1.4.3正切函数的图像与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
正切函数的图像和性质 (精致版)
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
第一章 1.4 1.4.3正切函数的性质与图像
π π [正解] ∵在(0， )上，tanx>sinx，∴在(0， )上，y＝sinx 与 2 2 π y＝tanx 没有交点，同理在(－ ，0)上也没有交点，如图(2)所 2 示，由图易知选 D.
[答案] D
点击此图片进入 “训练全程跟综”
最小正周期为T＝ π
kπ 对称中心 ( 2 ，0)k∈Z
1．正切曲线具有哪些特征？
π 提示：正切曲线是被互相平行的直线 x＝kπ＋ (k∈Z) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对 称轴，只有对称中心．
2．正切曲线在整个定义域上都是增函数吗？
π π 提示： 不是． 正切曲线在每一个开区间(kπ－ ， kπ＋ )(k 2 2 ∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．
π x x π 解：y＝3tan( － )＝－3tan( － )， 6 4 4 6 π ∴周期 T＝ ＝4π， |ω| π x π π 又使 kπ－ ＜ － ＜kπ＋ ，k∈Z， 2 4 6 2 得 4kπ－ 4π 8π ＜x＜4kπ＋ ，k∈Z， 3 3
π x ∴y＝3tan( － )的周期为 4π， 6 4 4π 8π 单调递减区间为(4kπ－ ，4kπ＋ )(k∈Z)． 3 3
探究点一
正切函数的定义域问题
求正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本 身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的 三角不等式或不等式组．
求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
[提示]
列出使每个式子有意义的不等式组，然后解
不等式组．
[解]
tanx＋1≥0 Hale Waihona Puke 由题意得 1－tanx>0
探究点二
正切函数的周期性
1.4.3-正切函数的性质与图像
答案:
1、定义域 2、值域
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
yR
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用移平正 切 线 得y tan x, x ( , )的 图 象 ， 22
思考 3、正切函数 y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
2 ∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
24
令t x ;所以y tan t的单调递增区间为:
24
k t k , k Z
2
2
由t 1 x 得 :
24
k 1 x k
22 4
2
y
3 tan(
1 2
1.4.3正切函数的图像与性质
新知探究
题型探究
感悟提升
5π x π π 解 (1)由2－3≠2＋kπ(k∈Z)得 x≠ 3 ＋2kπ，
5π ∴f(x)的定义域是xx≠ 3 ＋2kπ，k∈Z .
1 π π ∵ω＝2，∴周期 T＝ω＝1＝2π. 2 π π 5π x π π 由－2＋kπ<2－3<2＋kπ(k∈Z)得－3＋2kπ<x< 3 ＋2kπ(k∈Z)． ∴函数
解 由 y＝|tan x|得， π tan x，kπ≤x<kπ＋2k∈Z， y＝ －tan x，－π＋kπ<x<kπk∈Z. 2 其图象如图．
新知探究
题型探究
感悟提升
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数，
π 单调递增区间为kπ，2＋kπ(k∈Z)， π 单调递减区间为－2＋kπ，kπ(k∈Z)，
新知探究
题型探究
感悟提升
π 6 π (2)tan5π＝tan π＋5 ＝tan5， 13 π 13 tan－ 7 π＝－tan 7 π＝－tan2π－7 π π ＝－tan －7 ＝tan7，
π π π π ∵－2<7<5<2， y＝tan x
外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
解
tan x＋1≥0， 由题意得 1－tan x>0，
即－1≤tan x<1. x
π π 的取值范围是－4，4.又
1.4.3正切函数的图像和性质
单调性及值域
渐近 线
正切曲线是被相互平行的直线 x
2
k , k Z
kZ
所隔开的无穷多支曲线组成的
单调递增区间： k , k 2 2
值域：R
思考：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
0
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
比较大小：
(1) tan138
2 T 2
T
（ 结论：f ( x ) A tan x ） （A 0， 0)的周期 T
正切函数的基本性质
奇偶性
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 f ( x ) cos x , x R 为偶函数
f ( x) tan x，x k ，k Z 2
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x
2
k , k Z}
例1
求函数
y tan x 的定义域。 3 2
解：函数y tan x 的自变量应该满足 3 2 x k , k 2 3 2 1 函数的定义域为 x x 2k , k . 3
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
复习回顾
1.如下图，利用三角函数线表示出角α 的正弦、 余弦、正切值？
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象讲义3 新人教A版必修4
知识点2 正切函数的图象 观察图形，回答下列问题：
问题1：画正切曲线的关键点和关键线分别是什么？ 问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
【总结提升】
1.正切函数图象的两种作法
(1)几何法：利用单位圆中的正切线作图，该方法较为精确，但画图时
较烦琐. (2)三点两线法：“三点”是指(-
lo g 1 x lo g 1 4，
2
2
tanx 1，
所以0<x< 或3 ≤x≤4.
所以所求定2 义域4 为(0， )∪[ 3， 4].
2
4
2在【.解［(变析0，换】π条由］件ta上、n的改x≠图变0象问，.法x∈)，［将0本，题π］函，数解改得为x“≠0y ， st且ainnxxx≠”试且 画x≠出π此. 函数
4
2
，xk∈kZ，
28
所以所求直线方程为x= k ， k∈Z.
28
2.(变换条件)将本例函数改为“ y
么？
t a n x 1，
tan tan (x
x 1
”，其定义域又是什
)
6
【解析】根据题意，得
ta
n
(
x
) 6
0，
4
解得 x
2
(3)解形如tan x>a的不等式的步骤
【变式训练】函数 y 2log1x tanx 的定义域是______.
2
【解析】x应满足 2 lo g 1 x 0，
2
ta n x 0，
所以 0kxx4， k所2(以k0Z<)， x<
专题1.4.3 正切函数的性质与图象-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)
第一章 三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.学科=网2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 . 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：角xππ022-→→ π3ππ22→→正切线AT 0-∞→→+∞ 0-∞→→+∞tan x增函数 增函数由上表可知正切函数在ππ(,)22-,π3π(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值. 二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）. 作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.K 知识参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有K —重点 正切函数的性质与图象K —难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用 K —易错不能正确利用正切函数的图象与性质解题1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ；学-科网 (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【解析】由π33x -ππ2k ≠+得π5π318k x ≠+(k ∈Z )， 所以所求函数的定义域为π5π{|,318k x x x ∈≠+R 且，k ∈Z }； 值域为R ；函数πtan(3)3y x =-的定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数又不是偶函数；正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理． 【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24. 由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：学-科网一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎨⎧tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2k ∈Z －tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π2，k πk ∈Z ，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象． 【例6】求下列函数的定义域： （1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )．（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________． 【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )． 【答案】－π6或π3.【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z .因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.1．函数y =tan x 在其定义域上的奇偶性是 A ．奇函数 B ．偶函数C ．既奇且偶的函数D ．非奇非偶的函数2．函数y =tan （π2–x ）（ππ044x x ⎡⎤∈-≠⎢⎥⎣⎦，且）的值域为 A ．[–1，1] B ．[–1，+∞）C ．（–∞，1）D ．（–∞，–1]∪[1，+∞）3．函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是A ．πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，B ．π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，C ．ππππ2424k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，D ．π5πππ44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，，4．函数t =tan （3x +π3）的图象的对称中心不可能是 A ．（–π9，0） B ．（π18，0）C ．π018⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．5π018⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5．函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为A ．()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，B ．（k π，k π+π）（k ∈Z ）C ．()3ππππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，D ．()π3πππ44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，6．下列关于函数y =tan （x +π3）的说法正确的是 A ．在区间（–π6，5π6）上单调递增 B ．最小正周期是π C ．图象关于点（π4，0）成中心对称 D ．图象关于直线x =π6成轴对称 7．函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为___________．8．已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且1+tan α≥0，则角α的取值范围是___________．9．函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期T =___________． 10．函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为___________． 11．观察正切曲线，满足条件tan x >1的x 的取值范围是___________． 12．求函数y =tan （π–23x ）的定义域、单调区间和对称中心．学-科网13．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围．（1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.14．下列各式中正确的是A ．tan47π>tan 37π B ．tan （–134π）<tan （–175π） C ．tan4>tan3D ．tan281°>tan665°15．直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离是A ．π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关16．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是17．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1218．函数y =tan （sin x ）的值域为A ．[–π4，π4] B ．[–22，22]C ．[–tan1，tan1]D ．以上均不对19．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．20．设函数()πtan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数f （x ）的定义域和最小正周期； （2）求f （x ）的单调增区间； （3）求不等式–1≤f （x ）≤3的解集．21．求函数y =tan （3x –π3）的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．22．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．23．已知函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝. （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较()πf 与3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小．1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 ADACDBCBAAC1．【答案】A【解析】正切函数y =tan x 的定义域是（–π2+k π，π2+k π）k ∈Z ，定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意x ，满足f （–x ）=tan （–x ）=–tan x =–f （x ），所以函数y =tan x 在其定义域上是奇函数．故选A ．3．【答案】A【解析】πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=–tan （2x –π4），要使原函数有意义，则ππππ2π242k x k -+<-<+，解得ππ3ππ8282k k x -+<<+，k ∈Z ，∴函数πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是πππ3π2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，，，故选A ． 4．【答案】C【解析】因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是（π2k ，0），k ∈Z ．令3x +ππ32k =，解得x =ππ–69k ，k ∈Z ；所以函数y =tan （3x +π3）的图象的对称中心为（ππ–69k ，0），k ∈Z ；当k =0、1、–1时，得ππ–69k =–π9、π18、–5π18，所以A 、B 、D 选项是函数图象的对称中心．故选C ． 5．【答案】D【解析】对于函数πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令k π–π2<x –π4<k π+π2，求得k π–π4<x <k π+3π4，可得函数的增区间为（k π–π4，k π+3π4），故选D ．7．【答案】3-【解析】由于函数f （x ）=tan x 在（–π2，π2）上单调递增，故函数f （x ）=tan x 在ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故当x =–π3时，函数f （x ）取得最小值为–3，故答案为：3-． 8．【答案】[3π4，π） 【解析】1+tan α≥0，∴tan α≥–1，解得–π4+k π≤α<π2+k π，k ∈Z ．又α∈（π2，π），∴3π4≤α<π，即α的取值范围是[3π4，π）．故答案为：[3π4，π）． 9．【答案】π3【解析】根据正切函数的图象与性质得：函数f （x ）=5tan （3x +π4）+2的最小正周期为：T =ππ3ω=．故答案为：π3． 10．【答案】2π【解析】函数y =3tan （2x +π3）的最小正周期为：T =ππ12ω==2π．故答案为：2π． 11．【答案】（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z 【解析】观察正切曲线：当tan x =1时，x =ππ4k +，k ∈Z ，由tan x >1，可得ππππ42k x k +<<+．故答案为：（ππ4k +，ππ2k +），k ∈Z ．12．【解析】对于函数y =tan （π–23x ）， 令12x –π3≠k π+π2，k ∈Z ， 解得x ≠2k π+5π3，k ∈Z ，故函数y 的定义域为{x |x ≠2k π+5π3，k ∈Z }． 令k π–ππ–223x <<k π+π2，k ∈Z ， 解得2k π–π3<x <2k π+5π3，k ∈Z ， 故函数y 的单调增区间为（2k π–π3，2k π+5π3），k ∈Z ；无单调减区间． 令ππ–232x k =，k ∈Z ， 求得x =k π+2π3，k ∈Z ， 故函数y 图象的对称中心为（k π+2π3，0），k ∈Z ． 13．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z .（2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .14．【答案】C【解析】函数y =tan x 在（–π2，π2）上单调递增．A ，tan 47π=tan （–37π），∴tan 47π<tan 37π，故A 错误．B ，tan （–134π）=tan （–π4），tan （–175π）=tan （–2π5），则tan （–134π）>tan （–175π），故B 错误．C ，tan4=tan （4–π），tan3=tan （3–π），则tan （4–π）>tan （3–π），即tan4>tan3，故C 正确．D ，tan281°=tan （–79°），tan665°=tan （–55°），则tan281°<tan665°，故D 错误，故选C ． 15．【答案】B【解析】直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离正好等于y =tan x 的一个周期，即直线y =–1与y =tan x 的图象的相邻两个交点的距离为π，故选B ．学-科网 16．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ． 17．【答案】A【解析】解法一：验证：当φ＝－π6时，2x ＋φ＝2×π12－π6＝π6－π6＝0，∴tan(2x ＋φ)＝0，满足题意，故φ可以是－π6.解法二：由题意，得2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )，令k ＝0时，φ＝－π6，故φ可以是－π6.18．【答案】C【解析】∵–1≤sin x ≤1，且函数y =tan t 在t ∈[–1，1]上是单调增函数，∴tan （–1）≤tan t ≤tan1，即–tan1≤tan （sin x ）≤tan1，∴函数y =tan （sin x ）的值域为[–tan1，tan1]．故选C ． 19．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )．又f (－x )＋f (x )＝tan()1lg tan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．（3）由题意，k π–π4≤π23x -≤k π+π3， 可得不等式–1≤f （x ）≤3的解集π4π{|2π2π}63x k x k k +≤≤+∈Z ，． 21．【解析】由ππ3π32x k -≠+，解得π5π318k x ≠+，k ∈Z ； ∴所求的定义域为π5π{|}318k x x x k ∈≠+∈R Z ，且，； 函数的值域为R ， 周期为T =ππ3ω=， f （x ）的定义域不关于原点对称，∴f （x ）是非奇非偶的函数； 令–π2+k π<3x –ππ32<+k π，k ∈Z ， 解得–π18+π3k <x <5π18+π3k ，k ∈Z ， ∴函数y 在区间()πππ5π318318k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，上是增函数．③若a2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝1－a ＝－6， ∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7. 23．【解析】（1）∵()ππ3tan()3tan()6446x x f x =-=--， ∴函数的最小正周期为4πT =． 由πππππ,2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π,33k x k k -<<+∈Z ， ∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调增区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，∴函数()π3tan 64x f x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝的单调减区间为4π8π4π,4π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，（2）()πππππ3tan 3tan 3tan 641212f ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππ3π5π5π3tan 3tan 3tan 2682424f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵π5ππ012242<<<， ∴π5πtan tan1224<，∴π5π3tan3tan 1224->-，即()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【思路分析】（1）将函数化为()π3tan()46x f x =--，然后根据正切函数的周期和单调性求解． （2）由题意可得()π3π5ππ3tan,3tan 12224f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，根据函数tan y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性可得π5πtantan 1224<，从而可得()3ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解． （2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。
1.4.3正切函数的图像和性质
单调性 奇偶性 周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴：关x于原2点对k称 , k Z 对称中心： (k , 0) k Z
2
R
奇函数
在R上没有单调性
在( k , k )上单调增
2
2
没有最值
练习：P45 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y y tan x
(1) x (k , k ) k Z
2
(2) x k k Z
3 2
2.在每个分支里是单调递增的
2
3 .关于原点对称（奇函数）.
单调性
在每个分支里是单调递增的
增区间：
2
k
,
2
k
kZ
注意：只能说 y tan x 在某个区间内是增函数，
不能说 y tan x在定义域范围是增函数.
正切函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
最值
{x x k , k z}
(3) x ( k , k )
2
k Z 2
2
o 2
1.4.3正切函数的性质与图像
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
①若 ω＞0，由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代 换”的思想，令 kπ－π2 ＜ωx＋φ＜kπ＋π2 ，k∈Z，解得 x 的范围即可.
kπ＋23π，0，k∈Z.(8 分)
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
(2)由－1≤tan2x－π3 ≤ 3，
得－π4 ＋kπ≤2x－π3 ≤π3 ＋kπ(k∈Z)，
解得π6 ＋2kπ≤x≤4π 3 ＋2kπ(k∈Z).
所 以 不 等 式 － 1≤f(x)≤
所以 T＝ω＝ 1 ＝4π.
4 由 kπ－π2 ＜4x－π6 ＜kπ＋π2 (k∈Z)， 得 4kπ－4π3 ＜x＜4kπ＋8π3 (k∈Z). 因为 y＝3tan4x－π6
提知能·高效测评
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
在4kπ－4π 3 ，4kπ＋8π 3 (k∈Z)内单调递增， 所以 f(x)＝－3tan4x－π6 在4kπ－4π 3 ，4kπ＋8π 3 (k∈Z)内单调递减.故原函 数的最小正周期为 4π，单调递减区间为4kπ－4π 3 ，4kπ＋8π 3 (k∈Z).
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
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解析：
(1) 函 数
y
＝
1 tan
x
有
意
1.4.3正切函数的图像与性质
课堂展示
探究1
展示：1组
独立思考， 独立审题 1.结合批阅情况，改正错误，找准错因。
探究2、3、4 展示：6组
2.明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决。
3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。 要求：思维敏捷，手、脑、眼并用。
例1 展示：5组
例2 展示：2组
例3 展示：3组
激情点评
探究1
点评：9组 探究2、3、4 点评：8组
思考：在整个定义域内是增函数么？
正切函数的性质与图像
（五）定义域、值域:
k （六）关于对称点对称轴：从图象可以看出：无对称轴。 ( , 0) 直线 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点，即 2 x k k Z 2
应用提升
• 例1
求函数y tan x 的定义域，值域，并指出它的周期性， 3 2 奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
复习回顾
y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - o -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 2 3 4 5 6 x
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴：x k
2
, 对称点： ( k ,0);
学习目标：
1.会画出的 y tan x 图像； 2.掌握正切函数 y tan x 的性质；并能够熟练的应用。
[重点]： 画正切函数的图像，理解正切函数的性质。
[难点]：正切函数的性质及其应用。
合作学习：重点讨论：
探究1. 借助正切线，做出正切函数y=tanx的图像。 探究2.由正切函数的图像得到正切函数的定义域与值域。 探究3.由正切函数的图像得到正切函数的周期性、奇偶性。
§1.4.3正切函数的图像与性质
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线
渐 进 线
3 2
0
★观察图像 归纳性质
3 2
0
观察 y = tan x的函 数图像,你能归纳出 正切函数的哪些性 质?
(1)定义域: {x | x (2)值 域: R
k, k Z} 2
(3)函数周期:
π
(4)奇偶性: 奇函数
普通高中课程标准实验教科书 数学必修4
§1.4.3正切函数的图像与性质
★温故知新 类比迁移
想一想:回忆一下我们如何探究正弦余弦函数的图像和
性质?从哪几个方面考虑?
y
2
定义域: x R
2
1
0
-1
3 2
2
5 2
x
值 最
域: y 1,1
2k x 时， ymax 1 值: 2
★自主思考 探究性质
正切函数 : y tanx
周期性:
由诱导公式得
结合这两个性质,你 能用几何法描绘出 正切函数的图像吗 ?
tan( x ) tan x, x R,x k , k Z 2
周期为π
奇偶性:
由诱导公式得 tan( x) tan x, x R,x k , k Z 2
由u 1 1 x 得 : k x k 2 4 2 2 4 2
3 1 ( 2 k , 2 k ) y 3 tan( x )的单调递增区间为 : 2 2 2 4
★综合运用 提高能力
变式
1 求函数 y 3 tan ( - x )的 单 调 区 间 . 2 4
19-20版 第1章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围 (2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解](1)由⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )， 故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质 (1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图像
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又 y＝tan x
π π 在－2，2 内是增函数，
所以 tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即 tan 2<tan 3<tan 1.
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2．求函数
π y＝3tan4－2x的单调区间．
π π 解：y＝3tan4－2x＝－3tan2x－4 ，
π 2π π 又 0< < < ， 4 5 2 而 y＝tan x
π 在0，2 上单调递增，
π 2π π 2π 所以 tan <tan ，－tan >－tan ， 4 5 4 5 即
13π 12π tan－ 4 >tan－ 5 .
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[类题通法] 1．求函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ 都是常数)的单调区间 的方法 (1)若 ω>0， 由于 y＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数， π π 故可用“整体代换”的思想，令 kπ－ <ωx＋φ<kπ＋ ，求得 x 2 2 的范围即可． (2)若 ω<0，可利用诱导公式先把 y＝Atan(ωx＋φ)转化为 y ＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把 x 的系数化为 正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可．
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[例 1]
求下列函数的定义域和值域： 3－tan x.
π (1)y＝tanx＋4；(2)y＝
[解]
π π (1)由 x＋ ≠kπ＋ (k∈Z)得， 4 2
π x≠kπ＋ ，k∈Z， 4 所以函数
π y＝tZ， 4
1.4
1 理解教 材新知
1.4. 3 正切 函数 的性 质与 图像
1.4.3 正切函数的性质和图像
B
（2)我们怎么做出正切函数 在 - ， 内的简图 2 2
一点两线
三点两线
（3）直线y=a与y=tanx的两个相邻的交点间的距离是多少？ （4）正切函数具有怎样的对称性？
x 1 变式 : y 3 tan( ) (1) y 3 tan( x ); 2 4 2 4 1 解 : 原函数可化为 : y 3 tan( x ); 解：令 k x k 2 4 2 2 4 2 1 3 令k x k 2k x 2k 2 2 4 2 2 2
1 y 3 tan( x )递增区间为 : 2 4
数学应用 例3 求下列的单调区间：
1 y 3 tan( x )递减区间为 : 2 4
总结：对于函数 y A t an( x )的单调区间的求解， 应注意哪些方面？
3 ，k z 2k ， 2k 2 2
x
2
3
由图可知：x k , 2 x
6
）
3
2求函数y tan x 1 1 tan x的定义域
y
令k
3
2x
6
k
2
,k z
-
1
2
k k x 2 4 2 3 k k 解集为x / x ,k z 2 4 2 3
5 2
关于原点对称
5 2
3 2
-
O 2 2
3 2
X
f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)
正切函数是奇函数
思考 4 ：结合正切函数的周期性，正切函数的单 调性如何？
§1.4.3正切函数的图像与性质
§1.4.3正切函数的图像与性质一、教材分析 1．地位与作用本节是《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）数学必修4第1章第1.4节《三角函数的图象与性质》中的内容．本节课是在学生已经有了研究正弦、余弦函数的图像与性质的经验基础上，学习的又一具体的三角函数，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石． 2．教材处理正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法．设计中首先通过正切函数的定义，诱导公式，正切线研究正切函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调性，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图像，再从图象上观察出上述性质，让学生感受类比思想、数形结合思想在研究函数性质中的重要作用．同时通过设计一个得到正切曲线的方法，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节．在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了“问题6”帮助学生理解该性质，并启发学生从代数和几何两种角度看问题． 二、学情分析在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦、余弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具有了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力．但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度．高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力．能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识．但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果． 三、教学目标确定及依据正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题．本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1．知识与技能（1）能借助诱导公式和单位圆探究任意角的正切函数的性质； （2）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像； （3）掌握正切函数的基本性质；（4）体会用数形结合的思想理解和处理问题． 2．过程与方法首先由学生自主绘图，通过媒体课件演示作图过程得到完整的正确图象，学生纠正图像，然后再让学生观察，类比正弦，探索得到性质． 3．情感态度与价值观在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣．培养学生自主探索的学习习惯和分析问题、解决问题的能力． 四、重点与难点1．重点：正切函数的图象及其主要性质． 2．难点：利用正切线画出函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图象，对直线,2x k k Z ππ=+∈是tan y x =的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解．五、教学理念本着以人为本的教学理念及发挥学生主动性，使学生成为课堂的主体的教学原则，遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律，通过学生的自主探索，总结出函数的图象，并通过图象得出正切函数的性质，在此过程中体现生生、师生之间的团结合作，互相帮助的精神，学生的内在潜能得以挖掘．通过例题的分析，学生分析问题及严密推理能力得以提高，学生体会到学习数学的乐趣，同时发现数学不但美妙而且神奇，并在此过程中体验成功后的喜悦． 六、学法分析类比学习法，即类比正弦函数、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数．类比正弦函数的画法做正切函数，利用图像研究正切函数的性质． 七、教法分析新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生．以此为宗旨，我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合．结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识． 八、教学过程 教学 环节 教师活动学生活动设计意图课前1 分钟31.tan 60,2.tan ,453.tan 210,4.tan 3ππ====学生口答 1， 熟悉特殊角三角函数值创 设 情 境 揭 示 课 题同学们，在前两次课中，我们学习了正、余弦函数的图象与性质．今天我们将类比正弦、余弦函数的学习方法，研究正切函数的图象与性质．请同学们先自己阅读教材P42-43的内容，并填写下列表格：函数 tan y x = 定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈周期性π奇偶性 奇函数单调性 在()22k k k Z ππππ-++∈，上是增函数值域R（通过学生自学，填写上表，结合几何画板展示，老师及时对学生的答案进行客观和鼓励性的评价，最后教师进行总结和归纳．）学生带着老师的问题阅读教材并填写表格，后与同桌交流 2， 1．培养学生的自学能力，让学生养成带着问题阅读教材的习惯 3，2．为下面通过正切函数的图像研究性质做准备正切函数图像的作法正切曲线与渐近线由于正切函数是周期为π的函数，所以我们类比研究正弦函数的图像的方法，选择一个周期内来作正切函数的图像，然后向左右进行延伸即可．（教师引导学生采用正切线作出图像）问题四：如何利用正切线画出函数的图像？1．利用正切线作tan,(,)22y x xππ=∈-的图象．(1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份；(2) 作正切线；(3) 平移；(4) 连线．2．根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan,y x x R=∈，且()zkkx∈+≠ππ2的图像，称“正切曲线”．3．从上图可看出，正切曲线是由被相互平行的直线,2x k k Zππ=+∈隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．学生根据教师的提示通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图象的画法作出正切函数的图象；图像扩展得到“正切曲线”让学生学会分析、解决问题的一般方法（类比思想）；让学生学会实际动手作图，培养学生的动手操作能力；学生得到“正切曲线”，明确与“正弦曲线”的不同：图象是间断的而且与无数条渐近线xy2π-π23-π-π2π-2ππ23yx观察图像，提炼性质问题五：你能利用正切函数的图像得出正切函数性质吗？（教师引导学生利用正切函数的图像得出性质）函数tany x=定义域{|,}2x x k k Zππ≠+∈值域R周期性π奇偶性奇函数单调性在()22k k k Zππππ-++∈，上是增函数渐近线,2x k k Zππ=+∈对称中心(,0)2kk Zπ∈问题六：正切函数在定义域能是不是单调函数？通过观察图形再次获得函数性质，并补充渐近线方程与对称中心坐标培养学生合作交流意识，让学生体会函数性质与图像之间的关系，体会形与数的结合更能抓住问题的本质例题讲解例6．求函数tan()23y xππ=+的定义域、周期和单调区间．推广：函数tan()y A xωϕ=+的周期是||Tπω=．学生自己独立思考，然后和同桌交流通过对例题学习感受化归思想、整体思想三点两线法问题七：在做正弦曲线时有“五点法”，请同学们思考怎样快速作出正切曲呢？（教师引导学生得到正切曲线的方法：三点两线法．）学生回顾思考，探究让学生了解三点两线法反馈演练1．书P45 练习 2-6；2．补充练习直线y a=（a为常数）与tany x=相邻两支的交点间的距离是多少？（引导学生结合图象进行分析）在教师引导下由学生独立完成及时反馈对知识的掌握情况与对知识巩固归纳整理，整体认识教师展示出问题后，让学生自己总结归纳，提炼知识，然后教师根据时间提问学生（1）请同学们回顾本节课所学过的知识内容有哪些？学到了哪些主要数学思想方法？（2）在本节课的学习过程中，你还有那些不太明白的地方，请向老师提出．（3）你自己认为自己在这节课中的表现怎样？有什么收获？你最深的体会是什么？学生自己对问题进行思考，整理出 1本节课所学习的知识有哪些，列出提纲和同桌交流通过学生归纳总结，寻找知识建立的支点，有利于学生对知识的掌握，同时可以帮助学生逐渐养成归纳概括和提升抽象问题的能力．十、板书设计§1.4.3 正切函数的图像及其性质 1．正切函数的定义 2．正切线的作法 3．正切函数图像4．正切函数图像的性质 5．例题分析 6．课后思考题十一、教学反思在本节课中，我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维，比如：在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；又如，在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙．总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的数学教学，才能承载中学数学课堂的使命——培养学生的数学思维和数学素养．作 业 布 置1．书P46 A 组 8，9；B 组 2（定义域、对称中心、单调区间）； 2．预习1.5 学生课后独立完成，教师进行认真批改复习巩固知识，培养学生的实战能力，培养学生独立思考问题的精神．。
课件4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.正切函数的图象
课后小结
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋2π，k∈Z，相邻
两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2.正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是x|x≠kπ＋2π，k∈Z，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0) 的周期为|ωπ |.
(3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增，正切函数无单调函数 y＝3tan(2x＋π4)的定义域是( C ) A．{x|x≠kπ＋π2，k∈Z} B．{x|x≠2kπ－38π，k∈Z} C．{x|x≠2kπ＋π8，k∈Z} D．{x|x≠2kπ，k∈Z}
2.函数 f(x)＝tan(x＋π4)的单调增区间为 ( C ) A．(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．(kπ－34π，kπ＋π4)，k∈Z D．(kπ－π4，kπ＋34π)，k∈Z
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数 y＝tan x 的性质与图象
y＝tan x
图象
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 周期 奇偶性 单调性
R 最小正周期为 π
奇函数 在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z)
内递增
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解：由题意得t1a－n xta＋n 1x≥>00 ，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4， 又 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的范围是kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z)． 即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋4π (k∈Z)．
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4
2
x
k 对称中心：（ ， 0） 2
讲授新课 说明:
(1)正切函数的最小正周期不能比小， 正切函数的最小正周期是 ； (2)根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数
的图象，称“正切曲线”.
讲授新课
y
O
x
(3)正切曲线被相互平行的直线 ( x k ) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的.
讲授新课
13 17 例1、比较 tan 与 tan 的大小. 4 5 例2、求函数y tan( x )的定义域, 周期 2 3 和单调区间.
y A sin( x ), x R.( A 0, 0) y A cos( x ), x R.( A 0, 0)
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
讲授新课 思考：
1. 正切函数y=tanx的定义域是什么？ 2. 正切函数是不是周期函数？
3. 正切函数是奇函数还是偶函数？ 4. 正切函数的单调性怎样？
5. 正切函数的值域是什么？
讲授新课 总结: 正切函数的性质
定义域
值域 周期 奇偶性 单调性
{x | x
2
k , k Z}
R
T
tan( x ) tan x, 奇函数 在开区间 ( k , k )
2 2 k Z内，函数单调递增
讲授新课
FLASH
y
2
4
o
T
2
y A tan( x ).( A 0, 0)
T
讲授新课
思考、求使下列不等式成立的x的集合 : (1)1 tan x 0;
(2) tan x 3 0;
y 3
4
3
y 1
课堂小结
1. 正切函