2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例二课件新人教B版必修5

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2017_2018学年高中数学第一章解三角形1_2应用举例一学案新人教B版必修5

解如图在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC＝CD＝Fra bibliotek00 (米)．
在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)
＝60°，
由正弦定理得BC＝
＝200sin 75°(米)．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝(100 )2＋(200sin 75°)2－2×100 ×200sin 75°cos 75°
因此河对岸A、B两点间距离为 km.
规律方式测量两个不可抵达的点之间的距离，一样是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能抵达的两点距离测量问题，运用正弦定明白得决．
跟踪演练3 要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100 米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．
＝1002×(3＋4× －2× ×sin 150°)
＝1002×5
∴AB＝100 (米)．
答河对岸A、B两点间的距离为100 米．
1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量以下四组数据，较适宜的是 ( )
A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ
答案 D
解析由α、γ可求出β，由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.应选D.
解在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，
∴∠CBD＝180°－(α＋β)，
∴ ＝，即＝ .
∴BC＝ ·s.
在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ ＝tanθ，
∴AB＝BC·tanθ＝ ·s.
要点三测量两个不能抵达点之间的距离问题

高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》(1.2 第1课时)同步课件

∴AE＝2csoisn1350°°＝
2×12 6＋
＝ 2
6－
2.
4
在△ABC 中，已知 A＝45°，cosB＝45. (1)求 cosC 的值； (2)若 BC＝10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长．
[解析]
(1)∵A＝45°，∴cosA＝
22，sinA＝
2 2.
又∵cosB＝45，∴sinB＝35.
第一章解三角形
第一章 1.2 应用举例第1课时距离问题
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上
作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距
“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以10n
mile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时
小岛A周围38 n mile内有暗
礁，一船正向南航行，在B处
测得小岛A在船的南偏东30°，
航行30 n mile后，在C处测
得小岛在船的南偏东45°，
如果此船不改变航向，继续
向南航行，有无触礁的危险？
• [分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决
于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，
∴x＝503 6 n mile.
• 4．在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB ＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
______ km.
[答案] 6
[解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理，得siAn6C0°＝sinA4B5°，∴AC＝ 22·23＝ 6. 2

2018版高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理二课件新人教A版必修5

题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑
另外一个定理.
(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用
三角公式列式化简的习惯.
返回
本课结束
解析答案
(2)解
6 由已知，b ＋c －a ＝5bc，
2 2 2
根据余弦定理，有 cos A ＝ b2＋c2－a2 3 ＝ 5 . 所以 sin A ＝ 2bc 4 2 1－cos A＝5. 由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋ cos Asin B， 4 4 3 所以5sin B＝5cos B＋5sin B， sin B 故 tan B＝cos B＝4.
解析
5 B.8
5 C.3
3 D.5
由余弦定理 BC2＝AB2＋AC2－2· AB· AC· cos A 得 72＝5)，
sin B AC 3 ∴AC＝3 或－8(舍).∴sin C＝AB ＝5.
解析答案
1
2
3
4
5
6
4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是( B )
利用余弦定理判断三角形的形状
2B
a＋c 例 1 在△ABC 中，cos 2 ＝ 2c ，其中 a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，则△ABC 的形状为(
A.直角三角形
)
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
反思与感悟解析答案
跟踪训练1
在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是( B )
b2⇔C为锐角 .
答案
知识点二
正弦、余弦定理解决的问题

新课标高中数学第1章解三角形课件新人教B版必修5

法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
2019/12/31
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6
谢谢欣赏！
2019/12/31
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7
• 你知道吗？在每次测量珠峰过程中，科学工作者们都用到一种重要的理论知识——解三角形．在数学发展历史上，解三角形理论是受到
天文测量、航海测量和其他地理测量等实践活动的推动不断发展起来的，并被用于解决许多测量问题，在人类探索自然的实践过程中起到了重要作用．本章我们就来探索解三角形的奥秘！
编后语
新课标导学
数学
必修5 · 人教B版
第一章
解三角形
• 珠穆朗玛峰的“身高”
• 珠穆朗玛峰是世界最高峰，作为世界群山之首，屹立在欧亚板块和印度板块碰撞造就的喜马拉雅山脉群峰之中.200年来，人们关于珠峰高度的争论从未停止．事实上，人类对珠峰的认识就是从测量其高度开始的，珠峰的历史从某种意义上来说就是一部测绘史.2005 年，我国科学工作者历经艰难险阻，成功改写了世界最高峰——珠穆朗玛峰的“身高”：8 844.43 m．同时宣布1975年公布的珠峰高程数据8 848.13 m停止使用．权威专家认为，这是迄今国内乃至国际上历次珠峰高程测量中最为精确的数据．
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物

2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例(二)新人教B必修5PPT24页

2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例(二)新人教B必修5
16、自己选择的路、跪着也要把它走完。 17、一般情况下)不想三年以后的事，只想现在的事。现在有成就，以后才能更辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿
谢谢！

2017_2018学年高中数学第一章解三角形1_2应用举例二学案新人教B版必修5

跟踪演练2 如下图，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝，求BC边上的高AD的长．
解在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，x>0，
由正弦定理得＝ .
∴sinC＝＝ × ＝ .
∴C＝60°(C＝120°舍去，不然由8x>7x，知B也为钝角，不合要求)．
由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，
C．南偏东10°D．南偏西10°
答案 B
解析如图，因△ABC为等腰三角形，因此∠CBA＝ (180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，应选B.
2．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地域为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时刻为( )
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝ .
∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝ .
∴x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5.
∴AB＝21或AB＝35，
在△ABD中，AD＝ABsinB＝ AB，
∴AD＝12 或20 .
1．已知两座灯塔A，B与海洋观看站C的距离相等，灯塔A在观看站C的北偏东40°，灯塔B在观看站C的南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°B．北偏西10°
2．解三角形的应用题时，通常会碰到两种情形：
(1)已知量与未知量全数集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定明白得之．

人教B版高中数学必修五《第一章解三角形 1.2 应用举例》_30

第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝＋1)，c ＝，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB .2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. ()2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B在观察站C 南偏东60︒，则A 、B a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C =5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？答案：(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程（答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。

人教B版高中数学必修五《第一章解三角形 1.2 应用举例》_2

第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。

主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。

二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。

这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。

在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。

学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。

三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。

（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。

（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。

四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。

难点：测量方法的寻找与计算。

五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。

六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。

知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。

(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5

2017春高中数学第1章解三角形 1。

1 正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B 版必修5基础巩固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。

2018版高中数学第1章解三角形 1.1.1 正弦定理课件新人教B版必修5

[小组合作型] 已知两角及一边解三角形
(1)在△ABC 中，c＝ 3，∠A＝75°，∠B＝60°，则 b 等于( )
32 A. 2
32 B. 4
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，∠A＝60°，∠B＝45°，则 8082000】
【精彩点拨】 (1)可先由角 A、B 求出角 C，然后利用正弦定理求 b； (2)直接利用正弦定理求解.
阶
阶
段
段
一
三
1.1 正弦定理和余弦定理
学
阶段二
1.1.1 正弦定理
业分层测
评
1.掌握正弦定理及基本应用.(重点) 2.会判断三角形的形状.(难点) 3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 正弦定理阅读教材 P3～P4 例 1 以上内容，完成下列问题.
【自主解答】法一：根据正弦定理，得sina A＝sinb B＝sinc C， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴∠A 是直角，∠B＋∠C＝90°， ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，
∴sin
B＝
2 2.
∵0°<∠B<90°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，
【解析】
∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得siAnBC＝sAinCB，即sin
6 60°
＝sinAC45°，解得 AC＝2.
【答案】 2
已XX知X 两边及一边的对角解三角形
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知∠A＝ 60°，a＝4 3，b＝4 2，则∠B＝________.

2017-2018学年高中数学必修三(人教B版)课件：1.1算法与程序框图1.1.1

本题我们借助临时的空瓶来实现两种不同颜色墨水的互
换，这种交换变量的问题，我们在以后会经常遇到，借助一个临时变量，来实
现变量的互换．并且这种思想在以后解决排序问题时会有很大的用处．
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第一章算法初步
〔跟踪练习 3〕一位商人有 9 枚银元，其中有 1 枚略轻的假银元．你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法. 导学号 95064010
2
3
互动探究学案
课时作业学案
第一章算法初步
自主预习学案
数学必修 ③ · 人教 B 版
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第一章算法初步
家中来了客人，我们要烧水泡茶待客．如果洗水壶需要1 min，洗茶壶需要 1 min，洗茶杯需要2min，烧开水需要15 min，拿茶叶需要1 min，如何安排各项工作，才能让客人早点喝到茶水？
数学必修 ③ · 人教 B 版
骤完成某项任务的，均是算法，而 D 中仅仅说明了一个算法描述正确的是导学号 95064002 ( C ) A．算法只能用自然语言来描述 B．算法只能用图形方式来表示 C．同一个问题可以有不同算法 D．同一个问题算法不同，结果必不同
效．所以(1)对，(2)不对．由算法的确定性、有限性、顺序性易知(3)、(4)都是正
数学必修 ③ · 人教 B 版
确的，故描述正确的有3个．
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第一章算法初步
『规律总结』
对于算法，通常有以下几个特性：(1)概括性：写出的算法
必须能解决一类问题并且能重复使用；(2)有穷性：算法中执行的步骤总是有限
S3 计算 S＝S 侧＋S 底； S4 输出 S.
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第一章算法初步

2017_2018学年高中数学模块复习1解三角形课件新人教B版必修

整理, 得(a-c)2 =0. ∴a=c. 从而 a=b=c. 故△ABC 为等边三角形.
��+ �� 2 2 2 =a +c -2accos 2
2
1 2
60°.
专题归纳
高考体验
反思感悟正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理, 是处理有关三角形问题的有力工具, 要注意两定理的变形运用及实际应用. 判断三角形的形状, 其常用方法是:先将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断. 通常利用正弦定理的变形如 a=2R· sin A 将边化角, 利用余弦定理的推论如 cos
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打 “×”. (1)在△ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为a. ( ) (2)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C, 能用余弦定理求边c. ( ) (3)在三角形中,已知两角和一边,或已知两边和一角,都能解三角形. ( ) (4)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形. ( ) (5)在△ABC中,若△ABC为钝角三角形,则a2+b2<c2. ( ) (6)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. ( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)×
��2 + �� 2 -��2 ��2 + �� 2 -��2 ��2 + ��2 -�� 2 2�� 1 1 1
��
��

2018版高中数学第一章解三角形1.2应用举例一学案新人教B版

1.2 应用举例（一）学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)(3)张角由C点看AB的张角指的是角________．知识点二测量方案思考1 如图是北京故宫的角楼，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C，设CC′为测量仪器的高，过点C′的水平面与AB相交于点B′，由测点C′对角楼进行测量，你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗？思考2 如图，如果移动测量仪CC′到DD′(测量仪高度不变)，想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量某楼高．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量两个不能到达点之间的距离问题例1 如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．反思与感悟测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪训练1 要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．类型二求高度命题角度1 测量仰角(俯角)求高度例2 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10 m B．5 3 mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2 江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距________ m.命题角度2 测量方位角求高度例3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是( )A．10 m B．10 2 mC．10 3 m D．10 6 m1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A．a，c，α B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ2．如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x的值是________．3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m，________m.4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为________m.1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．答案精析问题导学知识点一思考梳理 (1)90 (2)上方下方 (3)ACB 知识点二思考1 可测得点A 的仰角α的大小．在△AB ′C ′中，三条边的长度都无法测出，因而AB ′无法求得．思考2 如图所示，在点B ′，C ′，D ′构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得C ′D ′的长，这样，我们就可以根据正弦定理求出边B ′C ′的长，从而在Rt△AB ′C ′中，求出AB ′的长．使问题得到解决．题型探究类型一例1 解在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形， ∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． ∴河对岸A 、B 两点间的距离为64km. 跟踪训练1 解如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°)＝60°，由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75°＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5， ∴AB ＝1005(米)．所以河对岸A 、B 两点间的距离为1005米．类型二命题角度1例2 D [方法一设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x )m.∴tan∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1)m. 所以A 点离地面的高AB 等于 5(3＋1)m.方法二 ∵∠ACB ＝45°， ∴∠ACD ＝135°，∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2∴AB＝AC sin 45°＝5(3＋1)m.]跟踪训练2 30命题角度2例3 100 6解析依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理，得BC＝ABsin∠ACB·sin∠CAB＝600sin 45°×sin 30°＝3002，∴CD＝BC tan∠CBD＝3002×tan 30°＝1006(m)．跟踪训练3 D当堂训练1．D 2.4 3.20 3 4033 4.50 2。

高中数学第一章解三角形1.2应用举例课件新人教B版必修

∴∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
由正弦定理,得
BD=��s��insi6n07°5°
=
1 2
(
6+
2).
在△ABD 中,∠ADB=45°+60°=105°,
由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos 105°
=3+14 ( 6 +
2)2+2×
3
×
1 2
答案:(1)× (2) (3) (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
测量距离问题【例1】如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 3 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°, ∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
=tan
α,如图③所示.
一
二
三
2.仰角、俯角、方位角有什么区别? 提示:三者的参照不同,仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的. 3.做一做:从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的
关系是( )
A.α>β
B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180° 解析:要正确理解仰角、俯角的含义,准确地找出仰角、俯角的确切位置,如图,从A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角(根据水平线平行),即α=β.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
测量角度问题
【例3】如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇在A
处发现在北偏东45°方向,相距12海里的B处水面上,有蓝方一艘小

原创1：第一章解三角形

＝( ＋ )＝ (＋)，
其中＝

，α是第一象限角．

∵ ° < < °，且α是第一象限角
∴ 当C＋α=90°时，AB＋2BC有最大值 .
同学们，再见！
水域，并说明理由．
典例突破
（二）正、余弦定理的实际应用
(1) 如图，＝，＝，∠＝，＝
° < < °知 =
=
−(

.

)

.

由余弦定理，得＝ + − ∙ ＝ .
∴ 船的行驶速度为
例3. 在△ABC中，＝°，＝，则AB＋2BC的最大值为

________．
【解析】由正弦定理知

＝
＝

°

∴ AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又 A＋C ＝120°
∴ AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120 °－C)
典例突破
（三）解三角形与三角函数的综合
∴ ∠ =
∴

，∠

= −
∠
=

∙∠
在△ABC中，由正弦定理得＝
°
=
典例突破
（一）正、余弦定理解三角形
方法1）
∴ 在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠2
即 25＝AB2＋49－11AB，即(AB－8)·(AB－3)＝0，
刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 45°且
与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船
已行驶到点A北偏东°＋ (其中＝
°)且与点A相距海里的位置C.