福建省漳州市五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试卷及答案解析
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m 的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P 到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.【详解】由三角形面积公式得得面积.本题选择A选项.【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）A. 380B. 39C. 35D. 23【答案】A【解析】【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。
2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题(含解析)_2
2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）椭圆的一个焦点坐标为A. B. C. D.数列为等差数列，为其前n项和，若，则A. 120B. 60C. 80D. 240在各项均为正数的等比数列中，，则A. 有最小值3B. 有最小值4C. 有最大值3D. 有最大值4从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为，那么此椭圆的离心率A. B. C. D.已知命题p：存在，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是A. B. C. D.是等比数列，若“n，p，”是“”成立的充分必要条件，则数列可以是递增数列；递减数列；常值数列；摆动数列A. B. C. D.设函数，若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为A. 8B. 10C. 16D. 22已知数列的通项公式，其前n项和为，若，则的最大值是A. 1B. 3C. 5D. 7设，是椭圆的两个焦点，若C上存在点P满足，则m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）已知，则函数的最大值为______．已知等比数列中，若，则______．下列命题中正确的序号是______．“”是“”的充要条件；若，则，是的充分必要条件；命题“对任意，有”的否定是“存在，有”；若p：，q：，则p是q成立的必要不充分条件．，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，，过作的角平分线的垂线，垂足为M，则的长为______．三、解答题（本大题共4小题）设m是实数，已知命题p：，使函数满足；已知命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．若命题p为真命题，求m的取值范围；若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围．已知函数．若，求不等式的解集；若，，且，求的最小值．已知椭圆的长轴两端点为，，离心率为，，分别是椭圆C的左，右焦点，且．求椭圆的标准方程；设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程．若各项均不为零的数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，．证明数列是等比数列，并求的通项公式；设，是否存在正整数k，使得对于恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）椭圆的一个焦点坐标为A. B. C. D.数列为等差数列，为其前n项和，若，则A. 120B. 60C. 80D. 240在各项均为正数的等比数列中，，则A. 有最小值3B. 有最小值4C. 有最大值3D. 有最大值4从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为，那么此椭圆的离心率A. B. C. D.已知命题p：存在，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是A. B. C. D.是等比数列，若“n，p，”是“”成立的充分必要条件，则数列可以是递增数列；递减数列；常值数列；摆动数列A. B. C. D.设函数，若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为A. 8B. 10C. 16D. 22已知数列的通项公式，其前n项和为，若，则的最大值是A. 1B. 3C. 5D. 7设，是椭圆的两个焦点，若C上存在点P满足，则m的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）已知，则函数的最大值为______．已知等比数列中，若，则______．下列命题中正确的序号是______．“”是“”的充要条件；若，则，是的充分必要条件；命题“对任意，有”的否定是“存在，有”；若p：，q：，则p是q成立的必要不充分条件．，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，，过作的角平分线的垂线，垂足为M，则的长为______．三、解答题（本大题共4小题）设m是实数，已知命题p：，使函数满足；已知命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．若命题p为真命题，求m的取值范围；若命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围．已知函数．若，求不等式的解集；若，，且，求的最小值．已知椭圆的长轴两端点为，，离心率为，，分别是椭圆C的左，右焦点，且．求椭圆的标准方程；设A，B是椭圆C上两个不同的点，若直线AB在y轴上的截距为4，且OA，OB的斜率之和等于4，求直线AB的方程．若各项均不为零的数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，．证明数列是等比数列，并求的通项公式；设，是否存在正整数k，使得对于恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．。
福建省漳州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
福建省漳州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·临泽期末) 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）下列命题中，是真命题的是（）A . ∃x0∈R，ex0≤0B . ∀x∈R，2x＞x2C . 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 =﹣1D . 已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3. （2分） (2019高二上·四川期中) 若圆：与圆：外切，则正数的值是（）A . 2B . 3C . 4D . 64. （2分） (2020高二下·化州月考) 已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A . 3：1B . 2：1C . 1：1D . 1：26. （2分）已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}且M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（）A . [﹣3， 3]B . [﹣3.3]C . [﹣3，﹣3）D . （﹣3，3]7. （2分） (2018高二上·武邑月考) 下列四个结论中不正确的是（）A . 经过定点P1(x1 ， y1)的直线都可以用方程y－y1＝k(x－x1)表示B . 经过任意不同两点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示C . 不过原点的直线都可以用方程表示D . 经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示8. （2分） (2017高一上·深圳期末) 已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分） (2020高二下·杭州期末) 若圆 x2+y2+mx-=0与直线相切，则（）A .B .C .D .10. （2分）若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为（）A . －1B . 5C . －1或5D . －3或311. （2分）设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A . 3<r<5B . 4<r<6C . r>4D . r>512. （2分）(2019·定远模拟) 某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为________．14. （1分） (2016高一上·广东期末) 如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．15. （1分）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，过圆内一点P（2，3）作弦，则最短弦长为________16. （1分） (2017高一下·惠来期中) 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则 =________．三、解答题 (共6题；共57分)17. （2分）根据所学知识完成填空：（1）已知| |=3，| |=2．若• =﹣3，则与夹角的大小为________．（2）已知 =（m﹣2，﹣3）， =（﹣1，m），若∥ ，则m=________．18. （10分） (2016高一上·金华期中) 若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．19. （15分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5 ．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC ．（3）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．20. （10分） (2016高二上·嘉兴期末) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，E为PD中点．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．21. （10分） (2020高一下·牡丹江期末) 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面 .（1）求证：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.22. （10分） (2020高二下·广东月考) 已知动圆C的圆心为点C，圆C过点且与被直线截得弦长为．不过原点O 的直线l与点C的轨迹交于两点，且．（1）求点C的轨迹方程；（2）求三角形面积的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共57分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_6
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题.14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【答案】3.【解析】【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出所有男生打卡天数总和再除以男生人数即平均打卡天数；（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任选2人交流心得，求出基本事件总数和选到男生和女生各1人所包含的基本事件个数即可求解概率.【详解】（1）男生平均打卡的天数.（2）男生打卡21天的2人记为，，女生打卡21天的3人记为，，，则从打卡21天的小朋友中任选2人的情况有，，，，，，，，，，共10种，其中男生和女生各1人的情况有，，，，，，共6种.故所求概率.【点睛】此题考查求平均数和古典概率，关键在于准确求出打卡天数总和以及根据计数原理求出基本事件个数.18.求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点坐标为和，P为椭圆上的一点，且；（2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标为和，得知，再由，根据椭圆的定义，得到，然后由求解即可..（2）根据和求解，注意两种情况.【详解】（1）因为焦点坐标为和，所以.因为，所以，即所以.故所求椭圆的标准方程为.（2）由题意可得解得，解得，.故所求椭圆标准方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].【解析】【分析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．【详解】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，所以，或，所以，，或，所以a≥3．所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．实数m的取值范围（-∞，4]．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.已知椭圆：的离心率为，且经过点，为椭圆的左焦点.直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用离心率和过点联立方程组计算得到答案.（2）点到直线的距离，，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）因为为椭圆的左焦点，所以的坐标为，则点到直线的距离.联立，整理得，则，，，，从而故的面积为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，三角形的面积，意在考查学生的计算能力.21.某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位：人）：（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.【详解】（1）由题意得该校学生总人数为人，则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率.（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为，，，；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取人，设为，.从这6人中任意选取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.设表示事件“两人都满意”，则事件包含的基本事件有，，，，，，共6种.故所求概率【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.22.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，且上的动点到的距离的最大值为4，最小值为2.（1）证明：.（2）若直线：与相交于，两点（，均不与，重合），且，试问是否经过定点？若经过，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据题意，可得，即可解得椭圆的标准方程，设，表示出，，利用坐标法表示，由，即可证明；（2）联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理可得根与系数的关系，由，运用坐标相乘可得，解出与的关系，进行判断即可得出结论.【详解】解：（1）证明：由题意可得，解得，则，故的方程为.设，则.∵，，∴，∵，∴.（2）解：设，，联立，得，则，即，且，，∴.∵，，∴，，即，所以或.当时，直线为，此时过定点，不合题意；当时，直线为，此时直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，联立方程运用韦达定理根据题意判断直线是否恒过定点问题，属于较难题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题. 14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）。
2019-2020年高二数学上学期期中试卷(含解析)
2019-2020年高二数学上学期期中试卷（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区xx高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是xx高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(四)
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一.单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°2．等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．4．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．5 C．38 D．﹣107．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．3511．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前200项和为．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．参考答案一.单项选择题1．C．2．B．3．B．4．B 5．A．6．A．7．D．8．A．9．C 10．B 11．D．12．B．二.填空题13．解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．14．解：∵数列{a n}为等差数列，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15，即a3=3，又∵a5=5，∴d==1，∴a n=5+（n﹣5）=n，又∵==﹣，∴所求值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）17．解：∵T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，∴2T n=2a1+22a2+23a3+…+2n a n，两式相加，得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23（a2+a3）+…+2n﹣1（a n﹣1+a n）+2n a n，又∵，∴3T n=2+2+2+…+2+2n a n=2n+2n a n，∴3T n﹣2n a n=2n，故答案为：2n．三、解答题18．解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．19．解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．∴B1B2=10．∴乙船的航行速度是海里/小时．20．（1）证明：∵S n+a n=﹣n+1，+a n﹣1=﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，∴当n≥2时，S n﹣1=﹣n﹣1，两式相减得：2a n﹣a n﹣1变形得：2（a n+n）=a n﹣1+（n﹣1），又∵b n=a n+n，∴数列{b n}是公比为的等比数列；（2）解：由（1）可知S1+a1=﹣﹣+1=﹣1，即a1=﹣，又∵b1=a1+1=﹣+1=，∴b n=a n+n=，a n=﹣n+，∴S n=﹣（1+2+…+n）+（++…+）=﹣+=1﹣﹣．21．解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a﹣c）cosB=bcosC整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．（II）在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac•cosBac=3故．22．解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，∴△ABC的面积是a2，∴△ADE的面积是a2，∵AD=x，DE=y，∴①=x×AE×sin60°，∴AE=，②y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°=x2+AE2﹣x•AE=x2+（）2﹣2a2，∴y＞0，∴y=，又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，∴y=（a≤x≤2a），（2）y=≥=a，当且仅当x2=，即x=a时“=”成立，此时AE=a，∴使AD=AE=a时，DE最短，最短为a．23．解：（1）∵函数h（x）=的图象过点，∴，解得a=4；（2）由（1）得，h（x）=，∵h（x）+h（1﹣x）==，∴=；（3）==，则b n==，∴=，由T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，得，即对一切n∈N*恒成立，∵（当且仅当n=2时等号成立），∴．故λ的取值范围是．。
福建省漳州市五校2019-2020学年高二上学期期中联考卷 数学试题
漳州市五校2019～2020学年高三第一学期期中联考试卷数 学（满分：150 分，完卷时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把正确结果写在答题卡相应的位置上．）1．命题“若a b >，则22ac bc >．”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．42．已知p ：x = 1且y = 2， q ：x ＋y = 3，则p 是q 的 ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知命题p ：n n N n 2,2>∈∃，则﹁p 为( )A ．n n N n 2,2>∈∀B ．n n N n 2,2≤∈∃C ．n n N n 2,2≤∈∀D ．n n N n 2,2=∈∃4．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P （x ，y ）到两定点F 1（－4，0）， F 2（4，0）的距离之和是10，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．192522=+y x B ．1162522=+y x C ．192522=+x y D ．1162522=+x y 5．抛物线y x =2的焦点坐标是（ ）A ．），（41B ．），（210 C ．），（021 D ．），（0416．若椭圆14222=+m y x 与双曲线1222=-y m x 有公共焦点，则m 取值为（ ） A ．－2 B ．1 C ．2 D ．37．已知双曲线18222=-y ax 的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 21±= B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ．x y 2±= 8．已知向量a ＝（2，3，1），b ＝（1，2，0），则| a －b |等于（ ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．9 9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定 点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 10．如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 是OA 的中点，点N 在BC 上，且CN →＝2NB →， 设MN →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值为（ ） A ．112233，， B ．121233，， C ．121233-，， D ．112233-，， 11．已知直线2+=kx y 与双曲线224x y -=的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B．(,) C．(1,) D．(1)-12．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN ⊥l ，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|MD，则抛物线方程是（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确结果写在答题卡相应的位置上．）13．椭圆222120x y a +=的焦点在x 轴上，焦距为8，则该椭圆的离心率为 ． 14．已知命题p ：210x R x mx ∃∈++=，；命题q ：244(2)10x R x m x ∀∈+-+>，．ANBCM O若命题p ∨q 为真命题，﹁p 为真命题，则实数m 的取值范围是 ．15．已知椭圆22195x y +=的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点P 是椭圆上的一点， 若PF 1 ⊥PF 2 ，则△F 1 PF 2 的面积是 ．16．动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(10分)已知p ：x 2－x －6 > 0，q ：( x －a －1 ) ( x －a ＋1 ) > 0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知空间三点A( 2，－5，1 ), B( 2，－2，4 ), C( 1，－4，1 )． （1）求向量AB →与AC →的夹角；（2）若(AB →－kAC →)⊥(AB →＋kAC →)，求实数k 的值．19．(12分)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点． （1）证明：MN // B 1C ；（2）求A 1B 与平面A 1 B 1CD 所成角的大小．AB CA 1B 1C 1D 1DNM20．(12分)如图，四面体ABCD 中，平面DAC ⊥底面ABC ，AB =BC =AC =4，AD ＝CD ＝22，O 是AC 的中点，E 是BD 的中点． （1）证明：DO ⊥底面ABC ；（2）求二面角D -AE -C 的余弦值．21．(12分)已知抛物线22(0)y px p =>的经过点(3,23)M ． （1）求抛物线的方程；（2）过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．22．(12分)已知椭圆C : 22221x y a b +=的右焦点为F （1，0），离心率33e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点M ，使得119MA MB =-恒成立？若存在，求出点M 的坐标， 若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CACAABCBDCDB二、填空题 13.23 14. (1,2) 15. 5 16. 1(,1)3三、解答题17.解: 解不等式 x 2－x －6 > 0 得x ﹤－2或x > 3.∴ p ：A ={ x | x ﹤－2或x > 3} ………………………………2分 解不等式 ( x －a －1 ) ( x －a ＋1 ) > 0，得x ﹤a －1或x > a +1.∴ q ：B ={ x | x ﹤a －1或x > a +1 } ………………………………4分 ∵ p 是q 的充分不必要条件， ∴ p ⇒q 但q p ，所以A B ， …………………………………6分∴ 1213a a -≥-⎧⎨+<⎩ 或1213a a ->-⎧⎨+≤⎩， …………………………………8分 解得 12a -≤< 或 12a -<≤ ，于是 12a -≤≤.所以，实数a 的取值范围是[－1，2 ]. …………………10分 18.解：（1）由已知得：AB →＝（0，3，3），AC →＝（－1，1，0）， …………2分22031301cos ,2033110AB AC AB AC AB AC⨯⨯+⨯<>===++++， ………4分所以，向量AB →与AC →的夹角为60°． …………………………6分 （2）(AB →－kAC →)＝( k ，3－k ，3)，(AB →＋kAC →)＝(－k ，3＋k ，3)，……8分∵ (AB →－kAC →)⊥(AB →＋kAC →)，∴(AB →－kAC →)·(AB →＋kAC →)＝0， …………………10分 ∴ k ×(－k )＋(3－k )×(3＋k )＋3×3＝0， 解得 k ＝3或k ＝－3 ．∴ 实数k 的值是3或－3． …………………12分19.解：（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． …………1分 则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，(2,1,1)M ，(1,1,0)N ．∴ (1,0,1)MN =--，1(2,0,2)BC =--． …………3分 ∴ 12BC MN =，∴ 1//B C MN ， 即 1//MN B C ． …………5分（2）易得(2,0,0)A ，1(2,2,2)B ， ∴ (0,2,0)DC =，1(0,2,2)A B =-． ………6分设平面ADE 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则1110,0,n B C n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即220,20,x z y --=⎧⎨=⎩令1z =，则1,0x y =-=，所以(1,0,1)m =-． …………………9分 设A 1B 与平面A 1 B 1CD 所成角为θ ， 则111|||2|1sin |cos ,|2222A B n A B n A B nθ-=<>===． …………………11分∴ A1B 与平面A 1 B 1CD 所成角为30°． …………………12分 （本题解法不唯一，其它解法酌情给相应分值．） 20.（1）证明：∵ AD ＝CD ＝， O 是AC 的中点，∴ DO ⊥AC ．∵ 平面DAC ⊥底面ABC ，平面DAC ∩底面ABC ＝AC ， ∴ DO ⊥底面ABC ．………………………………4分（2）解：由条件易知DO ⊥BO ，BO ⊥AC ．OA ＝OC ＝OD ＝2， OB ＝23 如图，以点O 为坐标原点，OA 为x 轴， OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ，(0,23,0)B ，(2,0,0)C -，(0,0,2)D ，(0,3,1)E ，(2,3,1)AE =-，(2,0,2)AD =-，(4,0,0)AC =-． ……………6分设平面ADE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则0,0,n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即11111220,230,x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令11z =，则1131,3x y ==，所以3(1,,1)3n =． ……………8分 同理可得平面AEC 的一个法向量(0,1,3)m =-． ……………10分310(1)1373cos ,71110133m n m n m n⨯+⨯-+⨯<>===++++． 因为二面角D -AE -C 的平面角为锐角,所以二面角D -AE -C 的余弦值为77． ……12分 21.解：（1）把点(3,23)M 带入方程22y px =得2p =，所以，抛物线方程为24y x =． ……………………………4分 （2）抛物线方程24y x =得焦点坐标为F （1，0 ），若直线l 与x 轴垂直，易得A （1，2 ），B （1，－2 ），此时|AB |≠8． …6分 若直线l 不与x 轴垂直，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为(1)y k x =-．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消y 整理得：2222(24)0k x k x k -++=， …………8分xyz∴ 212222442k x x k k ++==+ ． …………10分 ∴ 1224||228AB x x p k=++=++=，解得21k =，即1k =±． …………11分 ∴直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+，即10x y --=或10x y +-=． …12分22.解：（1）∵ 1c =，3c e a ==， ∴a = ∴ 2222b a c =-=．∴ 椭圆方程为22132x y +=． ……………………………4分 （2）假设x 轴上存在点M (m ,0),使得119MA MB =-,①当直线l 的斜率为0时, (0)A ,(0)B ,则211(3,0)(3,0)39MA MB m m m =+-=-=-, 解得 43m =±． ……5分②当直线l 的斜率不存在时, (1,A ,(1,B , 则22323411(1,)(1,)(1)3339MA MB m m m =---=--=-, 解得 23m =,43m =． ………………………………6分 由①②可得43m =．下面证明43m =时, 119MA MB =-恒成立.直线l 斜率存在时,设直线方程为(1)y k x =-.由22(1)236y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消y 整理得: 2222(32)6360k x k x k +-+-=, ………8分2122632k x x k +=+,21223632k x x k -=+, 2221212121224(1)(1)[()1]32k y y k x x k x x x x k -=--=-++=+. ………10分11221212122222222244(,)(,)33416()39364616432332932961616113.32999MA MB x y x y x x x x y y k k k k k k k k =--=-+++--=-+++++--=+=-+=-+综上,x 轴上存在点4(,0)3M ，使得119MA MB =-恒成立. ………12分。
福建省漳州市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷A卷
福建省漳州市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（）A . 简单随机抽样B . 系统抽样C . 分层抽样D . 先从老年人中剔除一人，然后分层抽样2. （2分） (2017高一上·山东期中) 已知函数，则（）.A . 是奇函数，且在上是增函数B . 是偶函数，且在上是增函数C . 是奇函数，且在上是减函数D . 是偶函数，且在上是减函数3. （2分）(2019·上饶模拟) 已知等差数列的首项，前项和为，若，则（）A .B .C .D .4. （2分）已知向量，且，，，则一定共线的三点是（）A . A、C、DB . A、B、DC . A、B、CD . B、C、D5. （2分）在区域D：内随机取一个点，则此点到点A(1，2)的距离大于2的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·清远期末) 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1,A2,A3,A4右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流程图输出的结果是（）A . 7B . 8C . 9D . 108. （2分）某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分为（）A . 69B . 71C . 73D . 759. （2分）(2019·云南模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A . 57.2，3.6B . 57.2，56.4C . 62.8，63.6D . 62.8，3.611. （2分）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A .B .C .D .12. （2分）若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A .B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·南充期中) 已知两点，关于坐标平面xoy对称，则________.14. （1分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1）与B（0，1），P为圆C上动点，当|PA|2+|PB|2取最大值时点P坐标是________．15. （1分）(2020·合肥模拟) 己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则 ________.16. （1分）已知函数f（x）=|2x+1+ |在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·惠来期末) 已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若• =12，求k的值．18. （10分）某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润．（1）求y关于x的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．19. （10分）(2020·蚌埠模拟) 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且 .（1）求角A的大小；（2）求周长的最大值.20. （10分）某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：245683040605070（1）画出散点图；并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，求回归直线方程；（3）据此估计广告费用为10时，销售收入的值.（参考公式：，）．21. （10分） (2017高三上·福州开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22. （10分） (2019高一下·吉林月考) 已知的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 , , , 向量=（2，1），，且.（1）求角的大小；（2）若，试求面积的最大值及此时的形状.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、22-1、22-2、。
2019-2020学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校高二(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)
2019-2020学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校高二（上）期中数学试卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知曲线方程为221169x y +=，P 为曲线上任意一点，A ，B 为曲线的焦点，则( ) A ．||||16PA PB += B ．||||8PA PB += C ．||||16PA PB -= D ．||||8PA PB -=2．抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(0,)16D ．1(,0)163．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为1x ，2x ，中位数分别为1y ，2y ，则( )A ．12x x >，12y y >B ．12x x >，12y y =C ．12x x <，12y y =D ．12x x <，12y y <4．双曲线22143x y -=的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y =C ．y =D ．y = 5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是( ) A ．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B ．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C ．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D ．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定6．“0m n >>”是“方程221x y n m +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要7．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，如果126x x +=，那么||(AB = ) A ．10B ．9C ．8D ．68．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A ．恰有一个红球与恰有两个红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有个白球D ．至少有一个红球与都是红球9．过(2,1)A -的直线l 与抛物线24y x =相交于C ，D 两点，若A 为CD 中点，则直线l 的方程是( ) A ．230x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +=D ．350x y +-=10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：()l 取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE 剟的概率约为( )（ 2.236)≈A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.61811．已知双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )AB ．C ．3D ．512．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为( )A B 1+C ．43D ．2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为 ．14．P 为椭圆221259x y +=上一点，1F 、2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积为 ．15．过双曲线22221x y a b -=右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 16．以下四个关于圆锥曲线的命题：（1）直角坐标系内，到点(1,2)-和到直线2340x y +-=距离相等的点的轨迹是抛物线； （2）设A ，B 为两个定点，若||||2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线； （3）方程22420x x -+=的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； （4）若直线4mx ny +=和22:4O x y +=没有交点，则过点(,)P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题:(3)(2)0p x x -+<，命题0q >，若命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围．18．某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查．（Ⅰ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（Ⅱ）若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析； ①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校没有大学的概率．19．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为(1,0)F，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F倾斜角为60︒的直线与椭圆C交于M、N两点，求弦长||MN．20．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，(2，4]，⋯，(14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1~6月份的月用水费y（元)与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是ˆ233y x=+．若李某2017年1~7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．21．已知抛物线C的准线方程为14x=-．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若过点(,0)P t的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．22．如图，椭圆2222:(0)x y E l a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ，离心率e =与短轴的长度之和为10． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）在椭圆E 上任取点P （与A 、B 两点不重合），直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC OD 为定值．2019-2020学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知曲线方程为221169x y +=，P 为曲线上任意一点，A ，B 为曲线的焦点，则( ) A ．||||16PA PB += B ．||||8PA PB +=C ．||||16PA PB -=D ．||||8PA PB -=【解答】解：曲线方程为221169x y +=，P 为曲线上任意一点，A ，B 为曲线的焦点， 根据椭圆的定义的应用，||||28PA PB a +==． 故选：B ．2．抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(0,)16D ．1(,0)16【解答】解：抛物线24y x =的标准方程为 214x y =，18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上， 故焦点坐标为1(0,)16， 故选：C ．3．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为1x ，2x ，中位数分别为1y ，2y ，则( )A ．12x x >，12y y >B ．12x x >，12y y =C ．12x x <，12y y =D ．12x x <，12y y <【解答】解：由茎叶图知甲的最高分为27，最低分为13，则1141314212717.85x ++++==，中位数114y =；由茎叶图知乙的最高分为22，最低分为10，则2131014182215.45x ++++==，中位数214y =， 所以12x x >，12y y =． 故选：B ．4．双曲线22143x y -=的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y =C ．y =D ．y = 【解答】解：根据题意，双曲线22143x y -=的焦点在x 轴上，且2a ==，b =，则其渐近线方程y =； 故选：C ．5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是( ) A ．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B ．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C ．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D ．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定【解答】极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高． 平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否． 故选：B ．6．“0m n >>”是“方程221x y n m +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若0m n >>，则方程221x y n m +=表示焦点在y 轴上的椭圆； 反之，若方程221x y n m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则0m n >>， ∴ “0m n >>”是“方程221x y n m +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件． 故选：C ．7．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，如果126x x +=，那么||(AB = ) A ．10B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意，2p =，故抛物线的准线方程是1x =-， 抛物线24y x = 的焦点作直线交抛物线于1(A x ，12)(y B x ，2)y 两点 12||2AB x x ∴=++，又126x x +=12||28AB x x ∴∴=++=故选：C ．8．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A ．恰有一个红球与恰有两个红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有个白球D ．至少有一个红球与都是红球【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，在A 中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，故A 正确；在B 中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，故B 错误；在C 中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误； 在D 中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D 错误． 故选：A ．9．过(2,1)A -的直线l 与抛物线24y x =相交于C ，D 两点，若A 为CD 中点，则直线l 的方程是( ) A ．230x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +=D ．350x y +-=【解答】解：设点1(C x ，1)y 、2(D x ，2)y ，由于点(2,1)A -为线段CD 的中点，则12122212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以121242x x y y +=⎧⎨+=-⎩，将点C 、D 的坐标分别代入抛物线的方程得21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将上述两个等式相减得2212124()y y x x -=-，即121212()()4()y y y y x x -+=-，所以，12122()4()y y x x --=-，则直线l 的斜率为12122y y x x -=--， 因此，直线l 的方程为12(2)y x +=--，即230x y +-=． 故选：A ．10．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：()l 取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE 剟的概率约为( )2.236)≈A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.618【解答】解：由勾股定理可得：AC = 由图可知：1BC CD ==，1 1.236AD AE ==≈，2 1.2360.764BE ≈-=，则：0.764 1.236AF 剟， 由几何概型中的线段型，可得：使得BE AF AE 剟的概率约为1.2360.7640.2362-=，故选：A ．11．已知双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) AB．C ．3D ．5【解答】解：抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合249b ∴+= 25b ∴=∴双曲线的一条渐近线方程为y =20y -= ∴= 故选：A ．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为( ) AB1+ C ．43D ．2【解答】解：如图，1F A AB =，120F B F B =，1OA F B ∴⊥，则1:()aF B y x c b=+， 联立()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222(a c B b a -，22)abc b a -， 则4222222222222()()a c abc OB c b a b a =+=--， 整理得：223b a =，2223c a a ∴-=，即224a c =，∴224c a =，2ce a==．故选：D ．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为 n N ∀∈，22n n … ． 【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“n N ∀∈，22n n …”， 故答案为：“n N ∀∈，22n n …”14．P 为椭圆221259x y +=上一点，1F 、2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积为【解答】解：由椭圆221259x y +=方程可知，5a =，3b =，4c ∴= P 点在椭圆上，1F 、2F 为椭圆的左右焦点， 12||||210PF PF a ∴+==，12||28F F c ==在△12PF F 中，22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=2212121212(||||)2||||||2||||PF PF PF PF F F PF PF +--=2212121212102||||8362||||1cos602||||2||||2PF PF PF PF PF PF PF PF ---===︒=1212724||||2||||PF PF PF PF ∴-=，12||||12PF PF ∴=又在△12F PF 中，1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠∴12112sin 602PF F S=⨯︒=故答案为15．过双曲线22221x y a b -=右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率23ba<<，c a ===，∴e <<∴双曲线离心率的取值范围为．故答案为：．16．以下四个关于圆锥曲线的命题：（1）直角坐标系内，到点(1,2)-和到直线2340x y +-=距离相等的点的轨迹是抛物线； （2）设A ，B 为两个定点，若||||2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线； （3）方程22420x x -+=的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； （4）若直线4mx ny +=和22:4O x y +=没有交点，则过点(,)P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2． 其中真命题的序号为 （4） ．（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于（1），因为点(1,2)-在直线2340x y +-=上，∴到点(1,2)-和到直线2340x y +-=距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线，不是抛物线，故（1）错；对于（2），中当||||2||PA PB AB -=<时是双曲线的一支；当||||2||PA PB AB -=>时，没有轨迹图形；当2||AB =时，表示一条射线，∴（2）错；对于（3），方程22420x x -+=有两相等实根为1、不可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，故（3）错误；对于（4），由题意圆心(0,0)到直线4mx ny -=的距离2d r =>=，即224m n +<，点(,)m n 在以原点为圆心，2为半径的圆内，与椭圆22194x y +=的交点个数为2．故（4）正确． 故答案为：（4）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题:(3)(2)0p x x -+<，命题0q >，若命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围． 【解答】（本小题满分12分）解：当命题p 为真命题时：(3)(2)0x x -+<，即23x -<<；⋯（2分）当命题q 0>，即5x >；⋯（4分） 又p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，∴命题p 、q 一真一假，即p 真q 假或p 假q 真；⋯（6分）当p 真q 假时，则235x x -<<⎧⎨⎩…，23x ∴-<<，⋯（8分）当p 假q 真时，则235x x x -⎧⎨>⎩或剠，5x ∴>，⋯∴综上所述，实数x 的取值范围为(2-，3)(5⋃，)+∞．⋯18．某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查．（Ⅰ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（Ⅱ）若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析； ①列出所有可能抽取的结果； ②求抽取的2所学校没有大学的概率．【解答】解：（Ⅰ）学校总数为2114742++=，分层抽样的比例为16427÷=， 利用分层抽样得：应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为： 12137⨯=，11427⨯=，1717⨯=， ∴应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1所．（Ⅱ）①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为1a ，2a ，3a ， 2所中学分别记为1b ，2b ，1所大学记为c ， 则应抽取的2所学校的所有结果有15种，分别为：1{a ，2}a ，1{a ，3}a ，1{a ，1}b ，1{a ，2}b ，1{a ，}c ，2{a ，3}a ，2{a ，1}b ，2{a ，2}b ， 2{a ，}c ，3{a ，1}b ，3{a ，2}b ，3{a ，}c ，1{b ，2}b ，1{b ，}c ，2{b ，}c ．②设“抽取的2所学校没有大学”为事件A ，则A 包含的基本事件有10种， ∴抽取的2所学校没有大学的概率P （A ）102153==． 19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且椭圆上的点到点F 的最大距离为3，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F 倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，求弦长||MN 【解答】解：（Ⅰ）由题意得22213c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，所以2,1a b c ===，所以椭圆的标准方程是22143x y +=． （Ⅱ）由题意得，直线MN的方程为1)y x =-，方程联立221)143y x x y ⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩得到，2580x x -=，1280,5x x ==，1216|||5MN x x =-=． 所以弦长||MN 为：165． 20．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，(2，4]，⋯，(14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1~6月份的月用水费y （元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是ˆ233yx =+．若李某2017年1~7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．【解答】解：（Ⅰ）可估计全市居民用水价格的平均数为(10.0230.0450.0870.190.13110.08130.03150.02)27.96x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；由于前4组的频率之和为0.040.080.160.20.48+++=， 前5组的频率之和为0.040.080.160.20.260.74++++=， 所以中位数在第5组中；设中位数为t 吨，则有(8)0.130.02t -⨯=， 所以2813t =，即所求的中位数为2813t =吨； （Ⅱ） 设李某2017年1~6月份的月用水费y （元)与月份x 的对应点为(i x ，)(1i y i =，2，3，4，5，6)，它们的平均值分别为x ，y ， 则126216x x x x ++⋯+==，又点(,)x y 在直线ˆ233yx =+上，所以40y =， 因此126240y y y ++⋯+=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元． 21．已知抛物线C 的准线方程为14x =-．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ） 若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证t 为常数，并求出此常数．【解答】解：（Ⅰ）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程22y px =，(0)p >．求得12p =，⋯（2分） 故所求的抛物线C 的方程为：2y x =；⋯（4分）（Ⅱ）证明：依题意可设过P 的直线l 方程为：()x my t m R =+∈，⋯（6分） 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 由2x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+， 依题意可知△0>恒成立，且12y y t =-，⋯（8分） 原点O 落在以AB 为直径的圆上．令0OA OB =即2212121212()()0x x y y y y y y t t +=+=--=．⋯ 解得：1t =，0t =即t 为常数，∴原题得证．⋯（说明：直线l 方程也可设为：()y k x t =-，但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）22．如图，椭圆2222:(0)x y E l a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B，离心率e =与短轴的长度之和为10． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）在椭圆E 上任取点P （与A 、B 两点不重合），直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC OD 为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知c e a ==2210a b +=，解得3a =，2b =． 故椭圆E 的标准方程为22:194x y E += 证明（Ⅱ）：设0(P x ，0)y ，直线PA 交y 轴于点1(0,)C y ，直线PB 交y 轴于点2(0,)D y ．则2200194x y +=，即2020949y x =-． 易知OC 与OD 同向，故12OC OD y y =． 因为(3,0)A -，(3,0)B ， 所以得直线PA 的方程为00003y y x x y x --=---，令0x =，则01033y y x =+； 直线PB 的方程为为00003y y x x y x --=--，令0x =，则02033y y x =- 所以故2122949y OC OD y y x ===-，为定值．。
2019~2020学年上学期高二数学期中考试卷及答案解析(A卷)
绝密★启用前2019～2020学年上学期期中考试高二数学（A 卷）考试范围：人教A 版必修5；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a =4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒2．设数列{}n a 中11,2,3,n n a a a +==+则数列{}n a 的通项公式为( ) A.3n a n =B.31n a n =+C.31n a n =-D.31n a n =-3．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中正确的是（ ） A.11b a> B.22a b > C.a b ac bc > D.33a b >4．已知实数x ，y 满足1126x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =+的取值范围为（ ）A.[2,5]B.72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.7,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)5,+∞5．已知数列{}n a 是等比数列，若151,16,aa ==则3a 的值为（）A.4B.4或-4C.2D.2或-26．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A.[4,4]-B.(4,4)-C.(,4][4,)-∞-+∞D.(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 7．在ABC ∆中，2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．2B ．3C D 8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的面包的数量为（ ） A.B.C.D.9．已知函数()9411y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则+a b 等于（） A ．-3 B ．2C ．3D ．810．等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．－1B ．1C ．－2D ．－311．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为，旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（ ）（米/秒）。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_29
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B 错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；综上所述，当时，所求不等式的解集为或；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，由抛物线的定义，得，解得，所求抛物线的方程为.（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.②当直线的斜率不为0时，依题意，设直线：，设点，.点均在轴的上方，，，由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.联立直线的方程与抛物线的方程，即，消去并整理得.由，得（因为），且有，，，解得或，又，，：，直线的方程为.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.20.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，整理得，解得，又，，最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元.则由题意，知当时，恒有，整理得在时恒成立.，当且仅当，即时等号成立，，又，，的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.21.数列的前项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析;(3).【解析】【分析】，，又成等差数列，解得，当时，得到，代入化简，即可证得结果由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果【详解】（1）在中令，得即，①又②则由①②解得.（2）当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列，，即.（3）当恒成立时，即（）恒成立设（），当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是.【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果．22.圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；方法二：先考虑直线斜率为0情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.【详解】（Ⅰ）椭圆：（）过点，.①又椭圆离心率为，，.②联立①②得，解得，椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：当直线斜率不存在时，则，；当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，.联立，消去并整理得.由于，，，，，.综上所述，.方法二：当直线斜率为0时，，则；当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，，联立，消去并整理得.由于，，，.，综上所述，.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的综合应用以及椭圆中的定值问题，考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；。
福建省漳州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
福建省漳州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A . a2＜b2B . ab＜b2C .D . |a|﹣|b|=|a﹣b|2. （2分） (2015九上·沂水期末) 若且命题，命题q:，则p是q 的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）已知数列的前n项和，第k项满足，则k=（）A . 9B . 8C . 7D . 64. （2分）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（）A .B .C .D . 或5. （2分） (2017高一下·荔湾期末) 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A . （1，2）B . （2，+∞）C . [3，+∞）D . （3，+∞）6. （2分） (2019高一下·吉林月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·银川期中) f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0恒成立，则a的取值范围是（）A . a≤0B . a＜﹣4C . ﹣4＜a＜0D . ﹣4＜a≤08. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D .9. （2分）在中，角是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件10. （2分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列，则是这个数列的（）A . 第六项B . 第七项C . 第八项D . 第九项11. （2分）(2018·河北模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A .B .C .D .12. （2分）在正项等比数列{an}中，a21+a22+……a2n=,则a1+a2+…an的值为（）A . 2nB . 2n-1C . 2n+1D . 2n+1-2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·吉林期中) 已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为________．14. （1分）(2013·浙江理) △ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=________．15. （1分） (2016高一下·石门期末) 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则• 的取值范围是________．16. （1分）(2013·安徽理) 如图，互不相同的点A1 ， A2 ，…，An ，…和B1 ， B2 ，…，Bn ，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an ，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共50分)17. （5分）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a≤0}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．18. （10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：（1） bcosC+ccosB=a（2） = ．19. （10分） (2017高二下·湘东期末) 已知数列{an}的前n项的和为Sn ，且Sn+ an=1（n∈N*）（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=﹣log3（1﹣Sn），设Cn= ，求数列{Cn}的前n项的和Tn．20. （10分） (2016高一下·安徽期中) 在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B ﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．21. （5分） (2017高三上·济宁期末) 2016年双十一期间，某电子产品销售商促销某种电子产品，该产品的成本为2元/件，通过市场分析，双十一期间该电子产品销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元）之间满足关系式：y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），且已知当销售价格为3元/件时，该电子产品销售量为89千件．（Ⅰ）求实数a的值及双十一期间销售该电子产品获得的总利润L（x）；（Ⅱ）销售价格x为多少时，所获得的总利润L（x）最大？并求出总利润L（x）的最大值．22. （10分） (2016高二上·岳阳期中) 数列{bn}（bn＞0）的首项为1，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+ （n≥2）．（1）求{bn}的通项公式；（2）若数列{ }前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
五校2019-2020学年高二数学上学期第二次联考试题文(含解析)
五校2019-2020学年高二数学上学期第二次联考试题文（含解析）第I卷（选择题)一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.只有一个选项是符合题目要求的)1.已知命题p为假命题，命题q为真命题．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，假命题是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】由命题p为假命题，命题q为真命题，根据复合命题真假的判断方法即可判断.【详解】因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以：￢p 为真，￢q为假，由复合命题真假含义得：①p∧q为假，②p∨q为真，③p∧（￢q）为假，④（￢p）∨q为真.故假命题为①③，故选：A．【点睛】本题考查复合命题的真假判断，解题时应该认真审题，弄懂概念，属于基础题．2.设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C【解析】【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，△ABC中，由正弦定理得＝2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选：C．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，直线的斜率的求法，正弦定理的应用，属于基础题．3.下列命题中错误的个数是( )①“”是“”的必要不充分条件.②命题“若，则或”的否命题是“若，则或”.③当时，命题“若，则”的逆否命题为真命题.④命题“，”否定是“，”.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分别判断已知中四个命题的真假，最后综合错误命题的个数，可得答案．【详解】在①中，由，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故①正确；在②中，命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，故②错误；在③中，当时，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故③正确；在④中，命题“，”的否定是“，”，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，复合命题真假判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．4.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．【详解】已知曲线在点处的切线方程为，∴，切线的斜率k＝-2，即，则.故选：A【点睛】本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义，以及切线与曲线之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5.已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（）A. B. C. 或 D. 0或【答案】A【解析】【分析】由题意利用直线的截距的定义求得m的值，再利用两条平行线之间的距离公式，计算即可．【详解】直线在轴、轴上的截距相等，令，得，令，得，所以，解得，故直线，即，化简为，则直线与直线间的距离为故选：A．【点睛】本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题．6.已知双曲线与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P（x0，y0），利用点差法能求出的值．【详解】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P （x0，y0）．由题意得，两式相减得m（）-n（）＝0．又x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，即，又∵直线，∴＝1，化简为mx0-ny0＝0，∵＝＝．∴．故选：D．【点睛】本题考查实数值比值的求法，直线的斜率和点差法的合理运用，属于中档题，．7.如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可【详解】由三视图可知该几何体是三棱锥（放在棱长为2的正方体中），则侧面是边长为的等边三角形，面积为；侧面和都是直角三角形，面积均为，因此，此几何体的侧面积为，故选B【点睛】本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.8.已知命题，命题或，若的充分不必要条件是非，则实数的取值范围是（）A. 或B.C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】先求非：，由题意得非，非，解不等式即可.【详解】已知命题或，则非：，因为的充分不必要条件是非，所以非，非，得，解得.故选：B【点睛】本题考查了命题之间的关系、充分不必要条件和命题否定的应用，考查了推理能力，属于基础题．9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（）A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸【答案】A【解析】【分析】作出圆台的轴截面，根据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，根据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如图所示：由题意知，寸，寸，寸，寸即是的中点为梯形的中位线寸即积水的上底面半径为寸盆中积水的体积为（立方寸）又盆口的面积为（平方寸）平均降雨量是寸，即平均降雨量是寸本题正确选项：【点睛】本题考查圆台体积的有关计算，关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用.10.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的关系为( )A. |B.C. D. 与无关【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据三角形的中位线，结合双曲线的定义、直线和圆相切列方程，由此求出正确选项.【详解】如图所示，设是双曲线的右焦点，连接.∵点分别为线段的中点．由三角形的中位线定理可得：，，连接，则，在中，，.于是.故选C．【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将三棱锥S﹣EFG补充成长方体，则对角线长分别为，，设长方体的长宽高分别为x，y，z，推导出x2+y2+z2＝28+，由基本不等式得，能求出三棱锥S﹣EFG的外接球面积的最小值．【详解】由题意得三棱锥S﹣EFG的对棱分别相等，将三棱锥S ﹣EFG补充成长方体，则对角线长分别为，，设长方体的长宽高分别为x，y，z，则x2+y2＝4m，y2+z2＝56，x2+z2＝4n，∴x2+y2+z2＝28+，又∵，，且＝9，当且仅当取等号，∴x2+y2+z2=28+，∴三棱锥S﹣EFG的外接球面积的最小值为：．故选：B．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体半径，并灵活利用基本不等式求出最小值，考查计算能力，属于中档题．12.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直线恒过定点（1，1），即为圆心，为直径，由，可得AB的中点为（1，1），设A（x1，y1），B （x2，y2），运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．【详解】直线，即为，可得直线恒过定点（1，1），圆的圆心为（1，1），半径为2，且、为直径的端点，由，可得AB的中点为（1，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减可得，由x1+x2＝2．y1+y2＝2，可得k＝＝﹣，由，即有≤≤1，则椭圆的离心率e＝＝∈（0，]．故选：C．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第II卷（非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数可导且，则 _________.【答案】1【解析】【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．【详解】已知函数可导且，则＝＝1.故答案为：1．【点睛】本题考查了导数的运算定义，属于基础题．14.在三棱锥P-ABC中，PB=BC,PA=AC=4,PC=2，若过的平面将三棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面所成角的余弦值为____________.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，取PC中点D，由已知可得PC⊥平面ABD，可得∠PAD为棱PA与平面α所成角，然后求解三角形得答案．【详解】如图所示，∵过AB的平面α将三棱锥P﹣ABC分为体积相等的两部分，∴P到平面ABD与C到平面ABD的距离相等，取PC的中点D，连接AD，BD，由PB＝BC，PA＝AC，得BD⊥PC，AD⊥PC，AD BD=D，可得PC⊥面ABD，∴∠PAD为棱PA与平面α所成角，在Rt△PDA中，PA＝4，PD＝，∴．∴cos∠PAD＝，即棱PA与平面α所成角的余弦值为．故答案为：【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．15.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B 两点，若，O为坐标原点，则________.【答案】【解析】【分析】根据条件画出示意图，设|AF|＝x，则|BF|＝3x，利用，求出x＝，进而求出比值．【详解】过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，），准线：y＝﹣，根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x，由图可知：，即，解得x＝，则．故答案为：【点睛】本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．16.已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________【答案】【解析】连接,由为中位线，可得 ,,圆，可得且，由椭圆的定义可得，可得，又，可得，即有，即为，化为，即，，即有，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的直线方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求函数在点处的切线方程；（2）设出切点，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入，解方程可得切点，进而得到切线的方程．【详解】（1）由，切线方程的，则曲线在点处的切线方程为．（2）设切点的坐标为，则所求切线方程为代入点的坐标得，解得或当时，所求直线方程为，当时，所求直线方程为，所以过点且与曲线相切的直线方程为或．【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程，注意在点与过点的区别，属于基础题.18.定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比”.（1）设圆求过点P的直线关于圆的距离比的直线方程；（2）若圆与轴相切于点A且直线关于圆C的距离比求出圆C的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）分析直线斜率不存在时不合题意；设过点P（﹣1，0）的直线方程为y＝k（x+1），由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由“直线关于圆的距离比”求解，则直线方程可求；（2）设圆的方程为，由题意可得关于a，b，r 的方程，联立方程组求解a，b，r的值，则圆的方程可求．【详解】（1）当直线的斜率不存在时，则直线方程为x＝﹣1，圆心坐标为（2，0），半径为1，不满足圆心到直线的距离与圆的半径之比为，则所求直线的斜率存在.设过点的直线方程为，由圆的圆心为，半径为，由题意可得，解得，所以所求直线的方程为或（2）设圆的方程为，由题意可得……①，，……②，……③由①②③联立方程组，可得或，所以圆C的方程为或.【点睛】本题考查新定义，圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．19.在如图所示的四棱锥中，四边形为菱形，且，，M为中点．（1）求证：平面平面；（2）求点M到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题意得DM⊥AD，DM⊥PA，且，可得DM⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面ABCD；（2）根据VM﹣PBD＝VP﹣BDM即可求出M到平面PBD的距离．【详解】（1）∵四边形为菱形，且，∴是等边三角形，又M是的中点，∴，又，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）取的中点H，连接，∵，∴，且，由（1）可知平面平面，平面平面，∴平面，故，∴，又，∴，设M到平面的距离为h，则．又，∴，解得．∴点M到平面的距离为．【点睛】本题考查了面面垂直判定定理应用，等体积转化，三棱锥体积的计算，属于中档题．20.在多面体中, 平面,,四边形是边长为的菱形.（1）证明: ；（2）线段上是否存在点,使平面,若存在,求的值；若不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）证明线线垂直，需要通过线面垂直转化．即想要证明，需要证明BD⊥平面ACF；而证明线面垂直，需要证明BD⊥AF，BD⊥AC，根据条件可知易证．（2）存在性证明，可先假设存在，再去证明假设的正确性．利用相似，可以得到BM与BD的关系，根据平行和EC、DC的值可以求出MN=3，从而证明出为平行四边形，最后得到平面的结论．详解：(1)证明:连接,由平面,得平面,又平面所以,由四边形是菱形,得,又,平面所以平面，因为平面,所以.(2)解:存在这样的点，且.证明如下:连接交于,过作交于,连接.因为,且，所以.因为所以,即.因为平面,,所以,所以.因为,,所以.于是且,所以四边形为平行四边形，于是,即，又平面,平面,所以平面.点睛：立体几何中证明线面平行或垂直是高考的重点，主要是通过分析要得出证明的结论与所给条件的关系，综合观察分析是否需要做辅助线来辅助判定结果．常见辅助线的做法有以下几种：(1)连接平行四边形的对角线，同时得到对角线与对角线交点为中点；(2)连接两个中点，形成中位线，用于平行或垂直的证明；(3)依据等腰三角形三线合一，做出垂直．21.已两动圆和，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴交点为，且曲线上异于点的相异两点、满足.(1)求曲线的方程；(2)证明直线恒经过一定点，并求出此定点坐标.【答案】（1）；（2）直线恒过定点．【解析】【分析】（1）设两动圆的公共点为，则有，运用椭圆的定义，即可得到，，，进而得到的轨迹方程；（2），设，，，，根据直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点；【详解】解：（1）设两动圆公共点为，则有．由椭圆的定义可知的轨迹是以、为焦点椭圆，且．，所以曲线的方程是：．（2）证明：由题意可知：，设，，，，当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：，过定点；当的斜率存在时，设直线，联立方程组：，把②代入①有：，③，④，因为，所以有即，，把③④代入整理：，（有公因式继续化简得，或（舍去，综上，直线恒过定点．【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义、方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和直线恒过定点的求法，以及函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．22.已知抛物线的焦点为为抛物线上位于第一象限内的点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点．（1）若点的横坐标为，且与双曲线的实轴长相等，求抛物线的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为（不同于点），直线交轴于点．①求证：点的坐标为；②若，求点到直线的距离的取值范围．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）由题意得，故，于是可得抛物线方程．（2）①设直线的方程为，代入抛物线方程后得到关于的二次方程，然后结合根与系数的关系及三点共线并由向量的共线可证得结论成立；②由可得为等腰直角三角形，所以，整理可得，两边平方后结合根与系数的关系得到，且．再由题意得到，令，可得，最后构造函数可得所求范围．【详解】（1）由题意，知，∵与双曲线的实轴长相等，∴，解得，∴抛物线的方程为．（2）①由题意，可设直线的方程为，由消去整理得，∵，∴．设，则，由题意得，设点坐标为，则，由题意知，∴，即．又，∴，显然，∴，∴点的坐标为．②由题意，为等腰直角三角形，∴，即，∴，∴，即，∴，且，又，所以．又点到直线的距离．令，则，且，∴．设，则在上为减函数，∴，即，∴取值范围为．【点睛】本题难度较大，解题时由于涉及到大量的计算，所以解题中要注意“设而不求”、“整体代换”和运用抛物线方程进行转化等方法的合理运用．另外，在求解范围问题时首先要得到所求量关于某一参数的表达式，然后再根据表达式的特点选择函数知识或不等式进行求解，属于综合题．五校2019-2020学年高二数学上学期第二次联考试题文（含解析）第I卷（选择题)一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.只有一个选项是符合题目要求的)1.已知命题p为假命题，命题q为真命题．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，假命题是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】由命题p为假命题，命题q为真命题，根据复合命题真假的判断方法即可判断.【详解】因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以：￢p为真，￢q为假，由复合命题真假含义得：①p∧q为假，②p∨q为真，③p∧（￢q）为假，④（￢p）∨q为真.故假命题为①③，故选：A．【点睛】本题考查复合命题的真假判断，解题时应该认真审题，弄懂概念，属于基础题．2.设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C【解析】【分析】先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，△ABC中，由正弦定理得＝2R，R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于，故两直线垂直，故选：C．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，直线的斜率的求法，正弦定理的应用，属于基础题．3.下列命题中错误的个数是( )①“”是“”的必要不充分条件.②命题“若，则或”的否命题是“若，则或”.③当时，命题“若，则”的逆否命题为真命题.④命题“，”否定是“，”.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分别判断已知中四个命题的真假，最后综合错误命题的个数，可得答案．【详解】在①中，由，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故①正确；在②中，命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，故②错误；在③中，当时，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故③正确；在④中，命题“，”的否定是“，”，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的判断，复合命题真假判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．4.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．【详解】已知曲线在点处的切线方程为，∴，切线的斜率k＝-2，即，则.故选：A【点睛】本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义，以及切线与曲线之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5.已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（）A. B. C. 或 D. 0或【答案】A【解析】【分析】由题意利用直线的截距的定义求得m的值，再利用两条平行线之间的距离公式，计算即可．【详解】直线在轴、轴上的截距相等，令，得，令，得，所以，解得，故直线，即，化简为，则直线与直线间的距离为故选：A．【点睛】本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题．6.已知双曲线与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P（x0，y0），利用点差法能求出的值．【详解】设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点P（x0，y0）．由题意得，两式相减得m（）-n（）＝0．又x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，即，又∵直线，∴＝1，化简为mx0-ny0＝0，∵＝＝．∴．故选：D．【点睛】本题考查实数值比值的求法，直线的斜率和点差法的合理运用，属于中档题，．7.如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可【详解】由三视图可知该几何体是三棱锥（放在棱长为2的正方体中），则侧面是边长为的等边三角形，面积为；侧面和都是直角三角形，面积均为，因此，此几何体的侧面积为，故选B【点睛】本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.8.已知命题，命题或，若的充分不必要条件是非，则实数的取值范围是（）A. 或B.C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】先求非：，由题意得非，非，解不等式即可.【详解】已知命题或，则非：，因为的充分不必要条件是非，所以非，非，得，解得.故选：B【点睛】本题考查了命题之间的关系、充分不必要条件和命题否定的应用，考查了推理能力，属于基础题．9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（）A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸【答案】A【解析】【分析】作出圆台的轴截面，根据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，根据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如图所示：由题意知，寸，寸，寸，寸即是的中点为梯形的中位线寸即积水的上底面半径为寸盆中积水的体积为（立方寸）又盆口的面积为（平方寸）平均降雨量是寸，即平均降雨量是寸本题正确选项：【点睛】本题考查圆台体积的有关计算，关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用.10.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的关系为( )A. |B.C. D. 与无关【答案】C【解析】【分析】画出图像，根据三角形的中位线，结合双曲线的定义、直线和圆相切列方程，由此求出正确选项.【详解】如图所示，设是双曲线的右焦点，连接.∵点分别为线段的中点．由三角形的中位线定理可得：，，连接，则，在中，，.于是.故选C．【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将三棱锥S﹣EFG补充成长方体，则对角线长分别为，，设长方体的长宽高分别为x，y，z，推导出x2+y2+z2＝28+，由基本不等式得，能求出三棱锥S﹣EFG的外接球面积的最小值．【详解】由题意得三棱锥S﹣EFG的对棱分别相等，将三棱锥S﹣EFG补充成长方体，则对角线长分别为，，设长方体的长宽高分别为x，y，z，则x2+y2＝4m，y2+z2＝56，x2+z2＝4n，∴x2+y2+z2＝28+，又∵，，且＝9，当且仅当取等号，∴x2+y2+z2=28+，∴三棱锥S﹣EFG的外接球面积的最小值为：．故选：B．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体半径，并灵活利用基本不等式求出最小值，考查计算能力，属于中档题．12.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直线恒过定点（1，1），即为圆心，为直径，由，可得AB的中点为（1，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．【详解】直线，即为，可得直线恒过定点（1，1），圆的圆心为（1，1），半径为2，且、为直径的端点，由，可得AB的中点为（1，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减可得，由x1+x2＝2．y1+y2＝2，可得k＝＝﹣，由，即有≤≤1，则椭圆的离心率e＝＝∈（0，]．故选：C．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第II卷（非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数可导且，则 _________.【答案】1【解析】【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．【详解】已知函数可导且，则＝＝1.故答案为：1．【点睛】本题考查了导数的运算定义，属于基础题．14.在三棱锥P-ABC中，PB=BC,PA=AC=4,PC=2，若过的平面将三棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面所成角的余弦值为____________.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，取PC中点D，由已知可得PC⊥平面ABD，可得∠PAD为棱PA与平面α所成角，然后求解三角形得答案．【详解】如图所示，∵过AB的平面α将三棱锥P﹣ABC分为体积相等的两部分，∴P到平面ABD与C到平面ABD的距离相等，取PC的中点D，连接AD，BD，由PB＝BC，PA＝AC，得BD⊥PC，AD⊥PC，AD BD=D，可得PC⊥面ABD，∴∠PAD为棱PA与平面α所成角，。