2012年高考理科数学解析分类汇编14推理与证明
2012年高考真题汇编——理科数学：14：推理与证明.pdf
? 健康及其条件 1.生活有规律： (1)合理安排_________。
(2)合理调节_______________________________的关系。
2.合理膳食： (1)食品中应尽量包含人体所需的各种_________和提供足够的 _____。
(2)严格注意饮食卫生,防止食品被_____,不吃_____的食物。
(3)防止_________或限制饮食,防止_____。
探究主题一 养成健康的生活习惯?生活节奏 学习与休息、脑力活动与体力活动 营养成分 能量 污染 不洁 暴饮暴食 偏食 3.合理用药： (1)原则：强调安全、_____、经济、_____。
(2)注意事项：用药前要_________,用药剂量要_____,用药时间 要_____,用药途径要_____,联合用药要_____。
慎用_______。
有效 适当 明确诊断 适当 科学 适宜 合理 抗生素 4.拒绝吸烟、酗酒、吸毒： (1)过量饮酒便是_____,会导致_____中毒。
(2)吸烟是影响_________健康的重要原因之一。
联合国已将每 年的5月31日定为“___________”。
(3)毒品损害人的___________,影响_____________、血液循环 系统和_________的功能,还会降低人的_____功能。
国际上把每 年的6月26日定为“___________”。
酗酒 酒精 呼吸系统 世界无烟日 大脑和心脏 中枢神经系统 呼吸系统 免疫 国际禁毒日 【特别提醒】1.睡眠是脑得到充分休息的最佳方式,因此,每天 要保证充足的睡眠。
2.拒绝毒品的最好办法是在任何情况下都不要去尝试它。
1.“人只要不生病就一定健康”这种说法对吗?为什么? 提示：不对。
健康是一种身体上、心理上和社会适应能力方面的良好状态,不生病只是身体健康。
2.一到考试就“开夜车”突击复习,这是否符合健康的生活习惯?为什么? 提示：不符合健康的生活习惯。
2005-2012年高考数学(文)试题分项 专题14 复数、推理与证明 (1)
【答案】8。
【分析】由 得 ，所以 ， 。
(2012高考上海文1)计算： （ 为虚数单位）
【答案】
【解析】复数 。
(2012高考全国文12)正方形 的边长为 ，点 在边 上，点 在边 上， 。动点 从 出发沿直线向 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 第一次碰到 时， 与正方形的边碰撞的次数为
2.（2011年高考海南卷文科2)复数 =( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 = ,故选C.
5．(2011年高考广东卷文科1)设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 =（）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】由题得 所以选A.
6.（2011年高考江西卷文科1)若 ，则复数 =（）
（1）b2+b4+b6+b8=__；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.
(2012高考湖北文17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3，6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数 ，则
（A） (B)
(C) (D)
【答案】A
【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。
【解析】由 可得 ，所以 ，解得 ， ，故选A。
（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)14：推理与证明-(5457)
2012高考真题分类汇编：推理与证明1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,a b ab3344554,7,11,a ba bab则1010abA ．28B ．76C ．123D ．199【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21n nn a a a ，所以可推出12310a ，选 C.2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16（B ）14（C ）12(D)10【答案】B【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169dV . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是11.3169d VB ．32dVC ．3300157dVD ．32111dV【答案】D 【解析】33466b 69()d ,,===3.37532b 16616157611==3==3.14,==3.142857230021dV aV A a B D 由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。
4.【2012高考真题陕西理11】观察下列不等式213122231151233，474131211222……照此规律，第五个．．．不等式为.【答案】6116151413121122222.【解析】通过观察易知第五个不等式为6116151413121122222.5.【2012高考真题湖南理16】设N =2n（n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i段，每段2iN 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；（2）当N=2n（n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n 【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16), 113571524616P x x x x x x x x x ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n 个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.【2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()n n N 位回文数有个．【答案】90，n109【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109种。
2012年高考真题理科数学解析汇编选考内容2012年高考真题理科数学解析汇编选考内容
2012年高考真题理科数学解析汇编选考内容几何一、选择题1 ．（2012年高考（四川理））如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使1AE=,连接EC、ED则sin CED∠=A．10B．10C．10D2 ．（2012年高考（四川理））函数29,3()3ln(2),3xxf x xx x⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x=处的极限是（）A．不存在B．等于6C．等于3D．等于03 ．（2012年高考（江西理））在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则222||||||PA PBPC+=（）A．2 B．4 C．5 D．104 ．（2012年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则（）A．CE·CB=AD·DBB．CE·CB=AD·ABC．AD·AB=2CD二、填空题5 ．（2012年高考（重庆理））n=______________________ .6 ．（2012年高考（上海理））如图,在极坐标系中,过点)0,2(MB6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf _________ .7 ．（2012年高考（上海理））有一列正方体,棱长组成以1为首项,21为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,,V n ,,则=+++∞→)(lim 21n n V V V _________ . 8 ．（2012年高考（上海理））函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是_________ .[来源:数理化网]9 ．（2012年高考（上海春））若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足:11122122,,,{1,1},a a a a ∈-且111221220a a a a ＝ ,则这样的互不相等的矩阵共有______个.10．（2012年高考（陕西理））(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________.内容试卷试题请选定其中一题化学教案并在相应的答题区域内作答试卷试题若两题都做化学教案则11．（2012年高考（陕西理））如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=__________.12．（2012年高考（陕西理））若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.13．（2012年高考（山东理））若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________.14．（2012年高考（江西理））在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
2012高考数学(理)专题练习：十四 推理与证明
高考专题训练十四推理与证明班级_______姓名_______时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1.依次写出数列a1＝1，a2，a3，…，a n(n∈N*)的法则如下：如果a n－2为自然数且未写过，则写a n＋1＝a n－2，否则就写a n＋1＝a n＋3，则a6＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：根据题中法则，依次逐个代入，得a2＝4，a3＝2，a4＝0，a5＝3，a6＝6.答案：C2．(2011·郑州市高中毕业班第一次质量预测)已知a，b，c∈R＋，若ca＋b<ab＋c<bc＋a，则()A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a解析：由已知得c(b＋c)<a(a＋b)，a(c＋a)<b(b＋c)，即(c－a)(a＋b＋c)<0，(a－b)(a＋b＋c)<0.又a＋b＋c>0，因此有c－a<0，a－b<0，故c<a<b，选A.答案：A3．(2011·四川省绵阳市高三第二次诊断性测试)记a＝Sin (cos2010°)，b＝sin(sin2010°)，c＝cos(sin2010°)，d＝cos(cos2010°)，则a、b、c、d中最大的是()A．a B．bC．c D．d解析：注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos12>cos32>0，a＝sin⎝⎛⎭⎪⎫－32＝－sin32<0，b＝sin⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－sin12<0，c＝cos⎝⎛⎭⎪⎫－12＝cos12>d＝cos⎝⎛⎭⎪⎫－32＝cos32>0，因此选C.答案：C4．(2011·江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a，b，c成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是()A．|b－a＋1c－b|≥2 B．a3b＋b3c＋c3a≥a4＋b4＋c4C．b2>ac D．|b|－|a|≤|c|－|b|解析：设等差数列a，b，c的公差为d(d≠0)，则|b－a＋1c－b|＝|d＋1d|＝|d|＋|1d|≥2 |d|×1|d|＝2，因此A成立；b2－ac＝⎝⎛⎭⎪⎫a＋c22－ac＝(a－c)24>0，因此C成立；由2b＝a＋c得|2b|＝|a＋c|≤|c|＋|a|，即|b|－|a|≤|c|－|b|，因此D成立；对于B，当a＝－1，b＝－2，c＝－3时，a3b＋b3c＋c3a＝53，a4＋b4＋c4＝98，此时B不成立．综上所述，选B.答案：B5．(2011·西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解析：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数对，这样的前n组一共有n(n＋1)2个整数对，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.答案：B6．(2011·江苏镇江模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是()A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·南昌一模)观察下列等式：12＝112－22＝－3，12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n 2. 答案：(－1)n ＋1n 2＋n28．(2011·东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有___________________________ _________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 9．(2011·山东威海模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析：1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12>12764，整理得2n >128，解得n >7，故原不等式的初始值至少应为8.答案：810．(2011·辽宁沈阳模拟)用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n＝k 时的等式左边的差等于________．解析：当n ＝k 时，等式左边为(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋1＋k ＋1)，所以其差为3k ＋2.答案：3k ＋2三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a n －2S n ＝1，数列{b n }满足b n ＝2log 12a n ，n ∈N *.(1)求函数{a n }的通项公式a n 与{b n }的前n 项和T n ； (2)设数列{b na n}的前n 项和为U n ，求证：0<U n ≤4.解：(1)易得a 1＝12.当n ≥2时，4a n －2S n ＝1， ① 4a n －1－2S n －1＝1， ② ①－②得2a n －4a n －1＝0⇒a n ＝2a n －1， ∴a n a n －1＝2(n ≥2)，∴数列{a n }是以a 1＝12为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －2，a 1＝12也适合此式，故a n ＝2n －2.从而b n ＝4－2n ，其前n 项和T n ＝－n 2＋3n .(2)证明：∵{a n }为等比数列、{b n }为等差数列，b n a n ＝4－2n2n －2.∴U n ＝212＋01＋－22＋…＋6－2n 2n －3＋4－2n 2n －2， ③12U n ＝21＋02＋－222＋…＋6－2n 2n －2＋4－2n 2n －1， ④ ③－④得12U n ＝4－21－22－222－…－22n －2－4－2n 2n －1，∴U n ＝4n2n －1.易知U 1＝U 2＝4，当n ≥3时，U n －U n －1＝2－n2n －3<0，∴当n ≥3时，数列{U n }是递减数列， ∴0<U n ≤U 3＝3. 综上，0<U n ≤4.12．(13分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解：由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由已知a 1＝2，b 1＝4可得结论成立．②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，结论成立，即a k＝k(k＋1)，b k＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝2b k－a k＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，b k＋1＝a2k＋1b k＝(k＋1)2(k＋2)2(k＋1)2＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2对一切n∈N*都成立．。
高考数学 14 复数、推理与证明试题解析 教师版 文
2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题14 复数、推理与证明--教师版一、选择题:1. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i2.（2012年高考山东卷文科1）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 3.（2012年高考辽宁卷文科3）复数11i=+ (A)1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i +4.(2012年高考广东卷文科1)设i 为虚数单位，则复数34ii+= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D 【解析】因为34i i +=(34)()1i i +⋅-=43i -,故选D. 【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题. 5.(2012年高考天津卷文科1)i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I（C ）1+I （D ）-1-i 【答案】C 【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C.6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
i ii i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．7.（2012年高考安徽卷文科1）复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ） （A ）1i -- （B ）1i - （C ）13i -+ （D ）12i -8. (2012年高考湖南卷文科2)复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C. 1-i D.1+i9. (2012年高考浙江卷文科2) 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-(3)(1)2412(1)(1)2i i ii i i +++===+-+. 【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。
2012年高考试题分项解析数学(理科)专题14 复数、推理与证明(学生版).pdf
整式及其运算一、选择题(每小题6分共18分)(2014·舟山)下列运算正确的是( )＋a＝3a(－a)＝a(－a)a2＝－a(2a2)3＝6a 2．(2012·安徽)为增加绿化面积某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖更换后图中阴影部分为植草区域设正八边形与其内部小正方形的边长都为a则阴影部分的面积为( )解析：四个等腰直角三角形拼在一起成为边长为a的正方形加上中间一块正方形所以阴影部分面积为2a(2014·毕节)若－2ab4与5a＋2＋n可以合并成一项则m的值是( )－1 ．二、填空题(每小题6分共30分)(2014·连云港)计算(2x＋1)(x－3)＝__2x－5x－3__．(2014·凉山)已知x＝＋＝－则＋＝__10__．(2012·长沙)若实数a满足|3a－1|＋b＝0则a的值为__1__．(2012·黔东南州)二次三项式x－kx＋9是一个完全平方式则k的值是__±6__．解析：∵xkx＋9＝x－kx＋3－kx＝±2×x×3解得k＝±6(2014·扬州)设a是从1－1这三个数中取值的一列数若a＋a＋…＋a＝69(a1＋1)＋(a＋1)＋＋(a＋1)＝4001则aa2014中为0的个数__165__．三、解答题(共52分)(10分)计算：(1)(2012·乐山)3(2x－y)－2(3y－2x)；原式＝6x－3y－6y＋4x＝10x－9y(2)(2014·无锡)(x＋1)(x－1)－(x－2) 原式＝x－1－x＋4x－4＝4x－5(12分)先化简再求值：(1)(2012·泉州)(x＋3)＋(2＋x)(2－x)其中＝－2；原式＝x＋6x＋9＋4－x＝6x＋13当x＝－2时原式＝6×(－2)＋13＝1(2)(2014·衡阳)(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b其中a＝1＝－2.原式＝a－b＋ab＋2b－b＝a＋ab；当a＝1＝－2时原式＝1＋1×(－2)＝1－2＝－111．(10分)观察下列算式：×3－2＝3－4＝－1－3＝8－9＝－1－4＝15－16＝－1________________________， …… (1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式解：(1)4×6－5＝24－25＝－1(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)＝－1(3)n(n＋2)－(n＋1)＝n＋2n－(n＋2n＋1)＝n＋2n－n－－＝－1.所以一定成立(10分)(2012·珠海)观察下列等式：＝132×21＝143×31＝253×32＝374×43＝682×26以上每个等式中两边数字是分别对称的且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空使式子称为“数字对称等式”：____＝____×25；____×396＝693×____．(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a个位数字为b且2≤a＋b≤9写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a)，并证明．解：(1)①∵5＋2＝7左边的三位数是275.右边的三位数是572＝572×25；②∵左边的三位数是396左边的两位数是63右边的两位数是36×396＝693×36；故答案为：①275；②63 (2)∵左边两位数的十位数字为a个位数字为b左边的两位数是10a＋b三位数是100b＋10(a＋b)＋a右边的两位数是＋三位数是100a＋10(a＋b)＋b一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋]×(10b＋a)证明：左边＝(10a＋b)×[100b＋10a＋b)＋a]＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a)右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)左边＝右边故“数字对称等式”一般规律的式子为：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋]×(10b＋a)(10分)试确定a和b使x＋ax－bx＋2能被＋＋2整除．解：由于x＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．因此设x＋ax－＋＝(x＋1)(x＋2)·M.当x＝－1时即1＋a＋b＋2＝0当x＝－2时即16＋4a＋2b＋2＝0＝－6＝32015年河北名师预测下列运算正确的是( )·＝＝a(＋)(－)＝(－a)＝(－a)已知(m－n)＝8(m＋n)＝2则m＋＝( ) 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
2012年高考数学试题解析 分项版之专题14 复数 推理与证明 学生版 文
2012年高考数学试题解析分项版之专题14 复数推理与证明学生版文一、选择题:4.(2012年高考广东卷文科1)设i为虚数单位，则复数34ii+=（）A -4-3iB -4+3iC 4+3iD 4-3i5.(2012年高考天津卷文科1)i是虚数单位，复数534ii+-=（）（A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（）A．(1 ,3)B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1)10. (2012年高考福建卷文科1)复数（2+i）2等于（）A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i11.(2012年高考全国卷文科12)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，13AE BF==。
动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）312. (2012年高考上海卷文科15)若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=15. (2012年高考江西卷文科5)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y ）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y ）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y ）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x ，y ）的个数为（ ）A.76B.80C.86D.9216. (2012年高考上海卷文科18)若2sin sin ...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100二、填空题:20. (2012年高考湖北卷文科17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。
2012年高考数学 试题解析分项版之专题14 复数、推理与证明--教师版 文
2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题14 复数、推理与证明--教师版一、选择题:1. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i2.（2012年高考山东卷文科1）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 3.（2012年高考辽宁卷文科3）复数11i=+ (A)1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i +4.(2012年高考广东卷文科1)设i 为虚数单位，则复数34ii+= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D 【解析】因为34i i +=(34)()1i i +⋅-=43i -,故选D. 【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题. 5.(2012年高考天津卷文科1)i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I（C ）1+I （D ）-1-i 【答案】C 【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C.6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
i ii i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．7.（2012年高考安徽卷文科1）复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ） （A ）1i -- （B ）1i - （C ）13i -+ （D ）12i -8. (2012年高考湖南卷文科2)复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i9. (2012年高考浙江卷文科2) 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-(3)(1)2412(1)(1)2i i ii i i +++===+-+.【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。
2012届高考理科数学第一轮总复习-推理与证明
2012届高考理科数学第一轮总复习:推理与证明第十四章推理与证明高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解合情推理的含义.2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.4.了解演绎推理的重要性.5.掌握演绎推理的基本模式：“三段论”.6.能运用演绎推理进行简单的推理.7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点.11.了解数学归纳法的原理.12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题.本章重点：1.利用归纳与类比进行推理；2.利用“三段论”进行推理与证明；3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题；4.数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n(n∈N*)有关的数学命题.本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题；2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题；3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.知识网络14.1合情推理与演绎推理典例精析题型一运用归纳推理发现一般性结论【例1】通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.左边＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右边.【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”(周期性).【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b＜c＋h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.其中正确结论的序号是；进一步类比得到的一般结论是.【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).题型二运用类比推理拓展新知识【例2】请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知的前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积……【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则＝；(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则＝.【解析】2Sk；3VK.题型三运用“三段论”进行演绎推理【例3】已知函数f(x)＝lnax－x－ax(a≠0).(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥lnenn！.【解析】(1)由题意f′(x)＝x－ax2.当a＞0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值.当a＜0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值.(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝lnx－x－1x≥f(1)＝0，故1x≥1－lnx＝lnex，取x＝1,2,3，…，n，则1＋12＋13＋…＋1n≥lne＋lne2＋…＋lnen＝lnenn！. 【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.【变式训练3】已知函数f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx－1x＋1(e是自然对数的底数)，(1)若对任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求满足条件的最大整数k的值；(2)求证：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*). 【解析】(1)由条件得到f(1)＜2⇒＜2⇒k＜2ln2＋1＜3，猜测最大整数k ＝2，现在证明＜x＋1对任意x＞0恒成立：＜x＋1等价于2－3x＋1＜ln(x＋1)⇔ln(x＋1)＋3x＋1＞2，设h(x)＝ln(x＋1)＋3x＋1，则h′(x)＝1x＋1－3(x＋1)2＝x－2(x＋1)2.故x∈(0,2)时，h′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.所以对任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln3＋1＞2，即＜x＋1对任意x＞0恒成立，所以整数k的最大值为2.(2)由(1)得到不等式2－3x＋1＜ln(x＋1)，所以ln1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)，ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln1＋n(n＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋2－3n(n＋1)]＝2n－311×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1＞2n－3，所以原不等式成立.总结提高合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发；那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.14.2直接证明与间接证明典例精析题型一运用综合法证明【例1】设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋1ab≥8.【证明】因为a＋b＝1，所以1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝1＋ba＋1＋ab＋a＋bab≥2＋＋a＋b(a＋b2)2＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝12时等号成立.【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练1】设a，b，c＞0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【证明】因为a，b，c＞0，根据基本不等式，有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.题型二运用分析法证明【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求证：I2＜4S.【证明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，故要证I2＜4S，只需证a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.欲证上式，只需证a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，即证(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故I2＜4S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径. (2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.【变式训练2】已知a＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.【证明】要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.因为a＞0，故只要证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，从而只要证2a2＋1a2≥2(a＋1a)，只要证4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三运用反证法证明【例3】若x，y都是正实数，且x＋y＞2.求证：1＋xy＜2或1＋yx＜2中至少有一个成立.【证明】假设1＋xy＜2和1＋yx＜2都不成立.则1＋xy≥2，1＋yx≥2同时成立.因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2相矛盾.因此1＋xy＜2与1＋yx＜2中至少有一个成立.【点拨】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【变式训练3】已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0；x2＋(a－1)x ＋a2＝0；x2＋2ax－2a＝0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.【解析】假设三个方程均无实根，则有由(4a)2－4(－4a＋3)＜0，得4a2＋4a－3＜0，即－32＜a＜12；由(a－1)2－4a2＜0，得(a＋1)(3a－1)＞0，即a＜－1或a＞13；由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.以上三部分取交集得M＝{a|－32＜a＜－1}，则三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为∁RM，即{a|a≤－32或a≥－1}.总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐；综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“p⇒q”与逆否命题“q⇒p”是等价的，而反证法是相当于由“q”推出“p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等.14.3数学归纳法典例精析题型一用数学归纳法证明恒等式【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.【解析】假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立.当n＝1时，a(b＋c)＝1；当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.解方程组解得证明如下：当n＝1时，显然成立；假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；则当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2＝13k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝13(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝13(k＋1)2(k＋1)2＋1].因此存在a＝13，b＝2，c＝1，使等式对一切n∈N*都成立.【点拨】用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n＝k到n＝k＋1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.【变式训练1】用数学归纳法证明：当n∈N*时，11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1)＝n2n＋1.【证明】(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k ＋1)＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12k＋3＝k＋12(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】已知f(n)＝(2n＋7)•3n＋9，是否存在自然数m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【解析】由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n＝1时，结论显然成立；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)＝(2k＋7)•3k＋9能被36整除.则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)•3k＋1＋9＝3(2k＋7)•3k＋9]＋18(3k －1－1)，由假设知3(2k＋7)•3k＋9]能被36整除，又3k－1－1是偶数，故18(3k－1－1)也能被36整除.即n＝k＋1时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除.由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明.在证明n＝k＋1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.【证明】方法一：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9•8k＋9•9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，所以n＝k＋1时命题也成立.根据①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.方法二：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，所以n＝k＋1时命题也成立.根据①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(2009山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求证：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1•b2＋1b2•…•bn＋1bn＞n＋1成立.【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数).当n＝1时，a1＝S1＝b＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1.又数列{an}为等比数列，故r＝－1且公比为b.(2)当b＝2时，an＝2n－1，所以bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n(n∈N*)，所以bn＋1bn＝2n＋12n，于是要证明的不等式为32•54•…•2n＋12n＞n＋1对任意的n∈N*成立. 下面用数学归纳法证明.当n＝1时，32＞2显然成立.假设当n＝k时不等式成立，即32•54•…•2k＋12k＞k＋1.则当n＝k＋1时，32•54•…•2k＋12k•2k＋32k＋2＞k＋1•2k＋32k＋2＝k＋1•(2k＋32k＋2)2＝(2k＋3)24(k＋1)＝2(k＋1)＋1]24(k＋1)＝4(k＋1)2＋4(k＋1)＋14(k＋1)＝(k＋1)＋1＋14(k＋1)＞(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时不等式成立，所以原不等式对任意n∈N*成立.【点拨】运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法.【变式训练3】设函数f(x)＝ex－1＋ax(a∈R).(1)若函数f(x)在x＝1处有极值，且函数g(x)＝f(x)＋b在(0，＋∞)上有零点，求b的最大值；(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围；(3)在(1)的条件下，数列{an}中a1＝1，an＋1＝f(an)－f′(an)，求|an＋1－an|的最小值.【解析】(1)f′(x)＝ex－1－ax2，又函数f(x)在x＝1处有极值，所以f′(1)＝0，即a＝1，经检验符合题意.g′(x)＝ex－1－1x2，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x＝1时，g′(x)＝0，当x∈(1，＋∞)时g′(x)＞0，g(x)为增函数.所以g(x)在x＝1时取得极小值g(1)＝2＋b，依题意g(1)≤0，所以b≤－2，所以b的最大值为－2.(2)f′(x)＝ex－1－ax2，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex－1－ax2≥0在1,2]上恒成立，所以a≤x2ex －1，令h(x)＝x2，则h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在1,2]上恒成立，即h(x)在1,2]上单调递增，所以h(x)在1,2]上的最小值为h(1)＝1，所以a≤1；当f(x)在1,2]上单调递减时，同理a≥x2ex－1，h(x)＝x2ex－1在1,2]上的最大值为h(2)＝4e，所以a≥4e.综上实数a的取值范围为a≤1或a≥4e.(3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝1x＋1x2，因此an＋1＝1an＋1a2n，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，a3＝34，a4＝289，结论成立；②设n＝k，k∈N*时结论成立，即0＜a2k＋1＜1，a2k＋2＞2，则n＝k＋1时，a2k＋3＝1a2k＋2＋1a22k＋2＜12＋12＝1，所以0＜a2k＋3＜1，a2k＋4＝1a2k＋3＋1a22k＋3＞1＋1＝2.所以n＝k＋1时结论也成立，根据①②可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2恒成立，所以|an＋1－an|≥a2－a1＝2－1＝1，即|an＋1－an|的最小值为1.总结提高数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：设M是正整数集合的子集，且具有如下性质：①1∈M；②若k∈M，则k＋1∈M，那么必有M＝N*成立.数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如“归纳、猜想、证明”是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是“凑形”以便运用归纳假设的条件.。
高考数学分项版解析 专题14 推理与证明、新定义 理
【十年高考】（新课标2专版）高考数学分项版解析专题14 推理与
证明、新定义理
一．基础题组
1. 【2012全国，理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝
BF＝3
7
.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于
入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】 B
2. 【2005全国3，理12】计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （）A．6E B．72 C．5F D．B0
【答案】B
【解析】
3. 【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三
人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .
【答案】1和3
【考点】推理
【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.。
高考数学分项版解析 专题14 推理与证明、新定义 理1
【十年高考】（浙江专版）高考数学分项版解析 专题14 推理与证明、新定义 理一．基础题组1. 【2012年.浙江卷.理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝__________．2. 【2007年.浙江卷.理4】要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63. 【2015高考浙江，理6】设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 二．能力题组1. 【2014年.浙江卷.理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+2. 【2010年.浙江卷.理14】设112,,(2)(3)23n n n n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 其中n T =__________________ .3. 【2013年.浙江卷.理10】在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f βf α(P )]，Q 2＝f αf β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( )．A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°4.【2009年.浙江卷.理10】对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x ∀∈R 且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-．下列结论中正确的是 ( )A ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈B ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ C ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈D ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈ 5. 【2009年.浙江卷.理15】观察下列等式：1535522C C +=-， 1597399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-，1591317157171717171722C C C C C ++++=+，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=L ．三．拔高题组1. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．记n n a a a S +++=Λ21．)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=ΛΛ． 求证：当•∈N n 时， （Ⅰ）1+<n n a a ； （Ⅱ）2->n S n ； （Ⅲ）3<n T 。
2011-2012年高考数学真题分类汇编推理与证明(含解析)
推理与证明1．（2011年天津）对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 【答案】B 2．（2011年山东）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（λ∈R），1412A A A A μ=（μ∈R），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D3.（2011年湖北）若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =，则称a 与b互补，记(,),a b a b ϕ-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要的条件【答案】C4.（2011年福建）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量a=（x 1，y 1）∈V，b=（x 2，y 2）∈V，以及任意λ∈R，均有 ((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ+-=+-则称映射f 具有性质P 。
现给出如下映射：①12:,(),,(,);f V R f m x y m x y V →=-=∈②222:,(),(,);f V R f m x y m x y V →=+=∈ ③33:,()1,(,).f V R f m x y m x y V →=++=∈其中，具有性质P 的映射的序号为________。
2012年新课标高考试题分类评析——复数、推理与证明、算法初步
2012年新课标高考试题分类评析——复数、推理与证明、算
法初步
刘刚;王芝平
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2013(000)003
【摘要】复数是数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包含合情推理和演绎推理．合情推理具有猜想和发现结论、探索和提供思路的作用，演绎推理按照严格的逻辑法则得到结论的推理过程．二者联系紧密、相辅相成，数学结论的正确与否必须通过逻辑论证来完成．算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．算法思想正在成为普通公民的常识，成为现代人应具备的一种基本数学素养．
【总页数】4页(P7-10)
【作者】刘刚;王芝平
【作者单位】北京市第20中学;北京宏志中学
【正文语种】中文
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2012高考数学新题分类汇编 推理与证明(高考真题+模拟新题)
2012高考数学新题分类汇编 推理与证明（高考真题+模拟新题）课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝e x＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),∵ f ′(x )＝e x＋1>0，∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴ f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，且f x 1＋x 32<f x 1＋f x 32，∵ BA →＝(x 1－x 2，f (x 1)－f (x 2))，BC →＝(x 3－x 2，f (x 3)－f (x 2))， ∴ BA →·BC →＝(x 1－x 2)(x 3－x 2)＋(f (x 1)－f (x 2))(f (x 3)－f (x 2))<0， ∴ ∠ABC 为钝角，判断①正确，②错；(2)若△ABC 为等腰三角形，则只需AB ＝BC ，即(x 1－x 2)2＋(f (x 1)－f (x 2))2＝(x 3－x 2)2＋(f (x 3)－f (x 2))2， ∵ x 1，x 2，x 3成等差数列，即2x 2＝x 1＋x 3， 且f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，只需 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，即2f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 3)，即 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32＝f x 1＋f x 32，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32<f x 1＋f x 32相矛盾， ∴△ABC 不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B. 解法二：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),图1－3∵ f ′(x )＝e x＋1>0，∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，画出f (x )的图象(大致)∴ f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，且f x 1＋x 32<f x 1＋f x 32，如图1－2，设直线AB 、BC 的倾斜角分别为α和β，由0<k AB <k BC ，得α<β<π2，故∠ABC ＝π－(β－α)为钝角，判断①正确，②错误；由x 1，x 2，x 3成等差数列，得x 2－x 1＝x 3－x 2， 若△ABC 为等腰三角形，只需AB ＝BC ，则 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，由0<k AB <k BC ，知上式不成立，判断③错误，④正确，故选B.课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V →R 满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－[λy1＋(1－λ)y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，∴映射f1具有性质P；②f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋[λy1＋(1－λ)y2]，λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x22 ＋y2 )，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，∴映射f2不具有性质P；③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，∴映射f3具有性质P.故具有性质P的映射的序号为①③.课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4课标文数12.A1，M1[2011·福建卷] C 【解析】因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)∈[0]；反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.课标理数7.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A．3125 B．5625C．0625 D．8125课标理数7.M1[2011·江西卷] D 【解析】∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625，…，∴5n(n∈Z且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52011与57的末四位数相同，均为8125.故选D.课标文数6.M1[2011·江西卷] 观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )A．01 B．43 C．07 D．49课标文数 6.M1[2011·江西卷] B【解析】∵75＝16807,76＝117649,77＝823543,78＝5764801，…，∴7n(n∈Z且n≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(n∈Z且n≥2)的末两位数为f(n)，则f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)，∴72011与73的末两位数相同，均为43.课标理数15.M1[2011·山东卷] 设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.课标理数15.M1[2011·山东卷]xn－x＋2n【解析】观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2,4,8,16，…与对应项的关系，显然满足2n，故f n(x)＝x－x＋2.课标理数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．课标理数13.M1[2011·陕西卷] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2【解析】由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大1，再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大1，对每一行的最后一个数分析找规律为1,4,7,10，…，(3n－2)，对结果找规律为12,32,52，…，(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n ＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.课标文数13.M1[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．课标文数13.M1[2011·陕西卷] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 【解析】因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边2个数，从2开始加，加3个数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个左边7个数，从4开始加，加7个数，右边7的平方，故第五项为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0. 因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a .从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标数学23.M4[2011·江苏卷] 设整数n ≥4，P (a ，b )是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a ，b ∈{1,2,3，…，n }，a >b .(1)记A n 为满足a －b ＝3的点P 的个数，求A n ；(2)记B n 为满足13(a －b )是整数的点P 的个数，求B n .课标数学23.M4[2011·江苏卷] 【解答】 (1)点P 的坐标满足条件：1≤b ＝a －3≤n －3，所以A n ＝n －3.(2)设k 为正整数，记f n (k )为满足题设条件以及a －b ＝3k 的点P 的个数．只要讨论f n (k )≥1的情形．由1≤b ＝a －3k ≤n －3k 知f n (k )＝n －3k ，且k ≤n －13.设n －1＝3m ＋r ，其中m ∈N *，r ∈{0,1,2}，则k ≤m .所以B n ＝∑m k ＝1f n (k )＝∑mk ＝1 (n －3k )＝mn －3m m ＋2＝m n －3m －2. 将m ＝n －1－r 3代入上式，化简得B n ＝n －n －6－r r －6.所以B n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n －6，n3是整数，n －n －6，n3不是整数.[2011·福州一模] 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数[2011·汕头期末] 设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有①a 2＋b 2>c 2＋h 2，②a 3＋b 3<c 3＋h 3， ③a 4＋b 4>c 4＋h 4，④a 5＋b 5<c 5＋h 5. 其中正确结论的序号是_______；进一步类比得到的一般结论是____________________．。
全国各地市2012届高三模拟试题分类解析汇编：14：推理与证明、二项式定理
全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编：推理与证明、二项式定理【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】6. 二项式的展开式中的常数项是（ ) (A).第10项 （B).第9项 （C).第8项 （D):第7项【答案】B【解析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为0，求出r 的值代入通项，求出展开式的常数项.【2012山东青岛市期末文】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数： ①1()f x x x =+(0)x > ② 3()g x x = ③1()()3x h x = ④()ln x x ϕ= 其中是一阶整点函数的是（ ） A ．①②③④ B ．①③④ C ．④ D ．①④【答案】D【解析】①1()f x x x =+(0)x >只过(1,2)是一阶整点函数，③1()()3xh x =过整点(0,1),(1,3),(2--等，不是一阶整点函数，故可知选Ｄ。
【山东省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】15、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数a 、b 满足(2)(2)()()(),(2)2,(*),2nnn n nf ff a b af b bf a fa n Nb n N n⋅=+==∈=∈，有以下结论：①(0)(1)f f =②()f x 为偶函数；③数列｛a n ｝为等比数列；④数列｛b n ｝为等差数列。
其中正确结论的序号是 。
【答案】 ①③④解析:因为,,()()(),1,1,(1a b R f a b a f b b f a a b f ∀∈⋅=+∴===取得，取a=2,b=2,得(4)4(2)8,f f ==取0,2a b ==得(0)2(0),(0)0,f f f =∴=取a=-2,b=-2,得(4)4(2),(2)2,f f f =--∴-=-取12,2,n a b -==得11(2)2(2)2(2)n n n f f f --=+111(2)(2)2(2)2,1,(1)22nn n nnn f f f ---=+∴=+由(2)(*)nn f a n N n=∈得(2)nn f na =代入（1）得 111(1)1,(2)2,,2222nn n n n nn nna n a na a f n a ---=+==∴=∴= 。
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2012年高考真题理科数学解析分类汇编14 推理与证明1.【2012高考江西理6】观察下列各式：221,3,a b a b +=+=33444,7,a b a b +=+=5511,a b += 则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C.2.【2012高考全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ）16 （B ）14 （C ）12 (D)10 【答案】B【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。
通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。
【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式.根据π =3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是11.d ≈ B．d ≈C．d ≈D．d ≈【答案】D考点分析：考察球的体积公式以及估算. 【解析】346b 69()d ,===3.37532b16616157611==3==3.14,==3.142857230021da V A aB D πππππππ⨯==⨯⨯⨯由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。
4.【2012高考陕西理11】 观察下列不等式213122+<231151233++<，474131211222<+++……照此规律，第五个．．．不等式为 . 【答案】6116151413121122222<+++++.【解析】通过观察易知第五个不等式为6116151413121122222<+++++.5.【2012高考湖南理16】设N =2n（n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i 段，每段2iN 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置. （1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置； （2）当N=2n（n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+ 【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.【2012高考湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有 个； （Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个． 【答案】90，n109⨯考点分析：本题考查排列、组合的应用. 【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109=⨯种。
答案：90（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。
2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为n 109⨯.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。
计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此,则答案为n 109⨯.7.【2012高考北京理20】（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记(),S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于(),A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1im 剟），()j c A 为A 的第j 列各数之和（1j n 剟）；记()k A 为1()r A ，2()r A ，…，()m r A ，1()c A ，2()c A ，…，()n c A 中的最小值.（1）对如下数表A ，求()k A 的值；（2）设数表()2,3A S ∈形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的()2,21A S t ∈+，求()k A 的最大值.【答案】解：（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-∴()0.7k A =（2）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a > 同理可知0b >，∴0a b +> 由题目所有数和为0 即1a b c ++=- ∴11c a b =---<- 与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在 ∴()k A 的最大值为1 （3）()k A 的最大值为212t t ++.首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+：1,11,21,1,11,21,211...1, (2)t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+.经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++.下面证明212t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+.由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t ≤≥+. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =≤⋅++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为212++t t 。
8.【2012高考湖北理】（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.【答案】（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+- ①若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立；若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是 在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122()(1)b a a b b a a ≤⋅+-，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+. ②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++= ，则12121122nb b bn n n a a a a b a b a b ≤+++ . ③用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立.（2）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++= ，则12121122kb b bk k k a a a a b a b a b ≤+++ . 当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数，121,,,,k k b b b b + 为正有理数， 且1211k k b b b b +++++= ，此时101k b +<<，即110k b +->，于是111212121121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a aa a a a++++= =12111111111121()kk k k k k b b b b b b b bkk a a a a +++++----+ .因121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ，由归纳假设可得1211111112kk k k b b b b b b kaaa+++---≤ 1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅--- 112211k kk a b a b a b b ++++=- ，从而112121kk b b b bk k a a a a ++≤ 1111122111k k b bk k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得1111122111k k b bk k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++ ，从而112121kk b b b b k k a a a a ++ 112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++ .故当1n k =+时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立，则后续证明中不需讨论1n =的情况. 9.【2012高考福建理17】（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17° （2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° （3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°（4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin 2（-18°）cos 248° （5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin 2（-25°）cos 255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin 15cos151sin 3024+-=-=（II ）三角恒等式为：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=222222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )2222333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=。