第七章 方差分析
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【STATA精品教程】第七章 方差分析
• 在Stata应用中使用ttest命令来完成，单样本ttest有两种命令格式： • 命令格式1（通过样本进行t检验）：
• ttest varname == # [if] [in] [, level(#)] • 命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）：
• ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)] • 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值，level为
值，level为置信度水平。
• Tte主s要t的选主项要选项如描下述 表7-1所示：
* by(groupvar) 通过定义组变量
unequal
非配对的数据含有不同变量
welch
使用Welch近似
level(#)
置信水平默认95%
• 【例7.1】使用文件“减肥.dta”的数据来对样本ttest命令的应用 进行说明。该例子是通过减肥茶前后的体重数据来评估减肥茶是 否有效果。本例要求用单样本t检验验证在服用减肥药之前，体 重的均值是否为90公斤。以及使用减肥药前后，体重是否有显著 变化。
置信度水平。
• 2、两样本t检验的Stata操作
• 两样本t检验的Stata操作有三种基本命令格式，如下所示： • 命令格式1（通过样本进行双变量t检验）： • ttest varname1 == varname2 [if] [in], [options] • 命令格式2（通过样本进行分组t检验）： • ttest varname [if] [in] , by(groupvar) [options] • 命令格式3（通过样本的统计指标进行t检验）： • ttesti #obs1 #mean1 #sd1 #obs2 #mean2 #sd2 [, options] • 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数
• ttest varname == # [if] [in] [, level(#)] • 命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）：
• ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)] • 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值，level为
值，level为置信度水平。
• Tte主s要t的选主项要选项如描下述 表7-1所示：
* by(groupvar) 通过定义组变量
unequal
非配对的数据含有不同变量
welch
使用Welch近似
level(#)
置信水平默认95%
• 【例7.1】使用文件“减肥.dta”的数据来对样本ttest命令的应用 进行说明。该例子是通过减肥茶前后的体重数据来评估减肥茶是 否有效果。本例要求用单样本t检验验证在服用减肥药之前，体 重的均值是否为90公斤。以及使用减肥药前后，体重是否有显著 变化。
置信度水平。
• 2、两样本t检验的Stata操作
• 两样本t检验的Stata操作有三种基本命令格式，如下所示： • 命令格式1（通过样本进行双变量t检验）： • ttest varname1 == varname2 [if] [in], [options] • 命令格式2（通过样本进行分组t检验）： • ttest varname [if] [in] , by(groupvar) [options] • 命令格式3（通过样本的统计指标进行t检验）： • ttesti #obs1 #mean1 #sd1 #obs2 #mean2 #sd2 [, options] • 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数
第七章方差分析与F检验
第七章 方差分析
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第七章方差分析(心理)
ΣX 217.40 216.20 213.20 214.40 nk=12
(ΣX)2 47262.76 46742.44 45454.24 45967.36 185426.80
1 2 3 4 n ΣX ΣX2 X
n
4 283.9 20151.51
4 290.50 21098.45
4 286.80 20564.90
SSB
n
n
SSW
2 X X 2
n
2
SST X
2
X
n
dfT dfB dfW
组间自由度
dfB k 1
组内自由度
dfW n k
dfT n 1
总自由度
计算方差 组间方差
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW
ij X t k n
X
n j 1 i 1
ij X j
n X
k j 1
j
Xt
2
令SSt X ij X t
j 1 i 1
2
总平方和,自由度为N 1,
k
SS b n X j X t
j 1 k n
k
2
n X j X t
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实 验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设 计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时， 总平方和＝组间平方和＋区组平方和＋误差项平方和
随机区组设计中平方和的分解：
SST SSB SSR SSE
SST
2 X X 2
Fmax
第七章 方差分析
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职称 高级工程师 工程师 高级工程师 助理工程师 助理工程师 无技术职称 无技术职称 无技术职称 工程师 助理工程师 高级工程师 工程师 助理工程师 工程师 助理工程师 助理工程师
文化程度 本科 专科 高中 高中 本科 高中 高中 高中 专科 本科 专科 专科 初中 本科 初中 初中 STATA从入门到精通
单样本t检验有两种用法。一是检验样本平均数是否显著地不同于某个假设值。二是检 验同一套观察值中的两个变量的统计指标是否显著地不同。这等价于两者的差值的平 均数是否等于零。 在Stata应用中使用ttest命令来完成，单样本ttest有两种命令格式： 命令格式1（通过样本进行t检验）： ttest varname == # [if] [in] [, level(#)] 命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）： ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)] 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值， level为置信度水平。
表7-15 员工信息表
minority 0 0 0 0 0 0 0 0 educ 8 8 8 8 8 8 8 8 salary 15750 15900 16200 16650 16800 16950 17400 17700 beginsalar y 10200 10200 9750 9750 10200 10200 10200 10200 gender Female Female Female Female Female Female Female Female
本例中，我们检验大学生饮酒行为平均数是否会因为是否就业而有所变化。
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职称 高级工程师 工程师 高级工程师 助理工程师 助理工程师 无技术职称 无技术职称 无技术职称 工程师 助理工程师 高级工程师 工程师 助理工程师 工程师 助理工程师 助理工程师
文化程度 本科 专科 高中 高中 本科 高中 高中 高中 专科 本科 专科 专科 初中 本科 初中 初中 STATA从入门到精通
单样本t检验有两种用法。一是检验样本平均数是否显著地不同于某个假设值。二是检 验同一套观察值中的两个变量的统计指标是否显著地不同。这等价于两者的差值的平 均数是否等于零。 在Stata应用中使用ttest命令来完成，单样本ttest有两种命令格式： 命令格式1（通过样本进行t检验）： ttest varname == # [if] [in] [, level(#)] 命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）： ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)] 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值， level为置信度水平。
表7-15 员工信息表
minority 0 0 0 0 0 0 0 0 educ 8 8 8 8 8 8 8 8 salary 15750 15900 16200 16650 16800 16950 17400 17700 beginsalar y 10200 10200 9750 9750 10200 10200 10200 10200 gender Female Female Female Female Female Female Female Female
本例中，我们检验大学生饮酒行为平均数是否会因为是否就业而有所变化。
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第七章 方差分析
第三节 平均数的多重比较
F检验是一种整体性检验，当经方差分析鉴别 多个正态总体的平均数有显著时，并不能说明 各组水平之间都存在显著差异，只是说至少有 一对差异显著，究竟哪些均数差异显著，哪些 差异不显著，则还需进行均数的多重比较。
一、图凯法
是一种能将所有各对平均值同时比较的方法。 设因素A分成两组，每组有相等的含量，并经
第二节 单因素方差分析
概念
观察的因素只有一个的实验叫单因素实验。对 此种实验结果进行方差分析的方法叫单因素方 差分析。
单因素方差分析所讨论的是k个总体标准差皆 相等的条件下，解决k个总体平均数是否相等 的问题。
一、计算步骤（见P140~142）
１、依据表中数据,计算各组内的 x,x2, xi,n ２、然后计算 x,x2,n, 并令
过方差分析判别各组之间存在显著性差异，为 了比较两者之间差异显著性，可按下式计算T
值： T QS x
其中Q值按预先确定的α水平，组数K和组内 自由度（N－k）查附表获得。
任何一对平均值之差，只要超过T值，就表明 这一对平均值之间的差别是显著的。
图凯法要求所有的样本含量都相等。
例题：P147~148 当各组被试不相等时，可采用S法检验进行两
X x, X 2 x2, N n
３、计算离差平方和：（总离差平方和、组间 离差平方和和组内离差平方和）
４、计算方差：（组间方差和组内方差） ５、计算F值
二、方差分析的计算
见课本P142~143
方差分析计算的两种情况：
当样本含量相等时：
当样本含量不等时： 例题7.2，P144~146
二、实验误差与条件误差
在方差分析的试验中，即使各水平的试验条件 完全相同，但由于随机抽样或试验过程中随机 因素的影响，其试验结果（指标）仍然会存在 偏差，我们称这种偏差为试验误差或随机误差。
管理统计学第7章 方差分析
表7-3 数据表
25
2）计算QA和QE：
1 k 1 m k QA ( xij ) 2 ( xij ) 2 mk i 1 j 1 i 1 k j 1
m
1 2 1 2 b a b a mk n
1 k QE ( xij ) 2 ( xij ) 2 c b i 1 j 1 i 1 k j 1
8
在方差分析中，为了数学上便于处理，总 是假定样本取自正态总体，且各个正态总 体的方差都相等。我们把每一个水平看成 一个总体，设对应于因素A的m个不同水平 Ai有总体xi~N(1,2)，即有：
xi i i 2 i ~ N (0, )
9
这里1=Ex1是xi的理论均值，1是随机误差， D1= 2，则方差分析所要解决的问题就变 成了检验假说
6
表7-1
7
从表7-1中数据可以看出，A1的平均寿命最长， A4的平均寿命最短，A2，A3的平均寿命介于其间， 我们是否由此可以得出灯泡寿命与灯丝材料不同 而有显著性差异的结论呢？不能，因为在灯泡制 作的过程中，除了工艺外，还有许多难以控制的 随机因素的影响，因此它们之间的差异可能是随 机误差所造成的。要正确地回答上述问题，在统 计学上可以采取显著性检验的方法来解决。
m
QE ( xij xi ) 2
j 1
m
k
5. 条件变差 i 1 （组间离差平方和）
Q A ( xi x ) 2
j 1
k
18
由于
m k i 1 j 1
QT ( xij x ) 2 ( xij xi ) ( xi x )
m k m k
25
2）计算QA和QE：
1 k 1 m k QA ( xij ) 2 ( xij ) 2 mk i 1 j 1 i 1 k j 1
m
1 2 1 2 b a b a mk n
1 k QE ( xij ) 2 ( xij ) 2 c b i 1 j 1 i 1 k j 1
8
在方差分析中，为了数学上便于处理，总 是假定样本取自正态总体，且各个正态总 体的方差都相等。我们把每一个水平看成 一个总体，设对应于因素A的m个不同水平 Ai有总体xi~N(1,2)，即有：
xi i i 2 i ~ N (0, )
9
这里1=Ex1是xi的理论均值，1是随机误差， D1= 2，则方差分析所要解决的问题就变 成了检验假说
6
表7-1
7
从表7-1中数据可以看出，A1的平均寿命最长， A4的平均寿命最短，A2，A3的平均寿命介于其间， 我们是否由此可以得出灯泡寿命与灯丝材料不同 而有显著性差异的结论呢？不能，因为在灯泡制 作的过程中，除了工艺外，还有许多难以控制的 随机因素的影响，因此它们之间的差异可能是随 机误差所造成的。要正确地回答上述问题，在统 计学上可以采取显著性检验的方法来解决。
m
QE ( xij xi ) 2
j 1
m
k
5. 条件变差 i 1 （组间离差平方和）
Q A ( xi x ) 2
j 1
k
18
由于
m k i 1 j 1
QT ( xij x ) 2 ( xij xi ) ( xi x )
m k m k
第七章 方差分析
表示
调查分析师资格培训--天津商业大学
二、方差分析的数据结构模型
y = µ + αi + β j + γ k + L + ε
其中：y是所观测的变量 µ为常数，代表共同的环境对观测变量的影响，称为平 均效应 αβγ则代表各个因子的某个水平对观测的变量的影响 ε代表实验观测的随机误差，独立同分布于正态分布
调查分析师资格培训--天津商业大学
三、方差分析的意义
一个因子的各个水平作用是否相同，即这个 因子对所观察变量的影响是否显著。 如果是显著的找出该最佳的水平或者各个显 著因子的最佳配合
调查分析师资格培训--天津商业大学
第二节 单因子方差分析
单因子数据结构模型 模型参数估计 单因子方差分析表 各水平效应的多重比较
第四节 两个因子方差分析
两个因子数据结构模型 模型参数的估计 方差分析表的构造 各个水平效应的多重比较
调查分析师资格培训--天津商业大学
一、随机区组因子数据结构模型
yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i = 1, L p; j = 1, L , q; k = 1, L , n
检验假设
H 0 : α1 = α 2 = L = α m = 0 H1 : 至少α i ≠ 0 or H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ m
m ni m
H1 : 至少µi ≠ 0
m ni
总变动平方和分解（SST=SSA+SSE）
( yij − y ) 2 = ∑ ni ( yi − y ) 2 + ∑∑ ( yij − yi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1
第七章 方差分析
第七章方差分析方差分析的主要目的是（B ）。
A．分解平方和 B．进行多个平均数的假设测验 C．分解自由度 D．进行F测验进行方差分析，第一步需要进行（C ）。
A．平方和分解 B．自由度分解 C．A＋B D．方差分解设有k组数据，每组皆有n个观察值，该资料共有nk个观察值，其总平方和可分解为（B ）。
A．组内平方和与误差平方和 B．组间平方和与误差平方和C．组间平方和与处理平方和 D．误差平方和F测验显著，说明处理间（C ）。
A．均显著 B．方差同质 C．存在显著差异 D．不显著在分解平方和的过程中，误差平方和一般（D ）。
A．通过合并组内平方和得到 B．通过合并组间平方和得到C．通过合并处理平方和得到 D．通过减法得到F测验的先决条件是（ D）。
A．变数y服从正态分布 B．样本方差来自不同总体C．两个样本方差彼此独立 D．A＋C多重比较是指（ B）。
A．多个方差之间互相比较 B．多个平均数之间互相比较C．多个处理之间互相比较 D．多个F值之间互相比较LSD实质上是（），用它进行多重比较，通常会增大犯（D）的概率。
A．t测验，II类错误 B．F测验，I类错误 C．u测验，I类错误D．t测验，I类错误自由度等于（A ）。
A．观察值个数减约束条件个数 B． n-1 C． n-2 D． n-k系统分组资料的方差分析可分解出（B ）。
A．系统误差 B．两个误差项 C．两个处理效应 D．互作项方差分析是一种 (C ) 的方法。
A．分解平方和 B． F 测验 C．多样本平均数测验 D．假设测验平方和与自由度的分解基于样本观察值的（A ）。
A．线性模型 B．大小 C．变异情况 D．数量在 A 、 B 两因素方差分析中如果处理的 F 测验不显著，有无必要筛选最佳组合（ A）。
A．无必要 B．有必要 C．视情况而定 D．不好确定如果样本平均数与其方差有比例关系，这种资料宜用（B ）。
A．对数转换 B．平方根转换 C．反正弦转换 D．用平均数代替观察值下表是 6 种溶液及对照的雌激素活度鉴定，指标是小鼠子宫重量。
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
第七章方差分析ppt课件
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13
4、各种方差、F值的计算：
各种方差的计算： （1）组间方差：
s
2 A
SS A df A
（2）组内方差：
s
2 e
SS e df e
F检验及其实质： F
s
2 A
s
2 e
本质差异
＝ —————
试验误差
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14
第二节 单方面分类的方差分析
例：整地深度（A,cm）对比试验，试分析不同的 整地深度对苗木的高生长有否显著的影响？
5*5拉丁方设计
D BC A E E DACB A CBED B AEDC C EDBA
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20
第二节 三方面分类的方差分析
分析造成差异的原因？ 1、横行间 2、直行间 3、处理间（类间） 4、机误
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21
第二节 三方面分类的方差分析
三方面分类的方差分析：
SS总=SS横行间+SS直行间+ SS类间+SS误差 即
小：0.05
结论的可靠性
低：统计量的自由 高：统计量的自由度大 度小（df =18） （df =45）
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3
第一节 方差分析的基本原理
二、方差分析的种类：
1、单因子试验的方差分析 （1）单方面分类的方差分析----完全随机排列、成组法等 （2）双方面分类的方差分析----随机区组设计、配对法等 （3）三方面分类的方差分析----拉丁方设计 2、复因子试验的方差分析 （1）无交互作用的方差分析 （2）有交互作用的方差分析
d
m
LS 0.0D 5t0.05 sd
LS 0.0D 1 t0.01 sd
第七篇 方差分析(stata统计分析与应用)
主要选项
描述
category(varlist) class(varlist) repeated(varlist) partial sequential noconstant regress [no]anova
分类变量
分类变量，与上同义。如不注明，Stata默 认所有变量都是分类变量。
重复观测因子
使用边际平方和，默认选项
描述
bonferroni 多重比较检验 scheffe 多重比较检验 sidak 多重比较检验 产生列表 [不]显示均值 [不]显示标准差 [不]显示频数 [不]显示观测个数 不显示方差分析表 以数值形式显示，而不是以标签形式 列表不隔开 将缺失值作P为age一类10
STATA从入门到精通
■ longway命令的基本格式如下： ■ loneway response_var group_var [ i f ] [ i n ] [weight] [ , options]
■ 表7-15 员工信息表
minority educ
salary
beginsalar y
gender
0
8
15750
10200
Female
0
8
15900
10200
Female
0
8
16200
9750
Female
0
8
16650
9750
Female
0
8
16800
10200
Female
0
8
16950
10200
喝减肥茶后体 重（公斤） 63 71 79 73 74 65 67 73 60 76 71 72 75 62
第七章 计量资料多组均数的比较----方差分析
（1）随机分组方法：
随机区组设计(randomized block design)又称 为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做 法是：先按影响试验结果的非处理因素（如 性别、体重、年龄、职业、病情、病程等） 将受试对象配成区组(block)，再分别将各区 组内的受试对象随机分配到各处理或对照组 。
总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异 程度。
计算公式为
g
ni
g(
X)2 ij
SS组 间 ni(Xi X)2
i1
i1
j1
ni
C
组间g1
2．组间变异： 各处理组由于接受处理
的水平不同，各组的样本均数 (i＝1， 2，…，g)也大小不等，这种变异称为组 间变异。
其大小可用各组均数与总均数的离均差 平方和表示，记为SS组间 。
三、SPSS软件实现
SNK结果
SNK结果解释
表7.8为输出HomogeneousSubsets结果。在 表格纵标目Subset下的第3和第4列上,3组均 数呈现从小到大排列,分为两个亚组,即甲厂 与丙厂在同一亚组(P=0.5111),表示二者均
数的差别无统计意义;
但乙厂与甲厂、丙厂均不在同一亚组,表 示乙厂与甲厂、丙厂比较的检验统计量 所对应的P 值均小于0.05(表底注有 α=0.05)。差别有统计意义,据表中均数,可 认为乙厂该指标高于甲厂和丙厂。
用F界值（单侧界值）确定P值。
第二节 多个独立样本均数的比较
完全随机设计：(completely random design)是 采用完全随机化的分组方法，将全部试验对 象分配到g个处理组（水平组），各组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之 间的差别有无统计学意义，推论处理因素的 效应。
随机区组设计(randomized block design)又称 为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做 法是：先按影响试验结果的非处理因素（如 性别、体重、年龄、职业、病情、病程等） 将受试对象配成区组(block)，再分别将各区 组内的受试对象随机分配到各处理或对照组 。
总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异 程度。
计算公式为
g
ni
g(
X)2 ij
SS组 间 ni(Xi X)2
i1
i1
j1
ni
C
组间g1
2．组间变异： 各处理组由于接受处理
的水平不同，各组的样本均数 (i＝1， 2，…，g)也大小不等，这种变异称为组 间变异。
其大小可用各组均数与总均数的离均差 平方和表示，记为SS组间 。
三、SPSS软件实现
SNK结果
SNK结果解释
表7.8为输出HomogeneousSubsets结果。在 表格纵标目Subset下的第3和第4列上,3组均 数呈现从小到大排列,分为两个亚组,即甲厂 与丙厂在同一亚组(P=0.5111),表示二者均
数的差别无统计意义;
但乙厂与甲厂、丙厂均不在同一亚组,表 示乙厂与甲厂、丙厂比较的检验统计量 所对应的P 值均小于0.05(表底注有 α=0.05)。差别有统计意义,据表中均数,可 认为乙厂该指标高于甲厂和丙厂。
用F界值（单侧界值）确定P值。
第二节 多个独立样本均数的比较
完全随机设计：(completely random design)是 采用完全随机化的分组方法，将全部试验对 象分配到g个处理组（水平组），各组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之 间的差别有无统计学意义，推论处理因素的 效应。
方差分析 - 第七章方差分析
L A
X ij2
X ij2
n i
N
X ij2 c n i
（3）组内离差平方和
LELTLA
3、计算自由度
（1）总自由度 （2）组间自由度 （3）组内自由度 4、计算方差 （1）组间方差
nT N1
nA k1
n EN kn T n A
MS
A
LA n A
（2）组内方差
MS E
LE n E
FF0.0(1n1 ,n2 )
p0.01 因素对试验 显 结 著 果 性 有
对[例1]进行单因素方差分析
H 0:1234
方方方方 法法法法 一二三四 1 3.3 3.0 0.4 3.6
2 1.2 2.3 1.7 4.5
3 0 2.4 2.3 4.2
4 2.7 1.1 4.5 4.4
5 3.0 4.0 3.6 3.7
二、单因素方差分析的基本原理
[例1]为考查不同训练方法对磷酸肌酸增长的 影响，我们采用了四种不同的训练方法。每 种方法选取条件相仿的6名运动员，通过三个 月的训练以后，其磷酸肌酸的增长值（单 位：mg/100ml）如下表。试检验训练方法对 运动员磷酸肌酸增长值有无显著性影响？即 四种训练方法运动员磷酸肌酸平均增长值差
xij23
xi2j 493
C232 29.389
18
LT 49329.38946.6311
LA
302 352
57
182
6
2
9.3
893
7.691
1
LE 46.631137.691184.000
n T 1 1 1 8n 7 A 3 1 2n E 1 3 1 85
MAS372.691118.8905
第七章 方差分析
15
三、方差分析的原理
所有数据的误差称总平方和（
sum of squares for total），或总变异，记为SST。
SST xij x
c j 1 i 1
nj
2
例如：所抽取的20家专卖市场销售额之间的误差 平方和称总变异，反映全部观测值的离散程度。
SST=SS因子+SSE
商业区
超市位置
居民小区
写字楼
3个以上 470 500 390 430 420 530 240 270 320
2
第七章 方差分析
你是一名研究人员，会考虑从哪几方面进行分析呢？
你可以考虑单独分析超市位置的影响、竞争者数量的 影响，或是超市位置和竞争者数量搭配在一起的影响。
如果只考虑超市位置对销售额是否有显著的影响，实 际上也是要判断不同位置超市的销售均值是否相同。 若它们的均值相同，就意味着超市位置对销售额没有 显著影响；若均值不相同，则意味着超市位置对销售 额有显著的影响。 在这里超市位置和竞争者数量是定性自变量，销售额 售额是定量因变量。
2
…
N r ,
2
x11 , x12 ,...,x1n j x21 , x22 ,...,x2n j
…
xr1, xr 2 ,...,xrn j
x1 , s
2 1
x2 , s
2 2
…
xr , s
2 r
Back 20
二、单因素方差分析的步骤
Step1：建立假设
H0 : 1 2
r
16
三、方差分析的原理
将各类误差除以自身的自由度，以消除观测值对 其影响，得到均方（mean square），分别称为组 间方差或因子均方(MS因子)、组内方差或残差均方 (MSE)。 如果因子中不同水平对因变量没有影响，则组间 方差只有随机误差而没有系统误差，此时，组间 误差和组内误差应该很接近，两个比值接近1。 当H0为真时，两个比值可建构检验统计量F 进行 假设检验。
第七章方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA）
第七章方差分析(Analysis of Variance, ANOVA)7.1 方差分析概述7.2 单因素方差分析7.3 无重复双因素方差分析7.4 可重复双因素方差分析7.5 案例研究7.6 试验设计初步7-17.1 方差分析概述⒈方差分析的概念⒉方差分析中的基本术语⒊ANOVA：对比多个总体的均值⒋方差分析中的基本假定7-27-3方差分析的概念方差分析：通过检验多个总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
解决：①A 、B 、C 是否Y 的重要影响因素；②如果为重要影响因素，最优水平？研究系统A B C分类型自变量Y数值型因变量A （a 1，a 2，a 3，…）B （b 1，b 2，b 3，…）C （c 1，c 2，c 3，…）7-4方差分析中的基本术语第1周第9周第14周第2周第7周第16周第4周第12周第17周第5周第10周第13周第3周第8周第18周第6周第11周第15周AB品牌底部中部顶部货架位置因素因素水平实验单元：“一周”响应变量：“每周销售量”处理：品牌—货架位置组合随机安排试验例：一项市场营销研究。
考察品牌和货架位置对咖啡周销售量的影响。
试验单元（experiment unit ）、响应变量（responsevariable ）、因素（factor ）、因素水平（factor level ）、处理（treatment ）。
ANOVA：对比多个总体的均值佣金固定薪金佣金加固定薪金165120140981151561309022021012611219510713418715523524080总平均样本均值175.00113.29166.17151.48三类报酬构成的推销人员的月销售额（千美元）问题：（1）三种报酬类型销售人员的销售业绩是否存在显著差异？（2）如果存在差异，哪类销售人员的业绩最佳？三个总体的均值是否相等？7-57-6散点图佣金固定薪金佣金+固定薪金50100150200250300分类型自变量销售业绩均值差异分析：（1）同一总体内部的差异（随机差异）？（2）不同总体之间的差异（随机差异+系统差异）？（3）两类差异大小分析？7-71x 2x 3x ()f x x31x 2x 3x ()f x x2 1 H 0为真时，样本均值的抽样分布H 0为假时，样本均值的抽样分布方差分析中的基本假定•基本假定：•（1）每个总体均服从正态分布；•（2）每个总体的方差相等；•（3）来自每一总体的样本都是独立随机样本三个总体均值是否相等？012311::H H 23,,不全相等7.2 单因素方差分析（One-way Analysis of Variance）⒈基本概念与数据结构表⒉ANOVA：k个总体均值的检验⒊ANOVA表：单因素方差分析⒋最佳方案的选择7-87-9基本概念与数据结构研究一个分类型自变量对一个数值型因变量的影响。
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表8-1 该饮料在五家超市的销售情况 超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
什么是方差分析?
例子的进一步分析) (例子的进一步分析)
水平A 水平 ( i ) 无色(A 无色 1)
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 136.6
粉色(A 粉色 2)
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 147.8
橘黄色(A 橘黄色 3)
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 132.2
绿色(A 绿色 4)
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8 157.3 573.9
2.
方差分析的基本思想和原理
两类方差) (两类方差)
1. 组内方差
因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如,无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 组内方差只包含随机误差
2. 组间方差
因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如,A1,A2,A3,A4四种颜色饮料销售量之间的 方差 组间方差既包括随机误差,也包括系统误差
1 2 : j : n
x11 x12 : x1j x1n
x21 x22 : x2j x2n
… … : xij …
xk1 xk2 : xkj xkn
单因素方差分析的步骤 提出假设 构造检验统计量 统计推断
提出假设
1. 一般提法
H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平) H1: 1 ,2 ,… ,k不全相等
方差分析的基本思想和原理
几个基本概念) (几个基本概念)
1. 试验
这里只涉及一个因素,因此称为单因素四水平的 试验
2. 总体
因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1,A2,A3, A4四种颜色可以看作是四个总 体
3. 样本数据
上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样 本数据
方差分析的基本思想和原理
方差分析的基本思想和原理
方差分析的基本思想和原理
几个基本概念) (几个基本概念)
1. 因素或因子
所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响,颜色 颜色是要检 颜色 验的因素或因子
2. 水平
因素的具体表现称为水平 A1,A2,A3, A4四种颜色就是因素的水平
3. 观察值
在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本,第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
∑x
xi =
j =1
ni
ij
ni
(i = 1,2,L, k)
式中: ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
构造检验的统计量
【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料.饮料的颜色共有四种, 8.1】 分别为橘黄色,粉色,绿色和无色透明.这四种饮料的营养含量,味道 分别为橘黄色,粉色,绿色和无色透明.这四种饮料的营养含量,味道 ,价格,包装等可能影响销售量的因素全部相同.现从地理位置相似, 经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况,见 表8-1.试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响.
构造检验的统计量
平方和 反映每个样本各观察值的离散状况,又称组内离 差平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为
SSE = ∑∑(xij xi )
k ni i=1 j =1
2
前例的计算结果:SSE 前例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算结果:SSE = 39.084
构造检验的统计量
(计算处理水平项平方和 SSA) SSA)
1. 各组平均值 xi (i = 1,2,L, k)与总平均值 x 的离差 2. 3. 4.
(三个平方和的作用)
1. SST反映了全部数据总的误差程度;SSE反映了随机
误差的大小;SSA反映了随机误差和系统误差的大小 2. 如果原假设成立,即H0: 1 = 2 =…= k为真,则表 明没有系统误差,组间平方和SSA除以自由度后的均 均 均方差异就不 方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方 均方 会太大;如果组间均方 组间均方显著地大于组内均方 组内均方,说明 组间均方 组内均方 各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差,还有系统 误差 3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响,实际上就 是比较组间方差 组内方差 组间方差与组内方差 组间方差 组内方差之间差异的大小 4. 为检验这种差异,需要构造一个用于检验的统计量
(三个平方和的关系)
总离差平方和(SST),误差项离差平方和 (SSE),水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系
∑∑( x
k i=1 j =1
ni
ij
x ) = ∑∑( xij x ) + ∑ni ( xi x )
2 k 2 k i=1 j =1 i=1
ni
2
SST = SSE + SSA
构造检验的统计量
2. 对前面的例子
H0: 1 = 2 = 3 = 4
颜色对销售量没有影响
H0: 1 ,2 ,3, 4不全相等
颜色对销售量有影响
构造检验的统计量
1. 为检验H0是否成立,需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算
水平的均值 全部观察值的总均值 离差平方和 均方(MS)
构造检验的统计量
(计算水平的均值 )
1. 检验饮料的颜色对销售量是否有影响,也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 2. 设1为无色饮料的平均销售量,2粉色饮料的 平均销售量,3为橘黄色饮料的平均销售量, 4为绿色饮料的平均销售量,也就是检验下面 的假设 H0: 1 = 2 = 3 = 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
第八章 方差分析
第八章 方差分析
第一节 方差分析的基本问题 第二节 单因素方差分析 第三节 双因素方差分析
学习目标
1. 2. 解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 2. 掌握单因素方差分析的方法及应用 3. 掌握双因素方差分析的方法及应用
第一节 方差分析的基本问 题
一. 方差分析的内容 二. 方差分析的原理 三. F 分布
SST = ∑∑( xij x )
k i=1 j =1 ni 2
前例的计算结果:
SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2 (26.5+(28.7…+(32.8=115.9295
构造检验的统计量
(计算误差项平方和 SSE) SSE)
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差 2. 3. 4.
体
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总
f(X)
3 ≠ 1 ≠ 2 ≠ 4
X
第二节 单因素方差分析
一. 单因素方差分析的步骤 二. 方差分析中的多重比较 三. 单因素方差分析中的其他问题
单因素方差分析的数据结构
观察值 ( j ) 因素(A) i 因素 水平A 水平 1 水平A 水平 2 i… 水平A 水平 k
什么是方差分析? 什么是方差分析?
什么是方差分析?
(概念要点)
1. 检验多个总体均值是否相等
通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个 总体均值是否相等
2. 变量
一个定类尺度的自变量
2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
一个定距或比例尺度的因变量
3. 用于分析完全随机化试验设计
什么是方差分析?
一个例子) (一个例子)
1. 比较两类方差,以检验均值是否相等 2. 比较的基础是方差比 3. 如果系统(处理)误差显著地不同于随机误 差,则均值就是不相等的;反之,均值就是 相等的 4. 误差是由各部分的误差占总误差的比例 来测度的
方差分析的基本思想和原理
两类误差) (两类误差)
1. 随机误差
在因素的同一水平(同一个总体)下,样本的各观察值之间 的差异 比如,同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响,或者 说是由于抽样的随机性所造成的,称为随机误差 系统误差 在因素的不同水平(不同总体)下,各观察值之间的差异 比如,同一家超市,不同颜色饮料的销售量也是不同的 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的,也可能是由 于颜色本身所造成的,后者所形成的误差是由系统性因素 造成的,称为系统误差
方差分析中基本假定
如果原假设成立,即H0: 1 = 2 = 3 = 4
四种颜色饮料销售的均值都相等 没有系统误差
这意味着每个样本都来自均值为 ,差为σ2 的同一正态总体
f(X)
1 = 2 = 3 = 4
X
方差分析中基本假定
如果备择假设成立,即H1: i (i=1,2,3,4)不全相 等
至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差
构造检验的统计量
(计算均方 MS) MS)
1. 各离差平方和的大小与观察值的多少有关,为了消 2. 3.
除观察值多少对离差平方和大小的影响,需要将其 平均,这就是均方,也称为方差 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是
SST 的自由度为n-1,其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1,其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为 k (n 1)