湖北省襄阳四中2014年5月高三冲刺模拟理科数学试题及答案

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数学_2014年湖北省某校高考数学模拟试卷(二)(理科)(含答案)

2014年湖北省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i 为虚数单位，则复数2i 1−i等于（）A −1+iB 1−iC 2+2iD 1+i2. 设集合A ={x|x(x +1)>0}，B ={x|x ≥0}，则A ∩B =( ) A [0, +∞) B (0, +∞) C R D ⌀3. 定义式子运算为|a 1a 2a 3a 4|=a 1a 4−a 2a 3将函数f(x)=|√31 sinxcosx |的图象向左平移n(n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（） A π6 B π3 C 5π6 D 2π34. 已知点A(−1, 1)，B(2, y)，向量a →=(1, 2)，若AB → // a →，则实数y 的值为（） A 5 B 6 C 7 D 85. 设实数x ，y 满足条件{4x −y −10≤0,x −2y +8≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为12，则2a +3b 的最小值为（） A 256 B 83 C 113 D 46. 某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率=( ) A 14B 15C 120D11007. 如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中真命题的个数是（） A 3 B 2 C 1 D 0 8. 已知函数f(x)＝e |x|+x 2，（e 为自然对数的底数），且f(3a −2)>f(a −1)，则实数a 的取值范围是（）A (−∞,12)∪(34,+∞) B (12,+∞) C (−∞,12) D (0,12)∪(34,+∞)9. P 是双曲线x 29−y 216=1左准线上一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，PF 2与双曲线右支交于点Q ，且PQ →=3QF 2→，则|QF 1→|的值为（）A 165B 4 C10225D 51610. 定义在R 上的函数f(x)满足f(0)=0，f(x)+f(1−x)=1，f(x3)=12f(x)，且当0≤x 1<x 2≤1时，f(x 1)≤f(x 2)，则f(12014)的值为（） A1256B1128C 164D 132二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11~14题）11. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km/ℎ是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40, 50),[50, 60),[60, 70),[70, 80]分组，绘制成如图所示频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有________ 辆．12. 阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为________．13. 若不等式|a −1|≥x +2y +2z ，对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x 、y 、z 恒成立，则实数a 的取值范围是________．14. 如图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，62的“分裂”中最大的数是________；20133的“分裂”中最大的数是________．（二）、选考题（15~16题）【几何证明选讲】15. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A，O之间），EF⊥BC，垂足为F．若，则AB=6，CF⋅CB=5，则AE=________．【坐标系与参数方程】16. 已知曲C的极坐标方程ρ＝2sinθ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值________．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数f(x)=[2sin(x+π3)+sinx]cosx−√3sin2x，x∈R（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[0,π4]上的最大值和最小值．18. 设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点(a n+1, S n)在直线2x+y−2=0上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n2，求数列{b n}的前n项和．19. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB // CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB．(Ⅰ)求证：AB⊥DE；(Ⅱ)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(Ⅲ)线段EA上是否存在点F，使EC // 平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．20. 中国篮球职业联赛(CBA)的总决赛采用七局四胜制，当两支实力水平相当的球队进入总决赛时，根据以往经验，第一场比赛中组织者可获票房收入3a万元，以后每场比赛票房收入比上一场增加a万元．当两队决出胜负后，求：（1）组织者至少可以获得多少票房收入？（2）决出胜负所需比赛场次的均值．21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(1, √32)，且离心率e=√32．（1）求椭圆C的方程；（2）过点B(−1, 0)能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22. 设函数f(x)＝x2+bln(x+1)．(Ⅰ)若对定义域内的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；(Ⅱ)若函数f(x)的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；(Ⅲ)若b＝−1，证明对任意的正整数n，不等式∑n k=1f(1k )<1+123+133+⋯+1n3成立．2014年湖北省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）答案1. A2. B3. C4. C5. A6. C7. A8. A9. D10. B11. 18012. 513. a≥4或a≤−214. 11,20132+201215. 116. ：17. 解：因为f(x)=[2sin(x+π3)+sinx]cosx−√3sin2x=[2(sinxcos π3+sinπ3cosx)+sinx]cosx−√3sin2x=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)于是（1）函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．（2）因为x∈[0,π4]∴ π3≤2x+π3≤5π6∴ 12≤sin(2x+π3)≤1即：1≤y≤2∴ f(x)max=2，f(x)min=118. 解：（1）：(I)∵ 点(a n+1, S n)在直线2x+y−2=0上，∴ 2a n+1+S n−2=0．①当n≥2时，2a n+s n−1−2=0．②①─②得2a n+1−2a n+a n=0，即a n+1a n =12(n≥2)，把n=1和a1=1代入①，可得a2=12，也满足上式，∴ {a n }是首项为1，公比为12的等比数列，则a n =(12)n−1，（2）设数列{b n }的前n 项和是T n ，由（1）得，b n =na n 2=n(12)2(n−1)=n(14)n−1，∴ T n =1+2×14+3×142+...+n(14)n−1 ①，则14T n =14+2×142+3×143+...+n(14)n ②， ①-②得，34T n =1+14+142+143+...+14n−1−n(14)n=1−14n 1−14−n(14)n =43(1−14n )−n(14)n ，则T n =1−4n+33⋅4n．19. （1）证明：取AB 中点O ，连接EO ，DO ．因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB ．因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD ．因为EO ∩OD ＝O 所以AB ⊥平面EOD ．因为ED ⊂平面EOD 所以AB ⊥ED ．（2）因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且 EO ⊥AB ，平面ABE ∩平面ABCD ＝AB 所以EO ⊥平面ABCD ，因为OD ⊂平面ABCD ，所以EO ⊥OD ．由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．因为△EAB 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ，设OB ＝1，所以O(0, 0, 0)，A(−1, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，E(0, 0, 1)．所以EC →=(1,1,−1)，平面ABE 的一个法向量为OD →=(0,1,0)．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以 sinθ=|cos⟨EC →,OD →>|=|EC →⋅OD →||EC →||OD →|=√33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为√33． (Ⅲ)存在点F ，且EFEA =13时，有EC // 平面FBD ．证明如下：由 EF →=13EA →=(−13,0,−13)，F(−13,0,23)，所以FB →=(43,0,−23)．设平面FBD 的法向量为v →=(a, b, c)，则有{v →⋅BD →=0v →⋅FB →=0所以{−a +b =043a −23c =0取a ＝1，得v →=(1, 1, 2)．因为EC →⋅v →=(1, 1, −1)⋅(1, 1, 2)＝0，且EC ⊄平面FBD ，所以EC // 平面FBD ．即点F 满足EFEA =13时，有EC // 平面FBD ．20. 解：（1）根据题意，采用七局四胜制，分出胜败至少要4局，则此时组织者可以获得3a +(3a +a)+(3a +2a)+(3a +3a)=18a 万元，即组织者至少可以获得18a 万元的票房收入；（2）根据题意，两支球队的实力水平相当的球队，设两队为甲队、乙队，且甲队、乙队每局取胜的概率为12；设决出胜负所需比赛场次的值为ξ，则ξ可取的值为4、5、6、7，ξ=4，即4局分出胜负，包括甲连胜4局与乙连胜4局两种情况，则P(ξ=4)=2×(12)4=18； ξ=5，即5局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，甲取胜的概率为C 43×(12)4×12=18，同理乙取胜的概率为18，则P(ξ=5)=2×18=14，ξ=6，即6局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，甲取胜的概率为C 53×(12)5×12=532，同理乙取胜的概率为532，则P(ξ=6)=2×532=516，ξ=7，即7局分出胜负，包括甲取胜与乙取胜两种情况，甲取胜的概率为C 63×(12)6×12=532，同理乙取胜的概率为532，则P(ξ=7)=2×532=516，决出胜负所需比赛场次的均值为4×18+5×14+6×516+7×516=9316；故决出胜负所需比赛场次的均值为9316． 21. 解：（1）由已知e =ca =√32，即c 2=34a 2，b 2=a 2−c 2=14a 2，∴ x 2a 2+4y 2a 2=1∵ 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点A(1, √32)，∴1a2+124a 2=1∴ a 2=2，∴ b 2=1， ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）因为直线l 经过椭圆内的点B(−1, 0)，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M ，N ．当直线l 的斜率不存在时，其方程是：x =−1，代入x24+y 2=1得y =±√32，可知M(−1, √32)，N(−1, −√32) ∴ 以MN 为直径的圆不经过坐标原点O当直线l 的斜率存在时，设方程是y =k(x +1)，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2) 由{y =k(x +1)x 24+y 2=1，可得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0 ∴ x 1+x 2=−8k 21+4k2，x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2，因为以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，所以OM →⋅ON →=0．可得x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k(x 1+1)⋅k(x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2=0． ∴ (1+k 2)×4k 2−41+4k 2+k 2×−8k 21+4k 2+k 2=0．∴ k =±2综上所述，过点B(−1, 0)能作出直线l ，使l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，方程为y =2x +2或y =−2x −2． 22. （1）由x +1>0，得x >−1． ∴ f(x)的定义域为(−1, +∞)．因为对x ∈(−1, +∞)，都有f(x)≥f(1)， ∴ f(1)是函数f(x)的最小值，故有f′(1)＝0． f ′(x)=2x +bx+1，∴ 2+b2=0，解得b ＝−4．经检验，b ＝−4时，f(x)在(−1, 1)上单调减，在(1, +∞)上单调增． f(1)为最小值．故得证．（2）∵ f ′(x)=2x +bx+1=2x 2+2x+bx+1，又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴ f′(x)≥0或f′(x)≤0在(_1, +∞)上恒成立．若f′(x)≥0，则2x +bx+1≥0在(−1, +∞)上恒成立，即b ≥−2x 2−2x ＝−2(x +12)2+12恒成立，由此得b ≥12；若f′(x)≤0，则2x +bx+1≤0在(−1, +∞)上恒成立，即b ≤−2x 2−2x ＝−2(x +12)2+12恒成立．因−2(x +12)2+12在(−1, +∞)上没有最小值，∴ 不存在实数b 使f′(x)≤0恒成立．综上所述，实数b 的取值范围是[12,+∞)． (Ⅲ)当b ＝−1时，函数f(x)＝x 2−ln(x +1)．令ℎ(x)＝f(x)−x 3＝−x 3+x 2−ln(x +1)，则ℎ(x)=−3x 2+2x −1x+1=−3x 3+(x−1)2x+1．当x ∈(0, +∞)时，ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减．又ℎ(0)＝0，∴ 当x ∈[0, +∞)时，恒有ℎ(x)<ℎ(0)＝0，即x 2−ln(x +1)<x 3恒成立．故当x ∈(0, +∞)时，有f(x)<x 3． ∵ k ∈N ∗，∴ 1k ∈(0,+∞)．取x =1k ，则有f(1k )<1k 3． ∴ ∑ n k=1f(1k )<1+123+133+⋯+1n 3．所以结论成立．。

湖北省襄阳市第四中学2014届高三收心考试数学(理)试题及答案

一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}|,1||{},1,0,1{A a a x x B A ∈-==-=，则B A 中的元素的个数为（ ▲ ） A.2 B.4 C.6 D.8 2.设a 是实数，若复数112a ii -+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则a 的值为（ ▲ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23.将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ▲ ） A. 12B. 24C. 36D. 724.已知命题:(,0),34x x p x ∃∈-∞<；命题:(0,),tan 2q x x xπ∀∈>则下列命题中真命题是（ ▲ ）A ．p q ∧ B.()p q ∨⌝ C.()p q ∧⌝ D.()p q ⌝∧5.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是（ ▲ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6. 等差数列{}n a 中564a a +=，则310122log (2222)a a aa ⋅⋅⋅⋅=…（ ▲ ）A. 10B. 20C. 40D. 22log 5+7.若在直线l 上存在不同的三点A 、B 、C ，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（点O 不在直线l 上），则此方程的解集为（ ▲ ）A ．φB ．{一1，0}C ．{－1}D ． ⎪⎪⎩⎭8.已知双曲线2222100(,)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点， F 是右焦点，0(,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点12(,)i P i =，使得1212(,)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ▲ ）A ．)+∞ B. 12(,)+∞ C. 112(,) D. 12)9.在区间[0，2]上随机取两个数x 、y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ▲ ）CA.1ln 22- B. 32ln 24- C. 1ln 22+ D. 12ln 22+ 10.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（ ▲ ） A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11二．填空题:本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必做题（11~14题） 11.已知611e n dx x =⎰，那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为__▲__. 12.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则函数y x z 24=的最大值为 ▲ ．13．若一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ▲ ． 14．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为__▲__.（写出一个即可）（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是__▲__.(二）选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.（《几何证明选讲》选做题）如图：直角三角形ABC 中，∠B ＝90 o ，AB ＝4，以BC为直径的圆交边AC 于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为．16. (《坐标系与参数方程选讲》选做题)已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+则点7(2,)4A π到这条直线的距离为．三．解答题:(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17（本小题满分12分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点. （1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值; （2）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值. 18（本小题满分12分）O车速70 75 80 85 90 95 1000.01 0.02 0.040.06 0.05 频率组距我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h ）分成六段： [70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，统计后得到如图的频率分布直方图．（1）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值.（2）从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，求车速在[80,85)，[85,90)内都有车辆的概率.（3）若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望.19(本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD 中，090=∠=∠B A ，A D = A B = 2， B C = 3，E ，F 分别是AD,BC 上的两点，且AE =BF ＝1，G 为AB 中点,将四边形ABCD 沿EF 折起到(如图2)所示的位置，使得EG 丄GC ，连接 A D 、B C 、AC 得(图2)所示六面体.（1）求证：EG 丄平面CFG; （2）求二面角A —CD-E 的余弦值. 20(本小題满分12分）已知数列{},()n a n N ∈满足11a =，且对任意非负整数,()m n m n ≥均有：2211()2m n m n mn a a m n a a +-++--=+. （1）求02,a a ；（2）求证：数列*1{}()m m a a m N +-∈是等差数列，并求*()n a n N ∈的通项；（3）令*31()n n c a n n N =+-∈，求证：1134nk kc =<∑ 21(本小題满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为,离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .（1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当253PG PH -<时，求实数t 的取值范围. 22（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．（1）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（2）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（3）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．三．解答题17解：（Ⅰ）设(,0)D t （01t ≤≤），又(C所以(OC OD t +=-+所以 22211||122OC OD t t +=-++=-+21((01)22t t =-+≤≤所以当t =||OC OD +………………6分（Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--1)4x π=+ ……………9分因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1所以8x π=时，1)4m n x π⋅=-+取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=…………………………12分18．解：（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样.………2分∴这40辆小型汽车车速众数的计值为87.5，中位数的估计值为87.5.………4分（Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有（0.2+0.3）⨯40=20辆.速在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆.记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，则211281281233202086472()()114095C C C C P A P B C C 鬃+=+==.………………………8分（Ⅲ）车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，设若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，车速在[75,80)的车辆数为x ，则x 的可能取值为1,2,3.21243641(1)205C C P C x ×====，…………………………………………………9分 122436123(2)205C C P C x ×====，…………………………………………………10分 03243641(3)205C C P C x ×====，…………………………………………………11分故分布列为∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为1311232555E x =???.………12分19.证明：（Ⅰ）F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由已知得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴ ………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）设1=()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy xy 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量，设二面角E CD A --为θ，则321442=++=，即32cos =θ …12分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H 点，连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角，设二面角E CD A --为θ，由DE =1，得EP =2，则EH =52，53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分 20解：（1）令m n =得01a =，…………………………1分令0n =，得2423m m a a m =+-，∴23a =……………………2分（2）令1n =，得：112212()22m m m m a a m a a a m +-++-=+=+∴112m m m m a a a a +--=-+，又212a a -=，∴数列1{}m m a a +-是以2为首项，2为公差的等差数列.∴*12()m m a a m m N +-=∈∴1*111()(1)1()m m k k k a a aa m m m N -+==+-=-+∈∑∴*(1)1()n a n n n N =-+∈………………………………8分（3）2*312()n n c a n n n n N =+-=+∈∴11(2)n c n n =+ ∴111111113113(1)232424212(2)4nk kcn n n n ==-+-++-=--<+++∑（）…………12分 21解：(Ⅰ)由题意知：c =2c e a ==，又222a b c -=，解得：a b 椭圆C 的方程为：22163x y += …………………………2分可得：B，F ,设00(,)A x y ，则00()AB x y=-，(3,BF =，6AB BF ⋅=-，00)6y =-，即00y x =由220000163x yy x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩0x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即(0,A，或A …………………………………………………………4分 ①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ==∴ABF ∆外接圆是以O 为圆心，223x y +=……………………………………………………………5分②当A 的坐标为(33时，1AF k =，1BF k =-，所以ABF ∆为直角三角形，其外接圆是以线段AB 为直径的圆，圆心坐标为，半径为12AB =，ABF ∴∆外接圆的方程为225((3x y -+=综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225((3x y += ……7分22121222882,1212k k x x x x k k -+==++253PG PH -<，253HG ∴<12x -<214k ∴>，结合（*）得： ………………………………………………11分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+即228812t k =-+，2t ∴-<<2t <<………………………………13分22．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -，于是1()1=+11xg x x x '=--+．故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=，因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=，于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分（Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1．于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n+=++≤++++，所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++．（*）由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ．所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++．即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)，令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-(1111111=4214n n --<--，即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。

湖北省襄阳市襄州一中等四校2014届高三数学上学期期中联考试题理(含解析)新人教A版

湖北省襄阳市襄州一中等四校2014届高三数学上学期期中联考试题理（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合MN 为（）A 、3,1x y ==-B 、{(3,1)}-C 、{3,1}-D 、(3,1)-2.已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是（）A 、p q ∧B 、p q ∧⌝C 、p q ⌝∧D 、p q ⌝∧⌝3.在同一坐标系中画出函数x y a log =，xa y =，a x y +=的图象，可能正确的是( )．【答案】D【解析】试题分析：分10<<a 和1>a 两种情形，易知ABC 均错，选D. 考点：基本初等函数的图像4.函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、4π B 、0 C 、43π D 、15.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=θ，则sin θ=( )A 、35 B 、45 C 、74 D 、346.对于函数()c bx x a x f ++=sin (其中Z c R b a ∈∈,,)，选取c b a ,,的一组值计算()1f 和()1-f ，所得出的正确结果一定不可能是（） A 、4和6 B 、2和1 C 、2和4D 、1和3【答案】B7.奇函数()x f 在()+∞,0上为单调递减函数，且()02=f ，则不等式()()0523≤--xx f x f 的解集为( ) A 、(](]2,02,⋃-∞- B 、[][)+∞⋃-,20,2 C 、(][)+∞⋃-∞-,22,D 、[)(]2,00,2⋃-8.已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有())()1(1x f x x xf +=+，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是( )A 、0B 、12C 、1D 、529.已知函数()()()cos 0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为（） A 、23-B 、23C 、21- D 、2110.设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，2(2)8e f =，则当0x >时，()f x （）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既无极大值，也无极小值D 、既有极大值，又有极小值第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数()()⎩⎨⎧<>=)0(,20,log 2x x x x f x ，则()241-+⎪⎭⎫⎝⎛f f 的值等于_______．12.由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．【答案】316【解析】试题分析：曲线y=，直线y=x-2及y 轴所围成的图形如图所示，故：=.考点：定积分的计算13.在ABC ∆中，三内角C B A ,,满足C B C B A sin sin sin sin sin 222-+<，则角A 的取值范围为 .14.如果对于函数()x f 的定义域内任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f ≤且存在两个不相等的自变量21,m m ，使得()()21m f m f =，则称()x f 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()x g 的定义域、值域分别为A ，B ，{}3,2,1=A ，A B ⊆且()x g 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数()x g 共有________个．【答案】9 【解析】试题分析：由题意，若函数g （x ）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种；1对1，{2，3}对2；1对1，{2， 3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，有一种；若函数是一对一的对应，则1对1，2对2， 3对3，共一种；综上，这样的g （x ）共有3+2+2+1+1=9种.考点：1.函数单调性的性质；2.分类讨论的思想方法15．下列五个命题中，正确的命题的序号是_____________. ①函数2tanxy =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π； ②)(x f 在()b a ,上连续，()()0)()(0,,00<=∈b f a f x f b a x 则且； ③函数)32sin(3π+=x y 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位得到； ④)(x f 在R 上的导数)1(2)2(,0)()(),(f f x f x f x x f <<-''则且； ⑤函数)2cos 21ln(x y +=的递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+4,πππk k ()Z k ∈.三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()3g x x =-的定义域为集合B .（1）求A B ；（2）若{}R m m x m x C ∈+<<-=,121,B C ⊆,求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）已知函数()23sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC ∆的面积为23，求a 的值. 【答案】（1）π；（2）3 【解析】试题分析：（1）由已知条件由三角恒等变换化简得3)62sin(2)(++=πx x f ，可得最小正18.（本小题满分12分）已知函数()2()1x x af x a a a -=--，其中0,1a a >≠ （1）写出()x f 的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数()x f y =的定义域为()1,1-，求满足不等式()()0112<-+-m f m f 的实数m 的取值集合；（3）当(),2x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负，求a 的取值范围.【答案】（1）)(x f 是在R 上的奇函数，且在R 上单调递增.（2）)2,1(.（3）]32,1()1,32[+-【解析】试题分析：（1）先由解析式分析定义域为R ，再根据奇偶函数的定义由)()(x f x f -=-可知是奇函数；（2）函数()x f y =的定义域为()1,1-,结合（1）的奇偶性和单调性，可得关19.（本小题满分12分）设函数()()8613223+++-=ax x a x x f ，其中a R ∈.（1)若()f x 在3=x 处取得极值，求常数a 的值；（2）设集合(){}0<'=x f x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=034x x x B ，若B A ⋂元素中有唯一的整数，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数)2,0,0)(sin(πφωφω<>>+=A x A y ，[]8,4∈x 时的图象，图象的最高点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛338,5B ，OC DF ⊥，垂足为F .(1)求函数)sin(φω+=x A y 的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？21.(本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2a F x f x ax bx x=+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．【答案】(1)43-;(2)),21[+∞∈; (3)21=m（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，因为，当上单调递减；当上单调递增；当，。

2014年湖北省襄阳市高考数学一模试卷(理科)

2014年湖北省襄阳市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A.（1，4）B.（3，4）C.（1，3）D.（1，2）∪（3，4）【答案】B【解析】解：由题意B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜-1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2.设a，b为实数，若复数，则（）A.，B.a=3，b=1C.，D.a=1，b=3【答案】A【解析】解：由可得1+2i=（a-b）+（a+b）i，所以，解得，，故选A．先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．3.已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（）A. B.- C.2 D.-2【答案】A【解析】解：由设f（x）=x a，图象过点（，），∴（）a=，解得a=，∴log4f（2）=log42=．故选A．先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．4.已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，-1）则|2-|的最大值，最小值分别是（）A.4，0B.4，4C.16，0D.4，0【答案】D【解析】解：2-=（2cosθ-，2sinθ+1），|2-|==，最大值为4，最小值为0．故选D．先表示2-，再求其模，然后可求它的最值．本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，是中档题．5.命题甲：p是q的充分条件；命题乙：p是q的充分必要条件，则命题甲是命题乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：先看充分性当“p是q的充分条件”成立，说明由p可以推出q，但由q不一定能推出p，因此不一定有“p是q的充分必要条件”故充分性不能成立，再看必要性当“p是q的充分必要条件”成立，说明由p可以推出q，由q也可以推出p，因此“p是q的充分条件”成立所以必要性成立故选B根据命题甲成立的情况下，命题乙不一定成立，得到充分性不成立；再根据命题乙成立时必定有命题甲成立，得到必要性成立，由此可得正确选项．本题以命题真假的判断和充分必要条件的判断为载体，考查了充分条件、必要条件等知识点，属于基础题．6.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a x g（x），，在有穷数列{}（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，则′′′＜，故h（x）=a x单调递减，所以0＜a＜1，又，解得，则，其前n项和，由＞，得n＞4，故所求概率=．故选D．令，由题意可知0＜a＜1，由，可知，由此可知S n的表达式，由＞，得n＞4，由此能够求出前k项和大于的概率．本题考查概率的求法和导数的性质，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率计算公式的灵活运用．7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为-105，则输入的n值可能为（）A.5B.7C.8D.10【答案】C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得出；该程序框图是计算j=-1×3×5×…×i的值；当i+2＜n不成立时，输出j=-1×3×5×7=-105，∴i+2=7+2=9≥n＞7，∴输入的n值可能是8或9．故选：C．模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图是计算j=-1×3×5×…×i的值，从而判定输入n的可能值．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的解题方法和思路，是基础题．8.已知正数x，y满足x+2y-xy=0，则x+2y的最小值为（）A.8B.4C.2D.0【答案】A【解析】解：法一：∵x＞0，y＞0，∴xy=≤，又x+2y=xy，∴x+2y≤，由x，y＞0．解得：x+2y≥8．∴x+2y的最小值为：8．方法2：由x+2y-xy=0得x+2y=xy，即，x+2y=（x+2y）（）=4+≥=8，当且仅当x=2y时取等号．故选：A．法一：依题意由基本不等式得x+2y=xy≤，从而可求得x+2y的最小值．法二：化简方程为，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可．本题考查基本不等式求解表达式的最大值，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+2y的二次不等式是关键，属于中档题．9.给出下面结论：①若命题p：“∃x0∈R，x02-3x0+2≥0，则￢p：∀x∈R，x2-3x+2＜0”②若（x2+m）dx=0，则实数m的值为-；③函数f（x）=-cosx在[0，+∞）内没有零点；④设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为周期函数，最小正周期为．其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：若命题p：“∃x0∈R，x02-3x0+2≥0，则￢p：∀x∈R，x2-3x+2＜0”，故①正确；若（x2+m）dx=0，则实数m的值为，故②错误；∵f（0）=-1＜0，f（1）=1-cos1＞0，故函数f（x）=-cosx在[0，1）上存在零点，故③错误；函数f（x）=sin3x+|sin3x|=，，，，，即f（x）最小正周期为的周期函数，故④正确；故正确的命题有2个，故选：B根据特称命题的否定方法，可判断①；利用定积分的计算公式，求出实数m的值，可判断②；根据零点存在定理，可判断③；根据正弦函数的周期性，可判断④．本题以命题的真假判断为载体，考查了特称命题的否定，定积分，函数的零点，函数的周期性等知识点，难度中档．10.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x 的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2-12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）-x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）-x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）-x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2-12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f （x）=x1或f（x）=x2解得个数．本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.容量为60的样本的频率分布直方图共有n（n＞1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是______ ．【答案】10【解析】解：∵分类分步直方图共有n个小矩形，其中一个小矩形的面积等于其余（n-1）个小矩形面积之和的，设这一个小矩形的面积是x，则其余（n-1）个小矩形面积之和为5x，∵x+5x=1，∴x=∵样本容量为60，则这个小矩形对应的频数是60×=10，故答案为：10．根据其中一个小矩形的面积等于其余（n-1）个小矩形面积之和的，设出这一个小矩形的面积是x，则其余（n-1）个小矩形面积之和为5x，得到这一个小组的频率的值，用概率乘以样本容量得到结果．本题考查频率分布表，考查频率分步直方图小正方形的面积等于这组数据的频率，注意小正方形的面积之间的关系不要弄混，本题是一个基础题．12.若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= ______ ．【答案】32【解析】解：由f（x）=2sin（x+）=0，可得x+=kπ，∴x=6k-2，k∈Z∵2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0∴（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故答案为：32．根据“f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，设B （x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．13.设变量x、y满足约束条件，其中k∈R，k＞0，（1）当k=1时，的最大值为______ ；（2）若的最大值为，则实数k的取值范围是______ ．【答案】；{2}【解析】解：（1）k=1时，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义为动点到定点P（-1，1）的斜率，则由图象可知CP的斜率最大，由，得，即C（2，2），则z=的最大值为．（2）若的最大值为，即=，则y-1=（x+1），由，解得，即C（，）此时C也在直线y-1=k（x-1）上，即，解得k=2．故答案为：，{2}（1）作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论，（2）根据的最大值为，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．14.5位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学报的数是1，第二位同学报的数也是1，之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和；若报的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数．（1）当5位同学依次循环共报20个数时，甲同学拍手的次数为______ ；（2）当甲同学开始第10次拍手时，这5位同学已经循环报数到第______ 个数．【答案】1；196【解析】解：（1）由题意可知：①将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…②该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．③甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m-4．④问题可化为求数列{4n}与{5n-4}的共同部分数，甲同学拍手的次数为看，那么n=20k-4，应该是20的倍数减去4那一次，设甲拍手的次数为k次，则n=20k-4∴20k-4≤20．∴k≤1∴甲拍手的总次数为1次．即第16次报数时拍手．（2）由（1）可知n=20k-4=20×10-4=196．故答案为：1，196这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列．寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力．首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了．本题主要考查斐波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用15.如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE= ______ ．【答案】【解析】解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2-2OD•OP cos120°=1+4-2×1×2×（-）=7，所以PD=．根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，所以PE=．故答案为．先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决．已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗．16.已知曲线C：，其中t为参数，则曲线C被直线l：ρcos（θ+）=1所截得的弦长为______ ．【答案】【解析】解：由曲线C：，（其中t为参数），消去参数t得x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1．由ρcos（θ+）=1展开得，化为．∴圆心C到直线的距离d==．∴弦长==．故答案为．由曲线C：，（其中t为参数），消去参数t即可得到普通方程，由ρcos（θ+）=1展开得，化，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程．利用圆心C到直线的距离即可求得圆心到直线的距离，利用弦长=即可得到弦长．熟练掌握参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式、弦长公式是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx-（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．【答案】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得，∴函数f（x）的单调增区间是，，．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=-，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．【解析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=-，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b 大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求解函数g（x）在[0，b]上零点的个数的问题．着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563 4 634753485 3 8343447567该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．【答案】解：（1）根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2，二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为0.3，三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为0.5．（2）根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：（C1，C2），（C1，C3），（C1，P1），（C1，P2），（C1，P3），（C2，C3），（C2，P1），（C2，P2），（C2，P3），（C3，P1），（C3，P2），（C3，P3），（P1，P2），（P1，P3）（P2，P3），共15种，记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A，则A包含的基本事件有（P1，P2），（P1，P3），（P2，P3）共3种，故所求的概率．【解析】（1）根据题意，由样本数据可得30件产品中一等品、二等品、三等品的数目，计算可得三个等级各自的其频率，由频率的意义可得答案；（2）根据题意，由样本数据知样本中一等品有6件，其中等级系数为7和等级系数为8的各有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，列举从样本的一等品中随机抽取2件的全部情况，可得所抽得2件产品等级系数都是8的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．本题考查等可能事件的概率的计算，关键要正确列举事件的全部情况，做到不重不漏．19.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，且{a n}、{b n}满足条件：S4=4a3-2，T n=2b n-2．（1）求公差d的值；（2）若对任意的n∈∈N*，都有S n≥S5成立，求a1的取直范围；（3）若a1=1，令c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和．【答案】（1）解：设等比数列{b n}的公比为q，由S4=4a3-2，得：，解得d=1．（2分）（2）解：由公差d=1＞0知数列{a n}是递增数列由S n≥S5最小知S5是S n的最小值∴，∴．（4分）即，解得：-5≤a1≤-4∴a1的取值范围是[-5，-4]．（6分）（3）解：a1=1时，a n=1+（n-1）=n当n=1时，b1=T1=2b1-2，解得b1=2当n≥2时，b n=T n-T n-1=2b n-2-（2b n-1-2）=2b n-2b n-1，化为b n=2b n-1．∴数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴=2n，∴．（8分）记数列{c n}的前n项和为V n，则∴V n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，2V n=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，（10分）两式相减得：-V n=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=-（n-1）×2n-1-2，∴．（12分）【解析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式能求出d=1．（2）由公差d=1＞0知数列{a n}是递增数列，由S n≥S5最小知S5是S n的最小值，由此能求出a1的取值范围．（3）由已知条件得数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而得到=2n，进而得到，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和．本题考查等差数列的公差的求法，考查数列的首项的取值范围的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20.某投资公司投资开发某项新产品，市场评估能获得10～1000万元的投资收益．现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%．（1）设奖励方案的函数模型为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f （x）的基本要求．（2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：①f（x）=+2；②f（x）=4lgx-2．试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求．【答案】解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求是：当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≥1恒成立；③恒成立，（Ⅱ）（i）对于函数模型，当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≥1显然恒成立，若函数在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立，又∵（29x）min=290，∴不恒成立，综上所述，函数模型满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型不符合公司要求；（ii）对于函数模型f（x）=4lgx-2，当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）min=f（10）=4lg10-2=2＞1，∴f（x）≥1恒成立，令，则′，∵当x≥10时，′＜，∴g（x）在[10，1000]上是减函数，∴g（x）≤g（10）=4lg10-2-2=0，即，∴，∴恒成立，综上所述，函数模型f（x）=4lgx-2满足基本条件①②③，故函数模型f（x）=4lgx-2符合公司要求．【解析】（Ⅰ）根据题意可知奖励方案描述的是函数的单调性和最值，从而运用数学语言描述出即可；（Ⅱ）分别对两个函数模型研究它们的单调性和恒成立问题，判断是否符合（1）中的基本要求即可．本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题的解题关键是理解题意，将题意转化为数学问题进行求解．属于中档题．21.设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3…a k（k≤m）中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；（Ⅱ）是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．【答案】解：（I）根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n}有：3，5，1，2，4．3，5，1，4，2．3，5，2，1，4．3，5，2，4，1．3，5，4，1，2．3，5，4，2，1．…（4分）（II）存在数列{c n}的创新数列为等比数列．…（5分）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．…（6分）若{e m}为等比数列，设公比为q，因为e k+1≥e k（k=1，2，3…m-1），所以q≥1．…（7分）当q=1时，{e m}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m．…（9分）当q＞1时，{e m}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3…m，又1，2，3…m不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个．…（10分）（3）设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，…（11分）设数列{c n}的创新数列为{e m}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．若{e m}为等差数列，设公差为d，因为e k+1≥e k（k=1，2，3…m-1），所以d≥0．且d∈N*．…（12分）当d=0时，{e m}为常数列，满足条件，即为数列e m=m，此时数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有个数列；…（14分）当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3…m，此时数列{c n}是1，2，3…m，有1个；…（15分）当d≥2时，∵e m=e1+（m-1）d≥e1+2（m-1）=e1+m+m-2又m＞3，∴m-2＞0．∴e m＞m这与e m=m矛盾，所以此时{e m} 不存在．…（17分）综上满足条件的数列{c n}的个数为（m-1）!+1个．…（18分）【解析】（I）由题意可得，创新数列为3，4，4，4的所有数列{c n}有两，即3，4，1，2和3，4，2，1．（II）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m，经检验，只有公比q=1时，数列{c n}才有唯一的一个创新数列．（III）设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，当d=0时，{e m}为常数列，满足条件；数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有个数列．当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3…m，此时数列{c n}是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{e m} 不存在．由此得出结论．本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题．22.已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=-1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=2x-3+==，…2分当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．所以当x=1时，函数f（x）取极小值f（1）=-2，…5分；（Ⅱ）当a=-1时，f′（x）=2x-1-（x＞0），所以切线的斜率k=2m-1-===，整理可得m2+lnm-1=0，显然m=1是方程的解，又因为函数y=x2+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，所以方程有唯一的实数解，即m=1，…10分；（Ⅲ）当a=8时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为：h（x）=，设F（x）=f（x）-h（x），则F（x0）=0，F′（x）=f′（x）-h′（x）=（）-（）=（x-x0）（x-）若0＜x0＜2，F（x）在（x0，）上单调递减，所以当x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，若x0＞2，F（x）在（，x0）上单调递减，所以当x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，所以y=f（x）在（0，2）和（2，+∞）上不存在“转点”，若x0=2时，F′（x）=，即F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，故点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分【解析】（Ⅰ）把a=1代入可得函数的导数，进而可得单调区间，可得极小值；（Ⅱ）把a=-1代入，可得切线斜率，由斜率公式还可得斜率，由等式可得m=1是唯一的实数解；（Ⅲ）针对新定义，构造函数F（x）=f（x）-h（x），求其导数，分0＜x0＜2，x0＞2，x0=2三种情况进行讨论，可得结论．本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，涉及新定义，属中档题．。

襄阳四中2014届高三模拟测试(一)

襄阳四中2014届高三模拟测试（一）数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设全集U=R，A={x|2x(x-2)<1}，B={x|y=1n（l－x）}，则右图中阴影部分表示的集合为（）A．{x |1≤x<2} B．{x |x≤1}C．{x|0<x≤1} D．{x |x≥1}2．已知数列{}n a满足1220,1n na a a++==，则数列{}n a的前10项和10s为（）A．()104213-B．()104213+C．()104213--D．()104213-+3．已知命题“如果x⊥y，y∥z，则x⊥z”是假命题，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形可能是()A．全是直线B．全是平面C．x，z是直线，y是平面D．x，y是平面，z是直线4．向等腰直角三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为()A.22B. 1−22C.8πD.4π5、运行下面的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是()INPUT“n＝”；nk＝1p＝1WHILE k<＝np＝p*kk＝k＋1WENDPRINT pENDA．120 B．720 C．1440 D．50406、已知函数xxxfωωcossin)(+=，如果存在实数1x，使得对任意的实数x，都有)2014()()(11+≤≤xfxfxf成立，则ω的最小正值为（）A.20141B.2014πC.40281D.4028π7．若抛物线22(0)y px p=>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（）A.24y x= B.236y x=C.24y x=或236y x= D.28y x=或232y x=8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误．．的是（）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD 平行D．MN与A1B1平行9、若直线l上不同的三个点,,A B C与直线l外一点O，使得x OA xOBBC2+=2成立，则满足条件的实数x的集合为（）A.{,}-10B. C. D.{}-110、设函数()f x的导函数为()'f x，若对任意x R∈，都有)()('xfxf>成立，则（）A．()()ln201420140f f<B．()()ln201420140f f=C．()()ln201420140f f>D．()()ln201420140f f与的大小关系不确定二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高▲ 分.12．在ABC∆中，已知60=A，4=b，5=c，则=Bsin▲ .13．已知直线y x m=+与曲线224x y+=交于不同的两点,A B，若||AB≥m的取值范围是▲14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平均降雨量是__▲__寸;．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=)1(,212)10(,1)(xxxxfx，设,0≥>ba若)()(bfaf=，则)(afb⋅的取值范围是____▲____.16.已知正数,x y满足22x y+=，则8x yxy+的最小值为____▲______.17、设函数f0(x)＝1－x2，f1(x)＝12f x（）－，f n(x)＝112n nf x-（）－，(n≥1，n≥N)，则方程f1(x)＝13有___▲___个实数根，方程f n(x)＝13n⎛⎫⎪⎝⎭有___▲___个实数根．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知函数)0(43)6sin(sin )(>-+=ωπωωx x x f ，且其图象的相邻对称轴间的距离为4π.（I ）求)(x f 在区间]89,1211[ππ上的值域；（II ）在锐角ABC ∆中，若,21)8(=-πA f ,2,1=+=c b a 求ABC ∆的面积.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =.（Ⅰ）求证：//EF 平面1BDC ;（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()2n n a S +=。

【解析版】湖北省襄阳五中2014届高三5月适应性考试(一模)数学理试题Word版含解析

襄阳五中高三年级五月适应性考试（一）数学试题（理科）【试卷综析】模拟考试数学试卷覆盖了整个高中知识，突出了基础知识和主干知识的考查.纵观全卷，整卷难度比高考略低，试题体现了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的数学考试原则和全面检测数学素养的考试思想..在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，很多题由多个知识点构成，在适当的规划和难度控制下，效果明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情况.命题：任健审题：杨青林 2014.5.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1iz i=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【知识点】复数的除法;共轭复数;复数的几何意义. 【答案解析】 C 解析：解：(1)11,1(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+1122z i =--,在复平面内对应的点在第三象限,故选答案C.【思路点拨】把复数化成a+bi 这种形式后找到其共轭复数为a-bi,从而得到其对应的点所在的象限.【典型总结】复数a+bi 与复平面内的点（a,b ）一一对应,所以可依据复数z=a+bi 的实部和虚部的符号判断z 对应的点所在的象限.2.设集合{}{}260,2x M x x x N y y M N =+-<==⋂=，则 A. ()0,2B. [)0,2C. ()0,3D. [)0,3【知识点】一元二次不等式的解法;指数函数的值域;集合的交集.【答案解析】 A 解析：解：26032x x x +-<⇒-<<,集合{}32M x x =-<<,集合{}0N y y =>,()0,2M N ⋂=,故选A.【思路点拨】先求出集合M 、N 的范围后,再求它们的交集. 3.设命题:p 平面=l m l m αββ⋂⊥⊥平面，若，则；命题:q 函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 A.p 为真B. q ⌝为假C. ∨p q 为假D. p q ∧为真【知识点】复合命题的真假判断.【答案解析】 B 解析：解：命题p 是假命题,因为m β⊂;图像关于直线2x π=对称,命题q 是真命题,所以答案B 正确.【思路点拨】先判断出命题p 、q 的真假,从而得到正确的答案.4．要得到一个奇函数，只需将()x x x f cos 3sin -=的图象A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【知识点】奇函数;三角函数的辅助角公式,图像的平移. 【答案解析】 C 解析：解：()2sin()3f x x π=-,向左平移3π个单位其解析式变为 ()2sin f x x =,是一个奇函数,答案C 正确.【思路点拨】先用辅助角公式化成sin()A x ϕ+的形式,再用“左加右减”将其变成sin A x 的形式即可得到一个奇函数.5. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为【知识点】直线的方程;双曲线的离心率.【答案解析】 A 解析：解：设12(,0),(,0)F c F c -,直线1F M 为)y x c =+,因为2MF垂直于x 轴,所以2(,)b M c a ,代入直线方程得2b a =,整理得210e -=,解得e =【思路点拨】把直线1F M 的方程和点2(,)b M c a找到,再把点M 的坐标代入直线方程,可得到关于离心率的方程,解得即可.6. 已知b a ,是单位向量，0=⋅b a ，若向量c 1 A.[]12,12+- B.[]22,12+- C. ] D. ]22,1+【知识点】向量的模长;向量的数量积;向量的几何意义.【答案解析】 A 解析 ()1c a b -+=表示向量c 到向量a b +的终点距离为12a b +=,[]12,12+-.【思路点拨】利用向量的几何意义能快速的解决此类问题.7. 设z y x c b a ,,,,,是正数,且10222=++c b a ,40222=++z y x ,20=++cz by ax ,则=++++zy x cb aA ．14B ．13C ．12D ．34【知识点】一般形式的柯西不等式．【答案解析】 C 解析：解：由柯西不等式得，（a 2+b 2+c 2）222111()444x y z ++≥ 2111(),222ax by cz ++当且仅当111222a b cx y z ==时等号成立.22210,a b c ++= 22240,20,x y z ax by cz ++=++=所以等号成立,所以111222a b cx y z ==, 所以12a b c x y z ++=++,故选C.【思路点拨】柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．8. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则=+++4321V V V VA.31348π+ B. 31652π+ C. 31342π+ D.31352π+【知识点】三视图;圆台的体积.【答案解析】 D 解析：解：=+++4321V V V V()114(416)33ππ+++28π++=31352π+ 【思路点拨】由三视图转化为直观图后，再利用圆台棱台体积公式求得即可.9.将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,则()=≥2X P A ．12544B ．12581 C.12527 D ． 12554 【知识点】古典概型.【答案解析】 A 解析：解：两面涂色的有36个,三面涂色的有8个,所以()=≥2X P12544【思路点拨】找到满足条件的个数,再除以125即可得到所求的概率.10．已知a 为常数，函数())1ln(2x a x x f ++=有两个极值点()2121,x x x x <，则A.()42ln 212-<x f B. ()42ln 212->x f C. ()832ln 22+>x f D. ()842ln 32+<x f【知识点】利用导数研究函数的极值.【答案解析】 B 解析所以2()f x = 【思路点拨】对f （x ）求导数，由f′（x ）=0有两个不同的根x 1，x 2，利用判别式和根与系数的关系求a 的取值范围；由x 1、x 2的关系，用x 2把a 表示出来，求出f （x 2）表达式的最值即可．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题（11—14题） 11．⎰-+112)sin (dx x x =_______.【知识点】定积分的计算. 【答案解析】23 解析：解：12311112(sin )(cos )33x x dx x x --+=-=⎰. 【思路点拨】根据求原函数与求导函数互为逆运算,找到被积函数的原函数,利用微积分基本公式求值.12.【知识点】程序框图的应用.【答案解析】 10- 解析：解：S=0,x=2,S=2,x=-1,S=1; …S=-10,x=-10,S=-20.结束循环,输出x=-10.【思路点拨】按着程序框图执行循环,直到条件满足结束循环,从而得到输出的值.13. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x (元) 8 8.28.48.68.89 销量y (件)908483807568由表中数据,求得线性回归方程为ˆˆ20yx a =-+.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为________________. 【知识点】线性回归方程;.【答案解析】 13解析 8.5,80,y a ∧===250,线性回归方程为20250,y x ∧=-+样本点在其左下方的有(8.2,84),(9,68)这两个点,所以概率为P=13.【思路点拨】先求出a 的值,利用线性规划得到在线性回归方程左下方的点,概率即可求得. 14.观察下列等式：2111,22ni i n n ==+∑ 2321111,326ni i n n n ==++∑ 34321111,424ni i n n n ==++∑ 454311111,52330ni i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212ni i n n n n ==++-∑ 67653111111,722642ni i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………∑=----++++++++=ni k k k k k k k k ka n a n a n a n a n a i101221111...，可以推测，当k ≥2（*k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ ，2k a -= . 【知识点】归纳推理的应用. 【答案解析】,012k解析：解：根据题中所给的等式归纳推测1,2k k a a --的表达式. 【思路点拨】根据题中所给的等式归纳推测1,2k k a a --的表达式.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B ，C 两点，D是圆上一点，且AB ∥CD ，DC 的延长线交PQ 于点Q. 若AQ=2AP ，AB=3，BP=2，则QD =【知识点】平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，切割线定理. 【答案解析】解析：解：如图：,PA PB ABAB CD PQ PC CQ∴==，又AQ=2AP ，AB=3，BP=2，∴ 4,BC CQ ==，由切割线定理得：22612,PA PB PC PA ==⨯=∴=，QA ∴=2,QA QC QD =2QA QD QC ∴===.【思路点拨】根据平行线分线段成比例定理，求得4,BC CQ ==,再两次使用切割线定理QD 的长.16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【知识点】极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程.【答案解析】 16 解析：解：把极坐标方程cos 4ρθ=化为直角坐标方程的x=4，把曲线23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程得23y x =.由方程组234x y x =⎧⎨=⎩得A(4,8)、B （4，-8），所以|16AB ==.【思路点拨】把极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，利用直角坐标系下的方程求交点坐标，再利用两点间距离公式求得||AB 长.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ) 求cos(Ⅱ) 若a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影. 【知识点】二倍角公式;两角的和与差公式;正弦定理;余弦定理;向量的数量积的意义.【答案解析】（Ⅰ）3cos 5A =-（Ⅱ）cos BA B = 解析：解：()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =- 6分()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos BA B =分【思路点拨】由二倍角的降幂公式和两角的和差公式找到角A 的余弦值;进而得到其正弦值,利用正弦定理得到sin B 的值,角B 也可得到,再利用余弦定理求出c 边长,由数量积的几何意义得到向量BA 在BC 方向上的投影. 18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，211-=a ，当2≥n 时，121-=-n n a a . (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设121+=n n n n a a b ，数列{}n b 前n 项的和为n S ,求证:2<n S .【知识点】等比数列通项公式;数列的前n 项和. 【答案解析】（Ⅰ）112n n a =-（Ⅱ）略解析：解：(1) 当2≥n 时，121-=-n n a a ()1121+=+⇒-n n a a 数列{}1+n a 是以2111=+a 为首项,公比为21的等比数列 ……3分121211-=⇒=+n n n n a a …… 6分 (2) )121)(121(211--=+n n n n b )121121(2)12)(12(2111---=--=+++n n n n n …9分)121121(2)121121(2)121121(213221---++---+---=+n n n S =2)1211(21<--+n …… 12分【思路点拨】由已知2≥n 时，121-=-n n a a 构造等比数列{}1+n a ,从而得到数列{}n a 的通项公式; (2)中找到n b 1112()2121n n +=---,从而易得2<n S . 19．（本小题满分12分）如图,四棱锥ABCD S -的底面是正方形,⊥SD 平面ABCD ,a SD 2=,AD =，点E 是SD 上的点,且(02)DE a λλ=<≤.(Ⅰ)求证: 对任意的(0,2]λ∈,都有AC BE ⊥.(Ⅱ)设二面角D AE C --的大小为θ,直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ,若1tan tan =⋅ϕθ,求λ的值.【知识点】线面垂直的判断;二面角;直线和平面所成的角.【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）λ=解析：解：(Ⅰ)证法1:如图1,连接BE 、BD,由地面ABCD 是正方形可得AC ⊥BD.SD ⊥平面ABCD,∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影,∴AC ⊥BE 4分(Ⅱ)解法1:如图1,由SD ⊥平面ABCD 知,∠DBE= ϕ,SD ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD, ∴SD ⊥CD.又底面ABCD 是正方形,∴ CD ⊥AD,而SD ⋂ AD=D,CD ⊥平面SAD.连接AE 、CE,过点D 在平面SAD 内作DE ⊥AE 于F,连接CF,则CF ⊥AE, 故∠CDF 是二面角C-AE-D 的平面角,即∠CDF=θ. 在Rt △BDE 中,BD=2a,DE=a λtan 2DE BD λϕ∴==在Rt △ADE 中, 2,AD a AE λ==∴=从而AD DE DF AE ⋅==在Rt CDF ∆中,tan CD DF θ==.由tan tan 1θϕ⋅=,得21222λλ=⇔=⇔=.由(0,2]λ∈,解得λ=即为所求. 12分【思路点拨】连结BD,由线面垂直得到线线垂直;找到二面角的平面角,利用直角三角形中的关系得到DF 的关系式,得到tan θ的值,由tan tan 1θϕ⋅=得到λ的值.20. （本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物,甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为13,乙组能使生物成活的概率为12,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的.(Ⅰ) 甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率.(Ⅱ) 如果乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.(Ⅲ) 若甲乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. 【知识点】独立重复试验，相互独立事件同时发生的概率，随机变量的分布列及数学期望.【答案解析】（Ⅰ）727（Ⅱ）332（Ⅲ）ξ的分布列为 53E ξ=解析：解：(1)甲小组做了三次实验,至少两次试验成功的概率为=)(A P 277)31()311()31(333223=+-⨯⨯C C 3分 (2)乙小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数1224=A ,因此所求的概率)(B P =32321)21()21(1233=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯ 6分(3)由题意ξ的取值为0,1,2,3,491)21()32()31()0(2022002=⋅==C C P ξ+⋅==2021112)21()32()31()1(C C P ξ31)21()32()31(2122002=⋅C C2020222)21()32()31()2(C C P ⋅==ξ+3613)21()32()31()21()32()31(22220022121112=⋅+⋅C C C C 61)21()32()31()21()32()31()3(22211122120222=⋅+⋅==C C C C P ξ361)21()32()31()4(2220222=⋅==C C P ξ 10分故ξ的分布列为35361461336132311910=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12分【思路点拨】（1）根据n 次独立重复试验中,事件A 发生恰k 次的概率计算公式,求甲小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率. （2）将两次连续失败的试验看成一个整体,把它和另一次失败试验插入前三次成功试验形成的四个空位中，得前六次试验中满足第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败情况有2412A =种.由此求得：)(B P =32321)21()21(1233=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯. （3）易知ξ的取值为0,1,2,3,4.再根据ξ取各值时甲乙两小组各成功的次数求()p ζ,从而获得ξ的分布列,再利用期望公式求ξ的期望.21. （本小题满分13分）在矩形ABCD 中,32=AB ，2=AD ,H G F E ,,,分别为矩形四条边的中点,以GE HF ,所在直线分别为y x ,轴建立直角坐标系(如图所示).若',R R 分别在线段CF OF ,上,且nCF R C OF OR 1||||||||='=. (Ⅰ) 求证: 直线ER 与'GR 的交点P 在椭圆Ω:32x +2y =1上;(Ⅱ) 若N M ,为椭圆Ω上的两点，且 GM 与直线GN 的斜率之积为32, 求证: 直线MN 过定点；并求GMN ∆面积的最大值. 【知识点】直线的方程;直线和椭圆的位置关系;三角形的面积公式. 【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）()332max =∆GMN S解析：解：(Ⅰ)∵1OR CR OF CF n '==,∴R,1)n R n-'又(0,1)G 则直线GR '的方程为1y x =+ ① 又(0,1)E - 则直线ER的方程为1y x =- ②由①②得221)1n P n -+2222222214(1)()11(1)n n n n n -+-+==++ ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上 3分(Ⅱ)①当直线MN 的斜率不存在时,设:(MN x t t =<<不妨取((,M t N t ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意②当直线MN 的斜率存在时,设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y联立方程2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(13)6330k x kbx b +++-=则2212(31)0k b ∆=-+>22212213133316k b x x k kb x x +-=⋅+-=+，又()()()321111212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k GNGM即221212(32)3(1)()3(1)0k x x k b x x b -+-++-=将22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+，代入上式得0322=-+b b 解得3-=b 或1=b (舍)∴直线过定点(0,3)T - 8分∴||1||212x x k MN -+=,点G 到直线MN 的距离为214kd +=∴2221221213183344)(2||2||21kk x x x x x x d MN S GMN+-⋅=-+=-=⋅=△ 由3-=b 及0>∆知:0832>-k,(0)t t => 即2238k t =+211996t t t t==≤++ 当且仅当3t =时,()332max=∆GMN S 13分【思路点拨】(Ⅰ)由两点式得到直线ER 与'GR 的方程,联立解得P 点坐标,代入满足椭圆方程,证明P 点在椭圆上.(Ⅱ)分别考虑直线MN 的斜率不存在和直线MN 的斜率存在两种情况,斜率存在满足题意,联立椭圆和直线方程,消去y 得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系和斜率之积为定值得到定点T 的坐标,再由三角形的面积公式得到三角形的面积的最大的值. 22. （本小题满分14分）已知函数1()ln()=+f x x x,且()f x 在12=x 处的切线方程为().y g x = (Ⅰ) 求()y g x =的解析式； (Ⅱ) 证明:当0x >时,恒有()();f x g x ≥ (Ⅲ)证明:若()*0,1,,,i a i n i n N >≤≤∈且11,nii a==∑则n n n n n a a a a a a )1()1)...(1)(1(22211+≥+++.【知识点】曲线的切线方程;函数的导数与单调性;函数的最小值. 【答案解析】（Ⅰ）635()ln 552y g x x ==-++（Ⅱ）略（Ⅲ）略解析：解：（Ⅰ）222311()(1),1x x f x x x x x -'=-=∴++切线斜率16(),25k f '==-()f x ∴在12x =处的切线方程为561ln (),252y x -=--即635()ln 552y g x x ==-++. （Ⅱ）令1635()()()ln()ln (0)552t x f x g x x x x x =-=++-->,2316()5x t x x x -'=++=232331()(6810)65652,5()5()x x x x x x x x x x -++++-=∴++当102x <<时,()0;t x '<当12x >时, min 1()0,()()0.2t x t x t '>∴==故()0,t x ≥即1635ln()ln .552x x x +≥-++（Ⅲ）先求()f x 在11(,ln())n n n +处的切线方程,由（Ⅰ）知321()1n n f n n -'=+,故()f x 在11(,ln())n n n +处的切线方程为3211ln()(),1n n y n x n n n --+=-+即3222111n n n y x n n --=-+++ 1ln().n n +下先证322211()ln()11n n n f x x n n n n --≥-++++. 令3222111()ln()ln()(0)11n n n h x x x n x x n n n--=+-+-+>++23321()1x n n h x x x n --'=-++ 3323223()(1)()1(1)()n n x n x n n x n n x x -+++---=++3223321()[()2]2,()(1)x n n x n x n n x x n --+++=++ 10x n <<时,1()0;h x x n '<>时,min 1()0,()()0,h x h x h n'>∴== ∴322211()ln()11n n n f x x n n n n--≥-++++ 32221110,ln()ln()11i i i i n n n a a a n a n n n-->∴+≥-++++ 3222111(1)11ln()ln()ln().11nn i i i i in n n n a a n n n n a n n n n ==--∴+≥-++=+++∑∑ 12121111()()()().n n n a a a n a a a n∴+++≥+【思路点拨】（Ⅰ）函数求导得到在该点处的切线斜率,利用点斜式求出切线的方程. （Ⅱ）构造新函数1635()()()ln()ln (0)552t x f x g x x x x x =-=++-->,对其求导,得到它的单调区间,进而得到最小值min1()()02t x t ==,从而得到证明.（Ⅲ）在（Ⅰ）的基础上得到在点11(,ln())n n n +处的切线方程3222111n n n y x n n --=-+++ 1ln().n n+构造函数3222111()ln()ln()(0)11n n n h x x x n x x n n n --=+-+-+>++,求导得到 min1()()0,h x h n==从而322211()ln()11n n n f x x n n n n --≥-++++,进而得到证明的结果.。

襄阳四中届高三冲刺模拟数学试题及答案(理)

襄阳四中2014届高三冲刺模拟（一）数学（理）试题命题人：程孟良审题人：张念国一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、复数31i z i=-（其中i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数122i z =-- C ．若复数1()z z b b R =+∈为纯虚数，则12b =-D ．复数z 的模1||2z = 2、设全集6{1},{1,2},(){0},1U U x ZM N C M N x =∈≥⋂=⋃=+ (){4,5}U C M N ⋂=，则M =（）A ．{1,2,3} B.{1,1,2,3}- C.{1,2} D. {1,1,2}-3、如果满足︒=∠60ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 ( )A ．38=k B.120≤<k C.12≥k D.120≤<k 或38=k4、已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( )A.499π B.73π C.283π D.289π 5、如图，在△ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A ．19 B.13C ．1 D.36、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（）A. 125ln5+B. 11825ln3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 7、2013年11月24日，伊朗与伊朗核谈判六国（美国、英国、法国、俄罗斯、中国和德国）在瑞士日内瓦达成阶段性协议，会后六国外长合影留念，若中俄两国外长表示友好要相邻排列，且均不与美国外长相邻，则不同的站位种数为（） A.48 B. 72 C. 144 D. 1688、将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成1000个同样大小的小正方体。

湖北省襄阳四中高三冲刺模拟一数学理解析版

（）
A． (0, 3 ] 3
B． ( 3 , 3 ] 32
C． ( 3 ,1) 2
D． [ 3 ,1) 3
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．
【答案解析】 D 解析：解：设 P （ x 1， y 1）， Q（ x， y），
因为右准线方程为 x=3 ，所以 H 点的坐标为（ 3， y）．
列，且均不与美国外长相邻，则不同的站位种数为（
）
A. 48
B. 72
C. 144
D. 168
【知识点】乘法原理；捆绑法，插空法 .
【答案解析】 C 解析：解：中俄两国外长要相邻 ,则看成一个整体站法种数为 A22 ,然后站美英
法德产生的 5 个空位置的 3 个，有 3 种站法；美英法德四国外长有 A44 种站法，依据乘法原理，
不同的站位种数为 3 A22 A44 =144.
【思路点拨】解决站位问题时，相邻用捆绑法，不相邻用插空法
.
8、将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成
1000 个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从
中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为
X ，则 X 的均值为 E X （）
27
A.
125
6
B.
5
51
③ f ( x)
x 2 是一个 “ —伴随函数
”；
1
④ “ —伴随函数 ”至少有一个零点．
2
其中正确结论的个数是（）
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D．4 个
【知识点】函数的概念及构成要素，函数的零点，
f（ x）是 λ-伴随函数的定义，反证法。

2014湖北省襄阳四中高考冲刺模拟试卷数学理试题及答案

2014湖北省襄阳四中高考冲刺模拟试卷数学理试题及答案本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。

答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、复数31i z i=-（其中i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数122i z =-- C ．若复数1()z z b b R =+∈为纯虚数，则12b =- D ．复数z 的模1||2z = 2、设全集6{1},{1,2},(){0},1U U x ZM N C M N x =∈≥⋂=⋃=+ (){4,5}U C M N ⋂=，则M =（） A ．{1,2,3} B.{1,1,2,3}- C.{1,2} D. {1,1,2}-3、如果满足︒=∠60ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 ( )A ．38=k B.120≤<k C.12≥k D.120≤<k 或38=k4、已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( )A.499πB.73πC.283πD.289π 5、如图，在△ABC 中，13AN NC =u u u r u u u r，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（）A ．19 B.13C ．1 D.36、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

湖北省襄阳市第四中学2014届高三收心考试数学(理)试题

一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}|,1||{},1,0,1{A a a x x B A ∈-==-=，则B A 中的元素的个数为（ ▲ ） A.2 B.4 C.6 D.8 2.设a 是实数，若复数112a ii -+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则a 的值为（ ▲ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23.将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ▲ ） A. 12B. 24C. 36D. 724.已知命题:(,0),34xxp x ∃∈-∞<；命题:(0,),tan 2q x x xπ∀∈>则下列命题中真命题是（ ▲ ）A ．p q ∧ B.()p q ∨⌝ C.()p q ∧⌝ D.()p q ⌝∧5.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是（ ▲ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6. 等差数列{}n a 中564a a +=，则310122log (2222)a a a a ⋅⋅⋅⋅=…（ ▲ ）A. 10B. 20C. 40D. 22log 5+7.若在直线l 上存在不同的三点A 、B 、C ，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++=有解（点O 不在直线l 上），则此方程的解集为（ ▲ ）A ．φB ．{一1，0}C ．{－1}D ． 8.已知双曲线2222100(,)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点， F 是右焦点，0(,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点12(,)i P i =，使得1212(,)i P A A i ∆=C构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ▲ ） A．)+∞B. )+∞C. 1(D.9.在区间[0，2]上随机取两个数x 、y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ▲ ） A.1ln 22- B. 32ln 24- C. 1ln 22+ D. 12ln 22+ 10.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（ ▲ ） A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11二．填空题:本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必做题（11~14题） 11.已知611e n dx x =⎰，那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为__▲__. 12.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则函数y x z 24=的最大值为 ▲ ．13．若一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ▲ ． 14．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为__▲__.（写出一个即可）（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是__▲__.(二）选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.（《几何证明选讲》选做题）如图：直角三角形ABC 中，∠B ＝90 o ，AB ＝4，以BC为直径的圆交边AC于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为．16. (《坐标系与参数方程选讲》选做题)已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=则点7(2,)4A π到这条直线的距离为．三．解答题:(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17（本小题满分12分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值; （2）若[0,]2x π∈，向量m BC =， (1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值.18（本小题满分12分）我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h ）分成六段： [70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，统计后得到如图的频率分布直方图．（1）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值.（2）从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，求车速在[80,85)，[85,90)内都有车辆的概率.（3）若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望.19(本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD 中，090=∠=∠B A ，A D = A B = 2， B C = 3，E ，F 分别是AD,BC 上的两点，且AE =BF ＝1，G 为AB 中点,将四边形ABCD 沿EF 折起到(如图2)所示的位置，使得EG 丄GC ，连接 A D 、B C 、AC 得(图2)所示六面体.（1）求证：EG 丄平面CFG;（2）求二面角A —CD-E 的余弦值. 20(本小題满分12分）已知数列{},()n a n N ∈满足11a =，且对任意非负整数,()m n m n ≥均有：2211()2m n m n m n a a m n a a +-++--=+. （1）求02,a a ；（2）求证：数列*1{}()m m a a m N +-∈是等差数列，并求*()n a n N ∈的通项；（3）令*31()n n c a n n N =+-∈，求证：1134nk kc=<∑ 21(本小題满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为,,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .（1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25PG PH -<时，求实数t 的取值范围. 22（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．（1）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（2）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（3）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．三．解答题17解：（Ⅰ）设(,0)D t （01t ≤≤），又(C所以(OC OD t +=-+所以 22211||122OC OD t t +=-++=+21((01)2t t =+≤≤所以当t =||OC OD + ………………6分（Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则221cos sin 2sin cos 1cos 2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--1)4x π=+ ……………9分因为[0,]2x π∈,所以52444x πππ≤+≤所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1所以8x π=时，1)4m n x π⋅=+取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18x π=…………………………12分18．解：（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样.………2分∴这40辆小型汽车车速众数的计值为87.5，中位数的估计值为87.5.………4分（Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有（0.2+0.3）⨯40=20辆.速在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆.记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，则211281281233202086472()()114095C C C C P A P B C C 鬃+=+==.………………………8分（Ⅲ）车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，设若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，车速在[75,80)的车辆数为x ，则x 的可能取值为1,2,3.21243641(1)205C C P C x ×====，…………………………………………………9分 122436123(2)205C C P C x ×====，…………………………………………………10分 03243641(3)205C C P C x ×====，…………………………………………………11分故分布列为∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为1311232555E x =???.………12分 19.证明：（Ⅰ）F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由已知得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴ ………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量， )2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy xy 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量，设二面角E CD A --为θ，则321442=++=，即32cos =θ (12)分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H 点，连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角，设二面角E CD A --为θ，由DE =1，得EP =2，则EH =52，53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分 20解：（1）令m n =得01a =，…………………………1分令0n =，得2423m m a a m =+-，∴23a =……………………2分（2）令1n =，得：112212()22m m m m a a m a a a m +-++-=+=+∴112m m m m a a a a +--=-+，又212a a -=，∴数列1{}m m a a +-是以2为首项，2为公差的等差数列.∴*12()m m a a m m N +-=∈∴1*111()(1)1()m m k k k a a aa m m m N -+==+-=-+∈∑∴*(1)1()n a n n n N =-+∈………………………………8分（3）2*312()n n c a n n n n N =+-=+∈∴11(2)n c n n =+ ∴111111113113(1)232424212(2)4nk kc n n n n ==-+-++-=--<+++∑（）…………12分 21解：(Ⅰ)由题意知：c =c e a ==222a b c -=，解得：a b ==椭圆C 的方程为：22163x y += …………………………2分可得：B，F ,设00(,)A x y ，则00()AB xy =-，(3,BF =，6AB BF ⋅=-，00)6y --=-，即00y x =由220000163x yy x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即(0,A ，或A …………………………………………………………4分①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ===，∴ABF ∆外接圆是以O 为圆心，为半径的圆，即223x y +=……………………………………………………………5分②当A 的坐标为时，1AF k =，1BF k =-，所以ABF ∆为直角三角形，其外接圆是以线段AB 为直径的圆，圆心坐标为，半径为12AB =，ABF ∴∆外接圆的方程为225((3x y -+=综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225((3x y +-= ……7分22121222882,1212k k x x x x k k-+==++25PG PH -<，25HG ∴<2x -< 214k ∴>，结合（*）得： ………………………………………………11分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++，整理得：22216(12)k t k =+即228812t k=-+，2t ∴-<<2t <<………………………………13分 22．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -，于是1()1=+11x g x x x '=--+．故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=，因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()， ∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=，于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分（Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n+=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1．于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++，所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n+≤+++．（*）由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ．所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n+<++．即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)，令k =2，3，…， n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--，即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。

湖北省襄阳市普通高中2014届高三第一次调研统一测试数学(理)试题(扫描版)

2013年12月襄阳市高中调研统一测试高三数学(理科)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：BAADB CCABA二．填空题：11．10 12．32 13．(1)13(2){2}14．(1)1 (2)195(填196也可以，主要是对循环报数的理解) 1516三．解答题：17．(1)解：由题意得：()sin 222sin(2)3f x x x πωωω=-=- 2分由函数的最小正周期为π，得1ω= ∴()2sin(2)3f x x π=- 4分由22232k x πππππ--≤≤2k +，得：51212k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z 所以函数f (x )的单调增区间是5[]1212k k ππππ-+，，k ∈Z 6分 (2)解：将函数f (x )的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin[2()}163y x ππ=+-+，即2sin 21y x =+的图象所以()2sin 21g x x =+8分令g (x ) = 0得：712x k ππ=+ 或 1112x k ππ=+，k ∈Z 10分所以在每个周期上恰好有两个零点，若y = g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为115941212πππ+= 12分18．(1)解：根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．2分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2， 4分二等品的频率为90.330=，故估计该厂产品的二等品率为0.3， 6分三等品的频率为150.530=，故估计该厂产品的三等品率为0.5． 8分 (2)解：根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C 1、C 2、C 3，等级系数为8的3件产品分别为P 1、P 2、P 3，则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 1，P 1)，(C 1，P 2)，(C 1，P 3)，(C 2，C 3)，(C 2，P 1)，(C 2，P 2)，(C 2，P 3)，(C 3，P 1)，(C 3，P 2)，(C 3，P 3)，(P 1，P 2)，(P 1，P 3)，(P 2，P 3)，共15种10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A则A 包含的基本事件有 (P 1，P 2)，(P 1，P 3)，(P 2，P 3)共3种故所求的概率31()155P A ==． 12分 19．(1)解：设等比数列{b n }的公比为q ，由S 4 = 4a 3﹣2，得：114344(2)212a d a d d ⨯+⨯=+-⇒=． 2分 (2)解：由公差d = 1 > 0知数列{a n }是递增数列由S n ≥S 5最小知S 5是S n 的最小值∴45565600S S a S S a ⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩≥≤≥≥ 4分即114050a a +⎧⎨+⎩≤≥，解得：－5≤a 1≤－4 ∴a 1的取值范围是[－5，－4]．6分另解：由S n ≥S 5最小知S 5是S n 的最小值211(1)11()222n n n S na n a n -=+=+- 当112n a =-时，S n 有最小值 4分又S n 的最小值是S 5，∴111145222a +-+≤≤ 故－5≤a 1≤－4∴a 1的取值范围是[－5，－4]．6分(3)解：a 1 =1时，a n = 1 + (n ﹣1) = n当n = 1时，b 1 = T 1 = 2b 1﹣2，解得b 1 = 2当n ≥2时，b n = T n ﹣T n ﹣1 = 2b n ﹣2﹣(2b n ﹣1﹣2) = 2b n ﹣2b n ﹣1，化为b n = 2b n ﹣1．∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1222n n n b -=⋅=∴2n n c n =⋅8分记数列{c n }的前n 项和为V n ，则∴231222322n n V n =⨯+⨯+⨯++⨯…2312222(1)22n n n V n n +=+⨯++-⨯+⨯10分两式相减得：23122222n n n V n +-=++++-⨯…112(21)2(1)2221n n n n n ++-=-⨯=--⨯--∴1(1)22n n V n +=-⨯+．12分 20．(1)解：由题意知,公司对奖励方案的函数模型f (x )的基本要求是：当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≥1恒成立；③)5xfx ≤恒成立．2分 (2)解：①对于函数模型()2150xf x =+当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则f (x )≥1显然恒成立4分而若使函数()21505x xf x =+≤在[10，1000]上恒成立，即29x ≥300恒成立而(29x )min = 290，∴)5x fx ≤不恒成立故该函数模型不符合公司要求．6分 ②对于函数模型()4lg 2f x x =-当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，min ()(10)4lg10221f x f ==-=>.∴f (x )≥1恒成立8分设()4lg 25x g x x =--，则4lg1()5e g x x '=-当x ≥10时，24lg 2lg 1lg 11()0555e e e g x x --'=-=<≤所以g (x )在[10，1000]上是减函数10分从而g (x )≤g (10) = 4lg10－2－2 = 0 ∴4lg 25xx --≤0，即4lg 25xx -≤ ∴()5xf x ≤恒成立.故该函数模型符合公司要求．12分 21．(1) 解：根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n }有：3，5，1，2，43，5，1，4，23，5，2，1，43，5，2，4，13，5，4，1，23，5，4，2，12分 (2)解：存在数列{c n }的创新数列为等比数列设数列{c n }的创新数列为{e n }，因为e m 为前m 个自然数中最大的一个，所以e m = m 4分若{e n }为等比数列，设公比为q因为 e k +1≥e k (k = 1，2，3，…，m ﹣1)，所以q ≥1当q = 1时，{e n }为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m 6分当q ＞1时，{e n }为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3，…，m又1，2，3，…，m 不是等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个．8分 (3)解：设存在数列{c n }，使它的创新数列为等差数列设数列{c n }的创新数列为{e n }，因为e m 为前m 个自然数中最大的一个，所以e m = m 若{e n }为等差数列，设公差为d因为e k +1≥e k (k = 1，2，3，…，m ﹣1)，所以 d ≥0，且d ∈N当d = 0时，{e n }为常数列，满足条件，即为数列e m = m此时数列{c n }是首项为m 的任意一个排列，共有11m m A --个10分当d = 1时，符合条件的数列{e n }只能是1，2，3，…，m此时数列{c n }是1，2，3，…，m ，有1个；12分当d ≥2时，∵e m = e 1 + (m ﹣1)d ≥e 1 + 2(m ﹣1) = e 1 + m + m ﹣2又m > 3，∴m ﹣2 > 0∴e m > m ，这与e m = m 矛盾，所以此时{e n } 不存在综上满足条件的数列{c n }的个数为(m ﹣1)! + 1个．13分 22．(1)解：当a = 1时，2(1)(21)1231()23x x x x f x x x x x ---+'=-+==2分当102x <<时，()0f x '> 当112x <<时，()0f x '<当x > 1时，()0f x '>所以当x = 1时，f (x )取到极小值－2．2分 (2)解：1()21(0)f x x x x '=--> 所以切线的斜率210ln 210n m m mk m m m m ---=--==-整理得2ln 10m m +-=4分显然m = 1是这个方程的解,又因为2ln 1y x x =+-在(0，+∞)上是增函数所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解，故m = 1．6分 (3)解：当a = 8时，2()108ln f x x x x =-+，8()210f x x x x '=-+函数y = f (x )在其图象上一点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2000008()(210)()108ln h x x x x x x x k =+--+-+8分设()()()F x f x h x =-，则0()0F x =0'''0042()()88()()()(210)(210)x x x x F x f x h x x x x k x --=-=+--+-=若0 < x 0 < 2，F (x )在(x 0，04x )上单调递减所以当x ∈(x 0，04x )时，F (x ) > F (x 0) = 0，此时()0F x x x <- 10分若x 0 > 2，F (x )在(04x ，x 0)上单调递减所以当x ∈(04x ，x 0)时，F (x ) > F (x 0) = 0，此时0()0F x x x <- 所以y = f (x )在(0，+∞)上不存在“转点”12分若x 0 = 2，22(2)()0x F x x -'=>，∴即F (x )在(0，+∞)上是增函数, 当x > x 0时，F (x ) > F (x 0) = 0，当x < x 0时，F (x ) < F (x 0) = 0 即点P (x 0，f (x 0))为“转点”故函数y = f (x )存在“转点”，且2是“转点”的横坐标． 14分。

2014年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2014年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】解：∵复数z====，∴z共轭复数=在复平面内对应的点为，在第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的意义、复数的几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义、复数的几何意义，属于基础题．2.设集合M={x|x2+x-6＜0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A.（0，2）B.[0，2）C.（0，3）D.[0，3）【答案】A【解析】解：由M中的不等式变形得：（x-2）（x+3）＜0，解得：-3＜x＜2，即M=（-3，2）；由N中y=2x＞0，得到N=（0，+∞），则M∩N=（0，2）．故选：A．求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.设命题p：平面α∩平面β=l，若m⊥l，则m⊥β；命题q：函数y=cos（x-）的图象关于直线x=对称．则下列判断正确的是（）A.p为真B.￢q为假C.p∨q为假D.p∧q为真【答案】B【解析】解：由命题p：∵m⊥l，∴m∥β或m⊥β或m⊂β，∴命题p为假命题；由命题q得：y=cos（x-）=cos（-x）=sinx，∴y=sinx的图象关于直线x=对称．∴命题q为真命题；∴命题￢q为假命题；故选B．首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合复合命题的真假情况进行判断．本题重点考查命题的真假判断，复合命题的真值表的应用，属于基础题．4.要得到一个奇函数，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【答案】D【解析】解：函数=2sin（x-），向左平移个单位可得函数y=2sin[（x-）+]=2sinx的图象，而函数y=2sinx是奇函数，故选D．函数即f（x）=2sin（x-），向左平移个单位可得y=2sinx的图象，而函数y=2sinx是奇函数，由此得出结论．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=A sin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．5.双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：将x=c代入双曲线的方程得y=，即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即，解得e=故选：B．将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．6.已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：令，，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为-1，所以的取值范围为[-1，+1]．故选A．令，，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7.设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．8.一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则V1+V2+V3+V4=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由三视图知：几何体是圆台、圆柱、正方体正四棱台的组合体，圆台的上、下底面直径分别为4、2，高为1；圆柱的底面直径为2，高为2；正方体的棱长为2；正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，高为1．∴几何体的体积V=π×（22+12+2×1）×1+π×12×2+23+×（22+42+2×4）×1=+2π+8+=．故选：D．几何体是圆台、圆柱、正方体正四棱台的组与合体，根据三视图判断相关几何量的数据，利用圆台、圆柱、正方体、棱台的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，熟练掌握圆台、圆柱、正方体、棱台的体积公式是关键．9.将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则P（X≥2）=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：基本事件中数为125个，X所有可能取值为0，1，2，3，①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；故P（X≥2）=故选：A．由题意可知：此题为古典概型，基本事件总数为125个．其中“X≥2”包含以下两类：①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，根据古典概型的计算公式即可得出．正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式是解题的关键．10.已知a为常数，函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（）A.f（x2）＜B.f（x2）＞C.f（x2）＞D.f（x2）＜【答案】B【解析】解：∵f（x）=x2+aln（1+x），∴f′（x）=（x＞-1）令g（x）=2x2+2x+a，则g（0）=a＞0，∴-＜x2＜0，a=-（2x22+2x2），∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）．设h（x）=x2-（2x2+2x）ln（1+x）（x＞-，则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），（1）当x∈（-，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在[-，0）单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴x∈（-，0），h（x）＞h（-）=；故f（x2）=h（x2）＞．故选：B．x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可得出结论．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)11.（x2+sinx）dx= ______ ．【答案】【解析】解：（x2+sinx）dx=（）=（）-（）=．故答案为：．根据微积分基本定理，计算即可本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题．12.如图是一个算法的流程图，最后输出的x= ______ ．【答案】-10【解析】解析：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：S=0+2=2X=-1第2次循环：S=2+（-1）=1X=-4第3次循环：S=1+（-4）=-3X=-7第4次循环：S=-3+（-7）=-10X=-10第5次循环：S=-10+（-10）=-20此时经过判断满足S≤-20故输出X=-10故答案为：-10先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，知道满足S≤-20时输出X的值即可本题考查程序框图的理解和运算．需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时X值，属于基础题13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=-20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为______ ．【答案】【解析】解：==8.5，==80∵b=-20，a=-b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=-20x+250；数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．当x=8时，∵90=-20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；…如图，6个点中有2个点在直线的下侧．则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，故这点恰好在回归直线下方的概率P==．故答案为：．根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．本题考查的知识是等可能性事件的概率及线性回归方程，求出回归直线方程，判断各数据点与回归直线的位置关系，并求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键．14.观察下列等式：，，，，，，…，可以推测，当k≥2（k∈N*）时，，，= ______ a k-2= ______ ．【答案】；0【解析】解：由观察可知当k≥2时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以a k-2=0，故答案为，0．观察每一个式子当k≥2时，第一项的系数发现符合，第二项的系数发现都是，第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以a k-2=0．本题考查了归纳推理，由特殊到一般．三、解答题(本大题共8小题，共92.0分)15.已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQ•AB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．【答案】（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，所以△ACB∽△CQA，所以，所以AC2=CQ•AB…（5分）（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，由AB=，BP=2得，PC=6，AP为圆O的切线又因为AQ为圆O的切线…（10分）【解析】（1）证明△ACB∽△CQA，可以证明AC2=CQ•AB；（2）先求出PC，再利用切割线定理求出QA，QD．本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似的判断与运用，考查切割线定理，难度中等．16.在直角坐标系x O y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|= ______ ．【答案】16【解析】解：∵直线的极坐标方程为ρcosθ=4，化为普通方程是x=4；把x=4代入曲线方程（t为参数）中，解得t=±2，∴y=±8；∴点A（4，8），B（4，-8）；∴|AB|=|-8-8|=16．故答案为：16．把直线的极坐标方程化为普通方程，代入到曲线的参数方程中，求出A、B两点的坐标，即可求出|AB|．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时把直线的极坐标方程化为普通方程，再代入曲线的参数方程中，即可容易的解答．17.在△ABC中，2cos2cos B-sin（A-B）sin B+cos（A+C）=-．（1）求cos A的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．【答案】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=-7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccos B=．【解析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sin A的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．18.已知数列{a n}中，a1=-，当n≥2时，2a n=a n-1-1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=，数列{b n}前n项的和为S n，求证：S n＜2．【答案】解：（1）当n≥2时，2a n=a n-1-12（a n+1）=a n-1+1∴=，∴数列{a n+1}是以a1+1=为首项，公比为的等比数列--------3分∴a n+1=a n=-1-------------------------------6分（2）b n===2（）------9分∴s n=2（）+2（）+…+2（）=2（1-）＜2-------------------------------------------12分【解析】（1）由递推公式构造构造数列{a n+1}为等比数列，即求得；（2）利用裂项相消法求和，再进行放缩．本题考查递推数列求通项公式的方法----构造法，及利用裂项相消法对数列求和，应多体会其特点．19.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．【答案】解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．在R t△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=在R t△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a从而DF=在R t△CDF中，tanθ=．由tanθ•tanφ=1，得即=2，所以λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），∴，，，，，∴，即AC⊥BE．（Ⅱ）解法2：由（I）得，，，，，，，，．设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由，，得即取，得，，．易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为，，与，，．∴，．∵0＜θ＜，λ＞0∴tanθ•tanφ=1⇔θ+φ=⇔sinφ=cosθ⇔⇔λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．【解析】解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C-AE-D的平面角可由三垂线定理法作出．再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．20.“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．【答案】解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：P（A）==．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，所以所求的概率为P（B）=12×=．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）=+=，P（ξ=4）=•=，∴ξ的分布列为：Eξ==．【解析】（1）利用古典概率计算公式结合排列组合知识，能求出至少两次试验成功的概率．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，由此能求出结果．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．21.在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系（如图所示）．若R、R′分别在线段0F、CF上，且′．（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆Ω：+y2=1上；（Ⅱ）若M、N为椭圆Ω上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵′，∴，，′，．又n＞0，则直线GR'的方程为①又E（0，-1）则直线ER的方程为②由①②得，∵点P的坐标满足：∴直线MN与MN的交点MN在椭圆：上．（Ⅱ）①当直线MN的斜率不存在时，设MN：x=t＜＜．不妨取，，N，，∴，不合题意．②当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立方程得（1+3k2）x2+6kbx+3b2-3=0则△=12（3k2-b2+1）＞0，∴，．又k GM•k GN===．即将，代入上式得b2+2b-3=0解得b=-3或b=1（舍）∴直线过定点（0，-3）．∵，点G到直线MN的距离为∴由b=-3及△＞0知：3k2-8＞0，令＞即3k2=t2+8．∴当且仅当t=3时，S△GMN=．【解析】（I）利用已知可得直线GR′，ER的方程，利用即可得出点P的坐标，代入满足椭圆Ω的方程即可；（II）当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，再利用k GM•k GN=．即可得出b的值，从而证明直线过定点，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到三角形的面积计算公式，通过换元利用基本不等式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.已知函数f（x）=ln（x+），且f（x）在x=处的切线方程为y=g（x）（Ⅰ）求y=g（x）的解析式；（Ⅱ）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；（Ⅲ）证明：若a i＞0（1≤i≤n，i，n∈N*），且=1，则（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n．【答案】（Ⅰ）解：∵f（x）=ln（x+），∴f′（x）=，f（）=-ln，∴f′（）=-∴f（x）在x=处的切线方程为y-ln=-（x-）即y=g（x）的解析式g（x）=-x++ln；（Ⅱ）证明：令t（x）=f（x）-g（x）=ln（x+）+x--ln（x＞0），∴t′（x）=，∴（0，）上，t′（x）＜0；x＞，t′（x）＞0，∴t（x）min=t（）=0，∴t（x）≥0，即当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；（Ⅲ）证明：先求出f（x）在（，ln（n+））处的切线方程，∵f′（）=，∴f（x）在（，ln（n+））处的切线方程为y-ln（n+）=（x-），即y=x-+ln（n+）．下证明：f（x）≥x-+ln（n+）．令h（x）=ln（x+）-x+-ln（n+），则h′（x）=∵0＜x＜，∴h′（x）＜0，x＞，h′（x）＞0，∴h（x）min=h（）=0，∴f（x）≥x-+ln（n+）．∵a i＞0，∴ln（a i+）≥•a i-+ln（n+）．∴ln（a i+）≥•-n•+nln（n+）=nln（n+∴（a1+）（a2+）…（a n+）≥（）n．【解析】（Ⅰ）求导数，可得切线的斜率，即可求y=g（x）的解析式；（Ⅱ）令t（x）=f（x）-g（x），确定其单调性，求出最小值，即可证明结论；（Ⅲ）先求出f（x）在（，ln（n+））处的切线方程，再证明：f（x）≥x-+ln （n+），即可得出结论．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．。

湖北省襄阳五中2014届高三数学5月适应性考试试题理新人教A版

襄阳五中高三年级五月适应性考试〔一〕数学试题〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分。

在每一小题给出的的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.复数1iz i=-〔i 是虚数单位〕的共轭复数z 在复平面内对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}{}260,2x M x x x N y y M N =+-<==⋂=，则 A. ()0,2B. [)0,2C. ()0,3D. [)0,33.设命题:p 平面=l m l m αββ⋂⊥⊥平面，若，则；命题:q 函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称。

如此如下判断正确的答案是A.p 为真B. q ⌝为假C. ∨p q 为假D. p q ∧为真4．要得到一个奇函数，只需将()x x x f cos 3sin -=的图象A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位5. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，假设2MF 垂直于x 轴，如此双曲线的离心率为6. b a ,是单位向量，0=⋅b a ，假设向量c 1=--a 的取值范围是 A.[]12,12+- B.[]22,12+- C. []12,1+ D. []22,1+7.设z y x c b a ,,,,,是正数,且10222=++c b a ,40222=++z y x ,20=++cz by ax ,如此=++++zy x cb aA ．14 B ．13C ．12D ．348.一个几何体的三视图如下列图,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,如此A.31348π+ B. 31652π+ C. 31342π+ D.31352π+9.将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,如此()=≥2X P A ．12544 B ．12581 C.12527 D ． 12554 10．a 为常数，函数())1ln(2x a x x f ++=有两个极值点()2121,x x x x <，如此A.()42ln 212-<x f B. ()42ln 212->x f C. ()832ln 22+>x f D. ()842ln 32+<x f二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题〔11—14题〕 11．⎰-+112)sin (dx x x =_______.12. 如下图是一个算法的流程图，最后输出的=x,得到如下数据:由表中数据,求得线性回归方程为ˆˆ20yx a =-+.假设在这些样本点中任取一点,如此它在回归直线左下方的概率为________________. 14.观察如下等式：2111,22ni i nn ==+∑ 2321111,326ni i n n n ==++∑ 34321111,424ni i n n n ==++∑ 45431111,ni n n n n =++-∑5654211151,621212ni i n n n n ==++-∑ 67653111111,722642ni i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………∑=----++++++++=ni k k k k k k k k ka n a n a n a n a n a i101221111...，可以推测，当k ≥2〔*k N ∈〕时，1111,,12k k k a a a k +-===+， 2k a -=. 〔二〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，如此按第15题作答结果计分．〕 15．〔选修4-1：几何证明选讲〕PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B ，C 两点，D 是圆上一点，且AB∥CD，DC 的延长线交PQ 于点Q. 假设AQ=2AP ，AB=3，BP=2，如此QD =16．〔选修4-4：坐标系与参数方程〕在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.假设极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,如此______AB = 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题总分为12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)假设42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.18. 〔本小题总分为12分〕数列{}n a 中，211-=a ，当2≥n 时，121-=-n n a a . (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设121+=n n n n a a b ，数列{}n b 前n 项的和为n S ,求证:2<n S .如图,四棱锥ABCD S -的底面是正方形,⊥SD 平面ABCD ,a SD 2=,2AD a =，点E 是SD 上的点,且(02)DE a λλ=<≤.(Ⅰ)求证:对任意的(0,2]λ∈,都有AC BE ⊥. (Ⅱ)设二面角D AE C --的大小为θ,直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ,假设1tan tan =⋅ϕθ,求λ的值。

湖北省襄阳四中2014届高考数学仿真模拟考试A卷-文

2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共6页，共22题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1 •答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3 •填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4 •考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题和答题卡一并上交。

左到右的各条形表示的学生人数依次记A, A 2, A 3, A 4, , A 10 （如A 2表示身咼（单位：cm ）在、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共 50分. 在每小题给出的四个选项中，只有1.已知命题 p: xR,sin x 1,则 p 是 A . x R,sin x1B. x R,sin xC.x R,sin x 1 D. x R,sin x2 .已知集合Axx x 50,x N , Bx 2 3x 2 0,x R ,则满足条件人和人A . 13.已知 a,b R ，则“ a 2b 22 ”是 “ ab 1 ”的A .必要而不充分条件B •充要条件C.充分而不必要条件D .既不充分也不必要条件4•图I 是某县参加2014年高考的学生身高条形统计图，从600顾4504003甸300 250 200 150 100一项是符合题目要求的 C A 的集合C 的个数是/肃人仏仏•” ”仏/[150 , 155）内的学生人数）.图2是统计图I 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160〜180cm （含160cm,不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A. i 9 B . i 8 C . i 7 D10.若曲线G : y x 2与曲线C 2: y ae x （a 0）存在公共切线，则 a的取值范围是利润达到10万元时，按销售利润进行奖励, 且奖金 y （单位：万元）随销售利润（单位: 万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%现有四个1奖励模型：y x ,4Igx 1 ,（|）x , y . x ,其中能符合公司要求的模型是lg x C . y (|)xD . y x9•设F 1、F 2分别是双曲线2 x2a2y_ b 21(a 0,b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P 满足 | PF 2 | | F 1F 2 |，且 cos A. 3x 4y 0B. 4x 3y4PF 1F 2 -，则该双曲线的渐近线方程为50 C. 3x 5y 0 D. 5x 4y 0&某公司为了实现 1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售8、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置、书写不清、模棱两可均不得分 11•已知m R ，复数「L 1的实部和虚部相等，贝Um =1 i 213•已知实数x,y 满足不等式0 ，贝U x y 的最大值为x 2y 214 .已知函数g x是 R 上的奇函数，3x , x 0若 f 2 X 2f xg x ,x 0且当x 0时，g x In1 x ,函数f x ，则实数x 的取值范围是.2y 2x 4y 164 0的弦，其中弦长为整数的共有(2,4),若|AB| 4,则 ABC 是直角三角形的概率是 17.如图，我们知道，圆环也可看作线段 A B 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S (R 2 r 2) (R r) 2R_ .所以，圆环的面积等于是2以线段AB R r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2 匕丄为长的矩形面积•请将上述想法拓展到空间，并解2决下列问题：若将平面区域 M {(x,y)|(x d)2 y 2 r 2}(其中0 r d)绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 _________.(结果用d,r 表示)三.解答题：本大题共 5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数学_2014年湖北省襄阳市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年湖北省襄阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合A ={x|1<x <4}，集合B ={x|x 2−2x −3≤0}，则A ∩(∁R B)=( )A (1, 4)B (3, 4)C (1, 3)D (1, 2)∪(3, 4)2. 设a ，b 为实数，若复数1+2i a+bi =1+i ，则（）A a =32,b =12B a ＝3，b ＝1C a =12,b =32D a ＝1，b ＝33. 已知幂函数y ＝f(x)的图象过点(12, √22)，则log 4f(2)的值为（）A 14B −14C 2D −24. 已知向量a →=(cosθ, sinθ)，向量b →=(√3, −1)则|2a →−b →|的最大值，最小值分别是（） A 4√2，0 B 4，4√2 C 16，0 D 4，05. 命题甲：p 是q 的充分条件；命题乙：p 是q 的充分必要条件，则命题甲是命题乙的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件6. 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(x)=a x g(x)，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，在有穷数列{f(n)g(n)}(n =1, 2,…,10)中，任意取前k 项相加，则前k项和大于1516的概率是（）A 15B 25C 45D 357. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为−105，则输入的n 值可能为（）A 5B 7C 8D 108. 已知正数x ，y 满足x +2y −xy =0，则x +2y 的最小值为（）A 8B 4C 2D 09. 给出下面结论：①若命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−3x 0+2≥0，则￢p:∀x ∈R ，x 2−3x +2<0”②若 ∫(10x 2+m)dx =0，则实数m 的值为−23；③函数f(x)=√x −cosx 在[0, +∞)内没有零点；④设函数f(x)=sin3x +|sin3x|，则f(x)为周期函数，最小正周期为2π3．其中结论正确的个数是（）A 1B 2C 3D 410. 已知函数f(x)＝x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点x 1，x 2，若f(x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3（f(x)）2+2af(x)+b ＝0的不同实根个数为（）A 3B 4C 5D 6二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．）（一）必考题（11~14题）11. 容量为60的样本的频率分布直方图共有n(n >1)个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n −1个小矩形面积和的15，则这个小矩形对应的频数是________．12. 若函数f(x)=2sin(π6x +π3)(2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与f(x)的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →+OC →)⋅OA →=________．13. 设变量x 、y 满足约束条件{y −1≥0x +y −4≤0y −1≤k(x −1)，其中k ∈R ，k >0，（1）当k =1时，y−1x+1的最大值为________；（2）若y−1x+1的最大值为12，则实数k 的取值范围是________．14. 5位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学报的数是1，第二位同学报的数也是1，之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和；若报的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数．（1）当5位同学依次循环共报20个数时，甲同学拍手的次数为________；（2）当甲同学开始第10次拍手时，这5位同学已经循环报数到第________个数．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）【选修4-1：几何证明选讲】15. 如图，割线PBC 经过圆心O ，PB ＝OB ＝1，PB 绕点O 逆时针旋120∘到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________．【选修4-4：坐标系与参数方程】16. 已知曲线C:{x =2t 2+1y =2t t 2+1，其中t 为参数，则曲线C 被直线 l:ρcos(θ+13)=1所截得的弦长为________．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2√3sin2ωx−√3(ω>0)的最小正周期为π．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图6象．若y=g(x)在[0, b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．18. 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ<7的为二等品，等级系数3≤ξ<5的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．19. 已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，且{a n}、{b n}满足条件：S4=4a3−2，T n=2b n−2．（1）求公差d的值；（2）若对任意的n∈∈N∗，都有S n≥S5成立，求a1的取直范围；（3）若a1=1，令c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和．20. 某投资公司投资开发某项新产品，市场评估能获得10∼1000万元的投资收益．现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%．(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求．(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：+2；①f(x)=x150②f(x)=4lgx−2．试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求．21. 设m>3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3...a k(k≤m)中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2...m(m>3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．(1)若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；(2)是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；(3)是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=x2−(a+2)x+alnx．（1）当a=1时，求函数f(x)的极小值；（2）当a=−1时，过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线，设切点为P(m, n)，求实数m的值；（3）设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0, y0)处的切线方程为l:y=ℎ(x)，当x≠x0时，若g(x)−ℎ(x)x−x0>0在D内恒成立，则称P为函数y=g(x)的“转点”．当a=8时，试问函数y=f(x)是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．2014年湖北省襄阳市高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. A3. A4. D5. B6. D7. C8. A9. B10. A11. 1012. 3213. 13，{2}14. 1，19615. 3√7716. √317. 解：(1)由题意，可得f(x)=2sinωxcosωx+2√3sin2ωx−√3=sin2ωx−√3cos2ωx=2sin(2ωx−π3)．∵ 函数的最小正周期为π，∴ 2π2ω=π，解得ω=1．由此可得函数的解析式为f(x)=2sin(2x−π3)．令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴ 函数f(x)的单调增区间是[kπ−π12，kπ+5π12]，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f(x+π6)+1的图象，∵ f(x)=2sin(2x−π3)∴ g(x)=2sin[2(x+π6)−π3]+1=2sin2x+1，可得y=g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1．令g(x)=0，得sin2x=−12，可得2x=2kπ+7π6或2x=2kπ+11π6，k∈Z，解之得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12，k∈Z，∴ 函数g(x)在每个周期上恰有两个零点，若y=g(x)在[0, b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．18. 解：（1）根据题意，由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．∴ 样本中一等品的频率为630=0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2，二等品的频率为930=0.3，故估计该厂产品的二等品率为0.3，三等品的频率为1530=0.5，故估计该厂产品的三等品率为0.5．（2）根据题意，由样本数据知，样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、P2、P3，则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：(C1, C2)，(C1, C3)，(C1, P1)，(C1, P2)，(C1, P3)，(C2, C3)，(C2, P1)，(C2, P2)，(C2, P3)，(C3, P1)，(C3, P2)，(C3, P3)，(P1, P2)，(P1, P3)(P2, P3)，共15种，记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A，则A包含的基本事件有(P1, P2)，(P1, P3)，(P2, P3)共3种，故所求的概率P(A)=315=15．19. （1）解：设等比数列{b n}的公比为q，由S4=4a3−2，得：4a1+4×32d=4(a1+2d)−2，解得d=1．（2）解：由公差d=1>0知数列{a n}是递增数列由S n ≥S 5最小知S 5是S n 的最小值∴ {S 4≥S 5S 6≥S 5，∴ {a 5≤0a 6≥0．即{a 1+4≤0a 1+5≥0，解得：−5≤a 1≤−4 ∴ a 1的取值范围是[−5, −4]．（3）解：a 1=1时，a n =1+(n −1)=n当n =1时，b 1=T 1=2b 1−2，解得b 1=2当n ≥2时，b n =T n −T n−1=2b n −2−(2b n−1−2)=2b n −2b n−1，化为b n =2b n−1．∴ 数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ b n =2⋅2n−1=2n ，∴ c n =n ⋅2n ．记数列{c n }的前n 项和为V n ，则∴ V n =1×2+2×22+3×23+...+n ×2n ，2V n =1×22+2×23+3×24+...+n ×2n+1，两式相减得：−V n =2+22+23+...+2n −n ×2n+1 =2(2n −1)2−1−n ×2n+1 =−(n −1)×2n−1−2，∴ V n =(n −1)×2n+1+2． 20. 解：(I)由题意知，公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是：当x ∈[10, 1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤x 5恒成立， (II)(I)对于函数模型f(x)=x 150+2，当x ∈[10, 1000]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≥1显然恒成立，若函数f(x)=x 150+2≤x 5在[10, 1000]上恒成立，即29x ≥300恒成立，又∵ (29x)min =290，∴ f(x)≤x 5不恒成立，综上所述，函数模型f(x)=x 150+2满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)=x 150+2不符合公司要求；(II)对于函数模型f(x)=4lgx −2，当x ∈[10, 1000]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)min =f(10)=4lg10−2=2>1， ∴ f(x)≥1恒成立，令g(x)=4lgx −2−x 5，则g′(x)=4lge x −15， ∵ 当x ≥10时，g′(x)=4lge x −15≤2lge−15=lge 2−15<0，∴ g(x)在[10, 1000]上是减函数，∴ g(x)≤g(10)=4lg10−2−2=0，即4lgx−2−x5≤0，∴ 4lgx−2≤x5，∴ f(x)≤x5恒成立，综上所述，函数模型f(x)=4lgx−2满足基本条件①②③，故函数模型f(x)=4lgx−2符合公司要求．21. 解：(1)根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n}有：3，5，1，2，4．3，5，1，4，2．3，5，2，1，4．3，5，2，4，1．3，5，4，1，2．3，5，4，2，1．(2)存在数列{c n}的创新数列为等比数列．设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m，若{e m}为等比数列，设公比为q，因为e k+1≥e k (k=1, 2, 3...m−1)，所以q≥1，当q=1时，{e m}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m，当q>1时，{e m}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3...m，又1，2，3...m不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个．(3)设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，设数列{c n}的创新数列为{e m}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．若{e m}为等差数列，设公差为d，因为e k+1≥e k (k=1, 2, 3...m−1)，所以d≥0．且d∈N∗，当d=0时，{e m}为常数列，满足条件，即为数列e m=m，此时数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有A m−1m−1个数列，当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3...m，此时数列{c n}是1，2，3...m，有1个，当d≥2时，∵ e m=e1+(m−1)d≥e1+2(m−1)=e1+m+m−2，又m>3，∴ m−2>0，∴ e m>m这与e m=m矛盾，所以此时{e m}不存在，综上满足条件的数列{c n}的个数为(m−1)!+1个．22. 解：（1）当a=1时，f′(x)=2x−3+1x =2x2−3x+1x=(x−1)(2x−1)x，…2分当0<x<12时，f′(x)>0；当12<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0．所以当x=1时，函数f(x)取极小值f(1)=−2，…5分；（2）当a=−1时，f′(x)=2x−1−1x(x>0)，所以切线的斜率k=2m−1−1m =2m2−m−1m=nm=m2−m−lnmm，整理可得m2+lnm−1=0，显然m=1是方程的解，又因为函数y=x2+lnx−1在(0, +∞)上是增函数，所以方程有唯一的实数解，即m=1，…10分；（3）当a=8时，函数y=f(x)在其图象上一点P(x0, y0)处的切线方程为：ℎ(x)=(2x0+8x0−10)(x−x0)+x02−10x0+8lnx0，设F(x)=f(x)−ℎ(x)，则F(x0)=0，F′(x)=f′(x)−ℎ′(x)=(2x+8x−10)−(2x0+8x0−10)=2x(x−x0)(x−4x0)若0<x0<2，F(x)在(x0, 4x0)上单调递减，所以当x∈(x0, 4x0)时，F(x)<F(x0)=0，此时F(x)x−x0<0，若x0>2，F(x)在(4x0, x0)上单调递减，所以当x∈(4x0, x0)时，F(x)>F(x0)=0，此时F(x)x−x0<0，所以y=f(x)在(0, 2)和(2, +∞)上不存在“转点”，若x0=2时，F′(x)=2x(x−2)2，即F(x)在(0, +∞)上是增函数，当x>x0时，F(x)>F(x0)=0，当x<x0时，F(x)<F(x0)=0，故点P（x0, f(x0)）为“转点”，故函数y=f(x)存在“转点”，且2是“转点”的横坐标，…15分。

襄阳四中2014届高三年级高考冲刺模拟(二)理科数学及答案

襄阳四中2014届高三年级高考冲刺模拟（二）数学试题(理科)本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。

满分150分。

考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=01|A x x x ，{}1|≥=x xB ，则集合{}0|≤x x 等于（） A ．A B ⋂ B ．A B ⋃C ．U C A B ⋂（）D ．U C A B ⋃（）2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若2a + 4a + 6a = 12，则7s 的值是（）A ．21B ．24C ．28D ．74. 某同学在电脑上进行数学测试，共10道题，答完第n 题（n ＝1，2，3，…，10）电脑都会自动显示前n 题的正确率()f n ，则下列关系不可能成立的是（）A. (5)2(10)f f =B. (8)(9)f f <且(9)(10)f f =C. (1)(2)(3)(10)f f f f ====D. (1)(2)(3)(10)f f f f <<<<5．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（）A ．π2B ．π22C ．（212+）πD ．（222+）π6．阅读如右图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是（）A ．9B ． 10C ． 11D ． 127．一个五位自然数12345a a a a a ，{0,1,2,3,4,5}i a ∈，1,2,3,4,5i =，当且仅当1a >2a > 3a ，3a < 4a < 5a 时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中 “凹数”的个数为（）A ．110B ．137C ．145D ．1468.设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是（A．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x 9．已知正三角形ABC 的顶点A B ，顶点C 在第一象限，若点(,)M x y 在ABC ∆的内部或边界，则z OA OM =⋅取最大值时，223x y +有（）A ．定值52B ．定值82 C.最小值52 D ．最小值5010．定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2]n （*N n ∈）内的所有零点的和为（）A ．nB ．2nC ． 3(21)4n -D ．3(21)2n -二．填空题:本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必做题（1114题） 11．若110tan ,(,)tan 342ππααα+=∈，则sin(2)4πα+的值为_______.12．二项式()62ax +的展开式的第二项的系数为12，则22ax dx -=⎰______.13．已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于______.14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，1112155512 55k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩； ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为______；第2014棵树种植点的坐标应为_______．(二）选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15．（选修4-1：几何证明选讲）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC的值为____． 16. （选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为____．三．解答题:(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）已知2())2sin (0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（1）当3[,]24x ππ∈时，求函数()f x 的最小值；（2）在ABC ∆，若()1f C =,且22sin cos cos()B B A C =+-,求sin A 的值.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n na cb =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）．19．（本小题满分12分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图1）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）选择继续回答下一个问题的概率是12，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考参考公式2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++。

湖北省襄阳市襄州一中等四校2014届高三上学期期中联考数学理试题Word版含解析

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合MN 为（）A 、3,1x y ==-B 、{(3,1)}-C 、{3,1}-D 、(3,1)-2.已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32:,1q x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题的是（）A 、p q ∧B 、p q ∧⌝C 、p q ⌝∧D 、p q ⌝∧⌝3.在同一坐标系中画出函数x y a log =，xa y =，a x y +=的图象，可能正确的是( )．【答案】D【解析】试题分析：分10<<a 和1>a 两种情形，易知ABC 均错，选D. 考点：基本初等函数的图像4.函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、4π B 、0 C 、43π D 、15.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ，则sin θ=( )A 、35 B 、45 C 、4 D 、346.对于函数()c bx x a x f ++=sin (其中Z c R b a ∈∈,,)，选取c b a ,,的一组值计算()1f 和()1-f ，所得出的正确结果一定不可能是（） A 、4和6 B 、2和1 C 、2和4D 、1和3【答案】B7.奇函数()x f 在()+∞,0上为单调递减函数，且()02=f ，则不等式()()0523≤--xx f x f 的解集为( ) A 、(](]2,02,⋃-∞- B 、[][)+∞⋃-,20,2 C 、(][)+∞⋃-∞-,22,D 、[)(]2,00,2⋃-8.已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有())()1(1x f x x xf +=+，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是( )A 、0B 、12C 、1D 、529.已知函数()()()cos 0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为（） A 、23-B 、23C 、21- D 、2110.设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，2(2)8e f =，则当0x >时，()f x （）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既无极大值，也无极小值D 、既有极大值，又有极小值第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数()()⎩⎨⎧<>=)0(,20,log 2x x x x f x ，则()241-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 的值等于_______．12.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．【答案】316【解析】试题分析：曲线y=，直线y=x-2及y 轴所围成的图形如图所示，故：=.考点：定积分的计算13.在ABC ∆中，三内角C B A ,,满足C B C B A sin sin sin sin sin 222-+<，则角A 的取值范围为 .14.如果对于函数()x f 的定义域内任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f ≤且存在两个不相等的自变量21,m m ，使得()()21m f m f =，则称()x f 为定义域上的不严格的增函数．已知函数()x g 的定义域、值域分别为A ，B ，{}3,2,1=A ，A B ⊆且()x g 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数()x g 共有________个．【答案】9 【解析】试题分析：由题意，若函数g （x ）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种；1对1，{2，3}对2；1对1，{2， 3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，有一种；若函数是一对一的对应，则1对1，2对2， 3对3，共一种；综上，这样的g （x ）共有3+2+2+1+1=9种.考点：1.函数单调性的性质；2.分类讨论的思想方法15．下列五个命题中，正确的命题的序号是_____________. ①函数2tanxy =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π； ②)(x f 在()b a ,上连续，()()0)()(0,,00<=∈b f a f x f b a x 则且； ③函数)32sin(3π+=x y 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位得到； ④)(x f 在R 上的导数)1(2)2(,0)()(),(f f x f x f x x f <<-''则且； ⑤函数)2cos 21ln(x y +=的递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+4,πππk k ()Z k ∈.三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =B .（1）求A B ；（2）若{}R m m x m x C ∈+<<-=,121,B C ⊆,求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）已知函数()sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC ∆的面积为23，求a 的值. 【答案】（1）π；（2）3 【解析】试题分析：（1）由已知条件由三角恒等变换化简得3)62sin(2)(++=πx x f ，可得最小正18.（本小题满分12分）已知函数()2()1x x af x a a a -=--，其中0,1a a >≠ （1）写出()x f 的奇偶性与单调性（不要求证明）；（2）若函数()x f y =的定义域为()1,1-，求满足不等式()()0112<-+-m f m f 的实数m 的取值集合；（3）当(),2x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负，求a 的取值范围.【答案】（1）)(x f 是在R 上的奇函数，且在R 上单调递增.（2）)2,1(.（3）]32,1()1,32[+-【解析】试题分析：（1）先由解析式分析定义域为R ，再根据奇偶函数的定义由)()(x f x f -=-可知是奇函数；（2）函数()x f y =的定义域为()1,1-,结合（1）的奇偶性和单调性，可得关19.（本小题满分12分）设函数()()8613223+++-=ax x a x x f ，其中a R ∈.（1)若()f x 在3=x 处取得极值，求常数a 的值；（2）设集合(){}0<'=x f x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=034x x x B ，若B A ⋂元素中有唯一的整数，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数)2,0,0)(sin(πφωφω<>>+=A x A y ，[]8,4∈x 时的图象，图象的最高点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛338,5B ，OC DF ⊥，垂足为F .(1)求函数)sin(φω+=x A y 的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？21.(本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (1)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2a F x f x ax bx x=+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．【答案】),21[+∞∈（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，因为，当上单调递减；当上单调递增；当，。

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湖北省襄阳四中2014年5月高三冲刺模拟一理科数学试题命题人：程孟良审题人：张念国一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、复数31i z i=-（其中i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数122i z =-- C ．若复数1()z z b b R =+∈为纯虚数，则12b =- D ．复数z 的模1||2z = 2、设全集6{1},{1,2},(){0},1U U x ZM N C M N x =∈≥⋂=⋃=+ (){4,5}U C M N ⋂=，则M =（） A ．{1,2,3} B.{1,1,2,3}- C.{1,2} D. {1,1,2}-3、如果满足︒=∠60ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 ( ) A ．38=k B.120≤<k C.12≥k D.120≤<k 或38=k4、已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( ) A.499π B.73π C.283π D.289π5、如图，在△ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为（） A ．19 B.13C ．1 D.3 6、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（）A. 125ln5+B. 11825ln 3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+7、2013年11月24日，伊朗与伊朗核谈判六国（美国、英国、法国、俄罗斯、中国和德国）在瑞士日内瓦达成阶段性协议，会后六国外长合影留念，若中俄两国外长表示友好要相邻排列，且均不与美国外长相邻，则不同的站位种数为（） A.48 B. 72 C. 144 D. 1688、将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成1000个同样大小的小正方体。

经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X = （）A.27125 B. 65C. 51125D. 35 9、过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。

当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（） A ．]33,0( B ．]23,33(C ．)1,23(D ． )1,33[10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”； ②()f x x =不是“λ—伴随函数”； ③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”； ④“12—伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11．直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221sin 2cos θθ-的值为． 12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值是．13. 0(,)|050y M x y x x y ⎧≥⎫⎧⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭，(,)|350y t N x y x x y ⎧≤⎫⎧⎪⎪⎪=≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≥⎩⎩⎭，(,)x y M N ∈，当2x y +取得最大值时，(,)x y N ∈，(,)x y M ∉，则实数t 的取值范围是 .14. 数列{21}n-的前n 项组成集合{1,3,7,,21}n n A =-，从集合n A 中任取k （1,2,,n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，则规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++．例如：当1n =时，111{1},1,1A T S ===；当2n =时，2122{1,3},13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=．则（1）3S = ；（2）n S = ．（二）选考题（在第15、16两题中任选一题作答） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝．PBB116．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线sin )20a ρθθ--=与曲线sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17.（本小题满分12分）已知函数)12(sin 2)322cos(3)(2ππ-+-=x x x f ，钝角．．⊿ABC （角A 、B 、C 所对的边长分别为 a 、b 、c ）的角B 满足1)(=B f .（1）求函数f (x )的单调递增区间；] （2）若33,3==c b ，求B 、a .[18.（本小题满分12分）将各项均为正数的数列{}n a 排成如下所示的三角形数阵（第n 行有n 个数，同一行中，下标小的数排在左边）。

n b 表示数阵中，第n 行、第1列的数。

已知数列{}n b 为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d 的等差数列（第3行的3个数构成公差为d 的等差数列；第4行的4个数构成公差为d 的等差数列，……），11a =，1217a =，1834a =。

（1）求数阵中第m 行、第n 列的数()A m n ，（用m 、n 表示）。

（2）求2014a 的值；1a2a 3a4a5a6a7a8a9a10a… …………19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一点， P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ．（1）求证：CD=C 1D（2）求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值；（3）求点C 到平面B 1DP 的距离20.（本小题满分12分）某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型：12370.025, 1.003,l o g 1x xy x y y ===+ ，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．（参考数据：6001.0036≈，472401=）21.（本小题满分13分）已知抛物线y 2=6x 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，其中12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C .（1）试证直线AB 的垂直平分线经过定点。

（2）设AB 中点为00(,)M x y ，求⊿ABC 面积的表达式，要求用0y 表示。

（3）求⊿ABC 面积的最大值。

22.（本小题满分14分）已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+．（1）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（2）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：*11111(1)ln[(1)(2)]()ln ()234!n n k e k k k n n N n n =++++⋅++>-⋅∈∑答案选择题CADCA CCDDB填空题11、5212、10 13、4t > 14、（1）63 （2分）（2）(1)221n n +-（3分）15、24 16、104⎡⎫⎪⎢⎣⎭，三、解答题17、18、解答】（1）设{}n b 的公比为q 。

依题意，12a 为数阵中第5行、第2列的数；18a 为数阵中第6行、第3列的数。

∴ 11b =，1n n b q -=，41217a q d =+=，518234a q d =+=。

…………… 3分 ∴ 2q =，1d =，12n n b -=。

∴ 1()(1)21m m A m n b n d n -=+-=+-，。

………………… 6分（2）由123621953++++=，12362632016+++++=，2013195360-=知，2014a 为数阵中第63行，第61列的数。

∴ 622013260a =+。

………………… 12分19、解析：（1）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ⊂=1面面面BA 1//B P OD ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P , 1ACD PC D ∴∆≅∆1C D CD ∴=,D 为1CC 的中点。

…………4分（2）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥⇒⊥1面AA ,过B 作AH AD ⊥,连接BH ，则BH AD ⊥,AHB ∴∠为二面角1A A D B --的平面角。

在1AA D ∆中，111,22AA AD A D ===,则2553AH AH BH AHB BH ==∠===…………8分（3）因为11C B PD B PCD V V -=，所以1111133B PD PCD h S A B S ∆∆⋅=⋅,111A B =11111244PCD PC C PC D S S S ∆∆∆=-=-=,在1B DP ∆中，1111955344,3225522B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅11331,2243B PD S h ∆∴=⋅==………………… 12分20、解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x ∈[10，1000]时①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%（1）y =0.025x ，易知满足①，但当x >200时，y >5不满足公司要求；…2分（2）y =1.003x，易知满足①，但当x >600时，y >6不满足公司要求；…4分（3）37log 1xy =+易知满足①，当x ∈[10，1000]时，37710001240115y log log ≤+<+<，满足②，……… 7分对于③，设()7125xF x l o g %x =+-，()11110741074,F x x ln ln '=-≤-<，()()100max F x F =<，满足条件③。

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