【高中数学】立体几何《多面体的外接球》

专题2多面体的外接球第一讲长方体切割体的外接球a，b，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形．图4中，22222222222222222222228a b BCAD BCAB CD b c AC a b c RAC BD c a ABααβγαβγβγ⎧+===⎫⎪++++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩,abcabcabcV BCDA31461=⨯-=-．【例1】在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA===,则这个球的表面积是．【例2】在三棱锥BCDA-中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC∆、ACD∆、ADB∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCDA-的外接球的体积为（）A．6πB．26πC．36πD．46π【例3】如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，2===⊥⊥BCABDABCABABCDA，，面,则球O的体积等于．【例4】四面体BCDA-中，5==CDAB，34==BDAC，41==BCAD，则四面体BCDA-外接球的表面积为（）A．π50B．π100C．π150D．π200础自测1．三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，BC AC ⊥，1==BC AC ，3=PA ，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π42．在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π243．已知三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（）A ．π312B ．π28C ．π34D ．π44．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π20D ．π245．已知三棱锥ABC P -的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（）A ．π5B ．π8C ．π16D ．π206．已知三棱锥ABC S -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π37．三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（）A ．π36B ．π9C ．29πD ．49π8．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．π328B ．π24C ．π34D ．π12第二讲三棱柱的切割体的外接球⇒图1立着放的模型图2躺着放的模型图1：立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为h ，底面三角形外接圆半径设为r ，A a r sin 2=可以求出，则222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ；图2：躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面，222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ．【例5】如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为．【例6】已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π16C ．π32D ．π649．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π10．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．π34B ．π32C ．π24D ．π2211．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（）A ．π36B ．π28C ．π16D ．π4第9题图第10题图第12题图第13题图12．已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．π20B ．π17C ．π16D ．π813．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．π27B ．π48C ．π64D ．π8114．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（）A ．π332B ．π48C ．π24D ．π16第三讲切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）图1BCAB BAC PAC ⊥⊥,面图2底面ABC 固定，P 在球面上运动，ABC P V -最值问题图1：由图可知，小圆ABC 直径AC 长可以求出，平面PAC 必在大圆上，由AaR sin 2=，解出R ．图2：先根据Aar sin 2=求出底面圆的直径MN ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出P 到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：4222212l R R R -+=2122212122D O E O D O OO OD R +=+==4)21()(222212122221222l R R D O BC C O D O CE C O -+=+-=+-=注意：常见的切瓜模型中，一旦出现21l R =或22lR =时，则2R R =或1R R =．双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为1R 和2R ，两半平面交线长度为l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是︒90时，此公式将不再适用．【例7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π24【例8】已知三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足3==BC AB ，3=AC ，若该三棱锥体积的最大值为433，则其外接球的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．3215．矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体BCDA -的外接球的体积为（）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π312516．点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，2==BC AB ，2=AC ，若球的表面积为π425，则四面体ABCD 体积最大值为（）A ．41B ．21C ．32D ．217．在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，2==SC SA ，平面⊥SAC 平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（）A ．π316B ．π8C ．π38D ．π418．如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为（）A ．π4B ．π12C ．π16D ．π36第4题图第5题图19．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A ．π33B ．πC ．π326D ．π27332第四讲全等三角形折叠模型作二面角剖面⇒作二面角剖面⇒题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角α='∠EC A ,h E A CE ='=如图，作左图的二面角剖面图如右图：1H 和2H 分别为BD A BCD '∆∆,外心，BCDBDr CH ∠==sin 21，r hEH -=1，()2tan1αr h OH -=，故()2tan 222212122αr h r CH OH OC R -+=+==．凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用CcB b A a R sin sin sin 2===进行处理．【例9】已知菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ，3=AB ，对角线AC 与BD 的交点为O ，把菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得︒=∠90AOC ，则折得的几何体的外接球的表面积为（）A ．π15B ．215πC ．27πD ．π7【例10】在三棱锥ABC P -中，2====BC AC PB PA ，32=AB ，1=PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A ．34πB ．π4C ．π12D ．352π【例11】在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线AC 折成二面角D AC B --为 120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为．第五讲等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体凡是遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径所对的圆周角为直角，故可将直角顶点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如下图左：ABC △以斜边BC 为交线与其它平面形成的二面角可以转换为平面DBC 与其它平面构成的二面角．作二面角剖面⇒如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A --二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫⎝⎛-==+=α．【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．第六讲剖面图转化定理：剖面图一致的外接球一定一致两个等腰三角形（不全等）共底边的二面角，或等腰三角形底边与直角三角形直角边为公共边构成的二面角模型如图6：设二面角α=∠AED ，1h AE =，2h DE =，ABC ∆外接圆半径1r ，DBC △外接圆半径2r ，延长AE 交球于F ,DE 交球于G ，作如图6的二面角剖面图如图7所示，根据相交弦定理ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若DE AE =或者GE AE =，则和全等等腰三角形共底边完全一样，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．（备注：若︒=∠60BAC ，则EF AE 3=，若︒=∠120BAC ，则EF AE 31=）如图8：CD 为BCD Rt ∆的斜边，设二面角α=∠1AED ，1h AE =，21h E D =，ABC △外接圆的半径为1r ，DBC △外接圆的半径为22CDr =，221r h E O -=，延长AE 交球于F ，E D 1交球于G ，作如图8的二面角剖面图如图9所示，根据相交弦定理1ED GE EF AE ⋅=⋅可知，若E D AE 1=或者GE AE =，利用公式()2tan 2222αr h r R -+=秒杀．【例13】（2018•全国四模）已知三棱锥ABC D -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为32的正三角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积（）A ．3148πB ．π28C ．337πD ．π36【例14】（2018•全国一模）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32【例15】（2018•长郡期末）四面体BCD A -中，︒=∠=∠=∠60CBD ABD ABC ，3=AB ，2==DB CB ．则此四面体外接球的表面积为（）A ．219πB ．243819πC ．π17D ．61717π第七讲含二面角的外接球终极公式双距离单交线公式：4sin cos 222222l mn n m R +-+=αα如右图，若空间四边形ABCD 中，二面角D AB C --的平面角大小为α，ABD 的外接圆圆心为1O ，ABC 的外接圆圆心为2O ，E 为公共弦AB 中点，则α=∠21EO O ，m E O =1，n E O =2，2lAE =，R OA =，由于21O E O O 、、、四点共圆，且αsin 221O O R OE ='=，根据余弦定理αcos 222221mn n m O O -+=，4sin cos 22222222l mn n m AE OE R +-+=+=αα．注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式()2tan 2222αr h r R -+=．下面以此公式来解答一下前面出现的例题：【例12】在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为．【例13】（2018•全国四模）已知三棱锥ABC D -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为32的正三角形，ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2=AD ，二面角D AB C --为︒120，则球O 的表面积为（）A ．3148πB ．π28C ．337πD ．π36【例14】（2018•全国一模）如图，虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A ．π4B ．π8C ．π16D ．π32达标训练1．（2019•潮州二模）如图，四棱锥E ABCD -中，正方形ABCD 的边长为2，ABE ∆为E 为直角顶点的等腰三角形，平面ABE ⊥平面ABCD ，则该几何体外接球的表面积为（）A ．12πB ．62πC ．22πD ．8π第1题图第5题图2．（2019•安徽模拟）在三棱锥E ABD -中，已知1,3AB DA ==，三角形BDE 是边长为2的正三角形，则三棱锥E ABD -的外接球的最小表面积为（）A ．233πB ．833πC ．163πD ．32327π3．（2019•成都模拟）三棱柱111ABC A B C -中，棱AB ，AC ，1AA 两两垂直，AB AC =，且三棱柱的侧面积21，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 表面积的最小值为（）A ．πB 2πC ．2πD ．4π4．（2019•河北二模）已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π5．（2019•莆田二模）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π6．（2019•南关月考）在四面体ABCD 中，若3AB CD ==2AC BD ==，5AD BC ==则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7．（2019•武侯模拟）在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π8．（2019•深圳模拟）如右图所示，1AA ，1BB 均垂直于平面ABC 和平面111A B C ，11190BAC A B C ∠=∠=︒，AC AB =1112AC AB A A B C ====，则多面体111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π9．（2018•金牛模拟）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD ∆折起使A位于新位置A '，且3A C '=，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（）A ．529πB ．509πC ．6πD ．25π10．（2019•渝水月考）已知三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2AB =，3BC =32PA PB ==面角P AB C --的大小为150︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A ．100πB ．108πC ．110πD ．111π11．（2018•临川期末）在三棱锥S ABC -中，2AB BC ==2SA SC AC ===，二面角S AC B --的余弦值是33，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（）A ．32πB ．2πC 6πD ．6π12．（2018•黄州三模）如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰Rt △，2AB =BAD CBD∠=∠2π=，且二面角A BD C --的大小为56π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．20πC ．24πD ．36π13．已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为（）12题图13题图14题图A ．π48B ．π52C ．3172πD ．3196π14．（2019•河北一模）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A ．8πB ．9πC ．414πD 41π15．（2019•黄山一模）已知三棱锥A BCD -，6BC =，且ABC ∆、BCD ∆均为等边三角形，二面角A BC D--的平面角为60︒，则三棱锥外接球的表面积是．16．（2019•城关月考）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，32AB BC ==侧面PAC 为正三角形，且顶点P在底面上的射影落在ABC ∆的重心G 上，则该三棱锥的外接球的表面积为．17．（2019•宝鸡一模）已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，5AC AD BC BD ====，则a =．18．（2018•南平一模）在三棱锥P ABC -中，3AB BC AC ===，PAC PAB ∠=∠，2PA =，PA 与平面ABC所成角的余弦值为33，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为．。