河北省五校联盟12—13学年高三上期调研考试(数学理)

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河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题(解析版)

邯郸市2024届高三年级第一次调研监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh=（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.棱台的体积公式()13V h S S'=+（其中S '，S 分别为棱台的上､下底面面积，h 为棱台的高）.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A =<，{}220B x xx =+≤，则A B ⋃=（）A.(]1,2- B.{}0 C.[)2,1- D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求一元二次不等式得{20}B xx =-≤≤∣，再根据集合运算法则求解A B ⋃即可.【详解】{}{}2{1}{01},2020A x x B x x x x x =<=≤<=+≤=-≤≤∣∣∣，则{21}A B xx ⋃=-≤<∣.故选：C.2.已知命题p ：[)0,x ∞∀∈+，e 1x ≥，则p ⌝为（）A.(),0x ∃∈-∞，e 1x ≥B.[)0,x ∃∈+∞，e 1x <C.(),0x ∀∈-∞，e 1x <D.[)0,x ∞∀∈+，e 1x <【答案】B 【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题:[0,),e 1x p x ∞∀∈+≥，所以:[0,),e 1x p x ⌝∃∈+∞<.故选：B.3.已知i 是虚数单位，若复数z 满足：()31i 1i z -=-，则z z +=（）A.0B.2C.2iD.2i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i z=-，得到i z =，即可求解.【详解】由复数()31i 1i z -=-，可得()()()231i 1i 1i i 1i 1i 1i 1i z ---====--++-，则iz =，所以i i 0z z +=-+=.故选：A.4.设函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，则=a （）A.2- B.2C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a .【详解】函数()()ln f x x a =+的定义域为(),a -+∞，由已知1a >-，故1a >-，函数()()ln f x x a =+的导函数()1f x x a'=+，所以()111f a'=+，因为函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，所以1112a =+，所以1a =，经验证，此时满足题意.故选：D .5.设1F ，2F 是双曲线()222104x y b b-=>的左､右焦点，过1F 的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线2y x =为双曲线的一条渐近线，22AB b =，则22AF BF +的值为（）A.11B.12C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得2a =,再由双曲线的定义可得212124,24AF AF a BF BF a -==-==，得到()22118AF BF AF BF +-+=,再根据||6AB =得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程2221(0)4x y b b -=>，得2a =,由直线2y x =为双曲线的一条渐近线，得2b a =,解得b =,得2||26AB b ==.由双曲线的定义可得2124AF AF a -==①，2124BF BF a -==②，①+②可得()22118AF BF AF BF +-+=,因为过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线的左支于A ,B 两点,所以11||6AF BF AB +==,得22||86814AF BF AB +=+=+=.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm ､底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.()33cm π B.()33cm πC.)33cm π+ D.33cm 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积)311133226cm 322V =⨯⨯⨯⨯⨯=，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径2sin 60r ︒==，所以圆柱的体积()2321π3πcm V =⨯⨯=，所以此钻头的体积为()3123πcm V V +=.故选：B.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以1A ，2A 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则()2P A B =（）A.823B.623 C.1740D.58【答案】A 【解析】【分析】分别求出()2P A ，()2P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，再根据条件概率公式即可得解.【详解】()()()()()1122352423585840P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，()225P A =，()24182P B A ==，()()()()()()222221852232340P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，A.()31f =-B.()21f -=-C.()6f x +为奇函数D.()()228f x f x =+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=+，结合()1,1x ∈-时，()e xf x =-，可判断AB ；求出函数的周期，进而可判断CD .【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =---，则()()11f f -=--，所以()10f -=，因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()()2f x f x =-+，则()()310f f =-=，故A 错误；由当()1,1x ∈-时，()e xf x =-，得()01f =-，则()()201f f -=-=，故B 错误；()()22f x f x -+=---，则()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()()228f x f x =+，故D 正确；对于C ，由()()8f x f x +=，得()()62f x f x +=-，若()6f x +为奇函数，则()2f x -也为奇函数，令()()2g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()00g =，又()()0210g f =-=≠，矛盾，所以()()2g x f x =-不是奇函数，即()6f x +不是奇函数，故C 错误.故选：D .【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设a ，b是两个非零向量，且a b a b +<+ ，则下列结论中正确的是（）A.a b a b-≤+ B.a b a b-<+ C.a ，b的夹角为钝角 D.若实数λ使得a b λ=成立，则λ为负数【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对A ，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||a b a b -<+，当,a b 反向共线时，||||||a b a b -=+r r r r ，故a b a b -≤+，A 正确；对B ，若a b ⊥，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故B 错误；对C ，若,a b 的夹角范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||a b a b +<+r r r r ，故C 错误；对D ，若存在实数λ，使得a b λ=成立，则,a b 共线，由于||||||a b a b +<+r r r r ，则,a b反向共线，所以λ为负数，故D 正确.故选：AD.10.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A.数列{}n a 为递减数列B.22n S n n=-C.43n a n =- D.数列{}n n a S +是等差数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断B ；根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断C ；由1n n a a +-的符号即可判断A ；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意21nS n n=-，所以22n S n n =-，故B 正确；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，故C 正确；因为140n n a a +-=>，所以数列{}n a 为递增数列，故A 错误；2233n n n a S n =++-，因为()22119a S a S +-+=，()332213a S a S +-+=，所以数列{}n n a S +不是等差数列，故D 错误.故选：BC .11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1，最小正周期为π2，则（）A.()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数()f x 在()0,π上有且仅有4个零点D.函数()f x 在区间π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω与ϕ，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，而π2ϕ<，则()ππ,2sin 66f x x ϕω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由最小正周期为2π，得22T ππω==，得4ω=，则()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π5π,66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得π5π7π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得函数()πππ2sin 42sin 42cos 4662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，B 正确；对于C ，当0πx <<时，πππ44666x π<+<+，则π4π,2π,3π,4π6x +=，则5π11π17π23π,,,24242424x =，可得()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，C 正确；对于D ，当π5π412x <<时，7ππ11π4666x <+<，当π3π462x +=，解得π3x =时，()f x 取得最小值2-，无最大值，D 正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，R ，E ，F 分别是AB ，11AD ，1CC 的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（）A.a 截正方体所得的截面为五边形 B.1B D α⊥C.点D 到平面αD.α截正方体所得的截面面积为【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A 、D ，再利用线线垂直可判定线面垂直得B 项正误，由正六棱锥的体积判定C .【详解】如上左图所示取111AA BC C D 、、中点分别为H G J 、、，连接EH HR RG GF FJ JE 、、、、、，易知HR FJ RG EJ GF HE ，，，HR FJ RG EJ GF HE ===，，，即六边形HRGFJE 为正六边形，平面HRGFJE 即过R ，E ，F 三点的平面α，故A 错误；由正方体的棱长为2，可得截面HRGFJE 的面积为2364S =⨯⨯=D 正确；如上右图所示，连接11AC BD BC B C 、、、，由正方体的性质可得1,AC BD BB ⊥⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以1,BB AC ⊥又11,BD BB B BD BB ⋂=⊂、面1BDB ，所以AC ⊥面1BDB ，1DB ⊂面1BDB ，所以1AC DB ⊥，而AC RG ，所以1RG DB ⊥，同理可得1FG DB ⊥，,FG RG G FG RG α⋂=⊂、，故1DB α⊥，即B 正确；分别连接1D B ，与截面HRGFJE 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D 到平面α的距离为h ，易知211128862162323D HRGFJE A HRD HRGFJE V V V h S h --=-=-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⇒=正方体六边形，故C 正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.()841x x-的展开式的常数项是___________.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，84(1)x x-的展开式中常数项由8(1)x -的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x -的展开式的通项公式为818C (1)r rr r T x-+=-，当84r -=时，44584,C r T x ==，所以84(1)x x-的展开式的常数项为48C 70=.故答案：70.14.写出函数()cos 1sin xf x x=-的一个对称中心：___________.【答案】π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先化简函数得()πtan 24x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】222cos sin cos sincos 2222()1sin cos sinsin cos 2222x x x x x f x x x x x x -+===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭π1tantan tan π224tan π241tan 1tan tan 224x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，令1ππ24x k +=或()212ππ,242x k k k π+=+∈Z ，则1π2π2x k =-+或()212π2π,2x k k k =+∈Z ，令20k =，则π2x =，所以函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故答案：π,02⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一，横坐标符合π2π2x k =±(k ∈Z )即可)15.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：214y x =+.若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则ABC 的面积为___________.【答案】1【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设()()11221,,0,,,4A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120x x <<，则直线AB 与直线BC 的斜率分别为1114y x -，2214y x -，由AB BC ⊥，则121211441y y x x --⋅=-，由AB BC =，则222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将21114y x =+，22214y x =+代入121211441y y x x --⋅=-，可得121x x =-，将21114y x =+，22214y x =+代入222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得24241122x x x x +=+，将121x x =-代入24241122x x x x +=+，可得()()6222110x x -+=，解得21x =，则5151,,0,,1,444A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，==AB BC ，112ABC S AB BC =⋅⋅=V .故答案为：1.16.过圆O ：222x y +=上一点P 作圆C ：()()22442x y -+-=的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当PQ PR +取最小值时，sin θ=___________.【答案】9【解析】【分析】易得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，从而可得2P PQ P Q R ==+，求出PC 取得最小值时，sin θ的值即可.【详解】由题意可得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，圆O 的圆心()0,0O ，半径1r =，圆C 的圆心()4,4C ，半径2r =则2PQ Q R P P ===+，当PQ PR +取最小值时，则PC 取得最小值，1min PC OC r =-=此时1sinsin23CPQ θ=∠==，又2θ为锐角，所以22cos 23θ=，所以12242sin 2339θ=⨯⨯=，即当PQ PR +取最小值时，sin 9θ=.故答案为：429.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC 的最小值是解决本题的关键.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足126a a +=，430S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =-⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使196n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）2n n a =（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得n a ；（2）利用错位相减求和法求得n T ，解不等式196n T ≤.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，0n a >，则0q >.1246,30a a S +==，则12346,24a a a a +=+=，得234122446a a q a a +===+，所以2q =，所以116a aq +=，所以12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）得(1)(1)2nn n b n a n =-⋅=-⋅，得231222(1)2n n T n =⨯+⨯++-⋅ ，得34121222(1)2n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ，两式相减得23412222(1)2nn n T n +-=++++--⋅ ()112122(1)2(2)2412n n n n n ++-=-+--⋅=--⋅--，所以1(2)24n n T n +=-⋅+.由196n T ≤，得11(2)24196(2)2192n n n n ++-⋅+≤⇒-⋅≤，当5n =时，左边632192=⨯=，当5n >时，1(2)2192n n +->，所以n 的最大值为5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[)40,50，[)50,60，[)60,70的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[)50,60的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3（2）分布列见解析，()1E ξ=【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量ξ的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】因为()100.0040.0080.0120.24⨯++=，0.24100.0280.52+⨯=，所以中位数在区间[)70,80内，设为x ，则()()100.0040.0080.0120.028700.5x ⨯+++-=，解得79.3x ≈，即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；【小问2详解】成绩在[)40,50有0.0041220.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)50,60有0.0081240.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)60,70有0.0121260.0040.0080.012⨯=++人，则ξ可取0,1,2,3，()38312C 140C 55P ξ===，()1248312C C 281C 55P ξ===，()2148312C C 122C 55P ξ===，()34312C 11C 55P ξ===，所以分布列为ξ123P145528551255155所以()14281210123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-.（1）求sin 2A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）34（2）273+【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin co 1s 2A A -=，平方进而求得sin 2A ；（2）利用余弦定理表示出22b c +，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】因为2sin 2cos c a C c A =-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 2sin sin 2sin cos C A C C A =-，因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以sin co 1s 2A A -=，所以21(sin cos )4A A -=，得1312sin cos 2sin cos 44A A A A -=⇒=，即3sin 24A =.【小问2详解】由（1）知13sin cos ,2sin cos 24A A A A -==，()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0,cos 0A A >>，与22sin cos 1A A +=联立，有221sin cos 2sin cos 1A A A A ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得17sin 471cos 4A A ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得1117sin 224ABC S bc A ==⨯ ，由余弦定理得，22271cos 24b c a A bc+-==，所以227142b c bc -+=+，得2271422b c bc bc -+=+≥，当且仅当b c =时等号成立，即4(59bc ≤=+，得1142(52493ABC S +≤⨯⨯+=，得最大值为23+.20.如图，几何体由四棱锥B AEFC -和三棱台EFG ACD -组合而成，四边形ABCD 为梯形，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC ==，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）73【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BC CD ⊥，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设DG h =，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h ，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为DG ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以DG BC ⊥，因为//,AD BC AD CD ⊥，所以BC CD ⊥，由GD CD D = ，,GD CD ⊂平面CDGF ，得BC ⊥平面CDGF ，由BC ⊂平面BCE ，得平面BCE ⊥平面CDGF .【小问2详解】因为DG ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DG AD DG CD ⊥⊥，又因为AD CD ⊥，所以,,DG AD CD 两两互相垂直，所以以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DG 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.设DG h =，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)D A B C E h F h G h ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,)DG h = ，设平面EBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,0),(0,2,)CB BE h ==- ，故得0n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y zh =⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则20,1,,cos ,2||||DG n n n DG h DG n ⋅⎛⎫=〈〉==⎪⎝⎭ ，解得2h =，所以三棱台EFG ACD -的体积为1117222113223V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()2ln 2xf x a x =⋅-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可；（2）要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min 12ln f x a a≤+即可，由（1）求出()min f x ，进而得证.【小问1详解】()()ln 22ln 2ln 221x x f x a a '=⋅-=⋅-，当0a ≤时，()0f x '<，则函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，21log x a <时，()0f x '<，21log x a>时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min12ln f x a a≤+即可，由（1）得()21log 22min11log 2ln 2log 1ln a f x f a a a a ⎛⎫==⋅-⨯=+ ⎪⎝⎭，则只要证明11ln 2ln a a a+≤+即可，即证1ln 10a a+-≥，令()()1ln 10h a a a a =+->，则()22111a h a a a a-'=-=，当01a <<时，()0h a '<，当1a >时，()0h a '>，所以函数()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h a h ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以当0a >时，不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，离心率为12.不过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线2AF 与椭圆的另一交点为点B .（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过2F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当22AB DG +取最小值时，求直线AB 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①22(2)4x y -+=；②1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意可知，11,2c c e a ===，得2a =，由222a b c =+，得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①显然直线AB 的斜率必存在，且0AB k ≠，则设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y -，联立有22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +-+-=，所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121,y y y y x x x x ++=-- 令0y =可得N 点的横坐标为()()()()1211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k kk -⨯-++==-+.所以N 为一个定点，其坐标为(4,0)，则圆心坐标为()2,0，半径为2，则以ON 为直径的圆的方程为22(2)4x y -+=.②根据①可进一步求得:21||AB x =-=()2212143k k +=+，第21页/共21页因为AB DG ⊥,所以1DG k k =-,则()22121||34k DG k +=+,由()()()()()22222222221211212881||2243344334k k k AB DG AB DG k k k k ++++≥⋅=⨯⨯=++++()22222288111524943342k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当224334k k +=+时取等号，即1k =±时，22||||AB DG +取得最小值115249，此时直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N 点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22||||AB DG +的最小值.。

高中数学 2023-2024学年河北省邯郸市高三(上)第一次调研数学试卷

2023-2024学年河北省邯郸市高三（上）第一次调研数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A ．（-1，2]B ．{0}C ．[-2，1）D ．（-∞，1）1．（5分）设集合A ={x |x <1}，B ={x |x 2+2x ≤0}，则A ∪B =（）√A ．∃x ∈（-∞，0），e x ≥1B ．∃x ∈[0，+∞），e x <1C ．∀x ∈（-∞，0），e x <1D ．∀x ∈[0，+∞），e x <12．（5分）已知命题p ：∀x ∈[0，+∞），e x ≥1，则￢p 为（）A ．0B ．2C ．2iD ．-2i3．（5分）已知i 是虚数单位，若复数z 满足：z （1-i 3）=1-i ,则z +z =（）A ．-2B ．2C ．-1D ．14．（5分）设函数f （x ）=ln （x +a ）在x =1处的切线与直线y =x2+1平行，则a =（）A ．11B ．12C ．14D ．165．（5分）设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线y =32x 为双曲线的一条渐近线，|AB |=2b 2，则|AF 2|+|BF 2|的值为（）√A ．(33+3π)cm 3B ．(63+3π)cm 3C ．(3+3π)cm 3D ．(63+32π)cm 36．（5分）有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm 、底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）√√√√A ．823B ．623C ．1740D ．587．（5分）甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以A 1，A 2表示从甲口袋取出的球是红球、白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则P （A 2|B ）=（）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）A ．f （3）=-1B ．f （-2）=-1C ．f （x +6）为奇函数D ．f （2x ）=f （2x +8）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x -1）为奇函数，f （x +1）为偶函数，当x ∈（-1，1）时，f （x ）=-e x ，则（）A ．|a −b |≤|a |+|b |B ．|a −b |<|a +b |C ．a ，b 的夹角为钝角D ．若实数λ使得a =λb 成立，则λ为负数9．（5分）设a ，b 是两个非零向量，且|a +b |<|a |+|b |，则下列结论中正确的是（）→→→→→→→→→→→→→→→→→→A ．数列{a n }为递减数列B ．S n =2n 2−n C ．a n =4n -3D ．数列{a n +S n }是等差数列10．（5分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，若数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A ．f （x ）在(π6，5π6)上单调递减B ．f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C ．函数f （x ）在（0，π）上有且仅有4个零点D ．函数f （x ）在区间(π4，5π12)上有最小值无最大值11．（5分）已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象过点（0，1），最小正周期为π2，则（）A ．α截正方体所得的截面为五边形B ．B 1D ⊥αC ．点D 到平面α的距离为3D ．α截正方体所得的截面面积为3312．（5分）已知棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，R ，E ，F 分别是AB ，A 1D 1，CC 1的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（）√√四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（5分）(x −1)8x 4的展开式的常数项是．14．（5分）写出函数f (x )=cosx1−sinx 的一个对称中心：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：y =x 2+14．若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则△ABC 的面积为．16．（5分）过圆O ：x 2+y 2=2上一点P 作圆C ：（x -4）2+（y -4）2=2的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当|PQ |+|PR |取最小值时，sinθ= ．17．（10分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足a 1+a 2=6，S 4=30．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =（n -1）•a n ，{b n }的前n 项和为T n ，求使T n ≤196成立的n 的最大值．18．（12分）暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要．现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[40，50），[50，60），[60，70）的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[50，60）的人数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c =2asinC -2ccosA ．（1）求sin 2A ；（2）若a =2，求△ABC 面积的最大值．20．（12分）如图，几何体由四棱锥B -AEFC 和三棱台EFG -ACD 组合而成，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC且AD =2BC ，AD ⊥CD ，CD =2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA =DC =2，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°．（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG -ACD 的体积．21．（12分）已知函数f （x ）=a ⋅2x -xln 2．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a >0时，证明：不等式f (x )≤2lna +1a 有实数解．22．（12分）已知椭圆E ：x2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1（-1，0）和F 2（1，0），离心率为12．不过F 2且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线AF 2与椭圆的另一交点为点B ．（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过F 2与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当|AB |2+|DG |2取最小值时，求直线AB 的方程．。

河北省2025届高三上学期大数据应用调研联合测评(I)数学含答案

绝密★启用前河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评（I ）（答案在最后）数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集是实数集{},3,{369}M x x N x x ==+<R ∣∣ ，则()N M ⋂=R ð（）A.{}3xx -∣ B.{}13xx ∣ C.{3}x x <-∣ D.{31}xx -<∣ 2.设i 为虚数单位，复数z 满足()12i 42i z +=+，则z =（）A.2C.4D.3.已知向量()()4,2,1,a b ==x ，且()2a b - ∥b ，则x =（）A.2B.-2C.12D.12-4.已知正项等比数列{}n a 满足354664,256a a a a ⋅=⋅=，则数列{}n a 前10项和为（）A.255B.511C.1023D.20475.已知()()sin 2cos ,tan tan 1αβαβαβ+=-+=，则()tan αβ+=（）A.23B.23-C.32D.32-6.已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，若某一球的体积与该圆台体积相同，则该球的表面积为（）A.7πB.14πC.28πD.56π7.现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到,,A B C 三所学校参加公益演讲活动，则甲､乙2名教师不能到A 学校，且丙教师不能到B 学校的概率为（）A.310B.25C.715D.17308.给定函数()()(0),ln xf x x xg x x x a =>=+，用()M x 表示()(),f x g x 中的最大者，记作()()(){}max ,M x f x g x =，若()()M x f x =，则实数a 的最大值为（）A.1eB.1C.eD.e11ee-+二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已为随机变量,X Y ，且()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，其中1212,,,μμσσ+∈∈R R ，则下列命题正确的是（）A.若12μμ=，则()()E X E Y =B.若12μμ=，则()()D X D Y =C.若12μ=，则()()131P X P X += D.若122,3σσ==，则()()1211P X P Y μμ->- 10.设函数()()2()(),1f x x a x b a b x =--<=为函数()f x 的极大值点，则下列结论正确的是（）A.1a =B.若3x =为函数()f x 的极小值点，则4b =C.若()40f x +=有三个解，则b 的取值范围为()4,∞+D.当01x <<时，()()2f x f x<11.已知曲线C（如图所示）过坐标原点O ，且C 上的点(),P x y 满足到两个定点()1,0F a ，()2,0(0)F a a ->的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A.2a =B.x -C.12PF F 周长的最小值为8D.12PF F 的面积最大值为2三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是12F F ､，若双曲线右支上点32P ⎫⎪⎭满足12113PF PF =，则该双曲线的离心率为__________.13.若M 为函数2ln 1y x x =-+图象上的一点，()0,1N ，则MN 的最小值为__________.14.已知,,P M N 是三个集合，且满足{}1,2,3,4,5,,P M P N P =⊆⊆，则满足条件的有序集合对(),M N 的总数是__________.（用数字作答）四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设ABC 的内角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 2C A B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC 的面积为()22416b a +，求ABC 的周长.16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，点F 在棱BP 上，且,2DF BP PD CD ⊥==.（1）证明：BP EF ⊥；（2）若二面角F DE B --的余弦值为13，求BC .17.（本小题满分15分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为3，对称轴为坐标轴，且经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的方程；（2）若过()0,1P 的直线交椭圆E 于C D ､两点，求CP DP的取值范围.18.（本小题满分17分）已知函数()()e 20xf x x x =- .（1）求证()exf x - ；（2）求方程()f x x =解的个数；（3）设*2,n n ∈Nln n ++> .19.（本小题满分17分）定义二元数(),22(,,)pqa p q p q p q =+<∈N ，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列{}n a .（1）求1346,,,a a a a ；（2）对于给定的,(1,,)p q p q p q +<∈N ，是否存在()r r ∈N ，使得()()1,,,1a p q a p q ++，(),1a r r +成等差数列？若存在求出r 满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）若()()(),,,2024a p q a r s a s +=，求,,,p q r s .河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评（I ）数学参考答案及解析题号1234567891011答案BACCACDBACDABCABD1.B 【解析】因为{1}N x x =<∣，所以{}1N x x =R ∣ ð，又因为{}33M x x =-∣ ，所以(){}13N M xx ⋂=R∣ ð，故选B.2.A 【解析】因为()12i 42i z +=+，所以()()42i 12i 42i 86i12i 55z +-+-===+，所以1025z ==，故选A.3.C 【解析】因为()22,22a b x -=-，又因为()2a b - ∥b ，所以222x x -=，所以12x =，故选C.3.C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由354664,256a a a a ⋅=⋅=，得242564,256,a a ⎧=⎨=⎩又因为各项均为正数，所以458,16,a a =⎧⎨=⎩所以()10111012, 1.10231a q q a S q-====-.故选C.5.A【解析】()()sin 2cos ,sin cos cos sin 2cos cos 2sin sin αβαβαβαβαβαβ+=-∴+=+ ，等号两边同时除以cos cosαβ，得到tan tan 22tan tan αβαβ+=+，即()tan tan 1tan tan 12tantan 1,tan 1221tan tan 312αβαβαβαβαβ++=-=-∴+==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选A.6.C 【解析】由已知圆台的体积为()22π242433++⨯⨯=，设该球的半径为R ，则34π33R =，R ∴=24π28πS R ==，故选C.7.D 【解析】6名教师选出3人分别到,A B ，C 三所学校的方法共有36A 120=种.甲､乙2名教师不能到A 学校，且丙教师不能到B 学校的第一种情况：若丙去A 校，有25A 20=种选法；第二种情况，若丙不去A 校，则A 校有13C 种选法，B 校有14C 种选法，C 校有14C 种选法，共有111344C C C 48=种，所以一共有204868+=种.所以概率681712030P ==，故选D.8.B 【解析】()()M x f x =，即()()f x g x 恒成立，设()()()ln 0xh x f x g x x x x a =-=-- 恒成立，设()ln eln x xh x x x a =--，令ln t x x =，则()ln 10t x x =+='，解得()()11,0,,0,e e x x t x t x ⎛⎫=∈< ⎝'⎪⎭单调递减，()e,x ∞∈+时，()()0,t x t x '>单调递增，()11e et x t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.()ln e ln e x x t h x x x a t a =--=--，令()()1e ,e 10,0,e t t s t t a t s t t ⎛⎫=---=-=∴= ⎪⎝⎭' 1,0e t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()s t 单调递减，()0,t ∞∈+时，()s t 单调递增，()()010,1s t s a a ∴=-∴ .所以实数a 的最大值为1.故选B.9.ACD【解析】对于A ，由正态分布的期望公式得，()E X μ=，故A 正确；对于B ，由正态分布的方差公式得，()21D X σ=，故B 错误；对于C ，由正态分布的对称性得，()()13P X P X = ，所以()()()()13331P X P X P X P X +=+= ，故C 正确；对于D ，由122,3σσ==，则22124,9σσ==，根据方差的性质知，X 分布更集中，所以()()1211P X P Y μμ->- ，故D 正确.故选ACD.10.ABC 【解析】因为,x a x b ==为函数()f x 的零点，且x a =为函数()f x 的不变号零点，由数轴标根法可得1a =，故A 正确.()()()()()2(1),13210f x x x b f x x x b ∴=--=--'-=，1221211,,3,433b b x x b ++∴==∴=∴=，所以B 正确.由以上分析可得当213b x +=时取得极小值，且3214(1)327b b f +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 的大致图象如图，由()40f x +=有三个解，则34(1)427b --<-，解得4b >，故C 正确.由以上分析可得()211,,13b x ∞+>∴∈-时，()f x 单调递增，因为01x <<时，2x x >，所以()()2f x f x>，所以D 错误.故选ABC.11.ABD【解析】由题意，已知C 过坐标原点O ，将()0,0O4，得2a =，所以A 正确.由图象，令0y =，得0x =，或±，所以B 正确.由124PF PF + ，当且仅当122PF PF ==时等号成立，12PF F 周长的最小值为12128PF PF F F ++=，而此时()0,0P ，不能构成三角形，即最小值不是8，所以C 错误.因为124PF PF =，则4=，则2222(2)(2)16x y x y ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦，即()222241616x y x ++-=，得22244y x x =-=-[]()1,3t t =∈，所以2243y t t =--，则当2t =时，2y 有最大值1，所以12PF F S 有最大值为14122⨯⨯=，所以122PF F S ，所以D 正确.故选ABD.12.【答案】2【解析】c =，所以2212331111,,2232b PF PF PF a ====，又因为221211342,2,3,7,22PF PF a a b c c -=-==∴====，所以离心率e 2c a ==.13.【解析】21y x '=-，设()00,M x y ，所以曲线2ln 1y x x =-+在点()00,M x y 处的切线的斜率为021x -，直线MN 的斜率为0000000012ln 112ln y x x x x k x x x --+--===，当曲线在点()00,M x y 处的切线与直线MN 垂直时，MN 最小，即00002ln 211x x x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()2000022ln 0x x x x --+=，设()()()222ln ,g x x x x x =--+因为()g 10,=()()44442ln 442142220g x x x x x x x x x=-+---'+-=+--> ，()g x ∴在()0,∞+上单调递增，()01,1,2x M ∴=时MN 最小，=.所以答案为.14.【答案】1024【解析】考虑,M N 将集合{}1,2,3,4,5P =划分为4个集合，()1234,,,A P M N A M N A N M A MN =-+=-=-=，接下来将集合P 中的元素逐一安排到集合1234,,,A A A A 中即可得所求总数为510421024==.故答案为1024.15.【解】（1）由()2sin sin 2C A B C +==，22sincos 222C C C∴=，又π0π,0,sin 0222C CC <<<<∴>，πtan,2326C C ∴=∴=，所以π3C =.（2）由已知可得，()221sin 4216S ab C b a ==+，可得222440,(2)0,2b a ab b a a b +-=∴-=∴=.又由余弦定理可得222π32cos 3c b a ab ==+-，化简得，223b a ab +-=，联立解得1,2b a ==，所以ABC的周长为316.【解】（1）证明：因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以DC BC ⊥.因为PD DC D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD .因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥.在PCD 中，,PD CD E =是PC 的中点，则DE PC ⊥.因为BC PC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC .因为PB ⊂平面PBC ，所以DE PB ⊥.又因为,DF BP DF DE D ⊥⋂=，所以BP ⊥平面DEF .因为EF ⊂平面DEF ，所以BP EF ⊥.（2）方法一：以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设BC x =，则()()()()()0,0,0,,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1D B x E P E ，所以()()(),2,0,0,1,1,,2,2DB x DE BP x ===--，由（1）知(),2,2BP x =--为平面DEF 的一个法向量，设平面DBE 的一个法向量为(),,n a b c =，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,0,xa b b c +=⎧⎨+=⎩令2a =，则,b x c x =-=，所以2,,)n x x =-，所以1cos ,3n BP n BP n BP⋅==⋅，解得2x =，即2BC =.方法二：由（1）可得DE ⊥平面,PBC 因为EF ⊂平面,PBC EB ⊂平面PBC ，所以,DE EF DE EB ⊥⊥.所以BEF ∠为二面角F DE B --的平面角.所以1123EF PE PC BEF BE ∠====，设BC x =，则12BC PC BE EF PB ⋅===所以13EF BE ==，解得2x =，2BC =.17.【解】（1）依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由,35c a c a =⇒=又因为222a b c =+，所以5b c =，222219455x y c c ∴+=，椭圆经过点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入上述方程解得25c =，则229,4a b ==，∴椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）由（1）可知：()()0,2,0,2A B -，当斜率不存在时，若点C 与A 重合，D 与B 重合.此时13CP AP DPBP==.若点D 与A 重合，B 与C 重合，则3CP BP DPAP==.当直线斜率存在时，设直线()()1122:1,,,,CD y kx C x y D x y =+，联立得221,1,94y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()224918270k x kx ++-=，显然Δ0>，则1212221827,4949k x x x x k k+=-=-++，可得()2222122122181249274949k x x k k x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭==-+-+，整理可得212222112442149349x x k x x k k ⎛⎫++=-=-- ⎪++⎝⎭，因为2449k + ，可得24441,03493k ⎛⎫⎛⎤--∈- ⎪ ⎥+⎝⎭⎝⎦，令12(0)x t t x =<，则41203t t -<++ ，解得133t -<<-，即1213,3x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以11221,33CPx x DP x x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭.综上，CP DP 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.【解】（1）令()()()ee 2e 0x x x g xf x x x --=-=-- ，所以()()()()1e 2e 0,e 20e xx x x g x x f x x -='=+'-+- ，所以()e 2e 220x xg x -'=-+-= ，当且仅当1e ,e 1e x x x==，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∞∈+时，()()0,g x g x ' 单调递增，所以()()00g x g = ，所以()ex f x - 得证.（2）由()f x x =得()e 20x x x x -= ，即()e 300x x x -= ，令()()e 30xg x x x =- ，所以函数()g x 的零点个数，即为方程()f x x =解的个数，()()e 30x g x x =-' ，令()0g x '=，即e 3x =，解得ln3x =，x [0,ln 3)ln3(ln 3,)∞+()g x '-0+()g x 单调递减33ln3-单调递增因为()()010,ln333ln30g g =>=-<，所以()g x 在[)0,ln3上有唯一一个零点，又()555e 15215170g =->-=>，所以()g x 在()ln3,∞+上有唯一一个零点.综上所述，方程()f x x =有两个解.（3）由（1）知，()e2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =∈N ，则满足1s >>，即111ln 11nn ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 1,1n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln ,n n n ++-+-++--= ln n ++ .19.【解】（1）令1,0q p ==，得13a =，令2,0q p ==，得25a =，令2,1q p ==，得36a =，令3,0q p ==，得49a =，令3,1q p ==，得510a =，令3,2q p ==，得612a =.（2）若()()()1,,,1,,1a p q a p q a r r +++成等差数列，则()1112222222p q r r p q ++++++=+，即122222q r r q ++++=.当q r <时，121222r q r q --+++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当q r >时，22122q r q r --+++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当q r =时，122222q q q q ++++=成立.所以r q =.（3）()()(),,,2024a p q a r s a s += ，2024222222p q r s s ∴+++=+，即20242222,p q r ++=当p r <时，20241222q p r p p ---++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当p r >时，20242212p r q r r ---++=，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；当p r =时，20242222p q p ++=，即12024222p q ++=，12023,2023p q + ，120232023202422222p q +∴++= ，当且仅当12023p q +==即2022,2023p r q ===时取等号，又因为2024,r s s <<∈N ，2023s ∴=.。

河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)

河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。

河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月期末联考数学答案

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级联考（2022.12）数学试卷命题单位：石家庄市第一中学（满分：150分，测试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}122,xA x x R =-<<∈，集合{}21log 2,B x x x R =-<<∈，则集合A B = （）A.{}01x x << B.{}1x x < C.112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.{}4x x <答案：C.2.已知(3)4i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（）A.1310B.110-C.1310i D.110i -答案：B.3.已知:3p x ≠或7y ≠，:21q xy ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左、右焦点分别为12F F 、，O 为坐标原点，P 为右支上一点,且OP ,O 到直线2PF 的距离为b ，则双曲线C 的离心率为（）A.2 C.D.答案：B.5.已知0,0x y >>，且1xy =，则33241x y x y+++的最小值为（）A.2+ B.4C.4+D.4+答案：D.6.设异面直线,a b 所成的角为50，经过空间一定点O 有且只有四条直线与直线,a b 所成的角均为θ，则θ可以是下列选项中的（）A.6πB.3π C.512π D.2π答案：C.7.设1213a =，7ln 4b =，4sin 3c =，那么以下正确的是（）A.a b c >> B.c a b >> C.a c b >> D.c b a>>答案：B.8.已知点列n P 在△ABC 内部，△n ABP 的面积与△n ACP 的面积比为13，在数列{}n a 中，11a =，若存在数列{}n λ使得对*n N ∀∈，13(43)n n n n n n AP a AB a AC λλλ-=++ 都成立，那么4a =（）A.15 B.31C.63D.127答案：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A ：甲不在排头，事件B ：乙不在排尾，那么7()9P B A =；B.若随机变量ξ服从二项分布(100,0.6)B ，则(0)P ξ==1000.6；C.若随机变量ξ服从正态分布(100,64)N ，则100,8E D ξξ==；D.(41)4()1E X E X +=+，(41)16()1D X D X +=+.答案：BCD10.已知函数()2sin(2)1(0)f x x θθπ=++<<，其一个对称中心为点(,1)6π，那么以下正确的是（）A.函数()f x 的图像向右平移12π个单位后，关于y 轴对称；B.函数()f x 的最小正周期为2π；C.不等式()0f x ≤的解集是7,412x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；D.当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，36()0f x x π+≥恒成立.答案：ACD.11.已知,,x y z 均为正数，a =b =，c =，则三元数组(,,)a b c 可以是以下（）A.(1,2,3) B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.(7,8,13)答案：CD.12.已知等腰三角形ABC ，3AC BC ==，AB =D 为边AB 上一点，且AD =沿CD 把△ADC 向上折起，A 到达点P 位置，使得二面角P CD B --的大小为23π，在几何体PBCD 中，若其外接球半径为R ，其外接球表面积为S ，那么以下正确的是（）A.CD =B.2PB =C.3R =D.39S π=答案：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.13.在921()x x-的展开式中，常数项是第项.答案：4.14.已知函数2()lg(65)f x ax x =-+的值域为R ，那么a 的取值范围是.答案：90,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.已知椭圆221105x y +=上有不同的三点,,A B C ，那么△ABC 面积最大值是.答案：4.16.对(0,)x ∀∈+∞，都有32()(2)(ln 1)0xf x x e m x x e e x =+-++-+≥恒成立，那么m 的取值范围是.答案：(,1]2e-∞+四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，其前n 项和261n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .解析：（1）由题意可知，261n S n n =-+，21(1)6(1)1(2)n S n n n -=---+≥................................................................................2分两式作差，可得27(2)n a n n =-≥，当1n =时，114a S ==-，所以27(2)4(1)n n n a n -≥⎧=⎨-=⎩..............................................................................................4分（2）由题意可知，(27)2(2)nn n a b n n =-⋅≥，118(1)a b n =-=那么22338......n n n T a b a b a b =-++++，......................................................................6分可知：232(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n -=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，两边乘以2，可得：23412(2)(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n +-=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，......................8分两式作差可得：所以21(2)1028(27)2n n n T n ++--=-+---⋅，即：1(29)220n n T n +=-⋅+....................................................................................10分18.已知在如图所示的三棱锥A BCD -中，4,BD BA BC ===2BAD BCD π∠=∠=，面BAD ⊥面BCD ，（1）求棱AC 的长度；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.解析：由题意，取BD 中点设为O ，在面BAD 内做Oz BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OC OD Oz 分别为,,x y z 轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，...........................................1分（1）在直角三角形ABD 内，过A 做AE BD ⊥于E ，可求2AD =，那么AB ADAE BD⋅==21AD DE BD ==，...................2分所以1OE =，那么A ，(2,0,0)C ，所以AC =.....................................................................4分（2）由题意，(0,2,0)B -，(0,2,0)D ，那么BA = ，(2,2,0)BC =，...........................................................................6分设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z =，那么：BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，整理可得30220y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令y=1，那么(1,1,m =-，......................................................................................8分而(2,2,0)CD =-，...........................................................................................................9分直线CD 与平面ABC 所成角的正弦即为CD 与m所成角的余弦，所以cos ,5CD m CD m CD m⋅<>==⋅所以直线CD 与平面ABC所成角的正弦为5.........................................................12分19.在三角形ABC中，若222sin sin sin sin sin A B C A B C ++=，（1）求角A 的大小；（2）如图所示，若2DB =，4DC =，求DA 长度的最大值.解析：由题意可知，由正弦定理可得：222sin a b c A ++=，再由余弦定理可得：22222cos sin b c bc A b c A +-++=，.......................................................................................................2分即：22sin cos b c A bc A +=+，整理可得：cos 2sin()6b c A A A c b π+=+=+， (3)分可知左边2b cc b+≥，当且仅当b c =时，cos 2sin()26A A A π+=+≤，当且仅当3A π=，左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以，3A π=.............................................................................................................5分（2）由（1）可知：b c =,所以三角形ABC 是正三角形.设BDC θ∠=，BCD α∠=，那么由余弦定理可得：2416224cos 2016cos BC θθ=+-⋅⋅=-，即：BC =，同样CA =...........................................7分在三角形BDC 中，由正弦定理可得：2sin sin θα=，整理得：sinα=，.............................................................................................9分因为BD CD <，所以α为锐角，那么cosα=，........................10分那么1cos()cos322πααα+=-=2162016cos 8(2cos )2016sin()366DA πθθθθ=+----=+-≤，当且仅当23πθ=时取得等号，所以DA 最大值为6............................................12分20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜4局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.解析：用i A 表示事件：第i 局甲获胜（3,4,5,6,7i =），用i B 表示事件：第i 局乙获胜（3,4,5,6,7i =），.............................................................1分（1）记A 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，记B 表示事件：乙获得这次比赛的胜利，那么34563456734567()1()1()()()P A P B P B B B B P A B B B B P B A B B B =-=---4143456734567411113()()1()()22216P B B A B B P B B B A B C --=--=.......................4分（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由题意ξ可取2，3，4，5，那么23411(2)()()24P P A A ξ====，123453452111(3)()()()224P P B A A P A B A C ξ==+==，.......................7分234345634563456345631111(4)()()()()()()2224P P B B B B P A B B A P B A B A P B B A A C ξ==+++=+=1(5)1(2)(3)(4)4P P P P ξξξξ==-=-=-==.......................................................10分所以11117234544442E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.....................................................12分21.已知函数()e xf x =，2()g x x =-.（1）若()1f x ax ≥+恒成立，求a .（2）若直线l 与函数()f x 的图像切于11(,)A x y ，与函数()g x 的图像切于22(,)B x y ，求证：1214x x +<.解：（1）设函数01)(≥--=ax e x h x ，发现0)0(=h ，所以)0(1)(h ax e x h x ≥--=恒成立，那么0=x 是函数)(x h 的最小值点，也就是极小值点，所以0)0('=h ，求导：a e x h x -=)('，把0=x 代入得：1=a .....................................................................2分证明：当1=a 时，1)(--=x e x h x ，求导：1)('-=x e x h ，当0<x 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当0>x ，0)('>x h ，)(x h 单调递增.所以0)0()(=≥h x h .所以1=a ..................................................................................................................................4分（2）由题意可知：x x f e )('=，x x g 2)('-=，那么：21222)(211x x x e x e x x ---=-=..........................................................................................6分解之可得：212222)(22x x x x x ----=-，即2212-=x x ，所以1x 满足)22(211--=x e x ，即044)22(21111=-+=-+x e x e x x ..............................8分令44)(-+=x e x m x，可知)(x m 单调递增，且02)21(<-=e m ，0143(43>-=e m ，所以43211<<x ，..........................................................................................................10分而212212-<-=x x ，所以4121<+x x ，命题得证.........................................................................................12分22.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，左、右顶点分别为B A 、，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为3π，点P 在直线4=x 上，直线P A 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中N M 、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）从点A 向直线MN 做垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.解：（1）由题意可得：1c =，设11PF r =，22PF r =，那么22222111211212124()24cos 22r r c r r r r c FTF r r r r +-+--∠==2211212424122b r r b r r r r -==-，....................................................................................................1分可知2212122r r r r a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =取得等号，所以上式222242112b b a a ≥-=-，即12cos FTF ∠的最小值为2221b a -，又12FTF ∠的最大值为3π，所以2212cos 132b a π==-，...........................................2分所以2234b a =，又1c =，所以解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x ............................................................................................................................................4分（2）由题意可知，直线MN 斜率为0时，显然不成立；设直线:MN x my t =+，点),(),,(2211y x N y x M ，联立直线MN 与椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x tmy x ，整理可得：01236)43(222=-+++t mty y m ，43123,4362221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，...........................................5分由上，设直线)2(2:11++=x x y y MA ，直线22:(2)2y NB y x x =--，两直线联立可知交点为P ，解之：)24(2)24(22211--=++x y x y ，所以：31)2()2(1221=+-x y x y ，即：31)2()2(122221=+-x y x y y ..........................................7分而)2)(2(43)41(3222222+--=-=x x x y ，代入上式，31)2)(2(342121=++-x x y y ，高三年级五校联考数学试卷第11页（共11页）即：31)2)(2(342121=++++-t my t my y y ，..........................................................9分然后韦达定理代入可得:31)2(41233422=+--t t ，解之可得：1t =或2-（舍）...........................................11分可知直线MN 过定点)0,1(E ，又由条件：EQ AQ ⊥，所以Q 在以AE 为直径的圆上，圆心即为)0,21(-D ，DQ 为定值23.....................................................................12分。

河北省衡水中学2023届高三上学期三调数学试题 Word版含解析

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知，所以，
，当且仅当时等号成立．
故选：A．
4.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
由题意可得，可得，当时，，
故选：D.
5.已知函数部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 在区间上的最小值为 D. 的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数的解析式，再逐项判断作答.
详解】观察图象知，，而，解得或，
函数周期，由图象知，即，因此，
解得，由五点作图法知，，当时，；当时，，不符合题意，
所以，，，
的最小正周期为，A不正确；
因为，即的图象关于点不对称，B不正确；
当时，，则，在区间上的最小值为，C不正确；
因为，因此的图象关于直线对称，D正确.
河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

河北省衡水中学2023届高三上学期一调考试数学试卷含答案

河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}03|{2<-=x x x A ，}33|{≥=xx B ，则=B A A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21C ．)2,0(D ．(1，3)2．若1.05=a ，3log 212=b ，8.0log 3=c ，则c b a ,,的大小关系为A ．cb a >>B ．ca b >>C ．ab c >>D ．ba c >>3．设Rb a ∈,，则使b a >成立的一个充分不必要条件是A ．33ba >B ．0)(log 2>-b a C ．22ba >D ．ba 11>4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得223.045ln ,693.02ln ≈≈，由此可知2.0ln 的近似值为A ．-1.519B ．-1.726C ．-1.609D ．-1.3165．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数y x ,满足的关系式可以是A ．01log |1|3=--yx B ．yx x312=-C ．02|1|=--y x D ．1||ln -=y x 6．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数．若对任意R x ∈，都有3]2)([=-xx f f ，则=)4(fA ．9B ．15C ．17D ．337．已知函数1||16)(+++=x mxe xf x的最大值为M ，最小值为N ，则=+N M A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关8．已知正实数y x ,满足y y x x =-+++)11)(142(22，则y x 2+的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题(含答案)

河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 2−9x +20≤0}，B ={x|log 2(x−3)<1}，则A ∪B =( )A. (−∞,5)B. [4,5)C. (−∞,5]D. (3,5]2.设复数z 满足(1−i)z =3−i 3，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1−2iD. 1+2i3.已知非负实数x ，y 满足x +y =1，则12x +11+y 的最小值为( )A. 3+222B. 3+224C. 2D. 434.已知非零向量a ,b 满足|a +b |=|a|−|b |，则( )A. |a +b |>|b | B. |a−b |<|a |C. |a +b |>|a−b |D. (a +b )⋅(a−b )≥05.已知函数f(x)=cos ωx− 3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称B. 函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k ∈Z)C. 函数f(x)的图象可由y =2sin ωx 的图象向左平移5π6个单位长度得到D. 函数g(x)=f(tωx),(t >0)在(0,π)上有2个零点，则实数t 的取值范围为(724,1324]6.对于一个函数：当自变量x 取a 时，其函数值等于2a ，则称a 为这个函数的H 数．若二次函数y =ax 2+4x +c(a,c 为常数且a ≠0)有且只有一个H 数1，且当0≤x ≤m 时，函数y =ax 2+4x +c−2的最小值为−3，最大值为1，则m 的取值范围是( )A. 0≤m ≤2B. 1≤m ≤3C. 2≤m ≤3D. 2≤m ≤47.若e x 1⋅x 3=ln x 2⋅x 3=1，则下列不等关系一定不成立的是( )A. x 3>x 2>x 1B. x 3>x 1>x 2C. x 2>x 1=x 3D. x 2>x 1>x 38.在ΔABC 中，B =π4,C =5π12,AC =26，AC 的中点为D ，若长度为3的线段PQ(P 在Q 的左侧)在直线BC 上移动，则AP +DQ 的最小值为( )A.30+2 102B.30+3 102C.30+4 102D.30+5 102二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(解析版)

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。

河北省2023-2024学年高三上学期开学省级联测考试地理试题(解析版)

河北省2023-2024学年高三上学期开学省级联测考试地理试题一、选择题:共16小题，每小题3分,共48分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

Dumbo区位于纽约布鲁克林区,在19世纪初是连接曼哈顿区和布鲁克林区的一个码头（1883年两区间大桥建成）,其沿河区域分布有大量工厂和仓库,Dumbo区一度非常繁荣。

20世纪50年代后,Dumbo区走向衰落,废弃的厂房、仓库逐渐成为艺术家集聚的天堂,但同期曼哈顿区却成为世界金融中心。

2000年前后,随着科创和文创产业相继入驻Dumbo区,该区迅速成长为纽约的“硅滩”。

下图示意Dumbo区的地理位置。

据此完成问题。

1. 推测20世纪50年代后Dumbo区衰落的主要原因是（）A. 周边制造业衰退B. 缺乏拓展空间C. 劳动力成本升高D. 人口流失严重2. 20世纪50年代后,Dumbo区吸引艺术家们人驻的突出优势条件是（）A. 位置优越B. 环境优美C. 房租低廉D. 交通便利3. 2000年前后科创和文创产业集聚Dumbo区,说明对岸的曼哈顿区（）A. 环境污染严重B. 土地资源紧张C. 经济日趋衰落D. 技术人才缺乏〖答案〗1. A 2. C 3. B〖解析〗【1题详析】根据材料、Dumbo区作为纽约的一个码头，19世纪初曾一度繁荣，周围分布有大量工厂和仓库，说明其周边制造业发达，运输需求量大；20世纪50年代后，Dumbo区走向衰落，但曼哈领区却成为世界金融中心，说明Dumbo区周边制造业大量衰退，服务业迅速兴起，取代了制造业的地位，A正确；缺乏拓展空间、劳动力成本升高、人口流失严重不是Dumbo区衰落的主要原因，BCD错误。

故选A。

【2题详析】20世记50年代后，Dumbo区衰落，艺术家们在废弃的厂房、仓库集聚，工作，居住条件差，说明房租低廉是吸引艺术家们入驻的突出优势条件，C正确；Dumbo区原为工业区，污染较严重，环境不优美，B错误；位置优越、交通便利对艺术家入驻有一定影响，但不是突出优势条件，AD错误。

2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,2,3,4}，B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)}，则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ，z 2=2+(a 2−4a)i ，a ∈R ，若z 1+z 2为纯虚数，则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0)，且|a +b |=2，则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π)，则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，3S 2=a 1+2a 3，a 3=8，则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题：本题共3小题，共18分。

河北省2025届高三上学期省级联测考试数学含答案

2024—2025高三省级联测考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A.{}1,2,3 B.{}1,2-C.{}2,3 D.{}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】【分析】结合对数型复合函数的定义域化简集合B ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】集合(){}{}{}{}22ln 990332,1,0,1,2B x y xx xx x =∈=-=∈->=∈-<<=--Z Z Z ，而{}1,2,3,4A =-，所以{}1,2A B ⋂=-.故选：B.2.已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（）A.1或2B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】计算出()22123243i z z a a a a +=-++-+，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.【详解】由()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R 可知，()()22221233i 24i 3243i z z a a a a a a a a +=-+++-=-++-+，因为12z z +为纯虚数，所以22430320a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得2a =.故选：C.3.已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.()1,0- B.()1,0 C.()2,0- D.()2,0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得2a b ⋅=-，结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2a b == ，所以222()24244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ，可得2a b ⋅=- ，所以()()212,01,02||a b b b ⋅=-⨯=-，故选：A.4.已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（）A.14-B.34C.2D.6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件得tan 2α=，然后将目标式子用tan α表示，由此即可得解.【详解】由()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=，则tan 2α=，所以221sin sin22cos ααα+=222sin sin cos tan tan 426cos αααααα+=+=+=，故选：D.5.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（）A.16π3B.16πC.64π3D.72π【答案】C 【解析】【分析】得到4AB BC ==，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD 是面积为16的正方形，则4AB BC ==，由题意可知半球的半径2R =，圆柱的底面圆半径2r =，高4h =，由球的体积公式可得半球的体积311416ππ233V R =⨯=，由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πV Sh r h ===，故该几何体的体积1216π64π16π33V V V =+=+=.故选：C.6.设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（）A.55B.57C.87D.89【答案】C 【解析】【分析】先由已知条件算出公比，然后得n a 表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【详解】因为是正项等比数列，所以10a >，公比0q >.因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，则3212023a a a --=，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍），又因为231148a a q a ===，所以12a =，所以数列的通项公式为2n n a =，所以21221nn a n n +-=+-，设数列{}21n a n +-的前n 项和为n T ，则()()()()123212325221nn T n =++++++++- ()()123222213521n n =+++++++++- ()()1221212122122n n n n n +-+-=+=+--，所以62525287T =+-=，故选：C.7.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（）A.(]2,2-B.(2,-C.2⎤⎦D.(【答案】B 【解析】【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得()f x 表达式，先根据三角函数的图像变换得()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m 的取值范围.【详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知，2A =，因为11ππ31264T -=，所以2ππ,2T Tω===，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<可得π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，令3π4t x =-，由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ππ2π2sin 2,2sin 2sin 233⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为关于x 的方程()0g x m -=在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即y m =与()y g x =的图像在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，即y m =与2sin y t =在2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，所以实数m 的取值范围为(2,-，故选：B.8.已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A.2-B.2C.2026- D.2026【答案】A 【解析】【分析】依次算得()02f =，()f x 的周期为4，进一步结合已知得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，由此得1+2+3+4=0，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令0y =，得()()()20f x f x f =，又=不是常函数，所以()02f =，再令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++-=，即()()110f x f x ++-=，则+2=−，即()()2f x f x -=-，故()()4f x f x =+，所以函数=的周期为4，由+2=−，令1x =，得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，所以1+2+3+4=0，所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)i f i f f f f f f f f ==+++++=+=∑()()122f f +=-.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（）A.若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B.若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C.()()12P X P Y >>>D.()()44P X P Y ≤<≤【答案】BD 【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A ，因为()(0)20.2P X P X <=>=，所以()()21210.2P X P X ≤=->=-=0.8，故A 错误；对于选项B ，因为()1,4X N ~，且()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则0.212a +=，即a =1.8，则()1(0.21)(1)0.20.50.10.49a P X P X P X P X ⎛⎫<<=<<=<-≤=-=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，()()120.5P X P Y >=>=，故C 错误；对于选项D ，因为随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，所以11221,2,2,1μσμσ====，因为()()()()()1122452,42P X P X P X P Y P Y μσμσ≤<≤=≤+≤=≤+，又()()112222P X P Y μσμσ≤+=≤+，所以()()44P X P Y ≤<≤，故D 正确，故选：BD.10.已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的单调递增区间为()1,3B.函数()f x 的极大值点为1C.若[]1,2x ∈，则()f x 的值域为[]2,0-D.若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，求导，解不等式求出函数单调性；B 选项，在A 选项基础上得到函数的极大值点；C 选项，()f x 在[]1,2上单调递减，从而求出值域；D 选项，参变分离，得到32a x x x ≤--，构造函数()32h x x x x =--，求导得到其单调性，求出()h x 的最小值为()11h =-，故1a ≤-.【详解】对于选项A ，因为()322f x x x x =-+-，所以()()()2341311f x x x x x =-+-=---'，所以当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ，如下表：x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()f x 的极大值点.故B 正确；对于选项C ，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()f x 的最小值为()22f =-，最大值为()10f =，所以当[]1,2x ∈时，()f x 的值域为[]2,0-，故C 正确；对于选项D ，()()2322g x f x x x a x x x a =-++=-+++.因为()0g x ≤.即32a x x x ≤--，令()32h x x x x =--，则()()()2321311h x x x x x =--=+-'，因为[)0,x ∈+∞，所以当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当[)0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，所以当1x =时取到极小值，所以()h x 的最小值为()11h =-，所以1a ≤-，故D 正确.故选：BCD.11.已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（）A.点()1,1在曲线G 上B.直线:l y x =-与曲线G 无交点C .设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D.直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-【答案】BCD 【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A ；分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1-时结合渐近线可得B 正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D 正确；由图形可得C 正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因为当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象如图所示，对于选项A ，将点(1,1)代入4x x y y +=，得到24=，显然不成立，故A 错误；对于选项B ，将y x =-代入曲线G 得，04x x x x -=≠，无解，故B 正确；对于选项C ，由于直线2y kx =+恒过点0,2，当0k =时，直线与x 轴平行，与曲线G 有一个交点；当1k =-时，直线与曲线G 的渐近线平行，此时与曲线G 有两个交点.当10k -<<时.结合斜率的范围可得直线与曲线G 有三个交点（如图），故C 正确；对于选项D ，设直线l 与,x y 轴的交点分别为,A B .因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线G 围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求,a b 的值，进而得到所求和.【详解】由函数()()2ln 31f x a x x b =+-+，有()0f b =，由()3231af x x x =-+'，可得()03f a '=，因为曲线=在0x =处的切线方程为32y x =+，所以33,302,a b =⎧⎨=⨯+⎩解得1,2a b ==，则3a b +=.故答案为：3.13.已知双曲线G22−22=1>0,>0的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C 的离心率为______.【答案】173【解析】【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设1NF m =，则12PF m =，由双曲线定义可得2222,2PF a m NF a m =+=+，由勾股定理得到方程，求出23m a =，进而求出173c a ==.【详解】如图，连接1222,,,MF MF NF PF ，因为120MF MF ⋅= ，所以12π2F MF ∠=，由对称性可得12π2F NF ∠=，由112F P NF =，可设1NF m =，则12PF m =，由双曲线的定义可知，212PF PF a -=，212NF NF a -=，则2222,2PF a m NF a m =+=+，由12π2F NF ∠=得，22222||PF PN NF =+，即222(22)9(2)a m m a m +=++，解得23m a =，又由12π2F NF ∠=得，2221212F F F N NF =+，即222221228684339a a F F a c ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得171793c a ==，所以双曲线C 的离心率173e =.故答案为：17314.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()202022C 133m mm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()()()()11f m f m f m f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩解不等式即可.【详解】由题意得()202022C 133mmm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，020≤≤m 且m ∈N ，则()()()()11f m f m fm f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201211202020119120202222C 1C 1,33332222C 1C 1,3333m m m mm m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-≥⨯⨯-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯-≥⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3m m m m m m m m ⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+-⎩又m ∈N ，所以13m =或14m =，故当13m =或14m =时，()f m 取得最大值.故答案为：13或14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得2cos 1A =，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得4bc =，进一步结合余弦定理可得b c +=.【小问1详解】由题意，因为2cos cos cos A A Cac ab bc-=，所以2cos cos cos b A c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）可知，π3A =，则1sin ,cos 22A A ==，因为ABC V的面积113sin 222ABC S bc A bc ==⨯= 4bc =，由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即212()34b c =+-⨯，可得b c +=，所以ABC V 的周长为a b c ++=.16.已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1π2AF B ∠=，得a =，再把点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程求出,a b 即可；（2）设出直线MN 的方程，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，由1PM MF λ= ，1PN NF μ=，表示出λμ+，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知，1π2AF B ∠=，所以a =，因为点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在Γ上，所以2211122b b +=，解得1b =，故a =，所以椭圆Γ的方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线MN 的斜率必存在，可设直线MN 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程，整理得()2222124220kxk x k +++-=，2880k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则()22121222214,1212k k x x x x k k-+=-=++，又()()12,,1,0P k F ---，由11,PM MF PN NF λμ== 得121222,11x x x x λμ++=-=-++.所以()()()121212*********1111x x x x x x x x x x λμ++++++=--=-++++，因为()()2212122221423423401212k k x x x x k k -⎛⎫+++=⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以0λμ+=为定值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到BD ⊥平面PCD ，再根据线面垂直的性质即可得证.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出,,,B C D E 的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2290DAB ABC ADB DCB ∠∠∠∠==== ，得,AD AB AD =//BC ，则45DBC DCB ∠∠== ，所以,90BD CD BDC ∠== ，即BD CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以BD PD ⊥.【小问2详解】如图，过点P 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，连接AH ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD PH =⊂平面,PCD PH CD ⊥，所以PH ⊥平面ABCD ，则DH 为PD 在底面ABCD 内的射影，所以PDH ∠为直线PD 与底面ABCD 所成的角，即60PDH ∠= .设1AD =，得2BD DC DP BC ====，在PHD △中，26,22DH PH ==，在ADH 中，45ADH ∠= ，由余弦定理得2AH =，所以222AH DH AD +=，所以AH CD ⊥，如图，过点D 作DF //PH ，则DF ⊥底面ABCD ，以,,DB DC DF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)(),,0,,,,,0,,,2222424BC P A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以)(),,,,424DB DE DC ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则111102260424n DB n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，222202260424m DC m DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令121,1z z ==，则11220,0x y x y ====，所以()30,,2n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,7n m n m n m⋅===，设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ，则742cos ,sin 77θθ===，故平面BDE 与平面CDE夹角的正弦值为7.18.已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线=在点0A 处的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.【答案】（1）证明见解析（2）,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当x =时，()f x 取得极大值，由单调性得到()01f f ⎛>= ⎝；（2）在（1）的基础上，得到函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-+< ⎝，解得322a <-；（3）表达出直线03A A 的斜率03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，根据三点共线得到方程，得到123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以()()303020x x x x +-=，求出302x x -=，故1202x x x +=.【小问1详解】证明：由题，()23f x x a ='+，令()0f x '=，解得x =，当x <或x >()()0,f x f x '>单调递增，当x <<()()0,f x f x '<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，由单调性可知()01f f ⎛>= ⎝，所以函数()f x 的极大值大于1.【小问2详解】由（1）可知，当x =时，()f x 有极大值，且极大值为10f ⎛>> ⎝，因为()(),;,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+，且当x =()f x 有极小值，所以要使得函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-+< ⎝，解得2a <-，所以实数a的取值范围为,2∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】直线03A A 的斜率()()()0333223300303300303011A A x ax x ax xx x x x x ak x x x x ++-++-+++==--，因为30x x ≠，所以03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，因为123,,A A A 三点共线，则有222211331122x x x x a x x x x a +++=+++，整理得()()()3232123x x x x x x x -+=-，因为32x x ≠，所以321x x x +=-，即123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以222330003x x x x a x a +++=+，整理得()()303020x x x x +-=，因为30x x ≠，所以3020x x +=，即302x x -=，所以1202x x x +=.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数19.已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合11,22⎧---+⎪⎨⎪⎪⎩⎭是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【答案】（1）不是，理由见解析（2）存在，1个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）11112222--+--+⨯≠+，故11,22⎧---+⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭不为“2元重生集”；（2）设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，设123a a a <<，利用不等式关系推出123a a <，故121,2a a ==，求出{}1,2,3A =；（3）设123n a a a a <<<< ，得到121n a a a n -< ，当2n =时，推出矛盾，当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，推出()1!n n >-，但()1!n n ->在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，从而证明出结论.【小问1详解】1112111,1224422-----+⨯==-+=-，因为11112222--+--+⨯≠+，所以集合11,22⎧---+⎪⎨⎪⎪⎩⎭不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，则123123a a a a a a =++，不妨设123a a a <<，则12312333a a a a a a a =++<，解得123a a <，因为*12,a a ∈N ，故只有121,2a a ==满足要求，综上，{}1,2,3A =满足要求，其他均不符合要求，故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即{}1,2,3A =.【小问3详解】不妨设123n a a a a <<<< ，由1212n n n a a a a a a na =+++< ，得121n a a a n -< ，当2n =时，12a <，故11a =，则221a a +=，无解，若*12,a a ∈N ，则{}12,a a 不可能是“2元重生集”，所以当2n =时，不存在“2元重生集”；当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯- ，又121n a a a n -< ，故()1!n n >-，事实上，()()()221!1232(2)2n n n n n n n n -≥--=-+=--+>在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，所以若*,i a ∈N “n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考高三英语答案

听力1—5 CCBAA 6—10 ACBAB 11—15 CACBA 16—20 ACACA阅读21—23DBC 24—27BDAD 28—31ACDB 32—35DCCB 36—40 EBFDG完形41—45CADAB 46—50 ABDCB 51—55 CDBDC语法填空56. growing 57. has emerged 58. which 59. professionals 60. beaten61. themselves 62. more relaxing 63. from 64.exposure 65.an写作第一节：Possible versionDear Mary,Learning that there will be a Ski Training Camp this winter vacation, I’m writing to invite you to go with me. Here is some related information.This camp will open on January 15th and has classes in Changping district, Beijing on a daily basis. The reason why I choose this camp is that the coaches will offer professional instructions about skiing. Moreover, the camp has advanced skiing equipment which attracts me a lot. If you are interested, let me know soon, so we can sign up ahead of schedule.Looking forward to meeting you at the training camp.Yours,Li Hua写作第二节：Possible versionAt 11:10 am the doorbell rang and my mother stood outside the door smiling, accompanied by a young woman. I hugged my mother tightly and affectionately. Enormously relieved, the young woman told me that my mother had lost her way while returning home after the morning walk. The only description she could provide was that my house was near the park and that the house was made of red bricks. With much effort, and after almost two hours’searching, the young woman was able to locate my house. She expressed great relief at getting my mother home.After knowing what had happened, I showed my appreciation of the young woman’s kindness. I felt warmth in the cold winter, and believed there was kindness in every corner. I invited her inside to join us for a cup of tea. The woman refused politely and said sincerely that she felt so delighted to have brought my mother safely home to me that she did not require further thanks. Then she drove the car away without even sharing her name and I have not seen her again. This kind act has a lasting influence on me. I always give others a helping hand if possible, even so many years later.A篇体裁：应用文主题语境：人与社会—社会生活；介绍了观看展览的相关信息21.D细节理解。

河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考物理试题

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级联考（2022.12）物理试卷命题单位：邯郸市第一中学（满分：100分，测试时间：75分钟）一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．核电池是各种深空探测器中最理想的能量源，它不受极冷极热的温度影响，也不被宇宙射线干扰。

钚-238同位素温差电池的原理是其发生衰变时将释放的热能转化为电能。

已知钚-238的半衰期为88年，其衰变方程为2382349492Pu U X →+。

下列说法正确的是（）A.衰变放出的射线是高速氦核流，它的贯穿能力很强B.23894Pu 的比结合能大于23492U 的比结合能C.23894Pu 的核子平均质量大于23492U 的核子平均质量D.钚-238在极高压下可加速衰变，其半衰期可小于88年2．如图所示，排球比赛中，某队员在距网水平距离为4.8m 、距地面3.2m 高处将排球沿垂直网的方向以16m/s 的速度水平击出。

已知网高2.24m ，排球场地长18m ，重力加速度g 取210m /s ，可将排球视为质点，下列判断正确的是（）A.球不能过网B.球落在对方场地底线之外C.球落在对方场地底线上D.球落在对方场地内3．我国天文学家通过“天眼”在武仙座球状星团13M 中发现一个脉冲双星系统。

如图所示，由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星B 的运行周期为T 。

若恒星A 的质量为m ，恒星B 的质量为2m ，引力常量为G ，则恒星A 与O 点间的距离为（）A.C. D.4.1899年，苏联物理学家列别捷夫首先从实验上证实了“光射到物体表面上时会产生压力”，我们将光对物体单位面积的压力叫压强或光压。

已知频率为ν的光子的动量为h cν，式中h 为普朗克常量（h =6.63×10-34J·s ），c 为光速（c =3×108m/s ），某激光器发出的激光功率为P =1000W ，该光束垂直射到某平整元件上，其光束截面积为S =1.00mm 2，该激光的波长λ=500nm 下列说法正确的有（）A ．该激光器单位时间内发出的光子数可表示为2P hc λB ．该激光定能使金属钨（截止频率为1.095×1015Hz ）发生光电效应C ．该激光能使处于第一激发态的氢原子（E 2=-3.4eV=-5.44×10-19J ）电离D ．该光束可能产生的最大光压约为3.33Pa5.在x 轴上分别固定两个点电荷Q 1、Q 2，Q 2位于坐标原点O 处，两点电荷形成的静电场中，x 轴上的电势φ随x 变化的图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．x 3处电势φ最高，电场强度最大B ．Q 1带负电，Q 2带正电C ．Q 1的电荷量大于Q 2的电荷量D ．电子从x 1处沿x 轴移动到x 2处，电势能减小6．某同学采用图甲所示的实验装置研究光的干涉与衍射现象，狭缝1S ，2S 的宽度可调，狭缝到屏的距离为L 。

河北省五校联盟2012-2013学年度第一学期调研考试高三生物试卷

河北省五校联盟2012-2012学年度第一学期调研考试高三生物试卷1．下列关于物质运输的途径，存在于造血干细胞的是A．吸收的葡萄糖：细胞膜→细胞质基质→线粒体B．产生的胰岛素：内质网→高尔基体→细胞膜→内环境C．CO2：细胞质基质产生→细胞膜→内环境D．DNA聚合酶：核糖体→细胞质基质→细胞核2．去年有一批次蒙牛纯牛奶检出黄曲霉毒素超标140%。

研究发现，黄曲霉毒素会导致p53基因（阻止细胞不正常增殖的基因）失去正常功能，导致肝癌的发生。

下列有关叙述中，不正确的是A．黄曲霉毒素诱发肝癌发生的原理是基因突变B．p53基因属于原癌基因C．肝癌细胞容易分散和转移的原因之一是细胞表面糖蛋白减少D．对于肝癌晚期的病人，目前还缺少有效的治疗手段3．下图为原核细胞内某一区域的基因指导蛋白质合成的示意图。

据图分析正确的是A．①②两处都有大分子的生物合成，图中DNA可以与有关蛋白质结合成染色体B．①处有DNA-RNA杂合双链片段，②处没有DNA-RNA杂合双链片段C．①处有DNA聚合酶参与，②处没有DNA聚合酶参与D．①②两处都发生碱基互补配对，配对方式均为A和U、G和C4．某健康人在上午11点前仅进食了早餐，下图为其体内血糖浓度变化的情况，有关叙述正确的是A．B 点时体内分泌的胰岛素增加，A 点时体内分泌的胰高血糖素增加B．胰岛素能促进细胞将血糖转化成各种氨基酸C．B 点时肝糖原开始分解成葡萄糖进入血液D．激素只运输给靶细胞，直接参与细胞内多种生命活动5．土壤动物是土壤生态系统中的重要组成部分。

对某一地区人工绿地、林地、农田3种不同类型土地的地下土壤动物群落进行了调查，结果见下表。

由表中数据分析可知注：第一层为距地表0～5 cm；第二层为距地表5～10 cm；第三层为距地表10～15 cmA．可用标志重捕法调查各样地土壤中动物类群数B．各样地相同土层土壤中动物类群丰富度有明显的差异C．各样地不同土层土壤中各动物类群密度没有明显的差异D．人类活动对土壤动物的数量和分布存在影响6．下列对实验的相关叙述，不正确的是A．视野中观察到处于质壁分离状态的细胞，不能据此判断该细胞正在失水B．纸层析法分离叶绿体色素的实验结果表明，叶绿素b在层析液中溶解度最低C．观察线粒体时，可用嫩而薄的藓叶代替口腔上皮细胞D．若探究温度对酶活性的影响，不可选择过氧化氢溶液作为底物29．（10分）取一植物形态、大小、生长发育状况相同的四片叶子按下图进行实验，烧杯中的液体可以保证叶片所需的水与矿质元素的正常供应，气体的变化量可以通过观察油滴的移动来判断。

河北省五校联盟12—13学年高三上期调研考试(数学理)

x=y
结束 5.如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长 2 的正三角形和正方形，则其体积是（ A. ） B.
1 9
B．
2 9
C．
7 18
4 9
3 6
4 2 3
C.
4 3 3
D.
8 3
)
6．已知 f ( x) 3sin x x ，命题 p : x (0, A． p 是假命题; p : x (0,
求直线 l 的方程.

21.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) p ln x ( p 1) x 2 1 . （1）讨论函数 f ( x) 的单调性；
（2）当 p 1 时， f ( x) kx 恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）证明： ln(n 1) 1
10. 点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中 ABC 是正三角形， AD 平面ABC ，
AD 2 AB 6 ,则该球的体积为（
A． 32 3 B． 48
） D． 16 3
C． 64 3
11. 求形如 y = f ( x) g ( x ) 的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：
2
河北省五校联盟 2012—2013 学年度第一学期调研考试
高三年级数学答案（理科）
1-5CDDDC 13.15 6-10DBBAA 14.1080 11-12CA 15.4 16. -
70 3
17.解：（1） a (cos x, 2 3 cos x) , b (2 cos x,sin x)
1 1 1 (n N * ) . 2 3 n