.则有如下等价式:,<,这里,常数因子kα(λ1)都为最佳值,θi(i=1,2)同引理2.特别地,由式(25)可导出式(5);由式(26)可导出如下式(5)的等价式:.证明对式(19)、(20)，应用式(11)、(12),可得式(25)与(26)成立且等价.下面先证式(5)的常数因子为最佳值.∀0<ε<pλ1,设.则由式(17)、(18)及(15),有).若有正常数K≤kα(λ1),使取代式(5)的常数因子kα(λ1)后仍成立.特别地，有.式(27)的常数因子必为最佳值.不然,由式(23)(置ϖα(λ1,n)=1),必导出式(5)的常数因子也不为最佳值的矛盾结论.同理，由反证法易证得式(25)、(26)的常数因子也为最佳值.证毕.。

参量化的Hardy-Hilbert型不等式的改进

Ｓｎｚ／１ｒ
是最佳值，１式称为Ｈａｄ — ｌｅｔ等式．不等式（）在分析中有重要的（）ｒｙＨｉｒ不ｂ１
应用．最近，文［￣３１－１－给出了Ｈａｄ－ｌｅｔｒｙＨｉｒ不等式和Ｈｉｅｔ等式的一些推广和改进．ｂｌｒ不ｂ
２ＣｏｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＣｏｕｅｃｅｃ．ｌｅｏｔｅｔｃｎｍｐｔｒＳｉｎｅ。ＪｓｏｉｅｓｔｅｉｈｕＵｎｖｒｉｙ－Ｊｓｏ１０ｉ：ｉｈｕ４６００Ｃｈｎａ
３ＤｅａｔｎｆＭａｈｍａｉｌｃｎｅ。ＵｎｖｒｉｆｏｔａｏｉａＡｉｅ。ＡｉｅＣ９０Ａ】．ｐｒｍｅｔｔｅｔａｉｃｓｏｃＳｅｉｅｓｙｏｕｈＣｒｌｋｎｔＳｎｋｎＳ２８１ＵＳ
本文的目的是对文Ｅｉｌ中已推广的Ｈａｄ～ｌｅｔｒｙＨｉｒ型不等式作进一步改进，到一些新的不等式．ｂ得
１引理及其证明
为方便起见，记
（，一∑ｎＪｎ６），ｂ
ａｌ一ｌ，ｌｌｌｌａ
Ｂ，一。（）Ｊ
Ｊｎ２０ａ．０８
ห้องสมุดไป่ตู้
参量化的Ｈａｄ — ｌｅｔｒｙＨｉｒ型不等式的改进ｂ
王文杰贺乐平。陈铁灵。，，
（．南文理学院数学系，南常德４５０；２吉首大学数学与计算机科学学院，南吉首４６０；１湖湖１００．湖１００

含参数的Hardy—Hilbert型积分不等式的加强

ｌ６
湖
南
工
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大
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学
报
２１００年
ｏＪ（（出＜ｏ＜卜）ｏｆ、０，
式（取等号当且仅当／和ｇ线性相关，５）事实上式（５）
０Ｊ＜ｆ０
）、＜ｏｏｇ（），
中成且存ｃｆｆ￣等立仅在使＇：ｇ，号当当。ｇＣ－ｑＩ］；
Ａｂｔａｔ：Ｓｍｅａａｃｍｅｔａｄ — ｌｅｔｎｅｒｌｎｑａｉｙａｅｏｔｉｅｙｍｅｎｓｏｒｖｄｏｌｅ ’ｓｓｒｃｏｄｖｎｅｎＨｒｙＨｉｂｒ ’ＳｉｔｇａｅｕｌｔｒｂａｎｄｂａｆｉｏｆｉｍｐｏｅｆＨＯｄｒｉｅｕａｉｎｅｉｅｕｌｔｅｒｓａｌｓｅｎｑｌｔａｄｎｗｎｑａｉｉｓａｅｅｔｂｉｈｄ．ｙ
Ｋｅｗｏｒｓ：Ｈａｄ — ｌｒ’ ｐｎｅａｑａｉｙ；ＨＯｄｒＳｉｅｕｌｙ；ＷｅｇｔｕｎｔｏｙｄｒｙＨｉｂｅｔＳｔｅｉｔｇｒｌｉｕｌｙｎｅｔｌｅ ’ ｎｑａｉｔｉｈｃｉｎ；ｆｆｎｔｏｕｃｎｉ
ｒ
＜
（Ｊｌ）Ｊ１）（。），。）｛一，）ｘ（｛一
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（２）
ＴＬ＂
这里常数因子
（｛ｇ）ｘＳｑ）０（－
这常因（里数
式：设ｐ＞１＋１，１＝ｌ
，，
，最半佳
容易算出厂＝ｑｇ。

关于一个Hardy-Hilbert型不等式的改进与推广

ＺＪｌｔ＿￣２ ≥ ，下歹ＪＩ权系数不等式成立：
（２ｇ＋ｌｎｎ）
１（＋ｌｎｎ）＋。
∞ （ｎ，）＝∑ （
１
关于一个Ｈａｒｄｙ—Ｈｉｌｂｅｒｔ型不等式的改进与推广
罗静，隆建军
（１．四川理工学院理学院，四川自贡６４３０００；２．攀枝花市大河中学，四川攀枝花６１７０６１）
摘要：对Ｈａｒｄｙ — Ｈｉｌｂｅａ不等式进行了研究。通过引入参数对杨必成权系数不等式作出了加强推
作者简介：罗静（１９８０ ‘ ），女，四川自贡人，助教，主要从事数学分析与复变函数理论方面的研究，（Ｅ－ｍａｉｌ）３７９０４０７６３＠ｑｑ．ｃｏｎ
６８
四川理工学院学报（自然科学版）
２０１３年１０月
砉（丌一
）ｎ］ ÷
（７）
（等）＜丌（３）
得到一个Ｈｉｌｂｅｒｔ型不等式：
仃
耋（仃一
）ｎｌ＿２ｎ２
，
（８）
窆
ｍ
＝ｌ
而
＜仃（耋ｎ。ｎ：）士
（４）
Ｖｏｌ＿２６Ｎ。．５Ｏｃｔ．２０１３
文章编号：１６７３－１５４９（２０１３）０５－００６７－０４

关于多参数的Hardy-Hilbert不等式的改进

关于多参数的Hardy-Hilbert不等式的改进
王文杰;贺乐平
【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2008(031)002
【摘要】利用加强了的Holder's不等式对带参数的Hardy-Hilbert不等式作了改进,建立了一些新的形如rn∫∞0∫∞0 f(x)g(y)/(Ax+By)A
dxdy<kA(p)/Aфλ(p)Bфλ(q) (∫∞0x(1-λ)fp(x)dx)1/p(∫∞0 x(1-λ)gq(x)dx)1/q[1-R(A,B,λ)]Krn的不等式.
【总页数】5页(P8-11,16)
【作者】王文杰;贺乐平
【作者单位】湖南文理学院数学系,中国常德,415000;吉首大学数学与计算机科学学院,中国吉首,416000
【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.关于Hardy-Hilbert不等式的多参数推广 [J], 隆建军
2.一个多参数 Hardy-Hilbert 型不等式及应用 [J], 有名辉
3.一个推广的具最佳常数的多参数Hardy-Hilbert类不等式 [J], 刘琼;李继猛
4.一个具最佳常数的多参数Hardy-Hilbert不等式 [J], 刘琼;李继猛
5.含多参数的Hardy-Hilbert不等式的改进 [J], 聂彩云
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一个较为精密的Hardy-Hilbert型不等式的加强及应用

Ａｂｓｔｒａｃｔ：触ｅｒｓｔｕｄｙｉｎｇｏｎＨａｒｄｙ＿Ｈ订ｂｅｒｔｓｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｈｅｉｍｐｍｖｅｍｅｎｔｓａｓｆ０ｌｌｏｗｉｎｇａｒｅａｃｈｉｅｖｅｄ．ｉｆｌ
。＜薹［一ｎ］Ｐ＜。。，。＜￣ｔｌ＂ｐ！－ｓ６＜。。，贝有：
薹薹＜ ∑ ＝１ Ⅱ
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Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｍｐｒｏｖｅａｎｄｕｎｉｆｙｓｏｍｅｒｅｃｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｉｓｆｉｅｌｄ．
第１５卷第１２期
Ｖ０１．１５．Ｎｏ．１２
宜宾学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｉｂｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
２０１５年１２月
Ｄｅｃ．．２０１５
一
个较为精密的Ｈａｒｄｙ — Ｈｉｌｂｅｒｔ
一
一＼、●
ＴｈｅＳｔｒｅｎｇｔｈｅｎｉｎｇｏｆａＭｏｒｅＡｃｃｕｒａｔｅＨａｒｄｙ。ＨｉｌｂｅｒｔＴｙｐｅＩｎｅｑｕａｌｉｔｙａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

Hardy-Hilbert重级数定理的一个改进

维普资３月
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬＴＨＥＯＲ￣ＡＮＤＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮＳ
ＶｏＩ２＿７Ｎｏ１．
Ｍａ．２０ｒ０７
Ｈａｄ－Ｈｉｅｔｒｙｌｒ重级数定理的一个改进。ｂ
２８
数学理论与应用
第２卷７
进行了研究（［］．文的目的是利用矩阵理论和Ｂｒｏｌ不等式以及Ｈｏｄｒ等式建立见２）本ｅｎｕｌｉｌ不ｅ重级数型Ｈａｄｒｙ— Ｈｉｅｔｌｒ不等式的一个新的改进，ｂ它不同于文［］所列文献的各种结果．２设Ｅ是一个内积空间，ｎ６表示向量ａ与ｂ内积，（，）的向量ｚ的模用Ｉｌ表示，ｌｌＩｌｚ即ｌｌ
ＡｂｓｒｃＡｔｅｔａｔｓｒｎｇｔｎｄｒｓｔｏｆＨｏｄｅ ’ ｎｅｈｅｅｅｕｌｌｒＳｉｑｕａｉｙｉｔａｎｄｂｙｍｅｓｏｈｅｐｏｉｉｅｉｔｎｓｈｅｌｔｓａｔｉｅａｎｆｔｓｔｖｅｄｆｎｉｅｅｓｏｆｔ
ｉｅａｉｙ．ｎｑｕｌｔ
１引言和引理
设｛｝６是非负的数．果∑ｎ＜＋ｏ且∑６＜。ｎ和｛｝两个实序列如。：＋ｏ，那么
Ｈ＝１Ｈ＝１
ａｎ≤ ｍｂ
ｓｎ－ｉ
｛ ∑ ｛
ｐ１
｝ ÷
－
（．）１１
Ｈａｄ－Ｈｉｅｔ级数定理的一个改进．别，ｐｒｙｌｒ重ｂ特当＝２时，到了经典的Ｈｌｅｔ级数定理的一个很强的结得ｉｒ重ｂ

关于Hardy-Hilbert不等式的一个加强及应用

．
井冈山大学学报（自然科学版）． — ● 一一Ｓ／厂ｎ／、 ●ｐ、．，万一
∑ ∑
。 ∑
．．．．．．．．．．．．．．．，．。．。．．．．
１９９７年，杨必成和高明哲得到如下权系数估一 ¨ 计［８】．
２ＳｈｏｏＭａａｅｌｔｎＥｏｏｓＳｃｕｎＵｅｉｆｃｅｃ＆ＥｇｎｅｉｇＺｇｎ，ｉｈａ４３０，ｈｎ）・ｃｏｌｆｎｇｎＢｄｃｎｍｉｉｈａｍｖｒｙｏＳｉｅｅａｔｔｎｎｉｅｒ，ｉｇＳｃｕｎ６００Ｃａｎｏｉ
ｍ薹’，＜ｌ＝ｎ）１（ — ＼，『Ｈｌ；ｌＣ
ｎｐ
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＜
文章编号：１７ —０５２１）２０２－５６４８８（０２０－０２０
∑ 口
ｐｎ
关于ＨｒｙＨｌｅｔａｄ．ｉｒ不等式的一个加强及应用ｂ
０
＜
● 隆建军，杨厚学２
（．花市大河中学，四川，攀枝花１攀枝６７６；．四川理工学院经济与管理学院，四川，自贡６３０）１０１２４００
ｏＮＡＴＳＲＥＮＧＴＮＥＨＥＤＨＡＲＤＹＨＩＥＲＳＩＱＵＩＹ．＿ＬＢＴ’ ＮＥＡＬＴＡＮＤＩＴＳ
ＡＰＰＬＩＣＡＴＩｏＮ
ＬＮＧＪｎｕＡＮＧＨｕｘｅＯａ－ｎ，Ｙｉｊｏ－ｕ
（．ａｅＭｉｄｅｃｏｌｆａｚｉｕ，ａｚｉｕ，ｉｕｎ１０１ｈｎ；１ｈｄｌＳｈｏｏＰｎｈａＰｎｈｈａＳｅａ７６，ｉａＤｈｈ６Ｃ

带参数双级数Hardy-Hilbert型不等式的改进

～
：
１以｝｛｝，，为非负实数列，使得０｛ ∑以ｏ０ ∑ ｏ：ｏ：ｏ，则有：；
ｎｊ＝
Ｐｑ
鲁ｍ＋ｎ
（）１
这里，常数因子 — 一是最佳值，（）ｓ（ｐｉ￣）ｎ／１式称为ＨｒｙＨｂｒ不等式．ａ。ｉｔｄｅ它在数学分析及其他数学分支中有极其重要的应用．近年来，多文献对Ｈａｄ－ｌｅｔ等式作了有益的推广和改进，如在文献［］很ｒｙＨｉｒ不ｂ１中给出了一个带参数的Ｈａｄ— ｉｅｔｒｙＨｂｒ型不等式：
（，）ｌｌｌｌ（一易＜ｌｌｌｌ１）口ｐ易其，＝（ｃＳ）中（日），），一（ｃ
ＡｂｔａｔＡｎｉｒｖｍｅｔｆｒｄ — ｌｅ ’ ｉｅａｉｔａａｔｒａｅｏｔｉｅｙｍｅｎｆｈｒｅｉｇｏｓｒｃ：ｍｐｏｅｎｏＨａｙＨｉｒＳｎｑｕｌｙｗｉｐｍｅｅｓｃｎｂｂａｎｄｂａｓｓａｐｎｎｆｂｔｔｈｒｏａ
维普资讯
第３卷第１４期
２００８ห้องสมุดไป่ตู้ ２月
湖南农业大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｎｎＡｇｉｕｔｒｌｎｖｒｉＮａｕａＳｉｎｅ）ｏｒａｏＨｕａｒｃｌａｉｅｓｙ（ｔｒｌｃｅｃｓｕＵｔ
￣（－）ｔｚａ－
＜
Ｐ＋一２ｑ＋一２
— — — — — — — — — 一
— — — — — — — — — — —

关于一个改进的Hardy-Hilbert不等式

系数的方法，（）了如下的改进：对１做
妻妻
ｍ
＝ＯｎＯ＝
＜薹一｛（＝
Ｐ
）薹一ｎ（老）６：
Ｐ
本文的目的是对上述（）中的不等式作进一步的改进，而得到一个新的不等式．２式从为了证明我们的主要结果，我们需要下列引理．
（）５
其ｒ（丌可。ｚ（ｙ，：口）＿Ｉ１ｘ≥ ．中：＿一舌）一卢）Ｙ＝，，一，０＝『＝『，，＝且ｌＩｙ（
不等式（）５中等式成立当且仅当ａ与卢线性相关；者ｙ或是和的线性组合，ｘ且ｙ＝０，Ｘ≠ Ｙ但．
（ｑ）口ｂ／＝ｃ（一／），易算出口。＝Ｃ６。Ｐ１６ｑ容Ｐ＝１：．＝
（）４
不等式（）等号当且仅当ａ与。线性相关．实上（）等式成立当且仅当存在ｃ使得４取事４中，
妻妻
ｍ
＝Ｏｎ＝Ｏ
＜
｛口妻薹：ｎ，｛训＝Ｏ
其中常数因子 —
是最佳值．就是著名的Ｈａｄ－ｌｅｔ这ｒｙＨｉｒ不等式．ｂ
鉴于Ｈｉｅｔ等式和Ｈｉｅｔｌｒ不ｂｌｒ型不等式在分析学及其应用中的重要性，ｂ因此有不少数学工作者一直在进行研究．年来，近它们的各种改进和推广出现在大量的文献中（［］５）其中文［］利用权如２一［］，４

关于Hardy-Hilbert不等式的一种推广

立了一个新的Ｈｒ —Ｈｌｅ型不等式．８ｙｉｒｄｂｔ
关键词：ａｙｉｅｔ等式；函数；ｏｅ不等式Ｈｒ —Ｈｌｒ不ｄｂ权Ｈｌｒｄ
中图分类号：１２２Ｏ７．６文献标识码：Ａ文章编号：０８９Ｘ２０）９— ００５１０ —２３（０７００１ —０
张焕萍盛宝怀，２
（．兴文理学院１绍数学系，江浙绍兴３２０；．波大学１００２宁数学系，江浙宁波３５１）１２１
摘
要：用改进的Ｅｌ —Ｍａｌｒ求和公式和Ｈｌｒ等式，利ｕｒｅｃｕｎａｉｏｅ不ｄ引入参数ａｔ，Ｈｒｙｉｅｔ不等式作了推广，，对ａ —Ｈｌｒ型ｄｂ由此建
式为：
＜ｓ＇］＝Ｐ１ｐ｛ｎ１）ｇ（【（）（｛ａ妻（（ｂ，２Ａ￣０－－｝ｑ１ｑｉ／｛ｎ１｝ｎｐｎ｝－Ｘ｝￣）－）
［］口｛：｛）
ａ＝ｏ
其中，常数因子［ｒＡｉ（／）是最佳值．￣ｓ丌ｐ］／ｎ当＝１，时不等式（）２式成为不等式（）文献［］５［］１．４［］６还通过引入参数ａ，立了一些较为精密的Ｍｕｈｌｎ不等式．建ｌｏａｄｌ特别，杨必成在文［］中引人参数ａ给出的不等３，
，．．．。。，。．。
＾＿０
∑一
－／一
・ｍ口ｎ＋（＋口ｎ

关于推广的Hardy—Hilbert不等式

关于推广的Hardy—Hilbert不等式骆伟东;盛宝怀【期刊名称】《绍兴文理学院学报：自然科学版》【年(卷),期】2006(026)003【摘要】利用改进的Euler—Maclaurin求和公式，建立了一个新的Hardy—Hilbert型不等式：设p〉1,1/p＋1/q=1,a≥1/2.an,bn≥0,满足0〈∞∑n=0an^p 〈∞及0〈∞∑n=0bn^q〈∞,则有∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn〈{∞∑n=0k（q）an^p）^q/p{∞∑n=0k（p）bn^q}^1/q, 其中k （r）=∞∑n=02（n＋1）[1/（n-1/r＋1）^3＋1/（n＋1/r＋1）^3],r=p,q. 特别，当1〈p≤2且1/2≤a≤1时有∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn 〈[k^1/q（p）k^1/p（q）]{∞∑n=0an^p}^1/p{∞∑n=0bn^q}^1/q, 这里，常数因子k^1/q（p）k^1/p（q）是最佳值．【总页数】7页(P18-24)【作者】骆伟东;盛宝怀【作者单位】绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000【正文语种】中文【中图分类】O172.26【相关文献】1.一个推广的Hardy-Hilbert不等式及应用 [J], 隆建军2.带有Gamma函数的Hardy-Hilbert型不等式的推广 [J], 石艳平;尚小舟;高明哲3.一个推广的 Hardy-Hilbert 型不等式 [J], 杨必成4.一个推广的Hardy—Hilbert型不等式 [J], 杨必成;5.关于一个全平面推广的Hardy-Hilbert积分不等式 [J], 杨必成因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

推广Haurdy—Hilbert型不等式的改进

推广ＨｒｙＨｉｅｔａｄ－ｌｒｂ型不等式的改进
陈小雨贺乐平ｂ．
（吉首大学ａ师范学院数学与计算机科学系；ｂ数学与计算机科学学院，湖南．摘
一
吉首
４６０１００）
要：Ｈｌｒｉｅｔｂ￣
等式是分析学中的重要不等式，由于权系数方法的改进及参量化思想的应用。使这￣ＨａｙＨｉｅｔｒｌｒｄｂ型不等式作了进一步的
七示ｍｉ｛，．表ｎ｝
引理１设以，ｎ０古吉１且ｐ１ｂ≥ ，＋＝，＞．
如＜ｌｌ＜ｃ，０＜ｃ，果０Ｉｌ＋一＜ａ。＋一那么：。
Ｈｄ．ｉｅ型不等式作进一步的改进，从而得ｒＨｂｔａｙｌｒ
Ｐｑ
Ｈｄ — ｌｅｔ等式，在分析学中有极其重要应ｒａｙＨｉｒ不ｂ用．文献【．］出了Ｈｄ —ｉｅｔ不等式和１４给ｒａｙＨｌｒｂＨｌｅｔｉｒ不等式的一些推广和改进．ｂ本文的目的是对文献［】的推广的１中
Ｈａｄ ‘ ｌｅｔｎｑａｉｅｇｖｎｂａｓｏｈｒｅｉｇｏ１ｅ ’ ｉｅｕｌｙＳｍｅｎｗｎｑａｉｅｒｙＨｉｒ’ ｉｅｕｔａｉｅｙｍｅｆｓａｐｎｎｆＨ６ｄｒＳｎｑａｉ．ｏｅｉｅｕｔｓｂＳｌｙｒｎａｔｌｉ
（．ｐｒｍｅｆａｈｍａｉｓａｄＣｏｍｐｔｒＳｉｎｅＮｏｍａｌｅｅｂＣｏｌｇｆＭａｈｍａｃｎｍｐｔｒｉｎｅＪｓｏｉｅｓｔ，ａＤｅａｔｎｔｔｅｔｎｏＭｃｕｅｃｅｃ，ｒｌＣｏｌｇ；．ｌｅｏｔｅｔｓａｄＣｏｕｅｅｃ．ｉｈｕＵｎｖｒｉｅｉＳｃｙ

多参数的hilbert积分不等式的改进

多参数的hilbert积分不等式的改进
Hilbert积分不等式作为一个重要的数学结构，被广泛应用在各类的科学领域，例如惯性系统的分析、数值分析以及有效定制、信号处理中，特别是在多参数系统的建模、控制中占
有重要的地位。

然而，Hilbert积分不等式在实际应用中若出现各参数不同情况，则会遇到巨大的局限性，即该积分不等式的形态无法满足不同的需求゜.因此，提出改进的多参数Hilbert积分不等式，成为研究重要课题。

改进的多参数Hilbert积分不等式，其核心思想是考虑Hilbert积分不等式函数空间内不同
参数对其形态的影响，将不同参数构造纯净的空间转换，从而获得不等式的变化性.根据此，在Hilbert积分不等式函数空间内定义不同参数的质量因子，以比较不同参数的不同函数
形态，再以最小值统一表面。

此外，在积分参数的计算中，改进的多参数Hilbert积分不
等式的应用及其解析解的解，使Hilbert积分不等式具有了更宽化的适用范围、和更强的
模型准确性和准确性。

改进的多参数Hilbert积分不等式是参数影响Hilbert积分不等式形态性的实质，使研究者
能够从不同的参数空间结构形式，探讨系统的精确模型。

为各类科学研究提供了更加可靠
的数学框架，起到了巨大的助力作用。

一个改进的Hardy-Hilbert不等式

第６期
王卫宏，：个改进的Ｈａｄ — ｌｅｔ等式等一ｒｙＨｉｒ不ｂ
９３
本文通过估算权系数，（）对１做进一步的改进．为此，用到下述改进的ＥｌｒＭａｌｕｉ式：要ｕｅ— ｃａｒｎ公若
厂（＞，）ｏ［× 厂（）（ｏ，） ’（出ｃｏ厂十，ｏ。㈩× ｏ—，，，ｊｘ＜。）ｌ＜ ∈ ，，ｃ一ｒ１３） × （ｃ）。２ｆ，
１引
言
，
∑一
ｐＨ
口
、ｌ，
设＞１ｌ一１口，。，，＋ｌ，６≥ 。＜
ｑ
一
●
ｎ＜ｃ， × 。＜３
６＜ｃ， … ： × 则３
，－Ｉ、
一ｐ
Ｅｍ＋．ｌＥ＋
，
∑一
ｓ（／ｉ￣ｐｎ
、ｌ，
维普资讯
第６期
Байду номын сангаас
王卫宏，：个改进的Ｈａｄ — ｌｅｔ等一ｒｙＨｉｒ不等式ｂ
９５
∑
∑一薹＜薹一塞［（
证由Ｈ６ｄｒ１ｅ不等式，有
（一１Ｏ）
・
．
㈩
证设（）ｘ－
（ ” ｔ１￣，２－）－－
［一
一
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ｆ．）＝ｏｏ（ｄｆｘｘｆ
一
・）ｊ・（ ÷ ’ 南
Ｊｊ ’ Ｙ１ｏ＋ ‘ ．
一
薹＿（）一干【 ÷ ＜

Hardy-Hilbert不等式一个新的改进

Hardy-Hilbert 不等式一个新的改进隆建军（攀枝花市大河中学，四川攀枝花617061）摘要：通过给出如下形式的权系数的估计式 ()qpm qn n p m n n m n q 1111251821sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω，N n qp q ∈=+>,111,1，从而得到Hardy-Hilbert 不等式的一个新的改进形式.所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果.关键词：Hardy-Hilbert 不等式；权系数；Holder 不等式中图分类号：O178 1 引言设0,≥n n b a )(N n ∈,1>p ，111=+q p .若∞<<∑∞=10n p n a ,∞<<∑∞=10n q n b ,则有 ∑∑∞=∞=+11m n m n nm b a )sin(p ππ<pn p n a 11)(∑∞=n q n b 11)(∑∞=，（1）这里，常数)p ππ是最佳值]1[，其等价形式是∑∑∞=∞=+11)(n pm m nm a p p ])sin([ππ<∑∞=1n pna，（2）这里，常数p p ])[ππ仍是最佳值.称（1）为Hardy-Hilbert 不等式，它是分析学及其应用领域的重要不等式.近年来有许多专家、学者对其进行研究，得到了许多优秀的结果]62[-.1991年，徐利治和郭永康得到如下权系数估计]7[：()1,s i n 1,1111-=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=-∞=∑p nn p m n n m n q p qppm qηηππω（3）从而给出了Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n pq pn p n q p m n n m b n n q p a n n p p n m b a 11111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ （4）1997年，杨必成和高明哲得到如下权系数估计]8[： ()pm qnC p m n n m n q 1111sin 1,--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∞=ππω（5）给出新的Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n q pn p n p m n n m b n C p a n C p n m b a 111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=ππππ （6）其中C 是欧拉常数.1998年，杨必成和L.Debnath 得到如下权系数估计]9[： ()qpm qnn p m n n m n q 111121s i n 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω（7）从而得到如下的Hardy-Hilbert 不等式的一个新的加强形式：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 111111111121sin 21sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ （8）2005年，吕中学得到如下权系数估计]10[： ()qpm qnabn p m n n m n q 11111sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω（9）从而得到Hardy-Hilbert 不等式的一个新的推广与改进：qn q n p q pn p n q p m n n m b n abn ab p a n abn ab p n m b a 111111111112sin 12sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ （10）其中e ab b a ≤<>>0,0,0.其等价形式为：∑∑∑∞=--∞=∞=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11111112sin sin n pn q p p m p n m a n abn ab p p n m a ππππ （11）本文通过改进和推广文献[7-10]的结果，从而给出（1）式和（2）式一个新的改进形式. 2 引理引理2.1]9[ 设N n qp p ∈=+>,111,1，则 ()pn n np g p f p n q 1)()(s i n ,+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω （12）这里),(n q ω与（3）式定义相同，且 32)31(31121)1(1121)(n p pn n p p p p f n ++++++=，（13） 32212712121127)21(21121)(nn n n p pn p g n -+--+--= （14）引理 2.2]8[ 设)(x f 为[)+∞,1的四阶连续可微函数，若0)1(''',0)()4(<≥f x f ，0)(lim )(lim )(==∞→∞→x i x x f x f ，)3,2,1(=i 且∑∞=1)(m m f 及⎰∞1)(dx x f 收敛，则)1('121)1(21)()(11f f dx x f m f m -+≤⎰∑∞∞= （16）引理2.3 ]9[ 设N n p ∈>,1，则 32112121)()(nn p g p f n n -->+ （17）引理2.4 设N n qp p ∈=+>,111,1，则 ()qpn n p n q 11251821sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω（18）()pqn n p n p 11251821sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω（19）证明：当3≥n 时， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--n n n 259121121213⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=3225111509150292121n n n n （20）下证322511150915029n n n ---015054150929323>---=n n n n（21）（21）式等价于当3≥n 时，054150929)(23>---=n n n n ϕ()01983>=∴ϕ又()1501887'2--=n n n ϕ，()05793'>=ϕ， ()18174''-=n n ϕ，()05043''>=ϕ，()0174'''>=n ϕ.从而当3≥n 时，()()()0,0',0''>>>n n n ϕϕϕ.因此由（20）式和（21）式，有21259121121213>⎪⎭⎫ ⎝⎛+--n n n ，nn n 252121121213+>--∴（22）由引理1和引理3结合（22）式，得()qpn n p n q 11251821sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω， 3≥n（23）当1=n 时，由（5）式，有 ()251821sin 11sin ,+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<p C p n q ππππω （24）当2=n 时，由57721.0<C ，都()()p qpC1112122518221-<+- ()()()q ppp C p n q 11122518221sin 21sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<∴ππππω（25）由（23）~（25）得（18）式成立，交换q 为p ，加之⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q p ππππsin sin ，得(19)式成立.引理证毕.3 主要结论及其证明定理3.1 设111,1=+>q p p ，0,0≥≥n n b a ，+∞<<+∞<<∑∑∞=∞=110,0n p n n pn b a ，则qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 1111111111251821sin 251821sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ（26）证明：由Holder 不等式，得()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111111m n pq q npq p m m n n m n m n m b n m n m a n m b aqm n pqn pm n qpn n m n m b n m n m a 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= qm q n n ppm p n n qb n m n m a n m n m 1111111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= ()()qm q n pm p n b n p a n q 1111,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞=∞=ωω 因此，将引理4中的(18)和(19)式代入上式，即得：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 1111111111251821sin 251821sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ. 定理1证毕.作为应用我们建立(26)式一个等价形式：定理3.2 设111,1=+>q p p ，0≥n a ，+∞<<∑∞=10n p n a ，则∑∑∑∞=--∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111251821sin sin n p n qp p m p n n a n n p p n m a ππππ 证明：由()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<p n q ππωsin ,和Holder 不等式，得()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1111111n pq q pq p nn n m n n m m n n m a n m a qn ppn p n qm n n m a m n n m 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∑∑∞=∞=(){}q pn p n qn p a m n n m 1111,1ω⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞=qpn p n qp a m n n m 1111sin 1⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∞=ππ.由(18)式和以上所得，有∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111sin m n pn qqpm pn n a m n n m p n m a ππ ∑∑∞=∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111sin n p nm q p a m n n m p ππ()∑∞=-⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,sin n pnp an q p ωππ∑∞=--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<1111251821sin sin n p n q p p a n n p p ππππ 所以，定理2成立.定理证毕. 评注：显然引理4中的（18）、（19）式比(3)、(5)、(7)、(9)更加精确，所以本文结论也比(4)、(6)、(8)、(10)、(11)更加精确.进而定理1和定理2是(1)和(2)的推广和改进，. 参考文献：[1] Hardy G H, Littlewood J E, Polya G. Inequalities[M].Cambridge Univ Press,1952. [2]董大校.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广[J].云南师范大学学报(自然科学版)，2000，20(2):9-13.[3]杨必成.关于一个推广的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2002,23A(2):247-254.[4]洪勇.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广与改进[J].数学的实践与认识，2002，32(5):849-855.[5]杨必成.一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2000,21A(4):401-408.[6]洪勇.关于Hardy-Hilbert 不等式的新推广[J].南昌大学学报(理学版)，2005,29(6):566-570.[7]Xu L C,Gau Y K.Note on Hardy-Riesz's extension of Hilbert's inequality[J].Chin Quar J math,1991,6(1):75-77.[8]杨必成,高明哲.关于Hardy-Hilbert 不等式的一个最佳常数[J].数学进展,1996,29(2):159-164.[9]Yang B C,Debnath L.On new strengthened Hardy-Hilbert inequality[J].Internat JMath Sci,1998,21(2):403-408.[10]吕中学.Hardy-Hilbert 不等式一个新的推广与改进[J].数学的实践与认识,2005,35(5):142-145A New Improvement of Hardy-HilbertInequalityLONG Jian-jun(DaHe Middle School of Panzhihua,Sichuan panzhihua 617061,China)Abstract :A new inequality for the weight coefficient ω(q ，n) in the form is proved ()qp m qnn p m n n m n q 1111251821sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω，N n qp q ∈=+>,111,1， And a new generalization and improvement of Hardy-Hilbert inequality is obtained.The results presented in this paper improve and unify some recent results in this field.Key words : Hardy-Hilbert inequality ;weight coefficient;Holder inequality该文发表于全国科技核心期刊《云南民族大学学报》（自然科学版），2012年5月第三期第197-201页。