高考数学：1.1.5函数的奇偶性与周期性

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高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性

高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性知识要点：一、函数的奇偶性1.定义：关于函数f(x)，假如关于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;关于函数f(x)，假如关于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f (x)为偶函数;2.性质：(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;(2) f(x),g(x)的定义域为D;(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总能够表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x) =-[f(x)-f(-x)]为奇函数;(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。

3.判定方法：(1)定义法(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数;f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。

4.拓展延伸：(1)一样地，关于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2 b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;(2)一样地，关于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a -x)，则它的图象关于x=a成轴对称。

二、周期性：1.定义：关于函数y=f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当自变量x 取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。

2.图象特点：将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。

函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全

函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。

高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。

本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。

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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。

①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

函数的奇偶性、周期性-高考数学复习

B.f(x)＝x2＋x
√C.f(x)＝ex－2e－x
D.f(x)＝ln|1＋x|
对于 A，函数的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z
，关于原点对称，且
f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，
故函数为非奇非偶函数；对于 C，函数的定义域为 R，关于原点对称，且
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( × ) (3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.( × ) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( √ )
对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0，结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1，再令x＝0，代入已知等式得 f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)，所以函数f(x)为奇函数.
所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，

高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是一个重要的考点，掌握好这些概念对于解决数学问题有非常大的帮助。

在这篇文章中，我们将对函数奇偶性与周期性进行总结，并提供一些实例，以帮助读者更好地理解这些概念。

函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数值的对称性质。

如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值不变，那么该函数为偶函数；如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值变为相反数，那么该函数为奇函数；如果函数在自变量取相反数的情况下，函数值既不变也不变为相反数，那么该函数既不是偶函数也不是奇函数。

举个例子，我们来看一下函数$y=x^2$ 。

当自变量取相反数时，函数值不变，即 $y=(-x)^2=x^2$ ，因此它是偶函数。

再来看一下函数 $y=x^3$ ，当自变量取相反数时，函数值变为相反数，即$y=-x^3$ ，因此它是奇函数。

最后，我们来看一下函数$y=x^2+1$ ，当自变量取相反数时，函数值既不变也不变为相反数，因此它既不是偶函数也不是奇函数。

我们利用函数的奇偶性可以快速求出某些函数的积分、导数和方程的根。

例如，对于偶函数，它的图像在$y$ 轴上具有对称性，因此它在 $(-a,a)$ 内积分的值与 $(-a,a)$ 之外积分的值相等；对于奇函数，它的图像在原点具有对称性，因此在 $(-a,a)$ 内积分的值为 $0$ 。

类似地，对于偶函数，它在 $x=0$ 的导数为 $0$ ；对于奇函数，在 $x=0$ 的导数为非 $0$ 常数。

函数的周期性函数的周期性是指函数图像在一个固定的距离上重复出现。

一个具有周期 $T$ （$T$ 为正实数）的函数 $y=f(x)$ 满足$f(x+T)=f(x)$ ，即在自变量增加 $T$ 时，函数值不变。

我们分以下几种情况来讨论函数的周期性。

1. 正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数，它们的周期都是$2\pi$ 。

例如， $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 周期都是 $2\pi$ 。

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性

f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以 f(x)为奇函数．
解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对
称的特征知函数 f(x)为奇函数．
(3)由4|x－＋x32|≥－03，≠0 得－2≤x≤2 且 x≠0.
所以 f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
(4)(2018·武昌联考)若函数 f(x)＝1k＋－k2·2xx在定义域上为奇函数，则实数 k＝________.
解：因为 f(－x)＝1k＋－k2·2－－xx＝k2·2x＋x－k1，所以 f(－x)＋f(x)＝（k－2x）（（2x＋1＋k）k·2＋x）（（k·22xx＋－k1））（1＋k·2x）＝（（1k＋2－k1·2）x）（（222xx＋＋1k））. 由 f(－x)＋f(x)＝0 对定义域中的 x 均成立可得 k2＝1，所以 k＝±1.故填±1.
所以 f(x)＝（x＋43－）x2－3＝
4－x2 x.
所以 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)是奇函数．
(4)由9x2－－x92≥ ≥00，得 x＝±3.
所以 f(x)的定义域为{－3，3}，关于原点对称．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
所以 f(x)＝±f(－x)．所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)若函数 f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，
则 f(x)在[－b，－a]上为． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇 ± 奇＝ ________________ ，偶 ± 偶＝ ________________，奇×奇＝________________，偶×偶＝________________，奇×偶＝________________.

高考数学中的奇偶性与周期性知识点总结

高考数学中的奇偶性与周期性知识点总结高考数学中，奇偶性与周期性是两个比较重要的知识点。

这两个知识点是数学中一些问题求解的基础，也是一些问题的关键所在。

在考试中，掌握好这两个知识点可以帮助我们更好地解决一些难题。

一、奇偶性奇偶性的概念是指数的性质，根据它是否为偶数或奇数来划分。

具体来说，若一个整数能被2整除，那么它就是偶数，否则就是奇数。

根据这个定义，我们可以得到以下几点结论：1. 奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数也等于偶数2. 奇数加偶数等于奇数，偶数加奇数也等于奇数3. 奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数基于这些结论，我们可以在解决一些复杂的问题时，通过奇偶性来进行归纳或推理，从而简化问题的求解过程。

二、周期性周期性是指某个函数或者一段数据具有重复的特性，它将在一定的时间或空间范围内不断的变化，但是在一定的间隔内会出现相同的数值。

周期性的应用非常广泛，下面列出一些常见的周期数：1. 正弦曲线的周期是2π，即sin(x+2π)=sin(x)2. 余弦曲线的周期也是2π，即cos(x+2π)=cos(x)3. tan(x)的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)4. 指数函数e的周期是2πi，即e^(x+2nπi)=e^x，其中n是任意整数通过这些周期数的关系，我们可以在求解复杂的数学问题时，通过对周期数的分析来推导答案。

例如，在求解正弦方程时，我们可以通过对周期2π的分析，将其转化为更加简单的问题，而得到更加简单的答案。

三、奇偶性与周期性的应用在解题时，常常会遇到一些既有奇偶性，又有周期性的问题，这时候我们就可以综合运用这两个知识点来解决。

以下是一些例题：1. 已知函数f(x)=sin(x)，求函数f(x+a)与f(x+2a)的奇偶性。

解：显然，f(x+a)=sin(x+a)，这个函数的奇偶性与sin(x)相同，即为奇函数。

而f(x+2a)=sin(x+2a)，这个函数的周期为2π，因此根据周期性的知识，我们可以将其转化为f(x)，即为偶函数。

高考数学函数的奇偶性复习讲义

复习课
函数的奇偶性和周期性
要点梳理
1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数. 有_______________ 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 f（-x）=-f（x）有_______________ ，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.
若f（a）=2，则f（-a）的值为 A.3 解析 B.0 C.-1 D.-2 （B ）
设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2， ∴g（a）=1， ∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.
4.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2 x(1-x),则f(- )等于 (
函数；
②两个偶函数的和、积是_________ 偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________. 奇函数
4.函数的周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意
x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函
数的周期.如果在所有的周期ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在着一个最小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.
1 x 的图象关于 x
（C）
A.y轴对称 C.坐标原点对称 B.直线y=-x对称 D.直线y=x对称
1 解析 ∵ f ( x ) x, x 1 1 f ( x) x ( x) f ( x). x x ∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.

高考数学中的函数的奇偶性与周期性总结

高考数学中的函数的奇偶性与周期性总结函数是数学中一个十分重要的概念，而在高考数学中，函数的奇偶性和周期性更是具有重要的意义。

本文旨在对高考数学中函数的奇偶性与周期性进行总结，帮助学生更好地掌握这一知识点。

奇偶性首先，我们来看函数的奇偶性。

一个函数的奇偶性指的是函数在定义域上是否满足一定的对称性质。

定义域上的对称性质可以分为两种：奇对称和偶对称。

如果对于定义域上任意一个实数$x$，函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数在定义域上是奇对称的。

如果对于定义域上任意一个实数$x$，函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数在定义域上是偶对称的。

有些函数既不是奇对称也不是偶对称，这样的函数称为一般函数。

下面我们来看一些具体的例子。

1. 奇函数最简单的奇函数当属平凡函数$y=x$。

因为对于任意实数$x$，有$(-x)=-x$，因此$f(-x)=-(-x)=x=f(x)$，故平凡函数是奇函数。

另一个常见的奇函数是正弦函数$y=\sin{x}$。

由于$\sin{(-x)}=-\sin{x}$，所以正弦函数是奇函数。

2. 偶函数最简单的偶函数当属常量函数$y=c$。

由于对于任意实数$x$，有$(-x)=x$，因此$f(-x)=f(x)$，故常量函数是偶函数。

另一个常见的偶函数是余弦函数$y=\cos{x}$。

由于$\cos{(-x)}=\cos{x}$，所以余弦函数是偶函数。

3. 一般函数最简单的一般函数当属同学们都非常熟悉的二次函数$y=ax^2+bx+c$。

显然，一般函数既不是奇函数也不是偶函数。

那么，大家可能会问，为什么要研究奇偶性呢？因为当我们知道一个函数的奇偶性之后，就可以轻松地求出函数的对称轴，从而更好地画出函数图像、解决一些简单的函数方程等问题。

周期性接下来，我们来看函数的周期性。

一个函数的周期性指的是函数在其自变量上是否具有一定的重复性或周期性。

定义域上的周期性可以分为两种：正周期和负周期。

高考数学一轮复习-函数的奇偶性与周期性教案

函数的奇偶性与周期性一、考纲要求函数的奇偶性与周期性 B 二、复习目标1．理解函数奇偶性的定义；2、会判断函数的奇偶性；3、能证明函数的奇偶性；4、理解函数周期性的定义；5、会求周期函数的周期。

三、重点难点函数奇偶性的判断及证明；函数周期性判断及周期求法。

四、要点梳理1．奇、偶函数的定义：对于函数 f (x)定义域内的任意一个 x ,都有_______________，称 f (x)为偶函数，对于函数f (x)定义域内的任意一个 x ,都有________________，称 f (x)为奇函数． 2．奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于_________对称；（2）奇函数的图像关于____对称，偶函数的图像关于_________对称；（3）若奇函数的定义域包含0，则_____________；（4）在偶函数中， f ( x )f (x)．（5）在公共定义域内，①两个奇函数的和是___函数，两个奇函数的积是____函数；②两个偶函数的和、积是___函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是____函数.（填“奇”，“偶”） 3．对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个叫做f(x)的最小正周期．就 5．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1)若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；1 1(2)若f(x ＋a)＝，则T ＝2a ； (3)若f(x ＋a)＝－，则T ＝2a.(a>0)fx fx五、基础自测1．对于定义在R 上的函数 f (x)，下列命题正确的序号是___________．（1）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)是偶函数；（2）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数；（3）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是奇函数；（4）若 f (x)是偶函数，则 f (2) f (2)． 2．给出4个函数：① f (x) 1 x2 1x ；④ f (x) x1． 3x 4；② f (x) 2x 5；③ f (x) lg1 xx 1 既不是奇函数也不是偶函数．其中是奇函数；是偶函数； 3．已知函数 f (x)4x2bx 3a b 是偶函数，其定义域是 [a 6,2a]，则点 a,b 的坐标为__________．3，且f (1) 2，则f(2014)＝________. 2 4．已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x) f x x a5．若函数 f (x)在[1,1]上是奇函数，则 f (x) x bx 12．六、典例精讲: 例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由：（1） f (x) (1 2x ) 21x ；（2） f (x) lg(xx21)；（3） f (x)(1x) 1 x； 2xx 2| x1| 1；（5） f (x)x 11 x2；(6) f (x)22x (x ≥0),（4） f (x)x x 2x (x 0).例2：设 f (x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有 f (x 2) f x ．当x∈[0,2]时，f (x) 2xx 。

高考数学一轮复习函数的奇偶性及周期性

第3讲函数的奇偶性及周期性最新考纲考向预测1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.命题趋势以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.核心素养数学抽象、逻辑推理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．常见误区1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√2．下列函数中为偶函数的是()A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.3．(易错题)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是定义在[a －3，2a ]上的偶函数，则a ＋b 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．0解析：选B.因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是定义在[a －3，2a ]上的偶函数，所以a －3＋2a ＝0，解得a ＝1.由f (x )＝f (－x )得b ＝0，所以a ＋b ＝1.故选B.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________．解析：f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：－25．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案：1函数的奇偶性角度一判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1，4]； (2)f (x )＝ln2－x2＋x；(3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.【解】 (1)因为f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为(－2，2)， f (－x )＝ln2＋x 2－x ＝－ln 2－x2＋x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(3)f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (4)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )．故该函数为奇函数．函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f (x )与f (－x )的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．常见特殊结构的奇偶函数：f (x )＝log a (x 2＋1－x )(a ＞0且a ≠1)为奇函数，f (x )＝a x ＋a －x (a ＞0且a ≠1)为偶函数．角度二函数奇偶性的应用(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1(2)(2021·黑龙江哈尔滨师范大学附中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋x x 2＋1－1，若f (a )＝－13，则f (－a )＝( ) A ．13 B ．23 C ．－13D ．－53【解析】 (1)通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e－x＋1，选D.优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D. (2)设g (x )＝f (x )＋1＝－sin 2x ＋xx 2＋1，易知g (x )是奇函数，则g (a )＝f (a )＋1＝－13＋1＝23，所以g (－a )＝－g (a )＝－23，即f (－a )＋1＝－23，所以f (－a )＝－53.故选D. 【答案】 (1)D (2)D已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．1．函数f (x )＝x ＋2a ＋3x 2＋8为奇函数，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－32D ．32解析：选C.由题知f (x )为奇函数，则f (0)＝0，即0＋2a ＋3＝0，所以a ＝－32，此时f (x )＝xx 2＋8为奇函数． 2．如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )解析：选B.因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．对于A ，g (－x )＝－x ＋f (－x )＝－x －f (x )＝－g (x )，所以y ＝x ＋f (x )是奇函数．对于B ，g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，所以y ＝xf (x )是偶函数．对于C ，g (－x )＝(－x )2＋f (－x )＝x 2－f (x )，所以y ＝x 2＋f (x )为非奇非偶函数．对于D ，g (－x )＝(－x )2f (－x )＝－x 2f (x )＝－g (x )，所以y ＝x 2f (x )是奇函数．3．(多选)若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( )A ．f (x )＝e x ＋e －x 2B ．g (x )＝e x －e －x2 C ．f (－2)<g (－1)D ．g (－1)<f (－3) 解析：选AD.因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②. 联立①②⎩⎨⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x ，f （x ）－2g （x ）＝e －x，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x2，g （x ）＝e x －e －x4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e4<0，所以g (－1)<f (－2)，g (－1)<f (－3)，故选AD.4．(一题多解)已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：方法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x . 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.方法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 答案：14函数的周期性(1)(2020·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.5(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5.故选C.(2)当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．【答案】(1)C(2)D函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1f（x），当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．解析：因为f(x＋2)＝－1f（x），所以f(x＋4)＝－1f（x＋2）＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4.f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.答案：12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．又f(x)在R上是偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.答案：6[A级基础练]1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是() A．y＝x2B．y＝|x－1|C．y＝|x|－1 D．y＝2x解析：选AC.选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.2．函数f(x)＝x＋9x(x≠0)是()A．奇函数，且在(0，3)上是增函数B．奇函数，且在(0，3)上是减函数C．偶函数，且在(0，3)上是增函数D．偶函数，且在(0，3)上是减函数解析：选B.因为f(－x)＝－x＋9－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x＋9x＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋9x为奇函数．又f′(x)＝1－9x2，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，3)上是减函数．3．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，则f(5)＝()A．12B．－12C．－2 D．2解析：选B.因为当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－12，故选B.4．设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数解析：选D.因为f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.答案：x2＋x－17．若函数f(x)＝x（x＋2）（x－a）为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．解析：由f(x)为奇函数易知a＝2，当x≥4时，f(x)＝1x－4x在[4，＋∞)上单调递减，所以当x＝4时，f(x)max＝1 3.答案：2 138．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________．解析：方法一：因为f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )．所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )．因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数，由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2，故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0，令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.方法二：取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列．故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案：29．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].[B 级综合练]11．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，y ＝f (x )不一定是奇函数，如y ＝|f (x )|＝x 2，故选B.12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2（1－x ），0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N ＋，定义f n (x )＝，那么f 2 022(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，所以f n (2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 022(2)＝f 3×674(2)＝f 3(2)＝2，故选C.13．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是当x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)可画出f (x )的图象，知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．[C 级创新练]15．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x . 以上三个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．故选B.16．(多选)设函数f (x )的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“H 函数”．下列为“H 函数”的是( )A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝ln x ＋e xC ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x解析：选AB.由题意，得“H 函数”的值域关于原点对称．A 中，y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，其值域关于原点对称，故A 是“H 函数”；B 中，函数y＝ln x ＋e x 的值域为R ，故B 是“H 函数”；C 中，因为y ＝2x >0，故C 不是“H 函数”；D 中，y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D 不是“H 函数”．综上所述，A ，B 是“H 函数”，故选AB.第3讲函数的奇偶性及周期性最新考纲考向预测1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.命题趋势以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.核心素养数学抽象、逻辑推理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．常见误区1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√2．下列函数中为偶函数的是()A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.3．(易错题)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是定义在[a －3，2a ]上的偶函数，则a ＋b 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．0解析：选B.因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是定义在[a －3，2a ]上的偶函数，所以a －3＋2a ＝0，解得a ＝1.由f (x )＝f (－x )得b ＝0，所以a ＋b ＝1.故选B.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________．解析：f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：－25．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案：1函数的奇偶性角度一判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1，4]； (2)f (x )＝ln2－x2＋x；(3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.【解】 (1)因为f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为(－2，2)， f (－x )＝ln2＋x 2－x ＝－ln 2－x2＋x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(3)f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (4)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )．故该函数为奇函数．函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f (x )与f (－x )的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．常见特殊结构的奇偶函数：f (x )＝log a (x 2＋1－x )(a ＞0且a ≠1)为奇函数，f (x )＝a x ＋a －x (a ＞0且a ≠1)为偶函数．角度二函数奇偶性的应用(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1(2)(2021·黑龙江哈尔滨师范大学附中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋x x 2＋1－1，若f (a )＝－13，则f (－a )＝( ) A ．13 B ．23 C ．－13D ．－53【解析】 (1)通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e－x＋1，选D.优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D. (2)设g (x )＝f (x )＋1＝－sin 2x ＋xx 2＋1，易知g (x )是奇函数，则g (a )＝f (a )＋1＝－13＋1＝23，所以g (－a )＝－g (a )＝－23，即f (－a )＋1＝－23，所以f (－a )＝－53.故选D. 【答案】 (1)D (2)D已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．1．函数f (x )＝x ＋2a ＋3x 2＋8为奇函数，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－32D ．32解析：选C.由题知f (x )为奇函数，则f (0)＝0，即0＋2a ＋3＝0，所以a ＝－32，此时f (x )＝xx 2＋8为奇函数． 2．如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )解析：选B.因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．对于A ，g (－x )＝－x ＋f (－x )＝－x －f (x )＝－g (x )，所以y ＝x ＋f (x )是奇函数．对于B ，g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，所以y ＝xf (x )是偶函数．对于C ，g (－x )＝(－x )2＋f (－x )＝x 2－f (x )，所以y ＝x 2＋f (x )为非奇非偶函数．对于D ，g (－x )＝(－x )2f (－x )＝－x 2f (x )＝－g (x )，所以y ＝x 2f (x )是奇函数．3．(多选)若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( )A ．f (x )＝e x ＋e －x 2B ．g (x )＝e x －e －x2 C ．f (－2)<g (－1)D ．g (－1)<f (－3) 解析：选AD.因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②. 联立①②⎩⎨⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x ，f （x ）－2g （x ）＝e －x，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x2，g （x ）＝e x －e －x4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e4<0，所以g (－1)<f (－2)，g (－1)<f (－3)，故选AD.4．(一题多解)已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：方法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x . 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.方法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 答案：14函数的周期性(1)(2020·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.5(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5.故选C.(2)当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．【答案】(1)C(2)D函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1f（x），当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．解析：因为f(x＋2)＝－1f（x），所以f(x＋4)＝－1f（x＋2）＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4.f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.答案：12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．又f(x)在R上是偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.答案：6[A级基础练]1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是() A．y＝x2B．y＝|x－1|C．y＝|x|－1 D．y＝2x解析：选AC.选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.2．函数f(x)＝x＋9x(x≠0)是()A．奇函数，且在(0，3)上是增函数B．奇函数，且在(0，3)上是减函数C．偶函数，且在(0，3)上是增函数D．偶函数，且在(0，3)上是减函数解析：选B.因为f(－x)＝－x＋9－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x＋9x＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋9x为奇函数．又f′(x)＝1－9x2，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，3)上是减函数．3．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，则f(5)＝()A．12B．－12C．－2 D．2解析：选B.因为当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－12，故选B.4．设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数解析：选D.因为f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.答案：x2＋x－17．若函数f(x)＝x（x＋2）（x－a）为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．解析：由f(x)为奇函数易知a＝2，当x≥4时，f(x)＝1x－4x在[4，＋∞)上单调递减，所以当x＝4时，f(x)max＝1 3.答案：2 138．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________．解析：方法一：因为f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )．所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )．因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数，由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2，故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0，令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.方法二：取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列．故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案：29．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].[B 级综合练]11．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，y ＝f (x )不一定是奇函数，如y ＝|f (x )|＝x 2，故选B.12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2（1－x ），0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N ＋，定义f n (x )＝，那么f 2 022(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，所以f n (2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 022(2)＝f 3×674(2)＝f 3(2)＝2，故选C.13．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是当x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)可画出f (x )的图象，知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．[C 级创新练]15．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x . 以上三个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．故选B.16．(多选)设函数f (x )的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“H 函数”．下列为“H 函数”的是( )A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝ln x ＋e xC ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x解析：选AB.由题意，得“H 函数”的值域关于原点对称．A 中，y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，其值域关于原点对称，故A 是“H 函数”；B 中，函数y＝ln x ＋e x 的值域为R ，故B 是“H 函数”；C 中，因为y ＝2x >0，故C 不是“H 函数”；D 中，y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D 不是“H 函数”．综上所述，A ，B 是“H 函数”，故选AB.。

高考数学复习第2章函数的奇偶性与周期性

填“相同”、“相
反”)．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________,两个奇函数的积函数是⑩
奇函数
________.
偶函数
偶函数
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪________.
奇函数
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫________.
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义,则f(0)＝⑬________.
称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(－x)
＝－f(x)或f(－x)＝f(x),而不能说存在x0 使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝
f(x0)．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
2
∴a＝－3.
考点一函数的奇偶性[分层深化型]
考向一：判断函数的奇偶性
1．[2021·成都市高三阶段考试]已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数,
则下列函数中为奇函数的是(
)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),由f(|
－x|)＝f(|x|),知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x),知②是奇函
数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数,且y＝x是定义在R上的奇函数,奇
×奇＝偶,知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x],知④是奇函
C．y＝|ln x|

掌握高考数学中的函数奇偶性与周期性判断技巧有哪些要点

掌握高考数学中的函数奇偶性与周期性判断技巧有哪些要点在高考数学中，对于函数的奇偶性与周期性的判断是非常重要的。

深入理解和掌握这些技巧，有助于我们解题更加高效准确。

本文将介绍一些判断函数奇偶性与周期性的要点，帮助同学们在高考中取得好成绩。

一、函数奇偶性的判断1. 定义法判断奇偶性：如果一个函数满足$f(x) = f(-x)$，则函数为偶函数；如果一个函数满足$f(x) = -f(-x)$，则函数为奇函数。

例如：$f(x) = x^2$是一个偶函数；$g(x) = x^3$是一个奇函数。

2. 图像法判断奇偶性：对于函数$f(x)$，通过绘制它的函数图像，可以观察函数图像的对称性。

如果函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果函数图像关于原点对称，则函数为奇函数。

例如：函数$y=x^4$关于y轴对称，因此是偶函数；函数$y=x^5$关于原点对称，因此是奇函数。

3. 利用导数性质判断奇偶性：若一个函数在定义域内可导，通过观察导数的奇偶性也可以判断函数的奇偶性。

若导数$f'(x)$为奇函数，则原函数$f(x)$为偶函数；若导数$f'(x)$为偶函数，则原函数$f(x)$为奇函数。

例如：函数$f(x) = \sin x$的导函数$f'(x)= \cos x$是奇函数，因此$f(x)$是偶函数。

二、函数周期性的判断1. 定义法判断周期性：若存在正数$T$，使得对于函数$f(x)$的任意$x$都有$f(x+T) =f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中$T$为函数的最小正周期。

例如：函数$f(x) = \sin x$是一个周期为$2\pi$的周期函数。

2. 图像法判断周期性：通过绘制函数的函数图像，可以观察函数图像的重复性。

若函数图像在某个区间内重复出现，则函数是周期函数，其周期可以通过观察重复的区间长度来确定。

例如：函数$f(x) = \cos(2x)$的函数图像在$[-\pi,\pi]$区间内重复出现，因此是一个周期为$\pi$的周期函数。

高考数学必背的二级结论

高考数学必背的二级结论1．函数的奇偶性(1)若函数的定义域关于原点对称，则有：f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)；图象关于y 轴对称。

f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )．图象关于原点对称，若x ∈R ,则f (0)=0. 奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0。

(2)奇函数×奇函数是偶函数, 偶函数×偶函数是偶函数, 奇函数×偶函数是奇函数。

2．函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝2b －f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称． (2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3. 函数的周期性结论(1)若函数f (x )为偶函数，且f (a ＋x )＝f (a －x )，则2a 是函数f (x )的一个周期． (2)若函数f (x )为奇函数，且f (a ＋x )＝f (a －x )，则4a 是函数f (x )的一个周期．(3)若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，且f (b ＋x )＝f (b －x )，则2(b －a )是函数f (x )的一个周期． (4)若f (a ＋x )＝- f (x )，则2a 是函数f (x )的一个周期。

(5)若f (a ＋x )＝1f(x)，则2a 是函数f (x )的一个周期。

(6)若f (a ＋x )＝- 1f(x)，则2a 是函数f (x )的一个周期。

4. 反函数结论(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a <1，a >1两种情况。