2015-2016学年高中数学 第一章 集合与函数概念本章回顾课件 新人教A版必修1

【例6】 已知定义域为(－2,2)的奇函数y＝f(x)是增函 数，且f(a－3)＋f(9－2a)>0，求a的取值范围． 【分析】 求a的取值范围，实际上就是求不等式f(a－3)
＋f(9－2a)>0的解．而该不等式含有运算法则f，需要根据题 设，去掉f，转化为普通的不等式求解．
【解】 ∵f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数， ∴f(a－3)＋f(9－2a)>0 ⇒f(a－3)>－f(9－2a)＝f(2a－9)． 又f(x)在(－2,2)上为增函数， －2<a－3<2， ∴－2<9－2a<2， a－3>2a－9， 1<a<5， 7 11 ⇒2<a< 2 ， a<6，
【例1】 已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－a<0}． (1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； (2)若A B，求实数a的取值范围． 【分析】 (1)A∩B＝∅其实质是A与B无公共元素；
(2)A B说明了A是B的真子集，明确了上述关系，只要借助数 轴即可得到答案．
【解】 ∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<a}． 在数轴上将集合A表示出来，如下图所示，由图可知：
7 ⇒2<a<5.
7 ∴a的取值范围是( ，5)． 2
4．函数与方程的思想 函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形 式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性 质等对问题加以研究，使问题获得解决． 方程的思想是指将问题转化为方程或方程组，通过对方程 或方程组的讨论使问题得以解决．
8．函数单调性的判断步骤 (1)在区间内任取两个自变量的值x1，x2，并且规定其大小 关系，如x1>x2； (2)作差f(x1)－f(x2)，变形(配方，因式分解等)确定符号； (3)给出结论． 注意 求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是 定义域的子集．当函数的单调区间不止一个时，中间不能用符 号“∪”连接．
4．当集合中含有参数时，须对参数进行分类讨论，分类 时要不重不漏． 5．函数相同的判定方法：①定义域相同；②对应关系相 同(二者缺一不可)． 6．函数定义域的求法 求函数的定义域，就是求函数解析式有意义的自变量的取 值范围．列出不等式或不等式组求其解集，具体要求：
(1)分式中分母不为零； (2)偶次根式中被开方数非负； (3)由实际问题确定的函数，其定义域要使实际问题不失 去意义．
【解】 如上图所示，∵A∩B＝{4,5}， ∴将4,5写在A∩B中． ∵(∁SB)∩A＝{1,2,3}， ∴将1,2,3写在A中． ∵(∁SB)∩(∁SA)＝{6,7,8}，
∴将6,7,8写在S中A，B之外． ∵(∁SA)∩A与(∁SB)∩(∁SA)中均无9,10， ∴9,10在B中． 故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
3 a ＝1， ∴ 2 ba ＋a＋1＝6，
a＝1， 解之得 b＝2.
故所求一次函数为f(x)＝x＋2.
5．赋值法 【例13】 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为0的
5 偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f f2 的值
讨论，求得g(t)的表达式．
【解】 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1. ①当t＋1≤1，即t≤0时，由下图知，截取减区间上的一 段，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1.
②当t≤1<t＋1，即0<t≤1时，恰巧将顶点截取在内，则g(t) ＝f(1)＝1(见下图)．
③当t>1时，由下图知，截取增区间上的一段，则 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
又∵x>1， 又f(x)在(1，＋∞)上为增函数， 且f(1)＝－2， ∴值域为(－2，＋∞)．
12 1 (2)∵y＝x ＋x2＋8＝x－x ＋10，
2
∴y≥10.故值域为[10，＋∞)．
规律技巧
对于二次函数求值域常用配方法．
2．分离常数法 3x－1 【例10】 求函数y＝ 的值域． x＋1
在函数转化为方程的过程中审题不清，丢掉x
＝2这个解，错选B.
x－a 【例8】 已知函数f(x)＝ 2 是奇函数，求实数a，b x ＋bx＋1 的值． 【分析】 一种思路是利用奇函数的定义，即f(－x)＝－
f(x)恒成立解答；另一种思路是赋值法，列方程(组)解答．
【解】 解法一：∵函数f(x)是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0 x－a －x－a 恒成立，即 2 ＋ ＝0恒成立． x ＋bx＋1 x2－bx＋1 化简得2(a＋b)x2＋2a＝0对一切实数x恒成立， ∴a＝b＝0. 解法二：由题意知，f(0)＝0，得a＝0. ∴f(x)＝ x .∵f(x)为奇函数， 2 x ＋bx＋1
(1)若A∩B＝∅，则a≤－2； (2)若A B，则a≥4.
【例2】 集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且 A∩B＝{4,5}，(∁SB)∩A＝{1,2,3}，(∁SA)∩(∁SB)＝{6,7,8}，求 集合A和B. 【分析】 这类集合问题比较抽象，关系较复杂，而解题 时若借助韦恩图进行数形分析，采取数形结合的思想方法，则 可以将问题直观化、形象化，从而使问题快速、准确地获解， 此题如下图．
规律技巧
与整数有关的有限集的交、并、补集运算，借
助韦恩图，既直观清晰又简便．
2．分类讨论的思想 利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学 生知识和能力的热点问题．这是因为：其一，分类讨论问题一 般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解 分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与 技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实 际问题和高等数学相联系．
函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解 析式y＝f(x)可以看作方程y－f(x)＝0，函数有意义则方程有 解；方程有解，则函数有意义．函数与方程体现了动与静、变 量与常量的辩证统一．
【例7】
2 x ＋bx＋c 设f(x)＝ 2 x>0.
x≤0，
若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的 个数为( A．1 C．3 ) B．2 D．4
7．求函数值域的常用方法 (1)观察法：对于一些较简单的函数，其值域可通过观察 得到； (2)图象法：作出函数的图象，观察图象得到值域； (3)单调性法：利用函数的单调性求值域； (4)配方法：把函数配方，利用二次函数的性质求出值 域；
(5)换元法：通过换元，将所给函数化为易于求值域的函 数；但要注意换元后新变量的取值范围； (6)分离常数法：多用于有理分式，即将有理分式变形， 转化为“整式与反比例函数类和”的形式，便于求值域．
第一章
集合与函数概念
本章回顾
知识网络
规律方法总结 1.在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确 定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”． 2．在集合运算中必须注意组成集合的元素及元素应具备 的性质． 3．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条 件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．
1 ①a＝0，此时A＝ －2，符合题意；
②a≠0，则必须且只需Δ＝4－4a＝0，即a＝1. ∴a＝0，或a＝1.
(2)A中至多有一个元素，也包括两种情形： ①A中有一个元素，由(1)知a＝0，或a＝1；
a≠0， ②A中没有元素，此时应有 Δ＝4－4a<0，
解分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化 成部分后，相当于增加了题设条件，这也是解分类问题总的指 导思想．
【例3】 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若A中只有一个元素时，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
பைடு நூலகம்
【解】
(1)应根据a是否为0分两种情况进行讨论：
9．函数奇偶性的判断步骤 (1)先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则该 函数为非奇非偶函数； (2)若函数的定义域关于原点对称，再用奇偶性的定义严 格判定.
数学思想 1.数形结合的思想 在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合 起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体 形象的联系和转化，即把数量关系转化为图形的性质来确定， 或者把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究．
∴f(－1)＝－f(1)，得b＝0.
规律技巧
对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0.
基本方法 1.配方法 【例9】 求下列函数的值域． (1)y＝2x2－3x－1，x∈(1，＋∞)； 1 (2)y＝x ＋x2＋8(x≠0)．
2
【解】
(1)∵y＝2x
2
32 17 －3x－1＝2x－4 － 8 ，
规律技巧
形如y＝ax＋ bx＋c 的函数求最值常用换元法.
令t＝ bx＋c ，将原函数转化为二次函数，再求最值.换元后要 注意新变量的取值范围.
4．待定系数法 【例12】 求一个一次函数，使得f{f[f(x)]}＝x＋6.
【解】
设一次函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b， f{f[f(x)]}＝a(a2x＋ab＋b)＋b ＝a3x＋a2b＋ab＋b. 由已知有a3x＋b(a2＋a＋1)＝x＋6，
【解析】
由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，得 ∴b＝4，c＝2.
16－4b＋c＝c， 4－2b＋c＝－2，
∴当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2＝x，解得 x＝－1，或x＝－2. 当x>0时，f(x)＝2＝x，∴x＝2. ∴f(x)＝x的解的个数为3，应选C.
【答案】 C
误区警示
【例5】 已知f(x)＝x5＋ax3－bx－8，f(－2)＝10，求f(2) 的值． 【分析】 从函数f(x)结构特征来看，该问题可转化为函