数学哲学对于数学教育的价值

数学哲学对于数学教育的价值数学哲学对于数学、数学教育和数学教学的意义何在?其实这一直是一个没有定论的问题。

具体说来，人们大概不会否认数学哲学对于数学和数学教育的作用，无论这种作用是大还是小，是积极的还是消极的，是长期的还是短期的，是直接的还是间接的。

然而人们难以有共识的是，数学哲学在何种程度上，以何种方式对数学和数学教育起着作用。

本文将从数学哲学的一个核心与重要的领域――数学观出发，对相关话题予以初步论述，以期引起中小学数学教师对此话题的关注。

一、数学观演变的历史掠影自从数学产生以来，人们就形成了关于数学的许多认识。

人们关于数学的理解和看法在相当程度上取决于当时数学知识发展的水平。

例如，无论是在中国古代还是古希腊，万物固有的量性特征都促使人们思考了物质世界与数量之间的关系。

在《道德经》中，老子提出了“道生一，一生二，二生三，三生万物”的思想，而古希腊的毕达哥拉斯学派的信念则是“万物皆数”。

再比如，物质存在的空间形态促使人们对几何形体进行了研究，几何学因而成为所有数学文化的共同对象，尽管所采取的研究方法各不相同。

在数学发展早期，由于数学知识的特点，这种对于数量与空间形式的认识可能是初步的、幼稚的，甚至是错误的。

例如，无论是在中国古代、古巴比伦、古埃及还是古代印度，数字与神秘主义一直有着千丝万缕的联系。

在古希腊，由于受所有的数都是整数之比这一观念的影响，无理数的发现竟然被认为是一场灾难。

与古埃及、巴比伦和其他的经验主义数学范式不同的是，古希腊数学在许多基本和重大的观念上都是开创性的。

在本体论方面，古希腊人把数学研究对象加以抽象化和理想化，使之成为与现实对象不同的具有永恒性、绝对性、不变性的理念对象。

在认识论方面，对于数学真理的判定，古希腊人坚持运用演绎证明而不是经验感知，并赋予数学真理以与其本体论性质相当的价值观念。

古希腊人把数学加以观念化，使之成为一种形而上学的学问，而不仅仅停留在实用的、技术的、巫术的、技艺的等形而上学的层面。

在方法论方面，古希腊人赋予数学以严密的逻辑结构，使数学知识以一种体系化的形式呈现，并坚持通过论证的方法获得数学命题的可靠性。

演绎数学作为古希腊所开创的数学范式，其基本观念在毕达哥拉斯学派和柏拉图的数学世界中达到了顶点。

毕达哥拉斯学派首先开始把数学作为抽象的对象加以研究，柏拉图则进一步把这种思想提升到了哲学和形而上学的层面，最终形成了著名的毕达哥拉斯一柏拉图的数学观念，作为这一数学观念知识典范的就是欧几里得的《几何原本》。

古希腊人创造的演绎数学范式，完全改变了经验数学范式之下人们对数学的看法，对西方数学的发展有极为深刻的影响，进而对西方数学教育的进程产生了难以估量的影响。

概括起来看，在数学发展的历史上，数学观主要经历了三个重要阶段。

第一个阶段是酝酿、准备和发动阶段。

文艺复兴以来，古希腊数学范式开始逐步演变，并直接促使了现代数学的诞生。

伴随着文艺复兴之后几个世纪的数学创造与进展，一批伟大的数学巨匠相继出现。

如伽利略、笛卡尔、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等，这些数学家在古希腊演绎数学的基础上开创了现代数学的广阔领域。

这一时期，整个数学思想开始从古典数学、静态数学(以古希腊数学为标志)向现代数学、动态数学(主要标志是极限思想)转变。

现代数学是以微积分的诞生为标志的。

现代数学的发展在牛顿、莱布尼茨时代只是一个初步的雏形。

它的逐步成熟是在第二个阶段，也就是法国数学学派兴盛的时期。

以富里叶、拉普拉斯等为代表的数学家把现代数学推向了一个新的阶段。

其基本特点是在数学本体论中驱逐了神的地位，建立了相对独立的数学作为自然法典解读者的地位。

现代数学发展的最高标志(也就是第三个阶段)是数学逐渐地变成自为、自足与自律的学科，这是18世纪末、19世纪以来数学发展的一个最显著特征。

19世纪中叶以来，随着非欧几何和非交换代数的诞生，以及一系列具有革命性意义的数学知识的发展，关于数学对象存在性和真理性的、神学的、柏拉图主义的和形而上学的观念开始逐步被颠覆。

随着数学变成一门独立的学科，其自身的理论体系建设就成为一个十分重要的问题，所以，完善微积分的基础，更广泛地讲，完善整个数学的基础就成为当务之急。

然而，关于数学的基础和数学性质，大多数数学家仍然停留在现代数学哲学的范式之中，这一点在三大流派那里体现得最为明显。

三大流派的共同点是以现代性数学思想为基调的基本诉求，即相信可以通过建立坚固不变的基础，使数学获得一个免于被质疑的知识地位，并在这一体系中消除各种矛盾和悖论，达到体系的一致性。

然而，这种基础主义的诉求却被证明是无法实现的。

而哥德尔不完全性定理的诞生作为基础主义运动的一个意外结果，为绝对主义数学观的终结画上了句号。

虽然现代数学观念有着巨大的价值，但为了数学的长足进步，现代数学观念中有两个基本观念是需要扬弃的：一个是神学的、形而上学的柏拉图主义数学观，一个是对逻辑化、形式化、模式化的数学观念和认识范式的绝对、盲目地信仰。

二、数学观的当代发展在19世纪末20世纪初，为了解决由于集合论悖论等悖论造成的数学基础的危机，许多数学家和数学团体致力于建立避免产生悖论和矛盾的数学基础重建工作。

其中最引人注目的是形式主义、逻辑主义和直觉主义，它们构成了围绕数学危机展开的数学基础的三个主要流派。

形式主义者主张用形式公理化系统去整合整个古典数学。

一个数学系统的形式化就是把这个数学系统用形式语言进行描述，而这一形式语言需要满足符号系统、形成规则和变形规则等几个条件。

数学系统的公理化是指，通过选取少数不加定义的原始概念(基本概念)和无条件承认的相互制约规定(公理)作为出发点，经过严密的逻辑推理，使某一数学系统成为演绎系统。

希尔伯特等数学家为了奠定数学的牢固基础，提出了元数学理论，目的是要为数学的证明、推理、方法、规则等提供一个合理的基础。

以弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义企图沿循数理逻辑的路线去奠定数学的基础。

在逻辑主义者看来，与数学相比较，逻辑具有更为基本的和起始性的知识本质。

因此，把数学归结为逻辑就成为逻辑主义的基本指导思想。

为了实现数学的逻辑化，首先必须假设全部数学可以还原为某种数学基础，例如实数理论，而实数理论又可以还原为有理数，最终归结为自然数理论。

假如上述还原都是畅通的，那么只需要把自然数理论逻辑化，一切就都大功告成了。

如果数学逻辑化的工作得以完成，数学就成为逻辑的一部分。

皮亚诺的算术理论、数理逻辑的发展和弗雷格在逻辑公理化方面所作的工作，为逻辑主义的事业奠定了基础。

与逻辑主义的信念正好相反，直觉主义的代表人物布劳威尔认为：“逻辑是从数学派生出来的，它显然依赖于一种本质上的数学直观，这种直观建立在康德的‘内感形式’的时间概念的基础上。

”在直觉主义的基本思想指导下，直觉主义者提出了一套不同于当时已有的数学与逻辑观点的“直觉主义数学”和“直觉主义逻辑”。

其基本思想是，把数学与逻辑的可靠性建立在直觉上得到构造的对象和推理过程之上，而放弃那些不符合“可信性”标准的数学概念和方法。

这种“可信性”用直觉主义的一个著名口号来表达就是“存在就等于被构造”。

20世纪30年代初，哥德尔发表了著名的哥德尔不完全性定理，从而从根本上宣布了基础主义三大流派的整体数学目标的失败。

之后，关于数学观的认识进入了一个新的时期。

这一时期的数学观的一个整体特点就是对绝对主义数学观的批判。

这些批判尽管角度和观点不尽相同，但总体可以用“可误主义”的数学观来表达。

其观点具体体现在普特南、波普尔、拉卡托斯等哲学家的数学思想中。

关于数学基础，美国著名哲学家普特南在其著名的《没有基础的数学》一文中提出的观点是：“在过去的半个世纪里，哲学家和逻辑学家曾经如此忙于试图为数学提供一个‘基础’，而只有很少的很胆怯的声音敢于建议数学并不需要一个‘基础’。

我在这里希望促进某些这样微弱的声音所表达的观点。

我不认为数学是不清楚的，不认为数学的基础出现了危机，甚至不相信数学具有或需要一个‘基础’”英国著名科学哲学家波普尔认为在数学中没有完全确定的东西，即使是作为数学理论演绎结构逻辑起点的公理也是如此。

公理不能再被当做是直觉上自明和可以免于被怀疑的，它们可以被看做是一种约定或是一种经验和科学的假设。

三、当代数学观及其对于数学教育的启迪著名数学哲学家拉卡托斯在论述了关于数学不再具有完全可靠基础的观点之后，提出了数学的拟经验主义立场，包括以下五个基本观点：数学知识是可误的，数学是假设――演绎的，历史是核心，断定非形式数学的重要性以及知识创造的理论。

由于数学基础主义在20世纪初的巨大影响及其对于数学观认识的某些共性，以及后来对于基础主义反思所表现出来的共同特点，英国学者欧内斯特把数学观分为绝对主义数学观和可误主义数学观。

绝对主义数学观和可误主义数学观的相似之处在于，两者的数学观基本上是一种内部视角。

两者的不同之处在于，绝对主义数学观所关注的是数学结构内在的确定性和不变性。

其对于数学真理的看法是固定不变的和一劳永逸的。

而可误主义数学观则认为数学是动态的、猜测的、拟经验的、可错的、历史的，数学真理是可以修正的。

继可误主义数学观之后，20世纪末，关于数学观的认识进入了社会建构主义的认识时期。

对于社会建构主义的数学哲学，欧内斯特这样表达了其思想来源和知识基础：“社会建构主义将数学看做社会的建构，它吸取约定主义的思想，承认人类知识、规则和约定对数学真理的确定及判定起着关键作用。

它吸取拟经验主义的可误主义认识论，其中包括数学知识和概念是发展和变化的思想。

它还采纳拉卡托斯的哲学论点，即按照一种数学发现的逻辑，数学知识在猜想和反驳中得到发展。

相对于规定性哲学来说，社会建构主义的数学哲学是一种描述性数学哲学，旨在合适的标准下解释普遍所理解的数学的本质。

”对于主观知识与客观知识的区分、对个体主观知识的强调，以及对主观知识与客观知识之间辩证关系的探讨构成了欧内斯特社会建构主义理论的一个突出特色。

关于数学客观性和数学知识的客观性，欧内斯特把客观知识理解为主体间性和为数学共同体所共享的，即比波普尔所理解的客观知识要宽泛一些。

欧内斯特也坚持客观知识必须是明确的、公共的与布鲁尔一样，欧内斯特也赋予了客观知识一种社会的意义。

欧内斯特认为，传统的(包括波普尔在内)客观知识观从来没有解释过客观性本身，而客观性的社会视角却能提供一种关于客观性和客观知识的基础与本质。

传统上被称之为数学知识的，在社会建构主义那里被叫做数学的客观知识，原因就是社会建构主义认为还有一个数学的主观知识概念。

在许多数学家那里，与社会建构主义相类似的论点也不少见。

例如数学家韦勒就认为：“数学完全具有可误性和不确定性。

数学唯存在于人的思想中，数学从造就人的思想那里得到其性质。

由于数学为人造就并唯存在于人的大脑，因此学习数学的人之大脑造就或再造就数学是必然的。