人教A版高中数学选修1-1课件：3-3 导数在研究函数中的应用 第5课时
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高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《3.3.3 函数的最大(小)值与导数》课件
(0，1) 1 (1，2) 2
＋ 0 极 大 值 4 － － 5
f ( x)
－60
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于 0， ∴f′(x)在[－1，1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
π 在开区间 － 2
π ， 2 内连续不断的，但没有最
(3)若函数 f(x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这 个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值． (4)开区间(a，b)上连续函数 y＝f(x)的最值的几种情况 图(1)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值； 图(2)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上有最小值无最大值； 图(3)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[规范解答] (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1，3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根．(2 分) 2 －1＋3＝3a， a＝3， ∴ ∴ (4 分) b b＝－9. －1×3＝ ， 3 (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9.(6 分) 当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表：
人教A版高中数学选修1-1第三章导数及其应用复习课说课教学课件(共32张PPT)
x[3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大(小)值
的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
探究 你能找出函数y = f x在区间a,b上的最
大值、最小值吗?
提示：从图中可以看出,函数y = f x在区间a,b
上的最大值是f a,最小值是f x3 .
第七页，编辑于星期六：三点 二十八分。
y
y = fx
y
y = fx
ao
bx
o a x1 x2 x3
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M. （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在 实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M.
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M，
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
第十四页，编辑于星期六：三点 二十八分。
一般地,求函数y = f x在a,b上的最
大值与最小值的步骤如下:
1求函数 y = f x在 a,b内的极值.
2将函数y = f x的各极值与端点处 的函数值 f a,f b比较,其中最大的
一个是最大值,最小的一个是最小值.
第十五页，编辑于星期六：三点 二十八分。
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
第一页，编辑于星期六：三点 二十八分。
1.极值的判定
y y=f(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
左正右负为极大值
左负右正为极小值
第二页，编辑于星期六：三点 二十八分。
人教A版高中数学选修1-1课件183.3.1《导数在研究函数中的应用-单调性》(新)
确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间 是减函数。
y 解：函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。
o
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
作业布置：
书本P107A1.（1）（2）,2.（2）(4). 第二教材A
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y
y
o
x
1
o
x
y
1
o
x
在（－∞，0）和（0,＋∞ ）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－∞，1）上是减函 数，在（1,＋∞）上是 增函数。
在(－∞,＋∞)上 是增函数
概念回顾
单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时 ，都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数》赛课课件_5
公式1:
.
请同学们求下列函数的导数:
y ' 1 2) y f (x) x,
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
3) y f (x) x2 , y ' 2x 这又说明什么?
4) y
f
(x)
1, x
y'
1 x2
公式2: (xn ) nxn1 (n Q) .
确定的导数 f / (x)，从而构成了一个新的函数 f / (x) 。
称这个函数 f / (x)为函数y=f(x)在开区间内的导函
数，简称导数，也可记作 y / ，即
f / (x) ＝ y /
y
f (x x) f (x)
＝ lim lim
x0 x x0
x
主题 几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式 1.怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
提示：(1)计算 y ，并化简.
(2)观察当Δx趋近x于0时， y 趋近于哪个定值. x
(3) y 趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数. x
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率， 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？
二、新课——几个常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0,
x f (x) C lim y 0.
x0 x
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
人教A版高中数学选修1-1《导数的应用一》课件-PPT文档资料
2 x －9 9 解析 由已知 x≠0, f′(x)＝1－ 2＝ 2 ， x x
令 f′(x)<0，解得－3<x<0 或 0<x<3.
请注意！
1．求函数的单调区间一定要先求函 数定义域； 2．单调区间一般不能并起来，可以 用“，”或者和连接.
【典例导悟】
题型一 讨论函数的单调性
1 2 例1 设 a>0，函数 f(x)＝ x 2 － (a＋ 1)x＋ a(1＋ ln x), 讨论 函数 f(x)的单调性．
(2)求导数f′(x)并进行适当化简（包括通分，因式分解等）；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
1．(2009 江苏)函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区间为
(－1,11) ． ________
（2）解不等式 f′(x)>0 以及 f′(x)<0 的关 键在于解 f′(x)＝0 的根,必要时讨论根的 大小.
(3)确定单调区间时一定要注意定 义域.
跟踪训练 1
你会吗？ 我学我会
2a2 已知函数 f(x)＝alnx＋ ＋x(a≠0)， 讨论函数 f(x)的单调性． x
【解析】 f(x)的定义域为{x|x>0}．
①当 0<a<1 时，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a.
由 f′(x)>0 则 0< x< a 或 x >1 由 f′(x)<0 则 a< x<1
③当 a>1 时，
x－12 ②当 a＝1 时，f′(x)＝ x ≥0，
由 f′(x)>0 则 0< x< 1 或 x > a 由 f′(x)<0 则 a< x<1
令 f′(x)<0，解得－3<x<0 或 0<x<3.
请注意！
1．求函数的单调区间一定要先求函 数定义域； 2．单调区间一般不能并起来，可以 用“，”或者和连接.
【典例导悟】
题型一 讨论函数的单调性
1 2 例1 设 a>0，函数 f(x)＝ x 2 － (a＋ 1)x＋ a(1＋ ln x), 讨论 函数 f(x)的单调性．
(2)求导数f′(x)并进行适当化简（包括通分，因式分解等）；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
1．(2009 江苏)函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区间为
(－1,11) ． ________
（2）解不等式 f′(x)>0 以及 f′(x)<0 的关 键在于解 f′(x)＝0 的根,必要时讨论根的 大小.
(3)确定单调区间时一定要注意定 义域.
跟踪训练 1
你会吗？ 我学我会
2a2 已知函数 f(x)＝alnx＋ ＋x(a≠0)， 讨论函数 f(x)的单调性． x
【解析】 f(x)的定义域为{x|x>0}．
①当 0<a<1 时，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a.
由 f′(x)>0 则 0< x< a 或 x >1 由 f′(x)<0 则 a< x<1
③当 a>1 时，
x－12 ②当 a＝1 时，f′(x)＝ x ≥0，
由 f′(x)>0 则 0< x< 1 或 x > a 由 f′(x)<0 则 a< x<1
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数
间；
第五页，编辑于星期六：三点 二十八分。
我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说
明这个法则的正确性：
当v(t)=s (t)>0时，s(t)是增函数；
当v(t)=s′(t)<0时，s(t)是减函数。
我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解 这个法则；
当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于 90°，函数曲线呈上升状态；
3.3.1 函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期六：三点 二十八分。
复习
1. 函数的单调性:
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1 ＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)
就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜
x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C)
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, 1 )上是减函数，在( 1 , 1)上
是增函数 e
e
(D) 在( 1 , 1)上是减函数，在(0, 1 )上
e
e
是增函数
第十八页，编辑于星期六：三点 二十八分。
4．函数y=x2(x+3)的减区间是 (－2，0) ，
就是区间I上的减函数.
2. 导数的概念及其四则运算
第二页，编辑于星期六：三点 二十八分。
引入新课
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的 高度h是时间t的函数，设h=h(t)， 其图象如图所示。
横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋 的最高点为A，其横坐标为t=t0.
先观察沙袋在区间(a，t0)的运动情况： 根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋 向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，
第五页，编辑于星期六：三点 二十八分。
我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说
明这个法则的正确性：
当v(t)=s (t)>0时，s(t)是增函数；
当v(t)=s′(t)<0时，s(t)是减函数。
我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解 这个法则；
当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于 90°，函数曲线呈上升状态；
3.3.1 函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期六：三点 二十八分。
复习
1. 函数的单调性:
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1 ＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)
就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜
x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)
3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是( C)
(A)单调增函数
(B)单调减函数
(C) 在(0, 1 )上是减函数，在( 1 , 1)上
是增函数 e
e
(D) 在( 1 , 1)上是减函数，在(0, 1 )上
e
e
是增函数
第十八页，编辑于星期六：三点 二十八分。
4．函数y=x2(x+3)的减区间是 (－2，0) ，
就是区间I上的减函数.
2. 导数的概念及其四则运算
第二页，编辑于星期六：三点 二十八分。
引入新课
竖直上抛一个小沙袋，沙袋的 高度h是时间t的函数，设h=h(t)， 其图象如图所示。
横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋 的最高点为A，其横坐标为t=t0.
先观察沙袋在区间(a，t0)的运动情况： 根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋 向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于0，
新人教A版高中数学(选修1-1)3.3《导数在研究函数中的应用》word学案3篇
舜耕中学高一数学选修1—1导学案(教师版) 编号20 等级：周次上课时间月 日 周课型新授课主备人胡安涛使用人课题 3.3.1函数的单调性与导数教学目标1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。
2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学重点会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学难点证明单调性课前准备多媒体课件一。
【复习回顾】（1）常函数：0'=C (C 为常数)； （2）幂函数 ：1)'(-=n nnxx (Q n ∈)（3）三角函数 ：（4）对数函数的导数: 1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a'= （5）指数函数的导数: ().x xe e '= ()l n (0,1x x a a a a a '=>≠ 二。
【创设情境】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地, ()()0.v t h t '=>②从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, ()()0.v t h t '=<观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是常数。
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1
【规律总结】 1.函数的单调性与其导数正负的关系 (1)充分条件:注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数 f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件. (2)恒成立:在区间(a,b)内可导的函数f(x)在区间 (a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)(x∈(a,b))恒成立且f′(x)在区间(a,b) 的任意子区间内都不恒等于0.
3
答案: [ 1 ,1], [2,3)
3
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x3 3x. (2) f ( x) x 2 2 x 3.
(3) f (x) sin x x, x (0, ).
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
f(x) = 0.
综上, 函数f ( x )图象 O 1
4
x
的大致形状如图所示.
【变式训练】
(2016·吉安高二检测)函数y=f(x)在定义域 ( 3 ,3) 内可
2
导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则
不等式f′(x)≤0的解集为
.
【解析】由题意不等式f′(x)≤0的解集 即函数y=f(x)的递减区间为 [ 1 ,1], [2,3).
有什么特征?
思考 请同学们回顾一下函数单调性的定义,并
思考某个区间上函数 y f x的平均变化率的几
何意义与其导数正负的关系.
思考: (1)在区间(a,b)上,如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上 单调递增,反过来也成立吗? 提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但 f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充 分不必要条件. (2)利用导数求函数单调区间时,能否忽视定义域? 提示:首先需要确定函数的定义域,函数的单调区间是 定义域的子集.
2017版高中数学选修1-1(课件)：3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大(小)值
1 e
；
令h（x）=x2 2ex a x=e时h（x）min =a-e2，若满足题意则等价于
函数g（x）和h（x）的图像有两个不同的交点，只a-e2< 1 a<e2 + 1
e
e
...............13分
第三十一页，编辑于星期六：三点 三十分。
当a 0时，f（x）的增区间为（0，+）......8分
III )由已知
ln x x
x2
2ex
a, 设g（x）=
ln x x
，令g（x）=
1- ln x2
x
=0，
x=e，令g（x） >0得0<x<e，令g（x） <0得x>e， x=e是g（x）的
极大值点，同时也是最大值点
g（x）max
=g（e）=
m
1
e 或
m
0时，一解；
1
m
0
时，两解.
e
e
（2）设 Fx f x gx f x 2 f a x f a
2
x ln x a xln a x a ln a，可求得 F'x ln x 1 (ln a x 1) ln 2x
2
2
ax
当 x a 0时，2x a x 0, ∴ 2x 1，∴ F 'x 0
一参考：I )a=1......4分
II ) f（x）=x+ a = x2 +a(x>0） xx
当a<0时，f（x）的增区间为（ -a，+），f（x）的减区间（0，-a）；
当a 0时，f（x）的增区间为（0，+）......8分
分离a=
高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》
1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业 必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.
人教A版高中数学选修导数在研究函数中的应用张PPT(1)课件
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@
3x在
3
x 处有极值，则a=__
3
2
5
函数
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/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
二，课前热身
1.下列求导数运算正确的是
1
1
A.（x+
)′=1+
x
x2
B
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⑴求方程 f ( x) 0 ； ⑵ 比 较 f ( x) 0 的 根 的 函 数 值 与 端 点 处 的 函 数 值 f (a) 、 f (b) 大小 ，其中最大的一个是最大值，最小
的一个是最小值，得出函数 f (x) 在 a,b上的最值.
注：极值点不一定是最值点，最值点若在区间内部必是极 值点.
y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那 么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
注:如果 f ( x) 0 ,那么函数是常数函数．
2.用导数法讨论函数的单调性的步骤： (1) 确定函数的定义域 （2）求出函数的导函数;
(3)解不等式 f ( x) 0 （ f ( x) 0 ），求得其解集，再根据解集写出
2.求极值的步骤
①确定定义域 ②求f’(x)=0的根 ③并列成表格 用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干 个开 区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左 右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
3.求函数最值的步骤
王新敞 wxckt@
3x在
3
x 处有极值，则a=__
3
2
5
函数
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二，课前热身
1.下列求导数运算正确的是
1
1
A.（x+
)′=1+
x
x2
B
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⑴求方程 f ( x) 0 ； ⑵ 比 较 f ( x) 0 的 根 的 函 数 值 与 端 点 处 的 函 数 值 f (a) 、 f (b) 大小 ，其中最大的一个是最大值，最小
的一个是最小值，得出函数 f (x) 在 a,b上的最值.
注：极值点不一定是最值点，最值点若在区间内部必是极 值点.
y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那 么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
注:如果 f ( x) 0 ,那么函数是常数函数．
2.用导数法讨论函数的单调性的步骤： (1) 确定函数的定义域 （2）求出函数的导函数;
(3)解不等式 f ( x) 0 （ f ( x) 0 ），求得其解集，再根据解集写出
2.求极值的步骤
①确定定义域 ②求f’(x)=0的根 ③并列成表格 用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干 个开 区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左 右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
3.求函数最值的步骤
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》赛课课件_3
教材P77：观察 当点Pn(xn, f (xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于 点P(x0, f (x0)) 时,割线 PPn的变化趋势是什么?
动画演示
当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
割线PPn的斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢?
l1
l2
l1比l2的倾斜程度小 h(t)在t1比在t2的下降慢
练习
描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.
(1)当t=t3时,曲线h(t)在t3处的 切线l3的斜率h(t3)>0.所以,在 t=t3附近曲线上升,即函数h(t) 在t=t3附近单调递增.
l3
l4
(2)当t=t4时,曲线h(t)在t4处的 切线l4的斜率h(t4)>0.所以,在 t=t4附近曲线上升,即函数h(t) 在t=t4附近单调递增. l3比l4的倾斜度大,h(t) 在t3比在t4的上升快
当x=x0时，f (x0)是一个确定的数. 当x变化时, f (x)便是一个函数,称它为f (x)的导函数(简称 导数)（也就是说函数f (x)的导数f (x)也是一个函数）
y=f (x)的导数有时也记作y
f 'x y' lim f x x f x
x0
x
例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.
（2）求函数 y=3x2 在点
处的导数.
例 2、已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求：
(1)求在点P处的切线方程； (2)求过点P的曲线的切线方程．
练习 1、求双曲线 y＝1x在点12，2处的切线的斜率， 并写出切线方程．
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1 2
x
1 ������
【解析】(1)函数 y=(2)x 在定义域 R 上是减函数. (2)函数 y=ln x 在定义域(0,+∞)内是增函数. (3)函数
1 y=������ 在定义域(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在定义域(-
1
∞,0)∪(0,+∞)上不是单调函数.
预学 2:单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是单调递增函数或是单调递减函数, 那么就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性,区间 M 称为单调区间.
4.求函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0},
e ������ (x -1) 则 f'(x)= ������ 2 . e ������ (x -1) 令 ������ 2 <0,
解得 x<1. 故函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,1).
第 5 课时
利用导数求函数的单调区间
1.通过实际例子,理解导数与单调性的关系 知识目标 2.通过分析实际问题,会利用导数判断函数的单调性 3.通过了解导数与单调性的关系,会求函数的单调区间 通过分析实际问题,掌握导数与单调性之间的关联,发现事物 能力目标 的内在联系 通过对含参问题的导数应用,让学生掌握分类讨论思想的数 素养目标 学素养
议一议:写出函数 y=cos x 的单调区间.
【解析】函数 y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,在[2k π-π,2kπ](k∈Z)上单调递增.
预学 3:函数的单调性与其导函数值的正负关系 对于函数 y=f(x),如果在某个区间(a,b)内 f'(x)>0,那么 f(x)在该 区间内单调递增;如果在某个区间(a,b)内 f'(x)<0,那么 f(x)在该区间 内单调递减.
想一想:函数 y=x -3x 的单调递增区间是 (指定小组回答,其他组补充)
3
.
【答案】(-∞,-1)和(1,+∞)
1.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=-x2 C.y=x2-x B.y=-x D.y=x2
).
【解析】 画出函数图象,观察图象可以得出函数 y=x2பைடு நூலகம்在(0,+∞)上是 增函数. 【答案】D
探究 1:求函数的单调区间 【例 1】求函数 f(x)=2x -6x +7 的单调区间.
3 2
【方法指导】先求 f'(x),再解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0,即可得 到函数 f(x)的单调递增区间和单调递减区间. 【解析】由题可知,f'(x)=6x2-12x. 令 f'(x)>0,解得 x>2 或 x<0, 所以当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)是增函数; 令 f'(x)<0,解得 0<x<2, 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数 f(x)是减函数. 3 2 综上所述,函数 f(x)=2x -6x +7 的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+ ∞),单调递减区间为(0,2).
对于函数 y=x3-3x,如何判断其单调性呢?你能画出该函数的图象吗? 定义法是解决函数单调性问题的最根本的方法,但定义法比较烦琐,那 该如何解决呢?
预学 1:增函数与减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I. 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递增函 数.(如图(1)所示)
重点:利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间. 难点:利用导数解决含有参数的函数单调性问题. 学法指导:通过自主预习教材和导学案,理解函数的单调性的概念, 合作探究函数的单调性与导数的关系,并用导数判断函数的单调性.掌 握用导数求函数的单调区间的方法和技巧,提升自己运用数形结合和等 价转化数学思想解决数学问题的能力.
【变式设问】若例 1 中原函数在区间[a,a+1]上不单调,求实数 a 的 取值范围.
提示:由例 1 可知,原函数在(-∞,0]和[2,+∞)上为增函数,在[0,2] 上为减函数.若在[a,a+1]上不单调,则 a<0 且 a+1>0 或者 a<2 且 a+1>2, 解得实数 a 的取值范围为-1<a<0 或 1<a<2.
2.函数 y=x-ex 的单调递减区间是( ). A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
【解析】y'=1-ex,令 y'=1-ex<0,解得 x>0. 【答案】A
3.函数 y=3x-2sin x 的单调递增区间为
.
【解析】由 y'=3-2cos x>0 知,函数的单调递增区间为(-∞,+∞). 【答案】(-∞,+∞)
预学 4:求可导函数单调区间的一般步骤 根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内 求可导函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求导数 f'(x). (3)解不等式 f'(x)>0 或 f'(x)<0,如果 f'(x)>0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增;如果 f'(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单 调递减. (4)写出单调增区间.
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递减函 数.(如图(2)所示)
议一议:判断下列函数在其定义域内的单调性. (1)y=( ) ;(2)y=ln x;(3)y= . (指定小组回答,其他组补充)
【针对训练 1】函数 f(x)=2x-ln x 的单调递增区间是 .
【解析】函数的定义域为(0,+∞). 则 f'(x)=2-������ =
1 2 1 2������ -1 ,令 ������
f'(x)>0,解得 x>2.
1 的单调递增区间是(2,+∞).
1
所以函数 f(x)=2x-ln x 【答案】( ,+∞)
x
1 ������
【解析】(1)函数 y=(2)x 在定义域 R 上是减函数. (2)函数 y=ln x 在定义域(0,+∞)内是增函数. (3)函数
1 y=������ 在定义域(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在定义域(-
1
∞,0)∪(0,+∞)上不是单调函数.
预学 2:单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是单调递增函数或是单调递减函数, 那么就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性,区间 M 称为单调区间.
4.求函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0},
e ������ (x -1) 则 f'(x)= ������ 2 . e ������ (x -1) 令 ������ 2 <0,
解得 x<1. 故函数
e ������ f(x)= ������ 的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,1).
第 5 课时
利用导数求函数的单调区间
1.通过实际例子,理解导数与单调性的关系 知识目标 2.通过分析实际问题,会利用导数判断函数的单调性 3.通过了解导数与单调性的关系,会求函数的单调区间 通过分析实际问题,掌握导数与单调性之间的关联,发现事物 能力目标 的内在联系 通过对含参问题的导数应用,让学生掌握分类讨论思想的数 素养目标 学素养
议一议:写出函数 y=cos x 的单调区间.
【解析】函数 y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,在[2k π-π,2kπ](k∈Z)上单调递增.
预学 3:函数的单调性与其导函数值的正负关系 对于函数 y=f(x),如果在某个区间(a,b)内 f'(x)>0,那么 f(x)在该 区间内单调递增;如果在某个区间(a,b)内 f'(x)<0,那么 f(x)在该区间 内单调递减.
想一想:函数 y=x -3x 的单调递增区间是 (指定小组回答,其他组补充)
3
.
【答案】(-∞,-1)和(1,+∞)
1.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=-x2 C.y=x2-x B.y=-x D.y=x2
).
【解析】 画出函数图象,观察图象可以得出函数 y=x2பைடு நூலகம்在(0,+∞)上是 增函数. 【答案】D
探究 1:求函数的单调区间 【例 1】求函数 f(x)=2x -6x +7 的单调区间.
3 2
【方法指导】先求 f'(x),再解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0,即可得 到函数 f(x)的单调递增区间和单调递减区间. 【解析】由题可知,f'(x)=6x2-12x. 令 f'(x)>0,解得 x>2 或 x<0, 所以当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)是增函数; 令 f'(x)<0,解得 0<x<2, 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数 f(x)是减函数. 3 2 综上所述,函数 f(x)=2x -6x +7 的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+ ∞),单调递减区间为(0,2).
对于函数 y=x3-3x,如何判断其单调性呢?你能画出该函数的图象吗? 定义法是解决函数单调性问题的最根本的方法,但定义法比较烦琐,那 该如何解决呢?
预学 1:增函数与减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I. 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递增函 数.(如图(1)所示)
重点:利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间. 难点:利用导数解决含有参数的函数单调性问题. 学法指导:通过自主预习教材和导学案,理解函数的单调性的概念, 合作探究函数的单调性与导数的关系,并用导数判断函数的单调性.掌 握用导数求函数的单调区间的方法和技巧,提升自己运用数形结合和等 价转化数学思想解决数学问题的能力.
【变式设问】若例 1 中原函数在区间[a,a+1]上不单调,求实数 a 的 取值范围.
提示:由例 1 可知,原函数在(-∞,0]和[2,+∞)上为增函数,在[0,2] 上为减函数.若在[a,a+1]上不单调,则 a<0 且 a+1>0 或者 a<2 且 a+1>2, 解得实数 a 的取值范围为-1<a<0 或 1<a<2.
2.函数 y=x-ex 的单调递减区间是( ). A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(1,+∞)
D.(-∞,1)
【解析】y'=1-ex,令 y'=1-ex<0,解得 x>0. 【答案】A
3.函数 y=3x-2sin x 的单调递增区间为
.
【解析】由 y'=3-2cos x>0 知,函数的单调递增区间为(-∞,+∞). 【答案】(-∞,+∞)
预学 4:求可导函数单调区间的一般步骤 根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间(a,b)内 求可导函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求导数 f'(x). (3)解不等式 f'(x)>0 或 f'(x)<0,如果 f'(x)>0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增;如果 f'(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单 调递减. (4)写出单调增区间.
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调递减函 数.(如图(2)所示)
议一议:判断下列函数在其定义域内的单调性. (1)y=( ) ;(2)y=ln x;(3)y= . (指定小组回答,其他组补充)
【针对训练 1】函数 f(x)=2x-ln x 的单调递增区间是 .
【解析】函数的定义域为(0,+∞). 则 f'(x)=2-������ =
1 2 1 2������ -1 ,令 ������
f'(x)>0,解得 x>2.
1 的单调递增区间是(2,+∞).
1
所以函数 f(x)=2x-ln x 【答案】( ,+∞)