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圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

圆的有关证明及计算

2015圆的有关证明及计算1.如图，直线AB与O O相切于点A，弦CD // AB,E,F为圆上的两点，且/ CDE= / ADF .若O 0的半径为2j2 , CD=4.求弦EF的长.2.如图，直线I与半径为4的O 0相切于点A, P是O 0上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB丄I，垂足为B，连接PA.设PA=x, PB=y.求(X- y)的最大值.3.如图，已知AB为O 0的直径，AB=2, AD和BE是圆0的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作O 0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,求AM的长.4.如图，O O的直径AB为10cm,弦BC为5cm, D、E分别是/ ACB的平分线与O 0, AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE.(1)求AC、AD的长;(2)试判断直线PC与O 0的位置关系，并说明理由.P5.如图，点D在O O的直径AB的延长线上，点C在O O上，AC=CD , / ACD=120 °(1)求证：CD是O O的切线;(2)若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积.6.如图，O O与RtA ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE , 已知/ B=30 ° O O的半径为12,弧DE的长度为4 n求证：DE // BC;(2) 若AF=CE，求线段BC的长度.7.如图，在RtA ABC中，/ ACB=90 °以AC为直径作O O交AB于点D，连接CD .(1)求证：/ A=/ BCD ;(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O O相切？并说明理由.8.如图，AB 是O O 的直径，过点A 作O O 的切线并在其上取一点 C ,连接0C 交O O 于点(1)求证：△ CDEsA CAD ;(2)若 AB=2 , AC=2#2，求 AE 的长.9.如图的O 0中，AB 为直径，0C 丄AB ，弦CD 与0B 交于点F ,10.如图，在RtAABC 中，/ BAC=90 ° AB=4, AC=3，线段 AB 为半圆 0的直径，将RtAABC沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆 0相切于点G ,得△ DEF , DF 与BC 交于点H .(1)求BE 的长;(2)求RtAABC 与^ DEF 重叠(阴影)部分的面积.D ，BD 的延长线交 AC 于E ,连接AD . 切线交于点 G ,并与AB 延长线交于点E .(1)求证:(2)已知: 0F : 0B=1 : 3,0 0的半径为3，求AG 的长.过点D 、A 分别作O 0的E11如图，O O 是^ ABC 的外接圆，AC 是直径，过点0作OD 丄AB 于点D ，延长DO 交O O/ B=/A=30° BD=2/5 .(1)求证：AC 是O O 的切线;(2)求由线段AC 、AD 与弧CD 所围成的阴影部分的面积.(结果保留 n13.如图，E 是长方形 ABCD 的边AB 上的点，EF 丄DE 交BC 于点F (1)求证：△ ADE sA BEF ;(2)设H 是ED 上一点，以EH 为直径作O O , DF 与O O 相切于点求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,于点 P ,过点P 作PE 丄AC 于点E ,作射线DE 交BC 的延长线于若/ POC=60°, AC=12，求劣弧PC 的长；(结果保留 n(2) 求证: OD=OE ;求证: PF 是O O 的切线.12.如图，点 B 、C 、D 都在O O 上，过C 点作CA // BD 交OD 的延长线于点 A ,连接BC,FG ,若 DH=OH=3,CF14.如图，O 01与O 02外切与点D，直线I与两圆分别相切于点相交于点M，且tan / AM01= 3 , MD=W3.(1)求O 02的半径；A、B,与直线01、02(2)求△ ADB内切圆的面积;15.如图，在半径为6cm的O 0中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且/ D=30 °求证：① 0A 丄BC;② BC=6站5;3sin/ A0B=^;2④四边形AB0C是菱形.16.如图，在O 0中，半径0C与弦AB垂直，垂足为E,以0C为直径的圆与弦AB的一个交点为F, D是CF延长线与O 0的交点.若0E=4, 0F=6，求O 0的半径和CD的长.17.如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90 °以AC 为直径的O O 与AB 边交于点 D ，过点D 作O O 的切线，交BC 于E . (2)求证：BC 2=BD^BA ;(3)当以点0、D 、E 、C 为顶点的四边形是正方形时,求证：△ ABC 是等腰直角三角形.18如图，半径为6cm 的O 0中，C 、D 为直径AB 的三等分点，点 E 、F 分别在AB 两侧的半圆上，/ BCE = / BDF=60°,连接AE 、BF ，求图中两个阴影部分的面积.(1)求证：点E 是边BC 的中点;19.如图，在正方形 ABCD 中，AD=2, E 是AB 的中点，将 △ BEC 绕点B 逆时针旋转90后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处•再将线段AF绕点F 顺时针旋转90。

专题9圆的有关计算、证明与探究

01
总结词
利用切线的性质，即切线与半径垂直，可以证明直线是圆的切线。
03
总结词
利用圆的性质，即圆心到圆上任一点的距离相等，可以证明直线是圆的切线。
05
02
详细描述
切线的定义是直线与圆只有一个交点，因此，如果直线与圆心的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。
04
详细描述
如果一条直线与半径垂直，那么这条直线一定是圆的切线。
详细描述
这个公式是圆的周长计算的基础，它告诉我们如何通过已知的半径来计算圆的周长。在数学和物理中，这个公式被广泛应用。
圆的面积计算
总结词
面积是圆所占平面的大小，其计算公式为A=πr²，其中r是圆的半径。
详细描述
这个公式是圆的面积计算的基石，它告诉我们如何通过已知的半径来计算圆的面积。这个公式在几何学和统计学中被广泛应用。
• 总结词：通过证明一个点到两个圆的圆心的距离之和等于两个圆的半径之和或之差，可以确定该点在两个圆的位置关系。
• 详细描述：如果一个点到两个圆的圆心的距离之和等于两个圆的半径之和，则该点在两个圆内；如果一个点到两个圆的圆心的距离之和等于两个圆的半径之差，则该点在两个圆外。
圆与直线的位置关系证明
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等。
圆的定理
01
02
03
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
切线定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与圆的位置关系
外离
两圆没有公共点，且每一圆上的点都在另一圆的外部。

圆中的相关证明与计算

圆中的相关证明与计算圆是平面上到一个给定点的距离恒定的所有点的集合。

通过研究圆的性质和相关的定理，我们可以了解圆的性质和概念，并可以进行相关的证明和计算。

以下是一些关于圆的相关证明和计算的例子：1.圆的半径与直径的关系证明：首先，我们知道直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。

现在我们要证明直径是半径的两倍。

证明：假设圆的半径为r，直径为d。

根据直径的定义，我们知道直径是通过圆心的，并且它的两个端点在圆上。

所以直径d可以看作是两个半径r的长度相加，即d=r+r=2r。

所以我们可以得出结论：直径等于半径的两倍。

即d=2r。

2.圆周率的计算：周长的计算公式为：C=2πr，其中r为圆的半径。

面积的计算公式为：A=πr^2，其中r为圆的半径。

例如，如果一个圆的半径为5厘米，则它的周长为：C=2π*5=10π≈31.42厘米；面积为：A=π*5^2=25π≈78.54平方厘米。

3.弦和半径的垂直关系证明：在圆中，连接圆周上的两点的线段称为弦。

现在我们要证明如果一个弦与半径相交，那么这个弦就是半径的垂直平分线。

证明：假设在圆中有一个弦AB，如果它与半径OC相交于点M，我们要证明AM=MB。

根据圆的性质，半径OC与弦AB相交于点M，则角OMC是直角，因为OC是半径，所以OM=MC。

又由于弦AB与半径OC相交于点M，所以AM=MC，MB=MC。

综上所述，AM=MB，即弦AB是半径OC的垂直平分线。

通过以上证明和计算，我们可以更深入地了解圆的性质和相关的定理。

圆是几何学中重要的概念之一，它在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。

希望以上内容对您有所帮助。

圆的有关证明与计算.pdf

圆的有关证明与计算1．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AO 是△ABC 的角平分线．以O 为圆心，OC 为半径作⊙O．（1）求证：AB 是⊙O 的切线．（2）已知AO 交⊙O 于点E，延长AO 交⊙O 于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O 的半径为3，求AB 的长．2．已知，如图，直线MN 交⊙O 于A，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D，过D 作DE⊥MN 于E．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O 的半径．（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠CAB 的值．3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，∠BAD 的平分线交⊙O 于点C，过点C 的直线与AD 互相垂直，垂足为点E，直线EC 与AB 的延长线交于点P，连接BC，已知PB：PC=1：．（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为r，试探究线段PB 与r 的数量关系并证明；（3）当r=3 时，求DE 的长．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E，交AD 于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F 是AD 的中点；（2）求cos∠AED 的值；（3）如果BD=20，求半径CD 的长．5．如图1，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为圆弧上一点，AD 垂直于过C 点的直线，AC 平分DAB，AB 的延长线交直线CD 于点E．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若AB=8，B 为OE 的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF 的长；（3）如图2，连接OD 交AC 于点G，若= ，求sinE 的值．6．如图，AB 是⊙O 的直径，C是⊙O 上一点，AD⊥CD 于D，BE⊥CD 于E，BC 平分∠ABE，连接AC、BC．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求CE 的长；（3）线段CD=CE 成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．7．如图，在△ABC 与△OCD 中，∠ACB=∠DCO=90°，O 为AB 的中点．（1）求证：∠B=∠ACD；（2）已知点E 在AB 上，且BC2=AB•BE；①证明：CD 与以 A 为圆心、AE 为半径的⊙A 相切；②若tan∠ACD= ，BC=10 ，求CE 的长，设①中的⊙A 与DB 交于点M ，直接写出DM= ．8．如图1，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，P 是⊙O 上的一个点．（1）则∠APC= ；（2）试证明：PA+PB=PC；（3）如图2，过点A 作⊙O 的切线交射线BP 于点D．①试证明：∠DAP=∠DBA；②若AD=2，PD=1，求PA 的长．9．如图，已知在△ABC 中，BC=AC，以BC 为直径的⊙O 与边AB、AC 分别交于点D，E，DF⊥AC 于点F．（1）求证：点D 是AB 的中点；（2）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（3）若⊙O 的直径为20，cosB=，求阴影部分面积．10．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD，交CA的延长线于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：PD∥AB；（2）求证：DE=BF；（3）若AC=6，tan∠CAB= ，求线段PC 的长．1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC=PF；（3）若tan∠ABC=，AB=14，求线段PC的长．2．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x2﹣mx+16=0的两个实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径．3．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，C为的中点，AC与BD相交于点E，（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2，CE=1，求⊙O的半径；（3）若AB=8，tan∠ACD=，求四边形ABCD的面积．4．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，AD=DC．分别延长BA、CD，交点为E．作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F，连接BD．（1）求证：△BFC∽△BDA；（2）若AE=AO，求cos∠ADE的值；（3）在（2）的条件下，若BC=6，求BF长．5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．6．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cosC=，DE=4，求AD的长．7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．8．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．（1）求证：AB=CD；（2）求证：CD2=BE•BC；（3）当CG=，BE=时，求CD的长．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：△ECF∽△GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=3，求EM的值．10．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sinA=，求BH的长．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=4．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求tan∠E的值．12．如图，AB是圆O的直径，D、E为圆心O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，连接AC交圆心O于点F，连接AE、DE、DF，已知∠E=∠C．（1）证明：CD=BD；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，E是弧AB的中点，cosB=，求EG•ED的值．13．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（﹣2，0），求⊙F的半径；（3）在（2）的条件下求线段CE的长度．15．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC，CD（1）试猜想直线AB于⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=BD•BE；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求△OAB的面积．16．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE=∠CAD．（1）求证：CD2=AC•EC；（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）若AE=EC，求tanB的值．17．如图，AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，连接A、C两点，交⊙O于点D，BE=CE，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD•2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至点E，使得OE=OB，交⊙O于点F，连接AE，CE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求证：四边形ADCE是矩形；（3）若BD=AD=4，求阴影部分的面积．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O 与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若tan∠G=，BE=4，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求AP的长．20．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，CD=2．①若∠C=30°，求图中阴影部分的面积；②若=，求BE的长．2018西城一模24．如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ．（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．（2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值．2018石景山一模23．如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O的半径是，点D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．2018平谷一模AB C24．如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ．（1）求证：∠AEB =2∠C ；（2）若AB =6，3cos 5B =，求DE 的长．2018怀柔一模23.如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠DBE. （1）求证：BE=CE ；（2）若⊙O 的直径长8，sin ∠BCE=，求BE 的长.2018海淀一模23．如图，AB 是⊙O 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D .（1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求⊙O 的半径.452018朝阳一模23. 如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ．（2）若AE =√2，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．2018东城一模23．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点.过点C 作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.O F ED CB AA2018丰台一模23．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ．（1）求证：EF ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长．2018房山一模22．如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；（2）若sin ∠HGF ＝，BF ＝3，求⊙O 的半径长.43A2018门头沟一模23. 如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长．2018大兴一模23.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D,且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．2018顺义一模24．如图，等腰△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，过点A 作BC 的平行线AD 交BO 的延长线于点D ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为15，sin ∠D ＝35，求AB 的长．2018通州一模24. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，D 是弧BC 的中点.过点D 作⊙O 的切线，分别交AC ，AB 的延长线于点E 和点F ，连接CD ，BD. （1）求证：∠A =2∠BDF ;（2）若AC =3，AB =5，求CE 的长.2018燕山一模25．如图，在△ABC 中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径．（1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cosC=52时，求⊙O 的半径．。

圆的证明及计算(精编版)

《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，∴OE ⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.⌒ ⌒例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例2：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，∴△AOF ≌△BOD （AAS ）∴OF=OD.O∵∠COD=900， ∴CF=CD ，∠1=∠2. 又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF. ∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO.∵AC ∥BD ， ∴AO ⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ， ∴AO 的延长线必经过点B. ∴AB 是⊙O 的直径. ∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF. ∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2. ∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.课后练习：A（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线；（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

圆的计算、证明专题研究

圆的证明与计算的探究
经典欣赏：例1：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：
（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD =∠AEB =90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC ＝
AB 4
1
2=R 2；（2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO •AE =2R 2(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG =FG .
练习：直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F.
⑴求证：CD 为⊙O 的切线； ⑵若53 AB BE ，求
DF
BF
的值。

图1
图2
图3
D
A
例2：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。

基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)；
（2）在“PR ⊥OB ”、“PQ 切⊙O ”、“PQ=PR ”中，知二推一（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB 2
练习：如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线，E 为切点，连结CE 交AB 于点F .
（1）求证：DE=DF ；
（2）连结AE ，若OF =1，BF =3，求tan A 的值.。

与圆有关的计算与证明

（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．
点析：
有交点，连圆心，证垂直
例3、如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点，⊙D与AB相切于点E. 求证：AC是⊙O的切线.
A
点析：
无交点，作垂直，证等于半径 E
F
B
D
C
│ 归类示例
在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
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三、圆的综合计算及证明
C
C
F
A
O
BD A
OE B
t
图（1）
图（2）
O
C F
A
OEB
图（3）
与圆有关的几何计算及证明
二、圆的有关性质计算证明
例1、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD 的长。
方法点析垂径定理是圆中求弦长的重要依据之一，常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形求解
三、圆中相切的有关证明
例2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径， AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．

20圆拓展(五)圆中的计算与证明进阶篇

【例 3】 (兰州)如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中， AB 经过圆心 O，且与小圆相交于点 A、与大圆相交于点 B。小圆的切线 AC 与大圆相交于点 D，且 CO 平分∠ACB。 ⑴试判断 BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； ⑵试判断线段 AC、AD、BC 之间的数量关系，并说明理由； ⑶若 AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积
1 3
180 n r 2 1 ＝ lr 扇形面积 S＝ 2 360
多边形内角和 180°(n－2) 多边形外角和 360° 圆柱侧面积 S＝2πrh 圆柱表面积 S＝2πrh＋2πr2＝2πr(h＋r)
⑵(山东)如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B′，则图中阴影部分的面积是( A． 6 π C． 4 π B． 5 π D． 3 π )
2
【例 4】 (湖北十堰市)如图，已知⊙O1 与⊙O2 都过点 A，AO1 是⊙O2 的切线， ⊙O1 交 O1O2 于点 B，连结 AB 并延长交⊙O2 于点 C，连结 O 2 C。 ⑴求证：O2C⊥O1O2； ⑵证明：AB·BC＝2O2B·BO1 ⑶如果 AB · BC＝12，O2C＝内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且若阴影部分的面积为 9π，则弦 AB 的长为_____________ 。 AB∥OP。
1
【例 2】 (辽宁丹东)如图，已知在⊙O 中，AB＝ 4 3 ，AC 是⊙O 的直径，AC⊥BD 于 F，∠A＝30°。 ⑴求图中阴影部分的面积； ⑵若用阴影扇形 OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径。
圆中的计算与证明进阶篇
板块一：圆中的计算圆的计算中的相关公式：圆的周长 C＝πd＝2πr 圆的面积 S＝πr2 n r 扇形弧长 l＝

圆的计算与证明专题(原创)

圆的计算与证明专题（一）1.如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是 BD的中点，连接OD、AE，过点D作D P∥AE交BA的延长线于点P，（1）求∠AOD的度数；（2）求证：P D是半圆O的切线；2. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD PA，垂足为D.(1) 求证：CD为⊙O的切线；(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.3．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．4.如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．5.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．（1）试说明：DE＝BF；（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．6.（2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.(1)求证：OB丄OC;(2)若AD= 12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积.A BO FED CMNFEODCBA7.如图，⊙O 的直径AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ．(1) 求∠AEC 的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．8.已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，C 为O 2上一点（不与A ，B ，O 1重合），直线CB 与⊙O 1交于另一点D。

与圆有关的计算和证明——从圆内接三角形说起案例

与圆有关的计算和证明——从圆内接三角形说起案例案例背景：圆是在七年级学习了直线，线段和八年级学习了矩形菱形等多边形的基础上来研究的一种特殊的曲线型封闭图形。

它其实也是常见的几何图形之一，在初中数学中占有非常重要的地位，中考中会专门作为一个大的考点，它与其他几何图形的关联性也较强，常常和点，直线，三角形，多边形融合在一起考察，也常常和相似，二次函数等知识点融合在一起考察。

本节课选取其中一种情况，圆和三角形的关联来探究圆的有关计算和证明。

因为时间有限，所以本节课选取的题目较常见，但涉及到圆中相关定理较全面。

教学过程：一·诗句引入，引出主题首先师生互动，创设宽松的学习氛围“同学们，当你听到小时不识月，呼作白玉盘”，你会联想到我们数学上的什么图形呢？当你听到“海上升明月，天涯共此时”你又会想到什么图形呢？简单的两个问题，将语文和数学紧密的联系在一起，符合新课标中的跨学科教学，让学生感受数学学科与其他学科的融合，体会生活当中的场景，培养孩子们空间直观的能力，提高孩子们数学学科素养，用数学的眼光去观察现实世界。

二·活动探究，层层推进教师出示活动一：如图△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的切线,请你用量角器量一量∠DAC和∠B的大小，猜想他们的数量关系，并加以证明。

学生操作：学生动手测量并感知角的关系，孩子们测出两个角的度数都是55°，猜想∠DAC=∠B，下面教师放手让孩子们去证明，教师巡视指导，六分钟后教师展示学生的成果，大部分孩子选择的是构造直径的方式证明，个别学生选择的是连半径，但是在教师巡视过程中，发现连半径的方法缺少△AOC内角和是180°这个知识点，导致未证明完全，于是教师将该学生的学习单投影，借助连半径这个辅助线，教师带领孩子们一起分析接下来的步骤，但是教师的表述不够简洁明朗。

教师活动一的反思：开始就想着设计一条主线串联圆中计算与证明，于是想到圆内接三角形，活动一中涵盖了圆中切线性质定理，并且在证明过程中涉及圆周角定理，一道题涉及的定理比较多，同时在证明过程中需要借助辅助线，可以通过构造直径，也可以连接半径，这两个几何辅助手段也圆中常用辅助线的，可以巩固学生之前所学。

滚动小专题(十一) 与圆的有关计算与证明

滚动小专题(十一) 与圆的有关计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)当∠ODB ＝30°时，求证：BC ＝OD.证明：(1)∵OD ⊥AC ，OD 为半径， ∴CD ︵＝AD ︵. ∴∠CBD ＝∠ABD. ∴BD 平分∠ABC. (2)∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝30°.∴∠AOD ＝∠OBD ＋∠ODB ＝30°＋30°＝60°. 又∵OD ⊥AC 于E ，∴∠OEA ＝90°.∴∠A ＝180°－∠OEA －∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 在Rt △ACB 中，BC ＝12AB ，又∵OD ＝12AB ，∴BC ＝OD.2．(2017·安徽)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，AD 不平行于BC ，过点C 作CE ∥AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，连接AE.(1)求证：四边形AECD 为平行四边形； (2)连接CO ，求证：CO 平分∠BCE.证明：(1)∵∠B ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∴∠D ＝∠E. ∵CE ∥AD ，∴∠E ＋∠DAE ＝180°. ∴∠D ＋∠DAE ＝180°，∴AE ∥DC.∴四边形AECD 是平行四边形．(2)过点O 作OM ⊥EC ，ON ⊥BC ，垂足分别为M ，N. ∵四边形AECD 是平行四边形，∴AD ＝EC. 又AD ＝BC ，∴EC ＝BC.∴OM ＝ON. ∴CO 平分∠BCE.3．(2017·苏州)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F.(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求sin A 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°. ∴∠DEO ＝∠ACB.∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC.∴△DOE ∽△ABC.(2)证明：∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A. ∵∠A 和∠BDC 是BC ︵所对的圆周角， ∴∠A ＝∠BDC.∴∠ODE ＝∠BDC. ∴∠ODF ＝∠BDE.(3)∵△DOE ∽△ABC ， ∴S △DOE S △ABC ＝(OD AB)2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1.∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ，即S △BOC ＝2S 1.∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1. ∴BE ＝12OE ，即OE ＝23OB ＝23OD.∴sin A ＝sin ∠ODE ＝OE OD ＝23.类型2 与圆的切线有关的计算与证明 4．(2017·黄石)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 并延长至F ，使得BD ＝DF ，连接CF ，BE.(1)求证：DB ＝DE ；(2)求证：直线CF 为⊙O 的切线．证明：(1)∵E 为△ABC 的内心，∴∠DAC ＝∠DAB ，∠CBE ＝∠EBA.又∵∠DBC ＝∠DAC ，∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠EAB ＋∠EBA ， ∴∠DBE ＝∠DEB.∴DB ＝DE. (2)连接DC.∵∠DAB ＝∠DAC ，∴BD ＝CD. 又∵BD ＝DF ，∴BD ＝CD ＝DF. ∴∠BCF ＝90°.∴OC ⊥CF ，即直线CF 为⊙O 的切线．5．(2017·金华)如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC.(1)求证：AC平分∠DAO；(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．解：(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠DAC＝∠OCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.∵OC＝22，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝2.∴FG＝2.∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2 3.∴EF＝GE－FG＝23－2.6．(2017·贵港)如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圆．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AC＝8，tan∠BAC＝22，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OP ，OA ，OP 交AD 于E ， ∵PA ＝PD ， ∴AP ︵＝DP ︵.∴OP ⊥AD ，AE ＝DE. ∴∠DAC ＋∠OPA ＝90°. ∵OP ＝OA ，∴∠OAP ＝∠OPA.∴∠DAC ＋∠OAP ＝90°. ∵四边形ABCD 为菱形， ∴∠DAC ＝∠BAC.∴∠BAC ＋∠OAP ＝90°. ∴OA ⊥AB.∴AB 是⊙O 的切线．(2)连接BD ，交AC 于点F ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴DB 与AC 互相垂直平分． ∵AC ＝8，tan ∠BAC ＝22， ∴AF ＝4，tan ∠DAC ＝DF AF ＝22.∴DF ＝2 2.∴AD ＝AF 2＋DF 2＝2 6. ∴AE ＝ 6.在Rt △PAE 中，tan ∠DAC ＝PE AE ＝22， ∴PE ＝ 3.设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R －3，OA ＝R ，在Rt △OAE 中，∵OA 2＝OE 2＋AE 2， ∴R 2＝(R －3)2＋(6)2. ∴R ＝332，即⊙O 的半径为332.7．(2017·孝感)如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，过点D 作DE ∥AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD.(1)由AB ，BD ，AD ︵围成的曲边三角形的面积是252＋25π4；(2)求证：DE 是⊙O 的切线；(3)求线段DE 的长．解：(2)证明：连接OD. ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD. ∴AD ＝DB.又∵AB 为直径，∴AD ⊥DB ，∴∠ADB ＝90°. ∴OD ⊥AB. ∵DE ∥AB ，∴OD ⊥DE.∴DE 是⊙O 的切线． (3)∵AB ＝10，AC ＝6，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.过点A 作AF ⊥DE 于点F ，则四边形AODF 是正方形， ∴AF ＝OD ＝FD ＝5，∠BAF ＝90°.∵∠EAF ＋∠CAB ＝90°，∠ABC ＋∠CAB ＝90°， ∴∠EAF ＝∠ABC.∴tan ∠EAF ＝tan ∠ABC. ∴EF AF ＝AC BC ，即EF 5＝68. ∴EF ＝154.∴DE ＝DF ＋EF ＝5＋154＝354.8．(2017·呼和浩特)如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上的四个点，C 是劣弧BD ︵的中点，AC 与BD 交于点E.(1)求证：DC 2＝CE·AC ；(2)若AE ＝2，EC ＝1，求证：△AOD 是正三角形；(3)在(2)的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点H ，求△ACH 的面积．解：(1)证明：∵C 是劣弧BD ︵的中点， ∴CD ︵＝CB ︵.∴∠DAC ＝∠CDB. 又∵∠ACD ＝∠DCE ， ∴△ACD ∽△DCE. ∴AC DC ＝CDCE.∴DC 2＝CE·AC. (2)证明：∵AE ＝2，CE ＝1， ∴AC ＝3.∴DC 2＝3，DC ＝ 3. 连接OC ，OD ， ∵C 是劣弧BD ︵的中点， ∴OC 平分∠DOB. ∴BC ＝DC ＝ 3.∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝9＋3＝2 3. ∴OB ＝OC ＝OD ＝BC ＝DC ＝ 3. ∴∠BOC ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOD ＝120°.∴∠DOA ＝60°. 又∵OA ＝OD ， ∴△AOD 是正三角形． (3)∵CH 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CH.∵∠COH ＝60°， ∴∠H ＝30°. ∴AC ＝CH ＝3.∴S △AHC ＝12×33×32＝934.9．(2017·成都)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F.(1)求证：DH 是圆O 的切线；(2)若A 为EH 的中点，求EFFD 的值；(3)若EA ＝EF ＝1，求圆O 的半径．解：(1)证明：连接OD. ∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等腰三角形． ∴∠OBD ＝∠ODB. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ODB ＝∠OBD ＝∠ACB. ∴OD ∥AC. ∵DH ⊥AC ， ∴DH ⊥OD.∴DH 是⊙O 的切线．(2)∵∠E 与∠B 都是AD ︵所对的圆周角， ∴∠E ＝∠B ，由(1)可知，∠E ＝∠B ＝∠C.∴△EDC 是等腰三角形．又∵DH ⊥AC 且点A 是EH 中点，设AE ＝x ，EC ＝4x ，则AC ＝3x.连接AD ，∵AB 是直径，∴AD ⊥BD.又∵△ABC 是等腰三角形，∴D 是BC 中点． ∴OD 是△ABC 中位线． ∴OD ∥12AC ，OD ＝32x.∵OD ∥AC ，∴∠E ＝∠ODF.在△AEF 和△ODF 中，⎩⎨⎧∠E ＝∠ODF ，∠OFD ＝∠AFE ，∴△AEF ∽△ODF. ∴EF DF ＝AEOD.∵AE OD ＝x 32x ＝23，∴EF FD ＝23. (3)设⊙O 半径为r ，即OD ＝OB ＝r. ∵EF ＝EA ，∴∠EFA ＝∠EAF. 又∵OD ∥EC ，∴∠FOD ＝∠EAF. ∴∠FOD ＝∠EAF ＝∠EFA ＝∠OFD ， ∴DF ＝OD ＝r.∵DE ＝DF ＋EF ＝r ＋1， ∴BD ＝CD ＝DE ＝r ＋1.在⊙O 中，∵∠BDE ＝∠EAB ， ∴∠BFD ＝∠EFA ＝∠EAB ＝∠BDE. ∴BF ＝BD ，△BDF 是等腰三角形．∴BF ＝BD ＝1＋r.∵AF ＝AB －BF ＝2OB －BF ＝2r －(1＋r)＝r －1.在△BFD 和△EFA 中，⎩⎨⎧∠BFD ＝∠EFA ，∠B ＝∠E ，∴△BFD ∽△EFA. ∵EF FA ＝BF DF ，1r －1＝r ＋1r. 解得r 1＝1＋52，r 2＝1－52(舍)．∴综上，⊙O 的半径为1＋52.。

《圆的证明与计算》专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB 的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例3 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

圆的各个公式证明

圆的各个公式证明一、圆的周长公式证明。

1. 定义法。

- 我们知道圆的周长C是指绕圆一周的长度。

- 我们可以采用极限的思想来推导圆的周长公式。

将圆分割成n个相等的小扇形（当n趋向于无穷大时）。

- 当n很大时，每个小扇形近似看成一个等腰三角形，其腰长为圆的半径r，底边长近似为弧长Δ l。

- 对于整个圆，所有小扇形的弧长之和就是圆的周长C。

- 对于一个圆心角为θ（弧度制）的扇形，弧长Δ l = rθ。

- 一个圆的圆心角为2π（弧度制），所以圆的周长 C = r×2π = 2π r。

2. 滚动法（实验法）- 拿一个圆形物体（如圆盘），在直尺上滚动一周。

- 测量出滚动的距离，这个距离就是圆的周长。

- 多次测量不同半径的圆，会发现圆的周长C与半径r存在着 C = 2π r的关系。

二、圆的面积公式证明。

1. 极限分割法。

- 把圆平均分成n个相等的小扇形（n趋向于无穷大）。

- 将这些小扇形近似看作等腰三角形，每个小扇形的半径为圆的半径r，弧长近似为底边长Δ l=(2π r)/(n)。

- 每个小扇形的面积Δ S=(1)/(2)r×Δ l=(1)/(2)r×(2π r)/(n)=frac{π r^2}{n}。

- 那么圆的面积S = n×Δ S=n×frac{π r^2}{n}=π r^2。

2. 定积分法（高中拓展内容）- 在平面直角坐标系中，以原点为圆心，r为半径的圆的方程为x^2+y^2=r^2，即y = ±√(r^2)-x^{2}。

- 圆的面积S = 4∫_0^r√(r^2)-x^{2}dx。

- 令x = rsin t，则dx = rcos tdt。

- 当x = 0时，t = 0；当x = r时，t=(π)/(2)。

- 则S = 4∫_0^(π)/(2)√(r^2)-r^{2sin^2t}· rcos tdt- 化简得S = 4r^2∫_0^(π)/(2)cos^2tdt。

圆的证明与计算 (基本图形)

圆的证明与计算(基本图形)圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系，以及中点等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,近几年武汉市中考题的22题的第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

三、解题方法：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；（07武汉）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。

以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。

(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求sin∠E的值。

(第22题图)（10武汉）22．(本题满分8分) 如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

圆有关的证明与计算(讲义及答案)

点 F，交 AC 边于点 E，点 F 是 EB 的中点，∠C=90°，连接 AF．（1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线．（2）若 BD=2，OB=4，求 tan∠AFC 的值．
C E
F
A
O
BD
3
6. （2020 大连）四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD=CD．（1）如图 1，求证：∠ABC=2∠ACD；
︵ ②取 AE 的中点 H，当∠EAB 的度数为__________时，四边形 OBEH 为菱形．
C
C
G D
E
G D
E
F
F
A
O
BA
O
B
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，DO⊥AB 于点 O，连接 DA 交⊙O 于点 C，过点 C 作⊙O 的切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F．（1）求证：CE=EF；（2）连接 AF 并延长，交⊙O 于点 G．填空： ①当∠D 的度数为_________时，四边形 ECFG 为菱形； ②当∠D 的度数为_________时，四边形 ECOG 为正方形．
1
精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，BA=BC，∠ABC=90°，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，︵
点 E 是BD上不与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G．（1）求证：△ADF≌△BDG．（2）填空：
︵ ①若 AB=4，且点 E 是BD的中点，则 DF 的长为________；
3. 边与角的常见思考角度（1）边长、角度的量化与转化 ①当遇到边长、角度间的和差倍分关系时，往往考虑量化方式来进行研究．比如寻求角度关系常借助平行、互余（补）、外角、圆心角、圆周角等；比如遇到三角形相似，会考虑设份数为未知数来进行表达． ②特殊角度与直角三角形的三边关系可以互相转化，如 1: 3 :2．（2）边长与角度的常见求解方式 ①勾股定理；②利用相似对应边成比例列方程；③解三角形；④面积、周长等信息．