第7讲解三角形应用举例

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解三角形应用举例

解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°，所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。

《解三角形的实际应用举例》知识清单

《解三角形的实际应用举例》知识清单一、解三角形的基本概念解三角形是指通过已知三角形的某些元素（如边、角），求出其余元素的过程。

在实际应用中，我们通常会利用正弦定理、余弦定理以及三角形的内角和定理来解决问题。

正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（＼（R\）为三角形外接圆的半径）。

余弦定理：对于任意三角形，有\（a^2 ＝b^2 ＋c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cosC\）。

三角形内角和定理：三角形的内角和为\（180^｛＼circ}＼），即\（A ＋ B ＋ C ＝ 180^｛＼circ}＼）。

二、解三角形的实际应用类型1、测量距离问题（1）两点间不可到达的距离例如，要测量河两岸两点\（A\）、＼（B\）之间的距离，在河岸一侧选取一点\（C\），测出\（AC\）、＼（BC\）的长度以及\（＼angle ACB\）的大小。

利用余弦定理可以求出\（AB\）的长度。

假设\（AC ＝ m\），＼（BC ＝ n\），＼（＼angle ACB ＝＼theta\），则\（AB^2 ＝ m^2 ＋ n^2 2mn\cos\theta\），从而求出\（AB\）。

（2）两点间可到达但有障碍的距离比如，要测量两个山峰之间的距离，但是中间有山谷等障碍物阻隔。

可以在合适的地点选取观测点，测量出相关的边和角，然后通过解三角形计算出两点之间的距离。

2、测量高度问题（1）底部可到达的物体高度要测量底部可以到达的建筑物的高度，如塔高。

在塔底合适的位置测量出仰角，以及到塔底的距离，然后利用正切函数求出塔高。

假设在点\（C\）测得塔\（AB\）顶部\（A\）的仰角为\（＼alpha\），＼（BC\）的距离为\（d\），则塔高\（AB ＝ d\tan\alpha\）。

2025年高考数学总复习课件36第四章第七节解三角形应用举例

必备知识
落实“四基”
自查自测
知识点测量中的几个有关术语
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)东南方向与南偏东45˚方向相同．( √ ) (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关
系．( √ ) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝
在△ACM中，由正弦定理得sinA6C0˚＝siAnM45˚，所以AC＝siAnM45˚·sin 60˚，
所以BC＝AC·sin 60˚＝siAnM45˚·sin260˚＝1002 2 × 34＝150(m)．
2
第七节解三角形应用举例
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
测量高度问题的求解策略 (1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键． (2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
(2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(方法一)在△ABD与△ACD中，
必备知识落实“四基”
核心考点提升“四能”
课时质量评价
c2=
由余弦定理得൞
b2=
1 4 1 4
a2+1－2×
1 2
a2
+1－2×
1 2
a×1× cos a×1× cos
π－∠ADC ∠ADC，
，
整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2 3.
△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝14(b2＋c2

高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例

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测量距离问题的求解策略 (1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解． (2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
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即 DE＝si1n0705s°itna4n51°5°＝sin17050°×sincs4oi5ns°1155°°＝sin17050°s×inss4ii5nn°1755°°＝10s0insi1n54°5°.
又 sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，所以 DE＝10s0insi1n54°5°＝100(
图形表示
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术语名称
术语意义
图形表示例：(1)北偏东 α：
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的__锐__角__，通
常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
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术语名称
术语意义
图形表示
术语名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在
同一铅垂平面内)所成的角中，仰角与俯角目标视线在水平视线__上__方__的
叫做仰角，目标视线在水平视线 _下__方__的叫做俯角
图形表示
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术语名称
方位角
术语意义
从某点的指北方向线起按 _顺__时__针__方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 θ 的范围是0_°_≤__θ_<_3_6_0_°

2020届高三理数一轮讲义：4.7-解三角形应用举例(含答案)

第7节解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知识梳理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.[微点提醒]1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522 m解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA ，又∵∠CBA ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin ∠CBA＝50×2212＝502(m).答案 A3. (必修5P15练习T3改编)如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.解析由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形， AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a .答案 32a4.(2019·雅礼中学月考)如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°解析由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 答案 D5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.解析如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S 6＝6×12×12×sin 60°＝332.答案3326.(2018·福州模拟)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________.解析因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理，得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝（32）2＋32－2×32×3×223＝ 3. 答案3考点一求距离、高度问题多维探究角度1 测量高度问题【例1－1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 答案 D角度2测量距离问题【例1－2】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)解在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得ABsin ∠ADB＝ADsin ∠ABD，解得AD＝ 3 km，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32km(负值舍去)，BC＝BD＋CD＝33－12km，两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，即2.5千米，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练2】海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°. 由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos 120°，整理，得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时. 答案 23考点二测量角度问题【例2】已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ ⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°＝3314解如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意， ∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.【训练3】如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A.30°B.45°C.60°D.75°解析依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案 B考点三正(余)弦定理在平面几何中的应用【例3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB ︵上的一动点(不与点A ，B 重合).(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC ︵的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值.解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42，所以由余弦定理得cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝32，所以∠BOC ＝π6，于是BC ︵的长为π6×42＝223π.(2)设∠AOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，则∠BOC ＝2π3－θ，S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×42×42sin θ＋12×42×42·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝24sinθ＋83cos θ＝163sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，由于θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB 的面积取得最大值16 3.规律方法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.【训练4】(2019·成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝π2，B＝2π3，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝2π3，EC＝7.(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的长.解(1)在△BEC中，由正弦定理，知BEsin∠BCE＝CEsin B，因为B＝2π3，BE＝1，CE＝7，所以sin∠BCE＝BE·sin BCE＝327＝2114.(2)因为∠CED＝B＝2π3，所以∠DEA＝∠BCE，所以cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－328＝5714.因为A＝π2，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，所以ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27.在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝49.所以CD＝7.[思维升华]利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义. [易错防范]在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴ACsin 60°＝2sin 45°，∴AC＝22×32＝6(km).答案 A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B 不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A ，B 两点间的距离. 答案 D3.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里D.202海里解析如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里). 答案 A4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200 m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 m C.20033 mD.2003 m 解析如图所示.在Rt △ACD 中可得CD ＝20033＝BE ，在△ABE 中，由正弦定理得AB sin 30°＝BEsin 60°，则AB ＝2003，所以DE ＝BC ＝200－2003＝4003(m). 答案 A5.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m解析如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m). 答案 C 二、填空题6.如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.解析在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin C ＝ACsin B ，则AB ＝AC sin C sin B ＝7×531422＝562.答案5627.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.解析连接OC ，由题意知CD ＝150米，OD ＝100米，∠CDO ＝60°.在△COD 中，由余弦定理得OC 2＝CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°，即OC ＝507. 答案 5078.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________.解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.答案 2114 三、解答题9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的高度为多少米？(取2＝1.4，3＝1.7)解如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m).又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB，所以BC＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2).因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈7 350(m).故山顶的高度为10 000－7 350＝2 650(m).10.在△ABC中，A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.解设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理，得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0<B<π4，所以cos B＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.由正弦定理，得AD＝AB·sin Bsin（π－2B）＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( )A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米解析由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420(米).在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC .可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(米).答案 B12.校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗.解析依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°， ∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝AC sin ∠CEA，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin ∠CEA ＝20 3 m.∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案 0.613.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km 2.解析如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，由AC sin ∠ADC ＝ADsin ∠DCA，得AD ＝AC sin ∠DCA sin ∠ADC＝32－62，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2).答案6－3414.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长.解(1)∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).又BD＝7，∠DAB＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2k cos π3，解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝AD sin∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝21 7，∴sin∠DBC＝277，∴BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。

第4章第7节解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)

第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ，所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)．在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ，即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4，所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32，故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ，所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33，故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α，因为AB sin 2α＝AD sin α，所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2，与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去，所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β，所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长．解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。

[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第四篇第7讲解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )． A ．1 B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20° 解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 答案 C2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )． A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．3解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.答案 C3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 ( )．A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．答案 A4.(2012·吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2011·上海)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为________千米．解析由已知条件∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，得∠ACB ＝45°.结合正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠CBA，即2sin 45°＝AC sin 60°，解得AC ＝6(千米)．答案6 6.(2013·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝12v，BS＝8 2 n mile，∠BSA＝45°，由正弦定理得：82sin 30°＝12vsin 45°，∴v＝32 n mile/h.答案32三、解答题(共25分)7．(12分)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．解在△ABC中，由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5，在△ABD中，由余弦定理得cos D＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7.由∠C＝∠D，得cos∠C＝cos∠D，解得AB＝7，所以AB长度为7米．8．(13分)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B 处救援，求cos θ的值．解如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2 800，故BC＝207(海里)．由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，所以sin ∠ACB ＝AB BC sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.易知θ＝∠ACB ＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )．A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案 A2.(2013·榆林模拟)如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )．A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m 解析在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE .∴AE ＝CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE ，∴AE ＝CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A ，B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝20 3 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案 304.(2013·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m 海里后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n 海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)＞n ，所以当α与β的关系满足m cos αcos β＞n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案 m cos αcos β＞n sin(α－β)三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·肇庆二模)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1百米．(1)求△CDE 的面积；(2)求A ，B 之间的距离．解 (1)在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △CDE ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米)．(2)连接AB ，依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝3(百米)，在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理BC sin ∠CEB ＝CE sin ∠CBE ，得 BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝2(百米)． ∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝6＋24，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ，可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3，∴AB ＝2－3百米．6．(13分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.。

解三角形的应用举例

N
方位角 60度
目标方向线
视线
仰角
水平线
俯角
视线
4
三角形中的计算问题
• • • • 面积计算公式： S=1/2ah S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB 海伦-秦九韶公式：
S=abc/4R
5
定理应用
P18例1 如图, 为了测量河对岸两点 A, B之间的距离, 在河岸这边取点C , D, 测得ADC 85, BDC 60, ACD 47, BCD 72, CD 100m , 设A, B , C , D在同一平面内, 试求A, B B之间的距离(精确到1m) A
例5、锐角三角形中，边a、b是方程x 2 2 3 x 2 0
的度数，边 c的长度及 ABC的面积。 3
2 sin （ A B） 3 0， sin （ A B）解：
ABC为锐角三角形
的两根，角 A、B满足2 sin （A B） 3 0，求角 C
2
A B 120o C 60o 边a、b是方程 x 2 2 3 x 2 0的两根
c a b 2ab cos C 2 （a b） 3ab 12 6 6 c 6
2 2 2
a b 2 3，ab 2
S ABC
所以F3和F 在同一条直线上, 并且大小相等, 方向相反.
如图在OF1 F中,由余弦定理, 得
F 302 502 2 30 50cos120 70( N ).
再由正弦定理, 得
P20练习2 50sin120 5 3 sin F1OF , 70 14 sin F1OF 38.2 , F1OF3 141.8 .

解三角形应用举例优秀课件ppt

28cos 30 sin 60 sin(60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
例2
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，
行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，
仰角为8º，求此山的高度CD. sin150 0.26,sin100 0.17,
tan 80 0.14
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 13 千米，求x的值。 3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA ＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长.
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解答
3.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 13 千米，那么x的值是__4_. 答案解析
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.

《解三角形的实际应用举例》知识清单

《解三角形的实际应用举例》知识清单一、解三角形的基本概念在探讨解三角形的实际应用之前，我们先来回顾一下解三角形的一些基本概念。

三角形的六个元素包括三条边和三个角。

解三角形，就是已知三角形的若干元素，求出其余的元素。

在解三角形时，我们通常会用到正弦定理和余弦定理。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。

余弦定理：对于任意三角形，有\（a^2 ＝b^2 ＋c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cosC\）。

二、解三角形的实际应用类型1、测量距离问题这是解三角形在实际中常见的应用之一。

比如，要测量河对岸两点A、B 之间的距离，我们可以在河的这一侧选取一个点 C，然后测量出\（＼angle BCA\）、＼（＼angle BAC\）以及边 AC 的长度。

接下来，利用正弦定理就可以求出边 AB 的长度。

再比如，要测量两个不能直接到达的地点之间的距离。

假设要测量点 M 和点 N 之间的距离，但由于中间有障碍物无法直接测量。

我们可以在另一个可以到达的点 P 处，测量出\（＼angle MPN\）、＼（＼angle MPN\）和边 PM、PN 的长度，然后通过余弦定理求出边 MN 的长度。

2、测量高度问题测量高度也是常见的应用场景。

比如要测量一座山的高度。

我们可以在山脚下的一点 A 处，测量山顶的仰角\（＼angle BAC\），以及测量点 A 到山脚下的水平距离 AC。

然后利用正切函数\（＼tan\angleBAC ＝＼frac{BC}｛AC}＼），求出山顶到点 A 的垂直高度 BC，从而得到山的高度。

又如，要测量建筑物的高度。

我们可以在离建筑物一定距离的地方，测量建筑物顶部的仰角和底部的俯角，再结合测量的水平距离，利用三角形的知识来计算建筑物的高度。

解三角形的实际应用举例课件

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06
解三角形的案例研究
案例一：卫星定位在航海中的应用
总结词
卫星定位技术能够通过接收来自卫星的信号来确定地面或海上的位置，在航海中有着广泛的应用。
详细描述
卫星定位系统可以用于船舶的航行、港口管理、海洋资源开发和海洋科学研究等方面。在船舶航行中，卫星定位可以提供准确的船位信息，帮助船舶进行精确的航行和航道规划；在港口管理中，卫星定位可以提供准确的港口地形和气象数据，帮助进行安全和高效的港口运营；在海洋资源开发和海洋科学研究中，卫星定位可以提供大面积的海洋环境信息，为资源开发和科学研究提供数据支持。
案例五：建筑设计中的优化问题
总结词
建筑设计中的优化问题旨在寻找最优的设计方案，以满足建筑的功能需求和美学要求。
详细描述
建筑设计中的优化问题需要考虑建筑的结构设计、材料选择、能源效率等多个方面。利用解三角形的方法，可以分析建筑设计的各种因素，并寻找最优的设计方案。例如，可以利用三角形的稳定性原理来进行结构设计；可以利用三角形的面积公式来进行材料预算和优化；可以利用三角形的光学原理来进行采光和照明设计等。
案例三：机器人视觉在自动化生产线中的应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
机器人视觉利用图像处理和计算机视觉等技术，使机器人能够识别和处理生产过程中的各种物体。
在自动化生产线中，机器人视觉可以用于产品检测、定位和分拣等方面。通过图像处理技术，机器人视觉可以识别产品的外观特征，如形状、颜色和纹理等，并对产品进行精确的分类和检测。同时，机器人视觉还可以通过立体视觉等技术，获取物体的三维信息，帮助机器人进行精确的操作和控制。
的定位、导航和避障等操作。

解三角形应用举例

B
例4:如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角.已知铁塔BC部分的高为27.3米,求出山高 CD.
例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5KM后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8° ,求此山的高度CD.

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5° (2)已知B=62.7°Ｃ＝６５.8° ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例8:在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造城市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）
例1 设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55cm,
BAC 51, ACB 75
求A,B两点间的距离
B
A
C
例 2 如图A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点距离的方法
A B
例3 : AB是底部B不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法. A
例6:如图一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5海里后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航向54海里后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）

解三角形的实际应用举例

小结：
1、解决应用题的思想方法是什么？答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。 2、解决应用题的步骤是什么？实际问题分析转化
数学问题（画出图形）
检验
数学结论解三角形问题
布置作业：课本P.70 习题B 1、2
课外探究：
如果要测量某铁塔的高度，但不能到达铁塔的底部，在只能使用简单的测量工具的前提下，你能设计出哪些测量方法？并提供每种方法的计算公式。
思考与交流：
1、你能设计出别的测量方法吗？把你设计的方案与本小组的同学讨论，看看是否 B 可行。

CD
C

90o

D
A

例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向西行 750 驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在北偏 0 西的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度CD.
B
C1
C

D1
D

A1 A
49028 35012
11.12 m
1.52m
B
49028
35 12
0
求A1B
D1
C1

A1
C 11.12 m D
A
1.52m
B
49028
35012
C1
求A1B
D1

A1
C1D1B 180 0 130 032,
解:
A C 11.12 m D 在BC1D1中,已知BC1D1 35012,
0 56
D
北
西
B
0 56
C
750
A
0 解:在⊿ABC中 A 15,0ACB 250 150 10, 根据正弦定理,

解三角形在生活中的应用

c b sin B
c c sin C
所以
a sin A
b sin B
c sin C
可是在斜三角形中是否成立的问题，在高一的学习中已经证明也是成立的。
4
实际测量的几个例子
问题1：测量书柜的高度
模型转化
H
α
β
a
5
为了避免测量误差，我们采取了多次测量求平均值的方法
次数
长度单位：厘米（cm) 角度单位：度（）
374. 1
3.7
所以：使用我们的测角仪实际上还可以测量水平物体的长度，实际上，这种测量方法还可以测量AB、CD间的距离，比如在河的一边，测河的宽度。
15
1、我们设计的测角仪虽然不成熟，但我们自认为在短距离的测量中它比光学测角仪有一定的优势，而且通过对测角仪的设计与制做，体会了制做的乐趣。做任何事不能等待，必须动手实践，当你使用你自制工具工作时，工作变成了乐趣。 2、我们在实验中体会了测角仪的应用方法，结合角三角形的数学知识，我们学会了用测角仪测量高度，水平长度、水平宽度这三类问题，深刻体会了我们的先辈仅用尺与测角仪进行地质测绘的过程，而且深入理解了三角函数知识在实际生活中的作用。
基高 100 50.5 48.6 1745.7 17.5 1763.2 17.5 2
基高 50 48.6 47.7 1766.1 17.7 1783.7 17.7 3
11
数据比较，如下
1768.104 1764.64
1761.176 1757.712 1754.248 1750.784
1747.32 1743.856 1740.392 1736.928 1733.464
水平长度测量计算器

《解三角形的实际应用举例》知识清单

《解三角形的实际应用举例》知识清单一、解三角形的基本概念解三角形，就是求解三角形的边和角的关系。

在一个三角形中，我们通常知道一些边和角的信息，然后通过特定的定理和公式来求出其他未知的边和角。

三角形的内角和为 180°，这是一个基本的常识。

而解三角形中常用的定理有正弦定理和余弦定理。

正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，并且等于外接圆的直径。

即：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R\）（其中\（R\）为三角形外接圆的半径）。

余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即：＼（a^2 ＝ b^2 ＋c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）。

二、解三角形的实际应用场景解三角形在我们的日常生活和实际工作中有着广泛的应用。

1、测量距离在无法直接测量两点之间的距离时，可以通过构建三角形，利用解三角形的知识来计算。

比如，要测量河对岸两点\（A\）、＼（B\）之间的距离，可以在河的这一侧选择一个点\（C\），然后测量\（AC\）和\（BC\）的长度以及\（＼angle ACB\）的大小，就可以通过解三角形求出\（AB\）的长度。

2、测量高度要测量建筑物、山峰等的高度，如果在地面上能测量出到其底部的距离以及观测顶部的仰角，就可以构建三角形来求解高度。

例如，在距离建筑物底部\（D\）米处，测量出仰角为\（＼alpha\），则建筑物的高度\（h ＝ D\tan\alpha\）。

3、航海问题在航海中，确定船只的位置、航向和航行距离等都需要用到解三角形的知识。

比如，已知船只的航向和航行时间，以及观测到两个灯塔的角度，就可以确定船只的位置。

4、工程测量在道路、桥梁等工程建设中，需要精确测量角度和距离，解三角形可以帮助工程师进行设计和施工。

数学一轮复习第三章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例学案含解析

第7讲解三角形应用举例［考纲解读］1。

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．（重点)2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型,将实际问题转化为数学问题．(难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2021年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主。

1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线错误!上方的角叫仰角,在水平线错误!下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②）．3．方向角相对于某一正方向的水平角．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③）．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．1．概念辨析(1）东北方向就是北偏东45°的方向．（)（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（）（3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()（4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是错误!。

（)答案（1）√(2）×（3）√（4）√2．小题热身（1）在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的() A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西34°27′。

(完整版)三角形中几何计算、解三角形实际应用举例

三角形中的几何计算、解三角形的实质应用举例1．仰角和俯角在视野和水平线所成的角中，视野在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角 (如图① )．2．方向角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方向角为α(如图② )．3．方向角相关于某一正方向的水平角(如图③ )(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°抵达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°抵达目标方向．(3)南偏西等其余方向角近似．【思虑研究】 1.仰角、俯角、方向角有什么差别？以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．如右图， D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点， AB＝AD，记∠ CAD＝，∠ ABC＝β.(1)证明： sin＋cos 2β＝0；(2)若 AC＝ 3 DC，求β的值．【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD 中，已知 AD⊥ CD，AD ＝10，AB＝14，∠ BDA＝ 60°，∠ BCD＝ 135°，则 BC 的长为________．求距离问题要注意：(1)选定或确立要创立的三角形，要第一确立所求量所在的三角形，若其余量已知则直接解；如有未知量，则把未知量放在另一确立三角形中求解．(2)确立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理．例题 2.如下图，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2海里 /小时，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛1出发，朝北偏东θtanθ＝2的方向作匀速直线航行，速度为10 5海里 /小时．(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离近来？近来距离为多少海里？丈量高度问题一般是利用地面上的观察点，经过丈量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这种问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转变为平面几何问题，再经过解三角形加以解决．例题 3，如图，丈量河对岸的塔形建筑 AB，A 为塔的顶端， B 为塔的底端，河两岸的地面上随意一点与塔底端 B 处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪 (能够丈量仰角、俯角和视角 )，再给你一把尺子 (能够丈量地面上两点间距离 )，图中给出的是在一侧河岸地面 C 点测得仰角∠ ACB＝，请设计一种丈量塔建筑高度 AB 的方法 (此中测角仪支架高度忽视不计，计算结果可用丈量数据所设字母表示 )．【变式训练】3. A、B 是海平面上的两个点，相距800 m，在A 点测得山顶C 的仰角为 45°，∠ BAD＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，此中 D 是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.丈量角度问题也就是经过解三角形求角问题，求角问题能够转变为求该角的函数值．假如是用余弦定理求得该角的余弦，该角简单确立，假如用正弦定理求得该角的正弦，就需要议论解的状况了．例题 4，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1) n mile的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船受命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【变式训练】 4.如下图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟抵达 2 处时，A乙船航行到甲船的北偏西120°方向的 B2处，此时两船相距 10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形的一般步骤(1)剖析题意，正确理解题意分清已知与所求，特别要理解应用题中的相关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方向角等．(2)依据题意画出表示图．(3)将需求解的问题归纳到一个或几个三角形中，经过合理运用正弦定理、余弦定理等相关知识正确求解．演算过程中，要算法精练，计算正确，并作答．(4)查验解出的答案能否拥有实质意义，对解进行弃取．2．解斜三角形实质应用举例(1)常有几种题型丈量距离问题、丈量高度问题、丈量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方向角等名词，并能正确地找出这些角；②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理联合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与丈量、几何计算相关的实质问题是高考的热门，一般以解答题的形式考察，主要考察计算能力和剖析问题、解决实质问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考察．1．(2012 ·江西卷 )E，F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三平分点，则tan∠ECF＝ ()16233A.27B.3C. 3D.42．(2012 ·陕西卷 )如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋ 3 )海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东 45°， B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的C点的营救船立刻前去营救，其航行速度为 30 海里 / 时，该营救船抵达 D 点需要多长时间？。

第7讲 解三角形应用举例

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