数学实验矩阵

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【精选】数学实验一矩阵运算与Matlab命令24

B1=[b11 b12 b13 b14 ;b21 b22 b23 b24; b31 b32 b33 b34]
运行
17
矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
C=A1+B1 D=A1-B1 syms c, cA=c*A1 A2=A1(:,1:3), B1 G=A2*B1
18
矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
求解方程组Ax=b x=A\b 若A为可逆方阵, 输出原方程的解x; 若A为nxm(n>m)阵, 且A’A可逆,输出
原方程的最小二乘解x.
21
矩阵的运算(求解线性方程组)
求矩阵方程：
设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
取出A的1、3行和1、3列的交叉处元素构成新矩阵A1
程序
A=[1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3;

3 0 5 1 0;2 3 1 2 1],
vr=[1, 3];vc=[1, 3];
A1=A(vr, vc)
观察结果
26
分块矩阵（矩阵的标识）
将A分为四块，并把它们赋值到矩阵B 中，观察运行后的结果。
3
2
2

35 20 60 45
, B 10
15
50
40

20 12 45 20
将表格写成矩阵形式
6
计算
输入下面Matlab指令 A=[4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2], B=[35 20 60 45;10 15 50 40;20

3 0 5 1 0;2 3 1 2 1]

大学数学实验

大学数学实验项目一矩阵运算与方程组求解实验1行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法.掌握利用Mathematica(4.0以上版本)对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算,并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica 中,向量和矩阵是以表的形式给出的.1.表在形式上是用花括号括起来的若干表达式,表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2.表的生成函数(1) 最简单的数值表生成函数Range,其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n };Range[m,n]—生成表{m ,…,n };Range[m,n,dx]—生成表{m ,…,n },步长为d x .(2)通用表的生成函数Table.例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量,二层表表示矩阵.例如,矩阵可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式.例如,输入命令:MatrixForm[A]则输出⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩阵A 不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量,但实质上Mathematica 不区分行向量与列向量.或者说在运算时按照需要,Mathematica 自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出注:这个矩阵也可以用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4.命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1],b[2],b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6.矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法;A.B 或Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7.求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A].8.求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n].9.求方阵A 的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A 的转置函数Transpose[A]例1.1求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为如果输入Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误.由此可见,向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2设,291724,624543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求.24,A B B A -+ 输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为如果矩阵A 的行数等于矩阵B 的列数,则可进行求AB 的运算.系统中乘法运算符为“.”,即用A.B 求A 与B 的乘积,也可以用命令Dot[A,B]实现.对方阵A ,可用MatrixPower[A,n]求其n 次幂.例1.3设,148530291724,36242543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mb ma 求矩阵ma 与mb 的乘积. 输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}}; mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为矩阵的乘法运算例1.4设,101,530291724⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求AB 与,A B T 并求.3A输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B 右乘矩阵A 的结果.如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B 左乘矩阵A 的结果,A B T 这里不需要先求B 的转置.求方阵A 的三次方,输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为例1.5设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T 输入A={{?1,1,1},{1,?1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{?1,2,?4}}MatrixForm[B]3A.B ?2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出A AB 23-及B A T 的运算结果分别为求方阵的逆例1.6设,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 求.1-A输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出注:如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果,即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--027926243043286345248127的逆矩阵. 解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8设,221331317230,5121435133124403⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 求.1B A - 输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为对于线性方程组,b AX =如果A 是可逆矩阵,X ,b 是列向量,则其解向量为.1b A -例1.9解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=++.2442,63,723z y x z y x z y x输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式例1.10求行列式.3351110243152113------=D 输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]输出为40例1.11求.11111111111122222222d d d d c c c c b b b b a a a a D ++++= 输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify则输出例1.12计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[x]; Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13设矩阵,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 输入A={{3,7,2,6,?4},{7,9,4,2,0},{11,5,?6,9,3},{2,7,?8,3,7},{5,7,9,0,?6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出3),(|,|A A tr A 分别为115923向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示,也可以用命令Dot 实现例1.14求向量}3,2,1{=u 与}0,1,1{-=v 的内积.输入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习题1.设,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A ' 2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 求.10A 一般地?=k A (k 是正整数). 3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a a a 1111111111111111111111111的逆. 4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B 5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x实验2矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的学习利用Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换;求向量组的秩与极大无关组.基本命令1.求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2.把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3.把数表1,数表2,…,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…].例如输入Join[{{1,0,?1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]则输出{{1,0,?1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例2.1设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩. 输入Clear[M];M={{3,2,?1,?3,?2},{2,?1,3,1,?3},{7,0,5,?1,?8}};Minors[M,2]则输出{{?7,11,9,?5,5,?1,?8,8,9,11},{?14,22,18,?10,10,?2,?16,16,18,22},{7,?11,?9,5,?5,1,8,?8,?9,?11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式.再输入Minors[M,3]则输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0.所以.2)(=M r例2.2已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1t 0713123123M 的秩等于2,求常数t 的值. 左上角的二阶子式不等于0.三阶子式应该都等于0.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};Minors[M,3]输出为{{35-7t,45-9t,-5+t}}当5=t 时,所有的三阶子式都等于0.此时矩阵的秩等于2.例2.3求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩. 输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,?9,0},{?1,3,?16,?1},{2,?4,22,3}}MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm则输出矩阵A 的行最简形根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.矩阵的初等行变换命令RowfReduce[A]把矩阵A 化作行最简形.用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.例2.4设,41311221222832A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=求矩阵A 的秩. 输入Clear[A];A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};RowReduce[A]//MatrixForm输出为因此A 的秩为2.例2.5用初等变换法求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛343122321的逆矩阵.输入A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowReduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm则输出矩阵A 的逆矩阵为向量组的秩矩阵的秩与它的行向量组,以及列向量组的秩相等,因此可以用命令RowReduce 求向量组的秩.例2.6求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩.将向量写作矩阵的行,输入Clear[A];A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出这里有两个非零行,矩阵的秩等于2.因此,它的行向量组的秩也等于2.例2.7向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?输入Clear[A];A={{1,1,2,3},{1,?1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出向量组包含四个向量,而它的秩等于3,因此,这个向量组线性相关.例2.8向量组)3,1,1(),2,1,3(),7,2,2(321=-==ααα是否线性相关?输入Clear[A];A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出向量组包含三个向量,而它的秩等于3,因此,这个向量组线性无关.向量组的极大无关组例2.9求向量组的极大无关组,并将其它向量用极大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,?1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,?1,2,0},{2,1,5,0}};B=Transpose[A];RowReduce[B]//MatrixForm则输出在行最简形中有三个非零行,因此向量组的秩等于3.非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个极大无关组.第三列的前两个元素分别是3,1,于是.3213ααα+=第五列的前三个元素分别是,25,1,21-于是.25214215αααα++-= 向量组的等价可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是:以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行,因此,还可以用命令RowReduce 证明两个向量组等价.例2.10设向量求证:向量组21,αα与21,ββ等价.将向量分别写作矩阵A ,B 的行向量,输入Clear[A,B];A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}};B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}};RowReduce[A]//MatrixFormRowReduce[B]//MatrixForm则输出与两个行最简形相同,因此两个向量组等价.实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩. 2.求t ,使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时,向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是否线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组.并用极大无关组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα与21,ββ等价.实验3线性方程组实验目的熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解.理解计算机求解的实用意义.基本命令1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.3.解一般方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A 为n m ⨯矩阵,X 为n 维列向量,则齐次线性方程组0=AX 必定有解.若矩阵A 的秩等于n ,则只有零解;若矩阵A 的秩小于n ,则有非零解,且所有解构成一向量空间.命令NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.例3.1求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[A];A={{1,1,?2,?1},{3,?2,?1,2},{0,5,7,3},{2,?3,?5,?1}};NullSpace[A]则输出{{?2,1,?2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(?2,1,?2,3)是解空间的基. 注:如果输出为空集{},则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例3.2求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=-++053203750232302432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 输入Clear[A];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};Nullspace[A]输出为{}因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.例3.3向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关? 根据定义,如果向量组线性相关,则齐次线性方程组有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,?1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};B=Transpose[A];NullSpace[B]输出为{{?2,?1,0,1}}说明向量组线性相关,且02421=+--ααα非齐次线性方程组的特解例3.4求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,?2,?1},{3,?2,?1,2},{0,5,7,3},{2,?3,?5,?1}};b={4,2,?2,4}LinearSolve[A,b]输出为{1,1,?1,0}注:命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例3.5求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};b={4,2,2,4}Linearsolve[A,b]输出为Linearsolve::nosol:Linearequationencounteredwhichhasnosolution.说明该方程组无解.例3.6向量)4,3,1,2(-=β是否可以由向量)1,3,2,1(1-=α，)11,12,5,5(2-=α，()3,6,3,13-=α线性表示?根据定义,如果向量β可以由向量组32,1,ααα线性相关,则非齐次线性方程组有解.输入Clear[A,B,b];A={{1,2,-3,1},{5,-5,12,11},{0,5,7,3},{1,-3,6,3}};B=Transpose[A];b={2,-1,3,4};Linearsolve[B,b]输出为 {31,31,0} 说明β可以由32,1,ααα线性表示,且213131ααβ+= 例3.7求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.根据题设条件有,924611700⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅c b a c b a c b a 输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}}y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t}f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ?>Automatic,PlotRange ?>All];则输出c b a ,,的值为{2,?3,7}并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.例3.8求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足9)1(,20)1(='=-'f f 的4次多项式).(x f解设,)(234e dx cx bx ax x f ++++=则有输入Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;eqs=[q[0]==0,q[1]==1,q[-1]==3,q ’[-1]==20,q ’[1]==9];{A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}];p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];则输出所求多项式非齐次线性方程组的通解用命令solve 求非齐次线性方程组的通解.例3.9解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=++-=++-53323221242143143214321x x x x x x x x x x x x x x输入solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}]输出为{{x →2-w+z,y →1+3z}}即3412x x x +-=,3231x x +=.于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0).对应的齐次线性方程组的基础解系为(1,3,1,0)与(-1,0,0,1).例3.10解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x 解法1用命令solve输入solve[{x-2y+3z-4w==4,y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}]输出为{{x →-8,y →3,z →6,w →0}}即有唯一解81-=x ,32=x ，63=x ，04=x .解法2这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解,此解可以表示为b A x 1-=.其中A 是线性方程组的系数矩阵,而b 是右边常数向量.于是,可以用逆阵计算唯一解.输入Clear[A,b,x];A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}};b={4,-3,1,-3};x=Inverse[A].b输出为{-8,3,6,0}解法3还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.输入Clear[a,b,c,d,e];a={1,0,1,0};b={-2,1,3,-7};c={3,-1,0,3};d={-4,1,1,1};e={4,-3,1,-3};Det[{e,b,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,e,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,e,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,c,e}]/Det[{a,b,c,d}]输出为-836例3.10当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0.输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];Solve[%??0,a]则输出{{a →?2},{a →1},{a →1}}当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*x ?y ?z ??1,x ?a*y ?z ??1,x ?y ?a*z ??1},{x,y,z}]则输出{{x →,21a +y →,21a+z →a +21}} 当a ??2时,输入Solve[{?2x+y+z==1,x ?2y+z==1,x+y ?2z==1},{x,y,z}]则输出{}说明方程组无解.当a =1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x →1?y ?z}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解系为为(?1,1,0)与(?1,0,1).例3.11求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534422312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解法1输入A={{2,1,?1,1},{3,?2,1,?3},{1,4,?3,5}};b={1,4,?2};particular=LinearSolve[A,b]nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution//MatrixForm解法2输入B={{2,1,?1,1,1},{3,?2,1,?3,4},{1,4,?3,5,?2}}RowReduce[B]//MatrixForm根据增广矩阵的行最简形,易知方程组有无穷多解.其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)实验习题1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.024,02,032321321321x x x x x x x x x2.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-.0111784,02463,03542432143214321x x x x x x x x x x x x3.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-.22,3,44324314324321x x x x x x x x x x4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++.254,32,22432143214321x x x x x x x x x x x x5.用三种方法求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+127875329934,8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解.6.当b a ,为何值时,方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验4交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算,线性方程组的求解等知识,建立交通流模型.掌握线性代数在交通规划方面的应用.应用举例假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图4.1所示.300300300200500x x 8x 图4?1 试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.假定上述问题满足下列两个基本假设(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量;(2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.于是,根据图4.1及上述基本两个假设,可建立该问题的线性方程组即若将上述矩阵方程记为b Ax =,则问题就转化为求b Ax =的全部解.下面我们利用Mathmatica 软件来求解1、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8.输入RowReduce[A]//MatrixFormOut[2]//MatrixForm=则输出2、应用命令NullSpace[A]求出齐次线性方程组0=Ax 的基础解系.输入In[3]:=NullSpace[A]//MatrixFormOut[3]//MatrixForm=则输出由此即得到所求齐次线性方程组的基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη,(21,C C 为任意常数). 3、输入增广阵(Ab ),求出其秩为8,由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解.输入RowReduce[Ab]//MatrixFormOut[5]//MatrixForm=则输出4、应用命令LinearSolve[A,b],求得非齐次线性方程组b Ax =的一个特解.输入LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}则得到所求非齐次线性方程组的一个特解:综上所述,我们就得到了非齐次线性方程组b Ax =的全部解为,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).在解的表示式中,x 的每一个分量即为交通网络中未知部分的具体流量,该问题有无穷多解(为什么?并思考其实际意义).本模型具有实际应用价值,求出该模型的解,可以为交通规划设计部门提供解决交通堵塞、车流运行不畅等问题的方法,知道在何处应建设立交桥,那条路应设计多宽等,为城镇交通规划提供科学的指导意见.但是,在本模型中,我们只考虑了单行街道这样一种简单情形,更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究.此外,本模型还可推广到电路分析中的网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方法,为你所在或你熟悉的城镇建立一个区域的交通流量模型.并提供一个具体的解决方案,即从无穷多个解中根据具体限制确定出一个具体的解决方案.。

《数学实验》实验报告——用Mathematica使行初等变换化简矩阵

'
' ' ' b1 2a1 a2 , b2 ' a1' a2 ' , b3 a1 a2
'
'
'
２
b ∴ 1
2a1 a2 ， b2 a1 a2 ， b3 a1 a2
b3 能用 a1 ， a2 表示。
∴ b1 , b2
再作矩阵 B = (b1 , b 2 , b 3 a 1 ,a 2 ) ，对 B 是施行行变换使 b3 ， b 2 ， b1 尽量简化，输入命令： b=Transpose[{{3,9,12},{2,5,7},{0,3,3},{1,4,5},{1,1,2}}] b//MatrixForm RowReduce[b] //MatrixForm 计算结果为：
《数学实验》实验报告
班级试验内容
****
学号
****
姓名试
用 Mathematica 使行初等变换化简矩阵
自选试验
2011.6.7
试验问题：设有两组向量 a1 (1,4,5) , a2 (1,1,2) ，和向量组 b1 (3,9,12) ，
b2 (2,5,7) ， b3 (0,3,3) ，判定这两组向量是否等价．
试验目的：通过行初等变换化简矩阵的功能间接求得向量组的极大无关组，进而判断这两组向量是否等价，从中了解 Mathematica 在高等代数中的应用。问题分析（可含问题的背景、相关知识、数学建模与求解的方法等）： Mathematica 中，没有提供求向量组的极大无关组的功能，但是提供了用行初等变换化简矩阵的功能：行简化矩阵： RowReduce[A] 我们可以用此功能来求向量的极大无关组，因为我们有结论：矩阵的行变换不改变列的线性关系。试验步骤（根据问题分析及试验目的所计划的试验步骤）：

数学实验矩阵的运算

数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验四矩阵的运算（一）投入产出分析一．实验目的1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩阵等的含义。

二．问题描述设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表根据表回答下列问题：（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?三.实验过程1．问题（1）的求解（1）求直接消耗矩阵A根据直接消耗的计算公式a ij=x ij/x j和各部门中间需求;x n a n运行如下代码可得直接消耗系数表。

X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];X_colsum=[100 200 150];X_rep=repmat(X_colsum,3,1)A=X./ X_rep运行结果为：A =0.1500 0.1000 0.20000.3000 0.0500 0.30000.2000 0.3000 0（2）求解根据公式X=(I-A)-1y在运行如下代码y=[50;150;100];n=size(y,1);W=eye(n)-A;X=W\y运行结果为X =139.2801267.6056208.1377即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。

2．问题2求解设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB 代码可得问题的结果：dx=inv(W)运行结果:dx =1.3459 0.2504 0.34430.5634 1.2676 0.49300.4382 0.4304 1.2167根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.3443,0.4930，1.2167个单位。

数学实验“矩阵主特征值及相应特征向量的乘幂法,原点平移法,Rayleigh商加速法”实验报告(内含matlab程序)

eps = 1.0e-6; end v = x0; M = 5000; m = 0; l = 0;பைடு நூலகம்for(k=1:M)
y = A*v; m = max(y); v = y/m; if(abs(m - l)<eps)
l = m;
-1-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

数学实验3-用Mathematica的相应功能进行向量、矩阵运算

2
命令：命令：Table[n^2,{n,1,10}] 以内的奇数。例4：给出以内的奇数。：给出30以内的奇数命令：Table[n,{n,1,30,2}] 命令：例5：生成四阶单位阵。：生成四阶单位阵。命令：命令：IdentityMatrix[4] 为对角元的对角矩阵，例6：生成一个以：生成一个以1,2,3,4,5为对角元的对角矩阵，并用为对角元的对角矩阵矩阵形式表示。矩阵形式表示。命令：命令：DiagonalMatrix[{1,2,3,4,5}] MatrixForm[%]
关于矩阵的几个常用函数
a b 例12: (1).求矩阵 c d 的逆矩阵求矩阵 1 2 3 (2).求矩阵 4 5 6 的转置矩阵求矩阵 7 8 9 (3).求（2）中矩阵的行列式求） (4).求（2）中矩阵的逆矩阵求）
(1) Inverse[{{a,b},{c,d}}] (2) m={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} m1=Transpose[m] (3) Det[m] (4) Inverse[m]
1 2 4 5
3 6
的维数
表的维数和矩阵的加、表的维数和矩阵的加、减法
矩阵的加、矩阵的加、减法在Mathematica中，矩阵可以表述成表，而相同维数中矩阵可以表述成表，的表可以相加，的表可以相加，它的和是两表对应元素相加所得的同维的表。同维的表。例9：{a1,a2,a3}+{b1,b2,b3} ：例10：m1=Array[a,{3,2}] ： m2=Array[b,{3,2}] MatrixForm[m1+m2]
关于矩阵的几个常用函数
2x1 + x 2 − 5x3 + x 4 = 8 x1 − 3x 2 − 6x 4 = 9 例13：求方程组 2x − x + 2x = −5 ：的解 2 3 4 x1 + 4x 2 − 7x3 + 6x 4 = 0

数学趣味实验小学数学知识的实际应用

数学趣味实验小学数学知识的实际应用数学趣味实验——小学数学知识的实际应用数学作为一门抽象的学科，对于小学生来说可能有点晦涩难懂。

然而，通过趣味实验的方式来学习数学，不仅能够提升学生对数学的兴趣，还能让他们更好地理解和应用数学知识。

本文将介绍一些有趣的数学实验，展示小学数学知识的实际应用。

实验一：魔术矩阵材料：纸板、表步骤：1. 在纸板上画一个3×3的矩阵。

2. 请一个学生在矩阵的每个方格中填入一个不重复的数字（数字范围可以根据学生的年龄进行调整，比如1~9）。

3. 请学生把每一行、每一列以及对角线上的数字相加，并记录在表中。

4. 让学生观察表中每一行、每一列以及对角线上数字之和是否相等，让他们发现规律。

实验这里引入了矩阵的概念和各个元素的求和运算，让学生通过填充数字和观察数字之和的变化来探索矩阵的特性。

这样可以培养学生的观察力和思维能力，同时加深对数学概念的理解。

实验二：奇妙的水钟材料：两个透明的塑料瓶、一个水桶、一些颜料、胶带步骤：1. 把一个塑料瓶装满水，用胶带将瓶盖固定。

2. 把另一个瓶子倒扣放在装满水的瓶子上，并用胶带固定。

3. 把水桶装满水，加入一些颜料，用作指示剂。

4. 把倒扣的瓶子放入水桶中，让学生观察水桶中的水位变化。

在这个实验中，学生可以观察到，当水桶中的水逐渐渗入瓶子时，倒扣的瓶子内部的空气被水取代，从而使得水位逐渐上升。

通过这个实验，学生可以加深对容积和水位变化的理解，同时学会如何利用简单的材料进行科学实验。

实验三：迷宫探险材料：一张纸板、色彩纸、彩笔、剪刀步骤：1. 在纸板上绘制一个简单的迷宫图案。

2. 用色彩纸剪出一个代表人物的小卡片。

3. 让学生尝试用彩笔在纸板上标记出从起点到终点的路径。

4. 让学生用小卡片在迷宫中寻找最短路径，并记录下使用的步数。

这个实验可以让学生通过探索迷宫和尝试各种路径来锻炼逻辑思维和问题解决能力。

同时，学生还可以解决数学中的最短路径问题，从而将数学知识应用到实际生活中。

矩阵的基本运算之数学建模实验报告

16.5 20.8 22.7 21.9 23.8 23.2 23.3 24.6 17.8 23.9 24.0 22.9 26.5 24.9 27.8 23.5 22.5 22.7 17.4 17.0 12.4 22.2 17.7 11.5 18.9 19.9
24.5 29.7 30.2 30.3 30.6 29.1 30.6 27.4 25.0 27.6 31.8 30.4 28.2 27.8 28.7 28.3 30.7 27.6 23.2 20.9 15.9 29.1 23.9 17.6 24.9 23.4
25.7000
27.3000
25.8000
-1.6000
7.6000
14.4000
23.0000
25.8000
27.1000
26.4000
0.5000
10.8000
15.4000
24.1000
27.3000
28.2000
26.3000
-0.2000
6.2000
12.4000
20.2000
23.5000
1
7月 27.3 27.1 28.2 24.8 25.0 25.7 24.6 24.2
9月 21.2 21.2 21.8 17.2 16.1 18.4 21.3 17.0
10 月 13.8 14.8 15.5 12.0 9.3 11.9 15.2 9.8
11 月 5.3 5.3 7.3 2.9 -0.7 1.0 6.9 -1.5
-5.6 -2.6 3.7 10.9 18.2 23.0 24.6 24.7 21.3 15.2 6.9 -1.9 -19.8 -22.8 -13.9 -16.5 -3.0 9.8 17.0 23.0 24.2 22.2 17.0 9.8 -1.5 -12.2 -4.4 8.6 16.5 22.8 24.5 21.7 15.8 8.2 -2.4 -13.9

数学软件实验报告内容

《数学软件》实验报告内容实验报告1实验名称:矩阵的基本运算实验地点:数学建模实验室日期:9.18实验目的:熟悉Matlab软件中关于向量、矩阵的基本运算,并会用sort命令解决有关排序的实际问题。

实验内容:1. 矩阵(向量、数组)的输入方法;2. 矩阵的合成与分解;3. 矩阵的加减法、乘法、转置与求逆运算;4. 向量的均值、方差、协方差与相关矩阵5. 大样本数据的排序方法(课件:第一讲矩阵的基本运算中作业1,2)结果分析:实验报告2实验名称:向量的距离与夹角余弦实验地点:数学建模实验室日期:9.25实验目的:熟练掌握向量的各种距离的计算,熟悉夹角余弦的公式,掌握判别分析建模的基本方法实验内容:1. 向量的数量积,矢量积与范数;2. 向量的欧氏、绝对距离、闵可夫斯基距离和马氏距离;(课件:第二讲向量的距离与夹角余弦对例3中触长、翅长为(1.28,1.86),(1.24,1.68), (1.42,2.05)的三个样本利用距离和夹角余弦进行识别)结果分析:实验报告3实验名称:大样本数据的处理方法实验地点:数学建模实验室日期:10.10实验目的:1.熟练掌握效益型、成本型、固定型、区间型数据处理的方法;2. 熟练掌握常见的建立客观性权向量的基本方法实验内容:1. 建立效益型矩阵与成本型矩阵的方法;2. 变异系数法建立权向量3. 夹角余弦法建立权向量结果分析:实验报告4实验名称:函数作图实验地点:数学建模实验室日期:10.15实验目的:掌握利用Matlab软件作二维与三维图形的方法实验内容:1. 平面曲线的作图2.在屏幕上生成多个图形窗13. 在同一个窗口放置多幅图形4. 空间曲面图形5. 等高线图6. 图形的编辑与旋转结果分析:写出上述实验中所需用到的Matlab命令,以及命令中应注意的问题?思考题:作图的线条、颜色、符号各有哪些组合?实验报告5实验名称:Matlab 编程实验地点:数学建模实验室日期:10.23实验目的:熟悉Matlab中的关系运算和逻辑运算,学会编写基本运算程序实验内容: 1. If 条件语句2. for循环语句3. while循环结果分析:写出上述实验中所需用到的Matlab命令,以及命令中应注意的问题思考题:Matlab中的编程语言与C语言有何异同?实验报告6实验名称:曲线拟合与插值实验地点:数学建模实验室日期:11.7实验目的:熟练掌握多项式拟合与插值的计算方法实验内容: 1. 多项式拟合2. 残差平方和的计算3. 一维插值4. 二维插值结果分析:写出上述实验中所需用到的Matlab命令,以及命令中应注意的问题思考题:何时应采取多项式拟合?实验报告7实验名称:非线性回归与多元线性回归模型实验地点:数学建模实验室日期:11.27实验目的:熟练掌握非线性回归与多元线性回归模型的方法实验内容: 1. 作出散点图,猜测曲线类型2. 建立函数并计算出参数的初始值3. 计算残差平方和与可决系数4. 多元线性回归模型5. 异常值的判断与模型的改进结果分析:写出上述实验中所需用到的Matlab命令,以及命令中应注意的问题思考题:如何解释多元线性回归模型中系数的实际意义?实验报告8实验名称:数据的基本统计分析实验地点:数学建模实验室日期:12.11实验目的:熟练掌握数据的基本统计分析方法实验内容: 1. 计算分布函数与概率密度函数值2. 做出随机变量在区间[a,b]上的正态密度曲线3. 数据特征4. 异常值的判别5. 矩统计量6.正态分布检验函数与直方图结果分析:写出上述实验中所需用到的Matlab命令,以及命令中应注意的问题思考题:有丢失数据时如何计算数据的均值与方差?。

mathematica矩阵运算

理工数学实验基础实验1矩阵的基本运算基础实验2矩阵的初等变换基础实验3行列式的运算基础实验4求解方程组基础实验5特征值特征向量专题实验1工资问题专题实验2动物繁殖问题专题实验3作物育种方案的预测问题专题实验4食谱问题矩阵的基本运算线性代数基础实验1理工数学实验一实验内容矩阵的运算加法数乘乘法转置逆二实验目的熟悉mathematica软件中关于矩阵运算的各种命令matrixforma功能
理工数学实验
四、例子
In[6]:=X=A.B MatrixForm[X] Out[6]:={{39,-39,-31,13},{-39,300,42,-231}, {-31,42,60,13},{13,-231,13,217}} Out[7]//MatrixForm=
− 39 − 31 13 39 − 39 300 42 − 231 − 31 42 60 13 217 13 − 231 13
理工数学实验
四、例子
简单操作步骤
In[1]:=A={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}} MatrixForm[A] Out[1]:={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}} Out[2]//MatrixForm=
3 1 1 2 1 2 1 2 3
三、常用命令
验
实
1. U［［i,j］］或a［i,j］功能：列出U=Array［a,{m,n}］的第i行，第j列元素. 2. U［［i］］功能：列出U的第i行的n个元素. 3. Transpose［U］［［j］］功能：列出U的第j列的m个元素. 4. U［［{i1,i2,2…,ip},{j1,j2,…,jq}］］功能：由行{i1,i2,…,ip}和列{j1,j2,…,jq}组成的矩阵. 5. U［［Range［{i0,i1}］,Range［{j0,j1}］］功能：求行从i0到i1，列从j0到j1组成的子矩阵. 6. MatrixQ［expr］功能：判别expr是否为矩阵，若是则其值为True，否则为False. 7. Dimension［expr］功能：给出矩阵expr的维数.

北理工数学实验报告

实验名称：线性代数实验——矩阵运算与线性方程组的求解实验目的：1. 理解矩阵的基本概念和运算规则。

2. 掌握线性方程组的求解方法。

3. 利用数学软件进行矩阵运算和线性方程组的求解。

实验时间：2023年X月X日实验地点：北理工计算机实验室实验器材：1. 计算机2. MATLAB软件3. 纸和笔实验内容：一、矩阵的基本运算1. 矩阵加法：给定两个矩阵A和B，它们的行数和列数必须相同。

矩阵加法是将对应位置的元素相加。

2. 矩阵减法：与矩阵加法类似，矩阵减法是将对应位置的元素相减。

3. 矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则A与B可以进行乘法运算。

矩阵乘法的结果是一个新矩阵，其元素是A的行与B的列对应元素的乘积之和。

4. 转置矩阵：给定一个矩阵A，其转置矩阵A'的行数等于A的列数，列数等于A 的行数。

转置矩阵的元素是A中对应位置的元素。

二、线性方程组的求解1. 高斯消元法：通过行变换将线性方程组转化为上三角矩阵，然后逐步求解未知数。

2. 克莱姆法则：当线性方程组系数矩阵的行列式不为零时，可以求出每个未知数的唯一解。

3. MATLAB求解：利用MATLAB中的函数求解线性方程组。

实验步骤：1. 创建矩阵：在MATLAB中创建两个矩阵A和B，并观察它们的性质。

2. 矩阵运算：进行矩阵加法、减法、乘法和转置运算，并观察结果。

3. 线性方程组求解：利用高斯消元法、克莱姆法则和MATLAB函数求解线性方程组。

实验结果与分析：1. 矩阵运算：通过实验，我们掌握了矩阵的基本运算规则，并成功进行了矩阵加法、减法、乘法和转置运算。

2. 线性方程组求解：利用高斯消元法、克莱姆法则和MATLAB函数求解线性方程组，得到了正确的解。

3. MATLAB求解：通过MATLAB函数求解线性方程组，我们发现MATLAB具有强大的矩阵运算和线性方程组求解功能，能够方便地解决实际问题。

实验总结：本次实验使我们深入了解了矩阵的基本概念和运算规则，掌握了线性方程组的求解方法。

有关矩阵数学实验报告

有关矩阵数学实验报告引言矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于线性代数、图论、计算机科学等众多领域。

本实验旨在通过实际操作和计算，加深对矩阵的理解，并探索矩阵在现实问题中的应用。

本报告将从实验目的、实验步骤、实验结果和实验结论几个方面进行介绍。

实验目的1. 了解矩阵的基本概念和运算规则；2. 掌握矩阵的求逆、转置和乘法等操作；3. 实践利用矩阵解决实际问题。

实验步骤1. 实验准备：安装并学习使用相应的矩阵数学软件；2. 实验1：矩阵加法和乘法- 创建两个相同维度的矩阵A和B；- 计算A + B和A * B；- 分析结果并进行讨论。

3. 实验2：矩阵求逆和转置- 创建一个可逆矩阵C；- 计算C的逆矩阵C'和C的转置矩阵C^T；- 检验计算结果是否正确。

4. 实验3：矩阵在实际问题中的应用- 选择一个实际问题，并将其抽象成矩阵形式；- 利用矩阵运算解决问题；- 分析结果，并与传统解法进行对比。

实验结果1. 实验1结果分析：经过计算发现，矩阵的加法和乘法满足交换律和结合律，与数的加法和乘法类似。

但是，矩阵乘法不满足交换律，即A * B ≠B * A。

这进一步说明矩阵并不是普通数的简单扩展。

2. 实验2结果检验：针对可逆矩阵C，计算得到的逆矩阵C'和转置矩阵C^T经过验证均正确，满足逆矩阵和转置矩阵的定义和性质。

3. 实验3结果分析：我们选择了一个线性方程组问题，利用矩阵运算求解。

与传统解法相比，矩阵运算更简洁、高效，尤其对于高维度复杂问题具有很大优势。

实验结论通过本次实验，我们对矩阵的概念和运算规则有了更深入的理解。

矩阵不仅仅是一种数学工具，它在现实问题的建模和求解中发挥着重要作用。

矩阵的加法、乘法、逆矩阵和转置等运算规则的学习，为我们处理实际问题提供了更多的方法和思路。

在未来的学习和研究中，矩阵将会贯穿于我们的整个数学和科学计算的领域，为我们带来更大的便利和创造力。

数学实验报告线性代数

数学实验报告(线性代数) 数学实验报告(线性代数)一、实验目的本次实验旨在通过对线性代数基本概念的探究，熟悉并掌握矩阵运算、向量空间、特征值与特征向量等核心概念，培养我们的数学思维与解决实际问题的能力。

二、实验内容1.矩阵运算我们首先通过Excel或其他数学软件，进行矩阵的加减法、乘法、转置等基本运算，并计算矩阵的行列式、逆矩阵等。

通过这些运算，我们深入理解矩阵这一基本概念以及其在线性代数中的重要性。

2.向量空间我们对向量空间进行深入的研究，包括向量的加减法、数乘等基本运算，以及向量空间的各种性质，如封闭性、结合律、分配律等。

通过具体的计算和证明，我们对向量空间有了更深入的理解。

3.特征值与特征向量在本次实验中，我们通过计算矩阵的特征多项式，找到矩阵的特征值，并求出相应的特征向量。

我们通过这种方法，理解了特征值和特征向量的物理意义，也掌握了求解特征值和特征向量的基本方法。

三、实验过程记录实验开始时间：XXXX年XX月XX日实验地点：数学实验室参与人员：小组成员1、小组成员2、小组成员3实验具体过程：1.矩阵运算：我们利用Excel软件进行矩阵的加减法、乘法等基本运算，通过具体的计算，我们发现矩阵的乘法并不满足交换律，而且矩阵的乘积的行列式并不等于原来两个矩阵行列式的乘积。

这让我们更深入的理解了矩阵乘法的规则和其意义。

2.向量空间：我们首先对向量的加减法、数乘等基本运算进行计算，以深入理解向量空间的基本性质。

接着我们对向量空间的封闭性、结合律、分配律等进行了证明。

通过这一系列的操作，我们明白了向量空间是一个具有丰富性质的数学结构。

3.特征值与特征向量：首先我们计算了矩阵的特征多项式，然后用求根公式求出了特征值。

接着我们根据定义求出了相应的特征向量。

在这个过程中，我们明白了特征值和特征向量的物理意义，也掌握了求解特征值和特征向量的基本方法。

实验结束时间：XXXX年XX月XX日四、实验总结及感想通过这次实验，我们更深入地理解了线性代数的基本概念和性质。

数学实验矩阵

பைடு நூலகம்
A
2
3
4
,
B
2
2
2
3 4 5
3 3 3
求：
C A B, D A, E A3, F A. B
创建matrix06.m文件 A=[1 2 3;2 3 4;3 4 5]; B=[1 1 1;2 2 2;3 3 3]; C=A+B D=A' E=A^3 F=A.*B
运行结果： C=
B1 = 0 1 1 1
000 000 300 4 10 0
B2 = 1 1 1 1
110 234 3 6 10 4 10 20
4. 矩阵的扩展
矩阵的扩展有以下两种方法：
<1> 利用矩阵标识块的赋值命令 X(m1:m2，n1:n2)=A
生成大矩阵。其中，(m1:m2)必须等于A的行维数，（n1:n2）必须等于A的列维数。生成的（m2×n2）的矩阵X,除赋值子阵和已存在的元素外，其余元素都默认为0。
一点。点M1到平面π的距离是：
d | nM0M1 | |n|
创建vector03.m文件 M0=[1 1 3]; M1=[8 3 -4]; n=[2 -2 1]; d=abs(dot(n,M1-M0))/norm(n) 运行结果：
d= 1
三、矩阵的生成
1、一般矩阵的生成: （1）输入矩阵时以“[ ]”为其标识，即矩阵的元素应在“[ ]”内部；（2）同行元素之间可由空格或“，”分隔，行与行间用“；”或回车符分隔；（3）矩阵元素可为运算表达式；
3. 矩阵的抽取 (1)对角元素抽取函数diag
diag(X,k) 抽取矩阵X的第k条对角线的元素向量。K为0时即为抽取主对角线，k为正值时为上方第k条对角线, k为负值时为下方第k条对角线。

矩阵基本运算的数学实验及思考

矩阵基本运算的数学实验及思考## 矩阵基本运算的数学实验及思考### 引言矩阵是线性代数中的重要工具，广泛应用于各个科学领域。

本文旨在通过数学实验深入探讨矩阵的基本运算，包括加法、减法、乘法等，以及通过实验得出的结论和对矩阵运算的思考。

### 实验一：矩阵加法首先，我们考察矩阵加法的性质。

通过设计实验，我们可以验证矩阵加法的交换律和结合律。

选择不同的矩阵进行加法运算，并观察结果，验证加法的基本性质。

### 实验二：矩阵减法类似于加法，矩阵减法也是线性代数中的基本运算之一。

在这个实验中，我们将研究矩阵减法的性质，包括减法的反交换性和减法与加法的关系。

通过多组实验数据，我们将深入理解矩阵减法的特性。

### 实验三：矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中的关键部分，对于线性变换和解方程组等问题具有重要意义。

通过实验，我们将验证矩阵乘法的结合律、分配律，并讨论乘法与加法的关联。

此外，我们还将研究单位矩阵的性质以及其在矩阵乘法中的作用。

### 实验四：矩阵转置与逆矩阵转置和逆矩阵是矩阵运算中的两个重要概念。

在这个实验中，我们将通过数学手段验证矩阵转置的性质，如转置的转置等，并研究逆矩阵存在的条件以及逆矩阵在方程求解中的应用。

### 实验五：矩阵的秩和行列式秩和行列式是矩阵理论中的重要概念，与矩阵的线性无关性和行列式的性质有密切关系。

通过实验，我们将研究秩的计算方法，行列式的展开与性质，以及它们在解决线性方程组和判断矩阵可逆性中的应用。

### 思考与结论通过以上一系列的实验，我们不仅加深了对矩阵基本运算的理解，还对矩阵在线性代数中的重要性有了更深刻的认识。

矩阵的性质和运算规律贯穿于多个学科领域，从物理学到计算机科学，都离不开对矩阵的运用。

在未来的学习中，我们可以进一步拓展矩阵的应用，探讨更高级的线性代数概念，以及矩阵在机器学习和数据科学中的广泛运用。

通过深入思考矩阵的数学本质，我们能够更好地应用这一工具，为解决实际问题提供更为丰富的思路和方法。

梯形矩阵实验报告

一、实验目的1. 理解梯形矩阵的概念和性质；2. 掌握梯形矩阵的求解方法；3. 分析梯形矩阵在工程中的应用。

二、实验原理梯形矩阵是一种特殊的矩阵，其特点是行数大于列数，且非零元素位于主对角线及其下方。

在数学和工程领域中，梯形矩阵具有广泛的应用。

本实验旨在通过求解梯形矩阵，加深对梯形矩阵概念和性质的理解。

三、实验内容1. 梯形矩阵的定义及性质；2. 梯形矩阵的求解方法；3. 梯形矩阵的应用实例。

四、实验步骤1. 定义梯形矩阵设A是一个n×m的矩阵，如果A满足以下条件：（1）A的行数n大于列数m；（2）A的非零元素位于主对角线及其下方；则称A为一个n×m的梯形矩阵。

2. 梯形矩阵的性质（1）梯形矩阵的秩等于其行数；（2）梯形矩阵的逆矩阵存在，且其逆矩阵也是一个梯形矩阵；（3）梯形矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。

3. 梯形矩阵的求解方法以一个n×m的梯形矩阵A为例，其求解方法如下：（1）求出A的秩r；（2）求出A的逆矩阵A^{-1}；（3）求出A的行列式|A|。

4. 梯形矩阵的应用实例（1）在电路分析中，梯形矩阵可以用来求解电路中的节点电压；（2）在结构分析中，梯形矩阵可以用来求解结构中的节点位移；（3）在信号处理中，梯形矩阵可以用来求解信号滤波问题。

五、实验结果与分析1. 实验结果以一个4×3的梯形矩阵A为例，其元素如下：A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]通过计算，得到A的秩r=3，逆矩阵A^{-1}如下：A^{-1} = [1/6 -1/3 1/2;-1/2 1/3 -1/6;1/3 -1/6 1/6]A的行列式|A|=54。

2. 实验分析通过本实验，我们验证了梯形矩阵的性质和求解方法。

在实际应用中，梯形矩阵在电路分析、结构分析、信号处理等领域具有广泛的应用。

了解梯形矩阵的概念、性质和求解方法，有助于我们更好地解决实际问题。

六、实验总结本实验通过对梯形矩阵的定义、性质、求解方法以及应用实例的研究，加深了我们对梯形矩阵的理解。

数学实验 矩阵

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