人教版高中数学第二章2.2-2.2.2反证法
人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
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自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
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题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
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证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
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跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
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人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
第二章2.2.2反证法
2.2.2反证法课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论不成立)．经过正确的________，最后得出________，因此说明______________，从而证明了原命题________．这样的证明方法叫做反证法．2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与________矛盾，或与________、________、________、________矛盾等．一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角2．实数a、b、c不全为0的含义为()A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为03．如果两个数的和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数4．设x、y、z∈R*，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a、b、c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于25．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都不是偶数C．a，b，c中至多一个是偶数D．至多有两个偶数二、填空题6．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为____________．7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．三、解答题9．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．10．已知三个正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．能力提升11．在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．1．在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．2．推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法．3．对于否定性命题，结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2．2.2 反证法答案知识梳理1．不成立 推理 矛盾 假设错误 成立 2．已知条件 假设 定义 定理 公理 事实 作业设计 1．B2．D [“不全为0”和“全为0”是对立的．]3．C [两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．]4．C [假设a <2，b <2，c <2.则a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6，矛盾．故a 、b 、c 至少有一个不小于2.]5．B [“存在”的反面是“任意，……都不是”．] 6．x ＝a 或x ＝b解析 否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b . 7．③①②解析 考查反证法的一般步骤． 8．丙解析 若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．9．解 设三个方程均无实根，则有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12a <－1或a >13－2<a <0.即－32<a <－1，所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．10．证明 假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴2b ＝2bac ⇒b 2＝ac . ∴⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝ac ⇒(a ＋c )2 ＝4ac ⇒(a －c )2＝0⇒a ＝c . 又2b ＝a ＋c ，∴a ＝b ＝c .因此，d ＝b －a ＝0，这与d ≠0矛盾．所以1a ，1b ，1c不可能成等差数列．11．证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∴B ≥A ≥60°，C >A ≥60°，∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°. 12．证明 假设方程f (x )＝0有负数根， 设为x 0(x 0≠－1)，则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1.∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1.解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．。
2.2.2反证法
2.2.2反证法学习目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.一、知识梳理1、反证法的定义：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.2、反正法的步骤：3、反证法的适用范围：二、例题讲解例1、证明2不是有理数。
例2、证明质数有无穷多个。
例3、证明：1，3，2不能为同一等差数列的三项。
例4、平面上有四个点，没有三点共线。
证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。
三、巩固练习1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）. A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）.A．,,a b c均不为0B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0D．,,a b c中至少有一个不为03.设,,a b c都是正数，则三个数111,,a b cb c a+++（）.A．都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数5. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .6 “4x >”是“240x x ->”的 条件.7.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____ ____ ．8.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________．9.已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.10.已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14⎝⎛⎭⎫23n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．。
2.2.2 反证法
2．2.2反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A)A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.7．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：08．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x ＝y ”的反面是“x ≠y ”，即是“x >y 或x <y ”，所以②正确；“a >b ”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又0<ax0<1，所以0<－x0－2x0＋1<1，即12<x0<2.与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．。
(原创)2.2.2反证法
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注: 结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
练习 P91：练习1、2题
A组第3题 B组第1题
小结
1.反证法是一种间接证明的方法，是解决某些“疑 难”问题的有力工具，其基本思路是： 假设结论不成立→构设矛盾→否定假设肯定结论.
2.反证法主要适用于以下两种情形： （1）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条 件推出结论线索不清晰； （2）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反 面证明，只要研究一种或很少的几种情形.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
反证法的思维方法：正难则反
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。 （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
``` 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 ) ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-
x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
即分三个步骤：反设—归谬—存真
说明：反证法常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
等于 大于（>） 小于 (<) 是 不等于 小等于于或 （≤）大等于于或（≥） 不是
都是 不都是
正面 至多有 至少有一 任意的 所有的 至多有n 任意
2.2.2反证法
课后练习：Ｐ91 1,2
审题指导
第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式， 1 应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋ n(n－1)d两式求解． 2 第(2)问先假设任三项bp、bq、br成等比数列，再用 反证法证明．
a1 1 2 (1)设公差为d，由已知得 3a1 3d 9 3 2 故 an 2n 1 2, Sn n(n 2).
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
2 2
∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
2
课堂互动
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
对于含有“至多”、“至少”的 命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体 会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的 含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明 遗漏的错误． 说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 否定 正面 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是
变式3
已知f(x)＝ax＋
x2 x 1
(a>1)，证明方程
f(x)＝0没有负数根．
证明 假设x0是f(x)＝0的负数根，
x0 a 则x0<0且x0≠－1且
x0 a 由0< <1⇒0<－
1 解得 <x0<2，这与x0<0矛盾，所以假设不成立， 2 故方程f(x)＝0没有负数根．
2.2.2反证法（优秀经典公开课比赛教案）.
2.2.2反证法（优秀经典公开课⽐赛教案）.课题：2．3反证法学科：数学年级：⾼⼆班级：⼀、教材分析：本节主要研究反证法的概念以及反证法证明问题的⼀般步骤。
在上⼀节中，我们已经学习了直接证明，但是对于有的题⽬，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；或者如果从正⾯证明，需要分成多种情形进⾏分类讨论，⽽从反⾯进⾏证明，只要研究⼀种或很少的⼏种情形。
所以，教材在直接证明之后安排反证法的内容是很有必要的。
⼆、教学⽬标：1．知识与技能结合实例了解间接证明的⼀种基本⽅法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会⽤反证法证明数学问题．2．过程与⽅法使学⽣经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学⽣归纳、总结、推理论证的能⼒．增强学⽣的数学应⽤意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学⽣积极参与、⼤胆探索的精神以及合作意识．通过让学⽣体验成功，培养学⽣学习数学的⾃信⼼．通过科学家的故事，培养学⽣的耐⼼、恒⼼、⾃信⼼和抗挫折能⼒．从⽽发展学⽣的数学思维能⼒，提⾼思维品质．三、教学重点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．四、教学难点难点：应⽤反证法解决问题，在推理过程中发现⽭盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或⼰知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相⽭盾的地⽅；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学⽣亲⾝体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决⽅法，突出重点、化解难点．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电⼦⽩板六、教学⽅法：建议本节课采取探究式教学法，让学⽣参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学⽣积极参与的热情，开发其论证推理能⼒的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下⼏点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出⽭盾——得出结论．(2)提出反设的⽅式⽅法：引导学⽣弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬⽅法：在归谬过程中要注意假设条件的利⽤，通过例题分析总结归谬的⽅法技巧．(4)反证法的适⽤范围及对象：反证法⼀般适⽤于题⽬条件中含有量词“⾄多”“⾄少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．七、教学过程：1、⾃主导学：阅读课本42—43页回答下列问题：（学⽣课前预习后提出疑惑，⽼师解答）【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎⼩时候，爱和⼩朋友在路上玩耍．⼀天，他们发现路边的⼀棵树上结满了李⼦，⼩朋友⼀哄⽽上，去摘李⼦，独有王戎没动．等到⼩朋友摘了李⼦⼀尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李⼦是苦的呢？”王戎说：“假如李⼦不苦的话，早被路⼈摘光了，⽽这棵树上却结满了李⼦，所以李⼦⼀定是苦的．”王戎的论述运⽤了什么推理思想？【提⽰】实质运⽤了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成⽴(即在原命题的条件下，结论不成⽴)，经过正确的推理，最后得出⽭盾，因此说明假设错误，从⽽证明了原命题成⽴，这样的证明⽅法叫做反证法．2．反证法常见的⽭盾类型2、合作探究（1）分组探究探究点1 反证法的定义和探究点2 反证法的应⽤1.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0⽆整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选⽤反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应⽤．【⾃主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．⽽f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn ＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．⼜a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数⽭盾．∴f(x)＝0⽆整数根．2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再⽤反证法证明零点唯⼀．【⾃主解答】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内⾄少存在⼀个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另⼀个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，⽭盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，⽭盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．（2）教师点拨1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正⾯突破较困难时，可⽤反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后⽤转化后的命题作为条件进⾏推理，推出⽭盾，从⽽达到证题的⽬的．2．常见否定词语的否定形式如下表所⽰：3、巩固训练1.已知⾮零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，⼜a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac，∴(a －c )2＝0，即a ＝c .这与a ≠c ⽭盾．故假设错误，原命题正确.2.已知a 与b 是异⾯直线，求证：过a 且平⾏于b 的平⾯只有⼀个．【证明】如图所⽰．假设过直线a 且平⾏于直线b 的平⾯有两个，分别为α和β，在直线a 上取点A ，过b 和A 确定⼀个平⾯γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d ，由b ∥α，知b ∥c ，同理b ∥d ，故c ∥d ，这与c 、d 相交于点A ⽭盾，故假设不成⽴，原结论成⽴.3.已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x中⾄少有⼀个⼩于2. 【思路探究】明确“⾄少”的含义―→对结论作出假设―→得出⽭盾．【⾃主解答】假设1＋x y ，1＋y x 都不⼩于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2.∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2⽭盾．∴1＋xy，1＋yx中⾄少有⼀个⼩于2.常见结论词与反设词列表如下：。
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
2.2.2 反证法
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
变式训练2已知函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的
曲线,且f(x)在[m,n]上单调递减,若f(m)f(n)<0,求证:方程f(x)=0在(m,n)
上有且只有一个实数根.
证明:因为函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,
课前篇自主预习
【做一做 2】 用反证法证明命题“若 a>b,则3 ������ > 3 ������”时,假设
内容应是( )
A.3 ������ = 3 ������
B.3 ������ < 3 ������
C.3 ������ = 3 ������且3 ������ < 3 ������ D.3 ������ = 3 ������或3 ������ < 3 ������
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟 至少、至多型命题的解题策略 1.对于“至少、至多”型问题,直接证明时分类情况较多,证明过程烦 琐,而如果运用反证法证明,则分类情况单一,证明过程简单,这体现 了“正难则反”的思想方法. 2.证明“至少、至多”型问题时,常见的“结论词”与“反设词”:
x0≠x1. 若x0>x1,则有f(x0)<f(x1),即0<0,矛盾; 若x0<x1,则有f(x0)>f(x1),即0>0,矛; 故假设错误,即方程f(x)=0在(m,n)上的根是唯一的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
用反证法证明“至少、至多”型命题 例3 已知a,b,c都是小于2的正数,求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少 有一个不大于1. 分析:本题为“至少、至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故 用反证法证明.
高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)
§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解 反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。
你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．（二）推进新课1、反证法的特点：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.例2、求证：2不是有理数 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
2.2.2反证法
例3.已知a,b, c是互不相等的实数,求证：
由y 1
ax2
2bx
a
和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线
至少有一条与x轴有两个不同的交点.
例3证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线
相加得a2 b2 c2 ab bc ac 以上两式矛盾
因此假设不成立, 从而命题得证
例4、证明 2 不是有理数.
证明：假定 2 是有理数，则可设 互质的正整数，
2 p ,其中p，q为 q
两边平方得到，2q2=p2， ①
①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于是令p=2l，l
是正整数，代入①式，
证明：由于a 0，因此方程至少有一个根x b . a
如果方程不只一个根，不妨设x1 , x 2 是它的两个 不同的根，即ax1 b, ax2 b. 则a(x1 x2 ) 0. 因为x1 x2 , 所以x1 x2 0, 所以应有a 0, 这与已知矛盾，故假设错误.
都不与x轴有两个不同的交点, 则
12==22bc22
4ac 4ab
0 0
1 =
2a2
4bc
0
以上三式相加得a2 b2 c2 ab bc ac
又因为互不相等，由基本不等式得
a2 b2 2ab, b2 c2 2bc, a2 c2 2ac
反证法
学习目标
1、结合数学案例，了解反证法的解题过程与自 身特点，体会反证法的思考过程和内涵； 2、通过实例及合作探讨，归纳总结应用反证法 解题的情形，会用反证法解决数学问题.
2.2.2 《反证法》
2．2.2反证法1．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．2．掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明．基础梳理反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．基础自测1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有唯一解”的结论的否定是(D)A．无解B．两解C．至少两解D．无解或至少两解解析：易知此命题结论的否定是：无解或至少两解．故选D.2．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则(B)A．a，b都与l相交B．a，b至少有一条与l相交C．a，b至多有一条与l相交D．a，b都与l不相交解析：若a，b都与l不相交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾．∴a，b至少有一条与l相交．故选B.3．用反证法证明“已知a3＋b3＝2，求证a＋b≤2”时的反设为______，得出的矛盾为______．解析：假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，又a3＋b3＝2，∴6b2－12b＋6＜0，即6(b－1)2＜0，由此得出矛盾．答案：a＋b＞26(b－1)2＜04．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是___________________________________________________________ _____________．解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数．答案：a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(一)用反证法证明数学命题的一般步骤(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．（二）反证法得出的矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；(4)与简单的、显然的事实矛盾．（三）注意事项(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题．3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C)A．①②③B．①③②C．③①②D．③②①解析：根据反证法的步骤，容易知道选C.3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB ＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP BAP＞∠CAP4．求证：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，且n>1)．证明：假设na不大于nb，则na＝nb，或na＜nb当na＝nb时，则有a＝b.这与a＞b＞0相矛盾．当na＜nb时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾．所以na＞nb.1．“实数a，b，c不全为0”的意思为(D)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为02．下列命题中错误的是(D)A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．区间(a，b)上单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中为奇数的一个也没有3．用反证法证明命题“如果a＞b，则3a＞3b”时，假设内容应是(D)A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b且3a＜3b D.3a＝3b或3a＜3b解析：容易知道，“3a＞3b”的否定是“3a＜3b或3a＝3b”，所以选D.4．如果两个实数之和为正数，则这两个数(A )A ．至少有一个是正数B ．两个都是正数C ．一个是正数，一个是负数D ．两个都是负数解析：假设两个都是负数，其和必为负数，矛盾，所以选A.5．a ＞0，b ＞0，c ＞0，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a(D ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个数不大于2D ．至少有一个数不小于2解析：a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6.若三个数均小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6，故选D.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)(C )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能解析：∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c .∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆x 2＋y 2＝2内，则x 21＋x 22≥2，但x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋2c a ＝3c 24c 2＋2c 2c ＝74＜2，矛盾． ∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.7．命题“在△ABC 中，A ＞B 则a ＞b ”，用反证法证明是，假设是________．解析：命题的结论是a ＞b ，假设应是“a ≤b ”．答案：a ≤b8．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除．”那么假设的内容是____________________．解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”．答案：a ，b 中没有一个能被5整除9．命题“a ，b ∈R ，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．答案：a ≠1，或b ≠110．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程实根，求实数a 的取值范围．解析：设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2－4（－4a ＋3）＜0，Δ＝（a －1）2－4a 2＜0，Δ＝4a 2－4（－2a ）＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1，或a ＞13，－2＜a ＜0，所以－32＜a ＜－1. 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，证明：2b ＝1a ＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＋2b ac， ∴b 2＝ac .又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ， 即(a －c )2＝0.∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾．∴2b ＝1a ＋1c不成立．12．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0＜0且x 0≠－1且ax o ＝－x 0－2x 0＋1， ∴0＜ax o ＜1⇒0＜－x 0－2x 0＋1＜1，解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．►品味高考1．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(A )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰有两个实根解析：因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．2．如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长；(2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．解析：(1)如图，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，∴MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF.∴MG⊥GN.∴MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF.∴EN∥AB.又AB∥CD∥EF，∴EF∥NE.这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．。
2.2.2反证法
（回顾小结）
反证法
间接证明
同一法 枚举法
（回顾小结）
应用反证法的情形： (1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个 这一类的命题； (4)结论为 “唯一”类的命题。 正难则反!
（回顾小结）
合情推理 （归纳、类比）
推理 演绎推理 （三段论） 证明
直接证明 （分析法、综合法）
间接证明 （反证法）
数学—公理化思想
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎． 聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？ 你会释放谁？ 请与大家分享你的判断！
综上可知：a，b，c都大于零．
3.已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用
反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0 无实根．
【正解】 证明：假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实根， 则该方程根的判别式 Δ＝4－4(5－p2)≥0， 解得 p≥2 或 p≤－2， 而由已知条件实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 1 解得－2<p<－ ，二者无公共部分，所以假设不成立， 2 故关于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实根.
两式相除得2b1－b2＝1， 如果b1－b2>0，则2b1－b2 >1，这与2b1－b2 ＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2 <1，这与2b1－b2 ＝1相矛盾．
因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故方程2x＝3有且只有一个根．
2016-2017学年人教版高中数学选修2-2课件：第二章 2.2 2.2.2 反证法
a≤－2或a≥0.
即 a∈
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结束
3．[变条件，变设问]已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac ＋bd＞1，求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数． 证明：假设 a≥0，b≥0，c≥0，d≥0. ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1， ∴ac＋bd＋bc＋ad＝1. 而 ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立， ∴a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点 (1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设 中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反 证法都是不完全的． (2) 常 用 题 型 ： 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有 实数根，求实数 a 的取值范围． 解：假设三个方程都有实数根，则
((4aa－)21－)2－4(－4a42≥a＋0，3)≥0， (2a)2＋4×2a≥0，
即43aa22＋ ＋42aa－ －31≥ ≤00， ， a2＋2a≥0，
a≤－32或a≥12， 解得－1≤a≤13，
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选
2.2.2 反证法一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B.2．用反证法证明“如果a b >>A =<=C D =<【答案】D【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=<3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程02=++b ax x 没有实根B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ．4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除【答案】B【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除.5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.6．设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能【答案】C 【解析】∵12c e a ==，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆 x 2＋y 2＝2内，则22122x x +≥，但()222212121222b c x x x x x x a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 223272424c c c c =+=<，矛盾．∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.二、填空题7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是.【答案】方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．8．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设.【答案】1-≠x 且1≠x【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是1-≠x 且1≠x .9．用反证法证明命题：“设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于31”时，第一步应写：假设．【答案】c b a ,,都小于31 【解析】反证法第一步是否定结论，a 、b 、c 中至少有一个数不小于31的否定是c b a ,,都小于31． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】③①②【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.。
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2．反证法证明问题的一般步骤．
[变式训练] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－＋21(a＞1)．用反证 法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
证明：假设存在 x0＜0(x0≠－1)，满足 f(x0)＝0， x0－2
则 ax0＝－x0＋1. 因为 a＞1，x0＜0，所以 0＜ax0＜1，
所以 0＜－xx00－ ＋21＜1，即12＜x0＜2. 与假设 x0＜0 矛盾，故方程 f(x)＝0 没有负数根．
因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，BC⊂平面 α，
所以 AB⊥BC，AC⊥BC，在平面 β 内经过点 A 有两 条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只 能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点 A 只 能有平面 α 的一条垂线．
图①
图②
归纳升华 (1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一 存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛 盾，所以宜用反证法证明． (2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
（1－a）＋b
所以
2
≥ （1－a）b>
14＝12.
同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12.
三式相加得
（1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32， 即32>32，矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
归纳升华 1．反证法是利用原命题的否定不成立则原命题成立 来进行证明的．在使用反证法时，必须在假设中罗列出所 有与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是 不完全的． 2 ． 对 于 否 定 性 命 题 或 结 论 中 出 现 “ 至 多 ”“ 至 少”“不可能”等字样时，常用反证法．
即 b＝ ac， 所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以 a＋c－2 ac＝0，即( a－ c)2＝0， 所以 a＝ c，从而 a＝b＝c， 所以 a，b，c 可以成等差数列，这与已知中“a，b， c 不成等差数列”相矛盾． 原假设错误，故 a， b， c不成等差数列．
归纳升华 1．用反证法证明否定性命题的适用类型． 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词 语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而 反面比较具体，适合使用反证法．
类型 3 用反证法证明唯一性问题 [典例 3] 已知一点 A 和平面 α.求证：经过点 A 只能 有一条直线和平面 α 垂直． 证明：根据点 A 和平面 α 的位置关系，分两种情况 证明． (1)如图①所示，点 A 在平面 α 内，假设经过点 A 至 少有平面 α 的两条垂线 AB、AC，那么 AB、AC 是两条 相交直线，它们确定一个平面 β，
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
类型 2 用反证法证明“至多”“至少”等存在性 问题
[典例 2] 已知 a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1 －b)c，(1－c)a 不能都大于14.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于14.
因为 a，b，c∈(0，1)，
所以 1－a>0，1－b>0，1－c>0.
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(2)含“至多”“至少”“唯一”等的结论，或以否 定形式给出的结论，常用反证法证明．证明的第一步是 写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可 能情形一一推证．
[正确解答] 假设 a、b、c 中至少有一个不大于 0， 不妨设 a≤0，若 a＜0，则由 abc＞0，得 bc＜0， 由 a＋b＋c＞0 得，b＋c＞－a＞0， 所以 ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知 ab＋bc ＋ca＞0 矛盾． 又若 a＝0，则 abc＝0 与 abc＞0 矛盾．
2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛 盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、 公理、定理、事实矛盾等． 温馨提示 反证法不是通过证明逆否命题来证明原
命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原题正确.[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
1．反证法证题的原理与实质． (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”． (2)用反证法证题的实质就是否定结论，导出矛盾， 从而说明原结论正确． 2．反证法的适用对象． 作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下 几类数学问题：
(1)直接证明需分多种情况的； (2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定 性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题； (4)结论是含有“至多”“至少”等词语的命题； (5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的 线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易 研究的命题．
[变式训练]已知 a 与 b 是异面直线． 求证：过 a 且平行于 b 的平面只有一个．
证明：假设过直线 a 且平行于直线 b 的平面有两个， 分别为 α 和 β，在直线 a 上取点 A，过 b 和 A 确定一个平 面 γ，且 γ 与 α、β 分别交于过点 A 的直线 c、d，由 b∥α，
知 b∥c，同理 b∥d，故 c∥d，这与 c、d 相交于点 A 矛盾，故假设不成立，原结论成立．
(误区警示)[典例 4] 已知 a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca ＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.
易错提示：本题易出现如下错误：假设 a≤0，b≤0， c≤0，则 a＋b＋c≤0，abc≤0，与题设条件 a＋b＋c＞0， abc＞0 矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．
防范措施：(1)错解没有弄清原题待证的结论是什么， 导致反设错误．“求证：a＞0，b＞0，c＞0”的含义是“求 证 a、b、c 三数都是正数”，故反设应为“假设 a、b、c 中至少有一个不大于 0”．
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1 或 b≠1”，所以 假设为 a≠1 或 b≠1.
答案：a≠1 或 b≠1
类型 1 用反证法证明否定性命题(自主研析) [典例 1] 已知三个正整数 a，b，c 成等比数列，但 不成等差数列，求证： a， b， c不成等差数列． 证明：假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b. 又 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，
平面 β 和平面 α 相交于经过点 A 的一条直线 a.因为 AB⊥平面 α，AC⊥平面 α，a⊂α，
所以 AB⊥a，AC⊥a，在平面 β 内经过点 A 有两条直 线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能 有已知直线的一条垂线相矛盾．
(2)如图②所示，点 A 在平面 α 外，假设经过点 A 至 少有平面 α 的两条垂线 AB 和 AC(B、C 为垂足)那么 AB、 AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 β，平面 β 和平 面 α 相交于直线 BC.
解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．用反证法证明命题“如果 a＞b＞0，那么 a2＞b2” 时，假设的内容应是( )
A．a2＝b2 B．a2＜b2 C．a2≤b2 D．a2＜b2，且 a2＝b2 解析：将结论否定，即为 a2≤b2.
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明 2．2.2 反证法
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方 法(重点)． 2.理解反证法的思考过程、特点，会用反证 法证明数学问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理]
1．反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
故“a≤0”不成立，所以 a＞0，同理可证 b＞0，c ＞0.
[类题尝试] 已知直线 m 与 直线 a 和 b 分别交于 A、B 且 a∥b，
求证：过 a、b、m 有且只有一个平面． 证明：因为 a∥b， 所以过 a、b 有一个平面 α. 又 m∩a＝A，m∩b＝B， 所以 A∈a，B∈b，
所以 A∈α，B∈α，又 A∈m，B∈m，所以 m⊂α. 即过 a、b、m 有一个平面 α. 假设过 a、b、m 还有一个平面 β 异于平面 α， 则 a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β 这与 a∥b，过 a、b 有且 只有一个平面相矛盾． 因此，过 a、b、m 有且只有一个平面．
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进