2018年高考数学(理)原创押题预测卷 03(新课标Ⅱ卷)(参考答案)

5216 22 46
∴能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为是否喜爱传统戏剧与年龄有关.（5 分）
19．（本小题满分 12 分）
【解析】 （Ⅰ）如图，连接 AC，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD ， AB // CD ， ∵ AB = AD =2，∴ AD = DC =2， ∵ CDA 60 ，∴ △ADC 是正三角形， ∵ E 是 CD 的中点，∴ AE ⊥ DC ， ∴ AE ⊥ AB ，（2 分） ∵平面 PAB ⊥平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB ， ∴ AE 平面 PAB ， ∵ PB 平面 PAB ，∴ AE PB ，（4 分） ∵ PA AB ， F 是 PB 的中点， ∴ AF ⊥ PB ， ∵ AE AF A ，∴ PB ⊥平面 AEF ，
∴椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 .（5 分） 43
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）易知 f (x) 的定义域为（0，+∞），
f
(x) =
ex (x 1) x2
a x
a x2
=
(x
1)(e x x2
a)
，（1
分）
当 a 1 ， 0 x 1时， f (x) ＜0，当 x 1 时， f (x) ＞0，∴ f (x) 在（0,1）上是减函数，在（1，
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
【解析】（Ⅰ）由
x
y
1 4t 5
3 5
t
(t
为参数），消去参数
t
得直线
l
的普通方程为
4
x
3
y
4
0
.
∵ sin 2 4 cos ，∴ 2 sin 2 4 cos ，
x
由
y
cos sin
得曲线 C
的直角坐标方程为
y2
4x
2018 年高考原创押题预测卷 03（新课标Ⅱ卷）
理科数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
B
C
B
A
C
D
B DABAB
13．60
15． (x 3)2 ( y 2 2)2 9
14．B 县
16． (1,2)
17．（本小题满分 12 分）
（Ⅱ）在 △BCD
中，由正弦定理，得
| BC | sin CDB
| CD | sin B
，
即 sin CDB | BC | sin B
2 3 5
3
=
10
，（7 分）
| CD | 2 10 10
5
∴ cos CDB
1 sin 2 CDB =
10
，
10
∴ sin ACD sin(CDB 45）= sin CDB cos 45 cos CDB sin 45
设平面
AEF
的法向量为
m
=
(x,
y,
z)
，则
m
AE
3x 0 ，取 y 1，则 x 0, z 1，
m AF y z 0
∴ m = (0,1,1) ，（10 分）
设直线 PD 与平面 AEF 所成角为 ，则
sin = | m DP| =
| 3 0 11 2 (1) |
1
=.
| m | | DP | ( 3)2 12 22 02 12 (1)2 4
3
=
10
2
10
2
=
5 .（10 分）
10 2 10 2 5
在 △ACD
中，由正弦定理得，
| sin
AD | ACD
| CD | sin A
，
∴|
AD
|
|
CD
|
sin
ACD
=
2
10 5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
5 5
= 4 .（12 分）
sin A
2
5
2
18．（本小题满分 12 分）
理科数学 第 1页（共 8页）
【解析】（Ⅰ）由题知， b =22−10=12， c =52−10=42，（2 分） 由列联表中的数据，计算 K 2 的观测值为 k = 68 (10 4 42 12)2 ≈17.3877＞6.635，（4 分）学-科网
x 1
x 1
x
1
x2
2x
5
或
x
1
x2
2x
5
，
解得 x 4 或 x 2 ，
∴原不等式的解集为{x | x 2 或 x 4} .（5 分）
理科数学 第 6页（共 8页）
理科数学 第 7页（共 8页）
理科数学 第 8页（共 8页）
.（5
分）学科-网
（Ⅱ）将
x
1
3 5
t (t
为参数）代入
y2
4x
，整理得，
4t 2
15t
25
0
，
y
4 5
t
设点 M , N 对应的参数分别为 t1, t2 ，则
t1
t2
15 4
, t1t2
25 4
0
，∴ t1, t2
异号，
理科数学 第 5页（共 8页）
∴
1
1
1
=
1
| t1 | | t2 | | t1 t2 | =
| PM | | PN | | t1 | | t2 | | t1 || t2 | | t1t2 |
(t1 t2 )2 4t1t2 = | t1t2 |
(15)2 4 ( 25)
4
4
25
=1.
4
（10 分）
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
【解析】（Ⅰ）由题知，不等式 f (x) x2 2x 5 ，即 | x 1| x2 2x 5 ，等价于
+∞）是增函数；（2 分）
当1 a e ，0 x ln a 或 x 1 时， f (x) ＞0，当 ln a x 1 时， f (x) ＜0，∴ f (x) 在 (0, ln a) 上
是增函数，在 (ln a,1) 上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；（3 分） 当 a e 时， f (x) ≥0，∴ f (x) 在（0，+∞）上是增函数，（4 分） 当 a e ， 0 x 1或 x ln a 时， f (x) ＞0，当1 x ln a 时， f (x) ＜0，∴ f (x) 在（0,1）上是 增函数，在（1，ln a) 上是减函数，在 (ln a,) 上是增函数.（5 分）
∴直线 PD 与平面 AEF 所成角的正弦值为 1 .（12 分） 4
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）∵ e c = 1 ，∴ a 2c ，∴ b a2 c2 3c ，（2 分） a2
理科数学 第 3页（共 8页）
S ∴ △AF2B
1 (a 2
c)b
3c2 2
3
，
2
解得 c 1，∴ a 2 ， b 3 ，
以 A 为原点，以 EA, AB, AP 分别为 x, y, z 轴的正方向，如图，建立空间直角坐标系 O xyz ，则
E( 3,0,0) ，D( 3,1,0) ，P(0,0,2) ，B(0,2,0) ，F (0,1,1) ，∴ AE = ( 3,0,0) ，AF =（0,1,1），
DP = ( 3,1,2) ，（9 分）
理科数学 第 4页（共 8页）
综上所述，当 a 1 时， f (x) 的增区间为（1，+∞），减区间为（0,1）； 当1 a e 时， f (x) 的增区间为 (0, ln a) ，（1，+∞），减区间为 (ln a,1) ； 当 a e 时， f (x) 的增区间为（0，+∞），无减区间； 当 a e 时， f (x) 的增区间为（0,1），（ lna ，+∞），减区间为（1，ln a) ；（6 分）
理科数学 第 2页（共 8页）
∴ PB EF .（6 分）
（Ⅱ）∵平面 PAB ⊥平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB ， PA AB ，
∴ PA ⊥平面 ABCD ，∴ PA ⊥ AD ， PA ⊥ AC ，（7 分）
由（Ⅰ）知，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，