(5)级高等数学提高班讲义5详解

高等数学
提高班讲义 5
向量代数、空间解析几何
2013.3
第五讲 向量代数、空间解析几何
一、向量的基本概念 二、向量运算 三、空间解析几何的基本概念
四、平面方程 五、空间直线方程
六、几种常见曲面及曲线
七、空间曲线在坐标面上的投影 八、综合练习
一、向量的基本概念
1.向量
AB , 等等在几何上 . , AB 就是线段AB之长,亦即
A, B两点之间的距离.
模等于1的向量称为单位向量.显然,单位向量
不是唯一的,不同方向上的单位向量是不同的.a的
单位向量记为a , AB的单位向量记为AB .
Ox轴、Oy轴、Oz轴正向上的单位向量, 分别
记作i , j, k.
0
0
模为零的向量称为零向量,记为0或0.零向量 的方向可以看作是任意的.
向量a与Ox轴、Oy轴、Oz轴正向之间的夹角,称为
a的(三个)方向角, 依次记为 , , .规定0 , , π.
方向角确定了向量a的方向.不过更多的是以 , , 的 余弦 cos ,cos ,cos 来表示的方向, 并称它们为a的
方向余弦 .
有了向量的坐标表达式,立即可得模与方向余弦
不共面, 求四面体ABCD的体积V .
解 作向量 AB, AC, AD, 则
V 1 AB AC AD 6 x2 x1 y2 y1 1 x3 x1 y3 y1 6 x4 x1 y4 y1


z2 z1 A z3 z1 . z4 z1
D
C
B
例1. 4 设a, b都是非零向量, 且 b 1,(a, b) π , 求 3 a xb a lim . x 0 x 2 2 a xb a a xb a 解 lim = lim x 0 x 0 x x a xb + a
3)向量积的坐标表达式 设a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ), 则
(y1 z2 z1 y2 )i ( x1 z2 z1 x2 ) j ( x1 y2 x2 y1 )k
记为

i x1 x2
j y1 y2
k z1 z2

()
y1 y2
——对应坐标相加(减)
5)加法运算律
①交换律
②结合律
a b b a;
a b c a b c ;
ab a b .
③三角不等式
2.数与向量的乘法(数乘)
1)数与向量a ( x, y, z)的乘积a是一个向量：
① a = a ；
②当 0时 a与a同向, 当 0时 a与a反向, 当 0时 a 0.
显然a a = 0， 特别地i i = 0, j j = 0, k k = 0;
而i
j = k , j k = i , k i = j; j i = k , k j = i , i k = j.
b
)
h b sin
易知 a b a b sin(a , b)表示以a , b为邻边的平行
利用向量的加(减)法,可将起点为A( x1 , y1 , z1 )、终 点为B( x2 , y2 , z2 )的向量AB表示为
AB ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k. a xi yj zk
简记为
( x, y, z )称为向量a坐标表达式.
既有大小,又有方向的量叫做向量. 在几何上,用带箭头的直线段表示向量.箭头所指 即为该向量的方向,线段的长度即为该向量的大小.
通常将以A为起点、B为终点的向量记为AB或AB.
也可将向量记为a, b, F , 或a, b, F 等.
B
A A
AB
AB
B
a
b
2.向量的模、单位向量、零向量
向量的大小, 称为该向量的模,记为 a , a AB ,
四边形的面积.
a
1 a b b a ；（不满足交换律！） 2 a b c a b a c, a b c a c b c; 3 a b a b a b ;
ห้องสมุดไป่ตู้2)向量积的运算律
a b (x1i y1 j z1k ) ( x2 i y2 j z2 k )
4.二向量的向量积
1)定义 设c是由向量a和b所确定的向量,且满足
① c = a b sin(a , b); ②c a, c b; ③a, b, c成右手系， 则称c是a与b的向量积，记为a b，即c a b. 向量积通 常也称为叉积. 规定：a, 有0 a = 0, a 0 = 0 .
a b c V(以a ,b ,c为棱的平行六面体 )
h
bc
由此可得： 4)向量 a, b, c 共面，当且仅当


a c
b
a b c 0 x2 x3
x1
y1 y2 y3
z1 z2 0. z3
5)由定义可知 a b c a b c,即 [a b c] [c a b].
也就是说,向量经过平移后是不变的.
今后讨论的都是自由向量.
4.二向量间的夹角、平行 a 规定(a, b) [0, π].
b
若向量a与b的方向相同或相反（即夹角为0或π），
则称a与b平行，或共线，记为a//b.
5.向径、向量的坐标表达式、方向余弦
为便于对向量进行运算,我们将向量置于空间
例1.2 设三个向量a, b, c满足关系式a b c 0, 则
a b ( B ). (A) c b (B) b c (C) a c (D) b a
解 a b (b c) b b b c b b c, 选B.
例1.3 设点A( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 ), C( x3 , y3 , z3 ), D( x4 , y4 , z4 )
3.二向量相等、负向量、自由向量
若向量a和b的模相等、方向相同,则称a与 b相等, 记为a b.
若b与a的模相等、而方向相反,则称b是a
的负向量,记为-a,即b a. 任何向量都有唯一
的负向量. 0的负向量仍为0.
a a
在数学上, 一般只考虑向量的模和方向, 而不考
虑向量的起点和终点,称这样的向量为自由向量.
例1.1 设a, b, c都是单位向量, 且a b c 0, 则
a b+b c +c a ( C ). (A) 0 (B) 3
解
(C) 3 (D) 1 2 3 2 2 2 0=(a b c ) (a b c ) a b c
2(a b+b c +c a) 3 2(a b+b c +c a), a b+b c+c a 3/ 2.
的计算公式：设a xi yj zk , 则
a x y z ;
2 2 2
z
cos cos cos
x , 2 2 2 x y z y x2 y 2 z 2 ,
x

a
O

)
y
z . x2 y 2 z 2
cos2 cos2 cos2 1 .
——对应坐标乘积之和. 3)用数量积表示向量的模、夹角
a a a,
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1
2 2 2
cos(a, b) a b a b
x2 y2 z2
2 2
2
,(a 0 b 0).
4)数量积的运算律
1 (交换律)a b b a;
a
显然
2a
共线.
1.5a
a //a,即 a与a
2) a ( x, y, z ) ( x, y, z ).
——用乘a的每一个坐标 .
3)a//b 1 R, s.t.a b.
4)数乘的运算律
1 (a b) a b（对于向量加法的分配律）; 2 ( )a a a（对于数的加法的分配律）; 3 （a） ( )a （与数的乘法的结合律）;
2 (对于加法的分配律)a （ b c） a b a c;
3 (与数乘的结合律（ ) a） b （a b）.
4（正定性）a 0, a a 0.
5)
a b a b cos a Prja b (a 0),
a b a b cos b Prjba (b 0).
z1 z2
i
()
x1 x2
z1 z2
j
x1
x2
y1 y2
k.
4)二向量平行的充分必要条件
设a ( x1 , y1 , z1 ) 0, b ( x2 , y2 , z2 ) 0, 则
1 R,s.t.a b a // b a b 0 x1 y1 z1 . x2 y2 z2
直角坐标系中.
起点在原点O, 终点为M ( x, y, z )的向量OM 称为
向径, 通常也用r 表示. 显然,r OM 点M ( x, y, z).
利用向量在坐标轴上的投影及数与向量的乘法,
又可将向径OM 表示为：OM xi yj zk. 通常也称x, y, z是OM的三个坐标,并记OM ( x, y, z).
由此, 可将投影表示为点积：