2012新课标北师大版数学同步导学课件：第4章《数系的扩充与复数的引入》
北师大版选修12第四章数系的扩充与复数的引入ppt课件
4.1 数系的扩充和复数的概念
2、数的发展过程
自然数 分数
有理数 无理数
实数 虚数
复数
虚数集 复数集
纯虚数集
实数集
解:令x=bi(b∈R,b≠0),则 (bi)2+[t2-t+2t(bi)]=0
即 (-b2-2bt)+(t2-t)i=0 ∴ -b2-2bt＝０ t2-t＝０
3.2.1复数代数形式的四则运算
复数 加法
复数 减法
1、规定复数的加法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (a,b) +(c,d) =(a+c , b+d)
2、复数加法交换律、结合律： 对任意复数z1,z2,z3有
Z1+z2= z2+Z1 (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) 3、规定复数的减法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
３、熟悉应用
例１实数m取什么值时，复平面内表示复数 Ｚ＝（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点
（１）位于第四象限？ （２）位于第一、三象限？ （３）位于直线y=x上？
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
高中数学北师大版选修2-1第四章《数系的扩充与复数的引入》ppt课件
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间 的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对， 只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根 据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对于①，若a＝－1时，(a＋1)i为实数； 对于②，若x＋yi(x，y∈R)是实数，则y＝0； 对于③，因为a＋i和b＋i是虚数，所以不能比较大小； 由复数相等的条件可知④正确． 答案：B
[例 2] (1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求 x 与 y；
问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面 内的点表示吗？
提示：可以． 问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何 对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？ 提示：一一对应，一一对应．
问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量 OZ ＝(a， b)有何对应关系？
的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
()
A．(－5,5)
B．(5，－5)
C．(5,5)
D．(－5，－5)
解析：向量 OA ，OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量
4.1数系的扩充与复数的引入 课件(高中数学选修1-2北师大版)
3．在教学中，应引导学生体会复数相等的充要条件的 意义和用法，它是化“虚”为“实”的桥梁． 4．教学时，应强调建立复平面的意义，它使实数与数 轴上的点之间的一一对应扩展到复数与复平面内的点之间的 一一对应，即从一维空间扩展到二维空间，使复数有了几何 形象．
●教学流程
演示结束
1.了解数系的扩充过程(重点)． 课标解读 2．了解复数的有关概念及分类(重点)． 3．理解两个复数相等的充要条件(重点)． 4．理解复数的几何意义(难点).
题．清楚复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数、虚数及纯虚数的限 制条件是解决本题的关键．
【自主解答】 (1)若z为实数，
2 m ＋5m＋6＝0， 则 m＋3≠0，
解得m＝－2. ∴当m＝－2时，z为实数． (2)若z为虚数，
2 m ＋5m＋6≠0， 则 m＋3≠0，
解得m≠－2且m≠－3. ∴当m≠－2且m≠－3时，z为虚数．
(3)若z为纯虚数， m2－m－6 ＝0， 则 m＋3 2 m ＋5m＋6≠0， 解得m＝3. ∴当m＝3时，z为纯虚数．
1．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数 时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一 个前提条件． 2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时为实数；当 b≠0时为虚数；a＝0且b≠0时为纯虚数．
●教学建议 1．教学时应从两个方面阐述数的发展，首先是因生产 和科学发展的需要而使数逐步扩充的过程；其次数集的每一 次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运 算不是永远可以实施的矛盾． 2．教学时应强调数系扩充应满足的两个条件：一是数 系扩充后仍然保持原有数系中的运算法则和运算关系；二是 新数系解决了原有数无法解决的矛盾．
b＝0
北师大版数学选修12 第四章 数系的扩充与复数的引入课件38张
2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )
A．－1
B．1
C．±1
D．不存在
[答案] C
[解析] (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1．
第四章 §1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
A．0
B．1
C．2
D．3
第四章 §1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
[错解] 两个复数不能比较大小，故①正确； 设z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R) ∵z1与z2的虚部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正确． 若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0， 所以(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，故③正确． 综上可知：①②③都正确，故选D．
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0
第四章 §1 第1课时
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1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． [答案] 1或－3
第四章 §1 第1课时
(2)∵z 为虚数，∴mm2＋－32≠m0－15≠0 ， ∴mm≠ ≠5－且3m≠－3 ，∴m≠5 且 m≠3． ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
第四章 §1 第1课时
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m2－m－6＝0
(3)∴z 为纯虚数，∴m＋3≠0
第四章 §1 第1课时
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高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四
答案：
3 2
1 2
4．(1)已知 z1＝2＋i，z2＝3－4i，计算 z1·z2. (2)已知 z1＝1＋2i，z2＝3－4i，计算zz21. 解析： (1)z1·z2＝(2＋i)(3－4i)＝6－8i＋3i－4i2＝10－5i. (2)zz21＝13＋－24ii＝13＋ －24ii33＋ ＋44ii＝－52＋5 10i＝－15＋25i.
代入z·z ＋3iz－ z ＋5＝0 → 化简整理得P的轨迹方程
→ 代入法求Q的轨迹方程 (2) 根据复数的几何意义 → |z1－z2|的几何意义 → 结论
[边听边记] (1)设 z＝x＋yi(x，y∈R)． 则集合 P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0} ＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}， 故 P 表示以(0,3)为圆心，2 为半径的圆． 设 ω＝a＋bi(a，b∈R)． z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且 ω＝2iz.
4．共轭复数
如果两个复数满足___实__部__相__等__，__虚__部__互__为__相__反__数_____时， 称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用 z 表示．
即 z＝a＋bi，则 z ＝___a_－__b_i _.
共轭复数的性质 1．两个共轭复数的对应点关于实轴对称． 2．实数的共轭复数是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． 3．z·z ＝|z|2＝| z |2∈R.z 与 z 互为实数化因式．
答案： A
2．若 i 为虚数单位，右图复平面
内点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋z i的
高中北师大数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入 1 第1课时
(3)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集，且 R∪{虚数}＝C，R∩{虚 数}＝∅.
(4)实数也是复数，但是复数不一定是实数，它也可能是虚数． 2．对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0 时， 它是实数 0；当 b≠0 时，叫作虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫作纯虚数．即
(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数．
(3)当kk22－－35kk－－46＝≠00 ，即 k＝4 时，z 是纯虚数．
(4)当kk22－－35kk－－46＝＝00 ，即 k＝－1 时，z 是零．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0 0
• 1．复数1－i的A虚部是( )
• A．－1
B．1
• C．i D．－i
• [解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A
．
• 2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈C R)是实数， 则a＝( )
• A．－1 B．1
• C．±1 D．不存在
• 〔跟踪练习3〕 • 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， • 求实数x、y的值．
[解析] 因为 x、y 为实数， 所以 2x－1、y＋1、x－y、－x－y 均为实数． 由复数相等的充要条件，
知2y＋x－11＝＝－x－x－yy ，
所以xy＝＝3－2 .
准确掌握概念
在下列命题中，正确命题的个数是( A )
• 〔跟踪练习2〕 • 实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展课件北师大版选修1_2
z 不一定为虚数
a，b，c，d 为实数时，a＝c 且 b＝d 成
立，a、b、c、d 为 C 时，不一定成立
复数的分类
(12 分)已知复数 z＝a2－a27－a＋ 1 6＋(a2－5a－6)i(a∈ R)，试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
[思路导引] 分清复数的分类，根据实部和虚部的取值情况 进行判断，列出关于 a 的等式或不等式进行求解．
(2)当 z 为虚数时，∵m 是实数， ∴mm22m－－m＋m2＋m3－2－6≠ 150有意义， ∴m≠－3 且 m≠－2 且 m≠3， 即当 m∈(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,3)∪(3，＋∞)时， z 为虚数．
(3)当 z 为纯虚数时，∵m 是实数， ∴mm22m－－m＋2m＋m3－2－61≠5＝0，0， 即mm＝ ≠53或 且mm＝ ≠－ －32， 且m≠－3， ∴m＝5，即当 m＝5 时，z 为纯虚数．
[规范解答] (1)当 z 为实数时，
a2－5a－6＝0，
则a2－a2－7a1＋6有意义，
2分
∴aa＝ ≠－±11，，或a＝6，
∴当 a＝6 时，z 为实数.
4分
(2)当 z 为虚数时，则有
a2－5a－6≠0， a2－a2－7a1＋6有意义，
∴aa≠ ≠－ ±11，，且a≠6，
由①得 a＝0 或 a＝－32， 由②得 a＝0 或 a＝－1， 由③得 6a－1<0， 由①②得 a＝0 代入③成立． 因此 a 的值为 0.
•
两个实数可以比较大小，但两个复数
中只要有一个为虚数，就不能比较大小，因为：
• 若任意两个复数可以比较大小，如0与i，由复数相 等的定义知0≠i，则必有0<i或0>i，这两种情况中有 且只有一种成立．若0<i⇒0·i<i2⇒0<－1这与0>－1
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修1-2
反思与感悟 (1)虚数单位i的周期性. ①i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i,i4n＝1(n∈N). n也可以推广到整数集. ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N).
跟踪训练 2 计算：
－1＋2 23＋3ii＋1＋2i2
4－8i2－－4＋8i2
004＋
.
11－ 7i
解
c2＋d2
＋
c2＋d2
i(c2＋d2≠0).
题型一 复数乘除法的运算
例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)； 解 (2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5. (2)(1＋2i)2. 解 (1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
反思与感悟 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则 进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方 差公式、完全平方公式等. (2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫作互为共轭复数,其 形态特征为a＋bi和a－bi,其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝ a2＋b2.
12 345
4.设复数 z 的共轭复数是 z ,若复数 z1＝3＋4i,z2＝t＋i,且 z1·z 2
是实数,则实数 t 等于( )
A.34
B.43
C.－34
D.－34
解析 ∵z2＝t＋i,∴ z 2＝t－i. z1·z 2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i, 又∵z1·z 2∈R,∴4t－3＝0,∴t＝34. 答案 A
i1＋2 原式＝
1＋2
33ii＋1＋2i21
4－8i＋4－8i 002＋(4－8i＋8i－4)
11－ 7i
＝i＋(－i)1 002＋0＝－1＋i.
题型三 共扼复数及其应用
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1.2二复数的有关概念二课件北师大版选修1_2
本课结束
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
取值范围是
A.a<－1或a>1
√ B.－1<a<1
C.a>1
D.a>0
解析 因为|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 4＋1＝ 5，
所以 a2＋4< 5，即 a2＋4<5，
所以a2<1，即－1<a<1.
1 2 34 5
解析 答案
4.若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z| ＝_3__.
所以－7<m<3.
1 2 34 5
解答
(2)位于x轴的负半轴上. 解 由mm22＋ －38mm－ ＋2185＝ <00，， 得3m<＝m－<57，或m＝4， 所以m＝4.
1 2 34 5
解答
1.复数的几何意义
规律与方法
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用 几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加 了解决复数问题的途径. (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
第四章 §1 数系的扩充与复数的引入
1.2 复数的有关概念(二)
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及 它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入本章知识体系课件 北师大版选修1-2
已知z＝3＋ai，且|z－2|<2，求实数a的取值范围．
【解析】 解法1：利用模的定义，从两个已知条件 中消去z，
∵z＝3＋ai(a∈R)，由|z－2|<2，得|3＋ai－2|<2， 即|1＋ai|<2. ∴ 12＋a2<2，解得－ 3<a< 3.
解法2：利用复数的几何意义． 由条件|z－2|<2可知，z在复平面内对应的点Z，在以 (2,0)为圆心，2为半径的圆内(不包括边界)，如图，由z＝3 ＋ai可知z对应的点Z在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点) 为动点Z的集合． 由图知－ 3<a< 3.
(2)
25＋－42ii31－4＋i5i＝2
21＋i3i5－4i 5－4i1－i
＝2 212＋i4i＝ 2(1＋i)4i
＝ 2i[(1＋i)2]2＝ 2i(2i)2＝－4 2i.
复数的几何意义
复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内唯一对应着点
Z(a，b)，也唯一对应着向量
→ OZ
＝(a，b)．向量
复习课件
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入本章知识体系课件 北师大版选引入
本章知识体系
知识网络 专题突破 单元综合测试
知识网络
复数的概念复复数数的相分等类实虚数数纯非虚纯数虚数
复数
复数的几何意义 复数的模 共轭复数
复数的四则运算复复复数数数的的的加乘除法法法、运运减算算法法法法则则则
【答案】 C
【规律方法】 利用复数的运算法则化简，确定复数 再利用共轭复数的概念写出其共轭复数．
在复平面内，复数
2 1＋i
对应的点与原点的距离是
()
A．1
新课堂高中数学北师大版选修1-2课件：第4章 §1 数系的扩充与复数的引入
A．|a|＝|b|
B．a<0 且 a＝－b
C．a>0 且 a≠b
D．a>0 且 a＝±b
【解析】 要使复数 z 为纯虚数，则aa＋2－|ab|2≠＝00，，
∴a>0，a＝±b.故选 D.
【答案】 D
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复数相等
(1)下列命题：
①若 a＋bi＝0，则 a＝b＝0；
②x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；
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教材整理 2 复数的有关概念 阅读教材 P74“1.2 复数的有关概念”以下至 P75“练习”以上部分，完成下 列问题． 1．两个复数相等 a＋bi＝c＋di 当且仅当____a_＝__c_，__且__b_＝__d_____.
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2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)一―一―对→应复平面内的点__Z_(_a_，__b_)__； (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)一―一―对→应复平面向量___O_→_Z_＝__(_a_，__b_) __． 3．复数的模 设复数 z＝a＋bi 在复平面内对应的点是 Z(a，b)，点 Z 到原点的距离|OZ| 叫作复数 z 的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝___a_2_＋__b_2 __.
【精彩点拨】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解． 【自主解答】 (1)∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，∴xx22－ ＋13＝x＋02，≠0. 由 x2－1＝0，得 x＝±1，又由 x2＋3x＋2≠0，得 x≠－2 且 x≠－1，∴x＝1. (2)∵z 是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.
阶
阶
段
段
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入4.2复数的四则运算课件北师大版选修1_2
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
4．若1－2 i＝a＋bi(i 为虚数单位，a，b∈R)，则 a＋b＝________. 【解析】 因为1－2 i＝1－21i＋1＋i i＝1＋i，所以 1＋i＝a＋bi，所以 a＝1，b
＝1，所以 a＋b＝2.
【答案】 2
高中数学(北师大版,选修12)：第四章+数系的扩充与复数的引入(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检
第四章 §1 第2课时一、选择题1．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数[答案] D[解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 [答案] A[解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A. 3．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2或a ≠－1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0[答案] C[解析] 由题意知a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.4．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →|等于( ) A. 5B ．2 5C ．4D ．13 [答案] D[解析] 由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13，故选D.5．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2 B ．x <2 C ．x >－45D ．x <－45或x >2 [答案] A[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10，∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2. 6．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.二、填空题7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．[答案] (1,2)[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0， 解得1<x <2.8．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈R )，且z ＜0，则|z |＝______________.[答案] 2[解析] 认真审题，把握“z ＜0”，说明“z 是实数且小于0”，然后具体求解．因为z ＜0，则z ∈R ，所以虚部k 2－5k ＋6＝0解得k ＝2或k ＝3.当k ＝3时，z ＝0，不合题意，故舍去，∴z ＝－2，∴|z |＝2.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.[答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0， ∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.三、解答题10．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0， 解得m ＜－1－52或m ＞32， 即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.一、选择题11．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2， ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π， ∴cos α2＜0， ∴4cos 2α2＝－2cos α2. 12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)[答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4，∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)． 故选C.13．若A 、B 是锐角△ABC 的两内角，则复数z ＝(cos B －sin A )＋(sin B －cos A )i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析] ∵A 、B 是锐角△ABC 的两内角，∴A ＋B ＞π2① 由①得 A ＞π2－B ， ∵A 、B 为锐角△ABC 的内角，∴A ∈(0，π2)，(π2－B )∈(0，π2)， 又在(0，π2)，正弦函数单调递增， ∴sin A ＞sin(π2－B )， 即sin A ＞cos B ，∴cos B －sin A ＜0.又由①可得 B ＞π2－A ， 同理可得sin B ＞sin(π2－A )， 即sin B ＞cos A ，∴sin B －cos A ＞0.即z 对应的点在第二象限．二、填空题14．设复平面内点A 、B 对应复数分别为1＋i,2－i ，O 为坐标原点，向量O C →＝A B →，则点c 在第________象限．[答案] 四[解析] 由条件知A (1,1)，B (2，－1)，∴A B →＝(1，－2)，∴O C →＝(1，－2)，又O 为坐标原点，∴点C 在第四象限．15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i.由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4. ∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________．[答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12. 三、解答题17．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)．消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．18．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？[解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆．解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．。
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第四章 §2 第1课时一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i)＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限．3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A. 4．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →对应的复数为( )A ．1＋5iB ．3＋iC ．－3－iD ．1＋i[答案] B[解析] 向量OA →对应的复数即为A 点对应的复数，又因为BA →＝OA →－OB →，而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i ，故BA →对应的复数为3＋i ，故选B.5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－i D ．－34＋i [答案] D[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ， 因此有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1， 故z ＝34＋i ，故选D. [点评] ∵|z |∈R ，z ＝2－|z |＋i ，∴z 的虚部为1，因此可设z ＝a ＋i(a ∈R )，由此得a ＋i ＋a 2＋1＝2＋i 解出a .6．复数z ＝sin1 000°－icos1 000°在复平面内所对应的点Z 位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝sin(－80°)－icos(－80°)＝－sin80°－icos80°，∴－sin80°<0，－cos80°<0，∴点Z 在第三象限．故应选C.二、填空题7．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.8．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.[答案] －1[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 9．在复平面内，O 是原点，O A →、OC →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C→对应的复数为________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数；(2)求D B →对应的复数；(3)求△APB 的面积．[答案] (1)－2＋2i (2)5 (3)52[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， P B →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0，于是P A →·P B →＝－54， 而|P A |→＝172，|PB |→＝52， 所以172·52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|P A |→|PB |→sin ∠APB ＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52. [点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．实数x 、y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1[答案] A[解析] ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1. ∴xy ＝1.12．若复数x 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4 [答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7] D ． [916，1] [答案] C [解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916， ∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]． 二、填空题14．已知k ∈R ，且关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，则实数k 的值为________．[答案] ±2[分析] 方程的实根必然适合方程，设x ＝x 0为方程的实根，代入整理后得a ＋b i ＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x 0和k 的方程组，通过解方程组可得x 及k 的值．[解析] 设方程的实数根为x 0，则x 20＋(k ＋2i)x 0＋2＋k i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，(1)2x 0＋k ＝0，(2)将(2)代入(1)消去k 得：－x 20＋2＝0，∴x 0＝±2， 当x 0＝2时，k ＝－22，当x 0＝－2时，k ＝22，综上知，k ＝±2 2.15．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. [答案] 3[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i] ＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3. 三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.[答案] z 1＝5－9i y 2＝－8－7i[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.17．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. ∴sin B ＝7210.∴S＝|BA→||BC→|sin B＝5×10×72＝7，10∴平行四边形ABCD的面积为7.。
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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【变式训练】 2.计算：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)－1＋ii32＋i；
1＋2i2＋31－i
(2)
2＋i
.
解析： (1)－1＋ii32＋i＝－－3＋i i＝－1－3i.
(2)1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i
＝15＋25i.
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1．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵z＝i(1＋2i)＝－2＋i，∴复数z在复平面内对应的点为
Z(－2,1)，该点位于第二象限．
答案： B
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
→
→
(1)A O 所表示的复数，B C 所表示的复数；
→
(2)对角线 C A 所表示的复数；
(3)求 B 点对应的复数．
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→ →→
解析： (1)A O ＝－O A ，∴A O 所表示的复数为－3－2i.
→→ →
∵B C ＝A O ，∴B C 所表示的复数为－3－2i.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i (1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内．
解析： (1)由 z 为实数得，a2－3a＋2＝0，
即(a－1)(a－2)＝0.
解得 a＝1 或 a＝2.
a2－2a＝0
①
(2)由 z 为纯虚数得a2－3a＋2≠0 ②
解析： ∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i， ∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i， ∴复数(z1－z2)i的实部为－20. 答案： －20
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5．已知0＜a＜2, 复数z＝a＋i的模的取值范围是________．
解析： ∵|z|＝|a＋i|＝ a2＋1，且 0＜a＜2， ∴0＜a2＜4，∴1＜a2＋1＜5.∴1＜|z|＜ 5. 答案： (1， 5)
则 z 为( ) A．1＋i C．1－i
B．－1＋i D．－1－i
解析： 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z ＝a－bi，∴z－ z ＝2bi＝2i，∴b＝1.
又 a－bi＝i(a＋bi)，∴－b＝a，∴a＝－1，∴z＝－1＋i.
答案： B
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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4．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－ z2)i的实部为________．
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处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从 定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．每一个复数 z＝a＋bi(a，
→ b∈R)，在复平面内有唯一的一个点 Z(a，b)和它对应，而点 Z(a，b)与OZ 存在唯一对应关系，故复数可用点或向量表示．
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(4)复数的模
→ 向量OZ的长度 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作
即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2
.
|z| 或 |a＋bi| ，
【思考探究】 任意两个复数能比较大小吗？ 提示： 不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小．
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(2010·全国新课标卷)已知复数 z＝1－3＋3ii2，z 是 z 的共轭复数，则
z·z ＝( )
1
1
A.4
B.2
C．1
D．2
【全解全析】 方法一：由 z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i
得
z
＝－2＋3－2 i
， 3i
∴z·z
＝－2－3＋2 i
由①得 a＝0 或 a＝2，
由②得 a≠1 且 a≠2，
∴a＝0.
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(3)当 z 对应的点在第一象限时，
a2－2a＞0
a＜0或a＞2
有a2－3a＋2＞0 ，得a＜1或a＞2 ，
解得 a＜0 或 a＞2.
∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
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2．复数的几何意义 (1)复平面的概念： 建立直角坐标系来表示复数的平面 复平面．
叫做
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做 实轴 ，y轴叫做 虚轴 ， 实轴上的点都表示 实数 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ．
(3)复数的几何表示： 复数 z＝a＋bi 复平面内的点
z(a，b) 平面向量O→Z.
a＝1， a＝－1， 解得b＝－1 或b＝1， 则 z1＝1－i 或 z1＝－1＋i.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
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1．复数的代数运算 (1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识 有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的 性质． (2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如i、1±i等)的运算， 这就要求熟练掌握特殊复数的运算性质以及整体消元的技巧，才能减少 运算量，节省运算时间，达到事半功倍的效果．
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2．复数的几何意义 (1)
(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离． (3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离． 结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何 有机地结合在一起，达到了学科间的融合，而且方法更灵活．
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解析： (1)41＋ －22ii－(1－i)2＝41＋ －22ii11＋ ＋22ii＋2i ＝150i＋2i＝4i. (2)∵1a＋ ＋2bii＝1＋i， ∴a＋bi＝11＋＋2ii＝11＋＋2ii11－－ii＝3＋2 i， ∴a＝32，b＝12. 答案： (1)D (2)A
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3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c＋di≠0)．
3－i 3i·－2＋2
3i＝43＋＋112＝14.
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方法二：∵z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i
， 3i
∴|z|＝|－|2－3＋2 i|3i|＝24＝12.
∴z·z ＝|z|2＝14.
答案： A
【阅后报告】 解答本题利用复数的运算性质，方法一先是计算复 数 z，再求 z ；而方法二是利用|z|2＝z·z 进行计算，计算量较小．
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(2)复数的运算定律 若z1、z2、z3∈C，m、n∈N＋，则 ①z1＋z2＝ z2＋z1 . ②(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． ③z1z2＝ z2z1 . ④z1(z2z3)＝(z1z2)z3 . ⑤z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 . ⑥zmzn＝ zm＋n . ⑦(zm)n＝ zmn . ⑧(z1z2)n＝z1nz2n .
→→→
(2)C A ＝O A －O C ，
→
∴C A 所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
→ →→→ → (3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，
→ ∴OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对应的复 数为 1＋6i.
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【变式训练】 3.若复数 z1 与 z2 在复平面上所对应的点关于 y 轴对 称，且 z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝ 2，求 z1.
解析： 设 z1＝a＋bi，则 z2＝－a＋bi(a，b∈R)， ∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝ 2，
a＋bi3－i＝－a＋bi1＋3i， ∴a2＋b2＝2，
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1．(2010·天津卷)i 是虚数单位，复数－11＋＋23i i＝(
)
A．1＋i
B．5＋5i
C．－5－5i
D．－1－i
解析： －1＋1＋2i3i＝－11＋＋23ii11－－22ii＝5＋5 5i＝1＋i.
答案： A
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第4课时 数系的扩充与复数的引入
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1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的 实部 和 虚部 ．若 b＝0 ，则a＋bi为实数；若 b≠0 ，则a＋bi为虚数；若 a＝0，b≠0 ，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝b，c＝d (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＋d＝0 (a，b，c， d∈R)．