人教版数学九年级上册第21章第1节一元二次方程-拔高版 教案
初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程(1)》教学设计
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析《一元二次方程（1）》是人教版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。
通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，培养其解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有一定的了解。
但在解一元二次方程方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、教学辅助材料等。
2.学生准备：课本、练习本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，呈现一元二次方程的解法，引导学生理解并掌握解法。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解，解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，让学生尝试解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一元二次方程的定义和解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。
九年级数学上册第21章《一元二次方程》精品教案(人教版)
21.1一元二次方程教学目标：一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．教学过程：环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.列方程，得__(100－2x)(50－2x)＝3600__，化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场． 列方程，得__12x (x －1)＝28__. 化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x 3－2x 2＋5＝0；(2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35； (4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；(5)x 2－2x ＝x 2＋1；(6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x －2x 2＋2＝5x －5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列方程是一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝02．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(A)A．2B．0C．0或2D．0或－2【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是__－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧ 必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2 一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．练习设计：请完成本课时对应练习！。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案
这样容易完成学习内容。
三、教学目标
（结合课标）
1.理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次数为2。
对一元二次方程理解时，一定注意“a≠0”这一条件。
把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分母---去括号---移项---合并同类项。
注意:①当a是负值时，一般转化为正数； ②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如： 。
解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时，可用公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。
配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程中，注意配方在其他方面的应用。
因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
二、学情分析
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本章将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
新人教版九年级数学上册 第21章 《一元二次方程》全章教学设计
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项. 2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】一元二次方程的概念及其一般表现形式.【教学难点】从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.一、情境导入,初步认识(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？二、思考探究，获取新知由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.探究2见教材2~3页问题2.【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到12·x·（x-1）=28,化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：（1）方程各项都是整式；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【归纳结论】1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.想一想1.二次项的系数a为什么不能为0?2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.三、典例精析，掌握新知例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.四、运用新知，深化理解1.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.五、师生互动，课堂小结教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？1.布置作业：教材“习题21.1”第1,2,3题21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.一、情境导入，初步认识问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=6.二、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm. 【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1p,x2p(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）2=5,②得x+3=5,即55.③于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1525【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程：（教材第6页练习）(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=±223,即x1=223,x2=-223.(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2;（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得x-2=±5,∴x1=2+5,x2=2-5.（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.四、运用新知，深化理解1.若8x2-16=0，则x的值是.2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是.3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为.4.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.五、师生互动，课堂小结教师可以向学生这样提问：(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.1.布置作业：教材“习题21.2”第1题.21.2.1配方法（第2课时）教学过程教学反思:21.2.2 公式法教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 解: （1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2-76x=-16配方，得：x 2-76x+（712）2 = -16+（712）2（x-712）2 = 25144x-712= ±512 x 1=512+712=7512+=1 , x 2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a≠0）且b 2-4ac≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a--分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2ba ）2即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a 、b 、c 代入式子（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0== ∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2 b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9 b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±=⨯ ∴x 1=116+x 2=116-（3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习教材P 12 练习1 第1题21.2.3 因式分解法【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问题根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）想一想你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法，激发学生求知欲望，引入新课.二、思考探究，获取新知学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：x(10-4.9 x)=0.∴x =0或10-4.9 x =0,∴x 1=0, x 2=10049≈2.04.从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?通过学生的讨论、交流可归纳为：当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.三、典例精析，掌握新知例1 解下列方程：（1）x (x -2)+ x -2=0; (2)5 x 2-2 x -14= x 2-2 x +34.解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x1=2, x2=-1. （2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x +1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12, x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式分解法要先使方程的一边为0，而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0，达到降次目的，从而解出方程；2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.四、运用新知，深化理解1.用因式分解法解方程，下列方程中正确的是（）A.（2x-2）(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0B. (x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1C.（x+2)(x-3)=6,∴x+2=3或x-3=2D. x(x+2)=0,∴x+2=02.当x= 时，代数式x2-3x的值是-2.3.已知y=x2+x-6,当x= 时，y的值等于0.当x= 时,y的值等于24.（注：4~5题为教材第14页练习）4.解下列方程：（1）x2+x=0; （2）x2-23x=0;（3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0;（5）3x(2x+1)=4x+2; （6）(x-4)2=(5-2x)2.5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.【教学说明】针对所设置的作业，可因不同的学生分层次布置作业，让每个学生都能参与数学的学习，激发学习热情.【答案】1.A 2.1或2 3.2或-35或-6 4~5略.五、师生互动，课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?【教学说明】设计两个问题引导学生回顾本课知识的学习过程，反思学习过程中的疑惑，查漏补缺，完善认知.布置作业：教材“习题21.2”第6题.。
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.1一元二次方程》优秀教案
《一元二次方程》教案一．课标要求：课标对本节没有提出具体的教学要求。
二．虽然没有具体要求，但可以参照对方程概念的要求，即能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
三、内容安排：知识技能:1.理解一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4．理解一元二次方程根的概念．数学思考：类比方程、一元一次方程来理解一元二次方程，发现它们的联系和区别，体会数学知识之间是息息相关的，系统的，有逻辑性的而不是简单并列罗列的知识点。
问题解决：用类比法、对比法、概念解释等方法认识一元二次方程的相关概念。
情感态度：通过由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，体会数学来源于生活又回归于生活的理念，从而提高同学们学习数学的积极性。
重点：一元二次方程的概念及一般形式。
难点：一元二次方程的解（根）。
实际问题抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”。
四、教学过程（一）孕育同学们回顾方程和一元一次方程的概念。
特别强调一下“元”、“次”分别是什么。
（二）萌发生长1．一元二次方程的概念等号两边都是，只含有一个（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程．概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分. 如果明确了ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．3．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．（例题和情景题见课件和学案）三、收获硕果这节课你学会了那些知识？有何体会？（学生小结）一元二次方程的概念；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根的概念。
人教版九年级数学上册：第21章一元二次方程(教案设计)
第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程第一课时教学目标1.了解一元二次方程的概念， 应用一元二次方程概念解决一些简单题目．2．一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念.3．用数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈， 那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x 尺， 那么， 这个门的宽为_______ 尺， 根据题意， 得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3） 都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x） （ 5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）= 1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材P32练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17 ≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0） 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P34习题22．1 1、2．21．1 一元二次方程第二课时教学目标1．一元二次方程根的概念；2． 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2． 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为___________．整理，得_________．列表：108问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m， 苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整理，得________．列表：老师点评（略）二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：（1）移项得x2=64根据平方根的意义，得：x=±8即x1=8，x2=-8（2）移项、整理，得x2=2根据平方根的意义，得x=即x1x2=（3）因为x2-3x=x（x-3）所以x2-3x=0，就是x（x-3）=0所以x=0或x-3=0即x1=0，x2=3三、巩固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm， 这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：（3）你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根， 但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2）（3）铁片长x=15cm五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．六、布置作业1．教材P34复习巩固3、421.2.1 直接开平方法教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x -______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ， P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=8 x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1x 2=-BCAQ P可以验证，-都是方程12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即2t+1=-方程的两根为t 1-12，t 2=12例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ． 一年后人均住房面积就应该是10+ 10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P36练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x， 那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=六、布置作业1．教材P45复习巩固1、2．21.2.2 配方法第1课时教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法， 引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2． 难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=或mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏， 八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上， 修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x 只猴子，根据题意，得：x=（18x ）2+12 整理得：x 2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x ，则可列方程：（20-x ）（32-2x ）=500整理，得：x 2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式 → （x -32）2= 256 降次→x -32=±16 即 x -32=16或x -32=-16 解一次方程→x 1=48，x 2=16可以验证：x 1=48，x 2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x 2-36x+70=0的解题．老师点评：x 2-36x=-70，x 2-36x+182=-70+324，（x -18）2=254，x -18=，x -或x -18=，x 1≈34，x 2≈2．可以验证x 1≈34，x 2≈2都是原方程的根，但x ≈34不合题意，所以道路的宽应为2． 例2．解下列关于x 的方程（1）x 2+2x -35=0 （2）2x 2-4x -1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x 2-2x=35 x 2-2x+12=35+1 （x -1）2=36 x -1=±6x -1=6，x -1=-6x 1=7，x 2=-5可以，验证x 1=7，x 2=-5都是x 2+2x -35=0的两根．（2）x 2-2x -12=0 x 2-2x=12x 2-2x+12=12+1 （x -1）2=32x -1=±2x -1=2，x -1=-2x 1=1+2x 2=1-2可以验证：x 1=1+2，x 2=1-2三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P 39 练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ， 几秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形． 根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x -7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式， 左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业C AQ P1．教材P45复习巩固2．21.2.2 配方法第2课时教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后， 两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式， 右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9x-4=±3即x1=7，x2=1（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x12，x2=2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：（1）移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5（2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=±2，即x1=2-32，x2=-2-32（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5x+2=x12，x2=2三、巩固练习教材P39练习2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y 的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P45复习巩固3．21.2.3 公式法教学目标1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a-，x 2 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a =±2a即x=2b a-∴x 1=2b a -，x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x -1=0 （2）5x+2=3x 2（3）（x -2）（3x -5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=(4)22--±==⨯∴x 1=22，x 2=22（2）将方程化为一般形式3x 2-5x -2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴=∴x 1x 2 （3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m -2）x -1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)13224--±=⨯ x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m -2）=2m -1=-1≠0所以m=0满足题意．当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m -2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x -2x -1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x -1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=- 1时，其一元一次方程的根为x=-13．五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P45复习巩固4．21.3 实际问题与一元二次方程(1)教学目标由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．重难点关键1．重点：用“倍数关系”建立数学模型2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型教学过程一、复习引入（学生活动）问题1：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元， 星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．则0.5(0.2)2000.40.61300x yx y+-=⎧⎨+=⎩解得1000(1500(xy=⎧⎨=⎩股)股)答：（略）二、探索新知上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x． 因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2 =3.31去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31整理，得：x2+3x-0.31=0解得：x=10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、 二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%答：所求的增长率为50%．三、巩固练习（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．四、应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0解得：x1=-2（不符，舍去），x2=18=0.125=12.5%答：所求的年利率是12．5%．五、归纳小结本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．六、布置作业1．教材P53复习巩固1 综合运用1．21.3 实际问题与一元二次方程(2)教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．重难点关键1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张， 商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元， 则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+0.1x ×100） 解：设每张贺年卡应降价x 元则（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120 解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元， 那么商场平均每天可多售出34 张． 如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.751000.10.2534=≈，从这些数目看， 好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75-y ）（200+0.25y ×34）=120 即（34-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y -15=0。
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程教学设计
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程教学设计一、教学目标本节课的教学目标包括：1.了解一元二次方程的定义与性质；2.掌握一元二次方程的解法；3.能够运用一元二次方程解题。
二、教学内容本课程主要包括以下内容：1.一元二次方程的定义；2.一元二次方程的性质；3.一元二次方程的解法；4.运用一元二次方程解题。
三、教学重难点本课程的教学重难点包括：1.理解一元二次方程的定义及性质；2.掌握如何解一元二次方程。
四、教学方法本课程的教学方法包括：1.讲授法：主要讲授一元二次方程的定义、性质和解法；2.演示法：通过例题演示如何解一元二次方程；3.练习法：通过多种练习形式，巩固学生的掌握情况。
五、教学过程1.导入（5分钟）在课堂开始前，教师可以先进入一些简单的数学题目，以引起学生的兴趣，并渐进地将这些问题与一元二次方程联系起来。
2.学生介绍（5分钟）教师请同学们自我介绍，并简单了解同学们对一元二次方程的了解程度。
3.讲授一元二次方程（20分钟）教师通过讲解讲授一元二次方程的定义和性质，以及求一元二次方程解的方法、公式等知识点。
4.演示解题例子（10分钟）教师通过1-2个例子，演示解一元二次方程的方法，并提示同学们在解题时要注意的问题。
5.实际操作（10分钟）教师布置一些练习题，让学生在课堂上自行解题，巩固所学内容，同时教师提供必要的解题指导。
6.课堂辅导（10分钟）教师可以进行课堂辅导，帮助学生解决在实际操作中出现的问题。
7.小结（5分钟）教师帮同学们回顾了本节课的重要内容，并让同学们总结所学内容。
8.作业布置（5分钟）教师布置一些与本节课内容相关的作业，以巩固学生的所学知识。
六、教学评价在教学过程中，教师需要对学生的学习情况进行评价。
可以通过学习笔记、课堂练习情况、课堂提问等方式进行评价。
七、教学反思教学反思是指对本次教学过程进行总结和分析，检查是否达到了教学目标，找出教学不足之处，并找出改进的方法和措施，为下一次教学做好准备。
新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学设计
新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学设计新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学设计第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程※教学目标※【知识与技能】1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.【过程与方法】1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．【教学重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．【教学难点】通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．※教学过程※一、情境导入雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x m，则其上部高为(2-x)m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?二、探索新知由上述问题，我们可以得到，即 .显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究问题1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？教师设置如下问题学生讨论：如果设四角折起的正方形的边长为x cm，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600m2可得到的方程又是怎样的？讨论结果：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600m2，得(100-2x)(50-2x)=3600.整理，得 .化简得 .由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.探究问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：这次比赛共安排多少场？若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？讨论结果：全部比赛的场数为 .设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场.列方程 .整理，得 .化简，得，即 .观察思考，口答下面的问题：上面的方程整理后含有几个未知数？按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：都只含一个未知数x；它们的最高次数都是2次的；都有等号，是方程．归纳总结像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．想一想二次项系数a为什么不能为0？在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c一定是正数吗？探究问题3探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，由此可列下表：x 1 2 3 4 5 7 8 9 10 ......x2-x-56由上表可得，当x=8时，，所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.学生思考方程有一个根为x=8，它还有其他的根吗？当x=-7时，，故x=-7也是方程的一个根.归纳总结使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为，．三、掌握新知例1求证：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明即可．证明：∵，∴，即．∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．例2 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．分析：一元二次方程的一般形式是．因此，方程必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得．移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．四、巩固练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是① ,② ,③ ,④ .个个个个2.已知方程的一个根是，则m的值为________．3.关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_________.4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.答案：2.-13≠14. ，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；，其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100.。
新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案
新人教,新,人教,版,九年级,数学,第,21章,第,第21章一元二次方程第1课时一元二次方程（1）学习目标1、使学生了解一元二次方程的意义。
2、通过实际问题的情境，让学生感受到在的生活、学习中方程知识的实际意义。
3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
学习重点建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
学习难点教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？【分析】设宽为x米，则列方程得：x(x+10)=900；整理得 x2+10x-900=0 ①【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：5(1+x)2=7.2；整理得 5 x2+10x-2.2=0 ②【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它（x-1）队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：；整理得 x2-x-56=0 ③二、自主交流探究新知【归纳】1、一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。
所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
人教版九年级数学上册：21.1《一元二次方程》说课稿1
人教版九年级数学上册：21.1 《一元二次方程》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程》是人教版九年级数学上册第21.1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程和方程的解法的基础上，引入一元二次方程的概念，以及它的解法。
教材通过实例引入一元二次方程，让学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
同时，教材还引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程和方程的解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念和解法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
同时，学生对于实际问题的解决，还有一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法，运用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导发现法，学生通过观察、分析、归纳等过程，发现一元二次方程的解法。
2.教学手段：多媒体教学，通过动画和图片等形式，帮助学生理解一元二次方程的概念和解法。
六. 说教学过程1.导入：通过实例引入一元二次方程，引导学生观察、分析，引出一元二次方程的概念。
2.新课：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的解法。
3.应用：运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强化学生对一元二次方程的概念和解法的理解。
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.1一元二次方程》优秀教案
整理所列方程后观 察:
(1)方程中未知数的个数和次数各是多少?
(2)下列 方程中和 上题的方程有共同特点的方程有 哪些?
4x+3=0;x2+2x-4=0;x2+y-4=0;x2-75x+350=0; +2x-6=0
概念归纳:
课题
21.1一元二次方程
课时
1课时
上课时间
教学目 标
1.知识与技能
(1)理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
(2)掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式.
(3)理解一元二次方程的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
2.过程与方法
(1)通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.
1.一元二次方程定义:
分析:首先它是整式方程,然后未知数的个数是1,最高次数是2.
2.一元二 次方程的一般形式:
分析:
(1) 为什么规定a≠0?
(2)方程左边各项之间的运算关系是什么?关于x的一元二次方程ax2-bx-c=0(a≠0)的各项分别是什么?各项系数是什么?
3.特殊形式:ax2+bx=0(a≠0);ax2+c=0(a≠0);ax2=0(a≠0).
探索新知
合作探究
课本例题
分析:类比一元一次方程的去括号,移项,合并同类项,进行同解变形,化为一般形式后再写出各项系数,注意方程化为一般形式后,其中的“-”是性质符号负号,不是运算符号减号.
一元二次方程的根 的概念
1.类比一元一次方程的根的概念 获得一元二次方程的根的概念.
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.1一元二次方程》优秀教案
《一元二次方程》教案教学目标：（一）知识与技能：1、了解一元二次方程的概念及一般表示形式0=ax2+bx+c (a≠0)2、学会判断何为一元二次方程3、应用一元二次方程解决生活中一些简单问题（二）过程与方法：通过问题的导入，以一元一次方程为原形知识基础，建立数学模型，进而引入一元二次方程的定义，了解方程中项和系数的关系，培养学生的观察能力和思维能力。
（三）情感态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点：一元二次方程的概念及一般形式，并用运用这些概念解决问题教学难点：通过建立一元二次方程的模型，将一元一次方程的概念转变成一元二次方程的概念。
教学方法：引导法，点拔法，合作交流法教具准备：课本、PPT、三角板教学时数：1教学过程：第一课时一、导入新课温故：有一块矩形铁皮，周长为300cm，长比宽长50cm，那么这个铁皮的长和宽分别是多少厘米？通过之前我们对一元一次方程的学习，我们可以通过设立未知数，然后建立方程来解决这个问题。
假设这个矩形的长为x cm，那么根据长比宽长50cm，可以得到宽为（x-50）cm，又因为矩形的周长为300cm，而且矩形具有两条长和两条宽，因此可以建立方程：300=2x+2（x-50）；解得矩形的长为100cm，宽为50cm。
这就是我们之前学习的一元一次方程，而这个问题我们可以运用一元一次程来进行解决。
新课导入：也是块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得（100-2x）（50-2x）=3600；整理得:4x2-300x+1400=0，化简可以得到：x2-75x+350=0。
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.1一元二次方程》优秀教案
（三）一元二次方程的根
下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的 根？
―4，―3，―2，―1，0，1，2，3，4．
分析：要判定一个数是否是 方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有―2和―3满足方程的等式，所以x＝―2或x＝―3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
（二）一元二次方程的一般 形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．这种形式叫 做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是 常数项。
例：将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
3、课本第四页练习的第2题。
5、拓展延伸(含作业布置、课堂小结)
一、拓展提高：
1、若关于x的一元二次方程（m+2）x2+5x+m2-4=0有一个根为0，则m=.
2、关于x的方程 （m2-1）x2-（m+1）x+m=0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
2.什么叫一元一次方程？
3.什么叫分式方程？
2、示标导入
问题(1)要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?
问题(2)有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》教案
第二十一章一元二次方程1.了解一元二次方程及方程的解的概念.2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系.5.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程,并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题.1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.2.通过对一元二次方程解法的探究,培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.3.通过列一元二次方程解应用题,进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.1.在学习一元二次方程的过程中,让学生体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.通过学习直接开平方法、因式分解法解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题中的应用;通过对求根公式的推导,向学生渗透分类思想.3.体会数学来源于生活,又应用到生活,由可设未知数列方程向学生渗透方程的思想,由此培养学生应用数学的意识.方程是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(组)的后继学习,本章在初中代数中占着非常重要的地位,起着承前启后的作用,一方面对以前学过的一些内容进行综合地应用,如探究解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知识都有应用,另一方面,一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展,是学好二次函数不可缺少的知识,是学好高中数学的奠基工程.本章主要让学生进一步体会方程的模型思想,会解一元二次方程,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,然后让学生体会数学来源于生活,通过学习进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识.【重点】1.一元二次方程及其有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.建立一元二次方程模型解决实际问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程.2.用公式法解一元二次方程.3.一元二次方程根的判别式.4.一元二次方程根与系数之间的关系.5.建立一元二次方程模型解决实际问题的.1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实际问题,可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系,所以可从实际问题抽象出一元二次方程的有关概念及其数学符号表示,让学生用类比思想理解并掌握一元二次方程的概念及其一般形式.2.学生已经具备了解一元二次方程的基本思想——化归,即把方程转化为两个一元一次方程,教材由实际背景引入,建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法,转化为一元一次方程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具,引导学生用配方法导出求根公式,在推导求根公式的过程中,方程形式的不断推广,体现了数学中的从特殊到一般的过程.教材探究一元二次方程解法的过程,对于培养学生的推理能力和运算能力有很大帮助.3.一元二次方程根与系数之间的关系的学习,不仅为了一元二次方程理论的完整性,更重要的是初高中的衔接问题,根据求根公式,探究一元二次方程两根和与积分别与系数之间的关系,在教学活动中,可以让学生通过给出的几个一元二次方程的根,探索发现根与系数的关系,最后通过求根公式去验证总结,以此培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力.4.数学来源于生活,并应用于生活中,数学与生活息息相关,应用一元二次方程解决实际问题,引导学生分析其中的已知量、未知量及其等量关系,建立一元二次方程模型,得出方程的解,并检验所得的结果是否符合实际,得出合乎实际的结果,让学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程,培养学生的建模思想,逐步形成应用意识..2课方程时21.1一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生的数学思维能力.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.【重点】1.一元二次方程的概念及一般形式.2.一元二次方程的解(根).【难点】1.正确识别一般式中的“项”及“系数”.2.由实际问题列出一元二次方程.第课时1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.1.通过一元二次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】一元二次方程的概念及其一般形式.【难点】1.由具体问题抽象出一元二次方程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.【教师准备】多媒体课件1~3.【学生准备】复习一元一次方程和二元一次方程的定义.导入一:请同学们阅读章前问题,并回答问题.要设计一座2 m高的人体雕塑,使雕塑的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕塑的下部应设计为多高?如图所示,雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下等量关系:AC∶BC=BC∶2,即BC2=2AC.设雕塑下部高x m,可得方程x2=2(2-x),整理得x2+2x-4=0.【问题】这个方程是不是我们以前学过的方程?[设计意图]帮助学生初步感知上述方程与以往学过的方程形式的不同,通过学生的好奇心激发本节课的学习欲望.导入二:观察下列方程:(1)3x-5=0;(2)2x2+3x-2=0;(3)x+3y=0;(4)x2+(x+1)(x-1)=0.哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同?【师生活动】复习方程、一元一次方程的概念、二元一次方程的概念.【学生活动】小组合作交流:观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.[设计意图]让学生体会一元二次方程是刻画某些实际问题的模型,通过复习一元一次方程和二元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系自然地构建出新知识.导入三:数字中有许多有趣而奇妙的现象,很多秘密等待着我们去探索发现!现在,我们先来做一个数字游戏:大家先计算出10,11,12三个数字的平方和,再计算出13和14的平方和,看看两个平方和相等吗?你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?试试看!如果设中间的一个数为x,请根据这一问题列出方程.[设计意图]本问题可以使学生体会到数学中的奥秘,激发学生探究新知的欲望.学生通过设未知数,寻找等量关系,初步认识一元二次方程.给出课本问题1、问题2的两个实际问题,设未知数,建立方程.问题1【课件1】如图所示,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?教师引导学生思考并回答:如果设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是,宽是,根据方盒的底面积为3600 cm2,得.整理,得.化简,得.解:设切去的正方形的边长为x cm,那么盒底的长是(100-2x)cm,宽是(50-2x)cm.根据题意,得(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得4x2-300x+1400=0.化简,得x2-75x+350=0.问题2【课件2】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思路一教师引导学生思考并回答:全部比赛共有场.若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他个队各赛一场,全部比赛共有场.由此,我们可以列出方程,化简得.【师生活动】设未知数、根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有x(x-1)场.根据题意,得x(x-1)=4×7.整理,得x2-x=28.化简,得x2-x=56.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题.(1)分析题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何设未知数?根据题中等量关系怎样列方程?【师生活动】教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.解:设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,全部比赛共有x(x-1)场.根据题意,得x(x-1)=4×7.整理,得x2-x=28.化简,得x2-x=56.[设计意图]通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.(教师板书导入一和课本问题所列的三个方程)请口答下面问题.(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几?(3)方程两边都是整式吗?【学生活动】小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2;(3)方程两边都是整式.像这样的方程,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.[设计意图]通过小组活动,学生通过类比一元一次方程的定义得到一元二次方程的定义,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生(1)4x2=81;(2)2(x2-1)=3y.【师生活动】以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.教师应注意对学生给出的答案进行点评和归纳.[设计意图]进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.[知识拓展]判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.二、一元二次方程的一般形式【思考】(1)类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.(2)二次项系数为什么不能为0?学生思考回答.[设计意图]让学生自己概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解,是对数学符号语言的应用能力的提升,同时通过思考强调不能完成以下问题.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.〔解析〕一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,对方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项、合并同类项等.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.[设计意图]通过试一试,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,需先化成一元二次方程一般形式再求解,同时加深对一元二次方程一般形式的理解.[知识拓展]1.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式.2.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且项或系数都包括前边的符号.1.一元二次方程概念需要满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调a≠0.3.确定一元二次方程的项与系数时,一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号.1.在下列方程中,一元二次方程有()①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2-=0.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:一元二次方程必须满足三个条件:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程,同时注意二次项系数不为0.①和④满足这几个条件,②中二次项系数可能为0,③化简后不含有二次项,不符合定义.故选B.2.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为,一次项系数为,常数项为.解析:通过移项、合并同类项,化成一元二次方程的一般形式,为3x2-2x-4=0,所以二次项系数为3,一次项系数为-2,常数项为-4.答案:3-2-43.若(m-2)-=-3是关于x的一元二次方程,则m= .解析:根据一元二次方程概念知未知数x的最高次数是2,且二次项系数不为0,所以m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2.第1课时一、一元二次方程的定义只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.二、一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.一、教材作业【必做题】教材第4页习题21.1的1,2题.【选做题】教材第4页习题21.1的4,5,6题.二、课后作业【基础巩固】1.下列方程为一元二次方程的是 ()A.1-x2=0B.2(x2-1)=3yC.-=0D.(x-3)2=(x+3)22.若ax2-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是()A.a>-2B.a<-2C.a>-2且a≠0D.a>3.生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是()A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182C.2x(x+1)=182D.x(x-1)=182×24.方程2x2=3(x+6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为()A.2,3,-6B.2,-3,-18C.2,-3,6D.2,3,65.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化为一般形式是.6.若方程kx2+x=3x2+1是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是.7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.(1)(2x-1)2=6;(2)3x2+5(2x+1)=0.8.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)有一个面积为54 m2的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的边长是多少?(2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少?9.求方程x2+3=2x-4的二次项系数、一次项系数及常数项的积.【能力提升】10.若关于x的方程(k2-4)x2+-x+5=0是一元二次方程,求k的取值范围.11.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.12.当m取何值时,x2m-1+10x+m=0是关于x的一元二次方程?13.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.【拓展探究】14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.【答案与解析】1.A(解析:B中含有两个未知数,C中方程不是整式方程,D中方程化简后不含有x的二次项,只有A符合一元二次方程定义.故选A.)2.C(解析:根据一元二次方程的二次项系数不为0可得a≠0,解不等式得a>-2.故选C.)3.B(解析:每名同学都赠出(x-1)件,所以x名同学共赠出x(x-1)件,根据题意可列方程为x(x-1)=182.故选B.)4.B(解析:化简得2x2-3x-18=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,-3,-18.故选B.)5.x2+x-7=0(解析:根据多项式乘法法则化简方程左边,然后移项、合并同类项,可得x2+x-7=0.)6.k≠3(解析:根据一元二次方程的定义知一元二次方程的二次项系数不为0,所以k≠3.)7.解:(1)4x2-4x-5=0,二次项系数为4,一次项系数为-4,常数项为-5. (2)3x2+10x+5=0,二次项系数为3,一次项系数为10,常数项为5.8.解:(1)设这个正方形的边长是x m,根据题意得(x+5)(x+2)=54,化简得x2+7x-44=0. (2)设这三个连续整数为x-1,x,x+1,根据题意得x(x-1)+(x-1)(x+1)+x(x+1)=242,化简得3x2-243=0.9.解:将方程化简可得x2-2x+7=0,所以二次项系数、一次项系数及常数项分别为,-2,7,所以 ×(-2)×7=-28.10.解析:一元二次方程满足二次项系数不为0,该题易忽略二次根式的被开方数为非负数.解:依题意得k2-4≠0,且k-1≥0,解得k≥1且k≠2.-11.解:由题意得解得m=-1.-12.解:由题意得2m-1=2,解得m=.13.解析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可.证明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程.14.解析:本题是含有字母系数的方程问题,根据一元一次方程和一元二次方程的定义,分别进行讨论求解.解:(1)由题意得-即m=1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程. (2)由题意得m2-1≠0,即m≠±1时,关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m.因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,所以本节课主要采用启发式、类比法教学.教学中力求体现“问题情境—数学模型—概念归纳”的模式.但是由于学生将实际问题转化为数学方程的能力有限,所以通过小组讨论,共同探究,从具体的问题情境中抽象出数学问题,建立数学方程,从而突破难点.让学生在实际生活情境中,经过自主探索和合作交流的学习过程,产生积极的情感体验,进而创造性地解决问题,有利于培养学生数学思维的提升.在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,有些问题教师引导不到位,比如根据实际问题建立数学模型,通过题意不能找到等量关系时,没有很好地帮助学生提高分析问题的能力,再如问题2中排球赛问题,学生对寻找题中的等量关系遇到了困难,不能理解为什么除以2,遇到问题时给学生思考时间较短.学生为了解决实际问题进行小组合作交流时,教师应给足够的时间进行探究,让学生更好地体会建模思想在数学中的应用,对于学生的发言,给予充分的肯定,激发学生学习数学的激情,真正让学生在课堂上动起来.同时应该注重学生能力的培养,在引导学生分析问题时设计出更有价值的问题.练习(教材第4页)1.解:(1)5x2-4x-1=0,二次项系数为5,一次项系数为-4,常数项为-1.(2)4x2-81=0,二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-81.(3)4x2+8x-25=0,二次项系数为4,一次项系数为8,常数项为-25.(4)3x2-7x+1=0,二次项系数为3,一次项系数为-7,常数项为1.2.解:(1)4x2=25,4x2-25=0. (2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.(3)x·1=(1-x)2,x2-3x+1=0.(1)数学来源于生活,又应用到生活中去,所以以不同的生活情境问题导入新课,通过分析题意,构建方程模型,让学生掌握利用方程解决问题的方法,既突破了本节课的难点,又很自然地引出了本节课的重点.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本节课重难点、易错点的掌握通过不同的形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞争意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.已知关于x的方程(2k+1)x 2-4kx+(k-1)=0.(1)当k为何值时,此方程是一元一次方程?求出这个一元一次方程的根.(2)当k为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.〔解析〕(1)一元一次方程中不含有二次项,所以二次项系数为0.(2)一元二次方程中二次项系数不为0.〔答案〕(1)k=-,x=.(2)k≠-;二次项系数为2k+1,一次项系数为-4k,常数项为k-1.第课时1.了解一元二次方程根的概念.2.会判定一个数是否为一个一元二次方程的根,以及利用它们解决一些具体问题.3.理解方程的解在实际问题中的意义.1.通过观察归纳一元二次方程根的概念,培养学生归纳、分析问题及解决问题的能力.2.应用一元二次方程根的定义计算,体会整体思想在数学中的应用,进一步培养学生数学思维能力.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.体验数学来源于生活、又应用于生活中,理解知识与现实世界的联系.【重点】判定一个数是否为方程的根.【难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后,检验根是否符合实际问题.【教师准备】多媒体课件1和课件2.【学生准备】复习一元二次方程的定义.导入一:根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一般形式.一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长比宽多2 m,苗圃的宽为x m.【学生活动】分析等量关系,列出方程x(x+2)=48,化成一般形式为x2+2x-48=0..导入二:把x=1,2,0,分别代入一元二次方程3x2=2x中,哪些数可以使方程左右两边相等?【师生活动】学生思考计算,独立回答问题,老师点评.[设计意图]从实际问题中抽象出一元二次方程数学模型,既复习了上节课内容,又利于对本节课新知识的接受,同时通过计算从已有的旧知识很自然地构建新知识.[过渡语]通过上边的计算,x的值与方程有什么样的关系呢?让我思路一问题:(1)观察导入一所填表格,x取什么值时,代数式x2+2x-48的值为0?(2)通过表格可得方程x2+2x-48=0(x>0)的解是什么?(3)下列数:1,2,0,,哪些是方程3x2=2x的解?〔答案〕(1)x=6时,代数式x2+2x-48的值为0.(2)方程x2+2x-48=0(x>0)的解是x=6.(3)0,.【师生活动】学生独立思考后,教师引导学生回答,并及时补充.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思路二【学生活动】思考并回答:什么是一元一次方程的解?教师及时补充.自主学习课本第3页,小组讨论交流,并回答以下问题:(1)什么是一元二次方程的根?【课件1】使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考:一元二次方程的根是不是唯一的?【师生活动】学生思考回答,教师点评.[设计意图]通过教师的引导(思路一),或自主学习后小组讨论交流(思路二),让学生经历知识的形成过程,达到真正理解和掌握概念,同时培养学生自主学习能力和分析问题的能力.(2)导入中的两个方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么?〔答案〕x=6;x=0或x=.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.【师生活动】学生思考计算后,以抢答形式回答问题,并说明理由.教师及时对学生给出的答案和理由做出评价.解:把这些数分别代入方程,使方程左右两边相等的数是方程的根.-4,3是方程的根.[设计意图]通过该练习,进一步强化一元二次方程的根的概念,采取抢答的形式,提高学生学习的竞争意识.(2)李明在写作业时,一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次项的系数用墨水覆盖住了,但知道方程的一个根是x=-2,请你帮助李明求出覆盖的系数.解:设覆盖的系数为a.把x=-2代入方程可得5×(-2)2+(-2)a-3=0,即20-2a-3=0,解得a=.∴覆盖的系数为.。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程数学活动教学设计
-利用信息技术辅助教学，如使用多媒体演示解法过程，提高教学的直观性和趣味性。
4.教学评价：
-采用形成性评价，关注学生在学习过程中的表现，及时给予反馈和指导。
-设计综合性的评价任务，如开放性问题、项目式作业等，评估学生对知识的综合运用能力。
2.实践应用题：选取两道与生活实际相关的一元二次方程问题，要求学生运用所学知识进行解答。例如，计算抛物线运动中物体的高度、计算二次函数图像下的面积等。此类题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
3.提高拓展题：设计一道综合性的题目，要求学生运用一元二次方程的根与系数的关系，结合图形进行问题分析。此类题目旨在提高学生的数学思维能力和综合运用知识的能力。
-培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对一元二次方程的解法，让每个小组讨论一种方法，并总结出关键步骤和注意事项。
-各小组汇报讨论成果，其他小组进行评价和补充。
2.教学目标：
-培养学生合作交流的能力。
-让学生通过讨论，加深对一元二次方程解法的理解。
-对于公式法，可以结合历史背景，介绍公式背后的数学故事，激发学生的学习兴趣，并帮助他们记忆公式。
-针对学生将实际问题抽象为一元二次方程的难点，可以设计一系列实际问题解决工作坊，让学生在小组合作中逐步培养抽象思维能力。
3.教学策略：
-采用问题驱动的教学方法，鼓励学生在解决具体问题的过程中，自主探索和发现数学规律。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养他们的自我反思和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
人教版数学九年级上册21.1.1一元二次方程(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（2）掌握求解一元二次方程的常用方法：因式分解法、配方法、公式法（韦达定理）。能够灵活运用这些方法求解一元二次方程。
（3）掌握判别式Δ = b^2 - 4ac的作用，判断一元二次方程的根的性质（两个实数根、一个实数根、无实数根）。
（4）结合实际问题，建立一元二次方程模型，解决实际应用问题。
举例：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0，通过因式分解法得到两个实数根；求解方程x^2 - 2x + 1 = 0，通过配方法得到一个实数根；求解方程ax^2 + bx + c = 0（给出具体a、b、c的值），运用公式法得到根的值。
4.培养学生的数学建模能力：结合实际问题，引导学生建立一元二次方程模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课将着重培养学生的逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等核心素养，使学生在掌握一元二次方程知识的基础上，提升综合运用数学知识解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）一元二次方程的定义及其一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。理解一元二次方程的结构特点，识别方程中的二次项、一次项和常数项。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作都表现得不错，能将所学知识应用到实际问题中。但在小组讨论过程中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够熟悉或者缺乏自信。在以后的教学中，我要注意引导这些学生积极参与，提高他们的自信心。
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.1一元二次方程》优秀教案
21.1 一元二次方程一、学习目标1、知识与技能：经历由实际问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程,体会到方程也是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型.2、过程与方法：正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.3、情感态度与价值观：通过概念教学,培养观察、类比、归纳能力,同时通过变式练习,对概念的理解具备完整性和深刻性.二、教学重点：理解一元二次方程及其有关概念。
三、教学难点：从实际问题中抽象出一元二次方程，正确识别一般式中的项及系数。
四、学习过程（一）设计问题,创设情境阅读以下问题:问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米?问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思考:(1)全场共比赛场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他个队各赛一场,全场共比赛场.由此,我们可以列方程,化简得.（二）信息交流,揭示规律观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数?它的最高次数是几?它们有什么共同特点?2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义:.（三）运用规律,解决问题例1 判断下列方程是否为一元二次方程.(1)3x+2=5y (2)x2=4(3)x2-4=(x+2)2(4)-1=x2例2 将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数: 3x(x-1)=5(x+2).（四）变式训练,深化提高。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程(1)教案新人教版(2021年整理)
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第二十一章一元二次方程单元要点分析教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法(1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式,接着讨论求根公式的条件：b2—4ac〉0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它．（6)提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下:21．1 一元二次方程 2课时21．2 降次──解一元二次方程 7课时21．3 实际问题与一元二次方程 4课时教学活动、习题课、小结 3课时21．1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念;一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．态度、情感、价值观4．通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键:通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动:列方程．问题（1）《九章算术》“勾股"章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何?”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题(2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x,那么BC=________，根据题意，得：________．整理得:_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____,根据题意，得:_______．整理，得:________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动:请口答下面问题．（1)上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评:（1）都只含一个未知数x;（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程(8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0)．因此，方程（8—2x）•（•5—2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号,得：40-16x—10x+4x2=18移项,得:4x2-26x+22=0其中二次项系数为4,一次项系数为—26,常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x—2）（x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0）的形式．解：去括号，得:x2+2x+1+x2—4=1移项，合并得:2x2+2x—4=0其中:二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项—4．三、巩固练习教材练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析:要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2—8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m—4)2+1∵（m—4）2≥0∴（m-4)2+1>0，即(m—4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结,老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念;（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材习题22．1 1、2．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2)（x+5）=x2—1 ④3x2-5x=0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程2x2=3(x—6)化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，—6 B．2，-3，18 C．2，—3，6 D．2,3，63．px2—3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则( ）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a—1)x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时,关于x的方程a（x23—（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片,面积为1m2,长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x,列出的方程为x（x—3）=1，整理得:x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x1234x2—3x-1-3—3所以，________<x〈__________第二步：x 3.13。
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.1一元二次方程》优秀教案
《一元二次方程》教案教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（ a≠0）及其派生的概念；会应用一元二次方程概念解决一些简单题目．重点难点1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程复习引入要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？雕像上部的高度AC ，下部的高度BC 应有如下关系：=2AC BC BC2=2BC AC 设雕像下部高 xm ，于是得方程x2=2(2－x整理得 x2＋2x －4=0你会发现这个方程与以前学习过的一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2，怎样解决这样的方程从而得到问题的答案呢？引言 中的方程x2＋2x －4=0 ①有一个未知数x ，x 的最高次数是2，像这样的方程有广泛的应用，请看下面的问题问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去的正方形的边长为xcm ，则盒底的长为（100－2x ）cm ，宽为（50－2x ）cm ，根据方盒的底面积为3600cm2，得2cm（100－2x ）（50－2x ）=3600.整理，得4x2－300x+1400=0.化简，得 x2－75x+350=0 ②x2－75x+350=0 . 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？全部比赛共4×7＝28场应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x －1）个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 () 121-x x 场列方程 ()28121=- x x 整理，得2821212=-x x化简，得562=-x x由方程③可以得出参赛队数方程① ② ③有什么特点？x2＋2x －4=0 ①x2－75x+350=0 ②562=-x x ③ ③（１）这些方程的两边都是整式（２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2.像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式()200.ax bx c a++=≠这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
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( ) 1. 关于 x 的方程 m2 −1 x2 + mx + n = 0 是一元二次方程的条件为（ ）
A．m≠1 B．m≠﹣1
C．m≠1 或 m≠﹣1 D．m≠1 且 m≠﹣1
2. 关于 x 的方程 (a −1)x2 + a + 1 x + 1 = 0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是
。
3. 关于 x 的一元二次方程 (n − 3)x2 + 3x + (n − 3)(n − 2) = 0 的常数项为 0，则 n 的值为________。
B．4，7
C．4，﹣3
D．4x2，﹣3x
2. 把一元二次方程 (1− x)(2 − x) = 3 − x2 化成一般形式 ax2 + bx + c = 0(a 0) 其中 a、b、c 分别为
A．2、3、﹣1
B．2、﹣3、﹣1 C．2、﹣3、1
D．2、3、1
3. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项。
A．m=2
B．m≠2
C．m=±2
D．m=﹣2
3. 已知关于 x 的方程 x2 + kx − 2 = 0 的一个解与方程 x +1 = 3 的解相同。则 k =
。
x −1
4. 已知关于 x 的一元二次方程 (m −1) x2 + 2x + m2 −1 = 0 有一个根是 0，则 m =
。
◎练习
1. 若 0 是关于 x 的一元二次方程 (m −1)x2 + 5x + (m −1)(m − 2) = 0 的一根，则 m 的值为（ ）
题型四：求一元二次方程中的字母参数
1. 需要同时满足：① a 0 ；②二次项次数为 2。
2. 当某一项为零时，需要满足：①该项为零；② a 0 。
◎例题
1. 若（k﹣1）x²﹣2kx﹣1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≠﹣1
B．k≠1
C．k≠0
D．k≥1
2.关于 x 的一元二次方程 (m −1)x2 + 2x + (m −1)(m − 4) = 0 常数项为 0，则 m 值等于（ ）
（3）若一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，若 c=0，则一 元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)必有一根为 0.
5. 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的解的估算，当某个 x 的取值使代数式 ax²+bx+c 的 值等于 0 或接近于 0 时，这个 x 的值就是一元二次方程的近似解。
2. 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0(a 0) ，其中 ax²是二次项，a 是二次项系数；bx
是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
题型一：根据定义直接判断一个方程是否是一元二次方程
◎例题
1. 下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1） 3x - 4 = 0 x
（4） 9x2 − 6x = 0
（2）x（x + 10） = 1200. 1 / 27
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
x² – 64 = 0；
x² + 10x – 1200 = 0.
上述两个方程有什么共同特点？
(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2； (3)整式方程．
【新知讲解】 ※知识点一：一元二次方程的定义与一般形式 1. 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方 程，叫做一元二次方程．
（2） (x −1)2 + y2 = 2
（3） 3(x +1)2 = 2(x +1)
（4） ax2 + bx + c = 0
（5） x2 + 2x = x2 +1
（6） (x +1)(x −1) = x2
◎练习 1. 下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）4 (x −1)(x + 2) = 5 （2） (x − 2)(x + 5) = 0
◎例题
1. 方程 2x2 = 3(x − 6) 化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，3，-6
B．2，-3，18
C．2，-3，6
D．2，3，6
2. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数 项。
（1）3x²+2=5x
（2）4x²﹣5x=10
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若 a+b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)必有一根 x=1；反之也成立，即若 x=1 是 一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的一个根，则 a+b+c=0.
（2）若 a-b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)必有一根 x=-1；反之也成立，即若 x=-1 是一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的一个根，则 a-b+c=0.
2. 下列哪组数是方程 x²+x﹣6=0 的根是（
A.﹣3 和 2
B．﹣3 和﹣2
） C．﹣2 和 3
3. 方程 (a − b)x2 + (b − c)x + c − a = 0 的一个根为（ ）
A −1
B1
C b−c
D．2 和 3 D −a
题型二：已知某一根求字母参数 1. 已知某一根，常用代入法，来解未知字母的值； 2. 遇到求值的过程中，对字母讨论时，保证 a 0 。
（1）当 m 为何值时，此方程是一元一次方程； （2）当 m 为何值时，此方程是一元二次方程。
7. 若方程 (m − 2)x m −1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，
（1）求 m 的值； （2）写出关于 x 的一元二次方程。
§知识小结
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
题型一：判定一元二次方程的解
代入验证：左边=右边，即可。 ◎例题
1. 方程 x 2 + x − 6 = 0 的解为（
）
8 / 27
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A. x1 = −3，x2 = 2
B. x1 = 3，x2 = −2 C. x1 = 3，x2 = −3
2. 关于 x 的方程 (k + 2)x2 − kx − 2 = 0 必有一个根为（ ）
x² = 64.
（2）某小区计划在楼间空地建造一个面积为 120m²的长方形绿地,且长比宽多 10m,那么这个 长方形绿地的宽为多少 m？
解：设长方形绿地的宽为 x m,则长为（x+10）m.
x（x+10） = 120.
通过类比一元一次方程一般形式（ax + b = 0）,对下面所得方程进行整理.
（1） x² = 64；
◎例题 1. 关于 x 的一元二次方程 (m −1)x2 + x + m2 −1 = 0 有一根为 0，则 m 的值为（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A． 1
B． －1
C． 1 或－1
D． 1 2
2. 当 m 为何值时，关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x²+x+m²﹣4=0 有一个根是 0（ ）
3. 理解一元二次方程根的概念.
重点：一元二次方程的概念、一般形式及根
重、难点 难点：正确理解一般式中的“项”及“系数”
授课时长 建议授课时长 2 小时 【课程导入】
教学内容
根据下面的问题,设一个未知数,列出方程,不需解方程.
（1）：若一个正方形花坛的面积为 64m²,则正方形的边长为多少 m？
解：设正方形的边长为 x m.
（3）3x²﹣5=0； （4）4x²+3x﹣2=0； （5）6x²﹣x=0．
题型三：判定一个方式是否是一元二次方程 a≠0 是保证一元二次方程有意义的条件，判定一个方程是不是一个一元二次方程需要先化 为一般形式再根据三个条件判定； ◎例题 下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1） x2 (x +1) = 0
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第 21 章第 1 节 一元二次方程的相关概念
辅导科目
数学
年级
九年级
教材版本
人教版
讲义类型
拔高版（适用于考试得分率高于 80%的学员） 1．理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是否是一元二次方程；
教学目的 2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识一元二次方程的项和系数；
4. 若一元二次方程 (m - 3)x2 + 2x + m2 = 9 的常数项为 0，则 m 的值是 ________。
( ) 5. 已知关于 x 的一元二次方程 (a − 2)x2 + a2 − 4 x + 8 = 0 不含一次项，则 a 的值是______。
6. 已知关于 x 的方程 (2m −1)x2 − mx + m + 2 = 0
A． x = 1
B． x = −1
C． x = 2
D. x1 = 2，x2 = −2 D． x = −2
◎练习
1. 一元二次方程 x2 + 3x − 4 = 0 的解是 （
）
A． x1 = 1 ， x2 = −4