高一必修一数学-复合函数定义域

复合函数的定义域

讲解内容：

复合函数的定义域求法

讲解步骤：

第一步：函数概念及其定义域

函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.

第二步：复合函数的定义

一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22

(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）

第三步：介绍复合函数的定义域求法

例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；

解：由题意得

35x -<≤

3325x ∴-<-≤

137x -<≤

1

7

33x ∴-<≤

所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛

⎤- ⎥⎝⎦

. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222

x x x x x x x x x ，或

即23-<≤-x 或10≤

故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --

例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域

解:由题意得

23x ∴-≤≤

639x

∴-≤≤ 42311

x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-

例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。

解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x

即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x

故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1

例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的

定义域

解: ⎩

⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤m b x m a m b x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-

要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20a b m -≤

<，这时函数

()x h 的定义域为],[m b m a -+ 第四步：总结解题模板

1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()

f x的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。